专题8.6 空间直线、平面的垂直(一)【八大题型】(举一反三)(含答案)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册)

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名称 专题8.6 空间直线、平面的垂直(一)【八大题型】(举一反三)(含答案)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册)
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资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-05-05 09:13:02

文档简介

专题 8.6 空间直线、平面的垂直(一)【八大题型】
【人教 A 版(2019)】
【题型 1 异面直线所成的角】 ................................................................................................................................1
【题型 2 线线垂直的判定】 ....................................................................................................................................4
【题型 3 线面垂直的判定】 ....................................................................................................................................9
【题型 4 直线与平面所成的角】 ..........................................................................................................................12
【题型 5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 ..........................................................................................17
【题型 6 由线面垂直的性质证明面面平行】 ......................................................................................................21
【题型 7 根据线面垂直求参数】 ..........................................................................................................................24
【题型 8 平面内的射影问题】 ..............................................................................................................................29
【知识点 1 直线与直线垂直】
1.异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图,已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 分别作直线 a'∥a,b'∥b,我们把直线 a',b'所成的
角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角 必须是锐角或直角,即 的范围是 < .
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线 a 与直线 b 垂直,记
作 a⊥b.
【题型 1 异面直线所成的角】
【例 1】(24-25 高一下·全国·课后作业)已知直三棱柱 1 1 1中,∠ = 120°, = 2, = 1
= 1,则异面直线 1与 1所成角的余弦值为( )
A 3 10 3. B. 15 C. D.
2 5 5 3
【解题思路】先补充图形,找到异面直线的夹角,将其放在直角三角形内,利用锐角三角函数的定义求解
余弦值即可.
【解答过程】如图所示,将直三棱柱 1 1 1补成直四棱柱 1 1 1 1,
其中四棱柱的底面为平行四边形,连接 1, 1 1,
则 1// 1,所以∠ 1 1(或其补角)为异面直线 1与 1所成的角.
因为∠ = 120°, = 2, = 1 = 1,
且由题意得 1 ⊥ , 1 ⊥ ,
所以 1 = 5, 1 = 2.在 △ 1 1 1中,
∠ 1 1 1 = 60°, 1 1 = 1, 1 1 = 2,
1 12+22 ( )2
由余弦定理得 = 1 12 2×2×1 ,
解得 1 1 = 3(负根舍去),则 21 = 21 + 1 21 ,
∠ 2 10所以 1 1 = 90°,所以cos∠ 1 1 = = ,故 C 正确.5 5
故选:C.
【变式 1-1】(23-24 高一下·福建福州·期末)在正三棱柱 1 1 1中, = 1, , 分别是 1 1,
1中点,则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A 1 B 2 C 6 D 2 6.5 .5 . .5 5
【解题思路】设 = 1 = 4,取 1的中点 , 的中点 , 的中点 ,可得异面直线 与 所成角
为∠ 1 或其补角,利用余弦定理即可求解.
【解答过程】设 = 1 = 4,取 1的中点 , 的中点 , 的中点 ,
易知 // 1, // 1 // ,
所以异面直线 与 所成角为∠ 1 或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得 ⊥ , 1 ⊥ 1 1, 1 ⊥ .
= 2 + 2 = 22 + 12 = 5,
1 = 1 2 + ( 1 1)2 = 22 + 42 = 2 5,
= 4 × sin60° = 2 3, = 2 + 2 = 1 + 12 = 13,
1 = 2 + 1 2 = 13 + 16 = 29,
2 2
△ cos∠ = +( 1)
2
1 5+20 29 1在 1 中,由余弦定理可得 1 2 = = ,1 2 5×2 5 5
1
所以直线 与 所成角的余弦值为5.
故选:A.
【变式 1-2】(23-24 高一下·安徽·期末)在正四棱台 1 1 1 1中, = 2 1 1 = 2 1,点 为底面
的中心,则异面直线 1与 1所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解题思路】由棱台的结构特征可得 1 // 1,则∠ 1 1或其补角为异面直线 1与 1所成的角,利用
正棱台的结构求解即可.
【解答过程】如图所示,连接 1 1, , ,则 ∩ = ,连接 1 ,因为 = 2 1 1 = 2 1,
所以 = 2 1 1.易知四边形 1 1 为平行四边形,则 1 // 1,且 1 = 1,
所以∠ 1 1或其补角为异面直线 1与 1所成的角,
同理知 1 = 1,又 1 = 1 = 1 1,所以 △ 1 1为等边三角形,所以∠ 1 1 = 60°,
故选:C.
【变式 1-3】(23-24 高一下·广东潮州·期末)已知空间四边形 中, 、 分别是 、 的中点,若
= 2 3, = 4, ⊥ ,则 与 所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解题思路】设 为 的中点,连接 , ,即可得到 与 所成的角即为 与 所成的角,再由锐角
三角函数计算可得.
【解答过程】设 为 的中点,连接 , ,又 、 分别是 、 的中点,
所以 、 分别为 △ 、 △ 的中线,
所以 // 且 = 1 12 = 3, // 且 = 2 = 2,
所以 与 所成的角即为 与 所成的角,
又 ⊥ ,所以 ⊥ ,所以 △ 为直角三角形,且∠ = 90°,
3
所以sin∠ = = ,所以∠ = 60°,2
即 与 所成的角为60°.
故选:C.
【题型 2 线线垂直的判定】
【例 2】(24-25 高二上·上海·阶段练习)若空间中四条两两不同的直线 1, 2, 3, 4,满足 1 ⊥ 2, 2 ⊥ 3, 3 ⊥
4, 则下面结论一定正确的是( )
A. 1 ⊥ 4 B. 1// 4
C. 1、 4既不垂直也不平行 D. 1、 4的位置关系不确定
【解题思路】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可.
【解答过程】如图所示,取 1 = , 2 = 1, 3 = 1 1,
当取 4 = 1 1时, 1// 4,当取 4 = 1时, 1 ⊥ 4,排除 ABC.
故选:D.
【变式 2-1】(24-25 高一·全国·课后作业)如图,在正方体 1 1 1 1中, 是底面 的中心,
1 ⊥ 1 , 为垂足,则 1 与平面 1 的位置关系是
A.垂直 B.平行 C.斜交 D.以上都不对
【解题思路】连接 1 1, ,根据线面垂直的判定定理,即可证明 1 ⊥ 平面 1 .
【解答过程】
连接 1 1, .
∵几何体 1 1 1 1是正方体,底面 是正方形,
∴ ⊥ .
又∵ 1 ⊥ , ∩ 1 = ,∴ ⊥ 平面 1 1.
∵ 1 平面 1 1,∴ ⊥ 1 .
∵ 1 ⊥ 1 , ∩ 1 = ,∴ 1 ⊥ 平面 1 .
故选 A.
【变式 2-2】(24-25 高一·全国·课后作业)如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别是
AB,CD 的中点,EF= 2.求证:AD⊥BC.
