专题 7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【五大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 复数的四则运算
1．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知复数 满足 = 4且 + + | | = 0．
(1)求复数 ；
(2)求 3．
【解题思路】（1）设复数 = + i， 、 ∈ R，由共轭复数的概念、复数的模长公式结合题意列方程组求
解即可；
（2）根据（1）中 的值，利用复数的乘法法则计算求 3即可．
【解答过程】（1）设复数 = + i， 、 ∈ R，则 = i， + = 2 ,| | = 2 + 2，
2 + 2 = 4
由 = 4且 + + | | = 0，得 2 + 2 + 2 = 0 ，
= 1
解方程得 =± 3 ，所以复数 = 1 + 3i或 = 1 3i；
2
（2）当 = 1 + 3i时， 3 = ( 1 + 3i) × ( 1 + 3i) = ( 2 2 3i) × ( 1 + 3i)
= 2 2(1 + 3i) × ( 1 + 3i) = 2 ( 3i) ( 1)2 = 2 × ( 3 1) = 8；
2
当 = 1 3i时， 3 = ( 1 3i) × ( 1 3i) = ( 2 + 2 3i) × ( 1 3i)
= 2 2(1 3i)(1 + 3i) = 2 (1)2 ( 3i) = 2 × (1 + 3) = 8，
综上， 3 = 8．
2．（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知复数 1 = 4 + i( ∈ )，且 1 (1 2i)为纯虚数.
(1)求复数 1；
1
(2)若 2 = (1 i)2，求复数 2及| 2|.
【解题思路】（1）根据 1 = 4 + i( ∈ )和 1 (1 2i)为纯虚数列关于 的方程组求解 ，求出复数 1；
（2）求出 1，求出 2，求出 2，求出| 2|.
【解答过程】（1）由 1 = 4 + i( ∈ )，所以(4 + i) (1 2i) = 4 + 2 + ( 8)i，
(1 2i) 4 + 2 = 0又 1 为纯虚数，所以 8 ≠ 0 ，
解得 = 2，所以复数 1 = 4 2i；
4+2i (4+2i) 2i
（2）由（1）知 1 = 4 + 2i
4+2i
，所以 2 = (1 i)2 = 2i = ( 2i) 2i = 1 + 2i，
故 2 = 1 2i，| 2| = ( 1)2 + 22 = 5.
3．（24-25 高一·上海·课堂例题）计算：
(1)(4 + i)(3 + 2i)；
(2)( 2 + 3i)( 2 3i)( 3 + 2i)( 3 2i)；
(3) 3+29i1+2i ；
(4)(1+i)
4
+ (1 i)
4
1+2i 1 2i ；
2
(5) ( 3 + 1) + ( 3 1)i ．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）根据复数的乘除法运算即可.
【解答过程】（1）(4 + i)(3 + 2i) = 12 + 8i +3i +2i2 = 10 + 11i.
（2）( 2 + 3i)( 2 3i)( 3 + 2i)( 3 2i) = (2 3i2)(3 2i2) = 25.
3 3+29i
( 3+29i)(1 2i) 2
（ ） 1+2i =
3+6i+29i 58i
(1+2i)(1 2i) = 5 = 11 + 7i.
4 (1+i)
4
+ (1 i)
4 4 4(1 2i) 4(1+2i)
（ ） 1+2i 1 2i = 1+2i +
4 8
1 2i = (1+2i)(1 2i) + (1 2i)(1+2i) = 5.
2 2 2
（5）[( 3 + 1) + ( 3 1)i] = ( 3 + 1) +2( 3 +1)( 3 1)i + ( 3 1) i2
= 4 + 2 3 +4i (4 2 3) = 4 3 +4i.
4．（23-24 高一下·山西大同·期中）已知复数 满足 (1 3i)为纯虚数， = 2i．
(1)求 以及 ；
3
(2) + i设 1 = +3 ，若| 1| = 2 2，求实数 的值．
【解题思路】（1）设复数 的代数形式，利用复数的乘法运算化简，根据纯虚数概念求解；
（2）利用复数的乘除、乘方化简，再由模的公式建立方程求解 .
【解答过程】（1）设 = + i( , ∈ )，则 = i，
由 (1 3i) = ( + i)(1 3i) = ( + 3 ) + ( 3 )i为纯虚数，
得 + 3 = 0①，且 3 ≠ 0，
由 = 2 i = 2i，得 2 = 2②，
由①②解得 = 3, = 1，验证知 3 = 10 ≠ 0，满足题意.
所以 = 3 + i, = 3 i.
+ i3 3+2i ( 3+2i) i
（2）由（1）可知， 1 = +3 = i = ( i) i = 2 + ( 3)i，
由| 1| = 2 2，得 ( 2)2 + ( 3)2 = 2 2，
整理，得 2 6 + 5 = 0，
解得 = 1或 = 5.
故实数 的值为 1 或 5.
5．（23-24 1高一下·江苏南京·期中）已知复数 1 = + i, 2 = 1 i, 是纯虚数，其中 是实数.2
(1)求实数 的值;
2 3 2023
(2) 1 1 1 求 1 + + + + .2 2 2 2
【解题思路】（1）化简运用纯虚数概念求解即可；
（2）化简，结合i1 = i,i2 = 1,i3 = i,i4 = 1，周期性质即可解题.
1 +i ( +i)(1+i)1 = + i, = 1 i, ∈ R = = ( 1)+(1+ )i 1 1+ 【解答过程】（ ）复数 1 2 ，则 2 1 i (1 i)(1+i) = 2 = 2 + 2 i，
1
1 = 0
因为 是纯虚数，于是
2
1+ ，解得 = 12 ≠ 0
2
1
（2）由（1）得到 = i，又i1 = i,i2 = 1,i3 = i,i4 = 1，2
则 ∈ N*,i4 3 = i,i4 2 = 1,i4 1 = i,i4 = 1，即有 ∈ N ,i4 3 + i4 2 + i4 1 + i4 = 0，
2 3 2022 20231
所以 + 1 + 1 + +
1 + 1 = 505
(i + i
2 + i3 + i4) + i + i2 + i3 = i 1 i= 1.
2 2 2 2 2
6．（23-24 高一下·福建漳州·期中）已知复数 = 3 + i( ∈ R)，且(1 + 3i) 为纯虚数.
(1)求复数 ；
(2) 6若复数 = 2+i，求复数 5i的模.
【解题思路】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可；
（2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解.
【解答过程】（1）由题意得(1 + 3i) (3 + i) = (3 3 ) + (9 + )i，
∵ (1 + 3i) 是纯虚数，
∴ 3 3 = 09 + ≠ 0 ，
∴ = 1，
∴ = 3 + i
3+i (3+i) (2 i)
（2） = 2+i = 2+i = (2+i) (2 i)
7 i 7 1
= 5 = 5 5 i
7 1
∴ = 5 + 5 i
6 7 1 6 7
∴ 5 i = 5 + 5 i 5 i = 5 i
∴ | 6 2i| = 7 + ( 1)2 = 74.5 5 5
7．（23-24 高一下·江苏淮安·期中）设复数 1 = 1 + i( ∈ ), 2 = 2 i．
(1)若 1 + 2是实数，求 1 2
(2) 1若 是纯虚数，求 2 1．
【解题思路】（1）根据复数的分类特征，结合复数加法和乘法的运算性质进行求解即可；
（2）根据复数除法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可.
