专题 7.7 复数中必考六类含参问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 已知复数的类型求参数】 ........................................................................................................................2
【类型 2 根据复数的相等条件求参数】 ................................................................................................................3
【类型 3 由复数的模求参数】 ................................................................................................................................4
【类型 4 根据复数的几何意义求参数】 ................................................................................................................5
【类型 5 根据复数的四则运算结果求参数】 ........................................................................................................6
【类型 6 根据复数范围内方程的根求参数】 ........................................................................................................6
【知识点 1 复数中的含参问题及其解题策略】
1．复数中的含参问题
复数中常考的含参问题有以下几种：
(1)已知复数的类型求参数；
(2)根据复数的相等条件求参数；
(3)由复数的模求参数；
(4)根据复数的几何意义求参数；
(5)根据复数的四则运算求参数；
(6)根据复数范围内的方程求参数.
2．复数的概念有关含参问题的解题策略
(1)复数的类型含参问题：复数 z=a+bi(a,b∈R)，其中 a，b 分别是它的实部和虚部.若 z 为实数，则虚部
b=0，与实部 a 无关；若 z 为虚数，则虚部 b≠0，与实部 a 无关；若 z 为纯虚数，当且仅当 a=0 且 b≠0.
(2)复数相等含参问题：根据复数相等的条件，列式进行求解即可.
(3)复数的模含参问题：复数 z=a+bi(a,b∈R)的模记作 或 ，即 ，结合
条件，列式求解即可.
3．复数的几何意义有关含参问题的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量
与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的运算有关含参问题的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
5．复数的方程有关含参问题的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【类型 1 已知复数的类型求参数】
1．（23-24 高一下·天津滨海新·期末）若复数 = + 2 + ( 1)i（i是虚数单位）是纯虚数，则实数 =
（ ）
A． 2 B．0 C．1 D．2
2．（23-24 高一下·广东清远·期中）已知复数 = ( 1) + ( + 3)i，其中 i 为虚数单位．若复数 z 为实数，
则 m 的值为（ ）
A． = 1 B． = 1 C． = 3 D． = 3
3．（2024·吉林·三模）已知复数 1 = 2 1 + ( + 1)i， 2 = cos2 + isin ，下列说法正确的是（ ）
A．若 1纯虚数，则 = 1
B．若 2为实数，则 = π， ∈ Z
C．若 1 =
4
2，则 = 0或 = 3
D．若 1 ≥ 0，则 m 的取值范围是( ∞, 1] ∪ [1, + ∞)
4．（23-24 高一下·青海西宁·期末）若复数 = 2 2 ( + 1)i( ∈ ,i为虚数单位)为纯虚数，则 的值
为 .
5．（2025 高一·全国·专题练习）当实数 取什么值时，复数 = ( 2 + 5 + 6) + ( 2 2 8)i是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数；
(4)0.
6．（23-24 高一下·安徽·阶段练习）复数 = 2 6 7 + ( 2 4 21)i，其中 ∈ .
(1)若复数 z 为实数，求 a 的值；
(2)若复数 z 为虚数，求 a 的取值范围；
(3)若复数 z 为纯虚数，求 a 的值
【类型 2 根据复数的相等条件求参数】
7．（23-24 高一下·福建漳州·期末）已知复数(1 + i)i = 2 i， ， ∈ R，则 = （ ）
A．3 B．1 C． 1 D． 3
8．（23-24 高一下·山西阳泉·期末）已知复数 1 = + (4 2)i, 2 = 2cos + ( + 3sin )i,( , , ∈ )，且
1 = 2，则 的取值范围是（ ）
A． 9 ,1 B． 9 ,7
16 16
C 9． , + ∞ D．[1,7]
16
9．（23-24 高一下·江苏扬州·期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．若 1， 2 ∈ C，且 1 2 < 0，则 1 < 2
B．若 + i=1+i（ , ∈ C），则 = = 1
C．若 = + i（ , ∈ ），则当且仅当 = 0且 = 0时， = 0
D．若 1， 2 ∈ ，且 21 + 22 = 0，则 1 = 2 = 0
10．（23-24 高一下·西藏拉萨·期末）已知 , ∈ R，i 为虚数单位，且( + 2) + i = 1 + i，则 + = .
11．（24-25 高一·上海·课堂例题）已知(2 2 5 + 2) + 2 + 2 i = 0，其中 、 ∈ ．求 x、y 的值．
12．（24-25 高一·全国·课后作业）求满足下列条件的实数 x，y 的值：
(1) 1 + 4 + 2 i = 5 + 14i；
2 3
(2)( + ) i = 2 + 15i；
(3)( 2 2) + 2 2 + 5 + 2 i = 0.
