专题 8.12 立体几何中必考七类截面、交线问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 截面作图】 ................................................................................................................................................2
【类型 2 判断截面图形的形状】 ............................................................................................................................4
【类型 3 球的截面问题】 ........................................................................................................................................7
【类型 4 截面图形的周长或面积问题】 ................................................................................................................8
【类型 5 截面切割几何体的体积、表面积问题】 ..............................................................................................10
【类型 6 交线及其长度、轨迹问题】 ..................................................................................................................12
【类型 7 截面的最值与范围问题】 ......................................................................................................................14
【知识点 1 立体几何中的截面问题】
1．作截面的几种方法
(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程.
(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体与截面的交线.
2．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 之间满足关系式： .
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为 R，以 O'为圆心的截面的半径
为 r，OO'=d.则在 Rt△OO'C 中，有 ，即 .
【知识点 2 立体几何中的截面、交线问题的解题策略】
1．立体几何截面问题的求解方法
几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、
面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.
2．截面、交线问题的解题策略
(1)作截面应遵循的三个原则：
①在同一平面上的两点可引直线；
②凡是相交的直线都要画出它们的交点；
③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种：
①利用基本事实 3 作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
【类型 1 截面作图】
1．（24-25 高二上·北京·期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心
为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3）
C．（1）（4） D．（1）（5）
2．（24-25 高一·全国·随堂练习）在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面
都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底
面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可
能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底
面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 .（填序号）
5．（2024 高三·全国·专题练习）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为2, , 分别为棱 , 1的中点.请在
正方体的表面完整作出过点 , , 1的截面，并写出作图过程；（不用证明）
6．（24-25 高二上·浙江绍兴·期末）已知棱长为2的正方体 1 1 1 1中， , , 分别是 1 1, , 1
的中点.
(1)求证： //平面 1 1；
(2)过 , , 三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长.
【类型 2 判断截面图形的形状】
7．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体 1 1 1 1中，作截面 (如图)交 1 1， 1
1， ， 分别于 ， ， ， ，则四边形 的形状为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
8．（24-25 高二上·上海·期中）如图，在三棱锥 中，棱 的中点为 ，棱 的中点为 ，棱 的中
点为 ，经过 、 、 的截面一定是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形
9．（24-25 高三下·云南昭通·开学考试）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为2, , 分别是 , 1的中
点，点 是底面 内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点 ，使得 ∥ 平面 1 1
B．过 , , 三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥 1 1 1 的体积不为定值
D．三棱锥 的外接球表面积为9π
10．（2024·北京密云·三模）如图，在正方体 1 1 1 1，P 为线段 1 1上的动点（且不与 1， 1重
合），则以下几种说法：
① ⊥
②三棱锥 C-BPD 的体积为定值
③过 P，C， 1三点作截面，截面图形为三角形或梯形
④DP 1与平面 1 1 1 1所成角的正弦值最大为3
上述说法正确的序号是 .
11．（23-24 高二下·贵州铜仁·期末）如图所示，在长方体 1 1 1 1中， = 5, = 3, 1 = 4, 为
矩形 1 1 1 1内一点，过点 与棱 作平面 ．
(1)直接在图中作出平面 截此长方体所得的截面（不必说明画法和理由），判断截面图形的形状，并证明；
(2)设平面 ∩ 平面 1 1 1 1 = ．若截面图形的周长为 16，求二面角 的余弦值．
12．（2024 高三·全国·专题练习）如图所示，一块正方体木料 1 1 1 1 的棱长为 3 米，点 在棱
1 上，且 1 : = 1:2，过点 把木料据开且锯面与 1 平行，问木料表面上的锯痕是什么形状？
【类型 3 球的截面问题】
13．（24-25 高二·上海·课堂例题）球的半径为 10cm，若它的截面面积是36πcm2，则球心到截面的距离是
（ ）
A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm．
14 2024· · O 500π．（ 四川资阳 二模）已知球 的体积为 3 ，点 A 到球心 O 的距离为 3，则过点 A 的平面 被球 O
所截的截面面积的最小值是（ ）
A．9π B．12π C．16π D．20π
15．（24-25 高三上·河南·开学考试）如图，球 被一个距离球心 ( > 0)的平面截成了两个部分，这两个部
分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫
1
作球缺的高.球冠的面积公式为 = 2π ，球缺的体积公式为 = π(3 ) 23 ，其中 为球的半径， 为球
缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为 1, 2( 1 < 2)，两个球缺的体积分别为 1, 2( 1 < 2)，则下列结论
正确的是（ ）
A 1 3．若 = 2 ，则两个球缺的底面面积均为
2
16π
B 1
．若 =
1 1 5
3，则2
=
2 27
C 1．若 ≥ 3，则 ≤
1
2 2
D．若 ≤ 1 73，则 ≥2 20
16．（2025 高一·全国·专题练习）两平行平面截半径为 13 的球，若截面面积分别为25 和144 ，则这两个
平面间的距离是 .
17．（24-25 高一下·全国·课后作业）一个球内有相距 9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和
400πcm2，求球的表面积．
18．（24-25 高二上·上海·课堂例题）如图，用一平面去截球 O，所得截面面积为16π，球心 O 到截面的距
离为 3cm， 1为截面小圆圆心，AB 为截面小圆的直径．求球 O 的体积．
【类型 4 截面图形的周长或面积问题】
19．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，E 为棱 BC 的中点，用过点
1，E， 1的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A．3 2 +2 5 B．9 C．2 2 +2 5 D．3 2 +2 3
20．（2024·天津和平·三模）已知正方体 1 1 1 1的棱长为 6，点 ， 分别在棱 1 1， 1 1上，且
1 1 = = 1满足 3，点 为底面 的中心，过点 ， ， 作平面 ，则平面 截正方体 1 1 1 1 1 1
1 1所得的截面面积为（ ）
A．8 22 B．6 22 C．4 22 D．2 22
21．（23-24 高二上·四川成都·期末）如图，在直四棱柱 1 1 1 1中， = 2 2， 1 = 2，点 ,
在以线段 为直径的圆 上运动，且 , , 三点共线，点 , 分别是线段 , 1 1的中点，下列说法中正确的
有（ ）
A．存在点 ，使得平面 1与平面 1 1 不垂直
B．当直四棱柱 1 1 1 1的体积最大时，直线 1 与直线 1垂直
C．当 = 2时，过点 1, , 的平面截该四棱柱所得的截面周长为2 5 +3 2
D 5π．当 = 2时，过 的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为 2
22．（24-25 高二上·湖北恩施·期中）在正方体 1 1 1 1中， = 6, 为棱 BC 的中点， 为棱 1 1
的三等分点（靠近点 1），过点 , , 作该正方体的截面．则该截面的周长是 ．
23．（23-24 高一下·山东临沂·期中）如图，在正方体 1 1 1 1，中，H 是 1 1的中点，E，F，G
分别是 DC，BC，HC 的中点．求证：
(1)证明；F，G，H，B 四点共面；
(2)平面 //平面 1 1﹔
(3)若正方体棱长为 1，过 A，E， 1三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．
24．（23-24 高一下·河南·阶段练习）如图，在长方体 1 1 1 1中， , 分别在 1, 上.已知
= = 6, 1 = 8， = = 2.
(1)作出平面 1 截长方体 1 1 1 1的截面，并写出作法；
(2)求（1）中所作截面的周长；
(3)长方体 1 1 1 1被平面 1 截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积.
【类型 5 截面切割几何体的体积、表面积问题】
25．（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为 16
的正方形，则圆柱的侧面积是（ ）
A．12 2 B．16 C．8 D．10
26．（23-24 高一下·陕西宝鸡·期末）如图，圆锥 PO 的底面直径和高均是 4，过 PO 的中点 1作平行于底面
的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）
A． 4 + 4 5 π B． 6 + 4 5 π
C． 8 + 4 5 π D． 9 + 4 5 π
27．（23-24 高一下·江苏南京·期末）用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面
之间那部分多面体叫做正三棱台．如图，在正三棱台 1 1 1中，已知 = 2 1 = 2 1 1 = 2，则
（ ）
A 2．正三棱台 1 1 1的体积是 3
π
B．直线 与平面 1所成的角为6
C 1．点 1到平面 1的距离为2
D 6．正三棱台 1 1 1存在内切球，且内切球半径为 6
28．（24-25 高二上·上海·期中）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看
成是一个球被一个棱长为 6 的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个
截面圆的周长为4π，则该球的表面积是 ．
29．（24-25 高一上·宁夏银川·期末）如图，圆锥的底面直径和高均是 4，过 的中点 ′作平行于底面的截
面，以该截面为底面挖去一个圆柱.
