专题 8.5 空间直线、平面的平行【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 证明线线平行】 ........................................................................................................................................3
【题型 2 直线与平面平行的判定】 ........................................................................................................................6
【题型 3 平面与平面平行的判定】 ......................................................................................................................10
【题型 4 由线面平行的性质判定线线平行】 ......................................................................................................15
【题型 5 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 ..........................................................................18
【题型 6 由线面平行求线段长度】 ......................................................................................................................22
【题型 7 面面平行性质定理的应用】 ..................................................................................................................26
【题型 8 平行问题的综合应用】 ..........................................................................................................................29
【知识点 1 空间中的平行关系】
1．直线与直线平行
(1)基本事实 4
①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：a,b,c 是三条不同的直线，若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
③作用：判断或证明空间中两条直线平行.
(2)空间等角定理
①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB 与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'
或∠AOB+∠A'O'B'= .
2．直线与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
(2)性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
(3)性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线
是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与
已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.
3．平面与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
.
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
(2)判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
(3)性质定理
①自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
(4)两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
【注】
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α//β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若 α//β，β//γ，则 α//γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则 a//b.
4．若 α//β，a α，则 a//β.
【题型 1 证明线线平行】
【例 1】（24-25 高一下·全国·课后作业）若∠ = ∠ 1 1 1，且 // 1 1， 与 1 1方向相同，则下列
结论正确的是（ ）
A． // 1 1且方向相同 B． // 1 1，方向可能不同
C． 与 1 1不平行 D． 与 1 1不一定平行
【解题思路】依题意画出图形，即可判断.
【解答过程】如图，
∠ = ∠ 1 1 1， // 1 1， 与 1 1的方向相同，
但是 与 1 1不平行，
如图，∠ = ∠ 1 1 1， // 1 1， 与 1 1的方向相同，
此时 // 1 1且方向相同，
故 与 1 1不一定平行，故 D 正确.
故选：D.
【变式 1-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，在长方体 AC1中，E，F 分别是 B1O 和 C1O 的中点，
则长方体的各棱中与 EF 平行的有（ ）
A．3 条 B．4 条
C．5 条 D．6 条
【解题思路】由 E，F 分别是 B1O，C1O 的中点，故 EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.
【解答过程】由于 E，F 分别是 B1O，C1O 的中点，故 EF∥B1C1，
因为与棱 B1C1平行的棱还有 3 条：AD, BC，A1D1，所以共有 4 条.
故选：B.
【变式 1-2】（24-25 高一·全国·课后作业）在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别是侧面 AA1D1D，侧面
CC1D1D 的中心，G，H 分别是线段 AB，BC 的中点，则直线 EF 与直线 GH 的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【解题思路】连接 AD1，CD1，AC，根据 E，F 分别为 AD1，CD1的中点，由三角形的中位线定理和平行关
系的传递性判断.
【解答过程】如图，
连接 AD1，CD1，AC，
因为 E，F 分别为 AD1，CD1的中点，
由三角形的中位线定理知 EF∥AC，GH∥AC，
所以 EF∥GH.
故选：C.
【变式 1-3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，在正方体 1 1 1 1中，直线 平面 1 1 1 1，
且直线 与直线 1 1不平行，则下列一定不可能的是（ ）
A．l 与 AD 平行 B．l 与 AD 不平行 C．l 与 AC 平行 D．l 与 BD 平行
【解题思路】假设 // ，通过平行线的传递性推出与题中条件相反的结论来说明直线 与直线 一定不平
行；当 与 1 1平行时，选项 C 正确；当 与 1 1平行时，选项 D 正确.
【解答过程】假设 // ，则由 // // 1 1，知 // 1 1，
这与直线 与直线 1 1不平行矛盾，
所以直线 与直线 不平行.
故选：A.
【题型 2 直线与平面平行的判定】
【例 2】（24-25 高一·全国·课后作业）已知平行六面体 1 1 1 1，则下面四条直线中与平面 1
平行的是（ ）
A． 1 B． 1 1 C． 1 1 D． 1
【解题思路】作出平行六面体，结合线面平行的判定定理，即可得出结果.
【解答过程】对于 A，因为 1 ∩ 平面 1 = 1，故 A 错误；
对于 B，假设 1 1//平面 1 ，
因为在平行六面体 1 1 1 1中， 1 1// ，
又 平面 1 ，所以 //平面 1 ，显然不成立，故 B 错误；
对于 C，与选项 B 同理可证 1 1不满足题意，故 C 错误；
对于 D，在平行六面体 1 1 1 1中， 1 1// 且 1 1 = ，
所以四边形 1 1 是平行四边形，则 1 // 1 ，
又 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，所以 1 //平面 1 ，故 D 正确.
故选：D.
【变式 2-1】（2025 高一·全国·专题练习）如图，点 A，B，C，M，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则
下列各图中，不满足直线 //平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】对于 A，根据 // 结合线面平行的判断定理即可判断；对于 B,根据 // 结合线面平行
的判断定理即可判断；对于 C，根据 // ，结合线面平行的判断定理即可判断；对于 D，根据四边形
是等腰梯形， 与 所在的直线相交，即可判断.