【类型 3 由复数的模求参数】
13．（2024·河南·一模）若| i| = |1 2i|，则实数 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（23-24 高一下·河南南阳·期末）已知 , ∈ ，复数 1 = + 3i， 2 = 1 +4 i，且 2为纯虚数，| 2|
= 1，则 + = （ ）
A．0 B．0 或-2 C．1 D．1 或-2
15．（2024 高一下·全国·专题练习）(多选)已知复数 = ( 3) + ( 1)i的模等于 2，则实数 m 的值可以为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（23-24 高一下·广东湛江·期末）已知复数 1 = + i， 2 = 4 + i ， ∈ ，若| 1| < 2，则 的取值
范围是 ．
17．（23-24 高一下·河南南阳·期末）已知复数 = ( 2 + 6) + ( 2 + 2)i( ∈ )在复平面内所对应的
点为 A.
(1)若点 A 在第二象限，求实数 m 的取值范围；
(2)求| |的最小值及此时实数 m 的值.
18．（23-24 高一下·山东聊城·期中）已知 1 = + 2i， 2 = 3 4i（ ∈ R,i为虚数单位）.
(1)若 1 2是纯虚数，求实数 的值；
(2)若 1 2在复平面上对应的点在第二象限，且| 1| ≤ 13，求实数 的取值范围.
【类型 4 根据复数的几何意义求参数】
19．（23-24 高一下·云南曲靖·期中）复数 = (2 ) + ( 1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数
的取值范围是（ ）
A．(2, + ∞) B．(0, + ∞) C．( ∞,1) D．( 1, + ∞)
20．（23-24 高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点位于四象
限时，实数 的取值范围是（ ）
A．( 2,7) B．( 2,3) ∪ (5,7) C．(3,5) D．(5,7)
21．（23-24 高一下·山东青岛·期末）已知复平面内表示复数： = + 1 + ( 1)i( ∈ R)的点为 ，则下
列结论中正确的为（ ）
A．若 ∈ R，则 ≠ 1 B．若 在直线 = 2 上，则 = 3
C．若 为纯虚数，则 = 1 D．若 在第四象限，则 1＜ ＜1
22．（23-24 高一下·山东临沂·期中）若复数 = ( 2 + 6) + ( 2 4 + 3)i（其中i为虚数单位），当 对
应的点在第三象限时，则实数 的取值范围为 ．
23．（24-25 高一·上海·课堂例题）求实数 m 的值或取值范围，使得复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)
i在复平面上所对应的点 分别位于
(1)实轴上；
(2)虚轴上；
(3)第四象限．
24．（23-24 高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点分别满
足下列条件：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一象限或第三象限；
(3)位于直线 = 上．求实数 的取值范围．
【类型 5 根据复数的四则运算结果求参数】
25．（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）复数 1 = + 3i， 2 = 4 + i， , 为实数，若 1 + 2为实数，
1 2为纯虚数，则 + = （ ）
A． 7 B．7 C． 1 D．1
26．（24-25 高二下·四川绵阳·阶段练习）已知i为虚数单位，若复数 = i2 i的实部与虚部相等，则实数 的
值为（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
27．（2024·福建漳州·一模）若(1 + i) + i = 4i， ， ∈ ，则（ ）
A． = 1 B． = 4 C． = 4 D． = 0
28．（2024· · 3 2i湖南 模拟预测）已知i是复数的虚数单位，且 i = + i ( , ∈ R)，则 + 的值为 ．
29．（24-25 高一·上海·课堂例题）已知复数 1 = ( 2 + 2) + ( 2 1)i， 2 = ( 6) + ( 2 + )i，其中
∈ ．若 1 + 2 = 2 + i，求 的值．
30．（23-24 高一下·湖北咸宁·期末）已知复数 = 2 + 2 + ( 1)i( ∈ R)，其中i为虚数单位．
(1)若 是纯虚数，求实数 的值；
+i
(2)若 = 2，设 i = + i( , ∈ )，试求 + 的值．
【类型 6 根据复数范围内方程的根求参数】
31．（24-25 高三上·江西赣州·阶段练习）已知2 i（i是虚数单位）是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的
一个根，则 + = （ ）
A．9 B．1 C．-7 D．2i 5
32．（23-24 高一下·上海黄浦·期末）已知2 + i（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 2 + + = 0的一
个根，那么 p，q 的值分别是（ ）
A． = 4, = 5 B． = 4, = 3
C． = 4, = 5 D． = 4, = 3
33．（2024·浙江温州·三模）已知 1, 2是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的两个根，其中 1 = 1 + i，则
（ ）
A． 1 = 22 B． 1 = 22 C． = 2 D． = 2
34．（23-24 高一下·福建漳州·期末）复数1 + 2i是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，则 + = .
