专题 7.3 复数的三角表示【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 复数的三角表示】 ....................................................................................................................................2
【题型 2 求辅角主值】 ............................................................................................................................................3
【题型 3 三角表示下复数的乘方与开方】 ............................................................................................................5
【题型 4 复数的代数形式与三角形式的互化】 ....................................................................................................6
【题型 5 三角表示下复数的几何意义】 ..............................................................................................................10
【题型 6 复数乘、除运算的三角表示】 ..............................................................................................................12
【题型 7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 ..................................................................................................15
【知识点 1 复数的三角表示式】
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模 r 和刻画向量方向的角 θ 来表示复数 z.
一般地，任何一个复数 z=a+bi 都可以表示成 r(cosθ+isinθ)的形式.
概念名称 概念的说明
模 r r 是复数 z 的模， )
θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线(射线 OZ)为终边的
辐角 θ
角，且
r(cosθ+isinθ)叫做复数 z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式，该式
三角形式
的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π 的整数倍.例如，复数 i 的辐角是
，其中 k 可以取任何整数.对于复数 0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复
数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作 argz，即0 argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非
零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
【题型 1 复数的三角表示】
【例 1】（24-25 高一上·上海·课后作业） 1 3i的三角形式是（ ）
A． 2 cos π + isin π B．2 cos π + isin 2π
3 3 3 3
C 7π 7π 4π．2 sin + icos D．2 cos + isin 4π
6 6 3 3
【解题思路】合理化简原复数，表示为三角形式即可.
1 3i = 2(
1 3i) = 2 cos 4π + isin 4π【解答过程】由题意得 2 ，故 D 正确.2 3 3
故选：D.
【变式 1-1】（2024 高一下·全国·专题练习）复数 = sin15 + i cos15 的三角形式是（ ）
A．cos195 + i sin195 B．sin75 + i cos75
C．cos15 + i sin15 D．cos75 + i sin75
【解题思路】由复数的三角形式定义以及诱导公式即可求解.
【解答过程】 = sin15 + i cos15 = cos75 + i sin75 .
故选：D.
2
【变式 1-2】（2024·湖北·二模）复数1 3i与下列复数相等的是（ ）
A cos π + isin π． B．cos π + isin 4π
3 3 3 3
C 3 1． + i D． 1 i
2 2 3
【解题思路】应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.
2 2(1+ 3i) 1 3 π π
【解答过程】由题设， = = + i = cos + isin1 3i (1 3i)(1+ 3i) 2 3 3，故 A、C、D 错误；2
π π π
而cos + isin 4π = cos3 + isin3，故 B 正确.3 3
故选：B.
【变式 1-3】（23-24 高三上·吉林·期末）若复数 = (cos + isin )（ > 0， ∈ ），则把这种形式叫做复
3 1
数 z 的三角形式，其中 r 为复数 z 的模， 为复数 z 的辐角，则复数 = + 2i的三角形式正确的是（ ）2
A．cos6 + isin6 B．sin6 + cos6
C．cos3 + isin3 D．sin3 + icos3
【解题思路】根据复数的三角形式的定义直接判断.
3 1
【解答过程】复数 = + 2i的模为 1，辐角为 ，2 6
3 1
所以复数 = + 2i的三角形式为cos6 + isin6.2
故选：A.
【题型 2 求辅角主值】
【例 2】（2024 高一下·全国·专题练习）复数 = 1 cos + isin (π < θ < 2π)的辐角的主值为（ ）
π π
A 5π ．2 2 B．2 C． 2 2 D．2 2
【解题思路】根据辐角主值的定义求解.
【解答过程】 = 1 cos + isin = 2sin22 +2isin2cos2 = 2sin2 sin + icos2 2
= 2sin 2 cos
π + isin π .
2 2 2 2
π
∵π < < 2π，∴2 <
2 < π，sin2 > 0，
π π
∴ 2 <
2 2 < 0.
∵辐角的主值的取值范围为[0,2π)，
∴复数 z 5π 的辐角的主值为 2 2.
故选：C.
【变式 2-1】（2024 高一下·全国·专题练习）设复数5 + 6i的辐角的主值是 ，则12 10i的辐角的主值为
（ ）
π
A． B．2
C 3π D 3π． 2 ． 2 +
【解题思路】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解.
12 10i (12 10i)(5 6i) 3π 3π
【解答过程】因为 5+6i = (5+6i)(5 6i) = 2i = 2 cos + isin ，2 2
所以12 10i 3π的辐角的主值为 2 + .
故选：D.
【变式 2-2】（24-25 高二上·辽宁·开学考试） = 1 3i（i 是虚数单位），则 z 的辐角主值arg( ) = （ ）
A 5π B 11
π π
．3 ． 6 π C． 3 D． 6
【解题思路】复数可以写成 = (cos + isin ) (0 ≤ < 2π)的形式，即可求得复数的辐角主值.