（1）求该圆锥的表面积；
（2）求剩余几何体的体积.
30．（24-25 高二·全国·课后作业）如图， — 是一个长方体被一个平面斜截的几何体，截面是
，已知 = 4， = 3， = = 5， = = 9.
(1)求异面直线 与 所成角的大小；
(2)求该几何体的体积.
【类型 6 交线及其长度、轨迹问题】
31．（24-25 高三上·河北保定·期末）已知三棱锥 的所有棱长均为 2，以 BD 为直径的球面与 △
的交线为 L，则交线 L 的长度为（ ）
A 2 3π． B 4 3π C 2 6π D 4 6π． ． ．
9 9 9 9
32．（24-25 高二上·重庆·期末）已知正方体 1 1 1 1，E，F，G 分别为棱 AB， 1， 1 1的中点，
3 3
若平面 EFG 截该正方体的截面面积为 ，点 P 为平面 EFG 上动点，则使 = 的点 P 轨迹的长度为
2
（ ）
A．π B．2π C． 2π D．2 2π
33．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知在正方体 1 1 1 1中， = 4，点 ， ， 分别在棱
1， 1和 上，且 1 = 3， 1 = 1， = 3，记平面 与侧面 1 1，底面 的交线分别为 ，
，则（ ）
A． 的长度为5 5 B． 的长度为4 5
3 3
C 2 3 13． 的长度为 D． 的长度为
3 3
34．（23-24 高一下·江苏南京·期末）已知正四棱锥 的所有棱长均为 2，以点 为球心，2 为半径的
球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 .
35．（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体 1 1 1 1中，棱长为2, , , 分别是 1 1
, , 1的中点．
(1)画出过 , , 三点的平面与平面 、平面 1 1 的交线；
(2)设过 , , 三点的平面与 交于点 ，求 的长．
36．（23-24 高一下·云南昆明·期末）如图，已知长方体 1 1 1 1中，E 为 的中点，
= = 4， 1 = 2．
(1)证明： 1//平面 1；
(2)设平面 //平面 1，且 ∈ ，在图中作出 与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线
围成图形的面积．
【类型 7 截面的最值与范围问题】
37．（24-25 高三上·江苏常州·阶段练习）已知正三棱锥 的外接球 的表面积为36π，侧棱 = 3 2，
点 为 的中点，过点 作球 的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
A 21 27． π,9π B． π,9π C．[21π,36π] D．[27π,36π]
4 4
38．（2024·辽宁·模拟预测）在三棱锥 中， = = = = 2 2,∠ = ∠ = 90 ，平面 ⊥
平面 ，三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， , 分别在线段 , 上运动（端点除外），
= 2 .当三棱锥 的体积最大时，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．π B． 3π C
3
．2π D．2π
39．（23-24 高三下·山东威海·阶段练习）如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，M，N，P 分别
是 1， 1， 1 1的中点，Q 是线段 1 1上的动点，则（ ）
A．存在点 Q，使 B，N，P，Q 四点共面
B．存在点 Q，使 //平面 MBN
C．过 Q，M，N 三点的平面截正方体 1 1 1 1所得截面面积的取值范围为[2 6,3 3]
D．经过 C，M，B，N 四点的球的表面积为9π
40．（23-24 高一下·安徽宿州·期中）现有一块如图所示的三棱锥木料，其中∠ = ∠ = ∠ = 40°，
= = = 6，木工师傅打算过点 将木料切成两部分，则截面 △ 周长的最小值为 .
41．（23-24 高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴
截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥 底面圆的半径是 4，轴截面 的面积是 12．
(1)求圆锥 的母线长；
(2)过圆锥 的两条母线 ， 作一个截面，求截面 面积的最大值．
42．（24-25 高二上·上海·期中）在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为 1 1， ， 1的中点，
棱长为 .
(1)请在图一作出过 ， ， 三点的平面 截正方体所得的截面 （保留作图痕迹）.
(2)计算截面 的周长.
(3)任作平面 与对角线 1垂直，使平面 与正方体 1 1 1 1的每个面都有公共点，这样得到一个截
面多边形，求该截面多边形的周长 和面积 的取值范围.专题 8.12 立体几何中必考七类截面、交线问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 截面作图】 ................................................................................................................................................2
【类型 2 判断截面图形的形状】 ............................................................................................................................7
【类型 3 球的截面问题】 ......................................................................................................................................12
【类型 4 截面图形的周长或面积问题】 ..............................................................................................................16
【类型 5 截面切割几何体的体积、表面积问题】 ..............................................................................................23
【类型 6 交线及其长度、轨迹问题】 ..................................................................................................................29
【类型 7 截面的最值与范围问题】 ......................................................................................................................35
【知识点 1 立体几何中的截面问题】
1．作截面的几种方法
(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程.
(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体与截面的交线.
2．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 之间满足关系式： .
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为 R，以 O'为圆心的截面的半径
为 r，OO'=d.则在 Rt△OO'C 中，有 ，即 .
【知识点 2 立体几何中的截面、交线问题的解题策略】
1．立体几何截面问题的求解方法
几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、
面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.
2．截面、交线问题的解题策略
(1)作截面应遵循的三个原则：
①在同一平面上的两点可引直线；
②凡是相交的直线都要画出它们的交点；
③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
(2)作交线的方法有如下两种：
①利用基本事实 3 作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
【类型 1 截面作图】
1．（24-25 高二上·北京·期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心
为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（1）（2） B．（1）（3）
C．（1）（4） D．（1）（5）
【解题思路】该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1），不过上、下底的中心时截面图形为（5）.
【解答过程】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）；
当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）.
所以只有（1）、（5）正确.
故选：D.
2．（24-25 高一·全国·随堂练习）在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面
都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设正三棱锥 ，由 , 确定的平面得到截面 △ ，再由正四面体的性质和图象的对称
性加以分析，同时对照选项，即可求解.
【解答过程】如图所示，正三棱锥 ，球 是它的内切球，
设 为底面 △ 的中心，根据对称性可得内切球的球心 在三棱锥的高 上，
由 , 确定的平面交 于 ，连接 、 ，得到截面 △ ，
截面 就是经过侧棱 与 中点的截面，
平面 与内切球相交，截得的球大圆如图所示，
因为 △ 中，圆 分别与 、 相切于点 、 ，且 = ，
圆 与 相离，
所对照各个选项，可得只有 B 项的截面符合题意；
故选：B.
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底
面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由组合体结构特征，用一个平面截几何体，根据平面不同截法判断截面轮廓，即可得答案.
【解答过程】一个圆柱被挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的截面轮廓是矩
形去掉上侧一条边，
而圆锥截面的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，且三角形顶点必在矩形下侧底边中点上、抛物
线顶点不可能在矩形下侧底边上，排除 B,C.
故选：AD.
4．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底
面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是 ①④ （. 填序号）
【解题思路】
应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.
【解答过程】当截面 如下图为轴截面时，截面图形如①所示；
当截面 如下图不为轴截面时，截面图形如④所示，下侧为抛物线的形状.
故答案为:①④.
5．（2024 高三·全国·专题练习）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为2, , 分别为棱 , 1的中点.请在
正方体的表面完整作出过点 , , 1的截面，并写出作图过程；（不用证明）
【解题思路】利用平面的基本性质作出截面图形即可.
【解答过程】连接 1 并延长交 延长线于点 ，
连接 并延长交 于点 ，交 延长线于点 ，
连接 1交 1于点 ，则截面 1 即为所求.
6．（24-25 高二上·浙江绍兴·期末）已知棱长为2的正方体 1 1 1 1中， , , 分别是 1 1, , 1
的中点.
(1)求证： //平面 1 1；
(2)过 , , 三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长.
【解题思路】（1）求证 1 // 即可由线面平行判定定理得证 //平面 1 1；
（2）延长 即可作出截面图，再结合题设条件和正方体性质即可即可计算求解截面的周长.
【解答过程】（1）连接 , 1 , 1 ，则由中位线定理得 // 1
又由正方体性质得 1 1// 且 1 1 = ，
所以四边形 1 1 是平行四边形，所以 1 // 1 ，
所以 1 // ，又 1 平面 1 1， 平面 1 1，
所以 //平面 1 1.
（2）如图，延长 得 与 1, 的交点分别为 , ，
则连接 , 即可得到过 , , 三点的正方体的截面 ，
由图可知 1 = 1 = = = 1，故 = , = ，
所以截面的周长为 + + + + = + + = 2 +2 1 + 32 = 2 +2 10.
