专题 8.7 空间直线、平面的垂直（二）【九大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 求二面角】 ................................................................................................................................................2
【题型 2 由二面角大小求线段长度或距离】 ........................................................................................................3
【题型 3 由二面角大小求其他角】 ........................................................................................................................5
【题型 4 面面垂直的判定】 ....................................................................................................................................8
【题型 5 面面垂直性质定理的应用】 ..................................................................................................................10
【题型 6 求点面、线面距离】 ..............................................................................................................................11
【题型 7 求面面距离】 ..........................................................................................................................................13
【题型 8 平行关系与垂直关系的综合应用】 ......................................................................................................14
【题型 9 立体几何中的探索性问题】 ..................................................................................................................16
【知识点 1 二面角】
1．二面角
(1) 二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为 AB，面分别为 α，β 的二面角记作二面角 α-AB-β，如果棱记作 l，那么这个二面角记作二面角
α
-l-β，如图(1).
②若在 α，β 内分别取不在棱上的点 P，Q，这个二面角可记作二面角 P-AB-Q，如果棱记作 l，那么这
个二面角记作二面角 P-l-Q，如图(2).
(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA
和
OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB 叫做二面角 α-l-β 的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是 180°.所以二面角的平面角 α 的范围是 .
2．几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，
再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
【题型 1 求二面角】
【例 1】（24-25 高二上·山西运城·期末）如图，在四棱锥 中，已知 ⊥ 底面 ，底面 为
等腰梯形， // , = = , = 1, = = 2， 的中点为 ，则平面 与平面 所成角的余
弦值为（ ）
A． 57 B． 51 C． 57 D． 51
19 17 19 17
【变式 1-1】（23-24 高一下·湖北武汉·期末）已知 △ 中， = 1， = 2， = 3，点 M 为 AB 中点，
连接 CM．将 △ 沿直线 CM 折起，使得点 A 到达 A'的位置，且平面 ⊥ 平面 ，则二面角 ′
的余弦值为（ ）
A 2 13 B 13． ． C 2 39． D． 5
13 13 13 5
【变式 1-2】（23-24 高一下·青海·期末）如图，在四棱锥 中，底面四边形 是直角梯形，
= 2 = 2 = 4, ⊥ , ⊥ , 是 的中点， ⊥ ．
(1)证明： ⊥ 平面 ．
(2)若 = = 2 2，求二面角 的正弦值．
【变式 1-3】（23-24 高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面
是正三角形，侧面 ⊥ 底面 ， 是 的中点.
(1)求证： ⊥ 平面 ；
(2)求侧面 与底面 所成二面角的正弦值.
【题型 2 由二面角大小求线段长度或距离】
【例 2】（23-24 高一下·新疆克孜勒苏·期中）如图，已知大小为60°的二面角 棱上有两点 ， ，
， ⊥ ， ， ⊥ ，若 = 3， = 3， = 7，则 的长度（ ）
A．22 B．44 C．2 10 D． 22
【变式 2-1】（23-24 高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱 1 1 1的体积为 8，二面角 1 的大
π
小为4，且 = ， 1 = 2，则点 1到平面 1的距离为（ ）
A． 2 B． 2 C 2． D． 22 3 4
【变式 2-2】（23-24 高一下·贵州黔西·阶段练习）如图，将边长为 2的正方形 沿对角线 折起使得点
到点 ′的位置，连接 ′， 为 的中点.
(1)若平面 ′ ⊥ 平面 ，求 ′的长度.
(2)不考虑点 ′与点 2重合的位置，若二面角 ′ 的余弦值为 3，求 ′的长度.
【变式 2-3】（23-24 高一下·安徽·期末）如图①，已知 △ ′ 是边长为 2 的等边三角形，D 是 ′的中点，
⊥ ′ ，如图②，将 △ ′ 沿边 DH 翻折至 △ .
(1) BC F // 在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面 BHC 与平面 BDA 所成的二面角的正切值为2 2，求点 B 到直线 CH 的距离.
【题型 3 由二面角大小求其他角】
【例 3】（23-24 高一下·四川绵阳·期末）如图，在三棱锥 中， △ 和 △ 均为正三角形，
= 4，二面角 的大小为60 ，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A 1 B 1 1 1． 8 ．8 C． 4 D．4
【变式 3-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，二面角 的大小是60°，线段 ， ∈ ， 与
所成的角为30°，则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是（ ）
A 2 5 3 3 2． B． C． D．
29 4 3 5
【变式 3-2】（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥 中，已知底面 为矩形，侧
面 是正三角形，侧面 ⊥ 底面 ， 是棱 的中点， = 2．
(1)证明： ⊥ 平面 ；
(2) 6若二面角 的余弦值为 ，求异面直线 与 所成角的正切值．
3
【变式 3-3】（24-25 高二上·上海·阶段练习）如图，边长为 3 的正方形 ABCD 所在平面与半圆弧 BC 所在平
面垂直，点 M 是 BC 上异于 B、C 的点.
