专题 7.6 复数全章八大压轴题型归纳（拔尖篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 复数的相等
1．（2024 高一·全国·专题练习）已知复数 1 = ( + 2 ) + ( )i, 2 = 4 + (2 + 1)i( , ∈ R)，当 1 = 2
时， + = （ ）
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．（23-24 高三上·陕西延安·期中）已知 a， ∈ ，复数 1 = 1 + i， 2 = 3i（i 为虚数单位），若 1 =
2，则 + = （ ）
A．1 B．2 C．－2 D．－4
3．（24-25 高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数 x，y 的值：
(1)( 2 ) (3 + )i = 3 6i；
(2)( + 3) + ( 2)i = 0；
(3) + + 4i = 2 + 2i；
2
(4) 6 +1 +(
2 2 3)i = 0.
4．（23-24 高一下·河北·期末）已知复数 = 4 21 +( 2)i， 2 = + sin + (cos 2)i，其中 是虚数单
位， , , ∈ R．
(1)若 1为纯虚数，求 的值；
(2)若 1 = 2，求 的取值范围．
题型 2 复数的模的几何意义
1．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知复数 z 满足| + 3i| = | i|，则| + 1 + 2i|的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． 3 D． 5
2．（24-25 高二上·广西·阶段练习）设 ∈ C，满足2 ≤ | + i| ≤ 3，其在复平面对应的点为 ，求点 构成的
集合所表示的图形面积（ ）
A．1 B．5 C．π D．5π
3．（2024 高一下·全国·专题练习）当复数 满足下列条件时，复数 在复平面内的对应点 的集合是什么图
形？
(1)| | = 2；
(2)2 < | | < 3．
4．（24-25 高一·全国·单元测试）已知复数 满足| + 2 2i| = 2，且复数 在复平面内的对应点为 ．
(1)确定点 的集合构成图形的形状；
(2)求| 1 + 2i|的最大值和最小值．
题型 3 复数加、减法的几何意义的应用
1．（24-25 高一下·河南郑州·阶段练习）复数6 + 5i与 3 + 4i分别表示向量 与 ，则表示向量 的复数
为（ ）
A．3 + 9i B．2 + 8i C． 9 i D．9 + i
2．（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O 为原点，四边形 OABC 是复平面内的平行四边形，且 A，B，
C 三点对应的复数分别为 z1，z2，z3，若 1 = 1, 3 = 2 + i，则 z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
3．（23-24 高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形 ，顶点 , , 分别表示0,4 + 3i, 3 + 5i，试
求：
(1)对角线 所表示的复数；
(2)求 点对应的复数.
4．（24-25 高一·全国·课后作业）已知平行四边形 ABCD 中， 与 对应的复数分别是 3＋2i 与 1＋4i，两
对角线 AC 与 BD 相交于 P 点.
（1）求 对应的复数；
（2）求 对应的复数；
（3）求△APB 的面积.
题型 4 根据复数的四则运算结果求复数特征
1．（24-25 1+ i高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数 z 满足 1 i = 1 + 2i，则复数 z 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（23-24 高一下·湖南邵阳·期末）实数 > 1时，复数 (3 + i) (2 + i)在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知 1是复数， + 2i和1 i均为实数， 1 = + 1i，其中i是虚
数单位.
(1)求复数 的共轭复数 ;
(2)若复数 1在复平面内对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
4．（23-24 高一下·山东聊城·期中）已知复数 1， 2在复平面上对应的点分别为(0, 2)，(3,4)．
(1) 2若 = ，求 的共轭复数；1
(2)若复数 1 + 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
题型 5 复数范围内方程的根的问题
1．（24-25 高一下·河南·阶段练习）已知复数 满足(2 i) = 3 4i， = i， > 0，若 + 是关于 的方
程 2 + 13 = 0( > 0)的一个根，则 + 等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程 2 + i + 1 = 0（其中i为虚数单位）的两根分别为 1， 2，则有
（ ）
A 2 = 2 > 0 B + = C = D 1 2． 1 2 ． 1 2 1 2 ．|1 + 1| |1 + 2| ． = i1+ 2
3．（23-24 高一下·四川成都·期末）已知复数 = + 2 + ( 2 + 2)i，其中i为虚数单位， ∈ .
(1)若在复平面内复数 位于第二象限，求实数 的取值范围；
(2)当 = 1时， 是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，求 和 的值.
4．（23-24 高一下·上海杨浦·期中）已知关于 x 的实系数一元二次方程 2 + + 9 = 0.
(1)若复数 z 是该方程的一个虚根，且| | + = 4 2 2i，求 m 的值；
(2)记方程的两根为 1和 2，若| 1 2| = 2 3，求 m 的值.
题型 6 三角表示下复数的乘方与开方
1．（23-24 高二下·江苏无锡·期中）棣莫弗公式(cos + isin ) = cos + isin （其中 i 为虚数单位）是由
2023
法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 cos + isin6 6 在复平面内所对
应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（23-24 高二下·广东佛山·期末）在复平面内，复数 = + i( , ∈ )对应向量为 （ 为坐标原点），
设| | = ，以射线 为始边， 为终边逆时针旋转所得的角为 ，则 = (cos + isin )，法国数学家棣莫
弗发现棣莫弗定理： 1 = 1(cos 1 + isin 1)， 2 = 2(cos 2 + isin 2)，则 1 2 = 1 2
[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： = [ (cos + isin )] = (cos + isin
10 )( ∈ )，则( 1 + 3i) = （ ）
A．1024 1024 3i B． 1024 + 1024 3i C．512 512 3i D． 512 + 512 3i
3．（24-25 高一上·上海·课堂例题）计算：
3
(1) 2 cos π + isin π3 3 ；
12
(2)( 3 i) ．
4．（23-24 高一下·山东青岛·期末）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 = + i对应复平面内
的点 Z，设∠ = ，| | = ，则任何一个复数 = + i都可以表示成： = (cos + isin )的形式，这
种形式叫做复数三角形式，其中 r 是复数 z 的模，θ 称为复数 z 的辐角，若0 ≤ < 2π，则 θ 称为复数 z 的辐
角主值，记为 argz．复数有以下三角形式的运算法则：若 = (cos , + isin ), = 1,2, ，则： 1 2
= 1 2 [cos( 1 + 2 + + ) + isin( 1 + 2 + + )]，特别地，如果 1 = 2 = =
(cos + isin )那么[ (cos + isin )] = (cos + isin )这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结
论解答下面的问题：
(1)求复数 = 1 + cos + isin , ∈ (π,2π)的模| |和辐角主值 argz（用 θ 表示）；
(2)设 ≤ 2024, ∈ N，若存在 ∈ R满足(sin + icos ) = sin + icos ，那么这样的 n 有多少个？
题型 7 复数乘、除运算的几何意义的应用
1．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）设复数 1, 2对应的向量分别为 1, 2, 为坐标原点，且 1 = 2 + 2
i 3π 4π，若把 1绕原点顺时针旋转 4 ，把 2绕原点逆时针旋转 3 ，所得两向量的终点重合，则 2 = （ ）
A．1 3i B． 1 + 3i C． 3 i D． 3 + i
2．（23-24 高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数 = + i( , ∈ )和向量 进行一一对应.现把
与复数2 + i对应的向量绕原点 按顺时针方向旋转90 ，所得的向量对应的复数为（ ）
A．1 2i B． 1 2i C．1 + 2i D． 1 + 2i
3．（23-24 高一·上海·课堂例题）设复数 3 4i在复平面上所对应的向量是 ，将 绕原点 顺时针旋转810°
得到向量 ′．求向量 ′所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示）
4．（23-24 高一下·四川内江·期末）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔 棣
莫弗 欧拉 高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.
