专题 8.3 简单几何体的表面积与体积【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】 ....................................................................................................2
【题型 2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 ....................................................................................................5
【题型 3 球的表面积与体积】 ................................................................................................................................7
【题型 4 组合体的表面积与体积】 ........................................................................................................................9
【题型 5 球的截面问题】 ......................................................................................................................................13
【题型 6 几何体的外接球问题】 ..........................................................................................................................16
【题型 7 几何体的内切球问题】 ..........................................................................................................................20
【题型 8 实际应用问题】 ......................................................................................................................................23
【知识点 1 简单几何体的表面积与体积】
1．多面体的侧面积、表面积和体积
多面体 图形 侧面积与表面积 体积
直棱柱的侧面展开图是矩形，
V 柱= S 底 h ( SS 底
为底面面
棱柱 直棱柱侧=Ch(C 为底面周长，h 为高)，
积，h 为高)
S 直棱柱表=S 直棱柱+2S 底(S 底为底面面积)
正棱锥的侧面展开图是一些全等的
等腰三角形，S 正棱锥侧 Ch' (C 为底
棱锥
面周长，h'为斜高)，S 正棱锥表=S 正棱锥侧+S ( S 底为底面面积，h 为高)
底(S 底为底面面积)
正棱台的侧面展开图是一些全等的
等腰梯形，S 正棱台侧 (C+C')h'(C'、C
棱台
分别为上、下底面的周长，h'为斜
(S'、S 分别为上、下底面
高)，S 正棱台表=S 正棱台侧+S+S′(S′、S 分别
面积，h 为棱台的高)
为上、下底面面积)
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
旋转体 图形 侧面积与表面积 体积
圆柱的侧面展开图是矩形，
体积 V= S 底 h ( S 底为底面S 圆柱侧=2πrl，表面积
面积，h 为高)
S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)
圆柱
圆锥的侧面展开图是扇形， 体积 V= S 底h ( S 底为底
圆锥 S 圆锥侧=πrl，表面积
S=πr2+πrl=πr(r+l)
面面积，h 为高)
体积
圆台的侧面展开图是扇环，
S 圆台侧=π(r1+r2)l，
圆台 表面积
(S'、S 分别为上、下底面
面积，h 为圆台的高)
半径为 R 的球的体积
半径为 R 的球的表面积
球
S=4πR2
3．空间几何体表面积与体积的常见求法
(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
(2)求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单
几何体的体积，再相加或相减.
【题型 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】
【例 1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在正方体 1 1 1 1的八个顶点中，有四个顶点 A，
1，C， 1恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A． 3:1 B．1: 2 C． 6:2 D．1: 3
【解题思路】设出正方体的棱长，求出正方体的表面积，再求正四面体的表面积，求比值即可．
【解答过程】设正方体的棱长为 ，则正方体的表面积是6 2，
2
正四面体 1 1的棱长为 2 ，它的表面积是4 ×
1
2 × ( 2 ) ×
3 = 2 2，
2 3
因此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为1: 3．
故选：D．
【变式 1-1】（23-24 高一下·天津滨海新·阶段练习）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称
为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体 ，其中
正方形 的边长为 3， // , = 32，且 到平面 的距离为 2，则几何体 的体积为
（ ）
A 27 B 9 5 15． 4 ．4 C．2 D． 2
【解题思路】将几何体 分割为一个三棱柱 和一个四棱锥 ，由柱体和锥体的体
积公式，计算可得所求值.
【解答过程】解：取 , 的中点 , ，连接 ，
可得几何体 分割为一个三棱柱 和一个四棱锥 ，
将三棱柱 补成一个底面与矩形 全等的矩形的平行六面体，
可得该三棱柱的体积为平行六面体的一半，
则三棱柱 1的体积为 × 322 × 2 ×
1 = 92 2，
1 1
四棱锥 的体积为3 × 2 × 9 × 2 = 3，
则几何体 的体积为3 + 92 =
15
2 .
故选：D.
【变式 1-2】（23-24 高一下·吉林·期末）中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之
冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱
台 1 1 1 1， = 2， 1 1 = 4，侧面面积为12 3，则该正四棱台的体积为（ ）
A 28 2 B 28 3． ．28
3 2 C． D．283 3
【解题思路】由正四棱台的侧面积求出斜高，再求出高及体积.
【解答过程】取正四棱台 1 1 1 1的上下底面的中心 1, ，棱 1 1, 的中点 1, ，
连接 1, , 1, 1 1，则 1, 1分别是正四棱台 1 1 1 1的高和斜高，
1
依题意， 1 1 = 2( + 1 1) 1 = 3 1 = 3 3，解得 1 = 3，
在直角梯形 1 1中， // 1 1, 1 ⊥ , = 1, 1 1 = 2，
则 21 = 1 ( 1 1 )2 = 2，
所以正四棱台 1 1 1
1
1的体积 = (22 + 22 × 423 + 4
2) × 2 = 28 2.3
故选：A.
【变式 1-3】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期中）已知点 P 为三棱柱 1 1 1侧棱 1上靠近点 A 的三等
分点，若四棱锥 1 1的体积为 V，则三棱柱 1 1 1的体积为（ ）
A 5 B 4 3 ． 4 ． 3 C． 2 D．2V
【解题思路】设三棱柱 1 1 1的高为 ，由题意得 1 1 = 1 1 1 1 1 1，而
= , = 1 1 1 2 1 1 1 △ 3 △ 3 , 1 1 1 = 3 △ 1 1 1 3 ，代入化简可求得结果.
【解答过程】设三棱柱 1 1 1的高为 ，
因为点 P 为三棱柱 1 1 1侧棱 1上靠近点 A 的三等分点，
1 2
所以点 到平面 的距离为3 ，到平面 1 1 1的距离为3 ，
1 1 1 1 2 2所以 = 3 △ 3 = 9 △ , 1 1 1 = 3 △ 1 1 1 3 = 9 △ 1 1 1 ，
因为 1 1 1 = △ = △ 1 1 1 ，
1 2
所以 = 9 1 1 1, 1 1 1 = 9 1 1 1，
因为 1 1 = 1 1 1 1 1 1 = ，
1
所以 1 1 1 9
2
1 1 1 9 1 1 1 = ，
得 3 1 1 1 = 2 .
