专题 8.1 基本立体图形【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 简单几何体的识别】 ................................................................................................................................4
【题型 2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 ............................................................................................................5
【题型 3 旋转体的结构特征】 ................................................................................................................................6
【题型 4 空间几何体的有关计算】 ........................................................................................................................7
【题型 5 组合体的结构特征】 ................................................................................................................................9
【题型 6 平面图形旋转形成的几何体】 ..............................................................................................................10
【题型 7 空间几何体的截面问题】 ......................................................................................................................12
【题型 8 多面体与球体内切外接问题】 ..............................................................................................................12
【知识点 1 空间几何体的结构特征】
1．空间几何体的有关概念
(1)空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间
图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
(2)定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面 BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱 AA'，棱 BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点 A，B，A'等.
(3)旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线 OAA'O'绕 OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线 OO'是该旋转体的轴.
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱 棱锥 棱台
有两个面互相平行，其余各面
有一个面是多边形，其余 用一个平行于棱锥底面
都是四边形，并且相邻两个四
定 各面都是有一个公共顶 的平面去截棱锥，底面和
义 边形的公共边都互相平行，由 点的三角形，由这些面所 截面之间那部分多面体
这些面所围成的多面体叫做
围成的多面体叫做棱锥. 叫做棱台.
棱柱.
(1)上底面：原棱锥的截
(1)底面(底):多边形面； 面；
(1)底面(底)：两个互相平行的
(2)侧面：有公共顶点的 (2)下底面：原棱锥的
面；
相 各个三角形面； 底面 .
关 (2)侧面：其余各面； (3)
概 侧棱：相邻侧面的公
(3)侧面：其余各面.
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
念 共边； (4)侧棱：相邻侧面的公
(4)顶点：侧面与底面的公共顶
(4)顶点：各侧面的公共 共边；
点.
顶点. (5)顶点：侧面与底面的
公共顶点.
图
形
及
表
示
棱柱 ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 棱锥 S-ABCD(或四棱锥
(或六棱柱 AD'). S - A C ) 棱台 ABCD-A'B'C'D'
(1)上、下底面互相平行，
结 (1)底面互相平行且全等； (1)底面是多边形； 且是相似图形；
构 (2) (2) (2)
特 侧面都是平行四边形； 侧面都是三角形； 各侧棱的延长线交于
征 (3)侧棱都相等，且互相平行. (3)侧面有一个公共顶点. 一点；
(3)各侧面为梯形.
棱柱的底面是几边形就叫几 棱锥的底面是几边形就 由几棱锥截得的就叫几
分
类 棱柱，例如，三棱柱、四棱 叫几棱锥，例如，三棱锥、 棱台，例如，由三棱锥截
柱…… 四棱锥…… 得的棱台叫三棱台.
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
圆柱 圆锥 圆台 球
以直角三角形的一 半圆以它的直径所在
以矩形的一边所在
条直角边所在直线 用平行于圆锥底面的 直线为旋转轴，旋转
直线为旋转轴，其
定 为旋转轴，其余两边 平面去截圆锥，底面 一周形成的曲面叫做
余三边旋转一周形
义 旋转一周形成的面 与截面之间的部 球面，球面所围成的
成的面所围成的旋
所围成的旋转体 叫 分叫做圆台. 旋转体叫做球体，简
转体叫做圆柱.
做圆锥. 称球.
(1)上底面：原圆锥的
(1)轴：旋转轴. (1)轴：旋转轴. 截面.
(2)底面：垂直于轴 (2)底面：垂直于轴的 (2)下底面：原圆锥的
(1)球心：半圆的圆
的边旋转而成的圆 边旋转而成的圆面. 底面.
心.
面. (3)侧面：直角三角形 (3)轴：上、下底面圆
(2)半径：连接球心和
相 (3)侧面：平行于轴 的斜边绕轴旋转形 心的连线所在的直
关 球面上任意一点
概 的边旋转而成的曲 成的曲面
. 线.
的线段.
念 面. (4)母线：无论旋转到 (4)侧面：原圆锥的侧
(3)直径：连接球面上
(4)母线：无论旋转 什么位置，斜边都叫 面被平面截去后剩余
两点并且经过球心的
到什么位置，平行 做圆锥的母线 的曲面.
线段.
于轴的边都叫做圆 (5)顶点：母线的交 (5)母线：原圆锥的母
柱侧面的母线. 点. 线被平面截去后剩余
的部分.