材料：形如 = + i( , ∈ )的数称为复数的代数形式.而任何一个复数 = + i都可以表示成
(cos + isin ) = cos 的形式，即 = sin ，其中 为复数 的模， 叫做复数 的辐角，我们规定0 ≤ < 2π范围内
的辐角 的值为辐角的主值，记作arg .复数 = (cos + isin )叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得
出，若 1 = 1(cos 1 + isin 1), 2 = 2(cos 2 + isin 2)，则 1(cos 1 + isin 1) 2(cos 2 + isin 2) = 1 2
[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)].其几何意义是把向量 1绕点 按逆时针方向旋转角 2（如果 2 < 0，就要把
1绕点 按顺时针方向旋转角| 2|），再把它的模变为原来的 2倍.
请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将 = 1 3i写成三角形式；
(2)设复数 1 = 2 3i, 2 = 2 + i, 3 = + i，且| 3| = 1.若复数 1 2在复平面上对应的点分别为 ，且
为复平面的坐标原点.向量 逆时针旋转90 后与向量 重合，求实数 ， 的值；
(3)已知单位圆以坐标原点 为圆心，点 为该圆上一动点（纵坐标大于 0），点 (2,0)，以 为边作等边
△ ，且 在 上方.求线段 长度的最大值.
题型 8 复数综合
1．（23-24 高一下·上海·阶段练习）已知i为虚数单位，复数 满足| | = 1．则|( + 1)( i)|取最大值时，在
复平面上以 对应的点， ( 1,0), (0,1)为顶点的三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（23-24 高二下·浙江台州·期末）设 ( ) = 33 + 22 + 1 + 0（ 0, 1, 2, 3 ∈ 且 3 ≠ 0），方程 ( ) = 0
在复数集 C 内的三个根为 1, 2, 3，可以将上述方程变形为 3( 1)( 2)( 33) = 0，展开得到 3 3(
1 + 2 + 3) 2 + 3( 1 2 + 2 3 + 3 1) 3 1 2 3 = 0，比较该方程与方程 ( ) = 0，可以得到 1 + 2 +
= 2
3 , 1 2 +
1
2 3 + 3 1 = , 1 2 3 =
0
．已知 (i) = 1 + i（i 是虚数单位），且tan ,tan ,tan 是 ( ) = 03 3 3
的三个实根，则tan( + + ) = （ ）
A．1 B． 1 C．2 D． 2
3．（23-24 高一下·湖南长沙·期末）任意一个复数 的代数形式都可写成复数三角形式，即 = + i =
(cos + isin )，其中i为虚数单位， = | | = 2 + 2 ≥ 0, ∈ [0,2π).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗
（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为： 1 = 1(cos 1 + isin 1), 2 = 2(cos 2 + isin 2)，
则： 1 2 = 1 2[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)].如果令 1 = 2 = = = ，则能导出复数乘方公式： =
(cos + isin ).请用以上知识解决以下问题.
(1)试将 = 3 3i写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：sin3 = 3sin 4sin3 ;cos3 = 4cos3 3cos ；
(3)计算：cos4 + cos4( + 120 ) + cos4( 120 )的值.
4．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）我们把 20 + 1 + 2 + + = 0（其中 * ≠ 0, ∈ ）称为一元
次多项式方程.代数基本定理：任何一元 ( ∈ *)次复系数多项式方程（即 0, 1, 2, , 为实数）在复数集
内至少有一个复数根；由此推得，任何一元 ( ∈ *)次复系数多项式方程在复数集内有且仅有 个复数根
（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元 ( ∈ *)次复系数多项式在复数集内一定可
以分解因式，转化为 个一元一次多项式的积.即 0 + 1 + 2 2 + + = ( 1) 1( 2) 2
( ) ，其中 , ∈ *， + + + = , , , , 为方程 + + 2 + + 1 2 1 2 0 1 2 = 0的根.进
一步可以推出：在实系数范围内（即 0, 1, 2, , 为实数），方程 0 + 1 + 2 + + 2 = 0有实数根，
则多项式 + 2 30 1 + 2 + + 必可分解因式.例如：观察可知， = 1是方程 1 = 0的一个根，则
( 1)一定是多项式 3 1的一个因式，即 3 1 = ( 1)( 2 + + )，由待定系数法可知， = = = 1.
(1)在复数集内解方程： 3 + 2 = 0；
(2)设 ( ) = 0 + + 2 + 3，其中 , , , ∈ *1 2 3 0 1 2 3 ，且 0 + 1 + 2 + 3 = 1.
（i）分解因式： ( 0 + 1 + 2 2 + 33 )；
（ii）记点 ( 0, 0)是 = ( )的图象与直线 = 在第一象限内离原点最近的交点.求证：当 1 +2 2 +3 3 ≤ 1
时， 0 = 1.专题 7.6 复数全章八大压轴题型归纳（拔尖篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 复数的相等
1．（2024 高一·全国·专题练习）已知复数 1 = ( + 2 ) + ( )i, 2 = 4 + (2 + 1)i( , ∈ R)，当 1 = 2
时， + = （ ）
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解题思路】根据复数相等求解即可.
= 6 + 2 = 4
【解答过程】依题意，得 = 2 + 1 ，解得
5
1 ， =
5
+ = 6 + 1所以 5 5 = 1.
故选：A.