故选：C.
【题型 2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】
【例 2】（23-24 高一下·江苏常州·期末）已知圆柱的底面半径为 2cm，体积为12πcm3，则该圆柱的表面积
为（ ）
A．12πcm B．16πcm2 C．18πcm2 D．20πcm2
【解题思路】根据圆柱的表面积和体积公式即可求解.
【解答过程】设圆柱的高为 ，
因为圆柱的底面半径为 2cm，体积为12πcm3，则圆柱的底面周长为2π = 4πcm，
= 4π = 12π = 3cm，所以圆柱的表面积为4π × 3 +2 × 4π = 12π +8π = 20πcm2，
故选：D.
【变式 2-1】（23-24 高一下·广西南宁·期末）已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该
圆锥的体积为（ ）
A 6π B 2 6π C 4 6 8 6． ． ． π D． π
3 3 3 3
【解题思路】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．
【解答过程】设圆锥母线长为 ，高为 ，底面半径为 = 2，
则由2π × 2 = π ，得 = 2 2，所以 = 2 2 = 6，
1 1
所以 = π 23 = 3π × 2
2 × 6 = 2 6π．3
故选：B．
【变式 2-2】（23-24 高一下·陕西宝鸡·期末）如图，圆锥 PO 的底面直径和高均是 4，过 PO 的中点 1作平
行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）
A． 4 + 4 5 π B． 6 + 4 5 π
C． 8 + 4 5 π D． 9 + 4 5 π
【解题思路】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面
积可求得剩下几何体的表面积.
1
【解答过程】设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 = 2 × 2 = 1， =
1
2 × 4 = 2，
圆锥的母线长为 22 + 42 = 2 5，
过 PO 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，
则剩下的几何体的表面积为π × 2 × 2 5 +2π × 1 × 2 + π × 22 = 8 + 4 5 π.
故选：C.
【变式 2-3】（23-24 高一下·广东广州·阶段练习）已知母线长为 a 的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内
放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（ ）
3π 3 3π 3 3π 3A B C D 3π
3
． ． ． ．
64 32 16 8
【解题思路】根据侧面展开图为半圆可求底面半径，再求出圆柱的底面半径和高的关系后可求何时侧面最
大，从而可求此时圆柱的体积.
1
【解答过程】设圆锥底面半径为 ，则2π = 2 × 2π ，故 = 2，
3
3 1 3
故圆锥的高为 ，设圆柱底面半径为 1，则 = 2 22 3 ，故 1 = ，2 2 3
3 3 2π
其中0 < < ，故圆柱的侧面积为2π 1 × = 2π × 2 × = 32 3 ，3 2
2
3 3
而 3 ≤ 2 = 16
2，当且仅当 = 3 时等号成立，
2 4 4
3 1
故圆柱的侧面积取最大值时， = ， 1 = 4 ，4
1 3
此时体积为π × 216 × =
3π 3，
4 64
故选：A.
【题型 3 球的表面积与体积】
【例 3】（23-24 高一下·安徽六安·期末）已知正四棱锥 的体积为3 2，底面边长为 3，则以 为球心，2
为半径的球的体积为（ ）
A． 6π B．2 6π C．4 6π D．8 6π
【解题思路】根据棱锥的体积公式，结合正四棱锥的性质、勾股定理、球的体积公式进行求解即可.
【解答过程】设 在底面的射影为 ，则 为该正棱锥的高，
因为正四棱锥 的体积为3 2，底面边长为 3，2
1 2
所以有3 2 = 3 × ( 3) =
3 2，
2 2
因为在该正四棱锥中，底面是正方形，
1 2 2 6
所以 = 2 ( 3) + ( 3) = ，2
= 2 + 2 = 6 18因此由勾股定理可得 + = 6，
4 4
3
所以 4为半径的球的体积为3 × ( 6) π = 8 6π，
故选：D.
【变式 3-1】（23-24 4π高一下·浙江杭州·期中）已知球的体积为 3 ，则该球的表面积为（ ）
A．6π B 9 32．2π C．4π D． 3 π
【解题思路】根据求得体积和表面积公式求解.
= 4π 3 = 4π【解答过程】根据题意， 3 3 ，所以 = 1，
则该球的表面积为 = 4π × 12 = 4π.
故选：C.
【变式 3-2】（2024 高二下·河北·学业考试）已知 是球 的球面上一点，过线段 的中点 1作垂直于直线
的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为9π，则该球的表面积是（ ）
A．12π B．36π C．48π D．32 3π
【解题思路】本题涉及球的截面相关概念.球的截面是一个圆，根据圆的面积公式 = π 2（其中 为面积，
为半径），可求出截面圆的半径.再利用球的截面性质，设球的半径为 ，截面圆半径为 ，球心到截面的距
离 （这里 = 2 22），通过勾股定理 = +
2求出球的半径 ，进而求出球的表面积 = 4π 2.
【解答过程】已知截面圆的面积为9π，根据圆的面积公式 = π 2，可得π 2 = 9π，解得 = 3.
设球的半径为 ，因为 1是
的中点，所以球心 到截面的距离 = 2.
根据勾股定理 2 = 2 + 2，将 = 3， = 2代入可得：
2 2 2
2 = 32 + , 2 = 9 + 3 2 则 4 ，则 4 = 9，则
2 = 12，解得 = 2 3.
根据球的表面积公式 = 4π 2，将 = 2 3代入可得：
2
= 4π × (2 3) = 4π × 12 = 48π
故选：C.