【解答过程】对于 A,如下图所示，
易得 // , // ,
则 // ，
又 平面 , 平面 ,
则 //平面 ，故 A 满足；
对于 B，如下图所示，
为所在棱的中点，连接 , , ,
易得 = , // ,
则四边形 为平行四边形，
, , , 四点共面，
又易知 // ，
又 平面 , 平面 ,
则 //平面 ，故 B 满足；
对于 C,如下图所示，
点 为所在棱的中点，连接 , , ,
易得四边形 为平行四边形， , , , 四点共面，
且 // ,
又 平面 , 平面 ,
则 //平面 ，故 C 满足；
对于 D，连接 , ,
由条件及正方体的性质可知四边形 是等腰梯形，
所以 与 所在的直线相交，
故不能推出 与平面 不平行，故 D 不满足，
故选：D.
【变式 2-2】（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台 1 1 1 1中，上底面边长为2 2，
下底面边长为4 2， 为 1的中点，侧棱长为 3.
(1)证明： 1//平面 ；
(2)求该正四棱台的表面积.
【解题思路】（1）利用中位线性质以及线面平行的判定定理即可证明出结论；
（2）由正四棱台的上、下底面边长分别求得上下底面面积以及侧面面积即可得出表面积.
【解答过程】（1）连结 ，交 于点 ，连结 .
在正四棱台 1 1 1 1中，底面 为正方形，所以 为 中点，
又 ∵ 为 1的中点，
∴ ∥ 1
又 平面 ， 1 平面 ，
∴ 1//平面 .
（2）由已知，梯形 1 1中， 1 1 = 2 2， = 4 2， 1 = 3，
过 1作 1 ⊥ ，交 于点 ，
∴ = 2， ∴ 1 = 1 2 2 = 7，
1
所以梯形 1 1的面积为 1 1 = 2( 1 1 + ) 1 =
1
2 × (2 2 + 4 2) × 7 = 3 14
∴ 正四棱台 1 1 1 1的表面积为：
2 2
= 1 1 1 1 + +4 1 1 = (2 2) + (4 2) +4 × 3 14 = 40 + 12 14.
【变式 2-3】（23-24 高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形，点 P 是平面 外
一点．
(1)求证： //平面 ；
(2) 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 HG，求证： // .
【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面平行的判定定理证明 //平面 ，再由线面平行的性质定理得证.
【解答过程】（1）因为四边形 是平行四边形，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 .
（2）连接 ，交 于 ，连接 .
因为四边形 是平行四边形，
所以 是 的中点，又因为 M 是 的中点，所以 // .
又因为 平面 ， 平面 ，
所以， //平面 .
又因为 平面 ，平面 ∩ 平面 = ，
所以， // .
【题型 3 平面与平面平行的判定】
【例 3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，在正方体 1 1 1 1中，下列四对截面彼此平行的一对
是（ ）
A．平面 1 1与平面 1 B．平面 1与平面 1 1
C．平面 1 1 与平面 1 D．平面 1 1与平面 1
【解题思路】根据面面平行的判定定理进行判断即可.
【解答过程】如图，
对于 A： ∵ ∥ 1 1， 平面 1 1， 1 1 平面 1 1，
∴ //平面 1 1，又 1 ∥ 1 ，同理可证 1 //平面 1 1，
又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1，
∴ 平面 1 1//平面 1，因此 A 正确;
对于 B： 1, 1 平面 1 1，且 1与 1 相交，又 1 平面 1， 1 平面 1 1 ，
故平面 1与平面 1 1 不可能平行，因此 B 不正确;
对于 C：平面 1 1 与平面 1有公共点 ，故平面 1 1 与平面 1不可能平行，因此 C 不正确;
对于 D： 1, 1 平面 1 1，且 1与 1 相交，又 1 平面 1 ， 1 平面 1 1，
故平面 1 1与平面 1 不可能平行，因此 D 不正确;
故选：A.
【变式 3-1】（23-24 高一下·浙江温州·阶段练习）下列四个正方体中， ， ， 为所在棱的中点， ， ，
为正方体的三个顶点，则能得出平面 //平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用反证法可判断 A 选项；利用面面平行的判定定理可判断 B 选项；利用反证法结合面面平
行的性质可判断 C 选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断 D 选项.
【解答过程】对于 A 选项，若平面 //平面 ， 平面 ，则 //平面 ，
由图可知 与平面 相交，故平面 与平面 不平行，A 不满足条件；
对于 B 选项，如下图所示，连接 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 // ，
在正方体 中， // 且 = ，
故四边形 为平行四边形，所以， // ， ∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ， ∴ //平面 ，
同理可证 //平面 ， ∵ ∩ = ，因此，平面 //平面 ，B 满足条件；
对于 C 选项，如下图所示：
在正方体 中，若平面 //平面 ，且平面 //平面 ，
则平面 //平面 ，但这与平面 与平面 相交矛盾，
因此，平面 与平面 不平行，C 不满足条件；
对于 D 选项，在正方体 中，连接 、 、 ，如下图所示：
因为 // 且 = ，则四边形 为平行四边形，则 // ，
∵ 平面 ， 平面 ，所以， //平面 ，
同理可证 //平面 ， ∵ ∩ = ，所以，平面 //平面 ，
若平面 //平面 ，则平面 //平面 ，
这与平面 与平面 相交矛盾，故平面 与平面 不平行，D 不满足条件.