图
形
及
表
示
圆台 OO'
圆柱 OO'
圆锥 SO 球 O
(1)圆柱两个底面是 (1)上、下底面是互相
圆面而不是圆. 平行且不相等的圆 (1)球的表面叫做球
(1)底面是圆面.
(2)圆柱有无数条母 面. 面，所以球面是旋转
(2)有无数条母线，长
线，圆柱的任意两 (2)有无数条母线，等 形成的曲面.另外，球
结 度相等且交于顶点.
条母线互相平行 长且延长线交于一 面也可看成空间中，
构 (3)平行于底面的截
(与轴平行)且相等. 点. 到定点(球心)的距离
特 面是与底面大小不
(3)平行于底面的截 (3)平行于底面的截面 等于定长(半
征 同的圆面，过轴的截
面是与底面大小相 是与两底面大小都不 径)的所有点的集合.
面(轴截面)是全等的
同的圆面，过轴的 等的圆面，过轴 (2)球的截面都是圆
等腰三角形.
截面(轴截面)是全 的截面(轴截面)是全 面.
等的矩形. 等的等腰梯形.
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
4．空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的
情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
【题型 1 简单几何体的识别】
【例 1】（22-23 高一下·重庆万州·阶段练习）下列图形中，不是棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 1-1】（23-24 高一下·天津·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥
C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱
【变式 1-2】（23-24 高一下·山西晋城·期中）下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 1-3】（23-24 高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是
（ ）
A．①是圆台 B．②是圆台 C．③是圆锥 D．④是圆台
【题型 2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】
【例 2】（23-24 高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【变式 2-1】（23-24 高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．一个多面体至少有 4 个面
C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【变式 2-2】（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式 2-3】（2024 高一下·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【题型 3 旋转体的结构特征】
【例 3】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（ ）．
A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高
【变式 3-1】（23-24 高一下·天津南开·期末）给出下列命题：
①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台；
④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形．
其中正确命题是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【变式 3-2】（23-24 高一下·河南濮阳·阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
【变式 3-3】（24-25 高一下·天津和平·阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【题型 4 空间几何体的有关计算】
【例 4】（24-25 高一·全国·课后作业）长方体 1 1 1 1中， 1 = 1，∠ 1 = ∠ 1 1 1 = 60°，
则此长方体的对角线长是（ ）
A．2 B． 5 C． 3 D． 2
【变式 4-1】（23-24 高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，一只蚂蚁从点 P 处
沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点 P 处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A． 3 B．3 C．2 3 D．3 3
【变式 4-2】（23-24 高一下·广东潮州·期末）正四棱台 1 1 1 1中，上底面 1 1 1 1的边长为 2，
下底面 ABCD 的边长为 4，棱台的高为 1，则该四棱台的侧棱长为（ ）
A．2 3 B． 3 C． 2 D．2 2
【变式 4-3】（23-24 高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱 ′中， ， 分别为圆 ， ′的直径， // ，
= = 2， 为 的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从 爬到 的最短路径的长度为（ ）
A． π2 + 1 B． 4π2 + 1 C． 3 D． 5
【知识点 2 简单组合体】
1．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
(3)常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
2．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角
形.
(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四
边形中至少有一组对边平行.
(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是
正五边形.
(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示
【题型 5 组合体的结构特征】
【例 5】（24-25 高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由
正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ）
A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有 12 个面
C．该几何体恰有 24 条棱
D．该几何体恰有 12 个顶点
【变式 5-1】（23-24 高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由
（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【变式 5-2】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，说出图中两个几何体的结构特征.
【变式 5-3】（24-25 高一·全国·课后作业）指出如图所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
【题型 6 平面图形旋转形成的几何体】
【例 6】（23-24 高一下·陕西榆林·期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（ ）
A． B． C． D．
【变式 6-1】（24-25 高一下·广东珠海·阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为
清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是
（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【变式 6-2】（2024 高一·江苏·专题练习）若将如图所示的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结
构特征．
【变式 6-3】（24-25 高一·全国·课后作业）一直角梯形 如图所示，分别画出以 ， ， ， 所在
直线为轴旋转一周所得几何体的大致形状，试说明所得几何体的特征.
