专题8.8 空间中的位置关系大题专项训练【四大题型】（举一反三）（含答案）2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题 8.8 空间中的位置关系大题专项训练【四大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 空间直线、平面的平行
1．（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台 1 1 1 1中，上底面边长为2 2，下底面
边长为4 2， 为 1的中点，侧棱长为 3.
(1)证明： 1//平面 ；
(2)求该正四棱台的表面积.
2．（24-25 高一下·全国·单元测试）在多面体 中，点 O 是矩形 的对角线的交点，棱 // 且
= 12 ．求证： //平面 ．
3．（24-25 高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥 中，∠ = 60°， = = ，
= = 2 ，点 E 在 PD 上，且 : ＝2:1，平面 ∩ 平面 = ．
(1)证明： // ；
(2)在棱 PC 上是否存在一点 F，使 //平面 ？证明你的结论．
4．（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体 1 1 1 1中，E，F，P，Q 分别是 ， 1 1，
1， 的中点．求证：
(1) //平面 1 1；
(2) //平面 1 1 ．
5．（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知 是 所在平面外一点， , 分别是 , 的中点，
平面 ∩ 平面 = ，则：
(1) 与 是否平行？说明理由；
(2) 与平面 是否平行？试证明你的结论．
6．（23-24 高一下·广西贺州·阶段练习）已知正方体 1 1 1 1的棱长为1, 为 的中点．
(1)证明： 1 ∥ 平面 1 1；
(2)求三棱锥 1 1的体积．
7．（23-24 高一下·天津南开·阶段练习）在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为底面中心， ,
分别为 , 的中点， △ 为等腰直角三角形，且 = ．
(1)求证： //平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)若 , 分为 , 的中点，点 在线段 上，且 = 3 ．求证：平面 //平面 ．
（注：只能使用几何法，其他方法一律不给分）
8．（23-24 高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体 1 1 1 1如图所示
(1)求证: 1//平面 1 .
(2)平面 1 1//平面 1 .
题型二 空间直线、平面的垂直
用向量证明线段垂直
9．（2024 高二下·福用建向量·证学明业线段考垂直试）如图，四棱锥 的底面是正方形， ⊥ 底面 .
(1)若 = = 1，求四棱锥 的体积
(2)求证： ⊥ 平面
10．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥 中，底面 是∠ = 60°且边长为 的
菱形，侧面 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ， 为 边的中点.求证：
(1) ⊥ 平面 ；
(2) ⊥ .
11．（24-25 高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥 中，底面 是∠ = 60°的菱形，
侧面 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ，G 为 AD 边的中点.求证： ⊥ 平面 .
12．（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示， 为 △ 所在平面外一点， ⊥ 平面 ，∠ =
90 ， ⊥ 于点 ．求证：
(1) ⊥ 平面 ；
(2) ⊥ 平面 ．
13．（23-24 高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， = 2， 1 = 3．
(1)求证：直线 ⊥ 平面 1 1 ；
(2)求点 到平面 1 的距离．
14．（23-24 高一下·福建福州·期末）如图，在三棱锥 中，侧面 ⊥ 底面 ，且 ⊥ ，
= 5， △ 的面积为 6.
(1)求三棱锥 的体积；
(2)若 = 5， = 4，且∠ 为锐角，求证： ⊥ 平面 .
15．（23-24 高一下·云南曲靖·阶段练习）如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周
上任意一点，AN⊥PM，N 为垂足.
(1)若 = = = 2，Q 为 PB 的中点，求三棱锥 的体积；
(2)求证：AN⊥平面 PBM；
(3)若 AQ⊥PB，垂足为 Q，求证：NQ⊥PB．
16．（23-24 高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 1， ⊥ .
(1)求证：平面 1 ⊥ 平面 1 1；
(2)求证： 1 ⊥ 1 .
题型三 平行与垂直关系的综合应用
17．（24-25 高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面是正方形，E，F，G 分
别是棱 1 ， 1 ，DA 的中点．求证：
(1)平面 1 //平面 ；
(2) 1 ⊥ ．
18．（23-24 高一下·山东威海·期末）在正三棱柱 1 1 1中， ， 分别为 1， 1的中点.
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： ⊥ 平面 1 1.
19．（23-24 高一下·山东菏泽·阶段练习）在四棱锥 中， 为 与 的交点， ⊥ 平面 ，△
是正三角形， // ， = = 2 .
(1)求异面直线 和 所成角的大小；
(2)若点 为棱 上一点，且 //平面 ，求 的值；
(3)求证：平面 ⊥ 平面 .
20．（2025 高三上·广西·学业考试）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂
直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵 1 1 1中，已知 = ，且点 ， ， 分别是 ，
1 1， 边的中点．
(1)求证： 1 //平面 ；
(2)求证： ⊥ 平面 1 1．
21．（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥 中， ∥ , ⊥ , = 2 ，平面 ⊥
底面 ABCD， ⊥ ，E，F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证：
(1) ⊥ 底面 ABCD；
(2) //平面 PAD；
(3)平面 ⊥ 平面 PCD.
22．（23-24 高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为菱形， 是线段
1 上的一点．
(1)若 1 = ，求证： 1//平面 ；
(2)若 ⊥ 1 ，求证：平面 1 ⊥ 平面 ．
23．（23-24 高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在四棱锥 中，M 为 AP 边上的中点，N 为 CP 边上的
中点，平面 ⊥ 平面 ，∠ = 90°， // ，∠ = 90°，2 = 2 = 2 = = 2．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： ⊥ 平面 ；
24．（23-24 高一下·云南曲靖·期末）在四棱锥 中，底面 是矩形， ⊥ 平面 ， , 分别
是 , 的中点.
(1)求证： //平面 PAD；
(2)求证： ⊥ ；
(3)若 PD 与平面 所成的角为45°，求证： ⊥ 平面 .