【变式 3-3】（23-24 高一下·河北邢台·期中）如图，圆锥 的顶点及底面圆的圆周都在球 的球面上，且圆
锥 的母线长和底面圆的直径均为 2，则球 的表面积为（ ）
A．π B．4π C 8π 16π． 3 D． 3
【解题思路】作出辅助线，求出各边长，利用勾股定理列出方程，求出半径，得到表面积.
【解答过程】如图，连接 ，由题意可得 = 1， = 2，
由勾股定理得 = 2 2 = 3，
设 = = ．
2
因为 2 + 2 = 2 2 3，所以( 3 ) +1 = 2，解得 = ，
3
16π
所以球 的表面积为4π 2 = 3 ．
故选：D.
【题型 4 组合体的表面积与体积】
【例 4】（23-24 高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图 1)出土于辽宁省略
左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，
耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图
2 所示．已知球的半径为 R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为
（ ）
A 2 7 1 5．3 B．12 C．2 D．12
【解题思路】利用球体、圆柱体体积公式和球体表面积，圆柱体侧面积公式可得答案.
【解答过程】由球的半径为 R，则圆柱体的高为 R
1 4 5
此鼎主体部分的容积约为： 3 22 × 3 + × = 3
3
1
此鼎主体部分外表面积约为：2 × 4
2 +2 × = 4 2
5 3 5
所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为：3 =
4 2 12
故选：D.
【变式 4-1】（23-24 高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一
个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图 1 是一种木陀螺，其直观图如图 2 所示， 为圆锥的顶点， ，
分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为6π，高为 3，圆柱的母线长为 4，则该几何体的表面
积为（ ）
A．(33 + 9 2)π B．(24 + 9 2)π C．(33 + 18 2)π D．(24 + 18 2)π
【解题思路】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为 ，圆锥的母线为 ，根据圆锥的底面周长求出 ，再由勾股
定理求出 ，最后由表面积公式计算可得.
【解答过程】设圆锥（圆柱）的底面圆的半径为 ，圆锥的母线为 ，依题意可得2π = 6π，解得 = 3，
所以 = 32 + 32 = 3 2，
所以该几何体的表面积 = π 2 + π + 2π × 4 = π × 32 + π × 3 × 3 2 +2π × 3 × 4 = (33 + 9 2)π.
故选：A.
【变式 4-2】（23-24 高一下·广东云浮·期中）如图是一个奖杯的直观图，它由球 长方体和正四棱台构成．已
知球的半径为4cm，长方体的长 宽和高分别为8cm,6cm,18cm，正四棱台的上 下底面边长和高分别为11cm
,15cm,5cm．
(1)求下部分正四棱台的侧面积；
(2)求奖杯的体积．（结果取整数，π取 3）
【解题思路】（1）首先求出斜率，再由梯形面积公式计算可得；
（2）根据球、柱体、台体的体积公式计算可得.
【解答过程】（1）因为正四棱台的上、下底面边长和高分别为11cm，15cm，5cm，
15 11 2
则该四棱台的斜高为 + 52 = 29 (cm)，
2
1
所以正四棱台的侧面积为4 × 22 × (11 + 15) × 29 = 52 29(cm )；
2 = 1 × 5 × 2 2 = 2555（ ）因为 正四棱台 3 (15 + 15 × 11 + 11 ) 3 (cm
3)，
长方体 = 6 × 8 × 18 = 864(cm3)， =
4π × 43 = 256π球 3 3 (cm
3)，
256π 2555
所以这个奖杯的体积 = 正四梭台 + 长方体 + 球 = 3 +864 + 3 ≈ 1972(cm
3).
所以这个奖杯的体积约为1972cm3.
【变式 4-3】（23-24 高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的
同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图 1）.某学生到工厂劳动实践，利用3 打印技术制作一个亭子模
型（如图 2），该模型为圆锥 1与圆柱 1构成的几何体Ω（圆锥 1的底面与圆柱 1的上底面重合）.已
知圆锥 8 1的高为 18cm，母线长为 30cm，其侧面展开图是一个圆心角为 5 的扇形，AB 为圆锥的底面直径.
圆柱 1的高为 30cm，DC 为圆柱下底面的直径，且 = 40cm.
(1)求圆锥 1的侧面积；
(2)求几何体Ω的体积.
【解题思路】（1）由勾股定理求出圆锥底面半径，然后由侧面积公式求解即可；
（2）分别求出圆锥，圆柱的体积，然后求和即可求出几何体Ω的体积.
【解答过程】（1）因为圆锥 1的高为 18cm，母线长为 30cm，
所以圆锥底面半径为 = 302 182 = 24cm，
所以圆锥 1的侧面积为π = π × 24 × 30 = 720π(cm2)
（2）由（1）可知，圆锥 1的体积为：
1=
1 2
3 × π × 24 × 18 = 3456π(cm
3)，
圆柱 21的体积为： 2=π × 20 × 30 = 12000π(cm3)，
所以几何体Ω的体积为： 1 + 2 = 3456π+12000π = 15456π(cm3).
【知识点 2 球的截面、几何体与球的切、接问题】
1．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 之间满足关系式： .
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为 R，以 O'为圆心的截面的半径
为 r，OO'=d.则在 Rt△OO'C 中，有 ，即 .
2．几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
【题型 5 球的截面问题】
【例 5】（23-24 高一下·贵州安顺·期末）已知球 O 的体积为36π，球 O 被一个平面所截得的截面面积为5π，
则球心 O 到该截面的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据给定条件，求出球半径及截面小圆半径即可得解.
4π
【解答过程】设球 O 的半径为 ，则 3
3 = 36π，解得 = 3，
由截面圆面积为5π，得截面圆半径 = 5，
所以球心 O 到该截面的距离 = 2 2 = 2.
故选：B.
【变式 5-1】（2024·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球
面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论
球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积 = 2π （如上图，
这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被
一个棱长为 4 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了 6 个球
冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为2π，则该工艺品的表面积为（ ）
A．20π B． 24 5 34 π C．16π D．12π
【解题思路】设截面圆半径为 ，球的半径为 ，求出截面圆的半径，利用几何关系可求出球体的半径，求
出球体的表面积和一个球冠的表面积，
再利用球体的表面积减去6个球冠的表面积并加上6个截面圆的面积可得出该实心工艺品的表面积.