【题型 7 空间几何体的截面问题】
【例 7】（23-24 高一下·福建南平·期中）用一个平面截一个几何体，得到的截面是一个梯形，这个几何体
不可能是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台
【变式 7-1】（23-24 高一下·福建福州·期中）已知正方体 1 1 1 1的棱长为2， , , 分别是 , 1
, 1 1的中点，则过这三点的截面面积是（ ）
A．3 2 B．6 2 C．6 3 D．3 3
【变式 7-2】（23-24 高一下·贵州贵阳·期末）如图，在正方体 1 1 1 1中，点 , 分别是 , 的中
点，过点 1, , 的平面截该正方体所得的截面是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式 7-3】（23-24 高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为2 3的正三棱锥 中，
∠ = ∠ = ∠ = 40 ，过 作截面 ，则截面的最小周长为（ ）
A．2 2 B．4 C．6 D．10
【题型 8 多面体与球体内切外接问题】
【例 8】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为 1，半径为 ，下底面圆心为 2，半径为2 ，
高为 ，若该圆台的外接球球心为 ，且 1 = 2
2，则 = （ ）
A． 3 B．3 C． 2 D．2
【变式 8-1】（23-24 高一下·浙江台州·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 3π且半径为 2 的扇形，
记该圆锥的内切球半径为 1，外接球半径为 2，则 1 + 2 = （ ）
A．2 3 1 B．2 3 +1 C．5 2 3 D．5 + 2 3
【变式 8-2】（23-24 高一下·四川·期末）如图，在直三棱柱 1 1 1中，侧棱长为2， ⊥ ，
= = 1，点 在上底面 1 1 1（包含边界）上运动，则三棱锥 外接球半径的取值范围为（ ）
A 9 9 3 5 3． 1, 6 B． , 6 C． , D． ,
2 8 2 8 2 4 2
【变式 8-3】（24-25 高一上·全国·期中）水平放置的正四棱柱（底面边长为 a）形容器内放入两个大小不等
的铁球，其中较大的铁球与容器的底部和两个侧面相切，较小的铁球与该球外切，并且与容器的另外两个
侧面相切，现往容器里注水，水面没过较大铁球后，继续注水，当水面恰好与较小铁球相切时，测得水面
的高度为 a，则两个铁球的半径之和为（容器壁厚度忽略不计）（ ）
A．a B．2 2 C 3 3． D．5 5
2 2 2专题 8.1 基本立体图形【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 简单几何体的识别】 ................................................................................................................................4
【题型 2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 ............................................................................................................6
【题型 3 旋转体的结构特征】 ................................................................................................................................8
【题型 4 空间几何体的有关计算】 ......................................................................................................................10
【题型 5 组合体的结构特征】 ..............................................................................................................................13
【题型 6 平面图形旋转形成的几何体】 ..............................................................................................................15
【题型 7 空间几何体的截面问题】 ......................................................................................................................18
【题型 8 多面体与球体内切外接问题】 ..............................................................................................................21
【知识点 1 空间几何体的结构特征】
1．空间几何体的有关概念
(1)空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间
图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
(2)定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面 BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱 AA'，棱 BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点 A，B，A'等.
(3)旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线 OAA'O'绕 OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线 OO'是该旋转体的轴.
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱 棱锥 棱台
有两个面互相平行，其余各面
有一个面是多边形，其余 用一个平行于棱锥底面
都是四边形，并且相邻两个四
定 各面都是有一个公共顶 的平面去截棱锥，底面和
义 边形的公共边都互相平行，由 点的三角形，由这些面所 截面之间那部分多面体
这些面所围成的多面体叫做
围成的多面体叫做棱锥. 叫做棱台.
棱柱.
(1)上底面：原棱锥的截
(1)底面(底):多边形面； 面；
(1)底面(底)：两个互相平行的
(2)侧面：有公共顶点的 (2)下底面：原棱锥的
面；
相 各个三角形面； 底面 .
关 (2)侧面：其余各面； (3)
概 侧棱：相邻侧面的公
(3)侧面：其余各面.
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
念 共边； (4)侧棱：相邻侧面的公
(4)顶点：侧面与底面的公共顶
(4)顶点：各侧面的公共 共边；
点.
顶点. (5)顶点：侧面与底面的
公共顶点.