【解题思路】通过平移后再解三角形即可获得证明.
【解答过程】证明:如图所示,取 BD 的中点 H,连接 EH,FH.
因为 E 是 AB 的中点,且 AD=2,
所以 EH∥AD,EH=1.同理 FH∥BC,FH=1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线 AD,BC 所成的角.
因为 EF= 2,所以 EH2+FH2=EF2,
所以 △ EFH 是等腰直角三角形,EF 是斜边,
所以∠EHF=90°,即 AD 与 BC 所成的角是 90°,
所以 AD⊥BC.
【变式 2-3】(24-25 高二上·云南昭通·期中)如图所示,在正方体 1 1 1 1中, = 1.证明:
(1) 1 ⊥ 1 ;
(2) 1与 1 是异面直线.
【解题思路】(1)根据当两直线所成的角是直角时,两直线垂直即可证明
(2)根据异面直线的定义可得
【解答过程】(1)如图所示,连接 1,
∵ 1 1 1 1为正方体,
∴ ∥ 1 1,
∴ 平面 1 1为平行四边形,
∴ 1 ∥ 1, 1 = 1.
∵ 1 1为正方形,
∴ 1 ⊥ 1 ,
∴ 1 ⊥ 1 .
(2)由 1 面 1 1, 1 面 1 1,且面 1 1//面 1 1,
又 1与 1 不平行, ∴ 1与 1 是异面直线.
【知识点 2 直线与平面垂直】
1.直线与平面垂直
(1)定义
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 互相垂直,记作 l⊥ .直线 l 叫
做平面 的垂线,平面 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点 P 叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的
长度叫做这个点到该平面的距离.
2.直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.
(2)图形语言:如图所示.
(3)符号语言:a α,b α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直,则线面垂直”.
3.直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足:如图,一条直线 l 与一个平面 相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的
斜线,斜线和平面的交点 A 叫做斜足.
②斜线在平面上的射影:如图,过斜线上斜足以外的一点 P 向平面 引垂线 PO,过垂足 O 和斜足 A 的
直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所
成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是 .
②一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是 .
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角 的范围是 < .
④直线与平面所成的角 的取值范围是 .
4.直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.
②图形语言:如图所示.
③符号语言:a⊥α,b⊥α a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5.点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题,垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来
确定,因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说,可以直接过这个点作平面的垂线,然后通过证
明或计算说明垂足的位置,也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线与这个角的两边的夹角相等,那么该斜线在
平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
【题型 3 线面垂直的判定】
【例 3】(2024·湖北·一模)如图,在正方体 1 1 1 1中, , , 分别为 , 1, 1的中点,则与
平面 垂直的直线可以是( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
【解题思路】作出与平面 平行的平面 1 1,证明 1 ⊥ 面 1 1即可.
【解答过程】连接 1, 1 1, 1, 1 1, ,如下图所示:
因为 , , 分别为 , 1, 1的中点,故 // 1, 1 1// ,
又 面 1 1, 1 面 1 1,故 //面 1 1;
又 面 1 1, 1 1 面 1 1,故 //面 1 1;
又 ∩ = , , 面 ,故面 //面 1 1;
则垂直于平面 的直线一定垂直于面 1 1;
显然 1 ⊥ 面 1 1 1 1, 1 1 面 1 1 1 1,故 1 1 ⊥ 1,
又 1 1 ⊥ 1 1, 1 1 ∩ 1 = 1, 1 1, 1 面 1 1 ,
故 1 1 ⊥ 面 1 1 ,又 1 面 1 1 ,故 1 ⊥ 1 1;
同理可得 1 ⊥ 1,又 1 ∩ 1 1 = 1, 1, 1 1 面 1 1,
故 1 ⊥ 面 1 1,也即 1 ⊥ 面 ;
若其它选项的直线垂直于平面 ,则要与 1 平行,显然都不平行.
故选:D.
【变式 3-1】(23-24 高一下·天津河西·期末)如图,圆柱 ′中, ′是侧面的母线, 是底面的直径, 是
底面圆上一点,则( )
A. ⊥ 平面 ′
B. ⊥ 平面 ′
C. ⊥ 平面 ′
D. ⊥ 平面 ′
【解题思路】根据线面垂直的判定定理、性质定理及定义逐项判断即可.
【解答过程】依题意 ′ ⊥ 平面 , 平面 ,所以 ′ ⊥ ,
又 是底面圆的直径,所以 ⊥ ,
′ ∩ = , ′, 平面 ′ ,所以 ⊥ 平面 ′ ,故 A 正确;
对于 B,在 △ 中, ⊥ ,显然 与 不垂直,则 不可能垂直平面 ′ ,故 B 错误;
对于 C:在 △ ′ 中, ′ ⊥ ,显然 与 ′ 不垂直,则 不可能垂直平面 ′ ,故 C 错误;
对于 D:在 △ 中, ⊥ ,显然 与 不垂直,则 不可能垂直平面 ′ ,故 D 错误;
故选:A.
【变式 3-2】(2024 高二下·福建·学业考试)如图,四棱锥 的底面是正方形, ⊥ 底面 .
(1)若 = = 1,求四棱锥 的体积
(2)求证: ⊥ 平面
【解题思路】(1)根据体积公式可求四棱锥 的体积.
(2)可证 ⊥ ,结合 ⊥ 可证 ⊥ 平面 .
【解答过程】(1)因为 ⊥ 底面 ,故四棱锥 的高为 = 1,
而正方形 的面积为1,故 1 1 = 3 × 1 × 1 = 3.
(2)因为 ⊥ 底面 ,而 平面 ,故 ⊥ ,
由正方形 可得 ⊥ ,因 ∩ = , , 平面 ,
故 ⊥ 平面 .
【变式 3-3】(23-24 高一下·辽宁·期末)如图,在三棱柱 1 1 1中,底面 是正三角形, , 分别
为 1 1, 1的中点, 1 ⊥ 1 .
(1)求证: 1 //平面 1 ;
(2)若 = 1,求证: 1 ⊥ 平面 1 .
【解题思路】(1)设 1 ∩ 1 = ,连接 , ,即可证明四边形 1 为平行四边形,从而得到 1//
,即可得证;
(2)依题意可得平行四边形 1 1 为菱形,即可得到 1 ⊥ 1 ,再由 1 ⊥ 1 得到 1 ⊥ ,从而得
证.
【解答过程】(1)设 1 ∩ 1 = ,连接 , ,
则 为 1的中点,又 , 分别为 1 1, 1的中点,
// = 1 // = 1所以 1且 2 1, 1 1且 1 2 1,
所以 1// 且 1 = ,
所以四边形 1 为平行四边形,
所以 1// ,又 1 平面 1 , 平面 1 ,所以 1 //平面 1 ;
(2)因为 = 1,所以平行四边形 1 1 为菱形,所以 1 ⊥ 1 ,
又 1 ⊥ 1 , // 1 ,所以 1 ⊥ ,
又 1 ∩ = , 1 , 平面 1 ,
所以 1 ⊥ 平面 1 .