35．（23-24 高一下·上海·期末）已知关于 的实系数一元二次方程 2 2 + = 0.
(1)若方程有一个根1 + 2i（i是虚数单位），求 的值；
(2)若方程有两虚根 1, 2，且| 1 2| = 3，求 的值.
36．（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知关于 x 的方程 2 + + = 0（ ∈ R）的两根为 、 ，求实数 m
的值.
(1)若| | = 3，求 m 的值；
(2)若| | + | | = 3，求 m 的值.专题 7.7 复数中必考六类含参问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 已知复数的类型求参数】 ........................................................................................................................2
【类型 2 根据复数的相等条件求参数】 ................................................................................................................4
【类型 3 由复数的模求参数】 ................................................................................................................................6
【类型 4 根据复数的几何意义求参数】 ................................................................................................................8
【类型 5 根据复数的四则运算结果求参数】 ......................................................................................................10
【类型 6 根据复数范围内方程的根求参数】 ......................................................................................................12
【知识点 1 复数中的含参问题及其解题策略】
1．复数中的含参问题
复数中常考的含参问题有以下几种：
(1)已知复数的类型求参数；
(2)根据复数的相等条件求参数；
(3)由复数的模求参数；
(4)根据复数的几何意义求参数；
(5)根据复数的四则运算求参数；
(6)根据复数范围内的方程求参数.
2．复数的概念有关含参问题的解题策略
(1)复数的类型含参问题：复数 z=a+bi(a,b∈R)，其中 a，b 分别是它的实部和虚部.若 z 为实数，则虚部
b=0，与实部 a 无关；若 z 为虚数，则虚部 b≠0，与实部 a 无关；若 z 为纯虚数，当且仅当 a=0 且 b≠0.
(2)复数相等含参问题：根据复数相等的条件，列式进行求解即可.
(3)复数的模含参问题：复数 z=a+bi(a,b∈R)的模记作 或 ，即 ，结合
条件，列式求解即可.
3．复数的几何意义有关含参问题的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量
与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的运算有关含参问题的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
5．复数的方程有关含参问题的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【类型 1 已知复数的类型求参数】
1．（23-24 高一下·天津滨海新·期末）若复数 = + 2 + ( 1)i（i是虚数单位）是纯虚数，则实数 =
（ ）
A． 2 B．0 C．1 D．2
【解题思路】根据复数的类型可得答案.
【解答过程】若复数 = + 2 + ( 1)i（i是虚数单位）是纯虚数，
+ 2 = 0
则 1 ≠ 0 ，解得 = 2.
故选：A.
2．（23-24 高一下·广东清远·期中）已知复数 = ( 1) + ( + 3)i，其中 i 为虚数单位．若复数 z 为实数，
则 m 的值为（ ）
A． = 1 B． = 1 C． = 3 D． = 3
【解题思路】根据复数的概念可得方程，进而即得.
【解答过程】因为复数 = ( 1) + ( + 3)i，复数 z 为实数，
则 + 3 = 0，解得 = 3.
故选：D.
3．（2024·吉林·三模）已知复数 1 = 2 1 + ( + 1)i， 2 = cos2 + isin ，下列说法正确的是（ ）
A．若 1纯虚数，则 = 1
B．若 2为实数，则 = π， ∈ Z
C 4．若 1 = 2，则 = 0或 = 3
D．若 1 ≥ 0，则 m 的取值范围是( ∞, 1] ∪ [1, + ∞)
【解题思路】
根据复数的相关概念，列出相应的等式或方程，求得参数，即可判断答案.
2
【解答过程】对于 A，复数 1 = 2 1 + ( + 1)i
1 = 0
是纯虚数，则 + 1 ≠ 0 , ∴ = 1，A 正确；
对于 B，若 2 = cos2 + isin 为实数，则sin = 0，则 = π， ∈ Z，B 正确；
2C = 1 = cos2 对于 ，若 ，则 ，则 21 2 + 1 = sin 1 = 1 2( + 1)
2，
解得 = 0或 = 43，C 正确；
对于 D，若 1 ≥ 0，则 2 1 ≥ 0，且 + 1 = 0，则 = 1，D 错误，
故选：ABC.
4．（23-24 高一下·青海西宁·期末）若复数 = 2 2 ( + 1)i( ∈ ,i为虚数单位)为纯虚数，则 的值
为 2 .
【解题思路】根据纯虚数的定义即可求解.
2 2 = 0
【解答过程】由 是纯虚数，有 ( + 1) ≠ 0 ，
解得 = 2.
故答案为：2.
5．（2025 高一·全国·专题练习）当实数 取什么值时，复数 = ( 2 + 5 + 6) + ( 2 2 8)i是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数；
(4)0.