【解答过程】 = 1 3i=2 1 3 i = 2 cos 5π + isin 5π ，
2 2 3 3
所以复数 = 1 53i的辐角主值arg( ) = 3π.
故选：A.
【变式 2-3】（23-24 高一下·浙江·期末）若复数 = + （a，b 为实数）都可以表示为 (cos + sin )的
→
形式，其中 r 是复数 z 的模， 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 OZ）为终边的角，叫
做复数 = + 的辐角，规定在 ∈ [0,2 )范围内的辐角 的值为辐角主值，通常记作arg ．例如 = 1 + 的
三角形式为 2 cos + sin ，则arg = 4，已知复数 = 1 cos sin
< < ，则 z 的辐角主值arg 为
4 4 2
（ ）
A B C 5 + D 3 + ．4 2 ．2 2 ． 4 2 ． 2 2
【解题思路】根据题意得复数 在复平面内对应的点为 (1 cos , sin )，且在第四象限，进而设
∠ = , ∈ 0, arg = 2 tan = | sin ，则 ， |，再根据三角函数关系化简整理即可得其关系，进而2 1 cos
求解.
【解答过程】解：复数 = 1 cos sin < < 在复平面内对应的点为 (1 cos , sin )，
2
因为2 < < ，所以1 cos > 0, sin < 0，所以 (1 cos , sin )在第四象限，
如图所示，设∠ = , ∈ 0, ，
2
| tan = sin | = | 2sin cos | cos则 2 2 = 2 sin ，即cos1 cos 2sin2 2cos sin2sin = cos + = 0，
2 2
2
因为 ∈ 0, ， < < ，
2 2
+ ∈ + = = 所以2 , ，所以4 2 2，所以 2 2
z 3 所以 的辐角主值arg 为2 = 2 + 2.
故选：D.
【题型 3 三角表示下复数的乘方与开方】
10
【例 3】（24-25 高一·全国·课后作业）计算：( 1 + 3i) = （ ）．
A．1024 1024 3i； B． 1024 + 1024 3i；
C．512 512 3i； D． 512 + 512 3i．
【解题思路】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值.
【解答过程】设 = 1 + 3i=2 1 + 3 i = 2 cos 2π + isin 2π ，
2 2 3 3
10
10 = 2 cos 2π所以 + isin 2π = 2103 3 cos
20π + isin 20π
3 3
2π 2π 1 3
= 210 cos 3 + isin 3 = 2
10 2 + 2 i
= 512 + 512 3i.
故选：D.
1 3
【变式 3-1】（24-25 高二下·广西·阶段练习）若 = 2 + i，则1 + +
2 + 3 = （ ）
2
A．1 B． 3i C． 1 D． 3i
【解题思路】首先用三角形式表示复数，利用复数三角形式的乘方运算求得 3 = 1， 2 = 1 32 i，再求出2
目标式的值.
1 3
【解答过程】由 = 2 + i = cos
2 2
2 3
+ isin 3 ，
所以 3 = cos2 + isin2 = 1 4 ， 2 = cos 3 + isin
4
3 =
1 32 i，2
综上，1 + + 2 + 3 = 2 1 32 + i
1 3
2 2
i = 1.
2
故选：A.
【变式 3-2】（23-24 高二下·广东佛山·期末）在复平面内，复数 = + i( , ∈ )对应向量为 （ 为坐标
原点），设| | = ，以射线 为始边， 为终边逆时针旋转所得的角为 ，则 = (cos + isin )，法国数
学家棣莫弗发现棣莫弗定理： 1 = 1(cos 1 + isin 1)， 2 = 2(cos 2 + isin 2)，则 1 2 = 1 2
[cos( + ) + isin( + )]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： 1 2 1 2 = [ (cos + isin )] = (cos + isin
10
)( ∈ )，则( 1 + 3i) = （ ）
A．1024 1024 3i B． 1024 + 1024 3i C．512 512 3i D． 512 + 512 3i
【解题思路】先将 = 1 + 3i表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.
2π
【解答过程】由题意，得当 = 1 + 3i时， = 2， = 3 ，
10 10
∴( 1 + 3i) = 2 cos 2 + isin 2 3 3
= 210 cos 20 + isin 20 ．
3 3
π π
∵cos20 1 20 3 = cos 7π
π = cos3 = 2,sin = sin 7π
π
3 = sin3 =
3
，
3 3 2
∴210 cos 20 + isin 20 = 210 1 + 3 i = 512 + 512 3i，
3 3 2 2
故选：D.