2．（23-24 高三上·陕西延安·期中）已知 a， ∈ ，复数 1 = 1 + i， 2 = 3i（i 为虚数单位），若 1 =
2，则 + = （ ）
A．1 B．2 C．－2 D．－4
【解题思路】根据复数相等的定义列方程求解即可．
【解答过程】解：由 2 = 3i得
2 = + 3i，
∵ 1 = 2，
∴ 1 = = 3 ，
= 3
解得 = 1 ，
∴ + = 2．
故选：B．
3．（24-25 高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数 x，y 的值：
(1)( 2 ) (3 + )i = 3 6i；
(2)( + 3) + ( 2)i = 0；
(3) + + 4i = 2 + 2i；
2
(4) 6 +1 +(
2 2 3)i = 0.
【解题思路】（1）根据实部与虚部对应关系解方程即可；
（2）令实部为 0 且虚部为 0 解方程即可；
（3）根据实部与虚部对应关系解方程即可；
（4）令实部为 0 且虚部为 0 解方程即可.
= 15
【解答过程】（1）由( 2 ) (3 + )i = 3 6i 2 = 3，可得 73 + = 6 = 3
；
7
= 5
（2）由( + 3) + ( 2)i = 0 + 3 = 0，可得 2 = 0
2 ；
= 1
2
（3）由 + + 4i = 2 + 2i + = 2 = 2 = 2，可得 4 = 2 = 2 ，或 = 2 ；
2
2
6
4 6（ ）由 2 +1 +( 2 3)i = 0
= 0
，可得 +12 = 3. 2 3 = 0
4．（23-24 高一下·河北·期末）已知复数 1 = 4 2 +( 2)i， 2 = + sin + (cos 2)i，其中 是虚数单
位， , , ∈ R．
(1)若 1为纯虚数，求 的值；
(2)若 1 = 2，求 的取值范围．
【解题思路】（1）z1为纯虚数，则其实部为 0，虚部不为 0，解得参数值；
（2）由 z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得 关于 的函数表达式，根据sin 的范围求得参数取值范围.
【解答过程】（1）由 z1为纯虚数，
4 2 = 0
则 2 ≠ 0 ，解得 m＝－2.
2 = 4
2 = + sin ,
（ ）由 1 2，得 2 = cos 2,
2
∴ = 4 cos2 sin = (sin 1 ) + 112 4
∵ 1 ≤ sin ≤ 1，
∴ 1 11 9 11当sin = 2时， min = 4 ，当sin = 1时， max = 4 + 4 = 5，
∴ [11实数 的取值范围是 4 ,5].
题型 2 复数的模的几何意义
1．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知复数 z 满足| + 3i| = | i|，则| + 1 + 2i|的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． 3 D． 5
【解题思路】设复数 在复平面内对应的点为 ，由复数的几何意义可知点 的轨迹为 = 1，则问题转化为
= 1上的动点 到定点( 1, 2)距离的最小值，从而即可求解．
【解答过程】设复数 在复平面内对应的点为 ，
因为复数 满足| + 3i| = | i|，
所以由复数的几何意义可知，点 到点(0, 3)和(0,1)的距离相等，
所以在复平面内点 的轨迹为 = 1，
又| + 1 + 2i|表示点 到点( 1, 2)的距离，
所以问题转化为 = 1上的动点 到定点( 1, 2)距离的最小值，
当 为( 1, 1)时，到定点( 1, 2)的距离最小，最小值为 1，
所以| + 1 + 2i|的最小值为 1，
故选：A．
2．（24-25 高二上·广西·阶段练习）设 ∈ C，满足2 ≤ | + i| ≤ 3，其在复平面对应的点为 ，求点 构成的
集合所表示的图形面积（ ）
A．1 B．5 C．π D．5π
【解题思路】复数 = + i ( , ∈ R)，根据复数的几何意义可知，满足2 ≤ | + i| ≤ 3的点为两个圆所夹的
圆环（包括边界），根据两圆面积之差即可求出.
【解答过程】设复数 = + i ( , ∈ R)，则 + i = + ( + 1)i，| + i| = 2 + ( + 1)2.
则2 ≤ | + ( + 1)i| ≤ 3等价于2 ≤ 2 + ( + 1)2 ≤ 3，即有4 ≤ 2 + ( + 1)2 ≤ 9.
所以复平面对应的点为 ( , )表示复平面上以(0, 1)为圆心，以 2，3 为半径的两个圆所夹的圆环（包括边
界），故其面积为9π 4π = 5π．
故选：D.
3．（2024 高一下·全国·专题练习）当复数 满足下列条件时，复数 在复平面内的对应点 的集合是什么图
形？
(1)| | = 2；
(2)2 < | | < 3．
【解题思路】（1）根据复数的几何意义进行判断即可；
（2）根据复数的几何意义进行判断即可.
【解答过程】（1）∵| | = 2，∴| | = 2，
∴满足| | = 2的点 的集合是以原点为圆心，以 2 为半径的圆．
（2）不等式2 < | | < 3 | | > 2,可化为不等式组 | | < 3.
∵满足不等式| | > 2的点 的集合是以原点为圆心，
以 2 为半径的圆外部，
满足不等式| | < 3的点 的集合是以原点为圆心，
以 3 为半径的圆的内部，
∴满足2 < | | < 3的点 的集合是以原点为圆心，
分别以 2 和 3 为半径的两个圆所夹的圆环，但不包含圆环的边界．
4．（24-25 高一·全国·单元测试）已知复数 满足| + 2 2i| = 2，且复数 在复平面内的对应点为 ．
(1)确定点 的集合构成图形的形状；
(2)求| 1 + 2i|的最大值和最小值．
【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点 的集合构成图形的形状.
（2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案.
【解答过程】（1）设复数 2 + 2i在复平面内的对应点为 ( 2,2)，
则| + 2 2i| = | ( 2 + 2i)| = | | = 2，
故点 的集合是以点 为圆心，2 为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数1 2i在复平面内的对应点为 (1, 2)，则| 1 + 2i| = | |,如下图所示，
| | = (1 + 2)2 + ( 2 2)2 = 5，
则| 1 + 2i|的最大值即| |的最大值是| | + 2 = 7；
| 1 + 2i|的最小值即| |的最小值是| | 2 = 3．
题型 3 复数加、减法的几何意义的应用
1．（24-25 高一下·河南郑州·阶段练习）复数6 + 5i与 3 + 4i分别表示向量 与 ，则表示向量 的复数
为（ ）
A．3 + 9i B．2 + 8i C． 9 i D．9 + i
【解题思路】根据 = 及向量的复数表示，运算得到答案.