【解题思路】（1）首先得到复数的实部与虚部，根据虚部为0时复数为实数，求出参数的值；
（2）虚部不为0时复数为虚数，求出参数的值；
（3）实部为0且虚部不为0时复数为纯虚数，求出参数的值；
（3）实部为0且虚部为0时复数为0，求出参数的值；
【解答过程】（1）复数 = ( 2 + 5 + 6) + ( 2 2 8)i ( ∈ R)的实部为 2 +5 + 6，虚部为 2
2 8，
若 2 2 8 = 0，解得 = 4或 = 2，
所以当 = 4或 = 2时复数 为实数；
（2）若 2 2 8 ≠ 0，解得 ≠ 4且 ≠ 2，
所以当 ≠ 4且 ≠ 2时复数 为虚数；
2
3 + 5 + 6 = 0（ ）若 2 2 8 ≠ 0 ，解得 = 3，
所以当 = 3时复数 为纯虚数；
2
4 + 5 + 6 = 0（ ）若 2 2 8 = 0 ，解得 = 2，
所以当 = 2时复数 为0.
6．（23-24 高一下·安徽·阶段练习）复数 = 2 6 7 + ( 2 4 21)i，其中 ∈ .
(1)若复数 z 为实数，求 a 的值；
(2)若复数 z 为虚数，求 a 的取值范围；
(3)若复数 z 为纯虚数，求 a 的值
【解题思路】（1）由已知可得 2 4 21 = 0，计算即可；
（2）由已知可得 2 4 21 ≠ 0，计算即可；
23 6 7 = 0（ ）由已知可得 2 4 21 ≠ 0 ，计算即可.
【解答过程】（1）由复数 z 为实数，得 2 4 21 = 0，
解得 = 7或 = 3
（2）由复数 z 为虚数，得 2 4 21 ≠ 0，
解得 ≠ 7且 ≠ 3
2
（3 6 7 = 0）由复数 z 为纯虚数，得 2 4 21 ≠ 0
解得 = 1.
【类型 2 根据复数的相等条件求参数】
7．（23-24 高一下·福建漳州·期末）已知复数(1 + i)i = 2 i， ， ∈ R，则 = （ ）
A．3 B．1 C． 1 D． 3
【解题思路】利用复数相等的充要条件，求出 、 ，进而求出 .
【解答过程】 ∵ (1 + i)i = 2 i， ∴ + i = 2 i，
∴ = 2 = 1 ， ∴ = 1.
故选：C.
8．（23-24 高一下·山西阳泉·期末）已知复数 1 = + (4 2)i, 2 = 2cos + ( + 3sin )i,( , , ∈ )，且
1 = 2，则 的取值范围是（ ）
A 9． ,1 B 9． ,7
16 16
C． 9 , + ∞ D．[1,7]
16
3 2 9
【解题思路】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得 = 4 sin 8 16，再根据正弦函数的取值范
围与二次函数的性质可得 的取值范围.
【解答过程】复数 1 = + (4 2)i, 2 = 2cos + ( + 3sin )i,( , , ∈ )，且 1 = 2，
= 2cos 3 2 9
所以 2 24 2 = + 3sin ，则 = 4 4cos 3sin = 4sin 3sin = 4 sin 8 16
3 9
因为 ∈ ，所以sin ∈ [ 1,1]，当sin = 8时， min = 16，当 = 1时， max = 7
所以 9的取值范围是 ,7 .
16
故选：B.
9．（23-24 高一下·江苏扬州·期中）下列命题中，错误的是（ ）
A．若 1， 2 ∈ C，且 1 2 < 0，则 1 < 2
B．若 + i=1+i（ , ∈ C），则 = = 1
C．若 = + i（ , ∈ ），则当且仅当 = 0且 = 0时， = 0
D．若 2 21， 2 ∈ ，且 1 + 2 = 0，则 1 = 2 = 0
【解题思路】根据复数的定义，结合举例，判断选项.
【解答过程】A.设 1 = 1 + i， 2 = 2 + i，满足 1 2 < 0，但 1, 2不能比较大小，故错误；
B.因为 , ∈ ，所以不能判断 = = 1，比如： = i， = i，故错误；
C. 当且仅当 = 0且 = 0时， = 0，故正确；
D.当 = 1， = i，满足 2 + 21 2 1 2 = 0，故错误.
故选：ABD.
10．（23-24 高一下·西藏拉萨·期末）已知 , ∈ R，i 为虚数单位，且( + 2) + i = 1 + i，则 + = 0 .
【解题思路】
利用复数相等列方程组求解.
【解答过程】因为( + 2) + i = 1 + i + 2 = 1，则 = 1 + = 0，
故答案为：0.