【变式 3-3】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数 = + i都可以表示成三角形式，即 + i =
(cos + isin )．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754 年）创立的，指的是：设两个复数 1 = 1
(cos 1 + isin 1)， 2 = 1(cos 2 + isin 2)，则 1 2 = 1
1
2[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)]，已知复数 = 2 +
3
2
i，则 2023 + 2 + = （ ）
A 1 B 1 + 3 1 3．2 ．2 i C． i D．12 2 2
1 3
【解题思路】将 = 2 + i化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得
2023, 2的值，即可求得答案.
2
1 3 π π
【解答过程】由题意可得 = 2 + i = cos + isin ，2 3 3
故 2023
π π π π
= cos2023π3 + isin
2023π
3 = cos(674π + 3) + isin(674π + 3) = cos3 + isin3，
π π π π
所以 2023 + 2 + = cos3 + isin3 + cos
2π
3 + isin
2π
3 + cos3 isin3
= 1 + 32 i.2
故选：B.
【题型 4 复数的代数形式与三角形式的互化】
【例 4】（24-25 高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）：
(1) 3 + i；
(2)1 i；
(3)-1
【解题思路】求出模及幅角，即可将复数的代数形式化为三角形式．
2 π
【解答过程】（1）因为 = ( 3) + 1 = 2，cos = 3，sin =
1
2，所以 =2 6，
π
于是 3 + i = 2 cos + isin π ．
6 6
7π
（2）因为 = 1 + ( 1)2 = 2，cos = 2，sin = 2，所以 = 4 ，2 2
于是1 i = 2 cos 7π + isin 7π ．
4 4
（3）因为 = ( 1)2 + 0 = 1，cos = 1，sin = 0，所以 = π，
于是 1 = cosπ + isinπ．
【变式 4-1】（2025 高三·全国·专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
π π
(1)4(cos6 + isin6)；
(2)2 cos π isin π
3 3
【解题思路】根据复数的相关概念即可求得模和辐角主值，化简计算即可求得复数的代数形式.
π π π
【解答过程】（1）4(cos6 + isin6)的模为 4，辐角主值为6，
π π
4(cos6 + isin6) = 2 3 +2i；
2 2 cos π isin π（ ） = 2 cos 5π +isin 5π ，
3 3 3 3
故2 5πcos π isin π 的模为 2，辐角主值为 ，
3 3 3
2 cos π isin π = 1 3i.
3 3
【变式 4-2】（2024 高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式：
π π
(1)2(sin3 + icos3)；
(2)8(cos11π + isin11π6 6 ).
【解题思路】
运用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
π π
【解答过程】（1）2(sin3 + icos3) = 2(
3 + 1
2 2
i) = 3 + i.
π π
（2）8(cos11π6 + isin
11π
6 ) = 8[cos( 6) + isin( 6)] = 8
3 1 i = 4 3 4i.
2 2
【变式 4-3】（2024 高一下·全国·专题练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
(1)4；
(2) i；
(3)2 3 +2i；
(4) 12
3i.
2
【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据复数的模长公式求解模长，即可根据复数所对应的点所在的象限
求解角，即可由三角表示求解.
【解答过程】（1）复数4对应的向量如图所示，
则 = 4,cos = 0.
因为与4对应的点在 x 轴，
所以arg(4) = 0.
于是4 = 4(cos0 + isin0).
（2）复数 i对应的向量如图所示，
则 = ( 1)2 = 1,cos = 0.
因为与 i对应的点在 y 轴，
所以arg 3π( i) = 2 .
i = cos3π于是 2 + isin
3π
2 .
（3）复数2 3 +2i对应的向量如图所示，
2
则 = (2 3) + (2)2 = 4,cos = 3.2
因为与2 3 +2i对应的点在第一象限，
π
所以arg(2 3 + 2i) = 6.
于是2 3 +2i = 4 cos π +isin π .
6 6
4 1 3（ ）复数 2 i对应的向量如图所示，2
= ( 1
2
则 ) + ( 3
2
) = 1,cos =
1
2 2 2
.
1 3
因为与 2 i对应的点在第三象限，2
所以arg 1 3 i =
4π.
2 2 3
1 3 4π
于是 2 i = cos 3 +isin
4π
2 3
.
【知识点 2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】
1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
，
即 .
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数 z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与 z1，z2对应的向量 ， ，然后把向量
绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0，就要把 绕点 O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原
来的 r2倍，得到向量 ， 表示的复数就是积 z1z2.这是复数乘法的几何意义.
2．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设 ， ，且 ，因为
，所以根据复数除法的定义，有
.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数 z1，z2相除时，先分别画出与 z1，z2对应的向量 ， ，然后把向量 绕点 O 按
顺时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0，就要把 绕点 O 按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的 倍，
得到向量 ， 表示的复数就是商 .这是复数除法的几何意义.
