专题 8.9 空间角与空间距离大题专项训练【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 异面直线所成的角
1．（24-25 高二上·安徽·开学考试）如图，在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长均为 4，D 是 AB 的中点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求异面直线 1 与 1所成角的正弦值．
【解题思路】（1）连接 1交 1 于 ，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进
行求解即可.
【解答过程】（1）连接 1交 1 于 ，
在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长均为 4，
因此四边形 1 1 是正方形，所以 是 1的中点，而 D 是 AB 的中点，
因此有 // 1，而 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ；
（2）由（1）可知： // 1，
因此异面直线 1 与 1所成角为∠ 1 （或其补角），
因为 1 1
1 1
是正方形，所以 1 = 2 22 1 = 2 4 + 4 = 2 2，
在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长均为 4，
因此四边形 1
1 1
1 是正方形，因此有 = 1 = 2 22 2 4 + 4 = 2 2，
在直三棱柱 1 1 1中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
1 2
因此有 1 = 1 2 + 2 = 42 + × 4 = 2 5，2
8+20 8
由余弦定理可知：cos∠ 1 = = 102×2 2×2 5 ，4
因此sin∠ 1 = 1 cos2∠ 1 = 1
10 = 6.
16 4
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体 1 1 1 1中， = = 3， 1 = 4．
(1)求证： 1 与 1是异面直线；
(2)求异面直线 1 与 1所成角的余弦值．
【解题思路】（1）根据题意结合异面直线的判定定理分析证明；
（2）连接 1，分析可知∠ 1 1为异面直线 1 与 1所成的角（或其补角），结合余弦定理运算求解.
【解答过程】（1）因为 1 平面 1 1 ， ∈ 平面 1 1 ， 直线 1 ， 1 平面 1 1 ，
由异面直线的判定定理可得 1 与 1是异面直线．
（2）如图，连接 1，
因为 ∥ 1 1， = 1 1，可知四边形 1 1为平行四边形，
则 1 ∥ 1，即∠ 1 1为异面直线 1 与 1所成的角（或其补角），
连接 1 1，由已知可得 1 = 1 = 32 + 42 = 5， 1 1 = 3 2，
2
则cos∠ = 52+52 (3 2) 161 1 = ．2×5×5 25
16
所以异面直线 1 与 1所成角的余弦值为25．
3．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥ 平面 ，
= 2 ．
(1) 判断在梭 上是否存在一点 使 ⊥ 平面 ，若存在，求 ；若不存在，说明理由；
(2)当点 , 分别是 , 的中点时，求异面直线 和 的夹角的余弦值．
【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形相似即可得出结论；
（2）易知 // ，结合余弦定理即可求得异面直线 和 的夹角的余弦值．
【解答过程】（1）作 ⊥ 于点 ，如下图所示：
因为底面 为正方形，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
且 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以此时满足 ⊥ 平面 ；
又因为 ⊥ ，因此 △ △ △ ，
因为 = 2 ，所以 = = = 2，所以 = 4；
可得 =
1
5
（2）由（1）可知 , , 两两垂直，
因为点 , 分别是 , 的中点，所以 // ，
因此异面直线 和 的夹角即为 和 的夹角，即∠ （或其补角）；
不妨取 = = 1，则 = 2，
所以 = 5, = 6，
在 △ 中，由余弦定理可得
2 + 2 2 6 + 5 1 30
cos∠ = 2 = =2 6 × 5 6
30
因此异面直线 和 的夹角的余弦值为 .
6
4．（23-24 高一下·四川凉山·期末）如图 1，正六边形 边长为 2， 为边 的中点，将四边形
沿 折成如图 2 所示的五面体，使 △ 为正三角形.
(1)求证： //面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
【解题思路】（1）由题意可得 // ，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）取 中点 ，连接 , , ，利用平行四边形的性质和中位线定理可得∠ 或其补角为直线 与
所成的角，求出 △ 的各边长结合余弦定理即可求解.
【解答过程】（1）证明：在正六边形 中， // ，
所以在五面体中， // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 .
（2）取 中点 ，连接 , , ，
由题意得 // // ，且 = ，
∴ 四边形 为平行四边形，
∴ // ，
又 , 分别为 , 的中点，
∴ // ，
∴ // ，
∴ ∠ 或其补角为直线 与 所成的角，
在 △ 中，∠ = ∠ = 60 ， = = = 2， = = 1，
∴ = 4，
∴ = 2 + 2 2 cos∠ = 16 + 1 2 × 4 × 1 × 1 = 13，
2
同理 = 2 + 2 2 cos∠ = 16 + 1 2 × 4 × 1 × 1 = 13，
2
1
又 = 2 = 1，
2 2 2 13+1 13
在 △ cos∠ = + 13中， 2 = =2× 13×1 ，26
所以异面直线 与 13所成角的余弦值为 .
26
5．（23-24 高一下·贵州贵阳·期末）如图，在四面体 中， ⊥ 平面 ，M 是 的中点，P 是 的
中点，点 Q 在线段 上，且 = 3 ．
(1)求证： //平面 ．
(2)若三角形 为边长为 2 的正三角形， = ，求异面直线 和 所成角的余弦值 ．
【解题思路】（1）取 中点 O， 靠近 C 的四等分点 H，利用平行线分线段成比例判定线线平行即可证
明线面平行；
（2）取 的中点 E，将异面直线化为共面直线，解三角形即可.
【解答过程】（1）如图所示，取 中点 O，且 P 是 中点，
∴ // ,2 = ，
取 的四等分点 H，使 = 3 ，且 = 3 ，
∴ // ,4 = ，
∴2 = = 2 , // ，
∴ 四边形 为平行四边形，
∴ // ， 在平面 外，且 平面 ，
∴ //平面 ．
（2）取 的中点 E，连接 ，易知 // ，
则∠ 或其补角为异面直线 和 所成的角，
因为 ⊥ 平面 ， , 平面 ，
所以 ⊥ , ⊥ ，即 = 5, = 2, = 3，
显然 2 + 2 = 2，所以 △ 为直角三角形，
10
通过解三角形可得cos∠ = = ，5
10即异面直线 和 所成角的余弦值为 ．
5
题型二 直线与平面所成的角
用向量证明线段垂直
6．（24-25 高一下·全用向国量证·课明线堂段垂例直题）如图，在正方体 1 1 1 1中．
(1)求直线 1 和平面 1 1 所成的角；
(2)求直线 1 和平面 1 1所成的角．
【解题思路】（1）根据正方体性质，知道 ⊥ 平面 1 1 ，则∠ 1 就是 1 与平面 1 1 所成的角，
计算即可．
（2）连接 1，与 1 相交于点 ，连接 1 .证明 1 为斜线 1 在平面 1 1上的投影，则∠ 1 为 1
和平面 1 1所成的角．再结合锐角三角函数解题即可.
【解答过程】（1）根据正方体性质， ∵ ⊥ 平面 1 1 ， ∴ ∠ 1 就是 1 与平面 1 1 所成的角，
在Rt △ 1 中，∠ 1 = 90°， = 1，
∴ ∠ 1 = 45°， ∴ 1 和平面 1 1 所成的角是45°．
（2）连接 1，与 1 相交于点 ，连接 1 ，如图所示．设正方体的棱长为 ．
∵ 1 1 ⊥ 平面 1 1， 1 平面 1 1， ∴ 1 1 ⊥ 1，
又 1 ⊥ 1 ， 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1， 1 平面 1 1， ∴ 1 ⊥ 平面 1 1，
∴ 1 为斜线 1 在平面 1 1上的投影，∠ 1 为 1 和平面 1 1所成的角．
在Rt △ 1 中， 1 = 2 ， = 2 ，2
∴ = 12 1 ． ∴ ∠ 1 = 30°．
∴ 直线 1 和平面 1 1所成的角为30°．
7．（24-25 高一下·全国·期末）在正三棱柱 1 1 1中， 为棱 的中点，如图所示．
(1)求证： 1 //平面 1；
(2)若二面角 1的大小为60°，求直线 和平面 1所成角的正弦值．
【解题思路】（1）连接 1 ，设 1 ∩ 1 = ，连接 ，结合三角形中位线证得线线平行，利用线面平行
判定定理得证；
（2）由正三棱柱 1 1 1，得 1 ⊥ 平面 ，从而得到 ⊥ 1， ⊥ ，证得 ⊥ 平面 1
1，二面角定义得到二面角 1的平面角是∠ 1 = 60°，作 ⊥ 1 ，连接 ，因为平面 1 ⊥ 平
面 1 1，得到 ⊥ 平面 1，找到直线 和平面 1所成的角为∠ ，计算得到结果；
【解答过程】（1）
证明：连接 1 ，设 1 ∩ 1 = ，连接 ，
在 △ 1 中， 1 = ， = ，∴ ∥ 1 ，
又 1 平面 1， 平面 1，
∴ 1 //平面 1．
（2）由正三棱柱 1 1 1，可得 1 ⊥ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ 1，∵ 为 的中点，∴ ⊥ ，
又 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，
故 ⊥ 平面 1 1，
而 1 ， 平面 1 1，故 ⊥ 1 ， ⊥ ，
∴二面角 1的平面角是∠ 1 = 60°，
在平面 1 1内作 ⊥ 1 ，连接 ，
∵ 平面 1，∴平面 1 ⊥ 平面 1 1，
又平面 1 ∩ 平面 1 1 = 1 ， 平面 1 1，
故 ⊥ 平面 1，
∴直线 和平面 1所成的角为∠ ，
又 平面 1，∴ ⊥ ，
∴sin∠ = =
sin60° = 3 ，4
∴直线 3和平面 1所成角的正弦值为 ．4
8．（23-24 高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ⊥ 底面
， ⊥ ， , 分别为线段 , 的中点.