【题型 4 直线与平面所成的角】
【例 4】(23-24 高一下·重庆·阶段练习)如图所示,四棱锥 中, ⊥ 平面 ABCD,且四边形 ABCD
为矩形, = = 2 = 2,M 为 PD 的中点,则 CD 与平面 ACM 所成角的余弦值为( )
A 3 B 3 6 1. . C. D.
2 3 3 2
【解题思路】过点 D 作 ⊥ 于点 N,证明 ⊥ 平面 ,得 CD 与平面 ACM 所成的角为∠ ,在
Rt △ 中,求∠ 的余弦值.
【解答过程】如图,过点 D 作 ⊥ 于点 N,
因为 ⊥ 平面 ABCD, 平面 ABCD,所以 ⊥ ,
又四边形 ABCD 为矩形, ⊥ , ∩ = , , 平面 AMD,
所以 ⊥ 平面 AMD,因为 平面 AMD,所以 ⊥ ,
△ 1在 中, = = 2,M 为 PD 的中点,所以 ⊥ 且 = 2 = 2,
又 ∩ = , , 平面 CDM,所以 ⊥ 平面 CDM,
因为 平面 ACM,所以平面 ⊥ 平面 ,
因为平面 ∩ 平面 = , ⊥ , 平面 ,
所以 ⊥ 平面 ,所以 CD 与平面 ACM 所成的角为∠ .
因为 ⊥ 平面 , 平面 ,所以 ⊥ ,
3
在Rt △ 中,cos∠ = = = 2+ 2 .3
故选:B.
【变式 4-1】(23-24 高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末)如图,在三棱锥 中,∠ = 90°, ⊥ 平面
, = = , 是 的中点,则 与平面 所成角的正弦值为( )
A 2 B 6 C 3. . . D.
2 3 3 2
【解题思路】根据图形特征,取 中点 ,连接 , ,通过线面垂直的性质与判定得到 ⊥ 面 ,因
而∠ 是 与平面 所成角,再通过相关计算,在直角三角形中计算其正弦值即可.
【解答过程】如图,取 中点 ,连接 , ,令 = = = 2.
因为 ⊥ 面 , 面 ,
所以 ⊥ ,
又因为 = = 2,
所以 ⊥ ,
因为 ⊥ 面 , 面 ,
所以 ⊥ ,
又因为∠ = 90°,所以 ⊥ ,
因为 , 面 , ∩ = ,
所以 ⊥ 面 ,
因为 面 ,
所以 ⊥ ,
因为 , 面 , ∩ =
所以 ⊥ 面 ,
所以∠ 是 与平面 所成角,
因为 ⊥ ,. = = 2.,
2
所以 = =2 2,
由已证知, ⊥ 面 ,因为 面 ,
所以 ⊥ ,
所以 = 2 + 2 = 2 2,
因为 ⊥ 面 , 面 ,
所以 ⊥ ,
所以 = 2 + 2 = 4 + 8 = 2 3,
所以 = 12 = 3,
由已证知, ⊥ 面 ,
又因为 面 ,所以 ⊥
所以sin∠ = = 2 = 6 ,3 3
6
即 与平面 所成角的正弦值是 .
3
故选:B.
【变式 4-2】(23-24 高一下·宁夏固原·期末)如图所示,已知 1 ⊥ 平面 ABC, 1∥ 1, = = 2,
= 2 = 12, 1 2 1 = 2,E 为 BC 的中点.
(1)求证:平面 1 ⊥ 平面 1;
(2)求直线 1 1与平面 1所成角的大小.
【解题思路】(1)根据线面垂直的判定定理,证明 ⊥ 平面 1,即可得证平面 1 ⊥ 平面 1;
(2)取 1中点 ,连接 , 1 ,先证明四边形 1 矩形,再由(1)可得 1 ⊥ 平面 1,从而得∠ 1 1

1为直线 1 1与平面 1所成角,在Rt △ 1 1 中,利用tan∠ 1 1 = 求解即可.1
【解答过程】(1)证明:因为 1 ⊥ 平面 ABC, 1∥ 1,
所以 1 ⊥ 平面 ABC,又因为 平面 ABC,所以 1 ⊥ ,
又因为 = = 2,E 为 BC 的中点,所以 ⊥ ,
又因为 , 1 平面 1,且 ∩ 1 = ,
所以 ⊥ 平面 1,又因为 平面 1,
所以平面 1 ⊥ 平面 1;
(2)解:取 1中点 ,连接 , 1 ,如图所示:
则有 ∥ 11,且 = 2 1,
1
由题意可知 1∥ 1,且 1 = 2 1,
所以 1∥ ,且 1= ,
所以四边形 1 为平行四边形,所以 1 ∥ ,
由(1)可知 ⊥ 平面 1,
所以 1 ⊥ 平面 1, 1 面 1,则 1 ⊥ 1 ,
所以∠ 1 1 即为直线 1 1与平面 1所成角,
又因为 = = 2, = 2 2,
易知 △ 为等腰直角三角形,
= 1所以 2 = 2,
所以 1 = = 2,
又因为 1 = 2 1 = 4,
在Rt △ 1 中, 1 = 2 + 21 = 16 + 8 = 2 6,
所以 1 =
1
2 1 = 6,

在Rt △ 1 1 中,tan∠ 1 =
1 = 2 = 31 ,1 6 3
π π
又因为∠ 1 1 ∈ (0,2),所以∠ 1 1 = 6.
π
即直线 1 1与平面 1所成角为6.
【变式 4-3】(23-24 高一下·广东茂名·阶段练习)如图,在四棱锥 中,平面 ⊥ 底面 ,底
面 是直角梯形, // , ⊥ , = = = = 1, = 2, 是 的中点.
(1)证明: ⊥ 平面 ;
π
(2)底边 上是否存在异于端点的一点 ,使得直线 与平面 所成的角为6?若存在,求出 的值;若不
存在,请说明理由.
【解题思路】(1)根据面面垂直的性质可知 ⊥ 平面 ,即可得 ⊥ ,由题意可得 ⊥ ,结合
线面垂直的判定定理分析证明;
π
(2 )做辅助线,分析可知∠ = 6,由垂直关系可得 ⊥ ,设 = ,利用等体积法运算求解.
【解答过程】(1)因为平面 ⊥ 平面 ,平面 ∩ 平面 = , ⊥ , 平面 ,
所以 ⊥ 平面 .
由 平面 ,可得 ⊥ ,
又因为 是 的中点, = ,则 ⊥ ,
且 ∩ = , 、 平面 ,所以 ⊥ 平面 .
π
(2)假设在 上存在异于端点的点 ,使得直线 与平面 所成的角大小为6.