【题型 5 三角表示下复数的几何意义】
【例 5】（23-24 高一下·上海浦东新·期末）设复数 满足条件arg ∈ 3 2021π,π ，则 2 对应复平面上的点位于4
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可.
3 3
【解答过程】复数 满足条件arg ∈ π,π ，所以可设 = (cos + isin ), ∈ π,π
4 4
所以 2 = 2(cos2 + isin2 ),
2021 = 2021 2021所以 2 2 (cos( 2 ) + isin2 ) = 2 (cos2 + isin2 )
因为 ∈ 3 π,π 3，所以2 ∈ π,2π ，所以cos2 > 0,sin2 < 0，
4 2
2021
所以 2 对应复平面上的点位于第四象限.
故选：D.
π
【变式 5-1】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数3 3i对应的向量 按顺时针方向旋转3，所
得向量在 上的投影向量对应复数是（ ）
A．2 3 3i B 3 2 3i C 3 3i D 3 3i． ． ．2 2
π π
【解题思路】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为(3 3i)[cos( 3) + isin( 3)]并化简 ，
再结合投影向量的定义求解．
π
【解答过程】因为把复数3 3i对应的向量 = (3, 3)按顺时针方向旋转3，
π π
所以旋转后的向量所对应的复数为(3 3i)[cos( 3) + isin( 3)] = (3
1 3
3i)( 3i) = 3 3 32 2 i i +
3 2
2 2 2 2
i = 2
3i，
→
所以旋转后的向量 = (0, 2 3)，
又因为 = 6，| | = 32 + ( 3)2 = 2 3，
→ → →
1→ 3 3 3 3
所以向量 在 上的投影向量是 |→| |→| = 2 = (2, )，即对应复数是 i. 2 2 2
故选：D.
π
【变式 5-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数 1 + i对应的向量绕原点逆时针旋转4后
5π
所得向量对应的复数为 1，绕原点顺时针旋转12后所得向量对应的复数为 2
(1)求复数 1, 2；
(2) = 1若复数 ，求复数 .2
【解题思路】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数；
(2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可.
3π π
【解答过程】（1）复数 1 + i = 2 cos + isin 3π 逆时针旋转4后得 1 = 2(cosπ + isinπ) = 2,4 4
5π
顺时针旋转12后得 2 = 2 cos
π + isin π = 2 + 6i.
3 3 2 2
2(cosπ+ sin )
（2 1）由（1）得 = = 2 cos π+isin π = cos
2π + isin2π = 1 + 3
2 3 3 3 3 2
i.
2
【变式 5-3】（24-25 高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数 1 = 3 + i，
(1)写出 1的三角形式；
(2)复数 2满足| 2| = 2，且 21 2在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，arg 2 ∈ (0,π)，求 2的代数形式．
【解题思路】（1）根据公式，即可直接得出答案；
（2）设 2 = 2(cos + isin )，根据三角恒等变换表示出 1 22，然后根据已知得出 的值，代入即可得出答
案.
【解答过程】（1）由已知可得，| 1| = 2，
1 π π
所以， = 3 + i=2 31 + i = 2 cos + isin .2 2 6 6
（2）由已知可设 2 = 2(cos + isin )，
则 22 = 4(cos2 sin2 + 2isin cos ) = 4cos2 + 4isin2 .
所以， 21 2 = 2 cos
π + isin π (4cos2 + 4isin2 ) = 8 cos π cos2 sin π sin2 +8i
6 6 6 6
cos π sin2 + sin π cos2 = 8cos 2 + π +8isin 2 + π .
6 6 6 6
cos 2 + π = 0 π 3π
由已知可得 6 ，所以2 +
sin 2 + π < 0 6
= 2 +2 π, ∈ Z，
6
所以， = 2π3 + π, ∈ Z.
又0 < < π = 2π，所以 3 .
= 2 cos 2π + isin 2π所以， 2 = 1 + 3i.3 3
【题型 6 复数乘、除运算的三角表示】
【例 6】（24-25 高一·全国·课后作业）已知i为虚数单位， 1 = 2(cos60° + isin60°)， 2 = 2 2
(sin30° icos30°)，则 1 2等于（ ）
A．4(cos90° + isin90°) B．4(cos90° + isin90°)
C．4(cos30° isin30°) D．4(cos0° + isin0°)
【解题思路】
利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.
【解答过程】 ∵ 2 = 2 2(sin30° icos30°) = 2 2(cos300° + isin300°)，
∴ 1 2 = 2(cos60° + isin60°) 2 2(cos300° + isin300°)
= 4[cos(60° + 300°) + isin(60° + 300°)] = 4(cos360° + isin360°)
= 4(cos0° + isin0°).
故选：D.