故选：B.
【变式 3-2】（23-24 高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥 中，底面 为平行四边形，
点 M、N、Q 分别是 、 、 的中点.求证：平面 //平面 .
【解题思路】根据题意结合三角形的中位线定理可得 // ， // ，则由线面平行的判定定理可
得 //平面 ， //平面 ，再利用面面平行的判定定理可证得结论.
【解答过程】因为底面 为平行四边形， 为 的中点，
所以 为 的中点，
因为 M、Q 分别是 、 的中点.，
所以 // ， // ，
因为 , 平面 ， , 平面 ，
所以 //平面 ， //平面 ，
因为 ∩ = , , 平面 ，
所以平面 //平面 .
【变式 3-3】（23-24 高一下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形 与四边形 均为平行四边形， ，
， 分别是 ， ， 的中点．求证：
(1) //平面 ；
(2)平面 //平面 ．
【解题思路】（1）连接 ，利用三角形的中位线证明线线平行，然后由线面平行的判定定理证明即可；
（2）证明两个线面平行，然后由面面平行的判定定理证明即可.
【解答过程】（1）如图，连接 ，因为四边形 为平行四边形，则 必过 与 的交点 ，
所以 为 的中点，
连接 ，则 为 △ 的中位线，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
（2）因为 ， 分别为平行四边形 的边 ， 的中点，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 为 △ 的中位线，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又 与 为平面 内的两条相交直线，
所以平面 //平面 ．
【知识点 2 平行关系的相互转化及综合应用】
1．平行关系的相互转化及综合应用
(1)证明线线平行的常用方法
①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
②利用基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行.
③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.
④利用平行线分线段成比例定理.
⑤利用线面平行的性质定理.
⑥利用面面平行的性质定理.
⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.
(2)证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
②利用直线与平面平行的判定定理：a ，a∥b，b ，则 a∥ .使用定理时，一定要说明“平面外
一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明 a∥ ，则必须在平面
内找一条直线 b，使得 a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.
③利用面面平行的性质：若平面 ∥平面 ，直线 a ，则 a∥ .
④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直
线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重
视.
(3)平面与平面平行的判定方法
①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行
于另一个平面，则这两个平面平行.
③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，
则这两个平面平行.
④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.
⑤利用反证法.
(4)平行关系的相互转化
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转
化的，如图所示.
【题型 4 由线面平行的性质判定线线平行】
【例 4】（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四面体 被一平面所截，截面 是一个平行四
边形.求证： // .
【解题思路】由线线平行得到线面平行，再由线面平行的性质得到线线平行，证明出结论.
【解答过程】∵四边形 为平行四边形，∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 .
而平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
∴ // ，∴ // .
【变式 4-1】（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥 的底面是菱形， = 2,∠ = 60°，
, 1对角线 交于点 , ⊥ 平面 ，平面 是过直线 的一个平面，与棱 , 交于点 , ，且 = 4
．求证： // ；
【解题思路】利用线面平行的判定定理，得到 //平面 ，再利用线面平行的性质，即可证明结果.
【解答过程】证明：四棱锥 的底面是菱形， // ，
又 平面 ， 平面 ，则 //平面 ，
又平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
所以 // .
【变式 4-2】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知 是 所在平面外一点， , 分别是 ,
的中点，平面 ∩ 平面 = ，则：
(1) 与 是否平行？说明理由；
(2) 与平面 是否平行？试证明你的结论．
【解题思路】（1）根据线面平行的性质即可求证，
（2）根据线面平行的判定即可求证.
【解答过程】（1）平行，理由如下：
因为四边形 为平行四边形，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
又平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，所以 // ．
（2）平行．证明如下：如图所示，
取 的中点 ，连接 , ，
故 // , = 1 , 12 又 // , = 2
所以 // 且 = ．
所以四边形 是平行四边形，所以 // ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
【变式 4-3】（23-24 高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥 中，底面 是平行四边形，
(1)若 为侧棱 的中点．求证： //平面 ；
(2)若过 , , 的平面与 交于点 ，求证： // ；
【解题思路】（1）根据三角形中位线可得 // ，即可由线面平行的判定求解，
（2）根据线面平行的性质即可求证.
【解答过程】（1）设 ∩ = ，连接 ， ，因为 是平行四边形，故 = ，
又 为侧棱 的中点，故 //
又 平面 ， 平面 ，
故 //平面 ；
（2）由于 // ， 平面 ， 平面 ，
故 //平面 ．
又 平面 ，平面 ∩ 平面 = ,
故 //
【题型 5 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】
【例 5】（23-24 高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥 中，底面 为平行四边形，E 为线段
上靠近 A 的三等分点，F 为线段 上一点，当 //平面 时， = （ ）
A 1 1．3 B．4 C．3 D．4
【解题思路】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可.