11．（24-25 高一·上海·课堂例题）已知(2 2 5 + 2) + 2 + 2 i = 0，其中 、 ∈ ．求 x、y 的值．
【解题思路】利用复数的相等列出方程组，求解即可．
【解答过程】解： ∵ (2 2 5 + 2) + ( 2 + 2)i = 0，
∴ 2 2 5 + 2 = 0且 2 + 2 = 0，
1
解得： = 2或 = 2且 = 2或 = 1，
∴ = 2 = 2 =
1 = 1
= 2 或 = 1 或 2 或 2 ． = 2 = 1
12．（24-25 高一·全国·课后作业）求满足下列条件的实数 x，y 的值：
(1) 1 + 4 + 2 i = 5 + 14i；
2 3
(2)( + ) i = 2 + 15i；
(3)( 2 2) + 2 2 + 5 + 2 i = 0.
【解题思路】（1）（2）根据实部与虚部对应关系解方程即可；（3）令实部为 0 且虚部为 0 解方程即可.
1 2 = 5
【解答过程】（1）由 + 4 + i = 5 + 14i 2 = 4可得 2
2 3 4 + = 14 ，解得 = 3 ；
3
2 ( + ) i = 2 + 15i + = 2 = 5 = 3（ ）由 可得 = 15 ，解得 = 3 或 = 5
2
（3）由( 2 2) + 2 2 + 5 + 2 i = 0 2 = 0
1
可得 2 2 + 5 + 2 = 0 ，解得 = 2或 1， = 2或 2，故答案为：
= 2
= 2 = 1
1 = 1 = 或 = 2 或 = 1 或 = 2 .
2 2
【类型 3 由复数的模求参数】
13．（2024·河南·一模）若| i| = |1 2i|，则实数 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据复数的模即可得到方程，解出即可.
【解答过程】因为| i| = |1 2i|，所以( )2 + 12 = 12 + ( 2)2，所以 = 4．
故选：D.
14．（23-24 高一下·河南南阳·期末）已知 , ∈ ，复数 1 = + 3i， 2 = 1 +4 i，且 2为纯虚数，| 2|
= 1，则 + = （ ）
A．0 B．0 或-2 C．1 D．1 或-2
【解题思路】先表示出 2，再根据 2为纯虚数，| 2| = 1可建立方程求出 , 即可得出答案.
【解答过程】因为 1 = + 3i，所以 2 = 1 +4 i = + 3i +4 i = ( + 4) + (3 )i，
+ 4 = 0
因为 2为纯虚数，| 2| = 1，所以 3 ≠ 0
= 4 = 4
，解得 或 ，
( + 4)2 + (3 )2 = 1 = 2 = 4
所以 + = 2或 0.
故选：B.
15．（2024 高一下·全国·专题练习）(多选)已知复数 = ( 3) + ( 1)i的模等于 2，则实数 m 的值可以为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】运用复数的模长公式直接求解
【解答过程】依题意可得 ( 3)2 + ( 1)2 = 2，
解得 m＝1 或 m＝3.
故选：AC.
16．（23-24 高一下·广东湛江·期末）已知复数 1 = + i， 2 = 4 + i ， ∈ ，若| 1| < 2，则 的取值
范围是 ( 4,4) ．
【解题思路】复数本身没有大小，但其模长有大小，根据题意可得 2为实数，又模长的计算公式解不等式即
可得答案.
【解答过程】因为| 1| < 2，所以 2为实数，故 = 0，
又 2 + 2 < 4，即| | < 4，所以 4 < < 4，
则 的取值范围是( 4,4).
故答案为：( 4,4).
17．（23-24 高一下·河南南阳·期末）已知复数 = ( 2 + 6) + ( 2 + 2)i( ∈ )在复平面内所对应的
点为 A.
(1)若点 A 在第二象限，求实数 m 的取值范围；
(2)求| |的最小值及此时实数 m 的值.
【解题思路】（1）由点 A 在第二象限，列出不等式组求解即可；
（2）由模的公式得| |2 = ( 2 + 6)2 + ( 2 + 2)2，令 2 + 2 = ，利用二次函数的性质求出最小
值.
2 + 6 < 0
【解答过程】（1）由 2 + 2 > 0 ，解得 3 < < 2或1 < < 2.
（2）| |2 = ( 2 + 6)2 + ( 2 + 2)2，
2
令 2 + 2 = 1 9 9，∵ = + 2 4，∴ ∈ , + ∞ ，4
则| |2 = 2 2 8 + 16 = 2( 2)2 +8，
所以当 = 2，即 = 1± 17时，有最小值2 2.2
18．（23-24 高一下·山东聊城·期中）已知 1 = + 2i， 2 = 3 4i（ ∈ R,i为虚数单位）.