【变式 6-1】（23-24 高一下·福建泉州·期末）已知 i 为虚数单位，若 1 = 1(cos 1 + isin 1)， 2 = 2(cos 2
+ isin 2)， ， = (cos + isin )，则 1 2 = 1 2 [cos( 1 + 2 + + ) + isin
( 1 + 2 + + ).特别地，如果 1 = 2 = = = (cos + isin )，那么[ (cos + isin )] = (cos + isin
)，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754 年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是
（ ）
A．若 = cos6 + isin6，则
4 = 1 + 32 i2
B．若 = cos5 + isin5，则
5 = 1 + i
C 7 7 5 5 ．若 1 = 2(cos12 + isin12)， 2 = 3(cos12 + isin12)，则 1 2 = 6 + 6i
D．若 1 = 3(cos12 isin12)， 2 = 4(cos4 + isin4)，则 1 2 = 6 + 6i
【解题思路】A. 4 = cos4 + isin46 6 =
1 + 32 i，所以该选项正确；2
B. 5 = cos + isin = 1，所以该选项错误；
C. 1 2 = 6(cos + isin ) = 6，所以该选项错误；
D. 1 2 = 12(cos
13
6 + isin
13
6 ) = 6 3+6i.所以该选项错误.
4 4 1
【解答过程】A. 若 = cos6 + isin6，则
4 = cos 6 + isin6 = 2 +
3i，所以该选项正确；
2
B. 若 = cos5 + isin5，则
5 = cos + isin = 1，所以该选项错误；
C. 7 若 1 = 2(cos12 + isin
7
12)， 2 = 3(cos
5 5
12 + isin12)，则 1 2 = 6(cos + isin ) = 6，所以该选项错误；
D. 1 = 3(cos
23 23 13 13
12 + isin 12 )， 2 = 4(cos4 + isin4)，则 1 2 = 12(cos 6 + isin 6 ) = 6 3+6i.所以该选项错
误.
故选：A.
【变式 6-2】（24-25 高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果：
(1) 3 cos π + isin π 5 cos π + isin π ；
4 4 6 6
(2)(1 + i) ÷ 3 cos 3π + isin 3π ．
4 4
【解题思路】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可.
π π
【解答过程】（1） 3 cos + isin 5 cos π +isin π
4 4 6 6
π π π π
= 3 × 5 cos 4 + 6 + isin 4 + 6
5π 5π
= 15 cos 12 + isin 12
= 3 10 30 + 3 10+ 30i．
4 4
（2）(1 + i) ÷ 3 cos 3π + isin 3π
4 4
π π 3π 3π
= 2 cos 4 + isin 4 ÷ 3 cos 4 + isin 4
= 2 cos π 3π + isin π 3π = 6i．
3 4 4 4 4 3
【变式 6-3】（23-24 高一·上海·课堂例题）计算：
(1)8 cos + isin 2 cos + isin ；
6 6 3 3
6 cos 3 +isin 3
(2) 5 5 ；
2 cos +isin
10 10
5
(3) 2 cos + isin 6 6 ．
【解题思路】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可.
π π π
【解答过程】（1）8 cos + isin 2 cos + isin π
6 6 3 3
π π π π
= 16 × cos 6 + 3 + sin 6 + 3 i
π π
= 16 × cos 2 + sin 2 i
= 16i；
6 cos 3π+isin 3π
（2） 5 5
2 cos π +isin π
10 10
3π π 3π π
= 3 × cos 5 10 + isin 5 10
π π
= 3 × cos 2 + isin 2
= 3i；
5
3 π π（ ） 2 cos + isin6 6
5 5π 5π
= ( 2) cos 6 + isin 6
3 1
= 4 2 2 + 2 i
= 2 6 +2 2i.
【题型 7 复数乘、除运算的几何意义的应用】
【例 7】（23-24 高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数 = + i( , ∈ )和向量 进行一一对应.
现把与复数2 + i对应的向量绕原点 按顺时针方向旋转90 ，所得的向量对应的复数为（ ）
A．1 2i B． 1 2i C．1 + 2i D． 1 + 2i
【解题思路】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转90°后对应的复数为(2 + i)
(cos( 90°) + isin( 90°)) = 1 2i.
【解答过程】根据题意可知，
复数2 + i对应的向量绕原点 O 按顺时针方向旋转90°可得(2 + i)(cos( 90°) + isin( 90°)) = (2 + i)( i)
= 2i i2 = 1 2i，
即所得的向量对应的复数为1 2i.
故选：A.
【变式 7-1】（23-24 高一下·湖北武汉·期中）设复数 1, 2对应的向量分别为 1, 2, 为坐标原点，且 1 =
2 + 2i
3π 4π
，若把 1绕原点顺时针旋转 4 ，把 2绕原点逆时针旋转 3 ，所得两向量的终点重合，则 2 =
（ ）
A．1 3i B． 1 + 3i C． 3 i D． 3 + i
【解题思路】把 1 = 2 + 2i化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可.