【解答过程】（1） 1 + 2 = 1 + i +2 i = 3 + ( 1)i，
因为 1 + 2是实数，
所以有 1 = 0 = 1，
因此 1 2 = (1 + i)(2 i) = 2 i +2i +1 = 3 + i；
1 1+ i (1+ i)(2+i)2 = = = 2+i+2 i 2 （ ） 2 i (2 i)(2+i) 4+1 = 5 +
1+2
5 i，2
1
因为 是纯虚数，2
2 = 0
所以有 51+2 = 2，所以 1 = 1 + 2i.≠ 0
5
题型二 复数的四则运算与复数特征的综合应用
用向量证明线段垂直
8．（23-24 高二下·江用向苏量证无明锡线段·垂期直末）已知复数 z 使得 + 2i ∈ R，2 i ∈ R，其中 i 是虚数单位.
(1)求复数 z 的共轭复数；
(2)若复数( + i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围.
【解题思路】（1）根据复数的除法运算以及加法运算化简复数，即可根据复数的分类求解，
（2）根据复数乘法化简，根据第四象限的点的特征即可列不等式求解.
【解答过程】（1）设 = + i( , ∈ R)，∴ + 2i = + ( + 2)i ∈ R
∴ = 2
z ( 2i)(2+i)∴ = 2 +2+( 4)i 42 i (2 i)(2+i) = 5 ∈ R, 所以 5 = 0，解得 = 4，
∴ = 4 2i，
∴ = 4 + 2i；
（2）∵m 为实数，
( + i)2 = (12 + 4 2) + 8( 2)i
∴ 12 + 4
2 > 0
8( 2) < 0 ，
解得 2 < < 2
∴ 的取值范围是( 2,2).
9．（23-24 高一下·贵州·期中）已知复数 的共轭复数为 , 在复平面上对应的点在第一象限，且满足 = 6
i, = 25，
(1)求复数 ；
(2)求复数 + 1 i的模长．
【解题思路】（1）设 = + i，a,b∈R，则 = i，结合题意列式求解即可；
（2 9）由（1）可得 + 1 i = 2 +
13
2 i，进而可得模长.
【解答过程】（1）设 = + i，a,b∈R，则 = i，
( + i) ( i) = 2 i = 6i = 3
由题意可得 ( + i)( i) = 2 + 2 = 25 ，解得 =± 4 ，
又因为 = 3在复平面上对应的点在第一象限，即 = 4 ，所以 = 4 + 3i.
4+3i 9 13
（2）由（1）可知 = 4 + 3i，则 + 1 i = (4 + 3i) + 1 i = 2 + 2 i，
9 2 13 2 5 10
所以| + = + = .1 i| 2 2 2
10．（24-25 高二上·重庆·开学考试）已知复数 = + i( ∈ , ∈ )满足| | = 2， 2的虚部是 2．
(1)求复数 ；
(2)设 ， 2， 2在复平面上的对应点分别为 ， ， ，若 点位于第一象限，求 △ 的面积．
【解题思路】（1）设 = + i( , ∈ R)，结合条件求 , 即可得 z；
（2）结合（1）结论，利用复数的四则运算即可得 , 2, 2的对应坐标，进而求它们构成的 △ 的面积；
【解答过程】（1） = + i( , ∈ R)，
则 2 = 2 2 +2 i，
由题意得 2 + 2 = 2，
且2 = 2，
解得 = = 1或 = = 1，
所以 = 1 + i或 = 1 i．
（2）因为 位于第一象限，所以 = 1 + i，
2 = 2i，
2 = 1 i，
所以 (1,1)， (0,2)， (1, 1)，
直线 : = 1，所以且 到 的距离为 1；
∴S = 1 1△ 2| | × 1 = 2 × 2 × 1 = 1.
所以 △ = 1．
11．（23-24 高一下·河北唐山·期中）已知复数 满足| | = 2 2， 2的虚部为 8， 在复平面上对应的点 在第
一象限．
(1)求复数 ；
(2)若复数 1 = 3i，且 1是实数，求实数 的值．
【解题思路】（1）设 = + i，由已知条件列方程求出 , 的值，得复数 ；
（2）由复数的乘法和复数的分类，求实数 的值．
【解答过程】（1）设复数 = + i，由| | = 2 2， 2的虚部为 8， 在复平面上对应的点 在第一象限，
> 0
> 0
则有 2 2 + 2 = (2 2) = 8 ，解得 = = 2，即 = 2 + 2i.
2 = 8
（2） 1 = (2 + 2i)( 3i) = (2 + 6) + (2 6)i,
1是实数，则有2 6 = 0，解得 = 3.
12．（23-24 高一下·福建龙岩·期中）已知复数 = 1 + i（ ∈ R，i为虚数单位）.
(1)若(1 2i) 为纯虚数，求实数 a 的值；
(2)若 = 1+i，且复数 在复平面内所对应的点位于第四象限，求 a 的取值范围.
【解题思路】（1）由复数(1 2i) 为纯虚数，列出方程组求解即可得 的值；
（2）由在复平面上对应的点在第四象限列出不等式组求解即可得 的取值范围．
【解答过程】（1）(1 2i) = (1 2i)(1 + i) = (1 + 2 ) + ( 2)i.
因为(1 2i) ∴ 1 + 2 = 0
1
为纯虚数， 2 ≠ 0 ，解得 = 2，
1
所以 = 2.
1+ i (1+ i)(1 i)2 (1+ )+( 1)i +1 1（ ）由 = 1+i = 1+i = (1+i)(1 i) = 2 = 2 + 2 i，
+1 > 0
由复数 在复平面内所对应的点位于第四象限，得 2 1 ，解得 1 < < 1．< 0
2
∴ 的取值范围为( 1,1)．
13．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知复数 = 1 + i（i 是虚数单位， ∈ ），且 (3 + i)为纯虚数
（ 是 z 的共轭复数）．
(1) = +2i设复数 1 1 i ，求| 1|；
2021
(2) i设复数 2 = ，且复数 2在复平面内所对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围．
+2i
【解题思路】（1）化简 (3 + i)，由其为纯虚数求出 的值，将 代入 1 = 1 i 化简，从而可求出其模；
2021
（2）将 = 1 3i = i代入 2 化简，再由复数 2在复平面内所对应的点在第一象限，列不等式组可求出实
数 a 的取值范围．
【解答过程】（1） ∵ = 1 + i, ∴ = 1 i，
∴ (3 + i) = (1 i)(3 + i) = (3 + ) + (1 3 )i．
又 ∵ (3 + i)为纯虚数，
∴ 3 + = 01 3 ≠ 0 ，解得 = 3，
3+2i ( 3+2i)(1+i) 5 i
所以 1 = 1 i = (1 i)(1+i) = 2 =
5
2
1
2i，
∴ | 1| =
25 + 1 = 26．
4 4 2
（2）由（1）知 = 1 3i，
∴ = i
( i)(1+3i)
2 1 3i = =
( +3)+(3 1)i
(1 3i)(1+3i) 10 ．
又 ∵ 复数 2在复平面内所对应的点在第一象限，
∴ + 3 > 0 13 1 > 0 ，解得 > 3，
1
即实数 a 的取值范围是 , + ∞ ．
3
14．（23-24 高一下·山东聊城·期中）已知复数 1， 2在复平面上对应的点分别为(0, 2)，(3,4)．
(1) 2若 = ，求 的共轭复数；1
(2)若复数 1 + 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
【解题思路】（1）可得出： 1 = 2i， 2 = 3 + 4i，然后根据复数的除法运算得出复数 ，然后即可得出 的
共轭复数；
（2）进行复数的运算得出 1 + 2 = 3 + (4 2)i，然后根据条件得出关于 的不等式，然后解出 的范围
即可．
【解答过程】（1）根据题意知： 1 = 2i， 2 = 3 + 4i，
∴ = 2 = 3+4i (3+4i)(2i) 3 1 2i = 4 = 2 + 2i，
∴ = 2 32i；
（2） 1 + 2 = 2i + (3 + 4i) = 3 + (4 2)i，且 1 + 2在复平面上对应的点在第四象限，
∴ 3 > 0 14 2 < 0 ，解答0 < < 2，
∴ 1实数 的取值范围为(0,2)．
题型三 复数范围内方程的根的问题
15．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）知复数 1 = 5 + 10i，复数 2在复平面内对应的点为 (3, 4)
(1)若复数 2是关于 的方程 2 + + 1 = 0的一个根， ∈ R，求 + 的值：
1 1
(2) 1若复数 满足 = + ，求复数 的共轭复数 .1 2
【解题思路】（1）将 2 = 3 4i代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可；
（2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.