【解答过程】
如图，连接 交 于点 ，连接
因为 //平面 , 平面 ，平面 ∩ 平面 = 所以 // ，
所以 = ，因为 // , 为 的三等分点，
= 1 1 则 = 3, = 4即 =
1
4.
故选：D.
【变式 5-1】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥 中，点 D，E 分别为棱 PB，BC 的中点.
若点 F 在线段 AC 上，且满足 ∥平面 PEF，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C 1 2．2 D．3
【解题思路】连接 CD，交 PE 于点 G，连接 FG，由线面平行性质证明 ∥ ，再利用重心性质求解即可.
【解答过程】如图，连接 CD，交 PE 于点 G，连接 FG，
因为 ∥平面 PEF， 平面 ADC，平面 ∩ 平面 = ，所以 ∥ ，
因为点 D，E 1分别为棱 PB，BC 的中点，所以 G 是 △ 的重心，所以 = = 2.
故选：C.
【变式 5-2】（23-24 高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥 ，底面 为平行四边形， 为 的
中点， 为 中点.
(1)求证： //平面 ；
(2)已知 点在 上满足 // 平面 ，求 的值.
【解题思路】（1）连结 交 于 ，连结 ，通过证明 PC//OF，可证 //平面 ；
（2）如图连结 交 延长线于 ，连结 交 于 ，连结 ， ， ，EN.
由 //平面 ，可得 N 为 CD 中点，后通过证明 EN//FD//BG，可得 △ △ ，继而可得答案.
【解答过程】（1）证明：连结 交 于 ，连结 ，
因在 △ 中， 为 中点， 为 中点，则 //FO .
又 平面 ， 平面 ，故 //平面 ；
（2）如图连结 交 延长线于 ，连结 交 于 ，
连结 ， ， ，EN.
因 // ，则 , , , 四点共面.
又 //平面 ，平面 ∩ 平面 = ，
则 // 1，四边形 为平行四边形，可得 = = 2 为 中点.
则 △ △ , 为 BG 中点.
即 EN 为 △ 1中位线，则 EN//PG， = 2 .
又 = , //DN，则四边形 EFDN 为平行四边形，EN//FD.
FD//PG △ △ = = 从而 ， = 2.
【变式 5-3】（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体 1 1 1 1中， , , 分别是 , 1
, 的中点.
(1)证明： //平面 1 1 ；
(2)棱 上是否存在点 ，使 //平面 1 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得 // 1 1，根据线面平行的判定可证
得结论；
2 1（ ）假设存在点 ，延长 , 1 交于 ，连接 交 于 ，根据三角形中位线性质可确定 = 4 ，利用
= 1线面平行的性质可证得四边形 为平行四边形，由此可确定 4 .
【解答过程】（1）连接 , 1 1, 1，
∵ , 分别为 , 中点， ∴ // ，
∵ 1// 1， 1 = 1， ∴ 四边形 1 1为平行四边形， ∴ // 1 1，
∴ // 1 1，又 平面 1 1 ， 1 1 平面 1 1 ，
∴ //平面 1 1 .
（2）假设在棱 上存在点 ，使得 //平面 1 ，
延长 , 1 交于 ，连接 交 于 ，
∵ 1// 1， 为 1中点， ∴ 为 中点，
∵ // ， ∴ // ∴ = 1， 2 =
1
4 ，
∵ //平面 1 ， 平面 ，平面 1 ∩ 平面 = ，
∴ // ，又 // ∴ ∴ = = 1， 四边形 为平行四边形， 2 ，
∴ = = 14 ；
∴ 1当 = 4时， //平面 1 .
【题型 6 由线面平行求线段长度】
【例 6】（24-25 高一·全国·课后作业）已知正方体 1的棱长为 1，点 是平面 1 1 的中心，点 是平面
1 1 1 1的对角线 1 1上一点，且 ∥平面 1 1 ，则线段 的长为（ ）
A 1 B 2 C 2 D 3．2 ． ． ．2 2
【解题思路】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解.
【解答过程】连接 1， 1，则 1过点 .如图所示
∵ ∥平面 1 1 ，平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = 1， 平面 1 1，
∴ ∥ 1，∵ 1 = ，
∴ = 1 = 11 × 122 2 + 12 =
2.
2
故选：B.
【变式 6-1】（24-25 高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 1 1 1 的侧棱和底面边长均为
1， ， 分别是棱 ， 1 1 上的点， 且 = 2 1 = ， 当 // 平面 1 1 时， 的值为
（ ）
A 3 B 2 1 1．4 ．3 C．2 D．3
【解题思路】过 作 // 1 1交 1 1于 ，利用线面平行的性质可得 // ，进而可得四边形 为
= 1 平行四边形， 2 = = ，即得.
【解答过程】过 作 // 1 1交 1 1于 ，连接 ，
因为 // 1 1，∴ // ，故 , , , 共面,
因为 // 平面 1 1 ，平面 ∩ 平面 1 1 = ， 平面 ，
所以 // ，又 // ,
∴四边形 为平行四边形，
又 = 2 1 = ，
∴ = 1 2 = = ，
2
所以 = 3.