【解答过程】设截面圆半径为 ，球的半径为 ，
则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即此距离为2，
根据截面圆的周长可得2π = 2π ，得 = 1，故 2 = 22 + 12 = 5，得 = 5，
所以球的表面积 = 20π．
如图， = = = 5，且 2 = 2，则球冠的高 = 2 = 5 2，
得所截的一个球冠表面积 1 = 2π = 2π × 5 × 5 2 = 10π 4 5π，
且截面圆面积为π × 12 = π，
所以工艺品的表面积 ′ = 6 1 +6π = 20π 60π +24 5π +6π = 24 5 34 π．
故选：B.
【变式 5-2】（23-24 高一下·河南驻马店·期末）已知正四面体 内接于球 O，E 为底面三角形 ABC 中
边 BC 的中点，过点 E 作球 O 的截面，若存在半径为2 3的截面圆，则此四面体的棱长的取值范围（ ）
A．[2 2,2 3] B．[2 3,2 6] C．[4 2,4 3] D．[4 3,4 6]
= 6【解题思路】根据条件设正四面体的棱长为 ，用棱长 表示出其外接球的半径 ，过 点作外接球 的
4
截面，只有当 ⊥ 1截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时此时截面圆的半径为 = 2 ，最大截面
6 1
圆为过球心的大圆，半径为 = ，根据题意则2 ≤ 2 3 ≤
6 ，从而可得出答案.
4 4
【解答过程】如图，在正四面体 中，设顶点 在底面的射影为 1，
2
则球心 在 1上， 1在 上，且| 1| = 3| |,连接 ，
3
设正四面体的棱长为 ，则| | = ， =
2 3
2 | 1| 3| | = 3
2
则正四面体的高 1 = 2 2 = 2 ( 3 ) = 61 ，3 3
设外接球半径为 ，
2 2
在Rt △ 2 2 2 2 6 3 61 中， = 1 + 1 ，即 = ( ) + ( ) = 3 3 ，解得 ，4
∴在Rt △ 中， = 2 + 2 = ( 6
2
) + ( 3
2
1 1 1 ) =
2 ，
12 6 4
过 点作外接球 的截面，只有当 ⊥ 截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，
2 2
此时截面圆的半径为 = 2 2 =
1
( 6 ) ( 2 ) = 2 ，4 4
6
最大截面圆为过球心的大圆，半径为 = ，
4
由题设存在半径为2 3的截面圆，∴
1
2 ≤ 2 3 ≤
6 ，解得4 ≤ ≤ 4 ，
4 2 3
故选:C.
【变式 5-3】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体 1 1 1 1外接球的体积为4 3π， 、 、 分别为
棱 1、 1 1、 1 1的中点，则平面 截球的截面面积为（ ）
A 5π 4π 2π
π
． 3 B． 3 C． 3 D．3
【解题思路】由已知，得到正方体 1 1 1 1外接球的半径，进而得到正方体的棱长，再由勾股定理
计算出平面 截球的截面圆的半径，即可得到截面面积.
【解答过程】
设正方体 1 1 1 1外接球的半径为 ，棱长为 ，
因为正方体 1 1 1 1外接球的体积为4 3π，
4
所以 π 33 = 4 3π，则 = 3，
2 2由3 = (2 3) ，得 = 2，
设球心 到平面 的距离为 ，平面 截球的截面圆的半径为 ，
设 1到平面 的距离为 ′,
因为 、 、 分别为棱 1、 1 1、 1 1的中点，
所以 △ 是边长为 2的正三角形,
= , 1 1由 得 △ ′1 3 = 3 △ 1 1 ,
1
则3 ×
1 3 1 1′
2 × 2 × 2 × =2 3 × 2 × 1 × 1 × 1,
= 3, = 1解得 ′ 又 1 2 = 3,3
1
所以 1到平面 的距离为 ′ = 3 1，
则 = 11 3 1 =
1 = 2 33 ，3
2 2
2 = 2 2 = ( 3) 2 3 = 5
3 3，
5
所以平面 截球的截面面积为，π 2 = 3π.
故选：A.
【题型 6 几何体的外接球问题】
【例 6】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥 - 中， = = = 5 ， = 3 ， ∠ =
2π
3 ，则三棱锥 - 的外接球的体积为（ ）
A 9π B 125π C 125π 125π． 2 ． 16 ． 48 D． 64
【解题思路】根据勾股定理可得，点 在底面的投影 即为 △ 的外心，再利用正弦定理求得 △ 外接
圆的半径，然后找到球心的大致位置，根据半径相等列等式求解即可.
【解答过程】
过点 作 ⊥ 平面 ，垂足为 ，连接 、 、 ，
因为 = = = 5，所以 = = = 5 2 2 = 5 2，
故点 是底面 △ 的外心，设 △ 外接圆的半径 = ，
3
由正弦定理sin∠ = 2 ，所以2 = sin 2π = 2， = 1，3
所以 5 2 = 1， = 2，
设三棱锥 - 的外接球球心为 ，显然 在线段 上，
设 = ，三棱锥 - 的外接球的半径为 ，
则 = 2 ， = 12 + 2，又 = ，
3 5
所以2 = 12 + 2， = 4， = = 4，
- 4π 3 = 125π三棱锥 的外接球的体积为3 48 .
故选：C.
【变式 6-1】（23-24 高一下·浙江温州·期中）在三棱锥 中， ⊥ 底面 ， = 2，∠ = 120°，
△ 3 3的面积为 ，则三棱锥 的外接球表面积的最小值为（ ）
2
A．24π B．28π C．32π D．36π
【解题思路】由面积公式可得 = 6，由余弦定理结合基本不等式可求 ≥ 3 2，根据正弦定理可得 △
外接圆半径 ，由勾股定理即可求解.