【类型 2 判断截面图形的形状】
7．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体 1 1 1 1中，作截面 (如图)交 1 1， 1
1， ， 分别于 ， ， ， ，则四边形 的形状为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
【解题思路】根据题意，结合面面平行的性质，证得 // 和 // ，进而得到答案.
【解答过程】在正方体 1 1 1 1中，可得平面 //平面 1 1 1 1，
且平面 ∩ 平面 = ，平面 ∩ 平面 1 1 1 1 = ，
所以 // ，同理可证： // ，
所以四边形 的形状一定为平行四边形.
故选：A.
8．（24-25 高二上·上海·期中）如图，在三棱锥 中，棱 的中点为 ，棱 的中点为 ，棱 的中
点为 ，经过 、 、 的截面一定是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形
【解题思路】作出辅助线，得到 // , // ，所以四边形 为平行四边形，求出经过 、 、 的截
面为平行四边形 .
【解答过程】取 的中点 ，连接 , , , ，
因为棱 的中点为 ，棱 的中点为 ，棱 的中点为 ，
所以 // , // ， // , // ，
故 // , // ，
所以四边形 为平行四边形，
故经过 、 、 的截面为平行四边形 .
故选：D.
9．（24-25 高三下·云南昭通·开学考试）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为2, , 分别是 , 1的中
点，点 是底面 内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．存在点 ，使得 ∥ 平面 1 1
B．过 , , 三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥 1 1 1 的体积不为定值
D．三棱锥 的外接球表面积为9π
【解题思路】对于 A，通过 P 为 BD 中点可判断，对于 B，由 // 1可判断，对于 C，由 1 1 1 = 1 1 1
可判断，对于 D，由三棱锥 的外接球可以补形为长方体外接球，可判断；
【解答过程】
当 P 为 BD 中点时，由中位线可得： // 1，
不在平面 1 1， 1在平面 1 1内，
所以 //平面 1 1，A 正确；
由中位线易知 // 1，在正方体中，易证 1// 1，所以 // 1，所以截面为梯形 1 ，B 正确；
1 1
因为 1 1 1 = 1 1 1 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 =
4
3，所以体积为定值，C 错误；
三棱锥 4+4+1 3的外接球可以补形为长方体外接球，半径 = = 2，所以表面积 = 9π， D 正确，2
故选：ABD.
10．（2024·北京密云·三模）如图，在正方体 1 1 1 1，P 为线段 1 1上的动点（且不与 1， 1重
合），则以下几种说法：
① ⊥
②三棱锥 C-BPD 的体积为定值
③过 P，C， 1三点作截面，截面图形为三角形或梯形
④DP 与平面 1 1
1
1 1所成角的正弦值最大为3
上述说法正确的序号是 ①②③ .
【解题思路】①根据 1 1 1 1为正方体得到 1 ⊥ ， ⊥ ，然后根据线面垂直的判定定理和
性质即可得到 ⊥ ；②根据点 到平面 的距离为定值，三角形 的面积为定值即可得到三棱锥
的体积为定值；③根据正方体的性质判断截面的形状即可；④根据线面角的定义得到∠ 1为
与平面 1 1 1 1所成角，然后求线面角即可.
【解答过程】连接 ，因为 1 1 1 1为正方体，所以 1 ⊥ 平面 ，四边形 为正方形，
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
因为四边形 为正方形，所以 ⊥ ，
因为 1 ∩ = ， 1, 平面 1 1，所以 ⊥ 平面 1 1，
因为 平面 1 1，所以 ⊥ ，故①正确；
因为点 到平面 的距离为定值，三角形 的面积为定值， = ，所以三棱锥 的
体积为定值，故②正确；
根据正方体性质可知，当 1 延长线与棱 1 1相交时，截面为三角形，当 1 延长线与 1 1相交时，截面为
梯形，故③正确；
连接 1 ，由题意得∠ 1为 与平面 1 1 1 1所成角，因为 1为定值，所以当 1 最小时，tan∠ 1
最大，sin∠ 1最大，
设正方体边长为 ，则 2 1 min = ，此时sin∠ 1 = 2 6 2+ 2 = ，故④错.2 2 3
故答案为：①②③.
11．（23-24 高二下·贵州铜仁·期末）如图所示，在长方体 1 1 1 1中， = 5, = 3, 1 = 4, 为
矩形 1 1 1 1内一点，过点 与棱 作平面 ．
(1)直接在图中作出平面 截此长方体所得的截面（不必说明画法和理由），判断截面图形的形状，并证明；
(2)设平面 ∩ 平面 1 1 1 1 = ．若截面图形的周长为 16，求二面角 的余弦值．
【解题思路】（1）作出截面，利用面面平行的性质及线面垂直的性质判断即可.
（2）连接 ，确定二面角的平面角并计算即得.
【解答过程】（1）在平面 1 1 1 1内过点 作 // 1 1分别交 1 1, 1 1于点 , ，连接 , ，
则四边形 为所作截面，截面 为矩形，证明如下：
在长方体 1 1 1 1中， // 1 1// ，
又平面 1 1//平面 1 1，平面 ∩ 平面 1 1 = ，平面 ∩ 平面 1 1 = ，
于是 // ，四边形 为平行四边形，又 ⊥ 平面 1 1， 平面 1 1，
因此 ⊥ ，所以四边形 为矩形.
（2）连接 ，由矩形 的周长为 16，且 = 3，得 = 5，
又 1 = 4，∠ = 90 1 ，得 1 = 3, 1 = 2，又∠ 1 = 90 ，则 = 2 5，
由（1）知， // ，则 ⊥ 平面 1 1，而 , 平面 1 1，
因此 ⊥ , ⊥ ，二面角 的平面角为∠ ，
1
在 △ 中， = ，则cos∠ = 2 = 5，
5
所以二面角 的余弦值为 5.
5
12．（2024 高三·全国·专题练习）如图所示，一块正方体木料 1 1 1 1 的棱长为 3 米，点 在棱
1 上，且 1 : = 1:2，过点 把木料据开且锯面与 1 平行，问木料表面上的锯痕是什么形状？
【解题思路】先利用线面平行的判定定理推得锯面为过 在正方体上的截面，再分类讨论与上底面的交点
位置，从而得解.
【解答过程】取 ∈ ，且 : = 1:2，连接 ，
则 : = 1 : = 1:2，所以 // 1 ，
此时，由线面平行的判定定理可知，过 的锯面就是满足题意的锯面；
当锯面分别与 , 交于 , 时，
延长 交 延长线于 ，连接 交 1 于 ，
延长 交 延长线于 ，连接 交 1 于 ,
由公理 2 可知直线 与 的交点 一定在直线 上，
直线 与 的交点 一定在直线 上，
此时锯痕为五边形 ；
当锯面与 （含端点 ，不含端点 ）交于 或与 （含端点 ，不含端点 ）交于 时，
由上分析可知此时锯痕为四边形 (或四边形 )；
综上，锯痕的形状是五边形或四边形.
【类型 3 球的截面问题】
13．（24-25 高二·上海·课堂例题）球的半径为 10cm，若它的截面面积是36πcm2，则球心到截面的距离是
（ ）
A．6cm； B．4cm； C．8cm； D．9cm．
【解题思路】利用球的截面性质结合勾股定理求解即可.
【解答过程】由球的截面性质得，截面面积一定为圆，设圆的半径为 ，
所以π 2 = 36π，解得 = 6，设球心到截面的距离为 ，
由勾股定理得 = 100 36 = 8，故 C 正确.
故选：C.
14．（2024· 500π四川资阳·二模）已知球 O 的体积为 3 ，点 A 到球心 O 的距离为 3，则过点 A 的平面 被球 O
所截的截面面积的最小值是（ ）
A．9π B．12π C．16π D．20π
【解题思路】根据球的体积公式，结合球的截面的性质进行求解即可.
4 500π
【解答过程】设球 O 的半径为 R，则3π
3 = 3 ，解得 = 5.
因为点 A 到球心 O 的距离为 3，
所以过点 A 的平面 被球 O 所截的截面圆的半径的最小值为 = 52 32 = 4，
则所求截面面积的最小值为π 2 = 16π.
故选：C.