故选：B．
【变式 6-2】（23-24 高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体 1 1 1 1中，
= 2，F 为 AD 的中点，点 E 为 的动点.若 //平面 1 ，求线段 的长度.
【解题思路】根据线面平行得出线线平行，再结合中点得出线段长度即可.
【解答过程】因为 //平面 1 ,
平面 ,平面 ∩ 平面 1 = ，
所以 // ,
又因为 F 为 的中点，所以 是 的中点，
1 1 1
| | = 2| | = 2 2 + 2 = 2 × 2 2 = 2.
【变式 6-3】（23-24 高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体 ′ ′ ′ ′的棱长为2, , 分别为 ′ ′, ′
′的中点，点 满足 ′ = ′ .
(1) 1若 = 2，证明： //平面 ′ ；
(2) 1连接 ，点 在线段 上，且满足 ′ //平面 .当 ∈ ,1 时，求 ′ 长度的取值范围.
2
【解题思路】（1）连接 ′ ，依题意可得 为 ′的中点，从而得到 // ′ ，再由正方体的性质得到 ′ // ′
，从而得到 // ′ ，即可得证；
（2）求出 = 1 ′2和 = 1时 的长度，即可得到 ′ 的取值范围.
【解答过程】（1）连接 ′ ，
因为 1 1为 ′ ′的中点，当 = 时 ′2 = 2 ′ ，
所以 为 ′的中点，所以 // ′ ，
又 ′ ′// 且 ′ ′ = ，所以四边形 ′ ′ 为平行四边形，
所以 ′ // ′ ，故 // ′ ，
又 平面 ′ ， ′ 平面 ′ ，所以 //平面 ′ ；
（2）当 = 1时 为 ′的中点，连接 ′ ′2 交 于点 ，连接 ，
连接 ′ ′交 ′ ′于点 1，取 的中点 2，连接 1、 ′ 2，
因为 , 分别为 ′ ′, ′ ′的中点，所以 // ′ ′，
则 为 ′ 1的中点，所以 // 1，
又 2// ′ 1且 2 = ′ 1，所以 2 ′ 1为平行四边形，
所以 1// ′ 2，故 // ′ 2，
又 ′ //平面 ，平面 ′ ′ ∩ 平面 = ， ′ 平面 ′ ′，
所以 ′ // ，所以 和 2重合，
又 = 22 + 22 = 2 2，此时 ′ = 22 + ( 2)2 = 6，
当 = 1 1时 与 点重合，在 上取点 使得 = 4 ，连接 ′ ，
3
由前述说明可知 为 ′ 1的中点，则 ′ = ′ ′4 ，
又 = 34 ，所以 ′ = ，又 ′ ′// ，
所以四边形 ′ 为平行四边形，所以 ′ // ，
又 平面 ， ′ 平面 ，所以 ′ //平面 ，
2
所以 ′ = 22 + 2 = 3 2，
2 2
综上可得当 ∈ 1 ,1 时，求 ′ 长度的取值范围为 3 2 , 6 .
2 2
【题型 7 面面平行性质定理的应用】
【例 7】（2024 高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱 1 1 1 1被平面 所截，截面为 CDEF，且
= ， = 2 = 4 1 = 2．证明： // .
【解题思路】由面面平行的性质定理可证明 // ，再由平行的传递性即可证明.
【解答过程】在直四棱柱 1 1 1 1中，平面 //平面 1 1 1 1，
平面 ∩ = ，平面 1 1 1 1 ∩ = ，则 // ，
而 1 1// 且 1 1 = ，又 = ，因此 1 1// 且 1 1 = ，
则四边形 1 1是平行四边形，所以 1 1// 1 1，
又 1 1// ， // 1 1，所以 // ．
【变式 7-1】（2024 高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱 1 1 1中， , , 分别为棱 , 1, 1的
中点．证明： 1 //平面 .
【解题思路】根据题意可证 //平面 ， 1 //平面 ，可得平面 1 //平面 ，结合面面平行的
性质分析证明即可得.
【解答过程】如图，取 1 1的中点 ，连接 , 1 , , 1 ，
因为 , , , 都是所在棱的中点，则 // 1 ， // 1 ，
所以 // ，且 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
因为 , 分别是 1 1和 的中点，则 // 1 ， = 1 ，
可得 // 1， = 1，可知四边形 1 是平行四边形，则 // 1 ，
且 1 平面 ， 平面 ，所以 1 //平面 ，
且 1 ∩ = ， 1 , 平面 1 ，
所以平面 1 //平面 ，
又因为 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 ．
【变式 7-2】（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在六面体 中， // ，四边形 是平
行四边形， = 2 ．
(1)证明：平面 //平面 ．
(2)若 G 是棱 的中点，证明： // ．
【解题思路】（1）根据给定条件，结合平行四边形性质，利用线面平行、面面平行的判定推理即得.
（2）证明 , 的延长线与 的延长线交点重合，再利用面面平行的性质推理即得.
【解答过程】（1）由 ，得 // ，而 平面 ， 平面平面 ，则 //平面 ，
由 // ， 平面 ， 平面 ，得 //平面 ，
又 ∩ = , , 平面 ，所以平面 //平面 .
