专题 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 平面的基本性质及推论】 ........................................................................................................................3
【题型 2 空间中的点共线、点（线）共面问题】 ................................................................................................3
【题型 3 空间中的线共点问题】 ............................................................................................................................5
【题型 4 由平面的基本性质作截面图形】 ............................................................................................................7
【题型 5 平面分空间的区域数量】 ......................................................................................................................10
【题型 6 直线与直线的位置关系】 ......................................................................................................................10
【题型 7 直线与平面的位置关系】 ......................................................................................................................11
【题型 8 平面与平面的位置关系】 ......................................................................................................................12
【知识点 1 平面】
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平
面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直
观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所
示，常把平行四边形的一边画成竖向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母 , , , 表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶
点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面 、平面 ABCD、平面 AC 或平面
BD.
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的
集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“ ”“ ”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“ ”“ ”表
示.
3．三个基本事实及其推论
(1)三个基本事实及其表示
基本事实 自然语言 图形语言 符号语言
A,B, C 三点不共线
过不在一条直线上的三个点，
基本事实 1 存在唯一的平面 α 使
有且只有一个平面.
A,B,C∈α.
如果一条直线上的两个点在
基本事实 2 一个平面内，那么这条直线在 A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α
这个平面内. .
如果两个不重合的平面有一
P ∈α ,且 P ∈β
基本事实 3 个公共点，那么它们有且只有
α∩β=l,且 P∈l.
一条过该点的公共直线.
(2)三个基本事实的作用
基本事实 1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实 2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实 3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
(2)基本事实 1 和 2 的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
经过一条直线和这条直线
点 A a a 与 A 共面于
推论 1 外一点，有且只有一个平
平面 α，且平面唯一.
面.
经过两条相交直线，有且只 a∩b=P a 与 b 共面于
推论 2
有一个平面. 平面 α，且平面唯一.
直线 a//b 直线 a,b 共
经过两条平行直线，有且只
推论 3 面于平面 α，且平面唯
有一个平面.
一.
【题型 1 平面的基本性质及推论】
【例 1】（23-24 高一下·新疆·期末）给出下列四个结论：
①经过两条相交直线，有且只有一个平面；
②经过两条平行直线，有且只有一个平面；
③经过三点，有且只有一个平面；
④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 1-1】（23-24 高一下·河南安阳·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．过三个点有且只有一个平面
B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面
C．四边形为平面图形
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【变式 1-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
①一条直线上有一个点在平面内，则这条直线上所有的点在这平面内；②一条直线上有两点在一个平面内，
则这条直线在这个平面内；③若线段 ，则线段 AB 延长线上的任何一点一点必在平面 内；④一条射
线上有两点在一个平面内，则这条射线上所有的点都在这个平面内．
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③
【变式 1-3】（24-25 高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（ ）
A．四边形一定是平面图形
B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面
C．四边形四边上的中点可以确定一个平面
D．如果点 ， ， ∈ 平面 ，且 ， ， ∈ 平面 ，则平面 与平面 为同一平面
【题型 2 空间中的点共线、点（线）共面问题】
【例 2】（2024·宁夏固原·一模）在正方体 1 1 1 1中， 是 的中点，直线 1 交平面 1 于点
，则下列结论正确的是（ ）
① 1 三点共线；
② 1 四点共面；
③ 1 1 四点共面；
④ 1 四点共面.
A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【变式 2-1】（23-24 高一下·江苏·阶段练习）下列选项中， ， ， ， 分别是所在棱的中点，则这四个点
不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 2-2】（2024 高一下·全国·专题练习）如图所示，在空间四面体 中， 、 分别是 、 的中点，
、 分别是 、 1上的点，且 = 3 ， =
1
3 .求证： 、 、 、 四点共面；
【变式 2-3】（23-24 高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形 中， 、 分别是 、 的中点，
， 分别在 ， 上，且 : = : = 1:2.
(1)求证： // ；
(2)设 与 交于点 ，求证： , , 三点共线.