图
形
及
表
示
棱柱 ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 棱锥 S-ABCD(或四棱锥
(或六棱柱 AD'). S - A C ) 棱台 ABCD-A'B'C'D'
(1)上、下底面互相平行，
结 (1)底面互相平行且全等； (1)底面是多边形； 且是相似图形；
构 (2) (2) (2)
特 侧面都是平行四边形； 侧面都是三角形； 各侧棱的延长线交于
征 (3)侧棱都相等，且互相平行. (3)侧面有一个公共顶点. 一点；
(3)各侧面为梯形.
棱柱的底面是几边形就叫几 棱锥的底面是几边形就 由几棱锥截得的就叫几
分
类 棱柱，例如，三棱柱、四棱 叫几棱锥，例如，三棱锥、 棱台，例如，由三棱锥截
柱…… 四棱锥…… 得的棱台叫三棱台.
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
圆柱 圆锥 圆台 球
以直角三角形的一 半圆以它的直径所在
以矩形的一边所在
条直角边所在直线 用平行于圆锥底面的 直线为旋转轴，旋转
直线为旋转轴，其
定 为旋转轴，其余两边 平面去截圆锥，底面 一周形成的曲面叫做
余三边旋转一周形
义 旋转一周形成的面 与截面之间的部 球面，球面所围成的
成的面所围成的旋
所围成的旋转体 叫 分叫做圆台. 旋转体叫做球体，简
转体叫做圆柱.
做圆锥. 称球.
(1)上底面：原圆锥的
(1)轴：旋转轴. (1)轴：旋转轴. 截面.
(2)底面：垂直于轴 (2)底面：垂直于轴的 (2)下底面：原圆锥的
(1)球心：半圆的圆
的边旋转而成的圆 边旋转而成的圆面. 底面.
心.
面. (3)侧面：直角三角形 (3)轴：上、下底面圆
(2)半径：连接球心和
相 (3)侧面：平行于轴 的斜边绕轴旋转形 心的连线所在的直
关 球面上任意一点
概 的边旋转而成的曲 成的曲面
. 线.
的线段.
念 面. (4)母线：无论旋转到 (4)侧面：原圆锥的侧
(3)直径：连接球面上
(4)母线：无论旋转 什么位置，斜边都叫 面被平面截去后剩余
两点并且经过球心的
到什么位置，平行 做圆锥的母线 的曲面.
线段.
于轴的边都叫做圆 (5)顶点：母线的交 (5)母线：原圆锥的母
柱侧面的母线. 点. 线被平面截去后剩余
的部分.
图
形
及
表
示
圆台 OO'
圆柱 OO'
圆锥 SO 球 O
(1)圆柱两个底面是 (1)上、下底面是互相
圆面而不是圆. 平行且不相等的圆 (1)球的表面叫做球
(1)底面是圆面.
(2)圆柱有无数条母 面. 面，所以球面是旋转
(2)有无数条母线，长
线，圆柱的任意两 (2)有无数条母线，等 形成的曲面.另外，球
结 度相等且交于顶点.
条母线互相平行 长且延长线交于一 面也可看成空间中，
构 (3)平行于底面的截
(与轴平行)且相等. 点. 到定点(球心)的距离
特 面是与底面大小不
(3)平行于底面的截 (3)平行于底面的截面 等于定长(半
征 同的圆面，过轴的截
面是与底面大小相 是与两底面大小都不 径)的所有点的集合.
面(轴截面)是全等的
同的圆面，过轴的 等的圆面，过轴 (2)球的截面都是圆
等腰三角形.
截面(轴截面)是全 的截面(轴截面)是全 面.
等的矩形. 等的等腰梯形.
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
4．空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的
情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
【题型 1 简单几何体的识别】
【例 1】（22-23 高一下·重庆万州·阶段练习）下列图形中，不是棱柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据棱柱的定义判断即可.
【解答过程】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
故 A 为四棱柱，B 为三棱柱，C 为四棱柱，
D 中有两个面为梯形，两个面为三角形且三角形面不平行，故 D 不是棱柱.
故选：D.
【变式 1-1】（23-24 高一下·天津·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥
C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱
【解题思路】棱柱：有两个面平行，其余各面都是平行四边行，且相邻的公共边平行所围成的图形；
棱锥：由一个面是多边形，其余各面都是共顶点的三角形所围成的图形；
棱台：用平行与底面的截面截棱锥，截面与底面之间几何体；
圆台：用平行与底面的截面截圆锥，截面与底面之间几何体.