过点 作 ⊥ 平面 ,垂足为 ,连结 、 、 ,
π
则 ⊥ ,∠ = 6,

设 = , = 2,则 = = 2 ,
由(1)可知: ⊥ 平面 , // ,
可知 ⊥ 平面 ,
由 平面 ,可得 ⊥ ,
在Rt △ 中, = 2 + 2 = 12 + (2 )2 = 1 + 4 2,
π
在Rt △ 中, = sin = 1+4 26 ,2
因为底面 是直角梯形, // , ⊥ , = = = = 1,
则 = 2 + 2 = 2, = 2 + 2 = 2,
1 2
可得 △ = 2 2
= 7 1, △ = 2 =
1
2 4 2
× 2 × 1 = ,
1 1 2
由 = 得,3 △ = 3 △ 2


2
1 7
即 1+4
2 1
3 × × = 3 × × 1
1
,解得 = 35,
4 2 4 10
π
故存在点 ,使得直线 与平面 所成的角大小为6,此时 =
35
.10
【题型 5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】
【例 5】(24-25 高一·全国·课后作业)在正方体 1 1 1 1中,直线 l(与直线 1不重合) ⊥ 平面
,则有( )
A. 1 ⊥ B. 1 ∥ C. 1与 l 异面 D. 1与 l 相交
【解题思路】根据线面垂直的性质即可得出答案.
【解答过程】解:因为 ⊥ 平面 ,且 1 ⊥ 平面 ,直线 l 与直线 1不重合,
所以 1 ∥ .
故选:B.
【变式 5-1】(23-24 高一下·四川雅安·期末)已知下面给出的四个图都是正方体,A,B 为顶点,E,F 分别
是所在棱的中点,
则满足直线 ⊥ 的图形的个数为( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【解题思路】通过作辅助线构造平面,由线面垂直的判定以及定义逐一证明即可.
【解答过程】对于①:如下图所示,点 为所在棱的中点,由中位线定理及等腰三角形的性质,
易证 ⊥ ,由 ⊥ 平面 ,得出 ⊥ , , 平面
∩ = ,从而由线面垂直的判定得出 ⊥ 平面 ,则 ⊥ ,故①正确;
对于②:如下图所示,点 为所在棱的中点,由中位线定理及等腰三角形的性质,
易证 ⊥ ,由 ⊥ 平面 ,得出 ⊥ , , 平面 ,
∩ = ,从而由线面垂直的判定得出 ⊥ 平面 ,则 ⊥ ,故②正确;
对于③:如下图所示,由中位线定理及等腰三角形的性质,
易证 ⊥ ,由 ⊥ 平面 ,得出 ⊥ , , 平面 ,
∩ = ,从而由线面垂直的判定得出 ⊥ 平面 ,则 ⊥ ,故③正确;
对于④:如下图所示,点 为所在棱的中点,由③可知, ⊥ ,
由中位线定理及等腰三角形的性质,
易证 ⊥ ,由 ⊥ 平面 ,得出 ⊥ , , 平面 ,
∩ = ,从而由线面垂直的判定得出 ⊥ 平面 ,则 ⊥ ,
, 平面 , ∩ = ,由线面垂直的判定可得 ⊥ 平面 ,
则 ⊥ ,故④正确;
故选:D.
【变式 5-2】(2024 高一·全国·专题练习)如图,在四棱锥 中,底面 是平行四边形,
∠ = 120°, = 1, = 4, 为 的中点, ⊥ .证明: ⊥ .
【解题思路】先由余弦定理计算出 长,由勾股定理证明, ⊥ ,结合条件证 ⊥ 平面 ,得
⊥ ,由 ∥ 即可证得 ⊥ .
【解答过程】在平行四边形 中,
1
由已知可得 = = 1, = 2 = 2,∠ = 60°,
由余弦定理,得 2 = 2 + 2 2 × × cos60° = 1 + 4 2 × 1 × 2 × 12 = 3,
则 2 + 2 = 1 + 3 = 4 = 2,即 ⊥ .
又 ⊥ , ∩ = , , 平面 PDM, ∴ ⊥ 平面 .
而 平面 , ∴ ⊥ .
∵ ∥ , ∴ ⊥ .
【变式 5-3】(23-24 高一下·江苏淮安·期中)已知三棱柱 1 1 1中,底面 △ 是边长为 2 的正三角
形, 为 △ 1 的重心,∠ 1 = ∠ 1 = 60
(1)求证: 1 ⊥ ;
(2)已知 1 = 2, ∈ 平面 ,且 1 ⊥ 平面 1 .求证: // 1 .
【解题思路】(1)连 1 交 于 ,由重心可得 为 的中点,由已知借助三角形全等证得 1 = 1 ,再
由线面垂直的判定、性质推理即得.
(2)由给定条件,证得三棱锥 1 为正四面体,进而证得 ⊥ 平面 1 ,再用线面垂直的性质得结
论.
【解答过程】(1)在三棱柱 1 1 1中,连 1 交 于 ,连 ,由 为 △ 1 的重心,得 为 的
中点,
由 = , 1 = 1 ,∠ 1 = ∠ 1 ,得 △ 1 ≌ △ 1 ,则 1 = 1 ,
因此 ⊥ , 1 ⊥ ,又 ∩ 1 = , , 1 平面 1 ,
于是 ⊥ 平面 1 ,而 1 平面 1 ,则 ⊥ 1 ,又 1 // 1 ,
所以 ⊥ 1 .
(2)由 1 = = 2,∠ 1 = 60°,得 △ 1 为正三角形;同理 △ 1 也为正三角形,
则 1 = 1 = = 2,从而三棱锥 1 的所有棱长均为 2,该四面体为正四面体,
由 为 △ 1 的重心,得 ⊥ 平面 1 ,菱形 1 1中, 1过 1 的中点,
即直线 1与平面 1 的交点为 1 的中点,因此 不在直线 1上,又 1 ⊥ 平面 1 ,
所以 // 1 .
【题型 6 由线面垂直的性质证明面面平行】
【例 6】(23-24 高一下·河北保定·期末)已知直线 m,平面 、 、 ,下面条件能推出 // 的是( )
A. ⊥ , ⊥ B. , //
C. 与 、 所成的角相等 D. ⊥ , ⊥
【解题思路】举出反例即可判断 ABC;根据线面垂直的性质即可判断 D.
【解答过程】如图,在正方体 1 1 1 1中,
对于 A,平面 ,平面 1 1,平面 1 1三个面两两垂直,故 A 错误;
对于 B, 平面 , //平面 1 1,
而平面 ∩ 平面 1 1 = ,故 B 错误;
对于 C, 平面 , 平面 1 1,
则 与两个平面所成的角都是零度角,而平面 ⊥ 平面 1 1,
故 C 错误;
对于 D,若 ⊥ , ⊥ ,则 // .
故选:D.