(1)若 1 2是纯虚数，求实数 的值；
(2)若 1 2在复平面上对应的点在第二象限，且| 1| ≤ 13，求实数 的取值范围.
【解题思路】（1）根据复数的乘法，结合纯虚数的定义，可得答案；
（2）根据复数模长公式，整理不等式，根据复数的几何意义，建立不等式组，可得答案.
【解答过程】（1） 1 2 = ( + 2i) (3 4i) = (3 + 8) + ( 4 + 6)i
根据题意 1
3 + 8 = 0 8
2是纯虚数，故 4 + 6 ≠ 0 ，解得： = 3；
（2）由| 1| ≤ 13，得： 2 +4 ≤ 13，即 2 ≤ 9，从而 3 ≤ ≤ 3，
由于 1 2在复平面上对应的点在第二象限，
3 + 8 < 0 8
故 4 + 6 > 0 ，解得： < 3，
8
综上，实数 的取值范围为 3 ≤ < 3.
【类型 4 根据复数的几何意义求参数】
19．（23-24 高一下·云南曲靖·期中）复数 = (2 ) + ( 1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数
的取值范围是（ ）
A．(2, + ∞) B．(0, + ∞) C．( ∞,1) D．( 1, + ∞)
【解题思路】根据复数的几何意义即可得解.
2 < 0 > 2
【解答过程】根据题意得 1 > 0 > 1 > 2 ，
所以实数 的取值范围是(2, + ∞).
故选：A.
20．（23-24 高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点位于四象
限时，实数 的取值范围是（ ）
A．( 2,7) B．( 2,3) ∪ (5,7) C．(3,5) D．(5,7)
【解题思路】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得解.
【解答过程】由已知复平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点位于四象限，
2
8 + 15 > 0 < 3或 > 5则 2 5 14 < 0 ，即 2 < < 7 ，
即 ∈ ( 2,3) ∪ (5,7)，
故选：B.
21．（23-24 高一下·山东青岛·期末）已知复平面内表示复数： = + 1 + ( 1)i( ∈ R)的点为 ，则下
列结论中正确的为（ ）
A．若 ∈ R，则 ≠ 1 B．若 在直线 = 2 上，则 = 3
C．若 为纯虚数，则 = 1 D．若 在第四象限，则 1＜ ＜1
【解题思路】根据复数的基本概念直接判断选项即可.
【解答过程】对于 A，若 ∈ R，则 1 = 0，得 = 1，故 A 错误；
对于 B，因为 ( + 1, 1)在直线 = 2 上，所以 1 = 2( + 1)，则 = 3，故 B 错误；
对于 C，若 为纯虚数，则 + 1 = 0，即 = 1，此时虚部不为 0，故 C 正确；
+ 1 0
对于 D，若 ( + 1, 1)在第四象限，则 ＞ 1＜0 ，解得 1＜ ＜1，故 D 正确.
故选：CD.
22．（23-24 高一下·山东临沂·期中）若复数 = ( 2 + 6) + ( 2 4 + 3)i（其中i为虚数单位），当 对
应的点在第三象限时，则实数 的取值范围为 ( 3,1) ．
【解题思路】根据 对应的点在第三象限，则实部虚部均小于0列不等式即可求解.
2 + 6 < 0
【解答过程】由题意得 ( 2 4 + 3) < 0 ，解得 3 < < 1，
故答案为：( 3,1).
23．（24-25 高一·上海·课堂例题）求实数 m 的值或取值范围，使得复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)
i在复平面上所对应的点 分别位于
(1)实轴上；
(2)虚轴上；
(3)第四象限．
【解题思路】（1）根据题意可得 2 5 14 = 0，运算求解即可；
（2）由 2 8 + 15 = 0求 m，代入 验证，即可得结果；
2 8 + 15 > 0
（3）由 2 5 14 < 0 求出 m 的范围即可.
【解答过程】（1）由题意可得： 2 5 14 = 0，解得 = 7或 = 2.
（2）由题设， 2 8 + 15 = ( 3)( 5) = 0，可得 = 3或 = 5，
当 = 3时， = 20i对应点在虚轴上；
当 = 5时， = 14i对应点在虚轴上；
综上， = 3或 = 5.
2
3 8 + 15 = ( 3)( 5) > 0（ ）由题设 2 5 14 = ( 7)( + 2) < 0 ，可得 ∈ ( 2,3) ∪ (5,7).
24．（23-24 高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点分别满
足下列条件：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一象限或第三象限；
(3)位于直线 = 上．求实数 的取值范围．
【解题思路】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得；
（2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得；
（3）由题意可得 2 8 + 15 = 2 5 14，计算即可得.