【解答过程】对于 A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故 A 错误；
对于 B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故 B 错误；
对于 C：④是棱柱，故 C 错误；
对于 D：③是棱锥，④是棱柱，故 D 正确.
故选：D.
【变式 1-2】（23-24 高一下·山西晋城·期中）下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据台体、锥体概念逐一分析，即可得结果.
【解答过程】A 是圆台，D 是棱锥，C 侧棱延长没有交于一点，故不是四棱台，B 是三棱台．
故选：B.
【变式 1-3】（23-24 高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是
（ ）
A．①是圆台 B．②是圆台 C．③是圆锥 D．④是圆台
【解题思路】根据圆锥，圆台的概念可得选项.
【解答过程】图①不是由圆锥截得的,所以①不是圆台;
图②上下两个面不平行，所以②不是圆台;
图④不是由圆锥截得的，所以④不是圆台;很明显③是圆锥，
故选：C.
【题型 2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】
【例 2】（23-24 高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【解题思路】利用棱柱的定义判断 ABC；利用棱台的定义判断 D.
【解答过程】对于 A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A 错误；
对于 B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B 错误；
对于 C，由棱柱的定义知，C 正确；
对于 D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D 错误.
故选：C.
【变式 2-1】（23-24 高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．一个多面体至少有 4 个面
C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【解题思路】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可.
【解答过程】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A 错误；
多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B 正确，；
有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平
行，C 错误；
用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D 错误.
故选：B.
【变式 2-2】（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）有下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】利用棱柱、棱锥、棱台的概念，即可对逐个选项的正误作出判断．
【解答过程】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
行，
①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示；
棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误；
棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误；
正确命题有 1 个.
故选：B.
【变式 2-3】（2024 高一下·全国·专题练习）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【解题思路】由棱锥的定义可判断 A，由棱台的定义可判断 BCD.
【解答过程】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故 A
错误；
两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故 B
错误，D 正确；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故 C 错误．
故选：D.
【题型 3 旋转体的结构特征】
【例 3】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（ ）．
A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高
【解题思路】根据圆锥、圆台、圆锥的结构特征逐一判断即可.
【解答过程】对于 A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A 错误；
对于 B，当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B 错误；
对于 C，圆锥只有一个底面，C 错误；
对于 D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D 正确.
故选：D.
【变式 3-1】（23-24 高一下·天津南开·期末）给出下列命题：
①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台；
④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形．
其中正确命题是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【解题思路】根据圆锥母线的定义、棱台的定义、圆台的定义、平面与圆柱底面的位置关系即可依次判断．
【解答过程】解：①根据圆锥的母线的定义，可知①正确；
②把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故②错误；
③根据圆台的定义，可知③正确；
④当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故④错误．
故选：B．
【变式 3-2】（23-24 高一下·河南濮阳·阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
【解题思路】由棱台圆台和旋转体的结构特征，圆柱母线的定义，对选项进行判断.
【解答过程】由棱台的结构特征可知，A 选项中说法正确；
由圆台的结构特征可知，B 选项中说法正确；
直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥，
是由两个同底圆锥组成的几何体，C 选项中的说法错误；
在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，
只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D 选项中说法正确.
故选：C.
【变式 3-3】（24-25 高一下·天津和平·阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【解题思路】由正四棱锥的概念判断 B；由旋转体的结构特征判断 A、C、D．
【解答过程】对于 A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故 A 正确；
对于 B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故 B 错误；
对于 C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故 C 正确；
对于 D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆
台，故 D 正确．
故选：B．
【题型 4 空间几何体的有关计算】
【例 4】（24-25 高一·全国·课后作业）长方体 1 1 1 1中， 1 = 1，∠ 1 = ∠ 1 1 1 = 60°，
则此长方体的对角线长是（ ）
A．2 B． 5 C． 3 D． 2
【解题思路】根据题意，作图，根据勾股定理和锐角三角函数，分别计算出长方形的长宽高，进而利用长
方体的对角线的计算公式，直接计算可得答案
【解答过程】
由已知得， 1 = 1，∠ 1 = ∠ 1 1 1 = 60°，根据勾股定理和锐角三角函数，在直角三角形 1 1 中，
= 1 = 2 = sin60 = 3 = 3 =
1 1
得 1 cos60 ， 1 1 1 ，在直角三角形 1 1 1中，由 1 1 ，可得 1 1 tan60
= 1， 1 1 = 1 + 3 = 2，则此长方体的对角线长为 12 + 1 12 + 1 12 = 1 + 3 + 1 = 5.