【题型 3 空间中的线共点问题】
【例 3】（23-24 高一下·山东威海·期末）在空间四边形 中，若 ， 分别为 ， 的中点， ∈ ，
∈ ，且 = 2 ， = 2 ，则（ ）
A．直线 与 平行 B．直线 ， ， 相交于一点
C．直线 与 异面 D．直线 ， ， 相交于一点
【变式 3-1】（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体 1 1 1 1中，P，Q 分别是棱
1， 1的中点，平面 1 ∩ 平面 = ，则下列结论错误的是（ ）
A． 过点 B
B． 不一定过点 B
C． 1 的延长线与 的延长线的交点在 上
D． 1 的延长线与 的延长线的交点在 上
【变式 3-2】（2024 高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体 1 1 1 1中， , 分别为 , 1上的
点且 1 ∩ = ．求证：点 , , 三点共线．
【变式 3-3】（23-24 高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 4， 1 = 3，
点 , , ， 分别是棱 1 1, 1 1, 1, 的中点．
(1)证明：三条直线 , , 1 1相交于同一点
(2)求三棱锥 的体积．
【题型 4 由平面的基本性质作截面图形】
【例 4】（23-24 高一下·河南三门峡·期末）在正四棱柱 1 1 1 1中， = 4, 1 = 6， , 分别是 ,
的中点，则平面 1截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A．14 2 B．18 2 C．10 + 6 2 D．10 + 10 2
【变式 4-1】（23-24 高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 4， 1 = 2 ， 1 = 3
1，过 B，P，Q 三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）
A．3 5 B．15 3 C．15 15 D．3 21
【变式 4-2】（2024 高三·全国·专题练习）在正方体 1 1 1 1中，已知 = 1，Q 是棱 1上的动
点（可与 D、 1重合）. 当 Q 是 1中点时，画出过 A，Q， 1的截面.
【变式 4-3】（23-24 高一下·湖北武汉·期末）如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱
， 的中点，
(1)求作过 1， ， 三点的截面（写出作图过程）；
(2)求截面图形的面积
【知识点 2 空间点、线、面之间的位置关系】
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线 a,b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线在平面内 有无数个公共点
直线与平面相交 有且只有一个公共点
直线与平面平行 没有公共点
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
(2)两种位置关系
平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢 三个平面呢
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图 8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
【题型 5 平面分空间的区域数量】
【例 5】（24-25 高二上·上海浦东新·阶段练习）三个平面不可能将空间分成（ ）个部分
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式 5-1】（23-24 高一下·浙江·期末）空间的 4 个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【变式 5-2】（23-24 高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成 7 个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 5-3】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成 个部分，则 的最小值与最大值之
和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【题型 6 直线与直线的位置关系】
【例 6】（23-24 高一下·北京·期中）如图，在正方体 1 1 1 1中，直线 1 与 1 的位置关系是
（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都不是
【变式 6-1】（23-24 高一下·湖北·期末）若空间中四条不同的直线 1， 2， 3， 4满足 1 ⊥ 2， 2// 3， 1//
4，则下面结论正确的是（ ）
A． 2 ⊥ 4 B． 2// 4
C． 2， 4既不垂直也不平行 D． 2， 4的位置关系不确定
【变式 6-2】（23-24 高一下·河南安阳·期中）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中 与 的位
置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直
【变式 6-3】（23-24 高一下·浙江·期中）正方体的平面展开图如图所示， ， ， ， 为四条对角线，
则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（ ）
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
【题型 7 直线与平面的位置关系】
【例 7】（23-24 高一下·山东济宁·阶段练习）已知 , 是两个不同的平面， , , 是三条不同的直线，下列条
件中，可以得到 ⊥ 的是（ ）
A． ⊥ , ⊥ , , B． ⊥ , //
C． ⊥ , // D． // , ⊥
【变式 7-1】（2024·陕西榆林·一模）若 , 为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 // , // ，则 //
B．若 ⊥ , ⊥ ，则 //
C．若 // , // ，则 //
D．若 ⊥ , // ，则 ⊥
【变式 7-2】（2024 高一下·全国·专题练习）如图所示， 是 △ 所在平面外的一点， ， 分别是 ，
的中点．
(1)判断直线 与平面 的位置关系．
(2)判断直线 与直线 的位置关系．
【变式 7-3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是 A1B1
和 BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
（1）AM 所在的直线与平面 ABCD；
（2）CN 所在的直线与平面 ABCD；
（3）AM 所在的直线与平面 CDD1C1；
（4）CN 所在的直线与平面 A1B1C1D1.
【题型 8 平面与平面的位置关系】
【例 8】（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知 , , 是三条不重合的直线， , , 是三个不重合的平面，下列
命题中的真命题是（ ）
A．若 // , ，则 // B．若 , , // , // ，则 //
C．若 // , // ，则 // D．若 // , // ，则 //
【变式 8-1】（24-25 高二上·广东肇庆·期中）已知直线 , 与平面 , , ，则能使 ⊥ 成立的充分条件是
（ ）
A． ⊥ ， ⊥ B． // ， //
C． // ， ⊥ D． ⊥ ， ∩ = ，
【变式 8-2】（23-24 高一下·北京丰台·期末）已知直线 ， 与平面 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ∥ ， ⊥ ，则 ⊥ B．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
C．若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ D．若 ∩ = ， ⊥ ， ，则 ⊥
【变式 8-3】（23-24 高二下·浙江·期中）已知 ， ， 是三条不重合的直线， ， ， 是三个不重合的平面，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ B．若 ， ， // ， // ，则 ∥
C．若 ∥ ， // ，则 ∥ D．若 ∥ ， ，则 ∥ 专题 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 平面的基本性质及推论】 ........................................................................................................................3
【题型 2 空间中的点共线、点（线）共面问题】 ................................................................................................5
【题型 3 空间中的线共点问题】 ............................................................................................................................9
【题型 4 由平面的基本性质作截面图形】 ..........................................................................................................12
【题型 5 平面分空间的区域数量】 ......................................................................................................................17
【题型 6 直线与直线的位置关系】 ......................................................................................................................20
【题型 7 直线与平面的位置关系】 ......................................................................................................................22
【题型 8 平面与平面的位置关系】 ......................................................................................................................24
【知识点 1 平面】
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平
面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直
观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所
示，常把平行四边形的一边画成竖向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母 , , , 表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶
点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面 、平面 ABCD、平面 AC 或平面
BD.