（2）延长 , 与 的延长线分别交于点 1, 2，
由 // ， = 2 ，得 1 = ，由 // ，G 是棱 的中点，得 2 = ，
因此点 1, 2重合，记为 ，显然平面 ∩ 平面 = ，平面 ∩ 平面 = ，
由（1）知，平面 //平面 ，所以 // .
【变式 7-3】（23-24 高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知四棱锥 ，底面 为矩形， ， ， 分别
是 ， ， 的中点.证明：
(1)平面 //平面 ；
(2) //平面 .
【解题思路】（1）由线面平行的判定定理分别证明 //面 ， //平面 ，进而由面面平行的判定定
理即可得证；
（2）由面面平行的性质即可得证.
【解答过程】（1）证明：因为 ， ， 分别是 ， ， 的中点，所以 // , // ，
又因为底面 为矩形，所以 // ,所以 // ,
又 平面 , 平面 ，
所以 //面 .
又因为 平面 , 平面 ，
所以 //平面 .
因为 ∩ = , , 平面 ,
所以平面 //平面 .
（2）证明：因为 平面 ，平面 //平面 ，
所以 //平面 .
【题型 8 平行问题的综合应用】
【例 8】（2024·四川遂宁·模拟预测）在正方体 1 1 1 1中，下列结论正确的是（ ）
① 1// 1；
②平面 1 1//平面 1；
③ 1// 1；
④ 1//平面 1.
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【解题思路】根据正方体的性质、线面平行的判定定理及面面平行的判定定理证明即可.
【解答过程】因为 // 1 1， = 1 1，所以四边形 1 1 为平行四边形，故 1// 1，故①正确；
易证 // 1 1， 1// 1， 平面 1， 1 1 平面 1，所以 1 1//平面 1，同理可得 1//
平面 1，
又 1 ∩ 1 1 = 1， 1, 1 1 平面 1 1，故平面 1 1//平面 1，故②正确；
由正方体 1 1 1 1易知， 1与 1异面，故③错误；
因为 1// 1， 1 平面 1， 1 平面 1，所以 1//平面 1，故④正确.
故选：A.
【变式 8-1】（2024· · 1 1新疆 一模）如图，在长方体 1 1 1 1中， = = = = 2，则下列说1 1 1 1
法错误的是（ ）
A． 1//
B． 与 异面
C． //平面
D．平面 //平面 1 1
【解题思路】根据题目信息和相似比可知， 1不可能平行于 ， 与 异面，可得 A 错误，B 正确；再
利用线面平行和面面平行的判定定理即可证明 CD 正确.
【解答过程】如下图所示，连接 1 , 1 , , 1，
1
根据题意，由 = = 2可得， // =
1 1 1
1 1 1
，且 1
=
1
= ；
1 1 3
同理可得 // 1, //
1
，且 = ；1 3
由 // 1，而 1 ∩ 1 = 1，所以 1不可能平行于 ，即 A 错误；
易知 与 不平行，且不相交，由异面直线定义可知， 与 异面，即 B 正确；
在长方体 1 1 1 1中 1 // 1, 1 = 1，
所以 // , = ，即四边形 为平行四边形；
所以 // ，又 // ，所以 // ；
平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，即 C 正确；
由 // 1 ， 平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 //平面 1 1；
又 // ， 平面 1 1， 平面 1 1，所以 //平面 1 1；
又 ∩ = ，且 , 平面 ，
所以平面 //平面 1 1，即 D 正确.
故选：A.
【变式 8-2】（23-24 高一下·广东·期中）如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点.
(1)求证： 1//平面 ；
(2)若 为 1的中点，求证：平面 //平面 1.
【解题思路】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行.
（2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行.
【解答过程】（1）如图：连接 BD，设 ∩ = ，连接 OM，
∵在正方体 1 1 1 1中，四边形 是正方形， ∴ 是 中点，
∵ 是 1的中点， ∴ // 1，
∵ 1 平面 ， 平面 ，
∴ 1//平面 .
（2）如图：连接 1 ，NB，
∵ 为 1的中点， 为 1的中点，
∴ = 1 ，又 ∵ // 1 ，
∴四边形 1 为平行四边形， ∴ 1 // ，
又 ∵ 平面 ， ∵ 1 平面 ， ∴ 1 //平面
由（1）知 1//平面 ， ∵ 1 ∩ 1 = 1， 1 平面 1， 1 平面 1，
∴平面 //平面 1.
【变式 8-3】（23-24 高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，
M，N，K 分别为 AB，PC，PA 的中点，平面 ∩ 平面 = ．
(1)判断直线 l 与 BC 的位置关系并证明；
(2)求证： //平面 PAD；
(3)直线 PB 上是否存在点 H，使得平面 //平面 ABCD 若存在，求出点 H 的位置，并加以证明；若不存
在，请说明理由．
【解题思路】（1）利用线面平行的判定定理证明 //平面 ，再由线面平行的性质定理证明即可.
（2）利用线面平行的判定定理证明即可.
（3）利用面面平行的判定定理证明即可.
【解答过程】（1） // .