【解答过程】（1）由题意，复数 在复平面内对应的点为( 2 8 + 15, 2 5 14)．
2 8 + 15 > 0 > 5 < 3
当点位于第四象限时，则 或 2 5 14 < 0 ，即 2 < < 7 ，
故 2 < < 3或5 < < 7；
（2）当点位于第一象限或第三象限时，
则( 2 8 + 15)( 2 5 14) > 0，
即( 3)( 5)( 7)( + 2) > 0，
故 < 2或3 < < 5或 > 7．
（3）当点位于直线 = 上，则 2 8 + 15 = 2 5 14 = 29，解得 3 ．
【类型 5 根据复数的四则运算结果求参数】
25．（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）复数 1 = + 3i， 2 = 4 + i， , 为实数，若 1 + 2为实数，
1 2为纯虚数，则 + = （ ）
A． 7 B．7 C． 1 D．1
【解题思路】由 1 + 2为实数， 1 2为纯虚数列方程求出 , ，进而可得 + 值.
【解答过程】因为 1 + 2 = 4 + (3 + )i为实数，所以3 + = 0，即 = 3，
+ 4 = 0
又 1 2 = + 4 + (3 )i为纯虚数，所以 3 ≠ 0 ，即 = 4且 ≠ 3，
= 4
综上可知 = 3 ，所以 + = 7.
故选：A.
26 i．（24-25 高二下·四川绵阳·阶段练习）已知i为虚数单位，若复数 = 2 i的实部与虚部相等，则实数 的
值为（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
i
【解题思路】根据复数的除法运算，求得 = 2 i的实部和虚部，解方程即可求得答案.
【解答过程】由题意可得 = i = ( i)(2+i) = 2 +1+( 2)i2 i 5 5 ，
2 +1 = 2故 5 5 ，解得 = 3 ，
故选：A.
27．（2024·福建漳州·一模）若(1 + i) + i = 4i， ， ∈ ，则（ ）
A． = 1 B． = 4 C． = 4 D． = 0
【解题思路】根据复数的加法结合复数相等求 , ，进而逐项分析判断.
【解答过程】由题意可得：(1 + i) + i = + ( + )i = 4i，
= 0 = 0
则 + = 4 ，解得 = 4 ，可得 = 4, = 0，
故 BCD 正确，A 错误.
故选：BCD.
28．（2024· 3 2i湖南·模拟预测）已知i是复数的虚数单位，且 i = + i ( , ∈ R)，则 + 的值为 5 ．
3 2i
【解题思路】计算出 i ，从而求出 ， 以及 + 的值.
3 2i (3 2i)i 3i+2
【解答过程】因为 i = i2 = 1 = 2 3i，
所以 = 2， = 3，
所以 + = 5，
故答案为： 5.
29．（24-25 高一·上海·课堂例题）已知复数 1 = ( 2 + 2) + ( 2 1)i， 2 = ( 6) + ( 2 + )i，其中
∈ ．若 1 + 2 = 2 + i，求 的值．
【解题思路】利用复数的加法运算求得 1 + 2，再由复数相等的条件列式求解．
【解答过程】 ∵ 1 = ( 2 +2) + ( 2 1)i， 22 = ( 6) + ( + )i，其中 ∈ ．
若 21 + 2 = 2 + i，则( +2) + ( 2 1)i +( 6) + ( 2 + )i = 2 + i，
∴ ( 2 + 4) + ( 2 1)i = 2 + i，
2 + 4 = 2
则 2 1 = 1 ，解得 = 2．
30．（23-24 高一下·湖北咸宁·期末）已知复数 = 2 + 2 + ( 1)i( ∈ R)，其中i为虚数单位．
(1)若 是纯虚数，求实数 的值；
+i
(2)若 = 2，设 i = + i( , ∈ )，试求 + 的值．
【解题思路】（1）根据纯虚数的定义求解即可；
+i
（2）由 = 2，则 = 4 + i，再通过复数的乘除法计算 i即可.
【解答过程】（1）由题意可得： 2 + 2 = 0，且 1 ≠ 0，
解得 = 2，
所以 的值为 2；
（2）若 m＝2，则 = 4 + i，
+i 4+2i 2+i (2+i)2 3+4i
所以 i = 4 2i = 2 i = (2 i)(2+i) = 5 = + i，
3 4
所以 = 5， = 5，
所以 + = 75.