(1)证明： = ；
(2)证明： //平面 ；
(3)若 = 1，∠ = 60°，记 与平面 所成角为 ，求sin 的最大值.
【解题思路】（1）连接 ，设 ∩ = ，连接 ，通过证明 ⊥ 以及 = 得到 △ 为等腰
三角形，进而可得结论；
（2）取 的中点 ,通过证明 //平面 以及 //平面 可得面面平行，即可求证；
（3）利用体积法求点 到平面 的距离 ，设 与平面 所成的角为 ，表示出sin ，求其最值。
【解答过程】（1）连接 ，设 ∩ = ，连接 .
因为， ⊥ 平面 ， 平面 ，故 ⊥ ，
而 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
故 ⊥ 平面 ，而 平面 ，故 ⊥ ，
由四边形 为平行四边形可得 = ，
故 △ 为等腰三角形，即 = ；
（2）取 的中点 ，连结 , ，
由中位线性质可得 // ，且 // ，所以 // ，
因为 平面 , 平面 ，所以 //平面 ，
同理可证 //平面 ，
因为 ∩ = , 平面 , 平面 ，
所以平面 //平面 ；.
又 平面 ,
所以 //平面 ,
（3）设 = ， > 0，
由（1）可得 ⊥ 平面 ，而 平面 ，故 ⊥ ，
故四边形 为菱形，而∠ = 60°，故 = = .
因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，故 ⊥ ，
故 = 2 + 1，同理 = = 2 + 1.
而 = 1 1，故 △ = × × 22 + 1
1 2 = 3 4 + 2
4 2
.
4
设 为点 到平面 的距离， 与平面 所成的角为 ，
故sin = = . 2+1
又 1 = 3 × ×
1
△ = 3 × △ =
1 × 3 × 2 33 =
2，
4 12
= 1 × × = 1 × × 1 3而 3 △ 43 2 + 2，4
1
故3 × ×
1 3
2 4 + 2 =
3 2，故 = 3 ，
4 12 3 2+4
3 3
故sin =
3 3
3 2+4 = 3 2+ 4 +7 ≤ = = 2 3 3，
2 2 2 12+7 2+ 3 +1
1
4 4 4
当且仅当 4 = 3即 = 3 时等号成立，
所以sin max = 2 3 3.
9．（23-24 高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知 1 ⊥ 平面 ABC， 1∥ 1， = = 2， = 2 2，
= 11 2 1 = 2，E 为 BC 的中点.
(1)求证：平面 1 ⊥ 平面 1；
(2)求直线 1 1与平面 1所成角的大小.
【解题思路】（1）根据线面垂直的判定定理，证明 ⊥ 平面 1，即可得证平面 1 ⊥ 平面 1；
（2）取 1中点 ，连接 , 1 ，先证明四边形 1 矩形，再由（1）可得 1 ⊥ 平面 1，从而得∠ 1 1
1为直线 1 1与平面 1所成角，在Rt △ 1 1 中，利用tan∠ 1 1 = 求解即可.1
【解答过程】（1）证明：因为 1 ⊥ 平面 ABC， 1∥ 1，
所以 1 ⊥ 平面 ABC，又因为 平面 ABC，所以 1 ⊥ ，
又因为 = = 2，E 为 BC 的中点，所以 ⊥ ，
又因为 , 1 平面 1，且 ∩ 1 = ，
所以 ⊥ 平面 1，又因为 平面 1，
所以平面 1 ⊥ 平面 1；
（2）解：取 1中点 ，连接 , 1 ，如图所示：
则有 ∥ 1，且 =
1
2 1，
由题意可知 1∥
1
1，且 1 = 2 1，
所以 1∥ ，且 1= ，
所以四边形 1 为平行四边形，所以 1 ∥ ，
由（1）可知 ⊥ 平面 1，
所以 1 ⊥ 平面 1， 1 面 1，则 1 ⊥ 1 ，
所以∠ 1 1 即为直线 1 1与平面 1所成角，
又因为 = = 2， = 2 2，
易知 △ 为等腰直角三角形，
所以 = 12 = 2，
所以 1 = = 2，
又因为 1 = 2 1 = 4，
在Rt △ 1 中， 1 = 2 + 21 = 16 + 8 = 2 6,
所以 11 = 2 1 = 6,
Rt △ tan∠ = 1
= 2 = 3在 1 1 中， 1 1 1 ，6 3
π π
又因为∠ 1 1 ∈ (0,2)，所以∠ 1 1 = 6.
π
即直线 1 1与平面 1所成角为6.
10．（23-24 高一下·黑龙江大庆·期末）如图，已知 1 ⊥ 平面 , 1// 1, = = 3, = 2 5， 1 =
7， 1 = 2 7，点 为 的中点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)求直线 1 1与平面 1所成角的大小．
【解题思路】（1）由线面平行证明平面 //平面 1 1 ，再由面面平行的性质证明线面平行即可；
（2）先证明出 ⊥ 平面 1，结合（1）得结论得出直线 1 1与平面 1所成角和直线 与平面 1
所成角相等，即可求解．
【解答过程】（1）取 1中点 ，连接 ， ， 1 =
1
2 1 = 7 = 1，如图所示，
又因为 1// 1，所以 1 // 1，
所以四边形 1 1 为平行四边形，所以 1 1// ，
又 1 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，所以 //平面 1 1 ，
因为点 , 为 , 1的中点，所以 // 1 ，
又 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，所以 //平面 1 1 ，
又 ∩ = ， , 平面 ，
所以平面 //平面 1 1 ，
又 平面 ，所以 //平面 1 1 ．
（2）因为 1 ⊥ 平面 ， 1// 1，
所以 1 ⊥ 平面 ，
因为 1 平面 1，
所以平面 1 ⊥ 平面 ，
因为 = ，点 为 的中点，
所以 ⊥ ，
因为平面 1 ∩ 平面 = , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 1，
由（1）得四边形 1 1 为平行四边形，所以 // 1 1，
所以直线 1 1与平面 1所成角和直线 与平面 1所成角相等，
因为 ⊥ 平面 1，
所以∠ 即为直线 与平面 1所成角，
因为点 为 的中点， = 2 5，
所以 = 5, = 32 5 = 2, = 5 + ( 7)2 = 2 3，
2
所以tan∠ = = 3，由∠ ∈ π2 3 0, ，3 2
π
所以∠ = 6，
π
所以直线 1 1与平面 1所成角为6．
题型三 二面角
11．（23-24 高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，
∠ = ∠ = 90°， ⊥ 平面 . = = = 4, = 3， 为侧棱 的中点.
(1)证明：平面 ⊥ 平面 ；
(2)求二面角 的正切值.
【解题思路】（1）通过线面垂直证明面面垂直可得结论.
（2）通过构造辅助线找到二面角的平面角，在直角三角形中利用锐角三角函数可得结果.
【解答过程】（1）∵ ⊥ 平面 ， 平面 ，∴ ⊥ .
∵ ⊥ , ∩ = , 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥ 平面 .
（2）
取 中点 ，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，连接 .
∵点 , 分别为 , 的中点，∴ // ， = 12 = 2，
∴ ⊥ 平面 ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ⊥ , ⊥ ，
∵ ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∴∠ 为二面角 的平面角，
在直角梯形 中， = (4 3)2 + 42 = 17.
∵ = 1 = 1 = 1 1
6
△ 2 2 △ 2 2 = 3，∴ = 17，
∴tan∠ = 17 17 = ，即二面角 的正切值为 .3 3
12．（23-24 高一下·青海·期末）如图，在四棱锥 中，底面四边形 是直角梯形，
= 2 = 2 = 4, ⊥ , ⊥ , 是 的中点， ⊥ ．
(1)证明： ⊥ 平面 ．
(2)若 = = 2 2，求二面角 的正弦值．
【解题思路】（1）连接 ，通过四边形 是正方形，得到 ⊥ ，进而可求证；
（2）作 ⊥ ，垂足为 ，连接 , .先证明 ⊥ 平面 ，得到∠ 是二面角 的平面角，
在判断四棱锥 为正四棱锥，求得 = = 14，再由余弦定理即可求解.
2
【解答过程】（1）证明：连接 ．
因为 是 的中点，所以 = 2 ．
分因为 = 2 = 2 = 4，且 ⊥ , ⊥ ，所以四边形 是正方形，
则 ⊥ ．
因为 ⊥ , , 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥ 平面 ．
（2）解：
作 ⊥ ，垂足为 ，连接 , .