依题意， // ， 平面 ， 平面 ，则 //平面 ，
又平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，所以 // .
（2）取 中点 ，连接 , ，在 △ 中， // , = 12
1在 中， // , = 2 ，则 // , = ，即四边形 为平行四边形，
因此 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 .
（3）当 为 中点时，平面 //平面
证明如下：
取 的中点为 ，连接 , ，
在 △ 中， // ， 平面 ， 平面 ，
则 //平面 ，同理可证， //平面 ，
又 , 平面 ， ∩ = ，
所以平面 //平面 .专题 8.5 空间直线、平面的平行【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 证明线线平行】 ........................................................................................................................................3
【题型 2 直线与平面平行的判定】 ........................................................................................................................4
【题型 3 平面与平面平行的判定】 ........................................................................................................................5
【题型 4 由线面平行的性质判定线线平行】 ........................................................................................................8
【题型 5 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】 ..........................................................................10
【题型 6 由线面平行求线段长度】 ......................................................................................................................11
【题型 7 面面平行性质定理的应用】 ..................................................................................................................13
【题型 8 平行问题的综合应用】 ..........................................................................................................................15
【知识点 1 空间中的平行关系】
1．直线与直线平行
(1)基本事实 4
①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：a,b,c 是三条不同的直线，若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
③作用：判断或证明空间中两条直线平行.
(2)空间等角定理
①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB 与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'
或∠AOB+∠A'O'B'= .
2．直线与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
(2)性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
(3)性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线
是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与
已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.
3．平面与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
.
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
(2)判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
(3)性质定理
①自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
(4)两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
【注】
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α//β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若 α//β，β//γ，则 α//γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则 a//b.
4．若 α//β，a α，则 a//β.
【题型 1 证明线线平行】
【例 1】（24-25 高一下·全国·课后作业）若∠ = ∠ 1 1 1，且 // 1 1， 与 1 1方向相同，则下列
结论正确的是（ ）
A． // 1 1且方向相同 B． // 1 1，方向可能不同
C． 与 1 1不平行 D． 与 1 1不一定平行
【变式 1-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，在长方体 AC1中，E，F 分别是 B1O 和 C1O 的中点，
则长方体的各棱中与 EF 平行的有（ ）
A．3 条 B．4 条
C．5 条 D．6 条
【变式 1-2】（24-25 高一·全国·课后作业）在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别是侧面 AA1D1D，侧面
CC1D1D 的中心，G，H 分别是线段 AB，BC 的中点，则直线 EF 与直线 GH 的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【变式 1-3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，在正方体 1 1 1 1中，直线 平面 1 1 1 1，
且直线 与直线 1 1不平行，则下列一定不可能的是（ ）
A．l 与 AD 平行 B．l 与 AD 不平行 C．l 与 AC 平行 D．l 与 BD 平行
【题型 2 直线与平面平行的判定】
【例 2】（24-25 高一·全国·课后作业）已知平行六面体 1 1 1 1，则下面四条直线中与平面 1
平行的是（ ）
A． 1 B． 1 1 C． 1 1 D． 1
【变式 2-1】（2025 高一·全国·专题练习）如图，点 A，B，C，M，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则
下列各图中，不满足直线 //平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 2-2】（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台 1 1 1 1中，上底面边长为2 2，
下底面边长为4 2， 为 1的中点，侧棱长为 3.
(1)证明： 1//平面 ；
(2)求该正四棱台的表面积.
【变式 2-3】（23-24 高一下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形 是平行四边形，点 P 是平面 外
一点．
(1)求证： //平面 ；
(2) 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 HG，求证： // .
【题型 3 平面与平面平行的判定】
【例 3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，在正方体 1 1 1 1中，下列四对截面彼此平行的一对
是（ ）
A．平面 1 1与平面 1 B．平面 1与平面 1 1
C．平面 1 1 与平面 1 D．平面 1 1与平面 1
【变式 3-1】（23-24 高一下·浙江温州·阶段练习）下列四个正方体中， ， ， 为所在棱的中点， ， ，
为正方体的三个顶点，则能得出平面 //平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 3-2】（23-24 高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，已知四棱锥 中，底面 为平行四边形，
点 M、N、Q 分别是 、 、 的中点.求证：平面 //平面 .
【变式 3-3】（23-24 高一下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形 与四边形 均为平行四边形， ，
， 分别是 ， ， 的中点．求证：
(1) //平面 ；
(2)平面 //平面 ．
【知识点 2 平行关系的相互转化及综合应用】
1．平行关系的相互转化及综合应用
(1)证明线线平行的常用方法
①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
②利用基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行.
③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.
④利用平行线分线段成比例定理.
⑤利用线面平行的性质定理.
⑥利用面面平行的性质定理.
⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.
(2)证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
②利用直线与平面平行的判定定理：a ，a∥b，b ，则 a∥ .使用定理时，一定要说明“平面外
一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明 a∥ ，则必须在平面
内找一条直线 b，使得 a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.
③利用面面平行的性质：若平面 ∥平面 ，直线 a ，则 a∥ .
④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直
线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重
视.
(3)平面与平面平行的判定方法
①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行
于另一个平面，则这两个平面平行.