【变式 6-1】(2024·山东济宁·三模)已知不重合的平面 、 、 和直线 ,则“ // ”的充分不必要条件是
( )
A. 内有无数条直线与 平行 B. 内的任何直线都与 平行
C. ⊥ 且 ⊥ D. ⊥ 且 ⊥
【解题思路】利用面面位置关系可判断 AC 选项;利用面面平行的定义可判断 B 选项;利用线面垂直的性
质定理可判断 D 选项.
【解答过程】对于 A 选项,若 内有无数条直线与 平行且这无数条直线是平行直线,则 、 平行或相交,
即“ 内有无数条直线与 平行” “ // ”,A 不满足;
对于 B 选项,由面面平行的定义可知,“ 内的任何直线都与 平行” “ // ”,B 不满足;
对于 C 选项,若 ⊥ 且 ⊥ ,则 、 平行或相交,
则“ ⊥ 且 ⊥ ” “ // ”,C 不满足;
对于 D 选项,由线面垂直的性质可知,若 ⊥ 且 ⊥ ,则 // ,
反之,若 // ,则“ ⊥ 且 ⊥ ”不一定成立,
故“ ⊥ 且 ⊥ ”是“ // ”的充分不必要条件,D 满足.
故选:D.
【变式 6-2】(23-24 高一下·云南昆明·期中)已知 , 为两条不同直线, , 为两个不同平面,则下列命
题中正确的是( )
A.如果 // , ⊥ , ⊥ ,那么 //
B.如果 ⊥ , ⊥ , ⊥ ,那么 //
C.如果 // , , .那么 //
D.如果 , , // , // ,那么 //
【解题思路】由线面垂直的性质可得 A 正确;由面面平行的性质可得 C 错误;由空间中线线,线面位置关
系可判定 B,D 错误.
【解答过程】已知 , 为两条不同直线, , 为两个不同平面.
若 // , ⊥ ,则 ⊥ ,又 ⊥ ,所以 // .故选项 A 正确;
若 ⊥ , ⊥ ,则 // 或 ,又 ⊥ ,所以 ⊥ .故选项 B 错误;
若 // , , ,则直线 和 平行或异面.故选项 C 错误;
若 , , // , // ,则平面 和 平行或相交.故选项 D 错误.
故选:A.
【变式 6-3】(23-24 高三上·北京顺义·期中)如图,在边长为 2 的正方体 1 1 1 1中,点 是该正
方体对角线 1上的动点,给出下列四个结论:
① ⊥ 1 ;
② △ 面积的最小值是 2;
③只存在唯一的点 ,使 1 ⊥ 平面 ;
④当 = 2 3时,平面 //平面 1 1 .3
其中正确结论的个数是( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【解题思路】证明 ⊥ 平面 1 1判断①;求出 △ 的面积函数求解判断②;利用过一点有且只有一
个平面垂直于已知直线判断③;证明 1 ⊥ 平面 且 1 ⊥ 平面 1 1 判断④.
【解答过程】在正方体 1 1 1 1中, 1 ⊥ 平面 , 平面 ,则 ⊥ 1,
又 ⊥ , ∩ 1 = , , 1 平面 1 1,
则 ⊥ 平面 1 1,又 1 1 1,则 ⊥ 1 ,①正确;
连接 交 与 ,由 1 1,得 ⊥
1
, △ = 2 = 2 ,
在Rt △ 1中,当 ⊥ 1时, 最小,而 = 2 2, 1 = 2 3,

sin∠ 1 31 = = ,此时 = sin∠ = 2 ×
3 = 6
1 3 1

3 3
因此 △ 6 2 3面积的最小值为 2 × = ,②错误;3 3
由①知, ⊥ 1,同理 1 ⊥ 1,而 ∩ 1 = , , 1 平面 1 ,
因此 1 ⊥ 平面 1 ,当点 为直线 1与平面 1 的交点时, 1 ⊥ 平面 ,
而过一点有且只有一个平面垂直于已知直线,于是过直线 与直线 1垂直的平面有且只有一个,
所以存在唯一的点 ,使 1 ⊥ 平面 ,③正确;

当 = 2 3时,在 △ 中, =
3 2
6
,cos∠ 1 = = ,1 3
2
则 = 2 + 2 2 cos∠ = ( 2 3 ) + 2 2 × 2 3 × 2 × 6 = 6,
3 3 3 3
即有 2 + 2 = 2 = 2,则 ⊥ ,又 ⊥ , ∩ = ,于是 1 ⊥ 平面 ,
由①同理 1 ⊥ 1 1, 1 ⊥ 1 , 1 1 ∩ 1 = 1, 1 1, 1 平面 1 1 ,
因此 1 ⊥ 平面 1 1 ,则平面 //平面 1 1 ,④正确,
所以正确命题的个数为 3.
故选:C.
【题型 7 根据线面垂直求参数】
【例 7】(23-24 高一下·山西·期末)如图,在直三棱柱 1 1 1中, = , = 1, 是 1 1的
中一点,点 在 1上,记 1 = ,若 1 ⊥ 平面 1 ,则实数 的值为( )
A 1 B 1.3 .2 C
2
.3 D.1
【解题思路】易得 1 ⊥ 平面 1 1 ,得到 1 ⊥ 1,作 ⊥ 1交 1于点 ,得到 1 ⊥ 平面 1 ,
通过计算确定 的位置即可得到答案.
【解答过程】∵ 1 ⊥ 1 1, 1 ⊥ 1,∴ 1 ⊥ 平面 1 1 ,故 1 ⊥ 1,
作 ⊥ 1交 1于点 ,
此时 1 ⊥ 平面 1 ,在矩形 1 1 中, = 1 ,
所以四边形 1 1 是正方形,所以 1 ⊥ 1,所以 // 1 ,
又 为 1 1的中点,
所以 为 1的中点,即 1 = 2 1 ,所以 1 = .
故选:D.
【变式 7-1】(24-25 高二下·江西赣州·开学考试)如图,直三棱柱 ABC 一 1 1 1中,侧棱长为 2,
= = 1,∠ = 90°,D 是 1 1的中点,F 是 1上的动点, 1,DF 交于点 E,要使 1 ⊥ 平面 1
,则线段 1 的长为( )
A 1.3 B
3 1 3
. C. D.
2 2 3
【解题思路】根据线面垂直的判定定理,结合锐角的三角函数定义进行求解即可.