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的
集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“ ”“ ”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“ ”“ ”表
示.
3．三个基本事实及其推论
(1)三个基本事实及其表示
基本事实 自然语言 图形语言 符号语言
A,B, C 三点不共线
过不在一条直线上的三个点，
基本事实 1 存在唯一的平面 α 使
有且只有一个平面.
A,B,C∈α.
如果一条直线上的两个点在
基本事实 2 一个平面内，那么这条直线在 A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α
这个平面内. .
如果两个不重合的平面有一
P ∈α ,且 P ∈β
基本事实 3 个公共点，那么它们有且只有
α∩β=l,且 P∈l.
一条过该点的公共直线.
(2)三个基本事实的作用
基本事实 1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实 2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实 3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
(2)基本事实 1 和 2 的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
经过一条直线和这条直线
点 A a a 与 A 共面于
推论 1 外一点，有且只有一个平
平面 α，且平面唯一.
面.
经过两条相交直线，有且只 a∩b=P a 与 b 共面于
推论 2
有一个平面. 平面 α，且平面唯一.
直线 a//b 直线 a,b 共
经过两条平行直线，有且只
推论 3 面于平面 α，且平面唯
有一个平面.
一.
【题型 1 平面的基本性质及推论】
【例 1】（23-24 高一下·新疆·期末）给出下列四个结论：
①经过两条相交直线，有且只有一个平面；
②经过两条平行直线，有且只有一个平面；
③经过三点，有且只有一个平面；
④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据点、线、面的基本事实及推论进行判断即可.
【解答过程】根据基本事实以及推论，易知①②正确.
若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误.
若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误.
即正确的命题有 2 个，
故选：B.
【变式 1-1】（23-24 高一下·河南安阳·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．过三个点有且只有一个平面
B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面
C．四边形为平面图形
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【解题思路】根据平面的基本性质可判断 A，D，由推论可判断 B，根据特例可判断 C.
【解答过程】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故 A 错误；
因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，故这条直线也在这个平面内，所以三条直
线共面，故 B 错误；
由空间四边形不是平面图形可知，C 错误；
由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故 D 正确.
故选：D.
【变式 1-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
①一条直线上有一个点在平面内，则这条直线上所有的点在这平面内；②一条直线上有两点在一个平面内，
则这条直线在这个平面内；③若线段 ，则线段 AB 延长线上的任何一点一点必在平面 内；④一条射
线上有两点在一个平面内，则这条射线上所有的点都在这个平面内．
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③
【解题思路】根据空间中直线与平面的位置关系逐项判断即可.
【解答过程】若一条直线上有一个点在平面内，则这条直线在平面内或直线与平面相交，故①不正确；
一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，故②正确；
若线段 ，则 , ∈ ，所以直线 ，则线段 AB 延长线上的任何一点一点必在平面 内，故③正确；
一条射线上有两点在一个平面内，则这条射线在平面上，故射线上所有的点都在这个平面内，故④正确.
故选：B.
【变式 1-3】（24-25 高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（ ）
A．四边形一定是平面图形
B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面
C．四边形四边上的中点可以确定一个平面
D．如果点 ， ， ∈ 平面 ，且 ， ， ∈ 平面 ，则平面 与平面 为同一平面
【解题思路】利用平面的基本性质逐一判断即可．
【解答过程】对于 A，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，
故 A 错误；
对于 B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故 B 错误；
对于 C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确
定一个平面，故 C 正确；
下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形．
证明：如图为四边形 ，其中 ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点，
连接 ， ， ，
1 1
由 ， 为 ， ，则 ∥ ，且 =2 ，同理 ∥ ，且 =2 ，
所以 ∥ ，且 = ，所以四边形 为平行四边形．
对于 D，当点 ， ， 在一条直线上时，平面 和与平面 也可能相交，故 D 错误．
故选：C．
【题型 2 空间中的点共线、点（线）共面问题】
【例 2】（2024·宁夏固原·一模）在正方体 1 1 1 1中， 是 的中点，直线 1 交平面 1 于点
，则下列结论正确的是（ ）
① 1 三点共线；
② 1 四点共面；
③ 1 1 四点共面；
④ 1 四点共面.