【解答过程】复数6 + 5i与 3 + 4i分别表示向量 与 ，
因为 = ，所以表示向量 的复数为(6 + 5i) ( 3 + 4i) = 9 + i.
故选：D.
2．（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O 为原点，四边形 OABC 是复平面内的平行四边形，且 A，B，
C 三点对应的复数分别为 z1，z2，z3，若 1 = 1, 3 = 2 + i，则 z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【解答过程】因为 O 为原点，四边形 OABC 是复平面内的平行四边形，
又因为 1 = 1, 3 = 2 + i，
所以由复数加法的几何意义可得，
2 = 1 + 3 = 1 2 + i = 1 + i.
故选：C.
3．（23-24 高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形 ，顶点 , , 分别表示0,4 + 3i, 3 + 5i，试
求：
(1)对角线 所表示的复数；
(2)求 点对应的复数.
【解题思路】（1）先由向量运算得 = ，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接
转成复数减法运算即可得解.
（2）先由向量运算得 = + ，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转
化成复数加法运算即可得解.
【解答过程】（1）因为 = ，
所以 所表示的复数为(4 + 3i) ( 3 + 5i) = 7 2i.
（2）因为 = + = + ，
所以 所表示的复数为(4 + 3i) + ( 3 + 5i) = 1 + 8i，
即 点对应的复数为1 + 8i.
4．（24-25 高一·全国·课后作业）已知平行四边形 ABCD 中， 与 对应的复数分别是 3＋2i 与 1＋4i，两
对角线 AC 与 BD 相交于 P 点.
（1）求 对应的复数；
（2）求 对应的复数；
（3）求△APB 的面积.
【解题思路】(1)平行四边形 ABCD 中，有 = 且 与 对应的复数分别是 3＋2i 与 1＋4i，即
对应的复数为－2＋2i
(2)同(1)，由于 = ，而 与 对应的复数分别是 3＋2i 与－2＋2i，即 对应的复数为 5
(3) 1 5平行四边形 ABCD 中，根据向量的关系得到 = ( 2, 2)、 = (2,0)，由向量数量积的坐标公式和几
5 17 4 17
何意义有| || |cos∠ = 4，解得 cos∠APB＝ 进而得到 sin∠APB＝ ，再由三角形面积公式17 17
= 1 2| || |sin∠ 求得面积为 5
【解答过程】由题意，画出平行四边形如下图示
（1）在平行四边形 ABCD 中，有 = +
∴有 = = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i
即 对应的复数是－2＋2i
（2）∵ = = (3＋2i)－(－2＋2i)＝5
即 对应的复数是 5
（3）∵ = 12 =
1 1
2 = ( 2, 2)
1 5
= 2 = ( 2 ,0)
∴ = 5 54，而| | =
17，
2 | | = 2
即 = | || |cos∠ = 17
5
2 cos∠ =
5
2 4
∴cos∠APB 17＝ ，故 sin∠APB 4 17＝
17 17
故 1 1 5 5 = 2| || |sin∠ = ×
17 × × 4 172 =2 2 17 2
即 △ 5的面积为2.
题型 4 根据复数的四则运算结果求复数特征
1．（24-25 1+ i高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数 z 满足 1 i = 1 + 2i，则复数 z 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
∵ 1+ i【解答过程】解： 复数 满足 1 i = 1 + 2i，
∴ 1 + i = (1 + 2i)(1 i)=1 i +2i 2i2=3 + i，
∴ i = 2 + i
∴ = 2+i = 2i+i
2
i i2 = 1 2i在复平面内所对应的点(1, 2)位于第四象限．
故选：D．
2．（23-24 高一下·湖南邵阳·期末）实数 > 1时，复数 (3 + i) (2 + i)在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】先将复数化为一般形式，结合 的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.
【解答过程】 ∵ (3 + i) (2 + i) = (3 2) + ( 1)i,
又 > 1，故3 2 > 1 > 0, 1 > 0,
故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
3．（23-24 高一下· 1陕西咸阳·阶段练习）已知 是复数， + 2i和1 i均为实数， 1 = + 1i，其中i是虚
数单位.
(1)求复数 的共轭复数 ;
(2)若复数 1在复平面内对应的点在第一象限，求实数 的取值范围.
【解题思路】（1）设 = + i( , ∈ )，再根据复数的除法运算及实数的定义求出 , ，再根据共轭复数的
定义即可得解；
（2）先求出复数 1，再根据复数的几何意义即可得解.
【解答过程】（1）设 = + i( , ∈ )，则 + 2i = + ( + 2)i，
∵ + 2i为实数， ∴ + 2 = 0，解得 = 2，
2i ( 2i)(1+i)∴ = +2 21 i 1 i = (1+i)(1 i) = 2 + 2 i为实数，
∴ 22 = 0，解得 = 2，
∴ = 2 2i，
∴ = 2 + 2i；
2 1 = + 1 i = 2 + 1 i = 2 +1 3 2（ ）由（ ）可知， 1 1 2 + 1 i， 1
∵ 复数 1在复平面内对应的点在第一象限，
2 +1 > 0
∴ 23 2 ，解得3 < < 1， > 0
1
2
故实数 的取值范围为 ,1 .
3
4．（23-24 高一下·山东聊城·期中）已知复数 1， 2在复平面上对应的点分别为(0, 2)，(3,4)．
(1) 2若 = ，求 的共轭复数；1
(2)若复数 1 + 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
【解题思路】（1）可得出： 1 = 2i， 2 = 3 + 4i，然后根据复数的除法运算得出复数 ，然后即可得出 的
共轭复数；
（2）进行复数的运算得出 1 + 2 = 3 + (4 2)i，然后根据条件得出关于 的不等式，然后解出 的范围
即可．
【解答过程】（1）根据题意知： 1 = 2i， 2 = 3 + 4i，
∴ = 2 = 3+4i = (3+4i)(2i) = 2 + 3 1 2i 4 2i，
∴ = 2 32i；
（2） 1 + 2 = 2i + (3 + 4i) = 3 + (4 2)i，且 1 + 2在复平面上对应的点在第四象限，
∴ 3 > 0 14 2 < 0 ，解答0 < < 2，
∴ 1实数 的取值范围为(0,2)．
题型 5 复数范围内方程的根的问题
1．（24-25 高一下·河南·阶段练习）已知复数 满足(2 i) = 3 4i， = i， > 0，若 + 是关于 的方
程 2 + 13 = 0( > 0)的一个根，则 + 等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】根据题意可得 + = 2 + 2i，进而可知2 + + 2i是方程的另一个根，利用韦达定理列式
求解即可.