【解答过程】因为 = = 1,∠ = 90°,所以 1 1 = 1 1 = 1,∠ 1 1 1 = 90°,
因此 1 1 = 1 12 + 1 12 = 12 + 12 = 2,因为 D 是 1 1的中点,
所以 21 ⊥ 1 1,且 1 = ,在直三棱柱 ABC 一 1 1 1中, 1 ⊥ 平面 1 2 1 1,
而 1 平面 1 1 1,所以 1 ⊥ 1 ,因为 1 ∩ 1 1 = 1,
1, 1 1 平面 1 1 ,所以 1 ⊥ 平面 1 1 ,而 1 平面 1 1 ,
1 2
因此 1 ⊥ 1,在直角三角形 1 1中,tan∠ 1 1 = = =1 1 2 2,
2
当tan∠ 1 = tan∠ 1
1 1
1 = 2时,即 = 2 2 = 2 1 1 =1 2


此时∠ 1 = ∠ 1 1,而∠ 1 + ∠ 1 1 = 2,即∠ 1 + ∠ 1 = 2,
即 ⊥ 1,而 ∩ 1 = , , 1 平面 1 ,
1
因此 1 ⊥ 平面 1 ,此时 1 = 2,
故选:C.
【变式 7-2】(23-24 高一下·山东青岛·期中)如图,在四棱锥 中, ⊥ 面 , = = 2,
= = 7, = 3,∠ = 120 , 为线段 上的点.
(1)证明: ⊥ 面 ;
(2)若 满足 ⊥ 面 ,求 的值.
【解题思路】(1)证明出 △ ≌ △ ,可得出 ⊥ ,再由已知条件可得出 ⊥ ,利用线面垂
直的判定定理可证得结论成立;
(2)分析可知 ⊥ ,计算出 △ 三边边长,利用余弦定理求出cos∠ 的值,可求得 的长,进而
可求得 的长,即可得解.
【解答过程】(1)证明:因为 = , = , = ,所以, △ ≌ △ ,
所以,∠ = ∠ ,则 ⊥ ,
因为 ⊥ 平面 , 平面 ,所以, ⊥ ,
又因为 ∩ = , 、 平面 ,所以, ⊥ 平面 .
(2)解:因为 ⊥ 平面 , 平面 ,所以, ⊥ ,
若 ⊥ 面 , 平面 ,则 ⊥ ,
因为 = = 2,∠ = 120 ,
由余弦定理可得 = 2 + 2 2 cos120 = 22 + 22 2 × 22 × 1 = 2 3,
2
因为 ⊥ 平面 , 、 平面 ,则 ⊥ ,
所以, = 2 + 2 = 3 + 12 = 15, = 2 + 2 = 3 + 4 = 7,
在 △ 中, = 7, = 2, = 15,
2 2 2 15+4 7
所以,cos∠ = + 152 = = ,2×2× 15 5
所以, = cos∠ = 2 × 15 = 2 15,
5 5
所以, = = 15 2 15 = 3 15
= 3 15
5
× = 3,则 2,5 5 5 2 15
3
因此,若 满足 ⊥ 面 ,则 = 2.
【变式 7-3】(2025 高三·河北·专题练习)如图,在四棱锥 A-BCDE 中,四边形 BCDE 为菱形,
= = 3, = 2 3,AE=AC,点 G 是棱 AB 上靠近点 B 的三等分点,点 F 是 AC 的中点.
(1)证明: ∥平面 CEG.
(2)点 H 为线段 BD 上一点,设 = ,若 AH⊥平面 CEG,试确定 t 的值.
【解题思路】(1)取 AG 的中点Ⅰ,记 ∩ = ,连接 FⅠ,DⅠ,GO,由三角形中位线定理可得 ∥ ,
∥ ,然后先证得线面平行,再可证得面面平行;
(2)由已知可得△ABC≌△ABE,则 GC=GE,得 OC⊥OG,结合已知可得 OC⊥平面 ABD,则 OC⊥AG,利
用余弦定理求出 ,再由勾股定理的逆定理可得 BG⊥OG,由线面垂直的判定可得 AG⊥平面 CEG,从而可
得 H 与 B 重合,进而可求得结果.
【解答过程】(1)证明:如图,取 AG 的中点Ⅰ,记 ∩ = ,连接 FⅠ,DⅠ,GO.
在△ACG 中,F,Ⅰ分别为 AC,AG 的中点,所以 ∥ ,
同理,在△BDⅠ中,有 ∥ ,
因为 , 平面 , , 平面 ,
所以 ∥平面 , ∥平面 ,
因为 ∩ = , , 平面 ,
所以平面 ∥平面 ,
又 平面ⅠFD,
所以 ∥平面 CEG.
(2)解:因为底面 BCDE 是菱形,所以 OC⊥OD.
因为 AE=AC,BC=BE,所以△ABC≌△ABE,
则 GC=GE,
又因为点 O 是 EC 的中点,所以 OC⊥OG.
因为 ∩ = , , 平面 ABD,
所以 OC⊥平面 ABD,
因为 平面 ABD,
所以 OC⊥AG.
因为 = = 3, = 2 3,
cos∠ = 所以 =
3

3
则 = 2 + 2 2 cos∠ = 2,
则 2 + 2 = 2,所以 BG⊥OG.
又因为 ∩ = , , 平面 CEG,
所以 AG⊥平面 CEG.
若 AH⊥平面 CEG,则 H 与 B 重合.
故 = 0.
【题型 8 平面内的射影问题】
【例 8】(23-24 高三下·上海·开学考试)已知四棱锥 的底面为矩形, ⊥ 平面 ABCD,点 Q 为侧
棱 PA(不含端点的线段)上动点,则点 Q 在平面 上的射影在( )
A.棱 PB 上 B. △ 内部 C. △ 外部 D.不确定
【解题思路】
将四棱锥 补形为长方体,作出辅助线,证明线面垂直,进而得到点 的投影 落在 上,得到答
案.
【解答过程】四棱锥 的底面为矩形, ⊥ 平面 ABCD,
将四棱锥 补形为长方体,如下,
过点 作 ⊥ 于点 ,
因为 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ ,
因为 ∩ = , , 平面 ,故 ⊥平面 ,故点 在平面 的投影为 ,
连接 ,则当点 Q 为侧棱 PA(不含端点的线段)上运动时,点 的投影 落在 上,
由图知:点 Q 在平面 上的射影在 △ 外部.
故选:C.
【变式 8-1】(24-25 高二上·湖北·开学考试)在三棱锥 中,三个侧面与底面 所成的角均相等,顶
点 在 △ 内的射影为 ,则 是 △ 的( )
A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心
【解题思路】根据三垂线定理可得平面的夹角,结合题意得∠ = ∠ = ∠ ,即可根据锐角三解函数
得 = = ,由内心的性质即可求解.
【解答过程】若三个侧面与底面所成的角相等,则分别作三个侧面三角形的斜高 , , ,
由三垂线定理,得 ⊥ , ⊥ , ⊥ ,
则∠ 、∠ 、∠ 分别是三侧面与底面所成角的平面角,
∠ = ∠ = ∠ ,
∵ tan∠ = ,tan∠ = ,tan∠ = ,
∴ = = ,
∴ 是 △ 的内心.
故选:C.