题型四 平行、垂直中的存在性问题
25．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥 中， △ 是等边三角形， ⊥ ，
= = 2 3， = = 2．若 = 3 ，则在线段 上是否存在一点 ，使平面 ∥平面 ？若存
在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由．
26．（23-24 高一下·浙江宁波·期中）如图①所示，已知正三角形 与正方形 ，将 △ 沿 翻折
至 △ ′所在的位置，连接 ′ ， ′ ，得到如图②所示的四棱锥.已知 = 2， ′ = 2 2， 为 上一点，
且满足 = 2 .
(1)求证： ⊥ 平面 ′ ；
(2)在线段 ′ 上是否存在一点 ，使得 //平面 .若存在，指出点 的位置，并证明你的结论；若不存在，
请说明理由.
27．（24-25 高一下·江苏常州·阶段练习）如图，在正方体 1 1 1 1中， , 分别是棱 ， 的中点.
(1)求证： 1 ⊥ 1；
(2)若点 ， 分别在 1 ， 上，且 ⊥ 1 ， ⊥ .求证： // 1 ；
(3)棱 1上是否存在点 ，使平面 1 ⊥ 平面 ？若存在，确定点 P 的位置，若不存在，说明理由.
28．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥ 平面 ，
= 2 ．
(1)判断在梭 上是否存在一点 使 ⊥ 平面 ，若存在，求 ；若不存在，说明理由；
(2)当点 , 分别是 , 的中点时，求异面直线 和 的夹角的余弦值．
29．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）如图，在四棱锥 中， ⊥ 平面 ，底部 为菱形，
为 的中点．
(1)若∠ = 60°，求证： ⊥ 平面 ；
(2)棱 上是否存在点 ，使得 //平面 ？说明理由．
30．（23-24 高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， = ，E 为侧棱
PD 上的点，且 = 3 .
(1)证明： ⊥ ；
(2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 //平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
31．（23-24 高一下·山西太原·阶段练习）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， 、 分别
为 、 的中点，平面 ∩ 平面 = .
(1)证明： ∥ ；
(2)证明： ∥平面 ；
(3) 在线段 上是否存在一点 ，使 //平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
32．（23-24 1高一下·辽宁沈阳·期末）如图，正三棱柱 1 1 1中， = 2 1 = 2，点 为 1 1的中点.
(1)证明：平面 1 ⊥ 平面 1 1

(2)在棱 11上是否存在点 ，使得 ⊥ 平面 1 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
(3)求二面角 1 1平面角的正切值.专题 8.8 空间中的位置关系大题专项训练【四大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 空间直线、平面的平行
1．（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，正四棱台 1 1 1 1中，上底面边长为2 2，下底面
边长为4 2， 为 1的中点，侧棱长为 3.
(1)证明： 1//平面 ；
(2)求该正四棱台的表面积.
【解题思路】（1）利用中位线性质以及线面平行的判定定理即可证明出结论；
（2）由正四棱台的上、下底面边长分别求得上下底面面积以及侧面面积即可得出表面积.
【解答过程】（1）连结 ，交 于点 ，连结 .
在正四棱台 1 1 1 1中，底面 为正方形，所以 为 中点，
又 ∵ 为 1的中点，
∴ ∥ 1
又 平面 ， 1 平面 ，
∴ 1//平面 .
（2）由已知，梯形 1 1中， 1 1 = 2 2， = 4 2， 1 = 3，
过 1作 1 ⊥ ，交 于点 ，
∴ = 2， ∴ 1 = 1 2 2 = 7，
1 1
所以梯形 1 1的面积为 1 1 = 2( 1 1 + ) 1 = 2 × (2 2 + 4 2) × 7 = 3 14
∴ 正四棱台 1 1 1 1的表面积为：
2 2
= 1 1 1 1 + +4 1 1 = (2 2) + (4 2) +4 × 3 14 = 40 + 12 14.
2．（24-25 高一下·全国·单元测试）在多面体 中，点 O 是矩形 的对角线的交点，棱 // 且
= 12 ．求证： //平面 ．
【解题思路】取 CD 中点 ，连接 OM，EM，利用平行四边形的判定与性质得 // ，然后利用线面平行
的判定定理证明即可.
【解答过程】如图所示，取 CD 中点 ，连接 OM，EM，
在矩形 中， // 且 = 12 ．
又 // 且 = 12 ，则 // 且 = ．
所以四边形 为平行四边形，所以 // ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
3．（24-25 高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥 中，∠ = 60°， = = ，
= = 2 ，点 E 在 PD 上，且 : ＝2:1，平面 ∩ 平面 = ．
(1)证明： // ；
(2)在棱 PC 上是否存在一点 F，使 //平面 ？证明你的结论．
【解题思路】（1）利用线面平行的判断、性质推理得证.
（2）取 PE 的中点 M，利用线面平行的判定、面面平行的判定、性质推理得解.
【解答过程】（1）由四边形 为菱形，得 // ，
又 平面 ， 平面 PCD，则 //平面 ，
又 平面 ，平面 ∩ 平面 = ，则 // ，所以 // ．
（2）存在．当 F 是 PC 的中点时， //平面 ，
如图，取 PE 的中点 M，连接 FM，得 // ，又 平面 ， 平面 ，于是 //平面 ，
由 M 为 PE 1的中点， : ＝2:1，得 = 2 = ，E 是 MD 的中点，
连接 BM，BD，设 ∩ ＝ ，由四边形 是菱形，得 O 为 BD 的中点，
则 // ，又 平面 ， 平面 ，于是 //平面 ，
又 ∩ = ， , 平面 ，则平面 //平面 ，
又 平面 ，所以 //平面 .
4．（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体 1 1 1 1中，E，F，P，Q 分别是 ， 1 1，
1， 的中点．求证：
(1) //平面 1 1；
(2) //平面 1 1 ．
【解题思路】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，即可证明；
（2）方法一，根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，利用构造平行四边形，证明线线平行；方
法二，利用面面平行的性质定理，构造面面平行，即可证明线面平行.