【解答过程】（1）由题意得 2 = 3 4i，
因为复数 2是关于 的方程 2 + + 1 = 0的一个根，
所以(3 4i)2 + (3 4i) + 1 = 0，
3 + 8 (4 + 24)i = 0，
3 + 8 = 0
4 + 24 = 0 ，
解得 = 6, = 26，所以 + = 20.
5(11+2i)(4 3i)
（2） = 1 2 = (5+10i)(3 4i) 55+10i 5 1+ 2 5+10i+3 4i = 8+6i = 2(4+3i)(4 3i) = 5 2i，
∴ = 5 + 52i.
16．（23-24 高一下·上海松江·期末）已知i为虚数单位，复数 = ( 2 3 4) + ( 2 + )i．
(1)当实数 取何值时， 是纯虚数；
(2)当 = 1时，复数 是关于 的方程 2 + + = 0的一个根，求实数 与 的值．
【解题思路】（1）由 是纯虚数得到实部为0，虚部不为0，解方程组得到 的值；
（2）将 = 6 + 2i代入方程，实部和虚部均为0，解方程组得到 和 的值.
2 3 4 = 0
【解答过程】（1）由 是纯虚数得 2 + ≠ 0 ，解得 = 4.
所以当 = 4时， 是纯虚数.
（2）当 = 1时， = 6 + 2i，
因为 是关于 的方程 2 + + = 0的一个根，所以 2 + + = 0，
即( 6 + 2i)2 + ( 6 + 2i) + = 0，整理得(32 6 + ) + (2 24)i = 0，
32 6 + = 0 = 12
所以 2 24 = 0 ，解得 = 40 .
17．（23-24 高一下·江苏宿迁·期中）已知复数 = 1 i（i是虚数单位）是方程 2 + + = 0的根，其中 ，
是实数
(1)求 和 的值；
(2)若( + i) ( 2 i)是纯虚数，求实数 的值
【解题思路】（1）根据虚根成对原理可知 = 1 + i也为方程的根，利用韦达定理计算可得；
（2）根据复数代数形式的乘法运算化简( + i) ( 2 i)，再根据其为纯虚数，则实部为0，虚部不为0得
到方程（不等式）组，解得即可.
【解答过程】（1）因为复数 = 1 i（i是虚数单位）是方程 2 + + = 0的根（ ， 是实数），
所以 = 1 + i也为方程的根，
= (1 i) + (1 + i) = 2
所以 = (1 i)(1 + i) ，所以 = 2 ；
（2）由（1）可知( + i) ( 2 i) = ( 2 + 2i) ( 2 i)
= 2 2 + 2 i + 2 2i 2 i2
= (2 2 2) + (2 + 2 2)i，
又( + i) ( 2 i)是纯虚数，
2 2 2 = 0
所以 2 + 2 2 ≠ 0 ，解得 = 1.
18．（23-24 高一下·吉林·期末）已知复数 = 2 + i是一元二次方程 2 + + = 0（ , ∈ ）的根.
(1)求 , 的值；
(2)若复数( + i) ( 2i)（其中 ∈ ）为纯虚数，求复数 = (2 + 1) + (4 2)i的模.
【解题思路】根据 = 2 + i是一元二次方程 2 + + = 0的根得到2 i也是一元二次方程 2 + + = 0的
根，代入列方程组求解即可；
（2）求出( + i) ( 2i)，根据复数( + i) ( 2i)为纯虚数求出 即可求出| |.
【解答过程】（1）因为 = 2 + i是一元二次方程 2 + + = 0的根，
所以2 i也是一元二次方程 2 + + = 0的根，
(2 + i) + (2 i) = = 4
故 (2 + i) (2 i) = ，解得 = 5 ；
（2）因为复数( + i) ( 2i) = (10 4 ) + (5 + 8)i为纯虚数，
所以10 4 = 0，且5 + 8 ≠ 0，
即 = 52，所以复数 = (2 + 1) + (4 2)i = 6 + 8i，
故| | = 62 + 82 = 10.
19．（23-24 高一下·上海·期末）设i是虚数单位， ∈ . 是关于 的方程
2 (2 + i) + = 0的两根，
且满足| | + | | = 3.
(1)若 = 2 + 5i，求 与 的值；
(2)若 = 0，求 的值.
2
【解题思路】（1）由| | = 22 + 5 = 3，及| | + | | = 3，得| | = 0，即可求解；
（2）当 = 0时，则 ， 是关于 的方程 2 2 + = 0的两根，则 △= 4 4 ，进行分类讨论，即可求解.
2
【解答过程】（1）解：由 = 2 + 5i，得| | = 22 + 5 = 3，
而| | + | | = 3，得| | = 0，
因为 ， 是关于 的方程 2 (2 + i) + = 0的两根，
2 + 5i+ =2+ i
所以 2 + 5i = ，
得 = 5 i，由| | = 0，得 = 5，
得 = 0，则 = 0；
（2）当 = 0时，则 ， 是关于 的方程 2 2 + = 0的两根，
则 △= 4 4 ，
当 = 1时，则 = = 1，不满足| | + | | = 3，
当 < 1时，得 △= 4 4 > 0
+ =2
得 = ，
由| | + | | = 3得(| | + | |)2 = 9，
得 2 + 2 +2| | = 9，
得( + )2 2 + 2| | = 9，
得 2 + 2| | = 5，
当0 ≤ < 1 5时，不成立，当 < 0时，得 = 4，
当 > 1时，得 △= 4 4 < 0，
不妨记 = 1 1i, = 1 + 1i，
由| | + | | = 3得 1 + 1 + 1 + 1 = 3，
9
得 = 4，
故 的值为： 5 94或4.
20．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知复数 1 = 1 + i， 2 = + 3i( ∈ R)（i为虚数单位）满足__________.
在① 2 2 = 10( > 0)，② 1( i) > 0这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题.
1 1
(1)若 = + ，求复数 以及| |；1 2
(2)若 2是实系数一元二次方程 2 + + 4 3 = 0的根，求实数 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
【解题思路】（1）选条件①，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求出 ，再利用复数除法运算及模的意
义求解；选条件②，利用复数乘法运算及复数的意义求出 ，再利用复数除法运算及模的意义求解.
（2）利用实系数一元二次方程的虚根成对出现，再借助韦达定理计算即得.