由（1）可知 ⊥ 平面 ．又 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 , 平面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥ 平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ，则∠ 是二面角 的平面角．
记 ∩ = ，连接 ，则 是 的中点．
因为 = ，且 是 的中点，所以 ⊥ ．
因为 ⊥ 平面 ，且 平面 ，所以 ⊥ ．
连接 ．因为 , 平面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥ 平面 ，
则四棱锥 为正四棱锥，故 = = = 2 2．
△ = 1
2
因为 的面积 2 2
= 12 ，2
1
即2 × 2 ×
1
8 1 = 2 × 2 2 × ，
所以 = 14．
2
同理可得 = = 14．
2
2+ 2 2
在 △ 1中，由余弦定理可得cos∠ = 2 = 7，
则sin∠ = 1 cos2∠ = 4 3，即二面角 4 3的正弦值为 .7 7
13．（24-25 高三上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥 中， ⊥ 底面 ， = = 2，
= 1， = 3.
(1)若 ⊥ ，证明： ∥平面 ；
(2)若 ⊥ ，且二面角 7的余弦值为 ，求 .
7
【解题思路】（1）根据线面垂直关系可得 ⊥ ，由勾股定理可得 ⊥ ，则 ∥ ，结合线面平行
的判定定理分析证明；
（2）做辅助线，根据三垂线法分析可知可知二面角 的平面角为∠ ，设∠ = 2，根据题意结
合三角知识运算求解即可.
【解答过程】（1）因为 ⊥ 底面 ，且 底面 ，则 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
可得 ⊥ 平面 ，由 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 = 2， = 1， = 3，即 2 + 2 = 2，
可得 ⊥ ，则 ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 .
（2）若 ⊥ ，设∠ = 2 ∈ 0,
π
，则 = 2cos ，
2 2
过 作 ⊥ ，垂足为 ，过 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ，
可得 = sin2 = 2sin
2cos
2 = sin ， = cos
= 2cos2 2 2 = 1 + cos ，
因为 ⊥ 底面 ，且 底面 ，则 ⊥ ，
π
且 = ，则∠ = 4，可得 =
2 = 2
2 2 (1 cos )，
因为 ⊥ 底面 ，且 底面 ，则 ⊥ ，
且 ∩ = ， , 平面 ，可得 ⊥ 平面 ，
由 平面 ，可得 ⊥ ，
且 ∩ = ， , 平面 ，可得 ⊥ 平面 ，
由 平面 ，可得 ⊥ ，
可知二面角 π的平面角为∠ ∈ 0, ，则cos∠ = 7，
2 7
可得sin∠ = sin∠ 1 cos2∠ = 42，tan∠ =7 cos∠ = 6，
sin
则tan∠ = = 2 (1 cos ) = 6，即sin = 3(1 cos )，2
可得sin2 + cos2 = 3(1 cos )2 + cos2 = 1，
1
整理可得2cos2 3cos + 1 = 0，解得cos = 2或cos = 1（舍去），
π π
且 ∈ (0,π)，则 =
3,2 = 6，所以 = 2cos2 = 3.
14．（23-24 高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱 1 1 1所有棱长都为 2，∠ 1 = 60°，O 为 BC
中点，D 为 1 与 1交点．
(1)求证： //平面 1；
(2) 2 13若直线 1与平面 1所成角的正弦值为 ，求二面角 1的大小．13
【解题思路】（1）取 1中点 ，连接 , , ，证明四边形 为平行四边形，得出 // ，从而证
明 //平面 1.
（2）利用线面垂直的判定证得 ⊥ 平面 1，进而得∠ 1 为直线 1与平面 1所成角并求出 1，
利用勾股定理求出 1，再由余弦定理求出∠ 1，利用二面角的定义即可得答案.
【解答过程】（1）在三棱柱 1 1 1中，取 1中点 ，连接 , , ，
由 , 分别为 1和
1
1的中点，得 // 1 1且 = 2 1 1，
由 O 为 BC 1中点，得 // 1 1且 = 2 1 1，则 // 且 = ，
即四边形 为平行四边形，于是 // ，又 平面 1， 平面 1，
所以 //平面 1.
（2）由三棱柱 1 1 1所有棱长都为 2，∠ 1 = 60°，得 △ , △ 1 都是正三角形，
而 O 为 BC 中点，则 ⊥ ， ⊥ 1， , 1 平面 1， 1 ∩ = ，
于是 ⊥ 平面 1，又 // ，则 ⊥ 平面 1，
∠ 1 为直线 1与平面 1所成角，
1
因此sin∠ 2 13 131 = = = ， 1 = ，而 平面 ，则 ⊥ 1 1 13 2 1 1 1，
2
又 为 1中点，则 1 = 2 1 = 2 21 2 = 2 (
13 ) 1 = 3，
2
在 △ 1中， = 1 = 3，cos∠ 1 =
3+3 9 1
2×3 = 2，则∠ 1 = 120°，
由 ⊥ ， ⊥ 1，得∠ 1是二面角 1的平面角，
所以二面角 1的大小120°.
15．（23-24 高一下·吉林长春·期末）在四棱台 1 1 1 1中， // ，平面 1 1 ⊥ 平面 ，
= 2， = 2， = = 1 = 1 1 = 1，∠ 1 = 120 .
(1)求证： 1 //平面 1 1；
(2)若 是 1的中点，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【解题思路】（1）连接 1，得四边形 1 1 是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）延长 ，做 1 ⊥ 交 于点 ，由面面垂足的性质定理得 1 ⊥ 平面 ，做 1 ⊥ 平面 ，
设 ∩ = ，四边形 是正方形，取 1中点 ， ⊥ 平面 ，做 ⊥ ，可得∠ 即为平
面 与平面 的二面角的平面角，利用 △ = 四边形 △ △ 求出 ，求出cos∠ 可
得答案.
【解答过程】（1）
连接 1，因为 // ， 1 1// ，所以 // 1 1，
又 = 1 1 = 1，所以四边形 1 1 是平行四边形，
所以 1 // 1， 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 1 //平面 1 1；
（2）延长 ，做 1 ⊥ ，交 于点 ，
因为平面 1 1 ⊥ 平面 ，平面 1 1 ∩ 平面 = ，
所以 1 ⊥ 平面 ，做 1 ⊥ 平面 ，
垂足为点 ，连接 , , , ，设 ∩ = ，
则 1 // 1 , 1 = 1 ，得 1 1为矩形， = = = 1，
因为 = ， // ，所以四边形 为平行四边形，
可得 = = 2，
可得 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，四边形 是正方形，
因为∠ 1 = 120 ，所以∠ 1 = 60 ， 1 = 1，
可得 = 1 32, 1 = 1 = ，2
取 中点 ，连接 , , , , ，则 // 1 ，
则 ⊥ 平面 ， = 1 32 1 = ，4
做 ⊥ ，连接 , , ，
因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
平面 ，所以 ⊥ ，
可得∠ 即为平面 与平面 的二面角的平面角，
△ =
1
2
1 1 1 1
△ = 2 × 2 × = 2 × 2 × 2 ×
1 = 12 4，
1 1 1 3 3△ = 2 △ = 4 × = 4 × 2 = 8，
1 1 3 3四边形 = 2 × = 2 × 2 × 2 = 2，
所以 △ = 四边形
3 1 3 7
△ △ = 2 4 8 = 8，
可得 1 7 7 2△ = 2 × × = 8， = ，8
所以 = 2 + 2 = 55，
32
可得cos∠ = =
7 2 × 32 = 7 55，
8 55 55
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为7 55.
55
题型四 求点面距离
16．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知在长方体 1 1 1 1中，棱 1 = 12， = 5．求：
(1)点 1到平面 1 1的距离；
(2) 1 1到平面 1 1的距离．
【解题思路】（1）先应用线面垂直判定定理得出 1 ⊥ 平面 1 1，再应用三角形计算求解点到平面距离
即可；
（2）先应用线面平行判定定理得出 1 1//平面 1 1，结合（1）得出点到平面距离即可.
【解答过程】（1）如图，过点 1作 1 ⊥ 1 于点 ．
由题意知 ⊥ 平面 1 1，且 1 平面 1 1， ∴ ⊥ 1 ．
∵ ∩ 1 = , , 1 平面 1 1， ∴ 1 ⊥ 平面 1 1， ∴ 线段 1 的长即为所求．
5×12
在Rt △ 1 1 中， 1 =
1 1 1 = = 60 ，1 52+122 13
∴ 60点 1到平面 1 1的距离为13．
（2） ∵ 1 1// ，且 1 1 平面 1 1， 平面 1 1，
∴ 1 1//平面 1 1． ∴ 点 1到平面 1 1的距离即为所求，
∴ 60直线 1 1到平面 1 1的距离为13．
17．（24-25 高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形 中， = 2 = 4，∠ = 60°， 为
的中点，将 △ 沿直线 折起到 △ 的位置，使平面 ⊥ 平面 ．
(1)证明：平面 ⊥ 平面 ；
(2)设 为线段 的中点，求点 到平面 的距离．
【解题思路】（1）由面面垂直的性质定理得到 ⊥ 平面 ，再由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）则 // ，则 // ，故 ⊥ 平面 ，点 到平面 的距离为 FG，由余弦定理计算即可.