3π 3π
【解答过程】由已知得 2 21 = 2 + 2i=2 + i = 2 cos + isin ，2 2 4 4
3π所以 1绕原点顺时针旋转 4 得
2 cos 3π + isin 3π cos 3π + isin 3e = 2(cos0 + isin0) = 2，
4 4 4 4
4π 4π
由 2绕原点逆时针旋转 3 ，所得两向量的终点重合得 2 cos + isin
3π = 2，
3 4
2 4π 4π
所以 2 = cos 4 π+isin 4π = 2 cos isin = 1 + 3i.
3 3 3 3
故选：B.
【变式 7-2】（2024 高一下·全国·专题练习）设复数 1, 2对应的向量为 1， 2， 为坐标原点，且 1 = 1 +
i 4π3 ，若把 1绕原点逆时针旋转 3 ，把
3π
2绕原点顺时针旋转 4 ，所得两向量恰好重合，求复数 2.
【解题思路】根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可.
4π 4π 2
【解答过程】依题意得( 1 + 3i) cos + isin = 3π 3π ，
3 3 cos +isin4 4
= ( 1 + 3i) cos 4π + isin 4π cos 3π + isin 3π所以 2 3 3 4 4
2π 2π 4π 4π 3π 3π
= 2 cos 3 + isin 3 cos 3 + isin 3 cos 4 + isin 4
2π 4π 3π 2π 4π 3π
= 2 cos 3 + 3 + 4 + isin 3 + 3 + 4
= 2 cos 11π + isin 11π = 2 + 2i.
4 4
【变式 7-3】（24-25 高一下·福建泉州·阶段练习）在复平面内，点 A 对应的复数是 3 + i，向量 绕着点 O
按逆时针方向旋转 120°得到向量 .
(1)求点 C 对应的复数 0；
(2)已知点 B 对应的复数 z 满足| 0| = 1，且 , = 120°，求复数 z.
【解题思路】（1）利用复数的几何意义和复数的乘法运算求解；
（2）根据题意，由向量 对应的复数 1 =
1
0 2[cos
1
( 120°) + isin( 120°)]或 1 = 0 2(cos120° + isin120°)
求解.
【解答过程】（1）解：因为点 A 对应的复数是 3 + i，向量 绕着点 O 按逆时针方向旋转 120°，
所以 0 = ( 3 + i) (cos120° + isin120°) = 3 + i；
（2）因为点 B 对应的复数 z 满足| 0| = 1，且 , = 120°，
1
所以向量 对应的复数 1 = 0 2[cos( 120°) + isin
1
( 120°)] = 3 + 2i，2
1或 1 = 0 2(cos120° + isin120°) = i，
∴ = + = 3 , 3 或 = + = ( 3,0)，
2 2
∴ = 3 + 3
2 2
i或 = 3.专题 7.3 复数的三角表示【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 复数的三角表示】 ....................................................................................................................................2
【题型 2 求辅角主值】 ............................................................................................................................................2
【题型 3 三角表示下复数的乘方与开方】 ............................................................................................................3
【题型 4 复数的代数形式与三角形式的互化】 ....................................................................................................3
【题型 5 三角表示下复数的几何意义】 ................................................................................................................6
【题型 6 复数乘、除运算的三角表示】 ................................................................................................................6
【题型 7 复数乘、除运算的几何意义的应用】 ....................................................................................................8
【知识点 1 复数的三角表示式】
1．复数的三角表示式
(1)复数的三角表示式
如图，我们可以用刻画向量大小的模 r 和刻画向量方向的角 θ 来表示复数 z.
一般地，任何一个复数 z=a+bi 都可以表示成 r(cosθ+isinθ)的形式.
概念名称 概念的说明
模 r r 是复数 z 的模， )
θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线(射线 OZ)为终边的
辐角 θ
角，且
r(cosθ+isinθ)叫做复数 z=a+bi 的三角表示式，简称三角形式，该式
三角形式
的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连
(2)辅角的主值
显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2π 的整数倍.例如，复数 i 的辐角是
，其中 k 可以取任何整数.对于复数 0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复
数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作 argz，即0 argz<2π.