= 3 4i = 3 4i【解答过程】因为(2 i) ，则 2 i = 2 i，
且 = i， > 0，则 + = 2 + 2i，
又因为 + 是关于 的方程 2 + 13 = 0( ∈ )的一个根，
可知2 + + 2i是方程的另一个根，
(2 + 2i)(2 + + 2i) = (2 + )2 + 4 = 13
由韦达定理可得 (2 + 2i) + (2 + + 2i) = 4 + 2 = ，
= 1 = 5
解得 = 6 或 = 6 （舍去），
所以 + = 7．
故选：C．
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程 2 + i + 1 = 0（其中i为虚数单位）的两根分别为 1， 2，则有
（ ）
A 1 2． 2 21 = 2 > 0 B． 1 + 2 = 1 2 C．|1 + 1| = |1 + 2| D． 1+ = i2
【解题思路】设方程 2 + i + 1 = 0的根为 = + i，将其代入方程中的 x 中，根据复数相等的条件，构造
方程组，解出 , .则两根 1, 2知道了，再逐项代入验证即可.
【解答过程】设方程 2 + i + 1 = 0的根为 = + i( , ∈ )，
代入方程，( + i)2 + i( + i) + 1 = 0,整理得( 2 2 + 1) + ( + 2 )i = 0，
2 2 + 1 = 0 = 0
故 + 2 = 0 ，则 = 1± 5 ，
2
不妨令 = 1+ 5i,， = 1 51 i，2 2 2
对于 A：因为 2 = 5 3, 2 = 3+ 5，即 2 ≠ 21 2 1 2，故 A 错误；2 2
对于 B： 1 + 2 = i ≠ 1 2 = 1，故 B 错误.
对于 C:|1 + | = |1 + 1+ 5 i|= 1 + ( 1+ 5 2) = 5 51 ,2 2 2
2
|1 + 2| = |1 + 1 5 i| = 1 + ( 1 5 ) = 5+ 5，2 2 2
因此，|1 + 1| ≠ |1 + 2|,故 C 错误.
D 1
2
对于 ： =
1 = i,故 D 正确.
1+ 2 i
故选:D.
3．（23-24 高一下·四川成都·期末）已知复数 = + 2 + ( 2 + 2)i，其中i为虚数单位， ∈ .
(1)若在复平面内复数 位于第二象限，求实数 的取值范围；
(2)当 = 1时， 是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，求 和 的值.
【解题思路】（1）根据复数对应的点所在象限建立不等式组求解即可；
（2）方程根 = 1 + 2i代入方程，根据复数相等建立方程组求解即可.
1 + 2 < 0【解答过程】（ ）由题意，得 2 + 2 > 0 ，
解得 < 2，
所以实数 a 的取值范围为 ∈ ( ∞, 2)．
（2）当 = 1时， = 1 2 ，
所以 = 1 + 2i，
所以(1 + 2i)2 + (1 + 2i) + = 0,
整理，得 + 3 + (4 + 2 )i = 0，
+ 3 = 0 = 2
所以 4 + 2 = 0 ，解得 = 5 ，
所以 = 7．
4．（23-24 高一下·上海杨浦·期中）已知关于 x 的实系数一元二次方程 2 + + 9 = 0.
(1)若复数 z 是该方程的一个虚根，且| | + = 4 2 2i，求 m 的值；
(2)记方程的两根为 1和 2，若| 1 2| = 2 3，求 m 的值.
【解题思路】（1）利用| |2 = ，结合韦达定理可求解.
（2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解.
【解答过程】（1）解：因为| |2 = = 9，所以| | = 3，因为| | + = 4 2 2i，所以 = 1 2 2i，
所以 = 1 + 2 2i，由韦达定理可得 = + = 2，所以 = 2；
（2）解：若方程的两根为实数根，则| 1 2| = ( 1 + 2)2 4 1 2 = 2 36 = 2 3，
解得 =± 4 3，
若方程的两根为虚数根，则设 1 = + i， 2 = i, , ∈ R，可得| 1 2| = |2 | = 2 3，
则 1 = + 3i， 2 = 3i， 21 2 = +3 = 9，所以 2 = 6，所以 =± 6，
由韦达定理可得 = 1 + 2 =± 2 6，所以 =± 2 6，
此时Δ = 2 36 < 0，满足题意，
综上， =± 2 6或 ± 4 3.
题型 6 三角表示下复数的乘方与开方
1．（23-24 高二下·江苏无锡·期中）棣莫弗公式(cos + isin ) = cos + isin （其中 i 为虚数单位）是由
2023
法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 cos + isin6 6 在复平面内所对
应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可．
cos π + isin π
2023
= cos2023π + isin2023π【解答过程】由棣莫弗公式知， 6 6 = cos 337π +
π + isin
6 6 337π +
π
6 6
π π
= cos(π+6) + isin(π+ ) =
3 1
6 2 2i，
2023
∴ 复数 cos π + isin π 16 6 在复平面内所对应的点的坐标为
3 , ，位于第三象限．
2 2
故选：C．
2．（23-24 高二下·广东佛山·期末）在复平面内，复数 = + i( , ∈ )对应向量为 （ 为坐标原点），
设| | = ，以射线 为始边， 为终边逆时针旋转所得的角为 ，则 = (cos + isin )，法国数学家棣莫
弗发现棣莫弗定理： 1 = 1(cos 1 + isin 1)， 2 = 2(cos 2 + isin 2)，则 1 2 = 1 2
[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： = [ (cos + isin )] = (cos + isin
10
)( ∈ )，则( 1 + 3i) = （ ）
A．1024 1024 3i B． 1024 + 1024 3i C．512 512 3i D． 512 + 512 3i
【解题思路】先将 = 1 + 3i表示为三角形式，然后结合棣莫弗定理求得正确答案.
【解答过程】由题意，得当 = 1 + i 2π3 时， = 2， = 3 ，
10 10
∴( 1 + 3i) = 2 cos 2 + isin 2 3 3
= 210 cos 20 + isin 20 ．
3 3
∵cos20
π π
3 = cos
1
7π π = cos3 = 2,sin
20 = sin 7π π = sin = 33 3 ，3 3 2
∴210 cos 20 + isin 20 = 210 1 + 3 i = 512 + 512 3i，
3 3 2 2
故选：D.