【解答过程】（1）证明：因为 = 2 ，E 为 AB 的中点，则 = ．
又∠ = 60°，则 △ 为正三角形，所以∠ = 60°．
因为 = ，∠ = 120°，则∠ = 30°．
从而∠ = 180° ∠ ∠ = 90°，即 ⊥ ．
因为平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，所以 ⊥ 平面 ．
由 平面 ，得平面 ⊥ 平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ．
1
因为 为 PC 的中点，则 // ，且 = 2 ，
所以 ⊥ 平面 ，所以点 到平面 的距离为 FG．
在 △ 中， = = 2，∠ = 120°，
则 2 = 4 + 4 2 × 2 × 2cos120° = 12，即 = 2 3，所以 = 3，
即点 到平面 的距离为 3．
18．（23-24 高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1, 1 1均为正方形，
= = 1，∠ = 90°，点 D 是棱的 1 1中点，点 O 为 1 与 1交点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求点 1到平面 1 的距离．
【解题思路】（1）根据已知可得 // 1，再由线面平行的判定证结论；
（2）根据已知 △ 1 1 1是等腰直角三角形，应用线面垂直的判定和性质证 1 ⊥ ，并求出相关线段长，
应用等体积法有 1 1 = 1 1，求点面距离.
【解答过程】（1）由 O 是 1, 1的交点，又 1 1为正方形，则 O 为 1的中点，又 D 是 1 1中点，
在 △ 1 1中 // 1，又 面 1 , 1 面 1 ，故 1//平面 1 .
（2）三棱柱 1 1 1中， = = 1,∠ = 90°，且 △ △ 1 1 1，
易知 △ 1 1 1是等腰直角三角形，点 D 是棱的 1 1中点，
1
所以 1 1 = 2 1 21 = 2, 1 = 2 1 1 = ，2
2 6
四边形 1 1为正方形， 1 = 1，则 = 21 +
2
1 2 = 12 + = ，2 2
又 21 = ，而 1 ⊥ 1 1， 1 ⊥ 1 1且 1// 1，则 2 1 ⊥ 1 1，
由 1 1 ∩ 1 1 = 1在面 1 1 1内，则 1 ⊥ 面 1 1 1， 1 面 1 1 1，
所以 1 ⊥ 1，而 1 ⊥ 1， 1 ∩ 1 = 1在面 1 1内，
则 1 ⊥ 面 1 1，
1 3
面 1 1，故 1 ⊥ ，所以 △ 1 = 2 1 = ，4
1
由 △ 1 1 = 2 1 1 =
1
4，则
1 1
1 1 = 3 1 △ 1 1 = 12，又 1 1 = 1 1，
若 11到平面 1 的距离为 d，则3
1
△ 1 = 12，可得 =
3.
3
19．（23-24 高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥 中， = = = 2， = 3，
= = 7．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求点 到平面 的距离．
【解题思路】（1）由条件可得 ⊥ 平面 ，利用锥体的体积可求体积；
（2）利用等体积法可求点点 到平面 的距离.
【解答过程】（1）因为 = = = 2， = = 7，
2 2
所以 2 = 7 = 22 + ( 3) = 2 + 2， 2 = 7 = 22 + ( 3) = 2 + 2，
所以 ⊥ , ⊥ ，又 ∩ = ， , 平面 ，
1
所以 ⊥ 平面 ，又 △ = 2 × 2 × 2 × sin60° = 3，
1 1
所以三棱锥 的体积 = 3 △ · = 3 × 3 × 3 = 1；
（2）在 △ 中，由 = = 7， = 2，
= ( 7)2 1
2
所以 边上的高为 ( × 2) = 6，
2
1
所以 △ = 2 × 2 × 6 = 6，
设点 到平面 的距离为 ，
1 3
所以 = 3 △ · =
6 1 6，由（ ）可得 = 1，解得 = = 6
3 3 6
.
2
6
所以点 到平面 的距离 .
2
20．（23-24 高一下·内蒙古·阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形．∠ = 60°， ,
分别为 , 的中点，且 ⊥ ．
(1)证明： ⊥ ．
(2)若 = = = 2，求点 到平面 的距离．
【解题思路】（1）连接 , , ，根据线面垂直的判定定理可得 ⊥ 平面 ，从而得证；
（2）先求得 ，进而求得 △ ，利用等体积法可求得点 到平面 的距离.
【解答过程】（1）连接 , , ．
因为底面 是菱形， , 分别为 , 的中点，
所以 ⊥ ， ∥ ，所以 ⊥ ．
又 ⊥ ， ∩ = ，所以 ⊥ 平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
（2）因为 = ， 是 的中点，所以 ⊥ ．
又 ⊥ ， ∩ = ，所以 ⊥ 平面 ．
由题意得 △ 是边长为 2 的等边三角形，且 为 的中点，
= 1 × 3 × 22 = 3所以 △ 2 ，4 2
又 = 3，所以
1
= 3 ×
3 × 3 =
1
2 2
．
在 △ 中，可得 = ( 3)2 + 12 = 2， = 2, = 1，
1 1 2
所以 15△ = 22 × 1 × 2 = ．2 4
设点 到平面 1的距离为 ，则 15 15 = 3 × = ．4 12
因为 = ，所以 15 1 = 2，解得 =
2 15．
12 5
所以点 到平面 的距离为2 15.
5
题型五 求线面距离
21．（23-24 高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形 中，∠ = 90°，沿其对角线 将 △
折起至 △ ′ ，使 △ ′ 所在平面与平面 垂直.
(1)证明：平面 ′ ⊥ 平面 ′ ；
(2)若 为 ′上一点， ′∥平面 ， = = 1，求直线 ′到平面 的距离.
【解题思路】（1）证法一：由已知得 ⊥ ，再结面面垂直的性质可得 ⊥ 平面 ′ ，而 ∥ ，则 ⊥
平面 ′ ，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论；证法二：由已知面面垂直可证得 ′ ⊥ 平面 ，
则 ′ ⊥ ，由题意可得 ⊥ ，再利用线面垂直的判定定理得 ⊥ 平面 ′ ，然后利用面面垂直的判
定定理可证得结论；
（2）连接 交 于点 ，连接 ，由线面平行的性质可得 ′∥ ， ′∥平面 ，则将 ′到平面 的
距离转化为点 ′到平面 的距离，可证得 △ ′ 为等边三角形，则 ⊥ ′，由线面垂直的判定可得 ′ ⊥
平面 ，从而可求得结果.
【解答过程】（1）证法一：因为∠ = 90°，所以 ⊥ ，
因为平面 ′ ⊥ 平面 ，平面 ′ ∩ 平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ′ ，
因为平行四边形 ，所以 ∥ ，
所以 ⊥ 平面 ′ ， 因为 平面 ′ ，所以平面 ′ ⊥ 平面 ′ .
证法二：因为∠ = 90°，所以∠ ′ = 90°，即 ′ ⊥ ，
因为平面 ′ ⊥ 平面 ，平面 ′ ∩ 平面 = ， ′ 平面 ′ ，
所以 ′ ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 ′ ⊥ ，
因为平行四边形 ，所以 ∥ ，
所以∠ = ∠ = 90°，即 ⊥ ，
因为 ′ ∩ = ， ′ , 平面 ′ ，所以 ⊥ 平面 ′ ，
因为 平面 ′ ，所以平面 ′ ⊥ 平面 ′ .
（2）因为 ′∥平面 ，所以 ′到平面 的距离等于点 ′到平面 的距离.
连接 交 于点 ，连接 ，
因为 ′∥平面 ， ′ 平面 ′ ，平面 ′ ∩ 平面 = ，
所以 ′∥ ，
因为 为 中点，所以 为 ′的中点，
因为 = = 1，∠ = 90°，所以 = ′ = 2，
在Rt △ ′ 中， ′ = 1， = 1，所以 ⊥ ′，且 ′ = 2，
所以 △ ′ 为等边三角形，所以 ⊥ ′，
因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ′ ⊥ 平面 ，
所以 ′ 的长即为点 ′到平面 的距离，因为 ′ = 2，
2
所以 ′到平面 的距离为 2.
2
22．（23-24 高一下·江苏常州·期末）如图，在正三棱柱 1 1 1中，点 D 是 BC 的中点， = 1
= 4．
(1)求证： 1 //平面 1；
(2)求证：平面 1 ⊥ 平面 1 1；
(3)求直线 1 到平面 1的距离．
【解题思路】（1）连接 1 ，交 1 于点 O，连接 ，易得 // 1 ，再由线面平行的判定定理，即可得
证；
（2）先证明 ⊥ ， 1 ⊥ ，从而知 ⊥ 平面 1 1，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（3）先将问题转化为求点 B 到平面 1的距离，再利用等体积法求解即可．
【解答过程】（1）连接 1 ，交 1 点 O，连接 ，则 O 是 1 的中点，
因为 D 是 的中点，所以 // 1 ，
又 平面 1， 1 平面 1，所以 1 //平面 1.
（2）因为 △ 为等边三角形，且 D 是 的中点，
所以 ⊥ ，由正三棱柱的性质知， 1 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
又 ∩ 1 = , 、 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 平面 1 1，因为 平面 1，
所以平面 1 ⊥ 平面 1 1.