(3)三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非
零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
【题型 1 复数的三角表示】
【例 1】（24-25 高一上·上海·课后作业） 1 3i的三角形式是（ ）
A． 2 cos π + isin π B 2 cos π． + isin 2π
3 3 3 3
C．2 sin 7π + icos 7π D．2 cos 4π + isin 4π
6 6 3 3
【变式 1-1】（2024 高一下·全国·专题练习）复数 = sin15 + i cos15 的三角形式是（ ）
A．cos195 + i sin195 B．sin75 + i cos75
C．cos15 + i sin15 D．cos75 + i sin75
2
【变式 1-2】（2024·湖北·二模）复数1 3i与下列复数相等的是（ ）
A．cos π + isin π B π．cos + isin 4π
3 3 3 3
C 3 1． + 2i D． 1 2 3i
【变式 1-3】（23-24 高三上·吉林·期末）若复数 = (cos + isin )（ > 0， ∈ ），则把这种形式叫做复
3 1
数 z 的三角形式，其中 r 为复数 z 的模， 为复数 z 的辐角，则复数 = + i的三角形式正确的是（ ）
2 2
A．cos6 + isin6 B．sin6 + cos6
C．cos3 + isin3 D．sin3 + icos3
【题型 2 求辅角主值】
【例 2】（2024 高一下·全国·专题练习）复数 = 1 cos + isin (π < θ < 2π)的辐角的主值为（ ）
π π
A B 5π ．2 2 ．2 C． 2 2 D．2 2
【变式 2-1】（2024 高一下·全国·专题练习）设复数5 + 6i的辐角的主值是 ，则12 10i的辐角的主值为
（ ）
π
A． B．2
C 3π 3π． 2 D． 2 +
【变式 2-2】（24-25 高二上·辽宁·开学考试） = 1 3i（i 是虚数单位），则 z 的辐角主值arg( ) = （ ）
π π
A 5．3π B
11
． 6 π C． 3 D． 6
【变式 2-3】（23-24 高一下·浙江·期末）若复数 = + （a，b 为实数）都可以表示为 (cos + sin )的
→
形式，其中 r 是复数 z 的模， 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 OZ）为终边的角，叫
做复数 = + 的辐角，规定在 ∈ [0,2 )范围内的辐角 的值为辐角主值，通常记作arg ．例如 = 1 + 的
三角形式为 2 cos + sin ，则arg = 4，已知复数 = 1 cos sin
< < ，则 z 的辐角主值arg 为
4 4 2
（ ）
A
5 3
．4 2 B．2 2 C． 4 + 2 D． 2 + 2
【题型 3 三角表示下复数的乘方与开方】
10
【例 3】（24-25 高一·全国·课后作业）计算：( 1 + 3i) = （ ）．
A．1024 1024 3i； B． 1024 + 1024 3i；
C．512 512 3i； D． 512 + 512 3i．
1 3
【变式 3-1】（24-25 高二下·广西·阶段练习）若 = + i，则1 + + 2 + 32 = （ ）2
A．1 B． 3i C． 1 D． 3i
【变式 3-2】（23-24 高二下·广东佛山·期末）在复平面内，复数 = + i( , ∈ )对应向量为 （ 为坐标
原点），设| | = ，以射线 为始边， 为终边逆时针旋转所得的角为 ，则 = (cos + isin )，法国数
学家棣莫弗发现棣莫弗定理： 1 = 1(cos 1 + isin 1)， 2 = 2(cos 2 + isin 2)，则 1 2 = 1 2
[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： = [ (cos + isin )] = (cos + isin
10 )( ∈ )，则( 1 + 3i) = （ ）
A．1024 1024 3i B． 1024 + 1024 3i C．512 512 3i D． 512 + 512 3i
【变式 3-3】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数 = + i都可以表示成三角形式，即 + i =
(cos + isin )．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754 年）创立的，指的是：设两个复数 1 = 1
1
(cos 1 + isin 1)， 2 = 1(cos 2 + isin 2)，则 1 2 = 1 2[cos( 1 + 2) + isin(
3
1 + 2)]，已知复数 = 2 + 2
i，则 2023 + 2 + = （ ）
A 1 B 1 + 3i C 1 3．2 ．2 ．2 i D．12 2
【题型 4 复数的代数形式与三角形式的互化】
【例 4】（24-25 高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）：
(1) 3 + i；
(2)1 i；
(3)-1
【变式 4-1】（2025 高三·全国·专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
π π
(1)4(cos6 + isin6)；
(2)2 cos π isin π
3 3
【变式 4-2】（2024 高一下·江苏·专题练习）把下列复数的三角形式化为代数形式：
π π
(1)2(sin3 + icos3)；
(2)8(cos11π6 + isin
11π
6 ).
【变式 4-3】（2024 高一下·全国·专题练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
(1)4；
(2) i；
(3)2 3 +2i；
(4) 1 32 i.2
【知识点 2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】
1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数乘法运算的三角表示
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到
，
即 .
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
(2)几何意义
两个复数 z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与 z1，z2对应的向量 ， ，然后把向量
绕点 O 按逆时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0，就要把 绕点 O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原
来的 r2倍，得到向量 ， 表示的复数就是积 z1z2.这是复数乘法的几何意义.