3．（24-25 高一上·上海·课堂例题）计算：
3
(1) 2 cos π + isin π3 3 ；
12
(2)( 3 i) ．
【解题思路】（1）利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得；
（2）将幂的底数 3 i化成三角形式，再利用复数三角形式的乘方运算法则计算即得.
π 3 3
【解答过程】（1）[ 2(cos + isin π )] = ( 2)3 3 (cosπ + isinπ) = 2 2．
12 12
（2）( 3 i) = [2(cos 11π + isin 11π )] = 2126 6 (cos22π + isin22π) = 2
12 = 4096．
4．（23-24 高一下·山东青岛·期末）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数 = + i对应复平面内
的点 Z，设∠ = ，| | = ，则任何一个复数 = + i都可以表示成： = (cos + isin )的形式，这
种形式叫做复数三角形式，其中 r 是复数 z 的模，θ 称为复数 z 的辐角，若0 ≤ < 2π，则 θ 称为复数 z 的辐
角主值，记为 argz．复数有以下三角形式的运算法则：若 = (cos , + isin ), = 1,2, ，则： 1 2
= 1 2 [cos( 1 + 2 + + ) + isin( 1 + 2 + + )]，特别地，如果 1 = 2 = =
(cos + isin )那么[ (cos + isin )] = (cos + isin )这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结
论解答下面的问题：
(1)求复数 = 1 + cos + isin , ∈ (π,2π)的模| |和辐角主值 argz（用 θ 表示）；
(2)设 ≤ 2024, ∈ N，若存在 ∈ R满足(sin + icos ) = sin + icos ，那么这样的 n 有多少个？
【解题思路】（1）利用复数的模公式求解，利用辐角公式求解；
（2）利用复数相等，结合 ≤ 2024, ∈ N求解.
【解答过程】（1）解：由 = 1 + cos + isin , ∈ (π,2π), π2 ∈ ,π ，2
得| | = (1 + cos )2 + sin2 = 2 + 2cos = 4cos2 = 2cos ，
2 2
∴ 1 + cos > 0,sin < 0，
∴ 3π
2 < arg < 2 ,tan =
sin
(argz) 2sin cos2 21+cos = = tan
2，1+cos
∵ ∈ π ,π , +
∈ 3π2 2 ,2π , ∴ argz = π +
2．2 2
2 (sin + cos ) = cos π + isin π = cos π（ ）由 2 2 + isin
π ，
2 2
∴ cos π + isin π = sin + icos ，
2 2
cos = sin
∵ 2 ，
sin = cos
2
∴ 2 , ∈ Z，解得 = 4 + 1，
∵ ≤ 2024, ∈ N，∴0 ≤ 4 + 1 ≤ 2024，∴0 ≤ ≤ 505， ∈ Z,
∴符合条件的 k 有 506 个，
∴这样的 n 有 506 个．
题型 7 复数乘、除运算的几何意义的应用
1．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）设复数 1, 2对应的向量分别为 1, 2, 为坐标原点，且 1 = 2 + 2
i 3π 4π，若把 1绕原点顺时针旋转 4 ，把 2绕原点逆时针旋转 3 ，所得两向量的终点重合，则 2 = （ ）
A．1 3i B． 1 + 3i C． 3 i D． 3 + i
【解题思路】把 1 = 2 + 2i化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可.
3π 3π
【解答过程】由已知得 1 = 2 + 2i=2 2 + 2 i = 2 cos + isin ，2 2 4 4
3π
所以 1绕原点顺时针旋转 4 得
2 cos 3π + isin 3π cos 3π + isin 3e = 2(cos0 + isin0) = 2，
4 4 4 4
由 4π 4π 3π2绕原点逆时针旋转 3 ，所得两向量的终点重合得 2 cos + isin = 2，3 4
2
所以 4π2 = cos 4 π+isin 4π = 2 cos isin
4π = 1 + 3i.
3 3 3 3
故选：B.
2．（23-24 高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数 = + i( , ∈ )和向量 进行一一对应.现把
与复数2 + i对应的向量绕原点 按顺时针方向旋转90 ，所得的向量对应的复数为（ ）
A．1 2i B． 1 2i C．1 + 2i D． 1 + 2i
【解题思路】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得顺时针旋转90°后对应的复数为(2 + i)
(cos( 90°) + isin( 90°)) = 1 2i.
【解答过程】根据题意可知，
复数2 + i对应的向量绕原点 O 按顺时针方向旋转90°可得(2 + i)(cos( 90°) + isin( 90°)) = (2 + i)( i)
= 2i i2 = 1 2i，
即所得的向量对应的复数为1 2i.
故选：A.
3．（23-24 高一·上海·课堂例题）设复数 3 4i在复平面上所对应的向量是 ，将 绕原点 顺时针旋转810°
得到向量 ′．求向量 ′所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示）
【解题思路】根据复数乘法的几何意义来求得正确答案.
π
【解答过程】由于810° = 720° + 90° = 4π + 2，
所以将 绕原点 顺时针旋转810°得到向量 ′所对应的复数为：
π π
( 3 4i) cos 4π + 2 + isin 4π + 2
= ( 3 4i) cos π + isin π = ( 3 4i)i = 4 3i.
2 2
4．（23-24 高一下·四川内江·期末）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔 棣
莫弗 欧拉 高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.
材料：形如 = + i( , ∈ )的数称为复数的代数形式.而任何一个复数 = + i都可以表示成
(cos + isin ) = cos 的形式，即 = sin ，其中 为复数 的模， 叫做复数 的辐角，我们规定0 ≤ < 2π范围内
的辐角 的值为辐角的主值，记作arg .复数 = (cos + isin )叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得
出，若 1 = 1(cos 1 + isin 1), 2 = 2(cos 2 + isin 2)，则 1(cos 1 + isin 1) 2(cos 2 + isin 2) = 1 2
[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)].其几何意义是把向量 1绕点 按逆时针方向旋转角 2（如果 2 < 0，就要把
1绕点 按顺时针方向旋转角| 2|），再把它的模变为原来的 2倍.
请根据所学知识，回答下列问题：
(1)试将 = 1 3i写成三角形式；
(2)设复数 1 = 2 3i, 2 = 2 + i, 3 = + i，且| 3| = 1.若复数 1 2在复平面上对应的点分别为 ，且
为复平面的坐标原点.向量 逆时针旋转90 后与向量 重合，求实数 ， 的值；
(3)已知单位圆以坐标原点 为圆心，点 为该圆上一动点（纵坐标大于 0），点 (2,0)，以 为边作等边
△ ，且 在 上方.求线段 长度的最大值.