（3）由（1）知 1 //平面 1，
以直线 1 到平面 1的距离等价于点 B 到平面 1的距离，
由（2）知 ⊥ 平面 1 1，所以点 A 到平面 1的距离为 ，
1 1而 △ 1 = 2 1 = 2 22 × 2 3 × 4 + 2 = 2 15，
△ 1 =
1
2 1 =
1
2 × 2 × 4 = 4，
设点 B 到平面 ADC1的距离为 d，
因为 1 = 1，
1
所以3
1 1
△ 1 = 3 △ 1，即3 2
1
15 = 2 3 4，解得 d = 4 53 ，5
所以直线 A1B 到平面 ADC1的距离为4 5．5
23．（23-24 高二上·上海杨浦·期中）如图, 为菱形 外一点, ⊥ 平面 ,∠ = 60 , 为棱 的中
点.
(1)求证: ⊥ 平面 ;
(2)若 = = 2,求 到平面 的距离.
【解题思路】
（1）连接 ，根据已知得 ⊥ 和 ⊥ ，再根据线面垂直的判定定理即可证明；
（2）先把 到平面 的距离转化为点 到平面 的距离,再利用等体积法求解即可.
【解答过程】（1）连接 ,如图:
因为∠ = 60 ,四边形 为菱形,
所以 = ,
又 为棱 的中点,
所以 ⊥ ,
因为 // ,
所以 ⊥ ,
因为 ⊥ 平面 , 平面 ,
所以 ⊥ ,
又 ∩ = , 平面 , 平面 ,
所以 ⊥ 平面 .
（2）因为 // , 平面 , 平面 ,
所以 //平面 ,
则 到平面 的距离即为点 到平面 的距离,
设点 到平面 的距离为 ,
因为 = , = = 2, ⊥ 平面 ,∠ = 60 ,四边形 为菱形,
1 × 1 × 2 × 2 = 1 1所以3 2 3 × 2 × 2 × 2 ×
3 × 2,
2
解得 = 3,
即 到平面 的距离为 3.
24．（24-25 高二上·重庆巫山·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，∠ = 60 ，平面 ⊥
平面 ， ⊥ ， = = 2，PD 的中点为 F.
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 到面 的距离.
【解题思路】（1）连接 BD 交 AC 于 O，连接 FO，得 // ，根据线面平行的判定可得 //平面 ；
（2）根据线面平行，将线到面的距离化为点到面的距离，再根据等体积法可求出结果.
【解答过程】（1）连接 BD 交 AC 于 O，连接 FO，
∵F 为 AD 的中点，O 为 BD 的中点，则 // ，
∵ 平面 ACF， 平面 ACF，∴ //平面 ACF.
（2）因为平面 ⊥ 平面 ABCD，平面 ∩ 平面 = ， ⊥ ， 平面 ，所以 ⊥ 平
面 ABCD.
由于 //平面 ACF，则 PB 到平面 ACF 的距离，即 P 到平面 ACF 的距离.
又因为 F 为 PD 的中点，点 P 到平面 ACF 的距离与点 D 到平面 ACF 的距离相等.
取 AD 的中点 E，连接 EF，CE，
则 // ，因为 ⊥ 平面 ABCD，所以 ⊥ 平面 ABCD，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为菱形 且∠ = 60 ， = = 2，
所以 = 3， = 1，
则 = 1 2 + 2 = 1 + 3 = 2， = 2， = 2 =
1 1
4 + 4 = 2 1 72 ， △ = 2 × 2 × 4 = ，2 2
设点 D 到平面 ACF 的距离为 ，由 = 得
1 1 × 3 × 1 2 21
3 △ × = 3
△
△ × = = =△ 7 7
2
2 21
即直线 PB 到平面 ACF 的距离为 .
7
25．（24-25 高二上·上海闵行·阶段练习）如图，在边长为1的正方体 1 1 1 1中， 为底面正方形
的中心.
(1)求证：直线 1//平面 1 1；
(2)求直线 1与平面 1 1之间的距离.
【解题思路】（1）连接 1 1交 1 1于点 1，可证得四边形 1 1为平行四边形，由此可得 1// 1，
由线面平行的判定可证得结论；
（2）由线面平行关系可知所求距离即为点 1到平面 1 1的距离，利用体积桥 1 1 1 = 1 1 1，结
合棱锥体积公式可求得结果.
【解答过程】（1）连接 1 1交 1 1于点 1，连接 1，
∵ 1// 1， 1 = 1， ∴ 四边形 1 1为平行四边形，
∴ // 1 1， = 1 1，
∵ 四边形 ， 1 1 1 1为平行四边形， ∴ , 1分别为 , 1 1中点，
∴ // 1 1， = 1 1， ∴ 四边形 1 1为平行四边形， ∴ 1// 1，
∵ 1 平面 1 1， 1 平面 1 1， ∴ 1//平面 1 1.
（2）由（1）知： 1//平面 1 1，则直线 1与平面 1 1之间的距离即为点 1到平面 1 1的距离，
∵ 1 = 1 = 1 1 = 2， ∴△ 1 1为边长为 2的等边三角形，
∴ 1△ 1 1 = 2 × 2 × 2 ×
3 = 3；
2 2
1 1 1 1 1 1又 △ 1 1 1 = 2 × 1 × 1 = 2， ∴ 1 1 1 = 3 △ 1 1 1 1 = 3 × 2 × 1 = 6，
设点 1到平面 1 1的距离为 ，
1 3 1 3则 1 1 1 = 1 1 1 = 3 △ 1 1 = =6 6，解得： = ，3
∴ 3直线 1与平面 1 1之间的距离为 .3
题型六 求面面距离
26．（2024·河南·二模）如图所示，正六棱柱 1 1 1 1 1 1的底面边长为 1，高为 3.
(1)证明：平面 1 //平面 1 ；
(2)求平面 1与平面 1 间的距离.
【解题思路】（1）利用面面平行的判定定理证明;
（2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可.
【解答过程】（1）在正六棱柱 1 1 1 1 1 1中，
因为底面为正六边形，所以 // ，
因为 平面 1 ， 平面 1 ，所以 //平面 1 .
因为 // 1 1， = 1 1，所以四边形 1 1为平行四边形，所以 1// 1 ，
因为 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，所以 1//平面 1 ，
又 ∩ 1 = ，所以平面 1//平面 1 .
（2）平面 1与平面 1 间的距离等价于点 到平面 1 的距离，设为 .
连接 ，则四面体 1
1
的体积 = 3 △
1
1 = 3 △ 1 .
= 1 = 1 × 1因为 3 △ 1 3 2 × 1 × 1 × sin
2π
3 × 3 =
1
4，
21 = 2 + 1 = 2， 1 = 2 + 21 = 6，
2
所以cos∠ = 12+22 ( 6) = 1，从而sin∠ = 151 2×1×2 4 1 ，4
1
所以 15 15△ 1 = 2 × 1 × 2 × = ，4 4
3
所以 = 15 = ，即平面 与平面
15
△ 5 1 1
间的距离为 .
1 5
27．（2025 高二上·全国·专题练习）直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为正方形，边长为2，侧棱
1 = 3， 、 分别为 1 1、 1 1的中点， 、 分别是 1 1, 1 1的中点．
(1)求证：平面 //平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
【解题思路】（1）由面面平行的判定定理即可证明；
（2）平面 与平面 的距离 = 到平面 的距离 ,再由等体积法即可求出答案.
【解答过程】（1）证明：连接 1 1， , ∵ 、 分别为 1 1、 1 1的中点，
、 分别是 1 1, 1 1的中点，
∴ // // 1 1， ∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ， ∵ 平行且等于 ，
∴ 是平行四边形， ∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ， ∴ //平面 ，
∵ ∩ = ， ∴ 平面 //平面 ；
（2）平面 与平面 的距离 = 到平面 的距离 ．
△ 1 1 19中， = = 10， = 2， △ = 2 2 10 = ，2 2
∴ 1 19 1 1由等体积可得3 = 2 3 1，2 3 2
∴ = 6 19．
19
28．（23-24 高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， = 2， 1 = 4，E
是 1上的一点，且 1 = 1，D、F、G 分别是 1、 1 1、 1 1的中点， 与 1 相交于 ．
(1)求证： 1 ⊥ 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
【解题思路】（1）由已知条件得 ⊥ 平面 1 1 ，从而 ⊥ 1 ，又 1 ⊥ ，由此能证明 1 ⊥ 平面
．
（2）由已知条件推导出 //平面 ， //平面 ，由此能证明平面 //平面 ．由已知条件推导
出 为平行平面 与 之间的距离，由此能求出结果．
【解答过程】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面 ⊥ 平面 1 1 ，
又 ⊥ ，平面 ∩ 平面 1 1 = ， 平面 ，
∴ ⊥ 平面 1 1 ，
又 1 平面 1 1 ，
∴ ⊥ 1 ，
∵ = = 1 = 1 1 = 2，
∴ 在Rt △ 和Rt △ 1 1中，∠ = ∠ 1 1 = 45°，
∴ ∠ 1 = 90°，即 1 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面
∴ 1 ⊥ 平面 ．
（2）解：由题意知 1 = 1 = 1，
∴ 在Rt △ 1 中，∠ 1 = 45°，
又∠ 1 = 45°， ∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
∵ 、 分别为 1 1、 1 1的中点，
∴ // 1 1，又 1 1// ，
∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
∵ 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
∴ 平面 //平面 ．
∵ 1 ⊥ 平面 ，平面 //平面 ，
∴ 1 ⊥ 平面 ，
∴ 为平行平面 与 之间的距离，
∴ = 2 3 21 1 = 2 2 = ，2 2
即平面 与 之间的距离为3 2．
2
29．（24-25 高二上·江西宜春·阶段练习）如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E、F 分别是
AA1与 CC1的中点.