【解答过程】（1）选条件①， 2 2 = 10( > 0)，由 2 = + 3i，得 2 = 3i，
因此 = 22 2 +9 = 10，即 2 = 1，又 > 0，解得 = 1，
1 1
所以 = 1 1 1 i 1 3i 3 4 3 2 4 2 + =1 2 1+i + 1+3i = 2 + 10 = 5 5i，| | = ( ) + ( ) = 1.5 5
选条件②， 1( i) > 0，由 1 = 1 + i
+ 1 > 0得 1( i) = (1 + i)( i) = + 1 + ( 1)i > 0，因此 1 = 0 ，解得 = 1，
1 1
= + = 1 1 1 i 1 3i 3所以 1+i + 1+3i = 2 + 10 = 5
4 3 2 4 2
5i，| | = ( ) + ( ) = 1.1 2 5 5
（2） 2是实系数一元二次方程 2 + + 4 3 = 0的根，则 2也是该方程的根，
于是 2 + 2 = ，则实数 = ( 2 + 2) = (1 + 3i + 1 3i) = 2，
所以实数 的值为 2.
21．（23-24 高一下·江苏无锡·期末）已知复数 = 4 + i，其中 是正实数，i是虚数单位
(1)如果 2为纯虚数，求实数 的值；
(2)如果 = 2， = 21 1 i是关于 的方程 + + = 0( , ∈ )的一个复根，求 + 的值.
【解题思路】（1）先利用复数的四则运算求得 2，再利用复数的分类即可得解；
（2）先利用复数的四则运算化简 1，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解.
【解答过程】（1）因为 = 4 + i，所以 2 = (4 + i)2 = 16 2 +8 i，
2 16
2 = 0
因为 为纯虚数，所以 8 ≠ 0 ，解得 = 4（负值舍去），
所以 = 4.
（2）因为 = 2，所以 = 4 + 2i，
4+2i 2(2+i)(1+i) = = = = 2(1+3i)则 1 1 i 1 i (1 i)(1+i) 2 = 1 + 3i，
因为 1是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个复根，
所以1 + 3i与1 3i是 2 + + = 0的两个复根，
1 + 3i + 1 3i = = 2
故 (1 + 3i)(1 3i) = ，则 = 10 ，
所以 + = 8.
题型四 复数运算的三角表示
22．（24-25 高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数 1 = 3 + i，
(1)写出 1的三角形式；
(2)复数 2满足| 2| = 2，且 21 2在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，arg 2 ∈ (0,π)，求 2的代数形式．
【解题思路】（1）根据公式，即可直接得出答案；
（2）设 2 = 2(cos + isin )，根据三角恒等变换表示出 1 22，然后根据已知得出 的值，代入即可得出答
案.
【解答过程】（1）由已知可得，| 1| = 2，
= 3 + i=2 3 + 1 i = 2 cos π π所以， 1 + isin .2 2 6 6
（2）由已知可设 2 = 2(cos + isin )，
则 22 = 4(cos2 sin2 + 2isin cos ) = 4cos2 + 4isin2 .
所以， 1 2 π2 = 2 cos + isin
π (4cos2 + 4isin2 ) = 8 cos π cos2 sin π sin2 +8i
6 6 6 6
cos π sin2 + sin π cos2 = 8cos 2 + π +8isin 2 + π .
6 6 6 6
cos 2 + π = 0 π
由已知可得 6π ，所以2 + =
3π
6 2 +2 π, ∈ Z，sin 2 + < 0
6
2π
所以， = 3 + π, ∈ Z.
0 < < π = 2π又 ，所以 3 .
所以， 2π 2π2 = 2 cos + isin = 1 + 3i.3 3
23．（24-25 高一·全国·随堂练习）计算：
π π π π
(1)3(cos3 + isin3) 3(cos6 + isin6)；
10(cos 2π+isin 2π )
(2) 3 35(cos π+isin π ) ；
3 3
π π π π
(3) 10(cos2 + isin2) 2(cos4 + isin4)；
12(cos 3π+isin 3π )
(4) 2 26(cos π+isin π ) ；
6 6
(5)[3(cos10° + isin10°)]6；
5
(6)( 3+i) ．
1+ 3i
【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即得.
（6）把复数化成三角形式，再利用三角形式的复数运算计算即得.
π π π π π π
【解答过程】（1）3(cos3 + isin3) 3(cos6 + isin6) = 9(cos2 + isin2) = 9i.
10(cos 2π+isin 2π ) π π
（2） 3 3 = 2(cos + isin ) = 1 + i5(cos π+isin π ) 3 3 3 .
3 3
π π π π
（3） 10(cos2 + isin2) 2(cos4 + isin4) = 2 5(cos
3π 3π
4 + isin 4 )
= 2 5( 2 + 2i) = 2 2 10 + 10i.
12(cos 3π+isin 3π )
（4） 2 2π π = 2(cos
4π
3 + isin
4π
3 ) = 2(
1 3
2 i) = 1 i6(cos +isin ) 3 .
6 6 2
（5）[3(cos10° + isin10°)]6 = 36(cos60° + isin60°) = 7292 +
729 3i.
2
5 [2(cos π+isin π )]5 25(cos 5π 5π
6 ( 3+i)
+isin ) π π
（ ） = 6 62π 2π = 6 62(cos 2π+isin 2π ) = 16(cos6 + isin 1+ 3i 2(cos +isin ) 6)3 3 3 3
= 16( 3 + 12i) = 8 3 +8i.2
24 3．（24-25 高一上·上海·课堂例题）设 1、 2、 3在复平面上对应的点分别为 A、B、C， = 2(1 + 3i).若
| 1| = 1， 2 = 1 ， 3 = 2 ，求四边形 的面积.
π π
【解题思路】写出复数的三角形式 = 3 cos + isin ，根据三角形式几何意义得到| | = 3，且∠ =
3 3
π π
3，| | = 9，且∠ = 3，利用三角形面积公式得到 △ , △ ，相加后得到答案.
3
【解答过程】| 1| = 1，得| | = 1，由 = 2(1 + 3i)，
得 = 3 cos π + isin π .
3 3
π π π
因为 2 = 1 ，所以 2 = 1 3 cos + isin ，即| | = 3，且∠ = .3 3 3
= = 3 cos π + isin π
π
因为 3 2 ，所以 3 2 ，即| | = 9，且∠ = .3 3 3
设四边形 的面积为 ，
π
= 1 1
π
则 △ + △ = 2 | | | | sin3 + 2 | | | | sin3
= 1 × 1 × 3 × 3 + 12 2 × 3 × 9 ×
3 = 15 3.
2 2 2
25．（24-25 高一上·上海·课后作业）已知复数 z 满足 2 +2 + 4 = 0，且arg ∈ π ,π .
2
(1)求 z 的三角形式；
(2)记 , , 分别表示复数 z、 、 2 在复平面上的对应点.已知 , , 三点成逆时针顺序，且 △ 为等边三
角形，求tan(arg )的值.
【解题思路】（1）解方程结合辐角范围得到复数，再表示为三角形式即可.
（2）利用旋转的性质求出 z、 ，最后利用辐角的性质求解即可.
【解答过程】（1）由 2 +2 + 4 = 0，解得 = 1 ± 3i.
∵arg ∈ π ,π ，∴ = 1 3i应舍去，
2
∴ = 1 + 3i = 2 cos 2π + isin 2π .
3 3
（2）由题意得， ： ( 2 ) = + 2 ， ： ( 2 ) = 3 .