A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【解题思路】根据图示可得三点 1， ， 在平面 1 与平面 1 1的交线上，可判断①；
根据公理可得 1， 1确定一个平面，可判断②；
根据异面直线的判定定理可得 1与 1 为异面直线，故 1 1 四点不共面，可判断③；
根据异面直线的判定定理可得 1与 异面直线，故 1 四点不共面，可判断④.
【解答过程】解：∵ ∈ ， 平面 1 1，∴ ∈ 平面 1 1.
∵ ∈ ， 平面 1 ，∴ ∈ 平面 1 ，
∴ 是平面 1 1和平面 1 的公共点；
同理可得，点 和 1都是平面 1 1和平面 1 的公共点，
∴三点 1， ， 在平面 1 与平面 1 1的交线上，
即 1， ， 三点共线.故①正确.
∵ 1// 1， 1// 1，∴ 1// 1， 1， 1确定一个平面，
又 ∈ 1 ， 平面 1 1，∴ ∈ 平面 1 1，故②正确.
根据异面直线的判定定理可得 1与 1 为异面直线，故 1 1 四点不共面，故③不正确.
根据异面直线的判定定理可得 1与 异面直线，故 1 四点不共面，故④不正确.
故选：A.
【变式 2-1】（23-24 高一下·江苏·阶段练习）下列选项中， ， ， ， 分别是所在棱的中点，则这四个点
不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用空间中平行关系的转化可判断 ABC 正确，根据异面直线的定义可判断 D 错误.
【解答过程】在 A 图中，分别连接 , , , ，
由正方体可得四边形 为矩形，则 // ，
因为 , 为中点，故 // ，则 // ，所以 , , , 四点共面.
在 B 图中，设 , 为所在棱的中点，分别连接 , , , , , ，
由 A 的讨论可得 // ，故 , , , 四点共面，
同理可得 // ，故 // ，同理可得 // ， //
故 ∈ 平面 ， ∈ 平面 ，所以 , , , , , 六点共面.
在 C 图中，由 , 为中点可得 // ，同理 // ，
故 // ，所以 , , , 四点共面.
在 D 图中， , 为异面直线，四点不共面.
故选：D.
【变式 2-2】（2024 高一下·全国·专题练习）如图所示，在空间四面体 中， 、 分别是 、 的中点，
= 1 = 1、 分别是 、 上的点，且 3 ， 3 .求证： 、 、 、 四点共面；
【解题思路】连接 ， ，利用条件证明 // 即可.
【解答过程】连接 ， ，因为 、 分别是 、 的中点，
所以 // ，
又 、 分别是 、 = 1上的点，且 3 ， =
1
3 ，
∴ // ， ∴ // ，
∴ 、 、 、 四点共面.
【变式 2-3】（23-24 高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形 中， 、 分别是 、 的中点，
， 分别在 ， 上，且 : = : = 1:2.
(1)求证： // ；
(2)设 与 交于点 ，求证： , , 三点共线.
【解题思路】（1）由中位线性质和线段成比例即可得证.
（2）利用两个平面内的公共点在两个平面的交线上，即可得证.
【解答过程】（1） ∵ 、 分别是 、 的中点，
: = : = 1:2，
∴ ∥ ， ∥ ，
∴ // .
（2）因为 ∩ = ，
∈ ， 平面 ，
所以 ∈ 平面 ，同理 ∈ 平面 .
所以 是平面 与平面 的公共点，
又平面 ∩ 平面 = ，
所以 ∈ ，所以 , , 三点共线.
【题型 3 空间中的线共点问题】
【例 3】（23-24 高一下·山东威海·期末）在空间四边形 中，若 ， 分别为 ， 的中点， ∈ ，
∈ ，且 = 2 ， = 2 ，则（ ）
A．直线 与 平行 B．直线 ， ， 相交于一点
C．直线 与 异面 D．直线 ， ， 相交于一点
【解题思路】首先利用相似三角形证明 // 且 = 13 ，再利用中位线定理证明 //
1
且 = 2 ，
从而得到四边形 为梯形，且 ， 是梯形的两腰，设 ， 交于一点 ，利用平面的性质证明 是
直线 ， ， 的公共点即可．
【解答过程】因为 = 2 ， = 2 ，且∠ = ∠ ，
△ △ // = 1所以 ，所以 且 3 ，
因为 1， 分别为 ， 的中点，所以 // 且 = 2 ，
所以 // 且 ≠ ，故四边形 为梯形，且 ， 是梯形的两腰，
所以 ， 交于一点，设交点为 ，则 ∈ ， ∈ ，
又因为 平面 ，且 ∈ 平面 ，
所以 ∈ 平面 ，且 ∈ 平面 ，
又平面 ∩ 平面 = ，
所以 ∈ ，
所以点 是直线 ， ， 的公共点，
故直线 、 、 相交于一点．
故选：B.