(1)证明：平面 EB1D1//平面 FBD；
(2)求平面 EB1D1与平面 FBD 之间的距离.
【解题思路】（1）由正方体的性质可得 1// 、 // 1 1，再由线面平行的判定可证 //面 1 1、 //
面 1 1，最后根据面面平行的判定证结论.
（2）将问题转化为求 1到面 的距离，利用等体积法有 1 = 1求点面距离即可.
【解答过程】（1）若 为 1中点，连接 , ，又 F 是 CC1的中点，
所以 // // ， = = ，故 为平行四边形，
所以 // ，又 E 是 AA1的中点，易知： // 1，
所以 1// ，
正方体中 // 1 1，而 1 ∩ 1 1 = 1， 1, 1 1 面 1 1，
由 面 1 1，则 //面 1 1，同理 //面 1 1，
又 ∩ = ， , 面 ，故平面 EB1D1//平面 FBD；
（2）由（1）知：平面 EB1D1与平面 FBD 之间的距离等于 1到面 的距离 ，
而 = ，而 = = 5 1 1 ， = 2 ，故△ 中 BD
3
的高为 ，
2 2
1 3
所以 △ = 2 × ×2 2 =
6 2，
4
1
而 △ 1 = 2 × × 2 =
2 2， 到面 2
2 1
1的距离 ，2
1 × 6所以3
2 = 13 ×
2 × 2 2 6，可得 = ，
4 2 2 3
故平面 EB1D 61与平面 FBD 之间的距离为 .3
30．（23-24 高一下·福建厦门·期末）如图，棱长为 2 的正方体 ABCD –A1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AA1，
CC1的中点，过 E 作平面 ，使得 //平面 BDF.
(1)作出 截正方体 ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；
(2)求平面 与平面 的距离.
【解题思路】（1）根据平面与平面平行的性质可得 经过 , 1, 1，可得截面；
（2）转化为点线距，利用等体积法可求结果.
【解答过程】（1）连接 1 1, 1, 1，由正方体性质可得 // 1 1， // 1；
又 ∩ = ，所以平面 1 1//平面 ；
因为 //平面 ，且 ∈ ，所以平面 1 1与平面 重合，即平面 1 1就是 截正方体 ABCD - A1B1C1D1
所得的截面.
（2）由（1）可知平面 与平面 的距离等于点 1到平面 的距离；
设点 1到平面 的距离为 ，由题意可得 = 2 2, = = 5，所以 △ 的面积为 6； △ 1 的
面积为2；
1 1 2 6由 1 = 1 可得3 △ = 3 △ 1 × 2，解得 = .3
2 6
所以平面 与平面 的距离为 .
3
题型七 空间角与空间距离中的探索性问题
31．（2024·四川自贡·三模）如图，在四棱锥 中，已知底面 是正方形， 是棱 上一点．
(1)若 ‖平面 ，证明： 是 的中点．
(2)若 = = 2， = = 1，问线段 上是否存在点 ，使点 到平面 2
的距离为 ？若存在，求
3
的值；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）连接 交 于 ，连接 ，则由线面平行的性质可得 ‖ ，再由 为 的中点，可
证得结论；
（2）由已知条件结合线面垂直的判定定理可得 ⊥ 平面 ，则可求出 ，然后利用线面垂直的判
定定理证得 ⊥ 平面 ，则 ⊥ ，设线段 上存在点 满足条件，则设 = ( > 0)，然后由
= 1+ = 1+ 可求得结果.
【解答过程】（1）证明：连接 交 于 ，连接 ，
因为四边形 是正方形，所以 为 的中点，
因为 ‖平面 ， 平面 ，平面 ∩ 平面 = ，
所以 ‖ ，
因为 为 的中点，所以 是 的中点．
（2）因为 = = 2， = = 1，四边形 是正方形，
所以 2 + 2 = 1 + 1 = 2, 2 + 2 = 1 + 1 = 2，
所以 ⊥ , ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，所以 1 1 = 3 × 2 × 1 × 1 =
1
6，
因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
所以 △ =
1 2
2 × 1 × 2 = ，2
2
设线段 上存在点 ，使点 到平面 的距离为 ，
3
设 = ( > 0)，则 = 1+ ( > 0)，
因为 = 1+ = 1+ ，
1
所以 × 23 ×
2 = × 11+ 6，解得 = 2，2 3
所以线段 上存在点 ，且 = 2
2
时，点 到平面 的距离为 .
3
32．（23-24 高一下·浙江杭州·期末）三棱台 1 1 1中， ⊥ ，面 1 1 ⊥ 面 1 1， 1 = 1
1 = 1 = 2, = 4，且 1与底面 所成角的正弦值为 15.5
(1)求证： ⊥ 面 1 1；
(2)求三棱台 1 1 1的体积；
π
(3)问侧棱 1上是否存在点 ，使二面角 成6？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.1
【解题思路】（1）连接 1 ，过 1作 1 // 1交 于 ，由已知可得 1 ⊥ 1，又平面 1 1 ⊥ 平面
1 1，则 1 ⊥ 平面 1 1，可得 1 ⊥ ，又 ⊥ ，则可得 ⊥ 平面 1 1.
（2）由已知可得平面 1 1 ⊥ 平面 ，过 1作 1 ⊥ ，连接 ，可得 1 ⊥ 平面 ，求得 1 =
3，如图，延长侧棱交于点 ，作 ⊥ 于 ，连接 ，可求得 = 2，又因为 1与底面 所成角的
正弦值为 15，可求得 1 = 5，即可求得三棱台的体积.5
（3）如图，作 // 交 于 ，过 作 ⊥ 于 ，则 // ，由（2），可得 ⊥ 平面 ，则∠
即为二面角 的平面角，设 = 2 5 ，则 = 2 2 ， = 2 3 ，由 // ， 可得 = 2
(1 )，
π 1 π
若∠ = 16，可得 = 4，即 为 1中点，即侧棱 1上是存在点 ，使二面角 成6，则 = 2.1
【解答过程】（1）连接 1 ，
在梯形 1 1中，过 1作 1 // 1交 于 ，
由 1 = 1 1 = 1 = 2, = 4，
则 △ 1 为等边三角形,则∠ = 60°，
四边形 1 1为菱形，则∠ 1 = 30°，
所以∠ 1 = 90°，即 1 ⊥ 1，
因为平面 1 1 ⊥ 平面 1 1，平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = 1，
1 平面 1 1，
所以 1 ⊥ 平面 1 1，
又 平面 1 1，所以 1 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ 1 = ， 、 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 平面 1 1.
（2）因为 ⊥ 平面 1 1， 平面 ，
所以平面 1 1 ⊥ 平面 ，
过 1作 1 ⊥ ，连接 ， 1 平面 1 1，
平面 1 1 ∩ 平面 = ，
则 1 ⊥ 平面 ，
故几何体的高为 1 = 3，
如图，延长侧棱交于点 ，作 ⊥ 于 ，连接 ，
由已知 为 中点， = 2，
由（1）得， ⊥ 平面 ，
因为 101与底面 所成角的正弦值为 15，则余弦值为 ，5 5
2 3
= 2 1 = 2 3， = 15 = 2 5， = 2 2，
5
= 2 + 2 = 4，
由（1）得 ⊥ ，则 = 2 2 = 2，
又因为 1与底面 所成角的正弦值为 15，5
3
所以 1 = 15 = 5，
5
1 1 1 1 7 3
故三棱台体积为 = 3 × 3 × 2 × 4 + × 2 × 4 + × 2 × 4 = .2 4 8 3
（3）如图， 作 // 交 于 ，过 作 ⊥ 于 ，则 // ，
由（2）可得， ⊥ 平面 ，
则∠ 即为二面角 的平面角，
又 平面 ，则 ⊥ ，
10 10
设 = 2 5 ，则 = = × 2 = 2 ，5 5 5 2
则 = 2 5 2 (2 2 )2 = 2 3 ，
由 // = ，得 ，又 = = 2 2(1 )，
= 2 2(1 )所以 × 2 = 2(1 )，
2 2
π
若∠ = 6，则tan∠ =
2 3 3
2(1 ) = ，3
1
解得 = 54，所以 = ，即 为 2 1中点，
π
即侧棱 1上是存在点 ，使二面角 成6，
5 1
则 2 = = .1 5 2
33．（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 ⊥ 底面 ，底面
是直角梯形， // ， ⊥ ， = = = = 1， = 2， 是 的中点.
(1)证明： ⊥ 平面 ；
π
(2) 底边 上是否存在异于端点的一点 ，使得直线 与平面 所成的角为6？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据面面垂直的性质可知 ⊥ 平面 ，即可得 ⊥ ，由题意可得 ⊥ ，结合
线面垂直的判定定理分析证明；
π
2 （ ）做辅助线，分析可知∠ = 6，由垂直关系可得 ⊥ ，设 = ，利用等体积法运算求解.
【解答过程】（1）因为平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
由 平面 ，可得 ⊥ ，
又因为 是 的中点， = ，则 ⊥ ，
且 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥ 平面 .