π
∵| | = | |， , , 位置成逆时针顺序，又∠ = 3，
π
∴把 按逆时针方向旋转3即得 ，
∴3 = ( + 2 ) cos π + isin π ，
3 3
将 = 2 2cos 2π + isin 2π 代入上式，解得 =
3 3 7
(2 + 3i)，
由点 在第三象限知tan(arg ) = 3.2
2
26．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知 是实数， 是非零复数，且满足arg = 3 4 ， 1 + + (1 + )
2
= 1 + .
（1）求 ；
（2）设 = cos + , ∈ [0,2 )，若| | = 1 + 2，求 的值.
【解题思路】（1）根据辐角，设出复数 ，再根据等量关系待定系数即可；
（2）由（1）中所求复数 代入（2）中的模长计算公式，即可化简求得.
3
【解答过程】（1）arg = 4 ，可设 = ( ∈ )，
2
将其代入 1 + + (1 + )2 = 1 + ，
化简可得2 + 2 (1 + ) + 2 = ，
∴ 2 = = 22 (1 + ) + 2 = ，解得 = 1 ，
∴ = 1 + .
（2）| | = |(cos + 1) + (sin 1) | = (cos + 1)2 + (sin 1)2 = 3 + 2(cos sin )
= 3 + 2 2cos + .
4
∵| | = 1 + 2，∴ 3 + 2 2cos + = 1 + 2，
4
化简得cos + = 1.
4
∵4 ≤ + 4 < 2 + 4，
∴ + 4 = 2 ，
即 = 7 4 .
π
27．（24-25 高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数 1 + i对应的向量绕原点逆时针旋转4后所得向量
5π对应的复数为 1，绕原点顺时针旋转12后所得向量对应的复数为 2
(1)求复数 1, 2；
(2) 1若复数 = ，求复数 .2
【解题思路】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数；
(2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可.
3π 3π π
【解答过程】（1）复数 1 + i = 2 cos + isin 逆时针旋转4后得 1 = 2(cosπ + isinπ) = 2,4 4
5π π π 6
顺时针旋转12后得 2 = 2 cos + isin =
2 + i.
3 3 2 2
2 1 = 1
2(cosπ+ sin )
= 2π 2π 1 3（ ）由（ ）得 2 2 cos π+isin π = cos 3 + isin 3 = + i.3 3 2 2
28．（23-24 高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数 = + i都可以表示成 (cos + isin )的形
式.其中 是复数 的模， 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数
= + i的辐角， (cos + isin )叫做复数 = + i的三角形式.②方程 = 1（ 为正整数）有 个不同的
复数根；
(1)求证： 1(cos 1 + isin 1) 2(cos 2 + isin 2) = 1 2[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)]；
(2)设 = 12 +
3i，求 2024；
2
(3)试求出所有满足方程 6 = 1的复数 的值所组成的集合.
【解题思路】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明；
（2）根据题意，将复数 化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果.
【解答过程】（1）证明： 1(cos 1 + isin 1) 2(cos 2 + isin 2)
= 1 2[cos 1cos 2 sin 1sin 2 + (cos 1sin 2 + sin 1cos 2)i]
= 1 2[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)].
2 = 1 + 3i = cos2π + isin2π（ ）依题意， 2 2 3 3 ，
所以
2024
2024 = cos 2π + isin 2π = cos4048π3 + isin
4048π
3 = cos
4π
3 + isin
4π = 13 2
3i
3 3 .2
（3）设 = cos + isin ，则 6 = (cos + isin )6 = cos6 + isin6 = 1，
因此sin6 = 0,cos6 = 1,6 = 2 π, ∈ ，解得 = π3 , ∈ ，
π
由终边相同的角的意义，取 = 0,1,2,3,4,5，则对应的 依次为0,3,
2π,π,4π3 3 ,
5π
3 ，
1,1 + 3i, 1 + 3因此对应的 依次为 2 2 i, 1,
1 3
2 i,
1 3
2 2 2 2
i，
2
所以所求的集合是 1, 1 + 3 i, 1 + 3 i, 1, 1 3 i, 1 3 i .
2 2 2 2 2 2 2 2
题型五 复数综合
29．（24-25 高二上·河南焦作·期中）已知向量 = ( 3,1)， = (cos ,sin )， > 0，若函数 ( ) = ，
且 ( ) π在区间 0, 上不具有单调性.
3
(1)求 的取值范围；
(2) 2 π π π π当 取最小整数值时，若 ( ) + [ ( )]i = + 2i（其中 ∈ , ， ∈ , ，i是虚数单位），求5 2 2 6 6
cos( )的值.
π
1 ( ) = 2sin + π + ∈ π , ( +1)π【解题思路】（ ）利用数量积公式和三角恒等变换得到 ，求出 ，根
3 3 3 3
1
据不单调得到不等式，求出 > 2；
（2） = 1，根据复数相等得到方程，求出2sin + π = 2 2sin + π， = 2 π，结合角的范围得到cos5 +3 3 3
= 7 2，cos + π = 2，根据凑角法得到答案.10 3 2
【解答过程】（1）函数 ( ) = 3cos + sin = 2 1 sin + 3 cos = 2sin + π ，
2 2 3
π π
由 ∈ 0, ，得 + ∈ π , ( +1)π ，
3 3 3 3
( +1)π π
由函数 ( )在区间 0, π 上不具有单调性，得 3 > 2，解得 >
1
2，3
故 1的取值范围是 , + ∞ .
2
2 π（ ）依题意，得 = 1， ( ) = 2sin + ， ( ) = 2sin + π ，
3 3
所以2sin + π = 2，2sin5 +
π = 2，
3 3
所以sin + π = 2，sin10 +
π = 2.
3 3 2
π
由 ∈ π 5π , π ，得 π < +
2 2 3
< 6 ，
π π
所以0 < + 3 < 2，
π π π π π
由 ∈ , ，得 < +
6 6 6 3
< 2.
sin2 + π由 + cos2 + π = 1，得cos + π = 7 2，
3 3 3 10
同理，cos + π = 2.
3 2
所以cos( ) = cos + π + π
3 3
π π π π
= cos + 3 cos + 3 + sin + 3 sin + 3
= 7 2 × 2 + 2 × 2 = 4.
10 2 10 2 5
30．（24-25 高一上·河南周口·期末）对任意一个非零复数 ，定义集合． = | = 2 1, ∈ * .
(1) 1设 是方程 + = 2的一个根，试用列举法表示集合 ；
(2)若复数 ∈ ，求证 ．
1
【解题思路】（1）求解方程 + = 2得 =
2
1 ， = 22 (1 + i) 2 2 (1 i)，再由有理指数幂及i的运算性质可得
1，同理求得 2 = 1，则 可求；
（2）由 ∈ ，可知存在 ∈ N，使得 = 2 1，则对任意 ∈ N，有 2 1 = (2 1)(2 1) ，结合
(2 1)(2 1)是正奇数，得 2 1 ∈ ，即 ．
1
【解答过程】（1）由 + = 2，得
2 2 + 1 = 0，
∴ = 21 2 (1 + i)， 2 =
2
2 (1 i)，
= 2(1 + i) ∵ 2 = i 2 1 =
2 i
当 1 时， 12 1 ， 1
= ，
1 1
∴ = i , 1 , i , 1 = 2 1 (1 + i),
2 (1 i), 2 (1 + i), 2 (1 i) ，
1 1 1 1 2 2 2 2
2 ( i)
当 = 22 2 (1 i)时， ∵
2
2 = i， 2 1 =
2
2 = 2 ，2
∴ i 1 i 1 2 = , , , = 1．2 2 2 2
综上， = 2 (1 + i), 2 (1 i), 2 (1 + i), 2 (1 i) .2 2 2 2
（2） ∵ ∈ ，
∴ 存在 ∈ N，使得 = 2 1．
于是对任意 ∈ N， 2 1 = (2 1)(2 1)，
由于(2 1)(2 1)是正奇数， 2 1 ∈ ，
∴ .