15．（24-25 高三上·河南·开学考试）如图，球 被一个距离球心 ( > 0)的平面截成了两个部分，这两个部
分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直径被截后所得的线段叫
1
作球缺的高.球冠的面积公式为 = 2π ，球缺的体积公式为 = 3π(3 )
2，其中 为球的半径， 为球
缺的高，记两个球缺的球冠面积分别为 1, 2( 1 < 2)，两个球缺的体积分别为 1, 2( 1 < 2)，则下列结论
正确的是（ ）
A 1 3．若 = 2 ，则两个球缺的底面面积均为
2
16π
B 1 1
1 5
．若 = 3，则2 =2 27
C 1 1．若 ≥ 3，则 ≤2 2
D 1 7．若 ≤ 3，则 ≥2 20
【解题思路】根据勾股定理结合圆的面积公式计算判断 A 错误；根据截面的面积和球的体积公式根据不同
条件计算进行判断 BCD.
【解答过程】对于 A，设这两个球缺的底面圆半径为 ，则 2 + 2 = 2，
因为 2 + 2 = 2， = 1 ，解得 2 = 3 2 3 22 4 ，该圆的面积为4π ,A 错误.
对于 B，设两个球缺的高分别为 1, 2( 1 < 2)，则 1 + 2 = 2 .
1 = 1 2π 1 = 1由 3，得2π 3，则 2 = 3
3
1，所以 2 1 +3 1 = 2 ，解得 1 = 2, 2 =2 2 .
= 1π 1(3 ) 2 = π 3
2 5π 3 9π 3 1 5
1 3 1 1 3 =2 24 ，同理得 2 = 8 ，所以 = ,B 正确.2 2 27
C 1 =
2π 1 = 1
1
对于 ， 2π =
+ =
+1.设 = ，由3 ≤ <
1 1
，得1 < ≤ 3，则 = +1 = 1
2 ∈ 0, 1 ，C 正
2 2 2 2 +1 2
确.
11 π(3 2D = 3 1
) 1 = (2 + )( )
2
= (2 +1)( 1)
2
= 2
3 3 2+1
对于 ， 12 π(3 ) 22 2 (2 )( + )2 (2 1)( +1)2 2 3+3 2 1
.
3
≤
3 2 2 2
由 3，得 ≥ 3.设函数
12 ( 1)
( ) = 2 3 +1 ′2 3+3 2 1，则 ( ) = (2 3+3 2 1)2,
′( ) > 0在[3, + ∞)上恒成立，即 ( )在[3, + ∞)上单调递增，
7 1 7
所以 ( ) ≥ (3) = 20，即 ≥2 20,D 正确.
故选：BCD.
16．（2025 高一·全国·专题练习）两平行平面截半径为 13 的球，若截面面积分别为25 和144 ，则这两个
平面间的距离是 7 或 17 .
【解题思路】球的半径为 = 13，设两个截面圆的半径别为 1， 2，球心到截面的距离分别为 1， 2，则由
已知可求得 1 = 5， 2 = 12，然后分球的球心在两个平行平面的外侧和球的球心在两个平行平面的之间两种
情况求解即可
【解答过程】球的半径为 = 13，设两个截面圆的半径别为 1， 2，球心到截面的距离分别为 1， 2；
球的半径为 ，由 21 = 25 ，得 1 = 5；
由 22 = 144 ，得 2 = 12；
如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；
即 2 1 = 2 12 2 22 = 132 52 132 122 = 12 5 = 7；
如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．
即 2 + 1 = 2 12 + 2 22 = 132 52 + 132 122 = 12 + 5 = 17.
所以这两个平面间的距离为7或17．
故答案为：7或17.
17．（24-25 高一下·全国·课后作业）一个球内有相距 9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和
400πcm2，求球的表面积．
【解题思路】对截面的位置分类讨论，利用勾股定理求解球的半径，再求解表面积即可.
【解答过程】当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知 1// 2，
且 1， 2为两截面圆的圆心，则 1 ⊥ 1， 2 ⊥ 2．
设球的半径为 cm， ∵ π 22 = 49π， ∴ 2 = 7cm．
∵ π 21 = 400π， ∴ 1 = 20cm．
设 1 = cm，则 2 = ( + 9)cm．
在Rt △ 1 中， 2 = 2 + 202，记为①式，
在Rt △ 2 22 中， = 7 + ( + 9)2，记为②式，
联立①②可得 = 15， = 25．
∴ 2球 = 4π = 2500π(cm2)，故球的表面积为2500πcm2．
当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面，
由球的截面性质知， 1 // 2 ，且 1， 2分别为两截面圆的圆心，
则 1 ⊥ 1 ， 2 ⊥ 2 ．设球的半径为 cm，
∵ π 22 = 49π， ∴ 2 = 7cm．
∵ π 21 = 400π， ∴ 1 = 20cm．
设 1 = cm，则 2 = (9 )cm．
在Rt △ 1 中， 2 = 2 +400．在Rt △ 2 22 中， = (9 ) +49．
∴ 2 +400 = (9 )2 +49，解得 = 15，不合题意，舍去．
综上所述，球的表面积为2500πcm2．
18．（24-25 高二上·上海·课堂例题）如图，用一平面去截球 O，所得截面面积为16π，球心 O 到截面的距
离为 3cm， 1为截面小圆圆心，AB 为截面小圆的直径．求球 O 的体积．
【解题思路】运用球的截面性质，结合勾股定理和体积公式解题.
【解答过程】由题意可得截面圆的半径 = 4cm，
则球 O 的半径 = 42 + 32 = 5cm，
4
所以球 O 的体积 = π 3 5003 = 3 πcm
3．
【类型 4 截面图形的周长或面积问题】
19．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，E 为棱 BC 的中点，用过点
1，E， 1的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A．3 2 +2 5 B．9 C．2 2 +2 5 D．3 2 +2 3
【解题思路】作出正方体的截面图形，求出周长即可.
【解答过程】
如图，取 AB 的中点 G，连接 GE， 1 ， ．
因为 E 为 BC 1的中点，所以 // ， = 2 ，
又 1// 1， 1 = 1，
所以四边形 1 1为平行四边形，
所以 // 1 1， = 1 1，
所以 1 1// ， 1 1 = 2 ，
所以用过点 1，E， 1的平面截正方体，所得截面为梯形 1 1 ，
其周长为2 2 + 5 + 2 + 5 = 3 2 +2 5．
故选：A．
20．（2024·天津和平·三模）已知正方体 1 1 1 1的棱长为 6，点 ， 分别在棱 1 1， 1 1上，且
1 1 1
满足 = = 3，点 为底面 的中心，过点 ， ， 作平面 ，则平面 截正方体 1 1 1 1 1 1
1 1所得的截面面积为（ ）
A．8 22 B．6 22 C．4 22 D．2 22
【解题思路】由于上下底平行，则可得平面 与上下底面的交线平行，则可得 为平面 与上底面 1 1
1 1的交线， 为平面 与下底面 的交线，则梯形 为平面截正方体的截面，可证得梯形
为等腰梯形，根据已知的数量关系求解即可.
【解答过程】连接 , ， 1 1， 与 交点即为 ，
1 1
因为 = =
1
3，所以 ‖ 1 1，1 1 1 1
因为 1 1‖ ，所以 ‖ ，
所以 , , , , 共面，
所以平面 截正方体 1 1 1 1所得的截面为梯形 ，
因为正方体 1 11 1 1 1的棱长为 6，且 = =
1
3，1 1 1 1
所以 = 2 + 2 = 62 + 62 = 6 2，
在Rt △ 1 中， 1 = 1 = 2，则 = 1 2 + 1 2 = 2 2，
在Rt △ 1 中， 1 = 1 1 1 = 6 2 = 4，则
= 21 + 1 2 = 62 + 42 = 2 13，
在Rt △ 1 ， 1 = 1 1 1 = 6 2 = 4，则
= 21 + 1 2 = 62 + 42 = 2 13，
过 作 ⊥ 于 ，则 = = 6 2 2 22 = 2 ，2 2
所以 = 2 2 = (2 13)2 (2 2)2 = 2 11,
所以等腰梯形 的面积为
1
2 × ( + ) × =
1
2 × (2 2 +6 2) × 2 11 = 8 22,
故选：A.
21．（23-24 高二上·四川成都·期末）如图，在直四棱柱 1 1 1 1中， = 2 2， 1 = 2，点 ,
在以线段 为直径的圆 上运动，且 , , 三点共线，点 , 分别是线段 , 1 1的中点，下列说法中正确的
有（ ）
A．存在点 ，使得平面 1与平面 1 1 不垂直
B．当直四棱柱 1 1 1 1的体积最大时，直线 1 与直线 1垂直
C．当 = 2时，过点 1, , 的平面截该四棱柱所得的截面周长为2 5 +3 2
D．当 = 2 5π时，过 的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为 2
【解题思路】证明 1 ⊥ 平面 ABC 可判断 A；先判断四棱柱为正方体，然后转化为证明 1 ⊥ 平面 1 ，
即可判断 B；取 1的中点为 P，可得截面为梯形 1 1，可判断 C；根据球的性质判断当小圆圆心为
的中点时截面面积最小，然后求出小圆半径即可判断 D.