【变式 3-1】（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体 1 1 1 1中，P，Q 分别是棱
1， 1的中点，平面 1 ∩ 平面 = ，则下列结论错误的是（ ）
A． 过点 B
B． 不一定过点 B
C． 1 的延长线与 的延长线的交点在 上
D． 1 的延长线与 的延长线的交点在 上
【解题思路】作出辅助线，得到 1，P，B，Q 四点共面，即 ∈ 平面 1 ，又 ∈ 平面 ，所以
∈ ；作出辅助线，得到 ∈ 平面 1 ， ∈ 平面 ，故 ∈ ，同理 D 正确.
【解答过程】连接 ， ，如图，
因为 P，Q 分别是棱 1， 1的中点，
由勾股定理得 1 = 1 = = ，
所以四边形 1 是菱形，
所以 1，P，B，Q 四点共面，即 ∈ 平面 1 .
又 ∈ 平面 ，所以 ∈ ，故 A 结论正确，B 结论错误.
如图，延长 1 与 的延长线交于点 F，延长 1 与 的延长线交于点 E.
因为 1 平面 1 ，所以 ∈ 平面 1 ，
因为 平面 ，所以 ∈ 平面 ，所以 ∈ ，
同理 ∈ ，故 C，D 正确.
故选：B.
【变式 3-2】（2024 高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体 1 1 1 1中， , 分别为 , 1上的
点且 1 ∩ = ．求证：点 , , 三点共线．
【解题思路】由题意可证 ∈ 平面 1 1 ， ∈ 平面 ，进而 ∈ ，即可证明.
【解答过程】因为 1 ∩ = ，且 1 平面 1 1 ，所以 ∈ 平面 1 1 ，
同理 ∈ 平面 ，
从而 M 在两个平面的交线上，
因为平面 1 1 ∩平面 = ，所以 ∈ 成立．
所以点 , , 三点共线．
【变式 3-3】（23-24 高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体 1 1 1 1中， = = 4， 1 = 3，
点 , , ， 分别是棱 1 1, 1 1, 1, 的中点．
(1)证明：三条直线 , , 1 1相交于同一点
(2)求三棱锥 的体积．
【解题思路】（1）先通过证明 ∥ 且 ≠ 得到 , , , 四点共面，且 , 相交，再利用基本事实
三可证明结论；
（2）通过 三棱锥 = 三棱锥 以及棱锥的体积公式求解.
【解答过程】（1）连接 1 ，如图：
∵ , 分别是 1 1, 的中点， 1 1 ∥ ， 1 1 = ，
∴ ∥ 1且 = 1，
∴四边形 1 为平行四边形， ∴ 1 ∥ ，
在 △ 1 1 中， ∵ , 分别是 1, 1 1的中点， ∴ ∥ 1 ， ∴ ∥ ，
且 = 12 ∴ , , , 四点共面，
设 ∩ = ， ∵ 平面 1 1 1 1， 平面 1 1， ∴ ∈ 平面 1 1 1 1， ∈ 平面 1 1，
∵ 平面 1 1 1 1 ∩ 平面 1 1 = 1 1， ∴ ∈ 1 1
三条直线 , , 1 1相交于同一点 ；
（2） 三棱锥 = 三棱锥 ，三棱锥 的高为 1，
∵ 点 是棱 1 1的中点， 1 1 = 4 ∴ 1 = 2，
∵ 点 , 分别是棱 1 1, 1的中点， 1 1 = 4， 1 = 3，
∴ 1△ = 2 × × 1 =
1
2 ×
1 1 1 1 3
2 1 × 2 = 2 × 2 × 3 × 2 = 2．
∴ = 1 1 3三棱锥 三棱锥 = 3 △ × 1 = 3 × 2 × 2 = 1．
【题型 4 由平面的基本性质作截面图形】
【例 4】（23-24 高一下·河南三门峡·期末）在正四棱柱 1 1 1 1中， = 4, 1 = 6， , 分别是 ,
的中点，则平面 1截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A．14 2 B．18 2 C．10 + 6 2 D．10 + 10 2
【解题思路】作出辅助线，得到五边形 1 即为平面 1截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形
相似得到各边长，相加得到截面周长.