31．（24-25 高一·江苏· 1假期作业）设 为虚数， = + 为实数．
(1)求| |；
(2)设 在复平面 内对应的点为 ，以 轴的非负半轴为始边，射线 为终边的角记为 ，求证： 2 = cos2 +
isin2 ；
(3)若 1 < < 2 = 1 ， 1+ ，求|
2|的最小值．
【解题思路】（1）设 = + i( , ∈ R)，化简复数 ，通过 为实数，推出 = 0或 2 + 2 = 1，然后求解复
数的模．
（2）依题意，结合（1）知， = cos + isin ( ≠ π, ∈ Z)．证明 2 = cos2 + isin2 ．
（3）由（1）知， = 2 ，化简复数 ，求解复数的模，利用基本不等式转化求解即可．
【解答过程】（1）设 = + i( , ∈ R)，
1
则 = + = + i +
1 i
+ i = + i + 2+ 2 = + 2+ 2 +(
2+ 2)i．
因为 为实数，所以 2 2 2+ 2 = 0，所以 = 0或 + = 1，
又 为虚数，故 ≠ 0，从而 2 + 2 = 1，所以| | = 2 + 2 = 1．
（2）证明：依题意，结合（1）知， = cos + isin ( ≠ π, ∈ Z)．
则 2 = (cos + isin )2 = cos2 + 2icos sin + i2sin2
= cos2 sin2 + isin2 = cos2 + isin2 ．
(1 i)(1+ i) 2 i
（3）由（1）知， = 2 = 1 = 1 i ， 1+ 1+ + i = (1+ )2+ 2 = 2( +1) = +1i，
2 2
则| 2| = |2 + 1 1 ( +1)2| = |2 + ( +1)2| = |2 + +1| = 2[( + 1) +
1
+1] 3，
1 < < 2 1 1 3因为 ，所以 2 < < 1，所以2 < + 1 < 2，
所以| 2| ≥ 4
1
( + 1) 1 3 = 1 （当且仅当 + 1 =
+1 +1
，即 = 0时，等号成立），
所以| 2|的最小值为 1．
32．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知复数 1 = cos + 5 + (sin )i在复平面内对应的点在虚轴的正半13
轴上，复数 2 = cos( + ) + sin( + ) 3 i < 05
(1)求sin ，cos( + )的值；
(2)求cos( + 2 )，sin 的值．
cos + 5 = 0 cos( + ) < 0
【解题思路】（1）根据题意结合复数的相关概念以及几何意义可得 13 和 3 ，
sin > 0 sin( + ) = 05
即可得结果；
（2）根据（1）中结果，利用两角和差公式分析求解，注意角之间的关系.
5
【解答过程】（1）因为复数 1 = cos + + (sin )i在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，13
cos + 5 = 0 5 12
则 13 ，可得cos = ,sin = 1 cos2 = ；
sin > 0 13 13
3
又因为复数 2 = cos( + ) + sin( + ) i < 0，5
cos( + ) < 0 3 4
则 sin( + ) 3 = 0 ，可得sin( + ) = 5,cos( + ) = 1 sin2( + ) = 5.
5
2 1 cos = 5（ ）由（ ）可知： 13,sin =
12
13，sin( + ) =
3
5,cos( + ) =
4
5，
所以cos( + 2 ) = cos
16
[( + ) + ] = cos( + )cos sin( + )sin = 65；
sin = sin = sin cos cos sin = 33[( + ) ] ( + ) ( + ) 65.
33．（24-25 高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数 1 = 2sin 3i， 2 = 1 + (2cos )i， ∈ [0,π]．
(1)若 1 = 2，求角 ；
(2)复数 1， 2对应的向量分别是 ， ，
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）存在 使等式 = 0成立，求实数 的取值范围．
【解题思路】（1）利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解；
（2）（ⅰ）利用向量的数量积结合两角差的正弦公式，再由角度的范围即可求出 的取值范围；
（ⅱ）利用向量数量积的坐标运算化简等式，转化为 和三角函数得表达式，求出三角函数的整体范围，进
而计算 的取值范围.
【解答过程】（1） ∵ 1 = 2sin 3i， 2 = 1 + (2cos )i，且 1 = 2，
∴ 2sin = 1，2cos = 3，即sin =
1
2，cos =
3
，
2
又 ∈ 5π[0,π]，故 = 6 .
（2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得， = (2sin , 3)， = (1,2cos )，
∴ = 2sin 2 3cos = 4sin π ，
3
π π
又 ∈ 2π[0,π]，则 3 ≤ 3 ≤ 3 .
π π π π
∴ 当 3 = 2时， 取最大值为4，当 3 = 3时， 取最小值为 2 3，
∴ 的取值范围为[ 2 3,4]；
（ⅱ） ∵ = (2sin , 3)， = (1,2cos )，
∴ = (2 sin 1, 3 2cos )， = (2sin , 3 2 cos )
又 = 0，则(2 sin 1)(2sin ) + ( 3 2cos )( 3 2 cos ) = 0，
化简得，8 + ( 2 + 1)(2 3cos 2sin ) = 0，
∴ 8 π π 2+1 = 4sin ，由小问（ⅰ）的结论可知4sin ∈ [ 2 3,4]，3 3
∴ 2 ≤ 8 3 2+1 ≤ 4，解得 ≤ 3 ≥
3
或 ，
3
综上所述， 的取值范围为：( ∞, 3] ∪ 3 , + ∞ .
3
34．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数： = + i与 = i( , ∈ )，我们把它们互称
为共轭复数， ≠ 0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质：
（1） + = 2 ∈ R
（2） = 2 i（当 ≠ 0时，为纯虚数）
（3） = ∈ R
（4）( ) =
（5） = 2 + 2 = | |2 = | |2.
（6）两个复数和 差 积 商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和 差 积 商.
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
(1)设 ≠± i,| | = 1.求证：1+ 2是实数；
(2)已知| 1| = 3,| 2| = 5,| 1 2| = 7
1
，求 的值；2
(3)设 = + i，其中 , 是实数，当| | = 1时，求| 2 + 1|的最大值和最小值.
【解题思路】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明；
（2 1）设 = + i( , ∈ R)，则 1 = ( + i) 2，由已知| 1| = 3，| 2| = 5，| 1 2| = 7列等式即可求解；2
（3）设复数设 = cos + isin ( ∈ R)的三角形式，利用三角函数值域即可求解.
【解答过程】（1）设 = + i( , ∈ R)， = i ( , ∈ R)
∴ = 2 + 2 = | |2 = | |2, + = 2 ∈ R
∵ ≠± i，| | = 1， ∴ = 1, + = 2 ∈ R且2 ≠ 0，
1
∴ 1+ 2 =
1
+ 2 = + = 2 是实数；
2 1（ ）设 = + i( , ∈ R)，则 1 = ( + i) ，2 2
∵ | 1| = 3，| 2| = 5，
∴ 3 = | 1| =
9
|( + i)|| 2| = 5 2 + 2， ∴ 2 + 2 = 25①
又| 1 2| = |( + i) 2 2| = |( 1) + i|| 2| = 5 ( 1)2 + 2 = 7，
∴ ( 1)2 + 2 = 4925②，
3
联立①②，解得 = 10, =±
3 3
，
10
∴ 1 =
3 3 3
10 ± i；2 10
（3） ∵ | | = 1，设 = cos + isin ( ∈ R)，
则| 2 + 1| = | 2 + | = | ( + 1)| = | || + 1| = |2cos 1|，
∵ 1 ≤ cos ≤ 1， ∴ 3 ≤ 2cos 1 ≤ 1，
∴ | 2 + 1| 2max = 3,| + 1|min = 0.