故选：B.
【变式 4-1】（23-24 高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，一只蚂蚁从点 P 处
沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点 P 处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A． 3 B．3 C．2 3 D．3 3
【解题思路】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为 ′，在 △ ′中，解三角形即可.
【解答过程】已知圆锥的侧面展开图为半径是 3 的扇形，如图，
一只蚂蚁从点 P 出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点 P 的最短距离为 ′，
设∠ ′ = ，圆锥底面周长为2π，所以圆弧 ′的长为2π，
2π
所以 = 3 ，
在 △ ′中，由 = ′，得 ′ = 2 + ( ′)2 2 ′ cos = 32 + 32 2 × 3 × 3 × 1 = 3 3，
2
故选：D.
【变式 4-2】（23-24 高一下·广东潮州·期末）正四棱台 1 1 1 1中，上底面 1 1 1 1的边长为 2，
下底面 ABCD 的边长为 4，棱台的高为 1，则该四棱台的侧棱长为（ ）
A．2 3 B． 3 C． 2 D．2 2
【解题思路】连接 ，作 1 ⊥ 平面 ， 1 ⊥ 平面 ，侧棱 1 = 1 2 + 2.
【解答过程】连接 ，作 1 ⊥ 平面 ， 1 ⊥ 平面 ， 1 = 1，
因为 1 1 1 1为正四棱台，则 , 在 上，
因为上底面 1 1 1 1的边长为 2，下底面 的边长为 4，
= 1 1 = 2 2, = 4 2, = 2，
侧棱 1 = 1 2 + 2 = 1 + 2 = 3.
故选：B.
【变式 4-3】（23-24 高一下·辽宁·期末）如图，在圆柱 ′中， ， 分别为圆 ， ′的直径， // ，
= = 2， 为 的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从 爬到 的最短路径的长度为（ ）
A． π2 + 1 B． 4π2 + 1 C． 3 D． 5
【解题思路】把半圆柱侧面展开得到侧面展开图为矩形 ，结合矩形的性质，即可求解.
【解答过程】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形 ，
在圆柱 ′中，因为 = = 2，可得 = π，
即矩形 中， = π， = 1，则最短路径的长度为 = 2 + 2 = π2 + 1．
故选：A.
【知识点 2 简单组合体】
1．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
(3)常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
2．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角
形.
(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四
边形中至少有一组对边平行.
(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是
正五边形.
(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示
【题型 5 组合体的结构特征】
【例 5】（24-25 高一下·河南商丘·阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由
正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ）
A．该几何体的面是等边三角形或正方形
B．该几何体恰有 12 个面
C．该几何体恰有 24 条棱
D．该几何体恰有 12 个顶点
【解题思路】根据几何体的形状逐个选项判断即可.
【解答过程】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A 正确；该几何体恰有 14 个面，B 不正确；
该几何体恰有 24 条棱，C 正确；该几何体恰有 12 个顶点，D 正确．
故选：B.
【变式 5-1】（23-24 高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由
（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【解题思路】根据组合体基本构成即可得答案.
【解答过程】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.
故选：B.
【变式 5-2】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，说出图中两个几何体的结构特征.
【解题思路】根据图形将其分解成几个常见几何体并将其归类处理，即可得出结论.
【解答过程】解：几何体（1）是圆台上拼接了一个与圆台上底同底的圆锥；
几何体（2）是长方体上拼接了一个同底的四棱锥.
【变式 5-3】（24-25 高一·全国·课后作业）指出如图所示的图形是由哪些简单几何体构成的．
【解题思路】分割原图，使它的每一部分都是简单几何体，再分析构成即可.
【解答过程】分割原图，使它的每一部分都是简单几何体．
图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图(3)是由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成．
图(4)是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成的．
【题型 6 平面图形旋转形成的几何体】
【例 6】（23-24 高一下·陕西榆林·期中）下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案．
【解答过程】由图可知，A 选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台，
B 选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体，
C 选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱，
D 选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．
故选：A.
【变式 6-1】（24-25 高一下·广东珠海·阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为
清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是
（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【解题思路】根据旋转体的定义可得正确的选项.
【解答过程】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，
而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，
故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，
故选：B.