【解答过程】直线 分别与 , 相交于点 , ，连接 1 , 1 ，分别与 1, 1交于点 , ，
连接 , ，故五边形 1 即为平面 1截该四棱柱所得截面，
其中 , 分别是 , 的中点，故 = = = = 2，
2 1 1
= 2+4 = 3，故 = 3 1 = 2，由勾股定理得 = 2 + 2 = 2 2，
= 2 + 2 = 2 2，
同理可得 = = 2 2，
又 1 = 1 = 4，故 1 = 1 = 42 + 42 = 4 2，
故平面 1截该四棱柱所得截面的周长为2 2 × 3 + 4 2 × 2 = 14 2.
故选：A.
【变式 4-1】（23-24 高一下·安徽宣城·期末）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 4， 1 = 2 ， 1 = 3
1，过 B，P，Q 三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（ ）
A．3 5 B．15 3 C．15 15 D．3 21
= = 1【解题思路】延长 交 1于点 ，则 2，推出 ， ， ， 四点共面，再计算 1 1 梯形 即可得出
答案．
1
【解答过程】延长 交 1于点 ，则 = = 2，1 1
即 为 1的中点，
连接 ，取 1 1中点 ，连接 ，则 // ，
所以 ， ， ， 四点共面，故梯形 即为截面图形，
= = 2 = 2 5， = 17，
= 1 2 + 1 2 = 1 2 + 1 12 + 1 2 = 2 6，
记 边上的高为 ， =
2 2 2 2 2 2 2 2 4则 = ( ) = 2 5 2 = ( 17) 2 5 5 = 2解得 = , = 2 215 5
1 1
所以 梯形 = 2( + ) = 2 × 3 5 ×
2 21 = 3 21．
5
故选：D．
【变式 4-2】（2024 高三·全国·专题练习）在正方体 1 1 1 1中，已知 = 1，Q 是棱 1上的动
点（可与 D、 1重合）. 当 Q 是 1中点时，画出过 A，Q， 1的截面.
【解题思路】过点 作 1的平行线即可.
【解答过程】取 1 1的中点为 ，连接 1, , , 1，易证 // 1，
则四边形 1即为所求截面，如图阴影部分，
【变式 4-3】（23-24 高一下·湖北武汉·期末）如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱
， 的中点，
(1)求作过 1， ， 三点的截面（写出作图过程）；
(2)求截面图形的面积
【解题思路】（1）画直线 ，借助平面基本事实确定截面多边形顶点位置即可.
（2）由（1）的作图，利用割补法求出截面面积作答.
【解答过程】（1）在正方体 1 1 1 1中，画直线 与 , 的延长线分别交于点 , ，
连接 1 , 1 ，分别与棱 1, 1交于点 , ，连接 , ，如图 1，
抹去 , , 和 , , 得过 1, , 三点的正方体 1 1 1 1的截面五边形 1 ，如图 2.
（2）在正方体 1 1 1 1中， = 2， ， 分别为棱 ， 的中点，
由（1）及图 1 知， = = = 2，即 = 3 2， = = 1，则 = 3，
2
1 = 1 =
2
2 + 21 = 13
1
，等腰 △ 3 21 底边 上的高 = 1 2 ( ) = 13 ( ) =2 2
34
，
2
△ 1
1 1 34
的面积 3 17△ 1 = 2 = 2 × 3 2 × = ，2 2
1 1
由 // 1，得 = = 3，即有1 = 3 = ，因此 △ ∽△ 1，1
于是 △ =
1 1
9 △ 1 ，同理 △ = 9 △ 1 ，
7 7 17
所以截面五边形 1 的面积 = △ 1 2 △ = 9 △ 1 = .6
【知识点 2 空间点、线、面之间的位置关系】
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线 a,b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线在平面内 有无数个公共点
直线与平面相交 有且只有一个公共点
直线与平面平行 没有公共点
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
(2)两种位置关系
平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢 三个平面呢
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图 8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
【题型 5 平面分空间的区域数量】
【例 5】（24-25 高二上·上海浦东新·阶段练习）三个平面不可能将空间分成（ ）个部分
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交
于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，五种情况讨论
即可.
【解答过程】若三个平面互相平行，则可将空间分为 4 个部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为 6 个部分；
若三个平面交于一条直线，则可将空间分为 6 个部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为 7 部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为 8 部分
故 n 的取值为 4，6，7，8，所以 n 不可能是 5.
故选：A.
【变式 5-1】（23-24 高一下·浙江·期末）空间的 4 个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【解题思路】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第 4 个平面相交，最多有三条交线，这三条交
线把第四个平面，最多分成 7 部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个
截面把所在空间部分一分为二，由此可得 4 个平面最多能将空间分成的区域数．
【解答过程】一个平面把空间分成 2 部分，两个平面最多把空间分面 4 部分，3 个平面最多把空间分布 8 个
部分，前三个平面与第 4 个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成 7 部分，这
里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，
这样所有空间部分的个数为8 + 7 = 15．
故选：C．
【变式 5-2】（23-24 高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成 7 个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据空间中平面位置关系逐项判断即可.