35．（23-24 高一下·四川成都·期中）我们知道，复数可以用 + i( , ∈ )的形式来表示，与复平面内的点
( , )是一一对应的，复数的模| | = | + i| = 2 + 2，即是复平面内的点 ( , )到坐标原点 的距离
| |．又复数与平面向量 = ( , )也是一一对应的，所以也可以借助与 非负半轴为始边，以向量 所在
射线（射线 OZ）为终边的角 来刻画 的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算．
π π
如： 1 = 1 + 3i，| 1| = 2，角 1 = 6； 2 = 3 + i，| 2| = 2，角 2 = 3，由 1 2 = (1 + 3i) × ( 3 + i) = 4
i．即：复数 = 1 2，相当于将复数 1伸长了| 2|倍，同时逆时针旋转角 2后得到．
(1) + i计算 i ( , ∈ )，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义；
(2)现将直角坐标平面内任意一点 ( , )，绕坐标原点逆时针旋转 角，并将| |的长度伸长 倍后得到点
′, ′ ．请借助以上复数运算的知识，推导点 与点 伸缩旋转变换的坐标关系；
(3) 1已知反比例函数 : = ，现将函数 上的点 ( , )都逆时针旋转45°后得到点 ′, ′ 的曲线 ′，求曲线 ′
上的点 ′, ′ 坐标关系式．
【解题思路】（1）先由复数的除法运算化简，再结合向量间的关系得出复数除法的几何意义.
（2）设出点 ( , )对应的复数为 1，坐标原点逆时针旋转 角，并将| |的长度伸长 倍，即( cos + sin
i)，从而可得出答案.
（3）由（2 ′ = 1）知： ′ = + ，解出 , ，代入方程 = 从而得出答案.
1 + i
【解答过程】（1）令 1 = + i， 2 = i， = = i = i，则| 1| = 2 + 2，| 2| = 1，| | =2
2 + 2， 1 = ( , )， 2 = (0,1)， = ( , )
π
复数 相当于将复数 1缩短了| 2|倍，顺时针旋转了2得到
（2）设点 ( , )对应的复数为： 1 = + i，设： 2 = cos + sin i，
点 ′, ′ 对应的复数为 = ′ + ′i，则
= 1 2 = ( + i)( cos + sin i) = ( cos sin ) + ( sin + sin )i = ′ + ′i所以
′ = ( )
′ = ( + )
′ = = 2 ( ) = 2 ′ + ′
（3）由（2）知： 2 ， 2 ，
′ = + = 2 ( + ) = 2 ′ ′
2 2
1 2 2
代入反比例函数 : = 1得到 2 2 ′
′ ′
′ = 2 ( ′+ ′)，化简得： = 1
2 2 2
．专题 7.4 复数运算的综合应用大题专项训练【五大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 复数的四则运算
1．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知复数 满足 = 4且 + + | | = 0．
(1)求复数 ；
(2)求 3．
2．（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知复数 1 = 4 + i( ∈ )，且 1 (1 2i)为纯虚数.
(1)求复数 1；
(2)若 2 =
1
(1 i)2，求复数 2及| 2|.
3．（24-25 高一·上海·课堂例题）计算：
(1)(4 + i)(3 + 2i)；
(2)( 2 + 3i)( 2 3i)( 3 + 2i)( 3 2i)；
(3) 3+29i1+2i ；
(1+i)4(4) (1 i)
4
1+2i + 1 2i ；
2
(5) ( 3 + 1) + ( 3 1)i ．
4．（23-24 高一下·山西大同·期中）已知复数 满足 (1 3i)为纯虚数， = 2i．
(1)求 以及 ；
(2) + i
3
设 1 = +3 ，若| 1| = 2 2，求实数 的值．
5．（23-24 高一下·江苏南京·期中）已知复数 1 = + i,
1
2 = 1 i, 是纯虚数，其中 是实数.2
(1)求实数 的值;
2 3 2023
(2) 1求 + 1 +
1 + + 1
2 .2 2 2
6．（23-24 高一下·福建漳州·期中）已知复数 = 3 + i( ∈ R)，且(1 + 3i) 为纯虚数.
(1)求复数 ；
(2) 6若复数 = 2+i，求复数 5i的模.
7．（23-24 高一下·江苏淮安·期中）设复数 1 = 1 + i( ∈ ), 2 = 2 i．
(1)若 1 + 2是实数，求 1 2
(2) 1若 是纯虚数，求 ．2 1
题型二 复数的四则运算与复数特征的综合应用
用向量证明线段垂直
8．（23-24 高二下·江用向苏量证无明锡线段·垂期直末）已知复数 z 使得 + 2i ∈ R，2 i ∈ R，其中 i 是虚数单位.
(1)求复数 z 的共轭复数；
(2)若复数( + i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围.
9．（23-24 高一下·贵州·期中）已知复数 的共轭复数为 , 在复平面上对应的点在第一象限，且满足 = 6
i, = 25，
(1)求复数 ；
(2)求复数 + 1 i的模长．
10．（24-25 高二上·重庆·开学考试）已知复数 = + i( ∈ , ∈ )满足| | = 2， 2的虚部是 2．
(1)求复数 ；
(2)设 ， 2， 2在复平面上的对应点分别为 ， ， ，若 点位于第一象限，求 △ 的面积．
11．（23-24 高一下·河北唐山·期中）已知复数 满足| | = 2 2， 2的虚部为 8， 在复平面上对应的点 在第
一象限．
(1)求复数 ；
(2)若复数 1 = 3i，且 1是实数，求实数 的值．
12．（23-24 高一下·福建龙岩·期中）已知复数 = 1 + i（ ∈ R，i为虚数单位）.
(1)若(1 2i) 为纯虚数，求实数 a 的值；
(2)若 = 1+i，且复数 在复平面内所对应的点位于第四象限，求 a 的取值范围.
13．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知复数 = 1 + i（i 是虚数单位， ∈ ），且 (3 + i)为纯虚数
（ 是 z 的共轭复数）．
(1) = +2i设复数 1 1 i ，求| 1|；
i2021(2)设复数 2 = ，且复数 2在复平面内所对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围．
14．（23-24 高一下·山东聊城·期中）已知复数 1， 2在复平面上对应的点分别为(0, 2)，(3,4)．
(1)若 = 2 ，求 的共轭复数；1
(2)若复数 1 + 2在复平面上对应的点在第四象限，求实数 的取值范围．
题型三 复数范围内方程的根的问题
15．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）知复数 1 = 5 + 10i，复数 2在复平面内对应的点为 (3, 4)
(1)若复数 2是关于 的方程 2 + + 1 = 0的一个根， ∈ R，求 + 的值：
1 1 1(2)若复数 满足 = + ，求复数 的共轭复数 .1 2
16．（23-24 高一下·上海松江·期末）已知i为虚数单位，复数 = ( 2 3 4) + ( 2 + )i．
(1)当实数 取何值时， 是纯虚数；
(2)当 = 1时，复数 是关于 的方程 2 + + = 0的一个根，求实数 与 的值．
17．（23-24 高一下·江苏宿迁·期中）已知复数 = 1 i（i是虚数单位）是方程 2 + + = 0的根，其中 ，
是实数
(1)求 和 的值；
(2)若( + i) ( 2 i)是纯虚数，求实数 的值
18．（23-24 高一下·吉林·期末）已知复数 = 2 + i是一元二次方程 2 + + = 0（ , ∈ ）的根.