【解题思路】（1）根据复数的三角形式的定义直接求解即可；
4 2 + 3 = 4 2 + 1
（2）解法一：由题意得 4 3 = 0 ，解方程组即可，解法二：根据所给材料中的复数的乘法几
2 + 2 = 1
何意义求解即可；
（3）设 (cos ,sin ), ∈ (0,π)， 所表示的复数为 4, 所表示的复数为 5，根据复数的三角形式求出 的
坐标，从而可表示出| |，化简变形后可求出其最大值.
1
【解答过程】（1）由于 = 1 3i，故| | = 2，所以 = 2 3 i ，
2 2
所以cos = 12,sin =
3
，
2
5π
因为0 ≤ < 2π，所以 = 3
= 2 cos 5π + isin 5π所以 ；
3 3
| | = | |
（2）法一：由题意知 = 0 ，
| 3| = 1
4 2 + 3 = 4 2 + 1 = 1 = 1
得 4 3 = 0 ，解得 2 23 或 ，
2 + 2 = 1 = =
3
2 2
因为 逆时针旋转90 后与 1 3重合，所以 = 2, = ；2
法二：由材料一复数的乘法几何意义可知，复数 2乘以一个模长为 1，辐角为90 的复数 0，
即为复数 1.故 2 0 = (2 + i) i = 1 = 2 3i，
故 2 = 3 1 3 1 = 2 ，所以 = 2, = .2
（3）设 (cos ,sin ), ∈ (0,π)，
所表示的复数为 4, 所表示的复数为 5，则 4 = cos 2 + sin ，
5 = 4 cos π + isin π = cos π 1 + i sin π + 3 ，3 3 3 3
故 cos π + 1,sin π + 3 ，
3 3
| | = cos π
2 2
得 + 1 + sin π + 3
3 3
π π π π
= cos2 3 + 2cos 3 + 1 + sin
2 3 + 2 3sin 3 + 3
= 5 + 4sin π ，
6
π
所以当sin = 1时，| |取得最大值 3，
6
故线段 长度的最大值为 3.
题型 8 复数综合
1．（23-24 高一下·上海·阶段练习）已知i为虚数单位，复数 满足| | = 1．则|( + 1)( i)|取最大值时，在
复平面上以 对应的点， ( 1,0), (0,1)为顶点的三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解题思路】假设 =cos + isin ，根据模长公式构造关于 ( )的函数，从而可确定当 ( )取最大值时， 的
取值，从而求得 ；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状.
【解答过程】因为 | | = 1，所以可设 =cos + isin ，
所以( + 1)( i)=(cos + isin + 1)(cos isin i) = cos2 icos sin icos + cos isin i+icos sin
+ sin2 + sin = (cos + sin + 1) i(cos + sin + 1)，
所以 ( ) = (cos + sin + 1)2 + (cos + sin + 1)2 = 2[1 + 2sin( + π )]2，
4
π
当sin( + 4) = 1时， ( )取最大值，
π π π
即当 + 4 = 2 +2 π, ∈ Z，即 = 4 +2 π, ∈ Z时， ( )取最大值，
此时 = 2 + 2i, = 2 2i，
2 2 2 2
所以 对应的点 ( 2, 2)，
2 2
2 2 2 2
所以| |2 = ( 1 2 ) + (0 + 2 ) = 2 + 2，| |2 = (0 2 ) + (1 + 2 ) = 2 +2 2 2 2 2，
| |2 = (1 0)2 + (0 1)2 = 2，
所以| | = | |,| |2 +| |2 ≠ | |2，根据各边关系易知各边对应角为锐角，
所以该图形为等腰三角形.
故选：D.
2．（23-24 高二下·浙江台州·期末）设 ( ) = 33 + 22 + 1 + 0（ 0, 1, 2, 3 ∈ 且 3 ≠ 0），方程 ( ) = 0
在复数集 C 内的三个根为 1, 2, 3，可以将上述方程变形为 3( 1)( 2)( 3) = 0，展开得到 33 3(
1 + 2 + ) 23 + 3( 1 2 + 2 3 + 3 1) 3 1 2 3 = 0，比较该方程与方程 ( ) = 0，可以得到 1 + 2 +
3 =
2
, 1 2 +
1 0
2 3 + 3 1 = , 1 2 3 = ．已知 (i) = 1 + i（i 是虚数单位），且tan ,tan ,tan 是 ( ) = 03 3 3
的三个实根，则tan( + + ) = （ ）
A．1 B． 1 C．2 D． 2
【解题思路】由 (i) = 1 + i结合复数相等得 0 2 = 1, 1 3 = 1，再借助复数根的定义，结合和角的正切
公式计算即得.
【解答过程】依题意， 3i3 + 22i + 1i + 0 = 1 + i，即( 0 2) + ( 1 3)i = 1 + i，而 0, 1, 2, 3 ∈ 且
3 ≠ 0，
则 0 2 = 1, 1 3 = 1，tan + tan + tan =
2
，3
tan tan + tan tan + tan tan = 1 tan tan tan = 0 ， ，3 3
tan +tan
tan( + )+tan +tan
tan( + + ) = = 1 tan tan 所以 1 tan( + ) tan 1 tan +tan tan
1 tan tan
2 0
tan +tan +tan tan tan tan += 3
3 0
2
1 (tan tan +tan tan +tan tan ) = 1 =1 3 = 1.1 3
故选：B.
3．（23-24 高一下·湖南长沙·期末）任意一个复数 的代数形式都可写成复数三角形式，即 = + i =
(cos + isin )，其中i为虚数单位， = | | = 2 + 2 ≥ 0, ∈ [0,2π).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗
（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为： 1 = 1(cos 1 + isin 1), 2 = 2(cos 2 + isin 2)，
则： 1 2 = 1 2[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)].如果令 1 = 2 = = = ，则能导出复数乘方公式： =
(cos + isin ).请用以上知识解决以下问题.
(1)试将 = 3 3i写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：sin3 = 3sin 4sin3 ;cos3 = 4cos3 3cos ；
(3)计算：cos4 + cos4( + 120 ) + cos4( 120 )的值.
【解题思路】（1）借助所给定义计算出模长及其 即可得；
（2）设模为 1 的复数为 = cos + isin ，直接计算出 3及借助复数乘方公式得到 3后，结合复数定义即可
得；
（3）先证明cos + cos( + 120 ) + cos( 120 ) = 0，再借助（2）中所得公式将四次方分别化简后结合积
化和差公式计算即可得.