π
（2）假设在 上存在异于端点的点 ，使得直线 与平面 所成的角大小为6.
过点 作 ⊥ 平面 ，垂足为 ，连结 、 、 ，
π
则 ⊥ ，∠ = 6，
设 = ， = 2，则 = = 2 ，
由（1）可知： ⊥ 平面 ， // ，
可知 ⊥ 平面 ，
由 平面 ，可得 ⊥ ，
在Rt △ 中， = 2 + 2 = 12 + (2 )2 = 1 + 4 2，
π
在Rt △ 2中， = sin 1+4 6 = ，2
因为底面 是直角梯形， // ， ⊥ ， = = = = 1，
则 = 2 + 2 = 2， = 2 + 2 = 2，
1 2 = 2 = 7可得 △ 2 ， △ =
1
2 =
1
2 × 2 × 1 = ，2 4
1 1
2
由 = 得，3 △ = 3 △ 2 ，2
1 × 7 × 1+4 2 = 1 1即 353 4 2 3 × × 1 ，解得 = ，4 10
π
故存在点 ，使得直线 与平面 所成的角大小为 356，此时 = .10
34．（23-24 高一下· 7 3浙江宁波·期中）如图，已知三棱台 1 1 1的体积为 ，平面 1 1 ⊥ 平面 12 1
1， △ 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，且 = 2 1 = 2 1 1 = 2 1.
(1)证明： ⊥ 平面 1 1；
(2)求点 到面 1 1的距离；
π
(3)在线段 1上是否存在点 ，使得二面角 的大小为6，若存在，求出 的长，若不存在，请说明
理由.
【解题思路】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得 1 ⊥ 1；由面面垂直和线面垂直的性
质可证得 1 ⊥ ，结合 ⊥ 可证得结论；
（2）延长 1, 1, 1交于一点 ，根据 =
8
7 1 1 1可求得 ，利用体积桥 =
可构造方程求得结果；
（3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设 = 3 ，根据几何关系可表示出 ，由二
面角大小可构造方程求得 ，进而得到结果.
【解答过程】（1）连接 1，
在三棱台 1 1 1中， // 1 1；
∵ = 2 = 2 1 1 1 = 2 1， ∴ 四边形 1 1为等腰梯形且∠ 1 = ∠ 1 = 60 ，
设 = 2 ，则 1 = .
由余弦定理得： 21 = 2 + 21 2 1cos60 = 3 2，
∴ 2 = 21 + 21， ∴ 1 ⊥ 1；
∵ 平面 1 1 ⊥ 平面 1 1，平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = 1， 1 平面 1 1，
∴ 1 ⊥ 平面 1 1，又 平面 1 1， ∴ 1 ⊥ ；
∵△ 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ ⊥ ，
∵ ∩ 1 = ， , 1 平面 1 1， ∴ ⊥ 平面 1 1.
（2）由棱台性质知：延长 1, 1, 1交于一点 ，
∵ 11 1 = 2 ， ∴ △ = 4 △ 1 1 1， ∴ = 8 1 1 1，
∴ = 8 = 8 × 7 3 2 3 7 1 1 1 7 = ；12 3
∵ ⊥ 平面 1 1，即 ⊥ 平面 ，
∴ 即为三棱锥 中，点 到平面 的距离，
由（1）中所设： = = 2 ，∠ = ∠ = 60 ，
∴△ 为等边三角形， ∴ = = = 2 ，
∴ 1 = 3 △ =
1 × 13 2 × (2 )
2 × 3 × 2 = 2 3 3 = 2 3， ∴ = 1；
2 3 3
∴ = = = = 2， ∴ = = 2 2，
∴ 1△ = 2 × 2 × (2 2)
2 12 = 7，
设所求点 到平面 1 1的距离为 ，即为点 到面 的距离，
∵ 1 7 2 3 2 21 = ， ∴ 3 △ = = ，解得： = .3 3 7
2 21
即点 到平面 1 1的距离为 .7
（3） ∵ ⊥ 平面 1 1， 平面 ， ∴ 平面 ⊥ 平面 ，
∵ 平面 ∩ 平面 =
∴ 取 中点 ，在正 △ 中， ⊥ ， ∴ ⊥ 平面 ，
又 平面 ， ∴ 平面 ⊥ 平面 ．
作 ⊥ ，平面 ∩ 平面 = ，则 ⊥ 平面 ，
作 ⊥ ，连接 ，则 即 在平面 上的射影，
∵ ⊥ 平面 ， 平面 ， ∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， , 平面 ， ∴ ⊥ 平面 ，
∵ 平面 ， ∴ ⊥ ， ∴ ∠ 即二面角 的平面角.
设 = 3 ，
在 △ 中，作 ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∴ // ，又 ⊥ 平面 ， ∴ ⊥ 平面 ，
∴ = 1 = 1 × 1 × 2 × 2 = 2 3 3 △ 3 2 ，解得： = 3，3
由（2）知： = = 2 2， ∴ = 2 2 = 5，
∵ 5 = ， ∴ = 3 = 5 ，3
∵ = 22 + 12 = 5， ∴ = 5 5 ，
∵ // ， ∴ = = 5 5 × 2 = 2 2 ，5
π
若存在 使得二面角 的大小为6，
π 3 3 2
则tan∠ = tan6 = = = ，解得： = ，2 2 3 5
∴ = 2 + 2 = 2 2 = 4 2 < 5 1 = 2，
∴ 存在满足题意的点 ， = 4 2.
5
35．（23-24 高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台 1 1 1，底面 △ 是以 为直角顶点的等腰
14 3
直角三角形，体积为 ，平面 1 1 ⊥ 平面 ，且 = = =
1
3 1 1 1 1 2
.
(1)证明： ⊥ 平面 1 1；
(2)求点 到面 1 1的距离；
π
(3)在线段 1上是否存在点 ，使得二面角 的大小为6，若存在，求出 的长，若不存在，请说明
理由.
【解题思路】（1）利用面面垂直的性质推理即得.
（2）延长 1, 1,
8
1交于一点 ，根据 = 7 1 1 1可求得 ，利用等体积法构造方程求解.
（3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设 = 3 ，根据几何关系可表示出 ，由二
面角大小可构造方程求得 ，进而得到结果.
【解答过程】（1）在三棱台 1 1 1中，平面 1 1 ⊥ 平面 ， ⊥ ，
而平面 1 1 ∩ 平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 1 1.
（2）由棱台性质知：延长 1, 1, 1交于一点 ，
由 1 =
1
1 2 ，得 △ = 4 △ 1 1 1，点 到平面 的距离为到平面 1 1 1距离的 2 倍，则 = 8
1 1 1，
8
于是 = 7 1 1 1 =
8 × 14 3 16 37 = ，由 ⊥ 平面 1 1，得 为点 到平面 的距离，3 3
又 1 1// ，则 1是 的中点， 1 = 1 = 1 1 = 1，即 △ 1 1为正三角形， △ 为正三角形，
设 = 2 ，则 = = = = 2 ，
1 1 3 2 2 3 3 16 3 = 3 △ = 3 × × (2 ) × 2 = = ，解得 = 2，4 3 3
= = = = 4，由 平面 ，得 ⊥ ， = = 4 2，
1△ = 2 × 4 × (4 2)
2 22 = 4 7，设点 到平面 1 1的距离为 ，
由 =
1 4 7 16 3 4 21
，得3 △ = = ，解得： = .3 3 7
4 21
即点 到平面 1 1的距离为 .7
（3）由 ⊥ 平面 1 1， 平面 ，得平面 ⊥ 平面 ，取 中点 ，连接 ，
在正 △ 中， ⊥ ，而平面 ∩ 平面 = ，则 ⊥ 平面 ，而 平面 ，
则 ⊥ ，又 平面 ，则平面 ⊥ 平面 ，作 ⊥ 于 ，
平面 ∩ 平面 = ，则 ⊥ 平面 ， // ，而 平面 ，则 ⊥ ，
作 ⊥ 于 ，连接 ， ∩ = ， , 平面 ，则 ⊥ 平面 ，
而 平面 ，于是 ⊥ ，∠ 即二面角 的平面角，
设 = 3 ，由（2）知： = 2 3， = 2 + 2 = 2 5，
5
由 = ，得 = 3 = 5 ， = 2 5 5 ，3
由 // = = 2 5 5 ，得 × 4 = 4 2 ，2 5
π
若存在 使得二面角 的大小为6，
π
则tan∠ = tan = 6 =
3 = 3 4，解得 =
4 2 3 5
，
= 2 + 2 = 2 2 = 8 2 < 1 = 2 2，5
8 2
所以存在满足题意的点 ， = .
5专题 8.9 空间角与空间距离大题专项训练【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 异面直线所成的角
1．（24-25 高二上·安徽·开学考试）如图，在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长均为 4，D 是 AB 的中点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求异面直线 1 与 1所成角的正弦值．
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，已知长方体 1 1 1 1中， = = 3， 1 = 4．
(1)求证： 1 与 1是异面直线；
(2)求异面直线 1 与 1所成角的余弦值．
3．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥ 平面 ，
= 2 ．
(1) 判断在梭 上是否存在一点 使 ⊥ 平面 ，若存在，求 ；若不存在，说明理由；
(2)当点 , 分别是 , 的中点时，求异面直线 和 的夹角的余弦值．
4．（23-24 高一下·四川凉山·期末）如图 1，正六边形 边长为 2， 为边 的中点，将四边形
沿 折成如图 2 所示的五面体，使 △ 为正三角形.