【类型 6 根据复数范围内方程的根求参数】
31．（24-25 高三上·江西赣州·阶段练习）已知2 i（i是虚数单位）是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的
一个根，则 + = （ ）
A．9 B．1 C．-7 D．2i 5
【解题思路】把方程的根代入方程，利用复数相等的列方程组求解．
【解答过程】已知2 i(i是虚数单位）是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ R)的一个根，
(2 i)2 + (2 i) + = 0 4 4i 1 + 2 i + = 0 3 + 2 + = 0则 ，即 ，即 4 = 0 ，
= 4
解得 = 5 ，故 + = 1．
故选：B．
32．（23-24 高一下·上海黄浦·期末）已知2 + i（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程 2 + + = 0的一
个根，那么 p，q 的值分别是（ ）
A． = 4, = 5 B． = 4, = 3
C． = 4, = 5 D． = 4, = 3
【解题思路】将2 + i代入方程，即可求解.
【解答过程】由题意可知，(2 + i)2 + (2 + i) + = 0，
则3 + 2 + + (4 + )i = 0，
3 + 2 + = 0
即 4 + = 0 ，得 = 4， = 5.
故选：A.
33．（2024·浙江温州·三模）已知 21, 2是关于 的方程 + + = 0( , ∈ )的两个根，其中 1 = 1 + i，则
（ ）
A． 2 21 = 2 B． 1 = 2 C． = 2 D． = 2
【解题思路】根据虚根成对原理得到 2 = 1 i，即可判断 A，再根据复数代数形式的乘法运算判断 B，利用
韦达定理判断 C、D.
【解答过程】因为 1, 2是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的两个根且 1 = 1 + i，
所以 2 = 1 i，即 1 = 2，故 A 正确；
21 = (1 + i)2 = 2i， 22 = (1 i)2 = 2i，所以 2 21 ≠ 2，故 B 错误；
因为 1 + 2 = (1 + i) + (1 i) = 2 = ，所以 = 2，故 C 正确；
又 1 2 = (1 + i)(1 i) = 12 i2 = 2 = ，故 D 正确.
故选：ACD.
34．（23-24 高一下·福建漳州·期末）复数1 + 2i是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，则 + = 1 .
【解题思路】复数的虚数根是以共轭复数的形式成对出现，结合韦达定理即可得解.
【解答过程】因为复数1 + 2i是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，
所以复数1 2i也是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，
所以 + = (1 + 2i + 1 2i) + (1 + 2i)(1 2i) = 2 + 1 + 2 = 1.
故答案为：1.
35．（23-24 高一下·上海·期末）已知关于 的实系数一元二次方程 2 2 + = 0.
(1)若方程有一个根1 + 2i（i是虚数单位），求 的值；
(2)若方程有两虚根 1, 2，且| 1 2| = 3，求 的值.
【解题思路】（1）由已知条件得1 2i是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解.
（2）先设 1 = + i, 2 = i, 、 ∈ R，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解.
【解答过程】（1）由题意可知1 2i是方程的另一复数根，
2
所以(1 2i)(1 + 2i) = 1 ( 2i) = 1 + 2 = 3 = ，
所以 = 3.
（2）设 1 = + i, 2 = i, 、 ∈ R，
则由题意 1 + 2 2 2 2 22 = 2 = 2, 1 2 = i = + = 且Δ = 4 4 < 0，
所以 = 1, 2 = 1, > 1，
所以| 1 2| = |2 i| = (2 )2 = 4 2 = 4( 1) = 3，
13
解得 = 4 .
36．（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知关于 x 的方程 2 + + = 0（ ∈ R）的两根为 、 ，求实数 m
的值.
(1)若| | = 3，求 m 的值；
(2)若| | + | | = 3，求 m 的值.
【解题思路】（1）根据实系数一元二次方程的根的系数关系计算求参；
（2）根据实系数一元二次方程的根的系数关系计算求参.
【解答过程】（1）若 、 为实数，
则Δ = 1 4 ≥ 0，即 ≤ 14.
+ = 1,
由韦达定理可得 = ,
所以| | = ( + )2 4 = 1 4 = 3，
解得 = 2，符合题意.
1若 、 为虚数，则Δ = 1 4 < 0，即 > 4.
+ = 1,
由韦达定理可得 = .
设 = + i， = i，a、 ∈ 且 > 0，
3
则| | = |2 i| = 2 = 3，解得 = 2.
因为 + = 2 = 1 1，所以 = 2，
2 2
所以 = = ( + i)( i) = 2 + 2 = 1 + 3 =
5
2 2 2，符合题意.
m -2 5综上， 的值为 或2.
（2）①当 1、 为实数，即 ≤ 4时，
(| | + | |)2 = 9，即 2 + 2 +2| | = 9，所以( + )2 2 + 2| | = 9，所以1 2 + 2| | = 9.
0 ≤ ≤ 1当 4时无解；当 < 0时， = 2.
② 1当 、 为一对共轭虚数，即 > 4时， = .
3
由| | + | | = 3，可知|| | = 2，
则 = = | |2 = 94.
9
综上，m 的值为-2 或4.