【解答过程】对于 A，三个平面将空间分成 4 个部分，不合题意；
对于 B，三个平面将空间分成 6 个部分，不合题意；
对于 C，三个平面将空间分成 7 个部分，符合题意；
对于 D，三个平面将空间分成 8 个部分，不合题意.
故选：C.
【变式 5-3】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成 个部分，则 的最小值与最大值之
和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解.
【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图 1，可将空间分成4部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图 2，可将空间分成6部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图 3，可将空间分成7部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图 4，可将空间分成8部分；
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图 5，可将空间分成6部分，
所以三个不平面将空间分成4、6、7、8部分， 的最小值与最大值之和为 12.
故选：B.
【题型 6 直线与直线的位置关系】
【例 6】（23-24 高一下·北京·期中）如图，在正方体 1 1 1 1中，直线 1 与 1 的位置关系是
（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都不是
【解题思路】由异面直线的判定定理判断即可.
【解答过程】因为 1 平面 1， 1 ∩ 平面 1 = ， 1 ，
所以直线 1 与 1 是异面直线.
故选：C.
【变式 6-1】（23-24 高一下·湖北·期末）若空间中四条不同的直线 1， 2， 3， 4满足 1 ⊥ 2， 2// 3， 1//
4，则下面结论正确的是（ ）
A． 2 ⊥ 4 B． 2// 4
C． 2， 4既不垂直也不平行 D． 2， 4的位置关系不确定
【解题思路】将直线 1， 2， 3， 4为放在正方体中，由此即可判断出答案.
【解答过程】
构造如图所示的正方体 1 1 1 1，
取 1为 ， 2为 ， 3为 1 1， 4为 1 1，
则 2 ⊥ 4.
故选：A.
【变式 6-2】（23-24 高一下·河南安阳·期中）如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中 与 的位
置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直
【解题思路】将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案.
【解答过程】由题意可将展开图还原为如图的正方体，故 // .
故选：B.
【变式 6-3】（23-24 高一下·浙江·期中）正方体的平面展开图如图所示， ， ， ， 为四条对角线，
则在正方体中，这四条对角线所在直线互相垂直的有（ ）
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
【解题思路】利用正方体的性质和根据异面直线所成角即可解答.
【解答过程】将展开图合成一个正方体，如图所示：
连接 和 .
由正方体性质可得： // ， = ，四边形 为正方形.
则四边形 为平行四边形， ⊥ ，
所以 // ，
所以 ⊥ .
同理可得： ⊥ .
因为 // ，
所以∠ 为异面直线 与 所成的角或其补角.
又因为 = = ，
所以 △ 为等边三角形，
则∠ = 60 .
同理可得： 与 所成角为60 ； 与 所成角为60 ； 与 所成角为60 .
综上可得： 与 垂直； 与 所成角为60 ； 与 所成角为60 ； 与 所成角为60 ； 与 所
成角为60 ； 与 垂直；故有 2 对.
故选：B．
【题型 7 直线与平面的位置关系】
【例 7】（23-24 高一下·山东济宁·阶段练习）已知 , 是两个不同的平面， , , 是三条不同的直线，下列条
件中，可以得到 ⊥ 的是（ ）
A． ⊥ , ⊥ , , B． ⊥ , //
C． ⊥ , // D． // , ⊥
【解题思路】根据直线、平面的位置关系即可判断出答案.
【解答过程】由 , 是两个不同的平面, , , 是三条不同的直线, 知:
对于 A, ⊥ , ⊥ , , , 则 与 相交、平行或 , 故 A 错误;
对于 B, ⊥ , // , 则 与 相交、平行或 , 故 B 错误;
对于 C, ⊥ , // , 则 与 相交、平行或 , 故 C 错误;
对于 D, // , ⊥ , 则由线面垂直的性质得 ⊥ , 故 D 正确.
故选：D.
【变式 7-1】（2024·陕西榆林·一模）若 , 为两条不同的直线， , 为两个不同的平面，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 // , // ，则 //
B．若 ⊥ , ⊥ ，则 //
C．若 // , // ，则 //
D．若 ⊥ , // ，则 ⊥
【解题思路】根据空间中直线与平面的位置关键逐项判断即可
【解答过程】解：对于 A，若 // , // ，则 // 或 ，故 A 不正确；
对于 B，若 ⊥ , ⊥ ，则 // 或 ，故 B 不正确；
对于 C，若 // , // ，则 // 或 ，故 C 不正确；
对于 D，若 ⊥ , // ，则 ⊥ ，故 D 正确.
故选：D.