【解答过程】如图，取 △ 的外接圆圆心 ，过点 作平面 的垂线，
则三棱锥 的外接球的球心 在该垂线上，且 = 1，
在 △ 1中， △ = 2 sin =
3 = 3 3，即 = 6，
4 2
所以 2 = 2 + 2 2 cos ≥ 2 2 1 = 18，
2
即 ≥ 3 2（当且仅当 = 时取等号），
设 △ 外接圆半径为 ，由正弦定理得2 = sin ≥ 2 6，即 ≥ 6，
所以外接球的半径 = 2 + 1 ≥ 7，则 = 4π 2 ≥ 28π，
故三棱锥 的外接球表面积的最小值为28π.
故选：B.
【变式 6-2】（23-24 高一下·安徽·阶段练习）如图，已知点 在圆柱 1的底面圆 上， 为圆 的直径，
= 2，∠ = 120°，三棱锥 1 8 3的体积为 .3
(1)求圆柱 1的表面积；
(2)求三棱锥 1 外接球的体积.
1
【解题思路】（1）首先求出 、 ，即可得到 △ ，再由 1 = 3 △ 1求出 1，最后根据圆
柱的表面积公式计算可得；
（2）三棱锥 1 外接球即为圆柱 1的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得.
【解答过程】（1）∵在 △ 中， = = 2,∠ = 120°，
∴ = 22 + 22 2 × 2 × 2cos120° = 2 3，
又在 △ 中， = = 2，∠ = 60°，∴ = 2，
而点 的圆柱 1的底面圆 上，∴ ⊥ ，
1 1
所以 △ = 2 × × = 2 × 2 3 × 2 = 2 3，
1
于是由 1 = 3
8 3 1 8 3
△ 1 = ，得3 3 × 2 3 × 1 = ，3
∴ 1 = 4，
∴圆柱 1的表面积 表 = 侧 +2 2底 = 2π × 2 × 4 + 2π × 2 = 24π.
（2）三棱锥 1 外接球即为圆柱 1的外接球，
则外接球的球心是 1的中点，半径 = 22 + 22 = 2 2，
4 4 3 64 2
所以三棱锥 1 外接球的体积 = π 33 = 3π × (2 2) = π.3
【变式 6-3】（23-24 高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱 1 1 1的侧棱垂直于底面，其高为 2cm，
底面三角形的边长分别为 3cm，4cm，5cm.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积 ；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
【解题思路】（1）求出三棱柱的体积，得到 △ 的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.
【解答过程】（1）因为底面三角形的边长分别为 3cm，4cm，5cm，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为 3cm，4cm，
又因为三棱柱 1 1 1的侧棱垂直于底面，其高为 2cm，
所以 1 1 1 1 = 2 × 3 × 4 × 2 = 12(cm
3).
设圆柱底面圆的半径为 ，
1
则 = 2 △ 2× ×3×42 + + = = 1，3+4+5
圆柱体积 1 = π × 12 × 2 = 2π(cm3).
所以剩下的几何体的体积 = (12 2π)cm3.
（2）由（1）直三棱柱 1 1 1可补形为棱长分别为 3cm，4cm，2cm 的长方体，
29
它的外接球的球半径 满足2 = 32 + 42 + 22 = 29，即 = cm.2
2
29
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为 = 4π × = 29πcm22 .
【题型 7 几何体的内切球问题】
【例 7】（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长都等于
2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．(8 4 3)π B．12π C．(8 + 4 3)π D．8π
【解题思路】求出棱锥的高，进而得到棱锥体积，设出内切球半径，根据体积得到方程，求出半径，进而
得到表面积.
【解答过程】设内切球的半径为 , 的中点为 ，则 ⊥平面 ，
因为四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，所以 = = 2，
因为 = 2，由勾股定理得 = 2，
1 4 2 1 3
故棱锥的体积为3 × 2
2 × 2 = ，棱锥的表面积为4 × 2 × 2
2 × + 22 = 4 +4，
3 2 3
设内切球的半径为 ，
1 4 2
则由等体积法可得 6 23(4 3 + 4) = ，解得 = ，3 2
所以 = (8 4 3)π．
故选：A.
【变式 7-1】（23-24 高一下·广东深圳·阶段练习）已知圆台 1 2存在内切球 （与圆台的上、下底面及侧面
都相切的球），若圆台 1 2的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5:8，设球 的体积与圆台 1 2分别
为 1,
1
2，则 = （ ）2
A 2．3 B
3
．4 C
6 5
．13 D．11
【解题思路】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母
线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得．
【解答过程】设圆台 1 2的上、下底面半径分别为 1， 2( 2 > 1 > 0)，母线长为 ，高为 ，内切球 的半
径为 ，
显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则 = 1 + 2，2 = ，
( 21+ 2由 2
) 5 2
( + ) = 8，整理得3 1 10 1 2 +3
2
2 = 0，而 2 > 1，解得 2 = 3 1， = 4 1，1 2
因此圆台的高 = 2 ( 2 1)2 = 2 3 1， = 3 1，
1 26 3 3
则圆台 2 2 11 2的体积 1 = 3 [ 1 + 1 3 1 + (3 1) ] 2 3 1 = ，3
3
内切球 的体积 = 42 3 ( 3 1) = 4 3
3 2 6
1，所以 = 13．1
故选： C.
【变式 7-2】（23-24 高一下·山东潍坊·期末）已知圆锥的底面半径为 3，侧面积为15π.
(1)求圆锥的体积；
(2)求圆锥的内切球的表面积.
【解题思路】利用圆锥侧面积公式、体积公式、圆锥内切球关系分析运算即可得解.
【解答过程】（1）由题意圆锥的底面半径为 = 3，设母线长为 ，圆锥的高为 ，
由圆锥的侧面积公式 = π 得：3π = 15π，解得 = 5，所以 = 2 2 = 4.
1 1 1
由圆锥的体积公式 = 2 23 底 得: = 3π = 3π × 3 × 4 = 12π.