【变式 8-2】(24-25 高二上·内蒙古呼和浩特·期中)已知三棱柱 1 1 1的侧棱与底面边长都相等,点
1在底面 上的射影为线段 的中点,则异面直线 与 1所成角的余弦值为( )
A 1 1 7 3.4 B.2 C. D.4 4
【解题思路】设 的中点为 ,连接 1 、 、 1 ,易知∠ 1 即为异面直线 与 1所成的角(或其补
角).由余弦定理,计算得cos∠ 1 即可.
【解答过程】如图,设 的中点为 ,连接 1 、 、 1 ,
1// 1,知∠ 1 即为异面直线 与 1所成的角(或其补角)
设三棱柱 1 1 1的侧棱与底面边长均为 1,
= 3 1则 , 2
2 1
= 2, 1 = ,2
2 2 2 1
由余弦定理,得cos∠ 1 =
1 + 1 = 1+1 22 =
3
1 2×1×1 4
故选:D.
【变式 8-3】(2024·河南商丘·模拟预测)在正四棱柱 1 1 1 1中,已知 = 2 1 = 2, 为棱
1 1的中点,则线段 在平面 上的射影的长度为( )
A 8 2 6 39.3 B. 7 C. D.3 3
【解题思路】取 1 1中点 ,连接 , ,过点 作 ⊥ 于点 ,连接 ,证明出 ⊥ 平面 ,求出
即可求解.
【解答过程】如图所示,取 1 1中点 ,连接 , ,
则 // 1 1// , =
2
1 1 = 2,点 , , , 四点共面, = 1 2 + 1 2 = 2 + 1 = 3,cos∠ 1 = 3
= 6,
3
过点 作 ⊥ 于点 ,连接 ,则∠ 1 = ∠ ,
在Rt △ 6中,cos∠ = 2 = ,解得 =
2 6

3 3
2
= 2 2 = 4 2 6 = 2 3,则 = = 3 2 3 = 3,
3 3 3 3
由正四棱柱 1 1 1 1得, 1 1 ⊥ 平面 1 1 ,则 ⊥ 平面 1 1 ,
又 , 平面 1 1 ,所以 ⊥ , ⊥ ,
2
所以 = 2 + 2 = 4 + 3 = 39,
3 3
因为 ⊥ , ⊥ , , 平面 ,且 ∩ = , , 平面 ,
所以 ⊥ 平面 ,所以线段 在平面 上的射影为线段 ,
故选:D.专题 8.6 空间直线、平面的垂直(一)【八大题型】
【人教 A 版(2019)】
【题型 1 异面直线所成的角】 ................................................................................................................................1
【题型 2 线线垂直的判定】 ....................................................................................................................................2
【题型 3 线面垂直的判定】 ....................................................................................................................................5
【题型 4 直线与平面所成的角】 ............................................................................................................................6
【题型 5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 ............................................................................................8
【题型 6 由线面垂直的性质证明面面平行】 ........................................................................................................9
【题型 7 根据线面垂直求参数】 ..........................................................................................................................10
【题型 8 平面内的射影问题】 ..............................................................................................................................12
【知识点 1 直线与直线垂直】
1.异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图,已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 分别作直线 a'∥a,b'∥b,我们把直线 a',b'所成的
角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角 必须是锐角或直角,即 的范围是 < .
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线 a 与直线 b 垂直,记
作 a⊥b.
【题型 1 异面直线所成的角】
【例 1】(24-25 高一下·全国·课后作业)已知直三棱柱 1 1 1中,∠ = 120°, = 2, = 1
= 1,则异面直线 1与 1所成角的余弦值为( )
A 3. B. 15 C 10 3. D.
2 5 5 3
【变式 1-1】(23-24 高一下·福建福州·期末)在正三棱柱 1 1 1中, = 1, , 分别是 1 1,
1中点,则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A 1 2 6 2 6.5 B.5 C. D.5 5
【变式 1-2】(23-24 高一下·安徽·期末)在正四棱台 1 1 1 1中, = 2 1 1 = 2 1,点 为底面
的中心,则异面直线 1与 1所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【变式 1-3】(23-24 高一下·广东潮州·期末)已知空间四边形 中, 、 分别是 、 的中点,若
= 2 3, = 4, ⊥ ,则 与 所成的角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【题型 2 线线垂直的判定】
【例 2】(24-25 高二上·上海·阶段练习)若空间中四条两两不同的直线 1, 2, 3, 4,满足 1 ⊥ 2, 2 ⊥ 3, 3 ⊥
4, 则下面结论一定正确的是( )
A. 1 ⊥ 4 B. 1// 4
C. 1、 4既不垂直也不平行 D. 1、 4的位置关系不确定
【变式 2-1】(24-25 高一·全国·课后作业)如图,在正方体 1 1 1 1中, 是底面 的中心,
1 ⊥ 1 , 为垂足,则 1 与平面 1 的位置关系是
A.垂直 B.平行 C.斜交 D.以上都不对
【变式 2-2】(24-25 高一·全国·课后作业)如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E,F 分别是
AB,CD 的中点,EF= 2.求证:AD⊥BC.
【变式 2-3】(24-25 高二上·云南昭通·期中)如图所示,在正方体 1 1 1 1中, = 1.证明:
(1) 1 ⊥ 1 ;
(2) 1与 1 是异面直线.
【知识点 2 直线与平面垂直】
1.直线与平面垂直
(1)定义
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面 互相垂直,记作 l⊥ .直线 l 叫
做平面 的垂线,平面 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点 P 叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的
长度叫做这个点到该平面的距离.
2.直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.
(2)图形语言:如图所示.
(3)符号语言:a α,b α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直,则线面垂直”.
3.直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足:如图,一条直线 l 与一个平面 相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的
斜线,斜线和平面的交点 A 叫做斜足.
②斜线在平面上的射影:如图,过斜线上斜足以外的一点 P 向平面 引垂线 PO,过垂足 O 和斜足 A 的
直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所
成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是 .
②一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是 .
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角 的范围是 < .
④直线与平面所成的角 的取值范围是 .
4.直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.
②图形语言:如图所示.
③符号语言:a⊥α,b⊥α a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5.点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题,垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来
确定,因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说,可以直接过这个点作平面的垂线,然后通过证
明或计算说明垂足的位置,也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线与这个角的两边的夹角相等,那么该斜线在
平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
【题型 3 线面垂直的判定】
【例 3】(2024·湖北·一模)如图,在正方体 1 1 1 1中, , , 分别为 , 1, 1的中点,则与
平面 垂直的直线可以是( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
【变式 3-1】(23-24 高一下·天津河西·期末)如图,圆柱 ′中, ′是侧面的母线, 是底面的直径, 是
底面圆上一点,则( )
A. ⊥ 平面 ′
B. ⊥ 平面 ′
C. ⊥ 平面 ′
D. ⊥ 平面 ′
【变式 3-2】(2024 高二下·福建·学业考试)如图,四棱锥 的底面是正方形, ⊥ 底面 .