2．复数除法运算的三角表示及其几何意义
(1)复数除法运算的三角表示
设 ， ，且 ，因为
，所以根据复数除法的定义，有
.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
(2)几何意义
如图，两个复数 z1，z2相除时，先分别画出与 z1，z2对应的向量 ， ，然后把向量 绕点 O 按
顺时针方向旋转角 θ2(如果 θ2<0，就要把 绕点 O 按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的 倍，
得到向量 ， 表示的复数就是商 .这是复数除法的几何意义.
【题型 5 三角表示下复数的几何意义】
【例 5】（23-24 3 2021高一下·上海浦东新·期末）设复数 满足条件arg ∈ π,π ，则
4 2
对应复平面上的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
π
【变式 5-1】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数3 3i对应的向量 按顺时针方向旋转3，所
得向量在 上的投影向量对应复数是（ ）
A．2 3 3i B．3 2 3i C 3 3i D 3 3i． ．2 2
π
【变式 5-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数 1 + i对应的向量绕原点逆时针旋转4后
5π
所得向量对应的复数为 1，绕原点顺时针旋转12后所得向量对应的复数为 2
(1)求复数 1, 2；
(2)若复数 = 1 ，求复数 .2
【变式 5-3】（24-25 高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数 1 = 3 + i，
(1)写出 1的三角形式；
(2)复数 2满足| 2| = 2，且 21 2在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，arg 2 ∈ (0,π)，求 2的代数形式．
【题型 6 复数乘、除运算的三角表示】
【例 6】（24-25 高一·全国·课后作业）已知i为虚数单位， 1 = 2(cos60° + isin60°)， 2 = 2 2
(sin30° icos30°)，则 1 2等于（ ）
A．4(cos90° + isin90°) B．4(cos90° + isin90°)
C．4(cos30° isin30°) D．4(cos0° + isin0°)
【变式 6-1】（23-24 高一下·福建泉州·期末）已知 i 为虚数单位，若 1 = 1(cos 1 + isin 1)， 2 = 2(cos 2
+ isin 2)， ， = (cos + isin )，则 1 2 = 1 2 [cos( 1 + 2 + + ) + isin
( 1 + 2 + + ).特别地，如果 1 = 2 = = = (cos + isin )，那么[ (cos + isin )] = (cos + isin
)，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754 年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是
（ ）
A 1 3．若 = cos6 + isin6，则
4 = 2 + i2
B．若 = cos 55 + isin5，则 = 1 + i
C 7 ．若 1 = 2(cos12 + isin
7
12)， 2 = 3(cos
5 + isin5 12 12)，则 1 2 = 6 + 6i
D．若 1 = 3(cos12 isin12)， 2 = 4(cos4 + isin4)，则 1 2 = 6 + 6i
【变式 6-2】（24-25 高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果：
(1) 3 cos π + isin π 5 cos π + isin π ；
4 4 6 6
(2)(1 + i) ÷ 3 cos 3π + isin 3π ．
4 4
【变式 6-3】（23-24 高一·上海·课堂例题）计算：
(1)8 cos + isin 2 cos + isin ；
6 6 3 3
6 cos 3 +isin 3
(2) 5 5 ；
2 cos +isin
10 10
5
(3) 2 cos + isin 6 6 ．
【题型 7 复数乘、除运算的几何意义的应用】
【例 7】（23-24 高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数 = + i( , ∈ )和向量 进行一一对应.
现把与复数2 + i对应的向量绕原点 按顺时针方向旋转90 ，所得的向量对应的复数为（ ）
A．1 2i B． 1 2i C．1 + 2i D． 1 + 2i
【变式 7-1】（23-24 高一下·湖北武汉·期中）设复数 1, 2对应的向量分别为 1, 2, 为坐标原点，且 1 =
+ i 3π 4π2 2 ，若把 1绕原点顺时针旋转 4 ，把 2绕原点逆时针旋转 3 ，所得两向量的终点重合，则 2 =
（ ）
A．1 3i B． 1 + 3i C． 3 i D． 3 + i
【变式 7-2】（2024 高一下·全国·专题练习）设复数 1, 2对应的向量为 1， 2， 为坐标原点，且 1 = 1 +
i 4π 3π3 ，若把 1绕原点逆时针旋转 3 ，把 2绕原点顺时针旋转 4 ，所得两向量恰好重合，求复数 2.
【变式 7-3】（24-25 高一下·福建泉州·阶段练习）在复平面内，点 A 对应的复数是 3 + i，向量 绕着点 O
按逆时针方向旋转 120°得到向量 .
(1)求点 C 对应的复数 0；
(2)已知点 B 对应的复数 z 满足| 0| = 1，且 , = 120°，求复数 z.