（2）如图所示，
圆锥及内切球截面示意图如上图，设内切球半径为 ，
∵Rt △ 相似于Rt △ ，
∴ = 4 ，即3 = 5 ，
3 2
解得： = 2，所以内切球表面积： = 4π ×
3 = 9π
2 .
【变式 7-3】（23-24 高一下·河南洛阳·期中）已知在圆锥 SO 中，底面 ⊙ 的直径 = 2， △ 的面积为
2 2.
(1)求圆锥 SO 的内切球的体积；
(2) M 1点 在母线 SB 上，且 = 3 ，一只蚂蚁若从 A 点出发，沿圆锥侧面爬行到达 M 点，求它爬行的最短
距离.
【解题思路】（1）根据圆锥轴截面的性质求得高和母线长，根据三角形相似及内切球的性质求出内切球的
半径，代入球的体积公式求解即可；
（2）将圆锥沿母线展开，结合圆心角，利用余弦定理求解即可.
【解答过程】（1）设圆锥 SO 的母线长为 l，底面 ⊙ 的半径为 r，
△ 1因为 的面积为2 2，所以 △ = 2 2 = 2 2，解得 = 2 2.
由勾股定理，可得母线 = 2 + 2 = 3，
如图，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为 D，球的半径为 R，
则 ⊥ 于 E， = = ，
则 △ ∽△ ，可得 : = : ，
2 2 4 2
即 21 = ，解得 = ，所以球的体积 = 3π
3 = π；
3 2 3
（2）如图，圆锥的侧面展开图为扇形 SAN，
π
扇形 SAN 的弧长为2π = 2π，扇形 SAN 2π的圆心角 = 3 ，所以∠ = 3，
在 △ 中，由余弦定理， 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 9 + 1 3 = 7，
所以 = 7，因为 + = 4 > 7，所以蚂蚁爬行的最短距离为 AM 的长度，
即蚂蚁爬行的最短距离为 7.
【题型 8 实际应用问题】
【例 8】（23-24 高一下·河北衡水·期末）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单
完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个
圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；
四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为
（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm
【解题思路】先求出液体的体积，然后计算出计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积，在利用高度比的
立方等于体积比即可得出结果.
【解答过程】由已知可得：液体的体积为6 × 2π × 6.5 = 78π(cm3)，
如图，易知， △ 、 △ 两个相似的直角三角形，
因为圆锥的底面半径是6cm，高是6.75cm，
1
所以圆锥的体积为 23π × 6 × 6.75 = 81π(cm
3)，
计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为81π 78π = 3π(cm3)，
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度 为 cm，
3π 6.75 3= = 1则81π 6.75 27，
6.75 1
6.75 = 3，解得 = 4.5，
所以计时结束后.“沙漏”中液体的高度为4.5cm.
故选：D.
【变式 8-1】（23-24 高一下·福建泉州·期末）如图是一个鲜花包装盒，形状近似于高为 12cm 的正四棱台，
其两个底面边长分别为 8cm 和 10cm．若忽略材料厚度，则该包装盒的容积为（ ）
A．960cm3 B．976cm3 C．2880cm3 D．2928cm3
1
【解题思路】直接利用棱台的体积公式 = 3 ′ + ′ + 求解即可，或者利用补台为锥的办法求解．
【解答过程】解：根据四棱台的体积公式
= 1 13 ′ + ′ + = 3 × 8
2 + 82 × 102 + 102 × 12 = 4 × 244 = 976cm3．
解法二：若公式记不住，也可考虑补台为锥的办法快速求解，如下图；
′ ′ 8 2 ′
根据三角形相似可知 = = ，则10 2 ′+12，
即 ′ = 48, = 60，所以
1 1
棱台 = ′ ′ ′ ′ = 3 3 ′ ′ ′ ′
′
1
= × 102
1
× 60 23 3 × 8 × 48 = 976cm
3
故选：B．
【变式 8-2】（23-24 高一下·辽宁锦州·期末）如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已
π
知圆台的上、下底面半径分别为1和2，且圆台的母线与底面所成的角为3，圆锥的底面是圆台的上底面，顶
点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ）
A 2 3π 7 3π． B．2 3π C． D．4 π3 3 3
π
【解题思路】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得∠ = 3，圆台、圆锥的高均为 = 3，再计
算体积即可.
【解答过程】根据题意，该圆台的轴截面 为等腰梯形，如图，
π
所以∠ 即为圆台母线与底面所成角，即∠ = 3，
分别过点 、 在平面 内作 ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为点 、 ，
因为 // ，则四边形 为矩形，且 = = 2，
π
因为 = ，∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 2，
△ ≌ △ = = = 所以 ，所以 ，且 2 =
4 2
2 = 1，
π π
因为∠ = 3，则 = tan3 = 3，
所以圆台、圆锥的高均为 = 3，
所以该工业部件的体积为
= 圆台 =
1
圆锥 3 × 3 ×
1
(1π + 1π × 4π + 4π) 3 × π × 1
2 × 3 = 2 3π.
故选：B.
【变式 8-3】（23-24 高一下·吉林长春·期末）降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：
mm）.气象学中，把 24 小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表：
日降雨量/mm 0，10 10，25 25，50 50，100
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面
积之比为4:1，母线长为5cm，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了 24
1
小时的雨水，水深恰好是桶深的2，则当日的降雨量等级为（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【解题思路】根据题意，由圆台的侧面积公式可求出圆台高，再计算其体积，即可得到结果.