【变式 6-2】（2024 高一·江苏·专题练习）若将如图所示的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结
构特征．
【解题思路】如图，将图形分成直角三角形、直角梯形和矩形 3 个部分，结合旋转体的定义即可求解.
【解答过程】①是直角三角形，旋转后形成圆锥；
②是直角梯形，旋转后形成圆台；
③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．
通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．
【变式 6-3】（24-25 高一·全国·课后作业）一直角梯形 如图所示，分别画出以 ， ， ， 所在
直线为轴旋转一周所得几何体的大致形状，试说明所得几何体的特征.
【解题思路】根据给定条件，利用旋转体的定义画出几何体，再说明几何体的特征作答.
【解答过程】直角梯形 中， // ， ⊥ ， < ，
以 所在直线为轴旋转，得到的几何体是一个圆台，如图：
以 所在直线为轴旋转，得到的几何体是一个圆柱和圆锥的组合体，如图：
以 所在直线为轴旋转，得到的几何体是圆台挖去一个以其上底面为底面的小圆锥，增加一个以其下底面
为底面的较大的圆锥构成的几何体，如图：
以 所在直线为轴旋转，得到的几何体是圆柱挖去一个以其面底为底面的圆锥构成的几何体，如图：
【题型 7 空间几何体的截面问题】
【例 7】（23-24 高一下·福建南平·期中）用一个平面截一个几何体，得到的截面是一个梯形，这个几何体
不可能是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．棱锥 D．圆台
【解题思路】判断几何体被平面截取的图形，逐项判断即可.
【解答过程】如图：
平面截长方体的截面 为梯形，故选项 A 符合题意；
如图：
平面截三棱锥 的截面 为梯形，故选项 C 符合题意；
如图：
当平面沿圆台的轴截圆台时，截面 1 1为等腰梯形，故选项 D 符合题意；
用一个平面截圆锥，得到的截面图形可能是圆、椭圆、抛物线、三角形，不可能是梯形，
故选项 B 不合题意.
故选：B.
【变式 7-1】（23-24 高一下·福建福州·期中）已知正方体 1 1 1 1的棱长为2， , , 分别是 , 1
, 1 1的中点，则过这三点的截面面积是（ ）
A．3 2 B．6 2 C．6 3 D．3 3
【解题思路】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形 ，且边长为 2，进而求得截面
的面积，得到答案.
【解答过程】如图所示，分别取 1 1, 1, 的中点 , , ，连接 , , , ，
在正方体 1 1 1 1中，可得 // , // , // ，
所以经过点 , , 的截面为正六边形 ，
又因为正方体 1 1 1 1的棱长为2，
在直角 △ 中，可得 = 2 + 2 = 2，
3
所以截面正六边形的面积为6 × × ( 2)2 = 34 3.
故选：D.
【变式 7-2】（23-24 高一下·贵州贵阳·期末）如图，在正方体 1 1 1 1中，点 , 分别是 , 的中
点，过点 1, , 的平面截该正方体所得的截面是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【解题思路】把截面补形，利用共面可得结果．
【解答过程】
延长 , ,与直线 相交于 , ,连接 1 , 1 与 1, 1分别交于点 , ,
连接 , ，则五边形 1 即为截面，
故选：C.
【变式 7-3】（23-24 高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为2 3的正三棱锥 中，
∠ = ∠ = ∠ = 40 ，过 作截面 ，则截面的最小周长为（ ）
A．2 2 B．4 C．6 D．10
【解题思路】作出三棱锥的侧面展开图，连接 交 、 于点 、 ，则侧面展开图中线段 的长度即为
截面的最小周长，利用余弦定理计算可得.
【解答过程】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面 的周长最小，
连接 交 、 于点 、 ，则侧面展开图中线段 的长度即为截面的最小周长，
因为侧棱长为2 3的正三棱锥 ，∠ = ∠ = ∠ = 40 ，
所以∠ = 120 ，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos120
2 2
= (2 3) + (2 3) 2 × 2 3 × 2 3 × 1 = 36，
2
∴ = 6，所以截面的最小周长为6.
故选：C.
【题型 8 多面体与球体内切外接问题】
【例 8】（2024·全国·模拟预测）已知某圆台的上底面圆心为 1，半径为 ，下底面圆心为 2，半径为2 ，
高为 ，若该圆台的外接球球心为 ，且 1 = 2 2，则 = （ ）
A． 3 B．3 C． 2 D．2
2 2 2
【解题思路】根据题意，得到 2 + = (2 )2 + 3 3 ，进而求得 的值.