【变式 7-2】（2024 高一下·全国·专题练习）如图所示， 是 △ 所在平面外的一点， ， 分别是 ，
的中点．
(1)判断直线 与平面 的位置关系．
(2)判断直线 与直线 的位置关系．
【解题思路】（1）由线面关系的定义可得答案；
（2）根据异面直线的判定定理可得结论.
【解答过程】（1）因为 ∈ , 面 ，所以 ∈ 面 ，又 面 ，
所以直线 与平面 的位置关系是相交；
（2）由（1）得直线 与平面 的位置关系是相交， 面 ，
又 ∈ 面 ， ， 面 ，
所以直线 与直线 的位置关系是异面.
【变式 7-3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是 A1B1
和 BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
（1）AM 所在的直线与平面 ABCD；
（2）CN 所在的直线与平面 ABCD；
（3）AM 所在的直线与平面 CDD1C1；
（4）CN 所在的直线与平面 A1B1C1D1.
【解题思路】根据线面位置关系的定义可判断.
【解答过程】（1） ∵ ∈ 平面 ABCD， 平面 ABCD，
∴ AM 所在的直线与平面 ABCD 相交.
（2） ∵ ∈ 平面 ABCD， 平面 ABCD，
∴ CN 所在的直线与平面 ABCD 相交.
（3）因为在正方体中，平面 1 1//平面 CDD1C1， 平面 1 1，
所以 AM 所在的直线与平面 CDD1C1平行.
（4）因为 CN 所在的直线与平面 ABCD 相交，平面 //平面 1 1 1 1，
所以 CN 所在的直线与平面 1 1 1 1相交.
【题型 8 平面与平面的位置关系】
【例 8】（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知 , , 是三条不重合的直线， , , 是三个不重合的平面，下列
命题中的真命题是（ ）
A．若 // , ，则 // B．若 , , // , // ，则 //
C．若 // , // ，则 // D．若 // , // ，则 //
【解题思路】由线面、面面位置关系逐个判断即可
【解答过程】对于 D 选项，由平行的传递性可知 D 选项成立；
对于 A 选项，直线 不一定在平面 外，也可能在面 内，故不成立，错.
对于 B 选项，直线 , 不一定相交，根据面面平行的判定定理，面面平行不一定成立，错；
对于 C 选项， 与 也有可能相交，错；
故选：D.
【变式 8-1】（24-25 高二上·广东肇庆·期中）已知直线 , 与平面 , , ，则能使 ⊥ 成立的充分条件是
（ ）
A． ⊥ ， ⊥ B． // ， //
C． // ， ⊥ D． ⊥ ， ∩ = ，
【解题思路】根据线面、面面平行和垂直的相关定理依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于 A，若 ⊥ ， ⊥ ，则 , 可能平行或相交，A 错误；
对于 B，若 // ， // ，则 , 可能平行或相交，B 错误；
对于 C，若 // ，则在平面 内必存在一条直线 ，使得 // ，
∵ ⊥ ， ∴ ⊥ ，又 ， ∴ ⊥ ，充分性成立，C 正确；
对于 D，在如下图所示的钝二面角中， ⊥ ， ∩ = ， ，无法得到 ⊥ ，D 错误.
故选：C.
【变式 8-2】（23-24 高一下·北京丰台·期末）已知直线 ， 与平面 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ∥ ， ⊥ ，则 ⊥ B．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
C．若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ D．若 ∩ = ， ⊥ ， ，则 ⊥
【解题思路】根据空间线面平行与垂直的判定和性质定理即可判断．
【解答过程】A．若 ∥ ，则 面内必存在直线 ，使得 ∥ ，若 ⊥ ，则 ⊥ ，因为 ，则 ⊥ ，故正
确，符合题意；
B．若 ∥ ， ∥ ，则 与 还可能相交，只需 ， 都与 和 的交线平行，故错误，不符合题意；
C．若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ 或 与 相交，故不正确，不符合题意；
D．若 ∩ = ， ⊥ ， ，则只能说明 与 相交，不一定垂直，不符合题意；
故选：A．
【变式 8-3】（23-24 高二下·浙江·期中）已知 ， ， 是三条不重合的直线， ， ， 是三个不重合的平面，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ B．若 ， ， // ， // ，则 ∥
C．若 ∥ ， // ，则 ∥ D．若 ∥ ， ，则 ∥
【解题思路】由线面位置关系逐一判断各个选项即可.
【解答过程】对于 A 选项，由平行的传递性可知 A 选项成立；
对于 B 选项，直线 ， 不一定相交，根据面面平行的判定定理易知面面平行不一定成立，错；
对于 C 选项， 与 也有可能相交，错；
对于 D 选项，直线 不一定在平面 外，也可能在面 内，故不成立，错．
故选：A.