【解答过程】（1）如图，连接 ， 1．
因为四边形 是正方形，且 是 的中点，
所以 是 的中点，又 是 1的中点，所以 // 1．
又 平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 //平面 1 1．
（2）方法一 取 1 1的中点 1，连接 1， 1，如图所示，
则有 11// 1 1且 1 = 2 1 1．
又 // 1 1且 =
1
2 1 1，所以 // 1， = 1，
所以四边形 1为平行四边形，所以 // 1．
又 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，所以 //平面 1 1 ．
方法二 取 1 1的中点 1，连接 1， 1，如图所示，
因为点 , 1是 ， 1 1的中点，所以 1// 1，
1 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，
所以 1//平面 1 1 ，
因为点 ， 1分别是 1 1和 1 1的中点，
所以 1// 1 1， 1 平面 1 1 ， 1 1 平面 1 1 ，
所以 1//平面 1 1 ，
且 1 ∩ 1 = 1， 1， 1 平面 1 ，
所以平面 1 //平面 1 1 ．
又 平面 1 ，所以 //平面 1 1 ．
5．（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知 是 所在平面外一点， , 分别是 , 的中点，
平面 ∩ 平面 = ，则：
(1) 与 是否平行？说明理由；
(2) 与平面 是否平行？试证明你的结论．
【解题思路】（1）根据线面平行的性质即可求证，
（2）根据线面平行的判定即可求证.
【解答过程】（1）平行，理由如下：
因为四边形 为平行四边形，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
又平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，所以 // ．
（2）平行．证明如下：如图所示，
取 的中点 ，连接 , ，
故 // , = 12 ,又 // , =
1
2
所以 // 且 = ．
所以四边形 是平行四边形，所以 // ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
6．（23-24 高一下·广西贺州·阶段练习）已知正方体 1 1 1 1的棱长为1, 为 的中点．
(1)证明： 1 ∥ 平面 1 1；
(2)求三棱锥 1 1的体积．
【解题思路】（1）取取 1 1的中点 ，通过说明 1为平行四边形，即可求证；
（2）利用线面平行的性质定理将体积转化，然后利用等体积法求解体积.
【解答过程】（1）取 1 1的中点 ，连接 1 ，如图：
所以 1 ∥ ，且长度相等，
所以四边形 1为平行四边形，
所以 1 ∥ ，又 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 1 ∥ 平面 1 1
（2）因为 1 ∥ 平面 1 1，所以三棱锥 1 1的体积与三棱锥 1 1 1的体积相等，
1 1 1 1 1 = 1 1 1 = 3 △ 1 1 1 × 1 = 6，
1
所以三棱锥 1 1的体积为6.
7．（23-24 高一下·天津南开·阶段练习）在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为底面中心， ,
分别为 , 的中点， △ 为等腰直角三角形，且 = ．
(1)求证： //平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)若 , 分为 , 的中点，点 在线段 上，且 = 3 ．求证：平面 //平面 ．
（注：只能使用几何法，其他方法一律不给分）
【解题思路】（1）由三角形中位线及线面平行的判定即可证明；
（2）通过转化得异面直线 与 所成角即为 与 夹角，由余弦定理求解即可；
（3）连接 ，由线线平行证明线面平行，再根据面面平行的判定证明即可．
【解答过程】（1）证明：连接 ，则 为 中点，
又点 为 中点，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
（2）由（1）得，异面直线 与 所成角即为 与 夹角，
在等腰直角三角形 中，设 = = 2，则 = = 1， = 2 2， = 5，
2 2 2 8+5 1
在 △ 中，由余弦定理得，cos∠ = + = = 3 102 4 10 ，10
3 10
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
10
（3）连接 ，如图所示，
因为 , 分为 , 的中点，所以 // ，
3
因为 为 的中点，所以 = 4 ，
3
因为点 在线段 上，且 = 3 ，所以 = 4 ，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
同理可得 //平面 ，
又 ∩ = ， , 平面 ，
所以平面 //平面 ．
8．（23-24 高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体 1 1 1 1如图所示
(1)求证: 1//平面 1 .
(2)平面 1 1//平面 1 .
【解题思路】（1）先证明平行四边形得出线线平行，再结合线面平行判定定理证明；
（2）先证明线面平行，再应用面面平行判定定理证明.
【解答过程】（1）由题设得： = 1 1， // 1 1，
∴四边形 1 1为平行四边形.
∴ 1// 1.
又∵ 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，
∴ 1//平面 1 .
（2） 1 = 1， 1// 1，
∴四边形 1 1为平行四边形.
∴ 1 1// .
又∵ 平面 1 ， 1 1 平面 1 ，
∴ 1 1//平面 1 . 1//平面 1 .
又 1 ∩ 1 1 = 1, 1, 1 1 平面 1 1，
∴平面 1 1//平面 1 .
题型二 空间直线、平面的垂直
用向量证明线段垂直
9．（2024 高二下·福用建向量·证学明业线段考垂直试）如图，四棱锥 的底面是正方形， ⊥ 底面 .
(1)若 = = 1，求四棱锥 的体积
(2)求证： ⊥ 平面
【解题思路】（1）根据体积公式可求四棱锥 的体积.
（2）可证 ⊥ ，结合 ⊥ 可证 ⊥ 平面 .
【解答过程】（1）因为 ⊥ 底面 ，故四棱锥 的高为 = 1，
而正方形 1 1的面积为1，故 = 3 × 1 × 1 = 3.
（2）因为 ⊥ 底面 ，而 平面 ，故 ⊥ ，
由正方形 可得 ⊥ ，因 ∩ = , , 平面 ，
故 ⊥ 平面 .
10．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥 中，底面 是∠ = 60°且边长为 的
菱形，侧面 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ， 为 边的中点.求证：
(1) ⊥ 平面 ；
(2) ⊥ .
【解题思路】（1）由面面垂直的性质定理证明即可；
（2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可.
【解答过程】（1）因为四边形 是菱形且∠ = 60°，
所以 △ 是正三角形，因为 G 为 的中点，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
（2）因为侧面 为正三角形， 为 边的中点，
所以 ⊥ ，又由（1）可知 ⊥ ，
又 ∩ = ，BG， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ .
11．（24-25 高一下·全国·课前预习）如图所示，在四棱锥 中，底面 是∠ = 60°的菱形，
侧面 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ，G 为 AD 边的中点.求证： ⊥ 平面 .