③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，
则这两个平面平行.
④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.
⑤利用反证法.
(4)平行关系的相互转化
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转
化的，如图所示.
【题型 4 由线面平行的性质判定线线平行】
【例 4】（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，四面体 被一平面所截，截面 是一个平行四
边形.求证： // .
【变式 4-1】（2024 高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥 的底面是菱形， = 2,∠ = 60°，
对角线 , 1交于点 , ⊥ 平面 ，平面 是过直线 的一个平面，与棱 , 交于点 , ，且 = 4
．求证： // ；
【变式 4-2】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知 是 所在平面外一点， , 分别是 ,
的中点，平面 ∩ 平面 = ，则：
(1) 与 是否平行？说明理由；
(2) 与平面 是否平行？试证明你的结论．
【变式 4-3】（23-24 高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥 中，底面 是平行四边形，
(1)若 为侧棱 的中点．求证： //平面 ；
(2)若过 , , 的平面与 交于点 ，求证： // ；
【题型 5 由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置】
【例 5】（23-24 高一下·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥 中，底面 为平行四边形，E 为线段
上靠近 A 的三等分点，F 为线段 上一点，当 //平面 时， = （ ）
A 1 1．3 B．4 C．3 D．4
【变式 5-1】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在三棱锥 中，点 D，E 分别为棱 PB，BC 的中点.
若点 F 在线段 AC 上，且满足 ∥平面 PEF ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C 1 D 2．2 ．3
【变式 5-2】（23-24 高一下·浙江·期中）如图所求，四棱锥 ，底面 为平行四边形， 为 的
中点， 为 中点.
(1)求证： //平面 ；
(2) 已知 点在 上满足 //平面 ，求 的值.
【变式 5-3】（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体 1 1 1 1中， , , 分别是 , 1
, 的中点.
(1)证明： //平面 1 1 ；
(2)棱 上是否存在点 ，使 //平面 1 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【题型 6 由线面平行求线段长度】
【例 6】（24-25 高一·全国·课后作业）已知正方体 1的棱长为 1，点 是平面 1 1 的中心，点 是平面
1 1 1 1的对角线 1 1上一点，且 ∥平面 1 1 ，则线段 的长为（ ）
A 1．2 B
3
． 2 C．
2 2 D． 2
【变式 6-1】（24-25 高三上·湖南湘潭·开学考试）已知直三棱柱 1 1 1 的侧棱和底面边长均为
1， ， 分别是棱 ， 1 1 上的点， 且 = 2 1 = ， 当 // 平面 1 1 时， 的值为
（ ）
A 3 2 1 1．4 B．3 C．2 D．3
【变式 6-2】（23-24 高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方体 1 1 1 1中，
= 2，F 为 AD 的中点，点 E 为 的动点.若 //平面 1 ，求线段 的长度.
【变式 6-3】（23-24 高一下·浙江杭州·期中）如图所示，正方体 ′ ′ ′ ′的棱长为2, , 分别为 ′ ′, ′
′的中点，点 满足 ′ = ′ .
(1)若 = 12，证明： //平面 ′ ；
(2)连接 ，点 在线段 上，且满足 ′ //平面 . ∈ 1当 ,1 时，求 ′ 长度的取值范围.
2
【题型 7 面面平行性质定理的应用】
【例 7】（2024 高一下·全国·专题练习）如图，直四棱柱 1 1 1 1被平面 所截，截面为 CDEF，且
= ， = 2 = 4 1 = 2．证明： // .
【变式 7-1】（2024 高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱 1 1 1中， , , 分别为棱 , 1, 1的
中点．证明： 1 //平面 .
【变式 7-2】（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在六面体 中， // ，四边形 是平
行四边形， = 2 ．
(1)证明：平面 //平面 ．
(2)若 G 是棱 的中点，证明： // ．
【变式 7-3】（23-24 高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知四棱锥 ，底面 为矩形， ， ， 分别
是 ， ， 的中点.证明：
(1)平面 //平面 ；
(2) //平面 .
【题型 8 平行问题的综合应用】
【例 8】（2024·四川遂宁·模拟预测）在正方体 1 1 1 1中，下列结论正确的是（ ）
① 1// 1；
②平面 1 1//平面 1；
③ 1// 1；
④ 1//平面 1.
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
1 1
【变式 8-1】（2024·新疆·一模）如图，在长方体 1 1 1 1中， =1 = = = 2，则下列说1 1 1
法错误的是（ ）
A． 1//
B． 与 异面
C． //平面
D．平面 //平面 1 1
【变式 8-2】（23-24 高一下·广东·期中）如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点.
(1)求证： 1//平面 ；
(2)若 为 1的中点，求证：平面 //平面 1.
【变式 8-3】（23-24 高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，
M，N，K 分别为 AB，PC，PA 的中点，平面 ∩ 平面 = ．
(1)判断直线 l 与 BC 的位置关系并证明；
(2)求证： //平面 PAD；
(3)直线 PB 上是否存在点 H，使得平面 //平面 ABCD 若存在，求出点 H 的位置，并加以证明；若不存
在，请说明理由．