【解答过程】对于 A，因为 AC 为直径，所以 ⊥ ，
又四棱柱 1 1 1 1为直四棱柱，所以 1 ⊥ 平面 ABC，
因为 平面 ABC，所以 1 ⊥ ，
因为 ∩ 1 = , , 1 平面 1 1 ，
又 平面 1，所以平面 1 ⊥ 平面 1 1 ，A 错误；
对于 B，由上可知，四边形 ABCD 为矩形，
易知，当四边形 ABCD 的面积 S 最大时，棱柱 1 1 1 1的体积最大，
记∠ = ，则 = = 2 2cos 2 2sin = 4sin2 ，
π π
当2 = 2，即 = 4时， max = 4，此时四边形 ABCD 为正方形， = 2，
所以，此时四棱柱 1 1 1 1为正方体，
连接 1 , 1, 1 ，
因为 ⊥ 平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1，
由四边形 1 1为正方形，所以 1 ⊥ 1 ，
又 1 ∩ = , 1 , 平面 1 ，所以 1 ⊥ 平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 1 ⊥ 1 ，B 正确；
对于 C，由上可知，当 = 2时，四棱柱 1 1 1 1为正方体，
取 1的中点为 P，易知， // 1，
又 // 1 1, = 1 1，所以四边形 1 1为平行四边形，故 1 // 1，
所以 // 1 ，所以 1, , , 1四点共面，
此时， 1 = = 5, 1 = 2 = 2 2，
所以梯形 1 1的周长为2 5 +3 2，C 正确；
对于 D，易知，正方体 1 1 1 1的外接球球心 ′为正方体的中心，
由对称性可知，球心到 M，N 的距离相等，
记过 的截面小圆半径为 r，球的半径为 R，球心到截面距离为 d， 的中点为 Q，
则 = 2 2，故当 d 取得最大值时，r 取得最小值，
由求得性质可知，当小圆圆心为 的中点时 d 取最大值，
易知， = 2 + 2 = 21 + 21 + 2 = 6
2
所以 ′ = ′ 2 2 = 2 6 = 2，
2 2
所以 min = ′ 2 ′ 2 = 3 1 = 10，2 2
5
所以小圆面积为2π，D 正确.
故选：BCD.
22．（24-25 高二上·湖北恩施·期中）在正方体 1 1 1 1中， = 6, 为棱 BC 的中点， 为棱 1 1
5 7 13
的三等分点（靠近点 1），过点 , , 作该正方体的截面．则该截面的周长是 2 +5 5 + ．2
【解题思路】先根据面面平行的性质定理作出过点 , , 的正方体的截面，然后结合正方体的性质可求截面
的周长.
【解答过程】
如图，取 1 1的中点 1,连接 1, 1,易得 1 1 ，则 1 1// ,
过点 在平面 1 1 1 1内作 // 1 1,交 1 1于点 ，则 // ；
再取 1 1的三等分点 1（靠近点 1），连接 1, 1,同理可得 1// ,
过点 在平面 1 1内作 // 1,交 1于点 ，则 // ，
连接 ,因平面 //平面 1 1 1 1,则过 , , 三点的截面与它们的交线必平行，
同理过 , , 三点的截面与平面 1 1,平面 1 1的交线也平行，
故五边形 即点 , , 的正方体的截面.
因 = 6,则 = 1 1 = 62 + 32 = 3 5, = 1 = 62 + 42 = 2 13，
由 // 1 1可得 △ 1 △
1
1 1 1，则有： = ,1 1 1 1
即得： = 3 5×2 = 2 5, = (2 5)2则 1 22 = 4, 3 1 = 6 4 = 2;
又由 // 1可得 △ △ 1 1 ,则有： 1 = ,1 1
2
即得： = 2 13×3 = 3 13 9 9 3，则 =
4 2 (
3 13 ) 32 = 2, 1 = 6 =2 2 2,
则 = 22 + ( 3
2 5
) = .
2 2
故五边形截面 的周长为： + + + +
= 3 5 +2 13 + 3 13 +2 5 +
5 5 7 13
2 2
= 2 +5 5 + .2
5 +5 5 + 7 13故答案为：2 .2
23．（23-24 高一下·山东临沂·期中）如图，在正方体 1 1 1 1，中，H 是 1 1的中点，E，F，G
分别是 DC，BC，HC 的中点．求证：
(1)证明；F，G，H，B 四点共面；
(2)平面 //平面 1 1﹔
(3)若正方体棱长为 1，过 A，E， 1三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．
【解题思路】（1）连接 BH，可得 // ，即可证明 F，G，H，B 四点共面；
（2）由面面平行的判定定理即可证明；
（3）取 1 1的中点 N，连接 1 ， ，取 1 1的中点 M，连接 1， ，画出截面 1 ，求解即可.
【解答过程】（1）证明：连接 BH，∵FG 为 △ 的中位线，
∴ // ，∴F，G，H，B 四点共面；
（2）由（1）知， // ，
∵ 平面 1 1， 平面 1 1，∴ //平面 1 1；
∵ // ， 平面 1 ， 平面 1 1，∴ //平面 1 1，
∵ ∩ = ，EF、EG 都在面 EFG 内，∴平面 //平面 1 1
（3）取 1 1的中点 N，连接 1 ， ，∴ // 1 ， = 1 ，
取 1 1的中点 M，连接 1， ，∴ 1 = 1 ， 1// 1 ，
∴截面 1 为平行四边形，且 = 1 = = 1 = 1 + 1 = 5，4 2
1 1 6
所以截面的面积为2 × 1 1 × = 2 × 3 × 2 = ．2
24．（23-24 高一下·河南·阶段练习）如图，在长方体 1 1 1 1中， , 分别在 1, 上.已知
= = 6, 1 = 8， = = 2.
(1)作出平面 1 截长方体 1 1 1 1的截面，并写出作法；
(2)求（1）中所作截面的周长；
(3)长方体 1 1 1 1被平面 1 截成两部分，求体积较小部分的几何体的体积.
【解题思路】（1）延长 1 ，与 的延长线交于点 ，连接 并延长，可得交 的延长线于 ，可作所求
截面.
（2）利用平行线分线段成比例定理可求五边形 1 的周长；
（3）利用 = 1 ，可求体积.
【解答过程】（1）如图所示，五边形 1 为所求截面.
作法如下：
延长 1 ，与 的延长线交于点 ，
连接 并延长，分别交 于 ，交 的延长线于 ，
连接 1，交 1于点 ，连接 , ，则五边形 1 为所求截面.
2 ∥
1
（ ）因为 1，所以 = = 4，则 = 2，1
由 ∥ 2 1，可得 = = 4 = 2，
得 = 2, = 4，则 = 4 + 4 = 2 2，
= 16 + 16 = 4 2.
2 1 2 1
由 = = 4 = 2，得 = 2，由 = = 8 = 4，得 = 2, 1 = 6，1
则 = 4 + 4 = 2 2
1 = 1 = 36 + 36 = 6 2.
故截面的周长为2 2 +4 2 +2 2 +6 2 +6 2 = 20 2.
（3） = 1 1 1 1 1 1 248 1 = 3 × 2 × 8 × 8 × 8 3 × 2 × 2 × 2 × 2 3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 3 ，
248
故所求体积为 3 .
【类型 5 截面切割几何体的体积、表面积问题】
25．（24-25 高一下·河北邢台·阶段练习）过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为 16
的正方形，则圆柱的侧面积是（ ）
A．12 2 B．16 C．8 D．10
【解题思路】根据截面是面积为 16 的正方形可求底面圆的半径以及圆柱的高，进而可求圆柱的侧面积.
【解答过程】如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形 ABCD，
面积为 16，故边长 = = 4，
即底面半径 = 2，侧棱长为 = 4，
则圆柱的侧面积是 = 2 = 16 ，
故选：B.
26．（23-24 高一下·陕西宝鸡·期末）如图，圆锥 PO 的底面直径和高均是 4，过 PO 的中点 1作平行于底面
的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）
A． 4 + 4 5 π B． 6 + 4 5 π
C． 8 + 4 5 π D． 9 + 4 5 π
【解题思路】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面
积可求得剩下几何体的表面积.