【解题思路】根据面面垂直的性质可得 ⊥ 平面 ，即可得 ⊥ ，结合 ⊥ ，即可由线面垂直
的判定求证.
【解答过程】由题意知 △ 为正三角形， 是 AD 的中点， ∴ ⊥ ．
又平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴ ⊥ .
又 ∵ 四边形 是菱形且∠ = 60°，
∴△ 是正三角形， ∴ ⊥ .又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥ 平面 .
12．（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图所示， 为 △ 所在平面外一点， ⊥ 平面 ，∠ =
90 ， ⊥ 于点 ．求证：
(1) ⊥ 平面 ；
(2) ⊥ 平面 ．
【解题思路】（1）根据线面垂直的判断定理，即可证明；
（2）根据（1）的结论，结合线面垂直的判断定理，即可证明.
【解答过程】（1） ∵ ⊥ 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ．
∵ ∠ = 90 ， ∴ ⊥ ．
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥ 平面 ．
（2） ∵ ⊥ 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ．
∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥ 平面 ．
13．（23-24 高一下·天津·期中）如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， = 2， 1 = 3．
(1)求证：直线 ⊥ 平面 1 1 ；
(2)求点 到平面 1 的距离．
【解题思路】（1）根据线线垂直即可求证，
（2）利用等体积法，即可由三棱锥的体积公式求解.
【解答过程】（1）由于四棱柱 1 1 1 1为正四棱柱，所以四边形 为正方形，故 ⊥ ,
又 1 ⊥ 底面 ， 底面 ，故 1 ⊥ ,
1 ∩ = , 1, 平面 1 1 ，
故直线 ⊥ 平面 1 1
（2）由 = 2， 1 = 3可得 = 2 + 2 = 2 2, 1 = 1 = 2 + 1 2 = 13,
1 1
2 1
所以 △ 1 = 22 1 = 2 × 2 2 × 11 = 22,2
设 到平面 1 的距离为 ，
1
则 1 = 1 =
△ 1 ×2×2×3
2 3 22
= = .△ 1 22 11
14．（23-24 高一下·福建福州·期末）如图，在三棱锥 中，侧面 ⊥ 底面 ，且 ⊥ ，
= 5， △ 的面积为 6.
(1)求三棱锥 的体积；
(2)若 = 5， = 4，且∠ 为锐角，求证： ⊥ 平面 .
【解题思路】（1）结合条件可证明 ⊥ 平面 ，由三棱锥 的体积公式求解即可；（2）利用勾股
定理可得： ⊥ ，结合 ⊥ ，即可证明 ⊥ 平面 .
【解答过程】（1）因为在三棱锥 中，侧面 ⊥ 底面 ，侧面 ∩ 底面 =
因为 ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
1
所以 = 3
1
△ = 3 × 5 × 6 = 10
1 3
（2）在 △ ，由面积公式可得： △ = 2 sin∠ = 6，解得：sin∠ = 5，
因为∠ 4为锐角，所以cos∠ = 1 sin2∠ = 5，
由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 9，即 = 3，
所以 2 + 2 = 2，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
15．（23-24 高一下·云南曲靖·阶段练习）如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周
上任意一点，AN⊥PM，N 为垂足.
(1)若 = = = 2，Q 为 PB 的中点，求三棱锥 的体积；
(2)求证：AN⊥平面 PBM；
(3)若 AQ⊥PB，垂足为 Q，求证：NQ⊥PB．
1 4 1 2
【解题思路】（1）先得到 = 3 △ = 3，根据 Q 为 PB 的中点，故 = 2 = 3；
（2）由线线垂直，得到线面垂直，即 BM⊥平面 PAM.，故 BM⊥AN，又 AN⊥PM，从而得到线面垂直；
（3）由(1)知 AN⊥平面 PBM，故 AN⊥PB，又 AQ⊥PB，故 PB⊥平面 ANQ，得到答案.
【解答过程】（1）因为 AB 为⊙O 的直径，所以 ⊥ ，
又 = = 2 1，故 △ = 2 = 2，
又 PA 垂直于⊙O 所在的平面， = 2，
1 1 4故 = 3 △ = 3 × 2 × 2 = 3，
1 1 4 2
因为 Q 为 PB 的中点，所以 = 2 = 2 × 3 = 3.
（2）∵AB 为⊙O 的直径，∴AM⊥BM.
又 PA⊥平面 ABM，BM 平面 ABM，
∴PA⊥BM.
又∵ ∩ = ，PA，AM 平面 PAM，
∴BM⊥平面 PAM.
又 AN 平面 PAM，∴BM⊥AN.
又 AN⊥PM，且 ∩ = ，BM，PM 平面 PBM，
∴AN⊥平面 PBM.
（3）由(1)知 AN⊥平面 PBM，
PB 平面 PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面 ANQ，
∴PB⊥平面 ANQ.
又 NQ 平面 ANQ，
∴PB⊥NQ.
16．（23-24 高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 1， ⊥ .
(1)求证：平面 1 ⊥ 平面 1 1；
(2)求证： 1 ⊥ 1 .
【解题思路】（1）首先根据线面垂直的性质得 1 ⊥ ，结合 ⊥ ，最后利用面面垂直的判定定理即
可证明；
（2）由（1）得 ⊥ 1 ，根据 // 1 1得 1 1 ⊥ 1 ，最后利用线面垂直的判定与性质即可证明.
【解答过程】（1）在直三棱柱 1 1 1中，
因为 1 ⊥ 平面 , 平面 ，所以 1 ⊥ .
又因为 ⊥ , 平面 1 1, 1 平面 1 1, ∩ 1 = ，
所以 ⊥ 平面 1 1.
又因为 平面 1 ，所以平面 1 ⊥ 平面 1 1.
（2）连接 1，由（1）可知 ⊥ 平面 1 1，
因为 1 平面 1 1，所以 ⊥ 1 .
因为 // 1 1，所以 1 1 ⊥ 1 .