(1)求证： //面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
5．（23-24 高一下·贵州贵阳·期末）如图，在四面体 中， ⊥ 平面 ，M 是 的中点，P 是 的
中点，点 Q 在线段 上，且 = 3 ．
(1)求证： //平面 ．
(2)若三角形 为边长为 2 的正三角形， = ，求异面直线 和 所成角的余弦值 ．
题型二 直线与平面所成的角
用向量证明线段垂直
6．（24-25 高一下·全用向国量证·课明线堂段垂例直题）如图，在正方体 1 1 1 1中．
(1)求直线 1 和平面 1 1 所成的角；
(2)求直线 1 和平面 1 1所成的角．
7．（24-25 高一下·全国·期末）在正三棱柱 1 1 1中， 为棱 的中点，如图所示．
(1)求证： 1 //平面 1；
(2)若二面角 1的大小为60°，求直线 和平面 1所成角的正弦值．
8．（23-24 高一下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ⊥ 底面
， ⊥ ， , 分别为线段 , 的中点.
(1)证明： = ；
(2)证明： //平面 ；
(3)若 = 1，∠ = 60°，记 与平面 所成角为 ，求sin 的最大值.
9．（23-24 高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知 1 ⊥ 平面 ABC， 1∥ 1， = = 2， = 2 2，
= 11 2 1 = 2，E 为 BC 的中点.
(1)求证：平面 1 ⊥ 平面 1；
(2)求直线 1 1与平面 1所成角的大小.
10．（23-24 高一下·黑龙江大庆·期末）如图，已知 1 ⊥ 平面 , 1// 1, = = 3, = 2 5， 1 =
7， 1 = 2 7，点 为 的中点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)求直线 1 1与平面 1所成角的大小．
题型三 二面角
11．（23-24 高一下·河南漯河·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，
∠ = ∠ = 90°， ⊥ 平面 . = = = 4, = 3， 为侧棱 的中点.
(1)证明：平面 ⊥ 平面 ；
(2)求二面角 的正切值.
12．（23-24 高一下·青海·期末）如图，在四棱锥 中，底面四边形 是直角梯形，
= 2 = 2 = 4, ⊥ , ⊥ , 是 的中点， ⊥ ．
(1)证明： ⊥ 平面 ．
(2)若 = = 2 2，求二面角 的正弦值．
13．（24-25 高三上·广东惠州·阶段练习）如图，四棱锥 中， ⊥ 底面 ， = = 2，
= 1， = 3.
(1)若 ⊥ ，证明： ∥平面 ；
(2)若 ⊥ 7，且二面角 的余弦值为 ，求 .
7
14．（23-24 高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱 1 1 1所有棱长都为 2，∠ 1 = 60°，O 为 BC
中点，D 为 1 与 1交点．
(1)求证： //平面 1；
(2) 2 13若直线 1与平面 1所成角的正弦值为 ，求二面角 1的大小．13
15．（23-24 高一下·吉林长春·期末）在四棱台 1 1 1 1中， // ，平面 1 1 ⊥ 平面 ，
= 2， = 2， = = 1 = 1 1 = 1，∠ 1 = 120 .
(1)求证： 1 //平面 1 1；
(2)若 是 1的中点，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
题型四 求点面距离
16．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知在长方体 1 1 1 1中，棱 1 = 12， = 5．求：
(1)点 1到平面 1 1的距离；
(2) 1 1到平面 1 1的距离．
17．（24-25 高一下·全国·课前预习）如图，在平行四边形 中， = 2 = 4，∠ = 60°， 为
的中点，将 △ 沿直线 折起到 △ 的位置，使平面 ⊥ 平面 ．
(1)证明：平面 ⊥ 平面 ；
(2)设 为线段 的中点，求点 到平面 的距离．
18．（23-24 高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1, 1 1均为正方形，
= = 1，∠ = 90°，点 D 是棱的 1 1中点，点 O 为 1 与 1交点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求点 1到平面 1 的距离．
19．（23-24 高一下·江苏常州·期末）如图，在三棱锥 中， = = = 2， = 3，
= = 7．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)求点 到平面 的距离．
20．（23-24 高一下·内蒙古·阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形．∠ = 60°， ,
分别为 , 的中点，且 ⊥ ．
(1)证明： ⊥ ．
(2)若 = = = 2，求点 到平面 的距离．
题型五 求线面距离
21．（23-24 高一下·山东威海·期末）如图，在平行四边形 中，∠ = 90°，沿其对角线 将 △
折起至 △ ′ ，使 △ ′ 所在平面与平面 垂直.
(1)证明：平面 ′ ⊥ 平面 ′ ；
(2)若 为 ′上一点， ′∥平面 ， = = 1，求直线 ′到平面 的距离.
22．（23-24 高一下·江苏常州·期末）如图，在正三棱柱 1 1 1中，点 D 是 BC 的中点， = 1
= 4．
(1)求证： 1 //平面 1；
(2)求证：平面 1 ⊥ 平面 1 1；
(3)求直线 1 到平面 1的距离．
23．（23-24 高二上·上海杨浦·期中）如图, 为菱形 外一点, ⊥ 平面 ,∠ = 60 , 为棱 的中
点.
(1)求证: ⊥ 平面 ;
(2)若 = = 2,求 到平面 的距离.
24．（24-25 高二上·重庆巫山·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，∠ = 60 ，平面 ⊥
平面 ， ⊥ ， = = 2，PD 的中点为 F.
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 到面 的距离.
25．（24-25 高二上·上海闵行·阶段练习）如图，在边长为1的正方体 1 1 1 1中， 为底面正方形
的中心.
(1)求证：直线 1//平面 1 1；
(2)求直线 1与平面 1 1之间的距离.
题型六 求面面距离
26．（2024·河南·二模）如图所示，正六棱柱 1 1 1 1 1 1的底面边长为 1，高为 3.
(1)证明：平面 1 //平面 1 ；
(2)求平面 1与平面 1 间的距离.
27．（2025 高二上·全国·专题练习）直四棱柱 1 1 1 1中，底面 为正方形，边长为2，侧棱
1 = 3， 、 分别为 1 1、 1 1的中点， 、 分别是 1 1, 1 1的中点．
(1)求证：平面 //平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
28．（23-24 高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， = 2， 1 = 4，E
是 1上的一点，且 1 = 1，D、F、G 分别是 1、 1 1、 1 1的中点， 与 1 相交于 ．
(1)求证： 1 ⊥ 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
29．（24-25 高二上·江西宜春·阶段练习）如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E、F 分别是
AA1与 CC1的中点.
(1)证明：平面 EB1D1//平面 FBD；
(2)求平面 EB1D1与平面 FBD 之间的距离.
30．（23-24 高一下·福建厦门·期末）如图，棱长为 2 的正方体 ABCD –A1B1C1D1中，E，F 分别是棱 AA1，
CC1的中点，过 E 作平面 ，使得 //平面 BDF.
(1)作出 截正方体 ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；
(2)求平面 与平面 的距离.
题型七 空间角与空间距离中的探索性问题
31．（2024·四川自贡·三模）如图，在四棱锥 中，已知底面 是正方形， 是棱 上一点．
(1)若 ‖平面 ，证明： 是 的中点．
(2)若 = = 2， = = 1，问线段 2
上是否存在点 ，使点 到平面 的距离为 ？若存在，求
3
的值；若不存在，请说明理由．
32．（23-24 高一下·浙江杭州·期末）三棱台 1 1 1中， ⊥ ，面 1 1 ⊥ 面 1 1， 1 = 1
1 = 1 = 2, = 4，且 1与底面 所成角的正弦值为 15.5
(1)求证： ⊥ 面 1 1；
(2)求三棱台 1 1 1的体积；
π
(3)问侧棱 1上是否存在点 ，使二面角 成6？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.1
33．（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 ⊥ 底面 ，底面
是直角梯形， // ， ⊥ ， = = = = 1， = 2， 是 的中点.
(1)证明： ⊥ 平面 ；
π
(2) 底边 上是否存在异于端点的一点 ，使得直线 与平面 所成的角为6？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
34．（23-24 高一下·浙江宁波·期中）如图，已知三棱台 1 7 31 1的体积为 ，平面 1 1 ⊥ 平面 12 1
1， △ 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，且 = 2 1 = 2 1 1 = 2 1.
(1)证明： ⊥ 平面 1 1；
(2)求点 到面 1 1的距离；
π
(3)在线段 1上是否存在点 ，使得二面角 的大小为6，若存在，求出 的长，若不存在，请说明
理由.
35．（23-24 高一下·广东广州·期末）如图，已知三棱台 1 1 1，底面 △ 是以 为直角顶点的等腰
14 3 1
直角三角形，体积为 ，平面 1 1 ⊥ 平面 ，且 = 3 1 1 1 = 1 = 2 .
(1)证明： ⊥ 平面 1 1；
(2)求点 到面 1 1的距离；
π
(3)在线段 1上是否存在点 ，使得二面角 的大小为6，若存在，求出 的长，若不存在，请说明
理由.