【解答过程】设上口半径为 ，下口半径为 ，桶深为 ，水面半径为 1，
2 2 2
根据题意 = 2 5 = + ，且 π 2 + π(2 )2 = 5π( + 2 ) ，
= 3 = + 9解得 = 4 ，则 1 2 = 2cm，
1 9 2 9 57
降水量的体积 = 3π 3
2 + + 3 × × 2 = 3
2 2 2
πcm ，
57= π降水深度为 2π 2 ≈ 0.79cm = 7.9mm，属于小雨等级.36π
故选：A．专题 8.3 简单几何体的表面积与体积【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】 ....................................................................................................2
【题型 2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】 ....................................................................................................3
【题型 3 球的表面积与体积】 ................................................................................................................................4
【题型 4 组合体的表面积与体积】 ........................................................................................................................5
【题型 5 球的截面问题】 ........................................................................................................................................8
【题型 6 几何体的外接球问题】 ............................................................................................................................8
【题型 7 几何体的内切球问题】 ............................................................................................................................9
【题型 8 实际应用问题】 ......................................................................................................................................10
【知识点 1 简单几何体的表面积与体积】
1．多面体的侧面积、表面积和体积
多面体 图形 侧面积与表面积 体积
直棱柱的侧面展开图是矩形，
V = S h ( S 为底面面
棱柱 S 直棱柱侧=Ch(C
柱 底 底
为底面周长，h 为高)，
积，h 为高)
S 直棱柱表=S 直棱柱+2S 底(S 底为底面面积)
正棱锥的侧面展开图是一些全等的
等腰三角形，S 正棱锥侧 Ch' (C 为底
棱锥
面周长，h'为斜高)，S 正棱锥表=S 正棱锥侧+S ( S 底为底面面积，h 为高)
底(S 底为底面面积)
正棱台的侧面展开图是一些全等的
等腰梯形，S 正棱台侧 (C+C')h'(C'、C
棱台
分别为上、下底面的周长，h'为斜
(S'、S 分别为上、下底面
高)，S 正棱台表=S 正棱台侧+S+S′(S′、S 分别
面积，h 为棱台的高)
为上、下底面面积)
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
旋转体 图形 侧面积与表面积 体积
圆柱的侧面展开图是矩形，
体积 V= S 底 h ( S 底为底面S 圆柱侧=2πrl，表面积
面积，h 为高)
S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)
圆柱
圆锥的侧面展开图是扇形， 体积 V= S 底h ( S 底为底
圆锥 S 圆锥侧=πrl，表面积
S=πr2+πrl=πr(r+l)
面面积，h 为高)
体积
圆台的侧面展开图是扇环，
S 圆台侧=π(r1+r2)l，
圆台 表面积
(S'、S 分别为上、下底面
面积，h 为圆台的高)
半径为 R 的球的体积
半径为 R 的球的表面积
球
S=4πR2
3．空间几何体表面积与体积的常见求法
(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
(2)求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单
几何体的体积，再相加或相减.
【题型 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】
【例 1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在正方体 1 1 1 1的八个顶点中，有四个顶点 A，
1，C， 1恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A． 3:1 B．1: 2 C． 6:2 D．1: 3
【变式 1-1】（23-24 高一下·天津滨海新·阶段练习）庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称
为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体 ，其中
正方形 3的边长为 3， // , = 2，且 到平面 的距离为 2，则几何体 的体积为
（ ）
A 27 B 9 C 5 D 15． 4 ．4 ．2 ． 2
【变式 1-2】（23-24 高一下·吉林·期末）中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之
冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱
台 1 1 1 1， = 2， 1 1 = 4，侧面面积为12 3，则该正四棱台的体积为（ ）
A 28 2． B 28 3．28 2 C． D．283 3 3
【变式 1-3】（23-24 高一下·安徽马鞍山·期中）已知点 P 为三棱柱 1 1 1侧棱 1上靠近点 A 的三等
分点，若四棱锥 1 1的体积为 V，则三棱柱 1 1 1的体积为（ ）
A 5 4 3 ． 4 B． 3 C． 2 D．2V
【题型 2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】
【例 2】（23-24 高一下·江苏常州·期末）已知圆柱的底面半径为 2cm，体积为12πcm3，则该圆柱的表面积
为（ ）
A．12πcm B．16πcm2 C．18πcm2 D．20πcm2
【变式 2-1】（23-24 高一下·广西南宁·期末）已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该
圆锥的体积为（ ）
A 6 2 6 4 6． π B． π C． π D 8 6． π
3 3 3 3
【变式 2-2】（23-24 高一下·陕西宝鸡·期末）如图，圆锥 PO 的底面直径和高均是 4，过 PO 的中点 1作平
行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）
A． 4 + 4 5 π B． 6 + 4 5 π
C． 8 + 4 5 π D． 9 + 4 5 π
【变式 2-3】（23-24 高一下·广东广州·阶段练习）已知母线长为 a 的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内
放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（ ）
A 3π
3 3
B 3π 3π
3 3π 3
． ． C． D．
64 32 16 8
【题型 3 球的表面积与体积】
【例 3】（23-24 高一下·安徽六安·期末）已知正四棱锥 的体积为3 2，底面边长为 3，则以 为球心，2
为半径的球的体积为（ ）
A． 6π B．2 6π C．4 6π D．8 6π
3-1 4π【变式 】（23-24 高一下·浙江杭州·期中）已知球的体积为 3 ，则该球的表面积为（ ）
A．6π B 9 32．2π C．4π D． 3 π
【变式 3-2】（2024 高二下·河北·学业考试）已知 是球 的球面上一点，过线段 的中点 1作垂直于直线
的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为9π，则该球的表面积是（ ）
A．12π B．36π C．48π D．32 3π
【变式 3-3】（23-24 高一下·河北邢台·期中）如图，圆锥 的顶点及底面圆的圆周都在球 的球面上，且圆
锥 的母线长和底面圆的直径均为 2，则球 的表面积为（ ）
A．π B．4π C 8π D 16π． 3 ． 3
【题型 4 组合体的表面积与体积】
【例 4】（23-24 高一下·四川成都·期中）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图 1)出土于辽宁省略
左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，
耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图
2 所示．已知球的半径为 R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为
（ ）
A 2 7 1 5．3 B．12 C．2 D．12
【变式 4-1】（23-24 高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一
个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图 1 是一种木陀螺，其直观图如图 2 所示， 为圆锥的顶点， ，
分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为6π，高为 3，圆柱的母线长为 4，则该几何体的表面
积为（ ）
A．(33 + 9 2)π B．(24 + 9 2)π C．(33 + 18 2)π D．(24 + 18 2)π
【变式 4-2】（23-24 高一下·广东云浮·期中）如图是一个奖杯的直观图，它由球 长方体和正四棱台构成．已
知球的半径为4cm，长方体的长 宽和高分别为8cm,6cm,18cm，正四棱台的上 下底面边长和高分别为11cm
,15cm,5cm．
(1)求下部分正四棱台的侧面积；
(2)求奖杯的体积．（结果取整数，π取 3）
【变式 4-3】（23-24 高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的
同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图 1）.某学生到工厂劳动实践，利用3 打印技术制作一个亭子模
型（如图 2），该模型为圆锥 1与圆柱 1构成的几何体Ω（圆锥 1的底面与圆柱 1的上底面重合）.已
8
知圆锥 1的高为 18cm，母线长为 30cm，其侧面展开图是一个圆心角为 5 的扇形，AB 为圆锥的底面直径.