又因为在正方形 1 1中 1 ⊥ 1，
1, 1 1 平面 1 1， 1 ∩ 1 1 = 1，
所以 1 ⊥ 平面 1 1.
又因为 1 平面 1 1，所以 1 ⊥ 1，即 1 ⊥ 1 .
题型三 平行与垂直关系的综合应用
17．（24-25 高一下·全国·单元测试）如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面是正方形，E，F，G 分
别是棱 1 ， 1 ，DA 的中点．求证：
(1)平面 1 //平面 ；
(2) 1 ⊥ ．
【解题思路】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理得 1 //平面 ，又 1//平面 ，最
后利用面面平行的判定定理证明即可；
（2）先根据线面垂直的判定定理得 ⊥ 平面 1 1，再根据线面垂直的性质定理证明即可.
【解答过程】（1） ∵ ，F 分别是 1 和 1 的中点， ∴ 1 // 且 1 = ．
∴ 四边形 1 是平行四边形， ∴ 1 // ．
又 1 平面 ， 平面 ， ∴ 1 //平面 ．
∵ 是 △ 1的中位线， ∴ // 1．
又 1 平面 ， 平面 ， ∴ 1//平面 ．
又 1 ∩ 1 = 1， ∴ 平面 1 //平面 ．
（2）连接 BD， 1 1， ∵ 底面 是正方形， ∴ ⊥ ．
∵ 1 ⊥ ， 1 ∩ = ， ∴ ⊥ 平面 1 1．
∵ 1 平面 1 1， ∴ 1 ⊥ ．
18．（23-24 高一下·山东威海·期末）在正三棱柱 1 1 1中， ， 分别为 1， 1的中点.
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： ⊥ 平面 1 1.
【解题思路】（1）根据线面平行判定定理证明即可；
（2）先证明线面垂直再应用平行得出结论.
【解答过程】（1）
取 的中点 ，连接 ， ，
因为 为 1的中点，
所以 // 1且 =
1
2 1，
又因为 // = 11且 2 1，
所以 // 且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 .
（2）因为 1 1 1为直三棱柱，
所以 1 ⊥ 平面 ，因为 面 ，
所以 1 ⊥ ，
因为 △ 为等边三角形，所以 ⊥ ，
又 1 ∩ = , 1, 平面 1 1，
所以 ⊥ 平面 1 1，又 // ，
所以 ⊥ 平面 1 1.
19．（23-24 高一下·山东菏泽·阶段练习）在四棱锥 中， 为 与 的交点， ⊥ 平面 ，△
是正三角形， // ， = = 2 .
(1)求异面直线 和 所成角的大小；
(2)若点 为棱 上一点，且 // 平面 ，求 的值；
(3)求证：平面 ⊥ 平面 .
【解题思路】（1）根据异面直线的定义可得∠ 为所求角，即可利用线面垂直的性质求解，
（2）根据线面平行的性质可得 // ，即可由相似求解，
（3）根据线面垂直的判定求证 ⊥ 平面 ，即可由面面垂直的判定求解.
【解答过程】（1）因为 // ，所以异面直线 和 所成角为 和 所成角，即∠ ，
因为 △ 是正三角形， = = 2 ，
所以 = ，
因为 ⊥ 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，所以 △ 是等腰直角三角形，
π
所以∠ = 4，
π
即异面直线 和 所成角为4.
（2）因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩ 平面 = ，
所以 // ，所以 = ，
因为 // ， = 2 ，
= = 1所以 2，
= 1所以 2.
（3）取 的中点 ，连接 ， ，
因为 △ 是正三角形， = ，所以 = ，
因为 是 中点，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
因为 // ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
设 = ，在等腰直角三角形 中， = = 2 ，
在Rt △ 中， = 5 ，
在直角梯形 中， = = 5 ，
因为 = = 5 ，点 为 的中点，
所以 ⊥ ，
在Rt △ 中， = 3 ，
在 △ 中，由 = 2 ， = 3 ， = 5 ，可知 2 + 2 = 2，
所以 ⊥ ，
由 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 ⊥ 平面 .
20．（2025 高三上·广西·学业考试）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂
直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵 1 1 1中，已知 = ，且点 ， ， 分别是 ，
1 1， 边的中点．
(1)求证： 1 //平面 ；
(2)求证： ⊥ 平面 1 1．
【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理转化为证明线面平行，通过构造平行四边形，证明 1 // ；
（2）利用面面垂直的性质定理，即可证明.
【解答过程】（1）连结 ，因为 , 分别是 , 的中点，
所以 // 1，且 = 2 ，
因为点 是 11 1的中点，所以 1// ，且 1 = 2 ，
所以 1// ，且 1 = ，
所以四边形 1 是平行四边形，
所以 1 // ，
且 1 平面 ， 平面 ，
所以 1 //平面 ；
（2）因为 = ， 为 的中点，所以 ⊥ ，
由 1 ⊥ 平面 ， 1 平面 1 1，
所以平面 1 1 ⊥ 平面 ，
又平面 1 1 ∩ 平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 1 1.
21．（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥 中， ∥ , ⊥ , = 2 ，平面 ⊥
底面 ABCD， ⊥ ，E，F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证：
(1) ⊥ 底面 ABCD；
(2) //平面 PAD；
(3)平面 ⊥ 平面 PCD.
【解题思路】（1）根据平面 ⊥ 底面 ABCD 证明 ⊥ 底面 ABCD；
（2）证明 // ，证明四边形 ABED 为平行四边形，证明 //平面 PAD；
（3）证明 ⊥ , ⊥ ，证明 ⊥ ，证明 ⊥ 平面 PAD，证明 ⊥ ，证明 ⊥ 平面 BEF，证
明平面 ⊥ 平面 PCD.