1 1
【解答过程】设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 = 2 × 2 = 1， = 2 × 4 = 2，
圆锥的母线长为 22 + 42 = 2 5，
过 PO 的中点 1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
则剩下的几何体的表面积为π × 2 × 2 5 +2π × 1 × 2 + π × 22 = 8 + 4 5 π.
故选：C.
27．（23-24 高一下·江苏南京·期末）用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面
之间那部分多面体叫做正三棱台．如图，在正三棱台 1 1 1中，已知 = 2 1 = 2 1 1 = 2，则
（ ）
A．正三棱台 21 1 1的体积是 3
π
B．直线 与平面 1所成的角为6
C 1．点 1到平面 1的距离为2
D 6．正三棱台 1 1 1存在内切球，且内切球半径为 6
【解题思路】对 B，找出线面角，计算即可得；对 C，借助线面平行可得线上点到另一面的距离处处相等即
可得；对 D，借助三棱台内切球存在则半径为高的一半计算即可得，根据台体的体积公式即可判断 A.
【解答过程】对于 B，过 1作直线 的垂线，交直线 AC 于点 M，过 1作直线 的垂线，
2
交直线 AC 1于点 N，连接 1，则 = 1, = , 1 = 122
1 = 3，
2 2
所以∠ 1 = 60°，
由余弦定理得 21 = 1 + 2 2 1 cos60° = 3，
所以 2 2 21 + 1 = ，
所以 1 ⊥ 1，同理可得 1 ⊥ 1，又 1 ∩ 1 = 1，
1、 1 平面 1， 1 ⊥ 平面 1，
π
所以直线 与平面 1所成的角为∠ 1 = ∠ 1 = 6，故 B 正确；
对于 C，取 1中点 ，因为 1 1 = 1 ，所以 1 ⊥ 1，所以 1 // 1 ，
又 1 ⊥ 平面 1，所以 1 ⊥ 平面 1，
1
所以点 1到平面 1的距离为 1 = 1 × sin30° = 2，
1 1// ，且 1，
所以点 1到平面
1
1的距离等于点 1到平面 1的距离，为2，故 C 正确；
对于 D，取 中点 H， 1 1中点 1， △ 1 1 1的外心为 1， △ 的外心为 2，
2 3 3 2 2 3
过 1作垂线交 于点 ，所以 1 1 = 3 × = ， 2 = ×2 3 3 3 = ，3
= 2 3 3所以 = 3，
3 3 3
2
所以 1 = 21 2 = 12
3 = 6 2 = 6 = 6， ，即 ，故 D 正确；
3 3 3 6
对于 A，由 D 选项知， = 61 即为正三棱台 3 1 1 1的高，
= 1 3 1△ 2 × 2 × 2 × = 3, △ 1 1 1 = 2 × 1 × 1 ×
3 = 3，
2 2 4
1 6
所以正三棱台 3 3 7 21 1 1的体积为3 × 3 + 3 × + × = ，4 4 3 12
故 A 错误.
故选：BCD.
28．（24-25 高二上·上海·期中）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图，该工艺品可以看
成是一个球被一个棱长为 6 的正方体的六个面所截后剩余的部分，球心与正方体的中心重合，若其中一个
截面圆的周长为4π，则该球的表面积是 52π ．
【解题思路】画出球心截面图，分析求出球的半径求解即可.
【解答过程】球心的截面图如图，
则 = 3，由截面圆的周长为4π，得2π = 4π，
解得 = 2，球的半径是 2 + 2 = 32 + 22 = 13，
所以该球的表面积为4π × 132 = 52π.
故答案为：52π.
29．（24-25 高一上·宁夏银川·期末）如图，圆锥的底面直径和高均是 4，过 的中点 ′作平行于底面的截
面，以该截面为底面挖去一个圆柱.
（1）求该圆锥的表面积；
（2）求剩余几何体的体积.
【解题思路】（1）先求母线长，再求侧面积和底面积.
（2）用锥体体积减去柱体体积.
【解答过程】（1）因为圆锥的底面直径和高均是 4，
所以半径为 2，母线 = 42 + 22 = 2 5，
所以圆锥的表面积为 = 2 + = × 22 + × 2 × 2 5 = (4 + 4 5) .
（2）由题意知，因为 ′为 的中点，所以挖去圆柱的半径为 1，高为 2，剩下几何体的体积为圆锥的体积
减去挖去小圆柱的体积，
1
所以 = × 223 × 4 × 1
2 × 2 = 103 .
30．（24-25 高二·全国·课后作业）如图， — 是一个长方体被一个平面斜截的几何体，截面是
，已知 = 4， = 3， = = 5， = = 9.
(1)求异面直线 与 所成角的大小；
(2)求该几何体的体积.
【解题思路】（1）根据已知条件及异面直线所成角的定义及解三角形即可求解；
（2）利用棱柱的体积公式即可求解.
【解答过程】（1）过点 作 ⊥ 交于 ，过点 作 ⊥ 交于 ，连接 ，如图所示，
由题意可知， // ， // ，所以 // ，
_ _ _
_ _ _
所以∠ 为异面直线 与 所成角的大小，
∵ = 4， = 9， = 5，
∴ = = 4， = = 5 = = 4，
∴ = = 4， ⊥ ， △ 是等腰直角三角形，
∴ ∠ = 45°，
所以异面直线 与 所成角为45°.
（2）由题意可知， = 4， = 3， = 5， = 9.
该几何体的体积为
1 1四棱柱 = × = 2 × ( + ) × × = 2 × (5 + 9) × 4 × 3 = 84.
【类型 6 交线及其长度、轨迹问题】
31．（24-25 高三上·河北保定·期末）已知三棱锥 的所有棱长均为 2，以 BD 为直径的球面与 △
的交线为 L，则交线 L 的长度为（ ）
A 2 3π B 4 3π C 2 6π 4 6π． ． ． D．
9 9 9 9
【解题思路】分别取 , 的中点 , ，由题意分析知，以 BD 为直径的球面与 △ 的交线为 △ 外
1
接圆周长的3，求出 △ 的外接圆半径，求解即可.
【解答过程】取 BD 的中点为 ，所以 为球心，过 作 ⊥ 平面 于点 ，
即 为 △ 的中心，延长 交所以 交 于点 ，则 为 的中点，
2
所以 = 23 =
2
3 4 1 =
2
3 3， = 2 2 = 4
2 3 = 2 6，
3 3
取 的中点 1，连接 1， ∵ 1// ，则 1 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，即 1 ⊥ ，且 1 =
1 6
2 = ，3
= 11 2 =
3, =
3 1
2 + 12 =
2 + 1 = 1，
3 3
所以 为以 BD 为直径的球面上一点，
分别取 , 的中点 , ，连接 , ，
且 = = 12 = 1，所以 , 也为以 BD 为直径的球面上一点，
则 △ 为等边三角形， △ 的外接圆即为四边形 的外接圆，
1为外接圆的半径，所以∠ 1 = 2∠ = 120°，
所以以 BD 为直径的球面与 △ 1的交线 L 长为 △ 外接圆周长的3，
所以 = 13 × 2 π
3 = 2 3π.
3 9
故选：A.
32．（24-25 高二上·重庆·期末）已知正方体 1 1 1 1，E，F，G 分别为棱 AB， 1， 1 1的中点，
3 3
若平面 EFG 截该正方体的截面面积为 ，点 P 为平面 EFG 上动点，则使 = 的点 P 轨迹的长度为
2
（ ）
A．π B．2π C． 2π D．2 2π
【解题思路】通过平行可知截面为正六边形，然后截面面积可求得正方体边长.再结合正方体中 1 ⊥ 截面
EFG 可得 2 = 2 + 2，进而可判断点 P 的轨迹是以 O 为圆心，半径为 2的圆，轨迹长度即可求解.
2
【解答过程】由题意截面 EGF 则为正六边形，如图所示，
3 3 1 3 3 3
由截面面积为 及三角形面积公式可得6 × 2
2 = ，解得 = 1，∴正方体的棱长 = 2.2 2 2
因为 61 ⊥ 截面 EFG，O 为 1的中点，也是截面 EFG 的中心，且 = ，2
∴ 2 = 2 + 2，即 2 + 32 = 2，解得 =
2.
2
∴使得 = 2的点 P 的轨迹是以 O 为圆心，半径为 2的圆，所以轨迹长度为 2π.2
故选：C.