【解答过程】由圆台的上底面圆心为 1，半径为 ，下底面圆心为 2，半径为2 ，高为 ，
2
如图所示，因为 1 = 2 2，所以 1 = 3 , 2 = 3，
2 + 2
2
= (2 )2 +
2 2
所以 3 3 ，解得
3 2 = 3 ，所以 = 3.
故选：B.
【变式 8-1】（23-24 高一下·浙江台州·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 3π且半径为 2 的扇形，
记该圆锥的内切球半径为 1，外接球半径为 2，则 1 + 2 = （ ）
A．2 3 1 B．2 3 +1 C．5 2 3 D．5 + 2 3
【解题思路】设 △ 为圆锥的轴截面， 为底面圆的圆心，先求出圆锥的底面圆的半径，利用等面积法
求出 1，利用正弦定理可求出 2，即可得解.
【解答过程】设圆锥的底面圆的半径为 ，
则2 3π = 2π ，所以 = 3，
如图， △ 为圆锥的轴截面， 为底面圆的圆心，
则 △ 内切圆的半径即为该圆锥的内切球半径，
= 3, = 2, = 4 3 = 1，
则 1 1△ = 2 × 1 × 2 3 = 2 1(2 + 2 + 2 3)，解得 1 = 2 3 3，
π
在Rt △ 中， = 2, = 1，则∠ = 6，
2 =
2
则 2 1sin∠ = = 4，所以 2 = 2，2
所以 1 + 2 = 2 3 1.
故选：A.
【变式 8-2】（23-24 高一下·四川·期末）如图，在直三棱柱 1 1 1中，侧棱长为2， ⊥ ，
= = 1，点 在上底面 1 1 1（包含边界）上运动，则三棱锥 外接球半径的取值范围为（ ）
A． 1, 6 B 9． , 6 C 9 , 3 D 5． ． , 3
2 8 2 8 2 4 2
【解题思路】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可.
【解答过程】因为 △ 为等腰直角三角形， = = 1，
所以 △ 的外接圆的圆心为 的中点 1，且 21 = ，2
设 1 1的中点为 ，连接 1 ，
则 1 // 1， 1 ⊥ 平面 ，
设三棱锥 外接球的球心为 ，
由球的性质可得点 在 1 上，设 1 = ， = 0 ≤ ≤ 2 ，2
外接球的半径为 ，因为 = = ，
2 22 = 7所以 + (2 )2 + 2，即 2 = 4
2 2
，
7
又0 ≤ ≤ 2，则8 ≤ ≤ 1，2
因为 2 = 2 + 1 81 2 3 9 62，所以64 ≤ ≤ 2，则8 ≤ ≤ ，2
故选：B.
【变式 8-3】（24-25 高一上·全国·期中）水平放置的正四棱柱（底面边长为 a）形容器内放入两个大小不等
的铁球，其中较大的铁球与容器的底部和两个侧面相切，较小的铁球与该球外切，并且与容器的另外两个
侧面相切，现往容器里注水，水面没过较大铁球后，继续注水，当水面恰好与较小铁球相切时，测得水面
的高度为 a，则两个铁球的半径之和为（容器壁厚度忽略不计）（ ）
A 3 3．a B．2 2 C． D．5 5
2 2 2
【解题思路】由题意可得两个球外切且又分别与边长为 的正方体的三个面相切，作出正方体的体对角面，
易知球心 1和 2在 AC 上，根据两圆的关系以及与对角面关系，即可求解.
【解答过程】由题意可得两个球外切且又分别与边长为 的正方体的三个面相切，如图（1），
如图（2），作出正方体的体对角面，易知球心 1和 2在 AC 上，
过点 1， 2分别作 AD，BC 的垂线，垂足分别为 E，F，
设球 1的半径为 r，球 2的半径为 R，
由 = , = 2 , = 3 ，
得 1 1 = 1 2 1sin∠ = = 3 ， 2 = = = 3 ，3 sin∠ 3
∴ + + 3 + 3 = 3 ，∴ + = 3 = 3 3 ，
3+1 2
3 3
即两个铁球的半径之和为 .
2
故选：C.