【解答过程】（1） ∵ 平面 ⊥ 底面 ABCD，平面 ∩ 底面 = ， 平面 PAD， ⊥ ，
∴ ⊥ 底面 ABCD；
（2） ∵ ∥ ， = 2 ，E 是 CD 的中点，
∴ ∥ ，且 = ，
所以四边形 ABED 为平行四边形，
∴ ∥ ，又 ∵ 平面 PAD， 平面 PAD，
∴ ∥平面 PAD；
（3） ∵ 四边形 ABED 为平行四边形， ⊥ ，
∴ ⊥ , ⊥ ，
由（1）知 ⊥ 底面 ABCD， 底面 ABCD，
∴ ⊥ ， ∵ ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 PAD， ∵ 平面 ，
∴ ⊥ ， ∵ , 分别是 CD，PC 的中点，
∴ ∥ , ∴ ⊥ ，
∵ ⊥ , ∩ = ， , 平面 ，
∴ ⊥ 平面 ， ∵ 平面 PCD，
所以平面 ⊥ 平面 PCD.
22．（23-24 高一下·甘肃庆阳·期末）如图，在直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为菱形， 是线段
1 上的一点．
(1)若 1 = ，求证： 1//平面 ；
(2)若 ⊥ 1 ，求证：平面 1 ⊥ 平面 ．
【解题思路】（1）证明线面平行，只需在平面 内找到一条直线与 1平行即可；
（2）证明面面垂直，只需证明线面垂直，只需证明线线垂直即可.
【解答过程】（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，如图所示．
因为底面 为菱形，所以 是 的中点，又 1 = ，所以 ∥ 1，
又 平面 ， 1 平面 ，所以 1//平面 ；
（2）在直四棱柱 1 1 1 1中， 1 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又底面 为菱形，所以 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1， 平面 1 ，所以 ⊥ 平面 1 ，
又 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1 ，
又 ⊥ 1 ， ∩ = ， ， 平面 ，所以 1 ⊥ 平面 ，
又 1 平面 1 ，所以平面 1 ⊥ 平面 ．
23．（23-24 高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在四棱锥 中，M 为 AP 边上的中点，N 为 CP 边上的
中点，平面 ⊥ 平面 ，∠ = 90°， // ，∠ = 90°，2 = 2 = 2 = = 2．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： ⊥ 平面 ；
【解题思路】（1）由条件可得 // ，根据线面平行的判定推理得证.
（2）由条件结合面面垂直的性质可得 ⊥ ， ⊥ ，再利用线面垂直的判定推理得证．
【解答过程】（1）在四棱锥 中，连接 AC，
在 △ 中，由 M、N 为对应边上的中点，即 MN 为中位线，得 // ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 .
（2）在四边形 中， // ，∠ = 90°，则∠ = 90°，由 = ，得 = 2 ，
而2 = 2 = ，则 2 + 2 = 4 2 = 2，于是 ⊥ ，
由∠ = 90°，得 ⊥ ，又平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ，
平面 ，于是直线 ⊥ 平面 ，又 平面 ，则 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 CD⊥平面 ．
24．（23-24 高一下·云南曲靖·期末）在四棱锥 中，底面 是矩形， ⊥ 平面 ， , 分别
是 , 的中点.
(1)求证： //平面 PAD；
(2)求证： ⊥ ；
(3)若 PD 与平面 所成的角为45°，求证： ⊥ 平面 .
【解题思路】（1）取 中点 ，连接 ， ，由线面平行的判定定理即可得证；
（2）先由线面垂直的判定定理证明 ⊥ 平面 ，得到 ⊥ ，再由（1）即可得证；
（3）先由题意得到∠ = 45°， ⊥ ，由线面垂直的判定定理证明 ⊥ 平面 ，从而得证.
【解答过程】（1）取 中点 ，连接 ， ，
∵ 为 的中点， ∴ // ， = 12 ，
∵ 是 的中点，底面 是矩形， ∴ // ， = 12 ，
∴ // 且 = ，
∴ 四边形 为平行四边形，所以 // ，
又 ∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 .
（2） ∵ ⊥ 平面 ， 平面 ， ∴ ⊥ ，
又 ∵ 底面 是矩形， ∴ ⊥ ，
又 ∵ ∩ = , , 平面 ， ∴ ⊥ 平面 ，
∵ 平面 ， ∴ ⊥ ，
由（1）可知 // ， ∴ ⊥ .
（3） ∵ ⊥ 平面 ，所以∠ 为 与平面 所成的角，
∴ ∠ = 45°，又 ⊥ ， ∴ = ，即 △ 为等腰三角形，
∵ 为 中点， ∴ ⊥ ，
又由（2）可得 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
∴ ⊥ 平面 ，
由（1）可知： // ， ∴ ⊥ 平面 .
题型四 平行、垂直中的存在性问题
25．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥 中， △ 是等边三角形， ⊥ ，
= = 2 3， = = 2．若 = 3 ，则在线段 上是否存在一点 ，使平面 ∥平面 ？若存
在，求出线段 的长；若不存在，请说明理由．
【解题思路】过 作 ∥ ，交 于 ，连接 ， 2 3，则可得 = ，由已知可得 △ ≌ △ ，则得
3
∠ = ∠ = 30°，所以∠ = 60°，在 △ 中可求得∠ = 60°，所以 ∥ ，然后利用面面平行
的判定定理可证得结论.
【解答过程】在线段 上存在一点 ，使平面 ∥平面 ．理由如下：
如图，过 作 ∥ ，交 于 ，连接 ， ，
因为 = 3 ，所以 是 上靠近点 的三等分点， 是 上靠近点 的三等分点，
因为 = 2 3，所以 = 2 3．3
因为 = = 2， = = 2 3， = ，
所以 △ ≌ △ ，
2 3
因为 ⊥ ，所以∠ = 90°，tan∠ = = =2 3 ，3
所以∠ = ∠ = 30°，所以∠ = 60°，
2
因为tan∠ = = 2 3 = 3，3
所以∠ = 60°，所以 ∥ ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
又 ∥ ， 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以平面 ∥平面 ，
所以在线段 上存在一点 ，使平面 ∥平面 ，
2 3
此时 = ．
3
26．（23-24 高一下·浙江宁波·期中）如图①所示，已知正三角形 与正方形 ，将 △ 沿 翻折
至 △ ′所在的位置，连接 ′ ， ′ ，得到如图②所示的四棱锥.已知 = 2， ′ = 2 2， 为 上一点，
且满足 = 2 .