33．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知在正方体 1 1 1 1中， = 4，点 ， ， 分别在棱
1， 1和 上，且 1 = 3， 1 = 1， = 3，记平面 与侧面 1 1，底面 的交线分别为 ，
，则（ ）
A． 的长度为5 5 B． 的长度为4 5
3 3
C 2 3 13． 的长度为 D． 的长度为
3 3
【解题思路】做出截面，确定线段 ， ，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得
解.
【解答过程】如图所示，
连接 并延长交 的延长线于 ，连接 并延长交 于点 ，
交 的延长线于点 ，连接 ，交 1于点 ，连接 ，
则 即为 ， 即为 ，
1
由 // ，得 = +4 = 3，所以 = 2， = 6，
由 // 1 1 2，得 = = 3，则 = 3 = 3，
13
所以 = = 2 + 2 = ，故 C 错误，D 项正确；3
由 // = 5，得 = 9，
又易知 // 5，得 = ，所以 = 9，
所以 = 59 =
5 2 2 5 5
9 + = ，故 A 项正确，B 项错，3
故选：AD.
34．（23-24 高一下·江苏南京·期末）已知正四棱锥 的所有棱长均为 2，以点 为球心，2 为半径的
(8 3+9)π
球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 .
9
【解题思路】由题意可得以点 为球心，2 为半径的球与该四棱锥的表面 ， ， 有交线，其中表
面 ， 的交线相同，取 的中点 ，连接 ，过 作 ‖ ，过 作 ‖ ，过 作 ⊥ 于 ，连接
, ，可证得 ⊥ 平面 ，所以可得以点 为球心，2 为半径的球与四棱锥的表面 的交线为以 为
圆心， 为半径的一段弧，根据已知条件可求出弧长，从而可求得结果.
【解答过程】因为正四棱锥 的所有棱长均为 2，
所以以点 为球心，2 为半径的球与该四棱锥的表面 ， ， 有交线，
取 的中点 ，连接 ，过 作 ‖ ，过 作 ‖ ， ∩ = ，
则四边形 为平行四边形， ⊥ ，所以 ⊥ ，
过 作 ⊥ 于 ，连接 , ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
因为正四棱锥 的所有棱长均为 2，
所以 = = = 1, = = = 3，
1 1 2
所以 △ = 22 =
1
2 × 2 × 2 = 2,2
1 2 2
所以2 = 2，得 = ，3
2
因为 = = 2，所以 = = 22 2 2 = 2 3,
3 3
2 3
所以以点 为球心，2 为半径的球与四棱锥的表面 的交线为以 为圆心， 为半径的一段弧，
3
= 3 2 3 3因为 ，所以 = 3 = ，3 3
π
所以tan∠ = = 3，所以∠ = 3，
∠ = 2π所以 3 ，
2π × 2 3 4 3π所以弧 的长为 3 = ，3 9
4 3π
同理可得以点 为球心，2 为半径的球与四棱锥的表面 的交线长为 ，
9
以点 为球心，2 为半径的球与四棱锥的表面 的交线为点 为圆心， 为半径的四分之一圆，弧 的
π
长为2 × 2 = π，
所以以点 为球心，2 为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为
4 3π × 2 + π = (8 3+9)π，
9 9
(8 3+9)π
故答案为： .
9
35．（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如下图，在正方体 1 1 1 1中，棱长为2, , , 分别是 1 1
, , 1的中点．
(1)画出过 , , 三点的平面与平面 、平面 1 1 的交线；
(2)设过 , , 三点的平面与 交于点 ，求 的长．
【解题思路】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度；
（2）利用（1）直接求解.
【解答过程】（1）如图所示： ∵ 平面 1，
∴ 与底面 的交点 必在侧面 1与底面 的交线 上，
∴ 过点 , , 的平面与平面 的交线是 ，（ 在线段 的延长线上），
与平面 1 1 的交线是 （ 在线段 上）．
∵ ∥ 1 1, ∴ = = 1, ∴ = 1.1 1
1 1
∵ ∥ , ∴ = = 3 , ∴ = 3 .
（2）由（1）可知： = 13， = 1，
2
在 Rt △ 中，由勾股定理得 = 12 + 1 = 10．
3 3
36．（23-24 高一下·云南昆明·期末）如图，已知长方体 1 1 1 1中，E 为 的中点，
= = 4， 1 = 2．
(1)证明： 1//平面 1；
(2)设平面 //平面 1，且 ∈ ，在图中作出 与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线
围成图形的面积．
【解题思路】（1）连接 1交 1于 P，连接 ，则由三角形中位线定理可得 // 1，再利用线面平行
的判定定理可证得结论；
（2）设 M，N 分别为 ， 1 1的中点，连接 , , 1 , 1 , ，可证得 与长方体的面的交线围成平行
四边形 1 ，然后根据已知条件求解即可.
【解答过程】（1）证明：如图，连接 1交 1于 P，连接 ，
在长方体中，由 1 1为矩形得 P 为 1的中点，
由 E 为 的中点，得 // 1，
又 平面 1， 1 平面 1，
所以 1//平面 1．
（2）设 M，N 分别为 ， 1 1的中点，连接 , , 1 , 1 , ，
因为 E 为 的中点，所以四边形 为矩形，
所以 ∥ ， = ，
因为 1 1∥ ， 1 1 = ，所以 ∥ 1 1， = 1 1，
所以四边形 1 1为平行四边形，所以 1∥ 1， 1 = 1，
因为 1 = ， 1 ∥ ，所以四边形 1 为平行四边形，
所以 = 1， ∥ 1，所以 1∥ ， 1 = ，
所以四边形 1 为平行四边形，
因为 ∥ 1， 平面 1， 1 平面 1，
所以 ∥平面 1，同理可证得 ∥平面 1，
因为 ∩ = ， , 平面 1 ，
所以平面 1 ∥平面 1，
所以 与长方体的面的交线围成平行四边形 1 ，
由已知得 1 = 2 2， = 2 5， 1 = 42 + 42 + 22 = 6，
2 2 2
cos∠ = (2 2) +(2 5) 6 = 10 sin∠ = 3 10所以 1 ， ，2×2 2×2 5 10 1 10
所以四边形 1 的面积为
= 1 sin∠ 3 101 = 2 2 × 2 5 × = 12．10
【类型 7 截面的最值与范围问题】
37．（24-25 高三上·江苏常州·阶段练习）已知正三棱锥 的外接球 的表面积为36π，侧棱 = 3 2，
点 为 的中点，过点 作球 的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ）
A 21 27． π,9π B． π,9π C．[21π,36π] D．[27π,36π]
4 4
【解题思路】根据题意，先确定球心 2 2 21的位置，进而结合 = ，用球心 到过点 的截面圆的距离的
取值范围可得 2的取值范围，从而得到结果.
【解答过程】设正三棱锥 的外接球 1的半径为 ，则4π 2 = 36π，得 = 3.
假设正三棱锥 中， △ 外接圆的圆心 ，则球心 1在 上，
设 1 = ， △ 外接圆的半径为 ′,
( + )2 + ′2 = 2 = 18
即 2 + ′2 = 2 ，两式相减得
2 +2 = 18 2，
又 = 3，解得 = 0，所以 △ 外接圆的圆心 是球心 1.
如图所示：
设球心 到过点 的截面圆的距离为 ，截面圆的半径为 ，
则 2 = 2 2 = 9 2，
1 3
因为球心 到过点 的截面圆的距离的最大值为 = 2 = 2，
所以 2的最小值为 2 9 = 274 4 ，
又因为点 在 为半径的圆面上，则球心 到过点 的截面圆的距离的最小值为0，
所以 2的最大值为 2 = 9，
2 ∈ 27 ,9 π 2 ∈ 27π总上可知， ，即 ,9π
4 4
27
所以截面圆的面积的取值范围为 π,9π .
4
故选：B.
38．（2024·辽宁·模拟预测）在三棱锥 中， = = = = 2 2,∠ = ∠ = 90 ，平面 ⊥
平面 ，三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， , 分别在线段 , 上运动（端点除外），
= 2 .当三棱锥 的体积最大时，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．π B 3． 3π C．2π D．2π
【解题思路】取 的中点 ,证得 为球心，利用二次函数求出三棱锥 的体积最大时 的取值，当 垂
直于截面时，截面圆的面积最小，求得截面圆的半径.
【解答过程】如图，取 的中点 ,连接 ， ， ,
因为∠ = ∠ = 90°，所以 = = = = 12 ，即 为球心，
则球 的半径 = 2,又 = ,所以 ⊥ ,
又平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ， 平面 .