圆柱 1的高为 30cm，DC 为圆柱下底面的直径，且 = 40cm.
(1)求圆锥 1的侧面积；
(2)求几何体Ω的体积.
【知识点 2 球的截面、几何体与球的切、接问题】
1．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 之间满足关系式： .
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为 R，以 O'为圆心的截面的半径
为 r，OO'=d.则在 Rt△OO'C 中，有 ，即 .
2．几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
【题型 5 球的截面问题】
【例 5】（23-24 高一下·贵州安顺·期末）已知球 O 的体积为36π，球 O 被一个平面所截得的截面面积为5π，
则球心 O 到该截面的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 5-1】（2024·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球
面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论
球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积 = 2π （如上图，
这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被
一个棱长为 4 的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了 6 个球
冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为2π，则该工艺品的表面积为（ ）
A．20π B． 24 5 34 π C．16π D．12π
【变式 5-2】（23-24 高一下·河南驻马店·期末）已知正四面体 内接于球 O，E 为底面三角形 ABC 中
边 BC 的中点，过点 E 作球 O 的截面，若存在半径为2 3的截面圆，则此四面体的棱长的取值范围（ ）
A．[2 2,2 3] B．[2 3,2 6] C．[4 2,4 3] D．[4 3,4 6]
【变式 5-3】（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体 1 1 1 1外接球的体积为4 3π， 、 、 分别为
棱 1、 1 1、 1 1的中点，则平面 截球的截面面积为（ ）
A 5π 4π 2π
π
． 3 B． 3 C． 3 D．3
【题型 6 几何体的外接球问题】
【例 6】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥 - 中， = = = 5 ， = 3 ， ∠ =
2π
3 ，则三棱锥 - 的外接球的体积为（ ）
A 9π B 125π C 125π 125π． 2 ． 16 ． 48 D． 64
【变式 6-1】（23-24 高一下·浙江温州·期中）在三棱锥 中， ⊥ 底面 ， = 2，∠ = 120°，
△ 3 3的面积为 ，则三棱锥 的外接球表面积的最小值为（ ）
2
A．24π B．28π C．32π D．36π
【变式 6-2】（23-24 高一下·安徽·阶段练习）如图，已知点 在圆柱 1的底面圆 上， 为圆 的直径，
= 2，∠ = 120° 8 3，三棱锥 1 的体积为 .3
(1)求圆柱 1的表面积；
(2)求三棱锥 1 外接球的体积.
【变式 6-3】（23-24 高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱 1 1 1的侧棱垂直于底面，其高为 2cm，
底面三角形的边长分别为 3cm，4cm，5cm.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积 ；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
【题型 7 几何体的内切球问题】
【例 7】（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长都等于
2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．(8 4 3)π B．12π C．(8 + 4 3)π D．8π
【变式 7-1】（23-24 高一下·广东深圳·阶段练习）已知圆台 1 2存在内切球 （与圆台的上、下底面及侧面
都相切的球），若圆台 1 2的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5:8，设球 的体积与圆台 1 2分别
为 1,
1
2，则 = （ ）2
A 2 B 3 C 6．3 ．4 ．13 D
5
．11
【变式 7-2】（23-24 高一下·山东潍坊·期末）已知圆锥的底面半径为 3，侧面积为15π.
(1)求圆锥的体积；
(2)求圆锥的内切球的表面积.
【变式 7-3】（23-24 高一下·河南洛阳·期中）已知在圆锥 SO 中，底面 ⊙ 的直径 = 2， △ 的面积为
2 2.
(1)求圆锥 SO 的内切球的体积；
(2)点 M 1在母线 SB 上，且 = 3 ，一只蚂蚁若从 A 点出发，沿圆锥侧面爬行到达 M 点，求它爬行的最短
距离.
【题型 8 实际应用问题】
【例 8】（23-24 高一下·河北衡水·期末）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单
完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个
圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；
四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为
（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm
【变式 8-1】（23-24 高一下·福建泉州·期末）如图是一个鲜花包装盒，形状近似于高为 12cm 的正四棱台，
其两个底面边长分别为 8cm 和 10cm．若忽略材料厚度，则该包装盒的容积为（ ）
A．960cm3 B．976cm3 C．2880cm3 D．2928cm3
【变式 8-2】（23-24 高一下·辽宁锦州·期末）如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已
π
知圆台的上、下底面半径分别为1和2，且圆台的母线与底面所成的角为3，圆锥的底面是圆台的上底面，顶
点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ）
A 2 3π B 2 3π C 7 3π． ． ． D．4 3π3 3
【变式 8-3】（23-24 高一下·吉林长春·期末）降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：
mm）.气象学中，把 24 小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表：
日降雨量/mm 0，10 10，25 25，50 50，100
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面
积之比为4:1，母线长为5cm，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了 24
1
小时的雨水，水深恰好是桶深的2，则当日的降雨量等级为（ ）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