(1)求证： ⊥ 平面 ′ ；
(2)在线段 ′ 上是否存在一点 ，使得 //平面 .若存在，指出点 的位置，并证明你的结论；若不存在，
请说明理由.
【解题思路】（1）根据给定条件，利用勾股定理的逆定理证得 ⊥ ′ ，再利用线面垂直的判定推理作
答.
（2）连接 ∩ = ，取 ′ , ′ 的中点 , ，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理作答.
【解答过程】（1）△ ′ 是正三角形，有 ′ = = 2，△ ′ 中， ′ 2 + 2 = 8 = ′ 2，则 ⊥ ′ ，
正方形 中， ⊥ ， ′ ∩ = , ′ , 平面 ′ ，于是 ⊥ 平面 ′ ，而 // ，
所以 ⊥ 平面 ′ .
（2）点 为线段 ′ 的中点， //平面 ，
取 ′ 的中点 ，连接 , , ，连接 ∩ = ，连接 ，如图，
于是 // ，而 平面 ， 平面 ，因此 //平面 ，
依题意， 为 ′ 上一点，且满足 ′ = 2 ，则 为 中点，又 为 中点，即有 // ，
而 平面 ， 平面 ，因此 //平面 ，又 ∩ = , , 平面 ，
从而平面 //平面 ，又 面 ，则 //平面 ，
所以点 为线段 ′ 的中点时， //平面 .
27．（24-25 高一下·江苏常州·阶段练习）如图，在正方体 1 1 1 1中， , 分别是棱 ， 的中点.
(1)求证： 1 ⊥ 1；
(2)若点 ， 分别在 1 ， 上，且 ⊥ 1 ， ⊥ .求证： // 1 ；
(3)棱 1上是否存在点 ，使平面 1 ⊥ 平面 ？若存在，确定点 P 的位置，若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）根据正方体的特征得到 AB1⊥B1A 和 BC⊥平面 1 1，进而得到，利用线面垂直的判定
得到 AB1⊥平面 A1D1CB，从而得到 1 ⊥ 1；
（2）连接 DE，CD1 ，利用三角形全等得到 DE⊥AF，然后根据正方体的特征得到 DD1⊥平面 ABCD，进而
得到 AF⊥DD1，利用线面垂直的判定得到 AF⊥平面 D1DE，从而得到 AF⊥D1E，结合（1）的结论和线面垂
直的判定得到 D1E⊥平面 AB1F 和 MN⊥平面 B1AF，进而得到 // 1 ；
（3）连接 FP，AP，利用中位线定理得到 FP∥C1D，再利用正方体的特征得到 FP 与 AB1共面于平面 AB1PF.
结合（2）的结论，利用面面垂直的判定即可求证.
【解答过程】（1）如图，
连接 A1B，CD1
∵正方体 1 1 1 1
∴四边形 1 1为正方形，∴AB1⊥A1B，
又∵正方体 1 1 1 1，∴BC⊥平面 1 1，
AB1 平面 1 1，所以 BC⊥AB1，
又 BC∩A1B＝B， , 1 平面 1 1
∴所以 AB1⊥平面 A1D1CB，又∵D1E 平面 A1D1CB，
∴AB1⊥D1E ；
（2）如图，连接 DE，CD1
在正方形 ABCD 中，E，F 分别为棱 ， 的中点
∴AD＝DC，DF＝EC，∠ADF＝∠DCE，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE.
∵∠CDE+∠ADE=90 ，所以∠DAF+∠ADE=90 ， 即 DE⊥AF.
又∵正方体 1 1 1 1中，DD1⊥平面 ABCD，AF 平面 ABCD，∴AF⊥DD1，
∵DD1∩DE＝D，D1D，DE 平面 D1DE
∴AF⊥平面 D1DE.
又∵D1E 平面 D1DE，∴AF⊥D1E.
由（1）可知 AB1⊥D1E
又∵AB1∩AF＝A，AB1，AF 平面 AB1F ∴D1E⊥平面 AB1F.
又∵ ⊥ 1 ，，AB1//C1D
∴MN⊥AB1，又∵MN⊥AF AB1∩AF＝A，AB1，AF 平面 AB1F
所以 MN⊥平面 B1AF，
所以 // 1 .
（3）存在.如图，当点 P 为棱 CC1的中点时，平面 1 ⊥ 平面 .
连接 FP，AP，∵点 P，F 分别为棱 CC1，CD 的中点∴FP∥C1D，
∵正方体 1 1 1 1，∴AD∥B1C1，∴ 1 1 ，
∴C1D∥AB1，∴FP∥AB1 ，∴FP 与 AB1共面于平面 AB1PF.
由（2）知 D1E⊥平面 B1AF，即 D1E⊥平面 AFP.
又因为 D1E 平面 CD1E.
∴平面 1 ⊥ 平面 .
28．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥ 平面 ，
= 2 ．
(1) 判断在梭 上是否存在一点 使 ⊥ 平面 ，若存在，求 ；若不存在，说明理由；
(2)当点 , 分别是 , 的中点时，求异面直线 和 的夹角的余弦值．
【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形相似即可得出结论；
（2）易知 // ，结合余弦定理即可求得异面直线 和 的夹角的余弦值．
【解答过程】（1）作 ⊥ 于点 ，如下图所示：
因为底面 为正方形，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
且 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以此时满足 ⊥ 平面 ；
又因为 ⊥ ，因此 △ △ △ ，

因为 = 2 ，所以 = = = 2，所以 = 4；
1
可得 = 5
（2）由（1）可知 , , 两两垂直，
因为点 , 分别是 , 的中点，所以 // ，
因此异面直线 和 的夹角即为 和 的夹角，即∠ （或其补角）；
不妨取 = = 1，则 = 2，
所以 = 5, = 6，
在 △ 中，由余弦定理可得
2 + 2 2 6 + 5 1 30
cos∠ = 2 = =2 6 × 5 6
因此异面直线 30和 的夹角的余弦值为 .