【解答过程】（1）由于 = 3 3i，故 = | | = 3 + 9 = 2 3，
则 = 2 3 3 1 i = 2 3 cos 11π + sin 11π ；
2 2 6 6
（2）设模为 1 的复数为 = cos + isin ，
则 3 = (cos + isin )3 = cos3 + 3(cos2 ) (isin ) +3(cos ) (isin )2 + (isin )3
= cos3 + i(3cos2 sin ) 3cos sin2 isin3
= (cos3 3cos sin2 ) + i(3cos2 sin sin3 )
= cos3 3cos (1 cos2 ) + i 3(1 sin2 )sin sin3
= (4cos3 3cos ) + i(3sin 4sin3 )，
由复数乘方公式可得 3 = cos3 + isin3 ，
故sin3 = 3sin 4sin3 ，cos3 = 4cos3 3cos ；
（3）首先证明：cos + cos( + 120 ) + cos( 120 )
= cos 12cos
3sin 12cos +
3sin = 0，
2 2
由于cos3 = 4cos3 3cos ，则4cos3 = cos3 + 3cos ，
则4cos4 = cos3 cos + 3cos2 = 1 32(cos4 + cos2 ) + 2(1 + cos2 )
= 1cos4 + 2cos2 + 3 4 12 2，故cos = 8(cos4 + 4cos2 + 3)，
1
则可得cos4( + 120 ) = 8[cos(4 + 480
) + 4cos(2 + 240 ) + 3]
= 18[cos(4 + 120
) + 4cos(2 120 ) + 3]，
1
cos4( 120 ) = 8 [cos(4 480
) + 4cos(2 240 ) + 3]
= 18[cos(4 120
) + 4cos(2 + 120 ) + 3]，
所以cos4 + cos4( + 120 ) + cos4( 120 )
1 1
= 8 (cos4 + 4cos2 + 3) + 8 [cos(4 + 120
) + 4cos(2 120 ) + 3]
1
+ 8 [cos(4 120
) + 4cos(2 + 120 ) + 3]
1 1 9
= 8 [cos4 + cos(4 + 120
) + cos(4 120 )] + 2 [cos2 + cos(2 120
) + cos(2 + 120 )] + 8
= 1 × 0 + 1 × 0 + 9 98 2 8 = 8.
4．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）我们把 0 + 2 *1 + 2 + + = 0（其中 ≠ 0, ∈ ）称为一元
次多项式方程.代数基本定理：任何一元 ( ∈ *)次复系数多项式方程（即 0, 1, 2, , 为实数）在复数集
内至少有一个复数根；由此推得，任何一元 ( ∈ *)次复系数多项式方程在复数集内有且仅有 个复数根
（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元 ( ∈ *)次复系数多项式在复数集内一定可
以分解因式，转化为 个一元一次多项式的积.即 + + 2 + + = ( ) 1( ) 0 1 2 1 2 2
( ) ，其中 , ∈ *， 1 + 2 + + = , 1, 2, , 为方程 0 + 1 + 2 2 + + = 0的根.进
一步可以推出：在实系数范围内（即 0, 1, 2, , 为实数），方程 20 + 1 + 2 + + = 0有实数根，
则多项式 0 + 1 + 2 2 + + 必可分解因式.例如：观察可知， = 1是方程 3 1 = 0的一个根，则
( 1)一定是多项式 3 1的一个因式，即 3 1 = ( 1)( 2 + + )，由待定系数法可知， = = = 1.
(1)在复数集内解方程： 3 + 2 = 0；
(2)设 ( ) = 0 + 1 + 2 2 + 3 3，其中 0, , *1 2, 3 ∈ ，且 0 + 1 + 2 + 3 = 1.
（i）分解因式： ( 0 + 1 + 2 2 + 33 )；
（ii）记点 ( 0, 0)是 = ( )的图象与直线 = 在第一象限内离原点最近的交点.求证：当 1 +2 2 +3 3 ≤ 1
时， 0 = 1.
【解题思路】（1）结合题意，观察可得 = 1是方程 3 + 2 = 0的一个根，借助待定系数法计算即可得；
（2）（i）结合题意，观察可得 = 1是方程 ( 0 + 1 + 22 + 33 ) = 0的一个根，借助待定系数法计算
即可得；（ii）借助所得因式分解，构造函数 ( ) = 23 + ( 3 + 2) 0，借助二次函数的性质及韦达定
理可得函数 ( )必有两个不同零点 1、 2，且满足 1 < 0 < 1 ≤ 2.
【解答过程】（1）观察可知， = 1是方程 3 + 2 = 0的一个根，
则( 1)一定是多项式 3 + 2的一个因式，
即 3 + 2 = ( 1)( 2 + + ) = 3 + ( ) 2 + ( ) ，
= 1
= 0 = 1
即有 = 1 ，解得 = 1 ，
= 2 = 2
即 3 + 2 = ( 1)( 2 + + 2)，
1± 1 8 1± 7i
令 2 + + 2 = 0，则 = = ，
2 2
1 1± 7i即该方程的根为： 、 ；
2
（2）（i）观察可知， = 1是方程 ( + + 2 30 1 2 + 3 ) = 0的一个根，
则( 1)一定是多项式 ( + + 2 + 30 1 2 3 )的一个因式，
即 ( 0 + 1 + 22 + 33 ) = ( 1)( 2 + + ) = 3 + ( ) 2 + ( ) ，
3 =
= = 3
则有 21 1 = ，即
= 3 2 ，
= = 00
即 ( 20 + 1 + 2 + 3 3) = ( 1) 23 + ( 3 + 2) 0 ；
（ii）令 ( ) = ，即 ( 0 + 1 + 2 2 + 33 ) = 0，
即( 1) 3 2 + ( 3 + 2) 0 = 0，
设 ( ) = 2 + ( + *3 3 2) 0，由 0, 1, 2, 3 ∈ ，
有Δ = ( + )23 2 +4 3 0 > 0，故函数 ( )必有两个不同零点，
设 0( 1) = ( 2) = 0，且 1 < 2，则 1 2 = < 0，故 1 < 0 < 2，3
又 (1) = 3 + 3 + 2 0 = 2 3 + 2 + 1 + 2 + 3 1 = 3 3 +2 2 + 1 1 ≤ 0，
故 2 ≥ 1，则方程 ( ) = 的根有1、 1、 2，且 1 < 0 < 1 ≤ 2，
故 = ( )的图象与直线 = 在第一象限内离原点最近的交点的横坐标为1，即 0 = 1.