(1)若 = = 1,求四棱锥 的体积
(2)求证: ⊥ 平面
【变式 3-3】(23-24 高一下·辽宁·期末)如图,在三棱柱 1 1 1中,底面 是正三角形, , 分别
为 1 1, 1的中点, 1 ⊥ 1 .
(1)求证: 1 //平面 1 ;
(2)若 = 1,求证: 1 ⊥ 平面 1 .
【题型 4 直线与平面所成的角】
【例 4】(23-24 高一下·重庆·阶段练习)如图所示,四棱锥 中, ⊥ 平面 ABCD,且四边形 ABCD
为矩形, = = 2 = 2,M 为 PD 的中点,则 CD 与平面 ACM 所成角的余弦值为( )
A 3 B 3 6 1. . C. D.
2 3 3 2
【变式 4-1】(23-24 高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末)如图,在三棱锥 中,∠ = 90°, ⊥ 平面
, = = , 是 的中点,则 与平面 所成角的正弦值为( )
A 6 3. 2 B. C. D.
2 3 3 2
【变式 4-2】(23-24 高一下·宁夏固原·期末)如图所示,已知 1 ⊥ 平面 ABC, 1∥ 1, = = 2,
= 2 2, 1 =
1
2 1 = 2,E 为 BC 的中点.
(1)求证:平面 1 ⊥ 平面 1;
(2)求直线 1 1与平面 1所成角的大小.
【变式 4-3】(23-24 高一下·广东茂名·阶段练习)如图,在四棱锥 中,平面 ⊥ 底面 ,底
面 是直角梯形, // , ⊥ , = = = = 1, = 2, 是 的中点.
(1)证明: ⊥ 平面 ;
π
(2) 底边 上是否存在异于端点的一点 ,使得直线 与平面 所成的角为6?若存在,求出 的值;若不
存在,请说明理由.
【题型 5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】
【例 5】(24-25 高一·全国·课后作业)在正方体 1 1 1 1中,直线 l(与直线 1不重合) ⊥ 平面
,则有( )
A. 1 ⊥ B. 1 ∥ C. 1与 l 异面 D. 1与 l 相交
【变式 5-1】(23-24 高一下·四川雅安·期末)已知下面给出的四个图都是正方体,A,B 为顶点,E,F 分别
是所在棱的中点,
则满足直线 ⊥ 的图形的个数为( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【变式 5-2】(2024 高一·全国·专题练习)如图,在四棱锥 中,底面 是平行四边形,
∠ = 120°, = 1, = 4, 为 的中点, ⊥ .证明: ⊥ .
【变式 5-3】(23-24 高一下·江苏淮安·期中)已知三棱柱 1 1 1中,底面 △ 是边长为 2 的正三角
形, 为 △ 1 的重心,∠ 1 = ∠ 1 = 60
(1)求证: 1 ⊥ ;
(2)已知 1 = 2, ∈ 平面 ,且 1 ⊥ 平面 1 .求证: // 1 .
【题型 6 由线面垂直的性质证明面面平行】
【例 6】(23-24 高一下·河北保定·期末)已知直线 m,平面 、 、 ,下面条件能推出 // 的是( )
A. ⊥ , ⊥ B. , //
C. 与 、 所成的角相等 D. ⊥ , ⊥
【变式 6-1】(2024·山东济宁·三模)已知不重合的平面 、 、 和直线 ,则“ // ”的充分不必要条件是
( )
A. 内有无数条直线与 平行 B. 内的任何直线都与 平行
C. ⊥ 且 ⊥ D. ⊥ 且 ⊥
【变式 6-2】(23-24 高一下·云南昆明·期中)已知 , 为两条不同直线, , 为两个不同平面,则下列命
题中正确的是( )
A.如果 // , ⊥ , ⊥ ,那么 //
B.如果 ⊥ , ⊥ , ⊥ ,那么 //
C.如果 // , , .那么 //
D.如果 , , // , // ,那么 //
【变式 6-3】(23-24 高三上·北京顺义·期中)如图,在边长为 2 的正方体 1 1 1 1中,点 是该正
方体对角线 1上的动点,给出下列四个结论:
① ⊥ 1 ;
② △ 面积的最小值是 2;
③只存在唯一的点 ,使 1 ⊥ 平面 ;
④当 = 2 3时,平面 //平面 1 3 1 .
其中正确结论的个数是( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【题型 7 根据线面垂直求参数】
【例 7】(23-24 高一下·山西·期末)如图,在直三棱柱 1 1 1中, = , = 1, 是 1 1的
中一点,点 在 1上,记 1 = ,若 1 ⊥ 平面 1 ,则实数 的值为( )
A 1 B 1 2.3 .2 C.3 D.1
【变式 7-1】(24-25 高二下·江西赣州·开学考试)如图,直三棱柱 ABC 一 1 1 1中,侧棱长为 2,
= = 1,∠ = 90°,D 是 1 1的中点,F 是 1上的动点, 1,DF 交于点 E,要使 1 ⊥ 平面 1
,则线段 1 的长为( )
A 1 B 3 C 1 D 3.3 . . .2 2 3
【变式 7-2】(23-24 高一下·山东青岛·期中)如图,在四棱锥 中, ⊥ 面 , = = 2,
= = 7, = 3,∠ = 120 , 为线段 上的点.
(1)证明: ⊥ 面 ;
(2) ⊥ 若 满足 面 ,求 的值.
【变式 7-3】(2025 高三·河北·专题练习)如图,在四棱锥 A-BCDE 中,四边形 BCDE 为菱形,
= = 3, = 2 3,AE=AC,点 G 是棱 AB 上靠近点 B 的三等分点,点 F 是 AC 的中点.
(1)证明: ∥平面 CEG.
(2)点 H 为线段 BD 上一点,设 = ,若 AH⊥平面 CEG,试确定 t 的值.
【题型 8 平面内的射影问题】
【例 8】(23-24 高三下·上海·开学考试)已知四棱锥 的底面为矩形, ⊥ 平面 ABCD,点 Q 为侧
棱 PA(不含端点的线段)上动点,则点 Q 在平面 上的射影在( )
A.棱 PB 上 B. △ 内部 C. △ 外部 D.不确定
【变式 8-1】(24-25 高二上·湖北·开学考试)在三棱锥 中,三个侧面与底面 所成的角均相等,顶
点 在 △ 内的射影为 ,则 是 △ 的( )
A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心
【变式 8-2】(24-25 高二上·内蒙古呼和浩特·期中)已知三棱柱 1 1 1的侧棱与底面边长都相等,点
1在底面 上的射影为线段 的中点,则异面直线 与 1所成角的余弦值为( )
A 1 1 7 3.4 B.2 C. D.4 4
【变式 8-3】(2024·河南商丘·模拟预测)在正四棱柱 1 1 1 1中,已知 = 2 1 = 2, 为棱
1 1的中点,则线段 在平面 上的射影的长度为( )
A 8.3 B 7 C
2 6 39
. . D.
3 3