6
29．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）如图，在四棱锥 中， ⊥ 平面 ，底部 为菱形，
为 的中点．
(1)若∠ = 60°，求证： ⊥ 平面 ；
(2)棱 上是否存在点 ，使得 //平面 ？说明理由．
【解题思路】（1）结合题意，利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明；
（2）取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 , , ，结合题意利用面面平行的判定定理及性质定理即可
求解.
【解答过程】（1）证明： ∵ ⊥ 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ 底面 为菱形， 为 的中点，∠ = 60°，
∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，
∴ ⊥ 平面 .
（2）棱 上存在点 ，使得 //平面 ，
理由如下：
取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 , , ，
∵ 底面 为菱形， 为 的中点， , 分别为 , 的中点，
∴ // , // ，
∵ // ， 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
同理 ∵ // ， 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
又 ∵ ∩ = ， , 平面 ，
∴ 平面 //平面 ，
∵ 平面 ，
∴ 棱 上存在中点 ，使得 //平面 .
30．（23-24 高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， = ，E 为侧棱
PD 上的点，且 = 3 .
(1)证明： ⊥ ；
(2) PC 在侧棱 上是否存在一点 F，使得 //平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）设 交 AC 于点 O，由题意可得 PO⊥AC， ⊥ ，可证得 ⊥ 平面 ，进而证得
结论.
（2 2）在线段 PE 取一点 G，使得 = ，由题意可得 = 3，可证得 //平面 ，进而可得平面 //
平面 ，再证得 // ，可得 的值.
【解答过程】（1）设 交 于点 O，连接 ，正方形 中，则 = ， ⊥ ，
又 = ，则 ⊥ ，又 ∩ = , , 平面 ，
因此 ⊥ 平面 ，而 平面 ，
所以 ⊥ .
（2）侧棱 上存在一点 F，满足条件，
证明如下：如图，正方形 中， = ，
在线段 取一点 G，使得 = ，由 = 3 2，得 = 3，
连接 , ，则 // ，而 平面 ， 平面 ，
则 //平面 ，由 //平面 ， ∩ = ， , 平面 ，
得平面 //平面 ，而平面 ∩ 平面 = ，平面 ∩ 平面 = ，

于是 // ， =
2
= 3，
3
所以 ＝2.
31．（23-24 高一下·山西太原·阶段练习）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， 、 分别
为 、 的中点，平面 ∩ 平面 = .
(1)证明： ∥ ；
(2)证明： ∥平面 ；
(3) 在线段 上是否存在一点 ，使 //平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据题意可证 ∥平面 ，结合线面平行的性质即可得结果；
（2）根据平行关系可得 ∥ ，结合线面平行的判定定理分析证明；
（3）取 中点 ，连接 ， ，可证平面 ∥平面 ，根据面面平行的性质可得 ∥ ，再结合平
行线的性质运算求解.
【解答过程】（1）因为 为平行四边形，则 ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，可知 ∥平面 ，
又因为平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
所以 ∥ .
（2）取 中点 ，连接 ， ，
则 ∥ , = 12 ，且 ∥ , =
1
2 ，
可知 ∥ , = ，则四边形 为平行四边形，可得 ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 .
（3）存在 ，使 ∥ 平面 ， = 3，理由如下：
取 中点 ，连接 ， ，
则 ∥ ，且 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ，
又因为 ∥平面 ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以平面 ∥平面 ，
平面 ∩ 平面 = ，平面 ∩ 平面 = ，
可得 ∥ ，
因为 为 中点，且 为 中点，可得 = ，

又因为 = ，所以 = 3.
32 1．（23-24 高一下·辽宁沈阳·期末）如图，正三棱柱 1 1 1中， = 2 1 = 2，点 为 1 1的中点.
(1)证明：平面 1 ⊥ 平面 1 1

(2) 1在棱 1上是否存在点 ，使得 ⊥ 平面 1 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
(3)求二面角 1 1平面角的正切值.
【解题思路】（1）由已知条件证明 1 ⊥ 平面 1 1 ，即可证明平面 1 ⊥ 平面 1 1 ；（2）在平面

1 1 内过点 作 ⊥ 交 1于点 ，证明出 △ 与 △ 1 相似，从而 = ，代入数据求解即1 1
可; （3）在平面 1 1 1上，过 点作 垂直 1 1垂足为 ，过 点作 1的垂线 垂足为 ，连接 ，证
明∠ 为二面角 1 1的平面角，再求tan∠ 即可.
【解答过程】（1）在正三棱柱 1 1 1中，因为点 为 1 1的中点，
则 1 ⊥ 1 1，
又 1 ⊥ 平面 1 1 1， 1 平面 1 1 1，
则有 1 ⊥ 1 ，
而 1 ∩ 1 1 = 1， 1, 1 1 平面 1 1 ，
所以 1 ⊥ 平面 1 1 ，
因为 1 平面 1 ，所以平面 1 ⊥ 平面 1 1 ，
（2）在平面 1 1 内过点 作 ⊥ 交 1于点 ，
因为平面 1 ∩ 平面 1 1 = ， 平面 1 1 ，
所以 ⊥ 平面 1 ，则点 即为所要找的点，
如下图所示，因为∠ 1 = ∠ ，∠ 1 = ∠ ，
所以 △ 与 △ 1 相似，

因此 =1 ，1
2 1 1 7 1
即有 1 = 4，于是 = 2， 1 = 1 = 4 2 = 2，所以 = 7.
（3）在平面 1 1 1上，过 点作 垂直 1 1垂足为 ，
因为点 为 1 1的中点，
所以 为 1 1的四等分点，即 1 : 1 1 = 3:4，
过 点作 1的垂线 垂足为 ，连接 ，
平面 1 1 1 ⊥ 平面 1 1 ，平面 1 1 1 ∩ 平面 1 1 = 1 1，
因此 ⊥ 平面 1 1 ，
所以有 ⊥ 1，
由二面角定义可得∠ 为二面角 1 1的平面角，
∵△ 1 1为直角三角形，
4 3
∴ 31边上的高为 = ，则有 = 4 =5 5，
3
所以tan∠ = 2 153 = .6
5