(1)求 , 的值；
(2)若复数( + i) ( 2i)（其中 ∈ ）为纯虚数，求复数 = (2 + 1) + (4 2)i的模.
19．（23-24 高一下·上海·期末）设i是虚数单位， ∈ . 是关于 的方程
2 (2 + i) + = 0的两根，
且满足| | + | | = 3.
(1)若 = 2 + 5i，求 与 的值；
(2)若 = 0，求 的值.
20．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知复数 1 = 1 + i， 2 = + 3i( ∈ R)（i为虚数单位）满足__________.
在① 2 2 = 10( > 0)，② 1( i) > 0这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题.
1 1
(1)若 = + ，求复数 以及| |；1 2
(2)若 2是实系数一元二次方程 2 + + 4 3 = 0的根，求实数 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.
21．（23-24 高一下·江苏无锡·期末）已知复数 = 4 + i，其中 是正实数，i是虚数单位
(1)如果 2为纯虚数，求实数 的值；
(2)如果 = 2， = 21 1 i是关于 的方程 + + = 0( , ∈ )的一个复根，求 + 的值.
题型四 复数运算的三角表示
22．（24-25 高一下·辽宁大连·阶段练习）设复数 1 = 3 + i，
(1)写出 1的三角形式；
(2)复数 2满足| 2| = 2，且 1 22在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，arg 2 ∈ (0,π)，求 2的代数形式．
23．（24-25 高一·全国·随堂练习）计算：
π π π π
(1)3(cos3 + isin3) 3(cos6 + isin6)；
10(cos 2π+isin 2π )
(2) 3 35(cos π+isin π ) ；
3 3
π π π π
(3) 10(cos2 + isin2) 2(cos4 + isin4)；
12(cos 3π+isin 3π )
(4) 2 26(cos π+isin π ) ；
6 6
(5)[3(cos10° + isin10°)]6；
5
(6)( 3+i) ．
1+ 3i
24 3．（24-25 高一上·上海·课堂例题）设 1、 2、 3在复平面上对应的点分别为 A、B、C， = 2(1 + 3i).若
| 1| = 1， 2 = 1 ， 3 = 2 ，求四边形 的面积.
25．（24-25 高一上· π上海·课后作业）已知复数 z 满足 2 +2 + 4 = 0，且arg ∈ ,π .
2
(1)求 z 的三角形式；
(2)记 , , 分别表示复数 z、 、 2 在复平面上的对应点.已知 , , 三点成逆时针顺序，且 △ 为等边三
角形，求tan(arg )的值.
3 226．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知 是实数， 是非零复数，且满足arg = 4 ， 1 + + (1 + )
2
= 1 + .
（1）求 ；
（2）设 = cos + , ∈ [0,2 )，若| | = 1 + 2，求 的值.
π
27．（24-25 高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数 1 + i对应的向量绕原点逆时针旋转4后所得向量
5π
对应的复数为 1，绕原点顺时针旋转12后所得向量对应的复数为 2
(1)求复数 1, 2；
(2) 1若复数 = ，求复数 .2
28．（23-24 高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数 = + i都可以表示成 (cos + isin )的形
式.其中 是复数 的模， 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数
= + i的辐角， (cos + isin )叫做复数 = + i的三角形式.②方程 = 1（ 为正整数）有 个不同的
复数根；
(1)求证： 1(cos 1 + isin 1) 2(cos 2 + isin 2) = 1 2[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)]；
(2) = 1 3设 2 + i，求
2024；
2
(3)试求出所有满足方程 6 = 1的复数 的值所组成的集合.
题型五 复数综合
29．（24-25 高二上·河南焦作·期中）已知向量 = ( 3,1)， = (cos ,sin )， > 0，若函数 ( ) = ，
且 ( ) π在区间 0, 上不具有单调性.
3
(1)求 的取值范围；
(2) ( ) + [ ( )]i = 2当 取最小整数值时，若 + 2i（其中 ∈ π , π ， ∈ π , π ，i是虚数单位），求5 2 2 6 6
cos( )的值.
30．（24-25 高一上·河南周口·期末）对任意一个非零复数 ，定义集合． = | = 2 1, ∈ * .
(1)设 是方程 + 1 = 2的一个根，试用列举法表示集合 ；
(2)若复数 ∈ ，求证 ．
31．（24-25 高一·江苏·假期作业）设 为虚数， = + 1 为实数．
(1)求| |；
(2)设 在复平面 内对应的点为 ，以 轴的非负半轴为始边，射线 为终边的角记为 ，求证： 2 = cos2 +
isin2 ；
(3) 1 < < 2 = 1 若 ， 1+ ，求|
2|的最小值．
32 5．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知复数 1 = cos + + (sin )i在复平面内对应的点在虚轴的正半13
轴上，复数 2 = cos( + ) + sin( + ) 3 i < 05
(1)求sin ，cos( + )的值；
(2)求cos( + 2 )，sin 的值．
33．（24-25 高一下·山东菏泽·阶段练习）已知复数 1 = 2sin 3i， 2 = 1 + (2cos )i， ∈ [0,π]．
(1)若 1 = 2，求角 ；
(2)复数 1， 2对应的向量分别是 ， ，
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）存在 使等式 = 0成立，求实数 的取值范围．
34．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数： = + i与 = i( , ∈ )，我们把它们互称
为共轭复数， ≠ 0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质：
（1） + = 2 ∈ R
（2） = 2 i（当 ≠ 0时，为纯虚数）
（3） = ∈ R
（4）( ) =
（5） = 2 + 2 = | |2 = | |2.
（6）两个复数和 差 积 商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和 差 积 商.
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
(1)设 ≠± i,| | = 1.求证：1+ 2是实数；
(2)已知| 1| = 3,| 2| = 5,| 1 2| = 7
1
，求 的值；2
(3)设 = + i，其中 , 是实数，当| | = 1时，求| 2 + 1|的最大值和最小值.
35．（23-24 高一下·四川成都·期中）我们知道，复数可以用 + i( , ∈ )的形式来表示，与复平面内的点
( , )是一一对应的，复数的模| | = | + i| = 2 + 2，即是复平面内的点 ( , )到坐标原点 的距离
| |．又复数与平面向量 = ( , )也是一一对应的，所以也可以借助与 非负半轴为始边，以向量 所在
射线（射线 OZ）为终边的角 来刻画 的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算．
π π
如： 1 = 1 + 3i，| 1| = 2，角 1 = 6； 2 = 3 + i，| 2| = 2，角 2 = 3，由 1 2 = (1 + 3i) × ( 3 + i) = 4
i．即：复数 = 1 2，相当于将复数 1伸长了| 2|倍，同时逆时针旋转角 2后得到．
(1) + i计算 i ( , ∈ )，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义；
(2)现将直角坐标平面内任意一点 ( , )，绕坐标原点逆时针旋转 角，并将| |的长度伸长 倍后得到点
′, ′ ．请借助以上复数运算的知识，推导点 与点 伸缩旋转变换的坐标关系；
(3) 1已知反比例函数 : = ，现将函数 上的点 ( , )都逆时针旋转45°后得到点 ′, ′ 的曲线 ′，求曲线 ′
上的点 ′, ′ 坐标关系式．