所以 ⊥ 平面 ，
设 = ，则 = 2 < 2,所以0 < < 2，
所以三棱锥 的体积 = 1 × = 1 × 1 13 △ 3 2 × × = 3 2 2 2(2
2
2 ) = 3( 2
2) =
2
3
2
2 + 1
2 3.
1
当 = 2时, 取得最大值 ，
2 3
由于 = = = ，在 △ 中，由余弦定理得:
= 2 + 2 2 cos∠ = 4 + 1 2 × 2 × 2 × 2 = 10.
2 2 2 2
根据球的性质可知，当 垂直于截面时，截面圆的面积最小，
2
设此时截面圆的半径为 ，所以 = 2 2 = 22 10 = 6.
2 2
2
6 3
则截面面积的最小值为π 2 = π = 2π2 .
故选:C.
39．（23-24 高三下·山东威海·阶段练习）如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，M，N，P 分别
是 1， 1， 1 1的中点，Q 是线段 1 1上的动点，则（ ）
A．存在点 Q，使 B，N，P，Q 四点共面
B．存在点 Q，使 //平面 MBN
C．过 Q，M，N 三点的平面截正方体 1 1 1 1所得截面面积的取值范围为[2 6,3 3]
D．经过 C，M，B，N 四点的球的表面积为9π
【解题思路】作出过 , , 的截面判断选项 A；取 1 1中点为 ，证明其满足选项 B；当 在 1 1运动时，
确定截面的形状，引入参数(如 1 = )计算出面积后可得取值范围，判断选项 C，过 与底面平行的平面
截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过 C，M，B，N 四点的球，由此求得球半径，得表面积，
判断选项 D．
【解答过程】选项 A，连接 1 , 1 , 1，正方体中易知 1// 1 ，
, 分别是 1 1, 1 中点，则 // 1，所以 // 1 ，即 1, , , 四点共面，当 与 1重合时满足 B，N，
P，Q 四点共面，A 正确；
选项 B，如图，取 1 1中点为 ，连接 , , 1 1，
因为 , 分别是 1, 1中点，则 1 与 1 平行且相等， 1 1 是平行四边形，
所以 // 1 1，又 是 1 1中点，所以 // 1 1，所以 // ，
平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，B 正确；
选项 C，正方体中， , 分别是 1, 1中点，则 // 1 1// ，
在 1 1上，如图，作 交 1 1于 ，连接 ，延长交 延长线于点 ，
连接 延长交 延长线于点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，
为所过 , , 三点的截面，
由正方体的对称性可知梯形 与梯形 全等，
由面面平行的性质定理， // ，从而有 // ，由正方体性质，
设 1 = ，0 ≤ ≤ 2，则 1 = 1 = ， 1 = 2 ，
是 1中点， 1 // ，则 = 1 = 2 ，所以 = = 2 ，同理 = 2 , = = ，
= 2 ， = 2 2， = 12 + (2 )2 = 2 4 + 5，
2
梯形 1是等腰梯形，高为 = 2 = 2 2 + 3，
2 2
= 2 × 1截面面积 2( + ) = 4 6 2 + 8 + 24，
设 ( ) = 4 6 2 + 8 + 24， ∈ [0,2]， ′( ) = 4 3 12 + 8 = 4( 1)2( + 2) ≥ 0，
( )在[0,2]上递增， ( )max = (2) = 32， ( )min = (0) = 24，
所以 ∈ [2 6,4 2]，C 错；
选项 D，取 1中点 ， 1中点 ，连接 , , , ，则 是正四棱柱（也是长方体），
3
它的外接球就是过 , , , 四点的球，所以球直径为 22 + 22 + 12 = 3，半径为 = 2，表面积为 = 4π
2 = 9
π，D 正确．
故选：ABD．
40．（23-24 高一下·安徽宿州·期中）现有一块如图所示的三棱锥木料，其中∠ = ∠ = ∠ = 40°，
= = = 6，木工师傅打算过点 将木料切成两部分，则截面 △ 周长的最小值为 6 3 .
【解题思路】将三棱锥侧面沿着 展开，截面 △ 周长的最小值即求从 A 出发沿着侧面回到 A 的最短距
离.
【解答过程】将三棱锥侧面沿着 展开，如图：
则 = ′ = 6,∠ ′ = 120 ，
由余弦定理可得： ′2 = 62 + 62 2 × 6 × 6cos120 = 108,则 ′ = 6 3，
所以截面 △ 周长的最小值为6 3.
故答案为：6 3.
41．（23-24 高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴
截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥 底面圆的半径是 4，轴截面 的面积是 12．
(1)求圆锥 的母线长；
(2)过圆锥 的两条母线 ， 作一个截面，求截面 面积的最大值．
【解题思路】（1）根据面积关系可得 = 3，进而可得母线长；
（2）取 的中点 ，由题意可得 2 + 2 = 25，利用基本不等式求面积最大值.
1 1
【解答过程】（1）因为轴截面 的面积为 △ = 2 × = 2 × 8 = 12，解得 = 3，
所以圆锥 的母线长为 = 2 + 2 = 5.
（2）取 的中点 ，连接 , , ，则 ⊥ , ⊥ ，
2+ 2 25
可得 2 + 2 = 2 = 25，则 ≤ 2 = 2 ，
当且仅当 = = 5 2，等号成立，此时 = 5 2 < 8，2
1 25
所以截面 面积的最大值2 × 2 × 2 =
25
2 .
42．（24-25 高二上·上海·期中）在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为 1 1， ， 1的中点，
棱长为 .
(1)请在图一作出过 ， ， 三点的平面 截正方体所得的截面 （保留作图痕迹）.
(2)计算截面 的周长.
(3)任作平面 与对角线 1垂直，使平面 与正方体 1 1 1 1的每个面都有公共点，这样得到一个截
面多边形，求该截面多边形的周长 和面积 的取值范围.
【解题思路】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形.
（2）利用平行线分线段成比例定理及勾股定理求出周长.
（3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长，
再构造截面图形，建立面积的函数关系并求出范围.
【解答过程】（1）画直线 与线段 , 1的延长线分别交于点 , ，连接 , 分别交 , 1 1于 , ，
连接 , ，则五边形 为截面 .
（2）由 , 分别为 1 1, 1的中点，得∠ 1 = 45 ，而∠ 1 = 90 ，
1 1 1
则 1 = 1 = 2，由 1 // ，得 = = = 3， 1 = 6，
= = ( )2 + ( )2 = 10 ，同理 = = 10 ，而 = 2 ，
6 2 6 6 2
所以截面 的周长 + + + + = 3 + 3 + = ( 10 + 2) .2
（3）在正方体 1 1 1 1中，连接 1 , 1 , , 1， 1 ⊥ 1 ，
由 1 1 ⊥ 平面 1 1， 1 平面 1 1，得 1 1 ⊥ 1 ，
又 1 ∩ 1 1 = 1， 1, 1 1 平面 1 1，则 1 ⊥ 平面 1 1，
又 1 平面 1 1，于是 1 ⊥ 1，同理 1 ⊥ ，而 1 ∩ = ，
则 1 ⊥ 平面 1 ，又 1 ⊥ 平面 ，则平面 /平面 1 ，
令平面 ∩ 与平面 1 1 = ，而平面 1 ∩ 平面 1 1 = 1 ，则 // 1 ，
同理得平面 与正方体 1 1 1 1其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行，
令 =
1 1
，则
1 1
= ， = = 1 ，
1 1 1 1 1
+ = 2 + 2 (1 ) = 2 ，同理 + = + = 2 ，
所以该截面多边形的周长 = 3 2 .
由截面与正方体 1 1 1 1各面的交线平行于所在正方形的对角线，
得不论六边形 如何平行移动，它的每个内角都是120 ，且相邻边长的和为 2 ，
边长为 2 的菱形 中，∠ = 60 ，在 , 上分别取点 , ，
使 = ，过 , 作 的平行线交 , 分别于 , ，
则六边形 的每个内角都是120 ，任意相邻相邻边长的和为 2 ，
= 2 , = 2 (1 )，六边形 的面积 = 2 △ △ △
2 2 2
= ( 2 ) sin60 12( 2 ) sin60
12[ 2 (1 )] sin60
2 2
= 3 2 3 [ 2 + (1 )2] = 3 2 3 (2 2 2 + 1) = 3 3 2
2
3 2( 1 ) ，2 2 4 2
2 2
0 ≤ ≤ 1，0 ≤ ( 1 ) ≤ 1 3 3 32 4， ≤ ≤
2，
2 4
3 3 3
所以截面多边形面积的取值范围是[ 2, 2].
2 4