(1)求证：平面 ⊥ 平面 ；
(2)当二面角 的大小为60°时，求直线 CA 与平面 ABM 所成角的正弦值.
【知识点 2 平面与平面垂直】
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面 α 与 β 垂
直，记作 α⊥β.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为 ，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即 a∥b，a⊥α b⊥α.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即 α∥β，a⊥α
a⊥β.
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
4．点到平面的距离的常见求法
(1)直接法：过 P 点作平面 α 的垂线，垂足为 Q，把 PQ 放在某个三角形中，解三角形求出 PQ 的长度
就是点 P 到平面 α 的距离.
②转化法：若点 P 所在的直线 l 平行于平面 α，则转化为直线 l 上某一个点到平面 α 的距离来求.
③等体积法.
【题型 4 面面垂直的判定】
【例 4】（2024 高三·全国·专题练习）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， △ 是正三
角形，∠ = 60°, = = 2 = 4．证明：平面 ⊥ 平面 .
【变式 4-1】（24-25 高三上·河南许昌·期中）如图，棱长 1 的正方体 1 1 1 1．
(1)求三棱锥 1 的体积；
(2)求证：平面 1 ⊥ 平面 1 1 ．
1
【变式 4-2】（2024 高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱 1 1 1中， = 2 1 = 2，点 为 1 1的
中点.
(1)证明：平面 1 ⊥ 平面 1 1
(2)在棱 11上是否存在点 ，使得 ⊥ 平面 1 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【变式 4-3】（24-25 高二上·广东肇庆·阶段练习）已知四边形 为直角梯形，∠ = 90°， // ，△
为等腰直角三角形，平面 ⊥ 平面 ， 为 的中点， = 2 = 2 2， = 3 = 3．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证：平面 ⊥ 平面 ；
(3)求三棱锥 的体积．
【题型 5 面面垂直性质定理的应用】
【例 5】（24-25 高三上·天津滨海新·阶段练习）设 , 是两条直线， , 是两个平面，下列说法错误的是
（ ）
A．如果 // , ，那么 // .
B．若 ⊥ , ⊥ ，则 //
C．若 ∩ = ， // , // ，则 //
D．若 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，则 ⊥
【变式 5-1】（24-25 高二上·广东广州·阶段练习）设 a，b 为两条直线， ， 为两个平面，且“ ⊥ ，
⊥ ”，则 ⊥ 是 ⊥ 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 5-2】（24-25 高二上·北京·阶段练习）如图，已知三棱锥 2的体积为3， = 1， = = 2，
⊥ ， 为 的中点．求证： ⊥ 平面 .
【变式 5-3】（24-25 高二上·北京·期中）如图，在三棱锥 中， △ 为等边三角形，点 O 为 的中
点， ⊥ ，平面 ⊥平面 .
(1)求证：直线 ⊥ 平面 ；
(2)已知 E 为 的中点，F 是线段 上的点， = .若 ⊥ ，求 λ 的值.
【题型 6 求点面、线面距离】
【例 6】（23-24 高一下·河南郑州·期中）如图，直三棱柱 1 1 1的体积为4， △ 1 的面积为2 2，
则点 到平面 1 的距离为（ ）
A．4
B．3 2
C．2
D． 2
【变式 6-1】（24-25 高二上·吉林长春·期末）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥ 底面
， = = 2， = 1，点 是棱 的中点.直线 与平面 的距离为
A 1 B 3 C 8． ． ．
3 3
D． 2
【变式 6-2】（23-24 高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1, 1 1均为正
方形， = = 1，∠ = 90°，点 D 是棱的 1 1中点，点 O 为 1 与 1交点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求点 1到平面 1 的距离．
【变式 6-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 2, 1 = 3,∠ = 30 ，
且 ⊥ .
(1)求直三棱柱 1 1 1的表面积与体积；
(2)求证： //平面 1 1，并求出 到平面 1 1的距离.
【题型 7 求面面距离】
【例 7】（23-24 高一下·贵州贵阳·期末）正方体 1 1 1 1的棱长为2 3，则平面 1 1到平面 1
的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 7-1】（2024·广东·二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面
体 就是一个半正多面体，其中四边形 和四边形 均为正方形，其余八个面为等边三
角形，已知该多面体的所有棱长均为 2，则平面 与平面 之间的距离为（ ）
A． 2 B．4 8 C 10． 11 D．2 2
【变式 7-2】（23-24 高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， = 2， 1
= 4，E 是 1上的一点，且 1 = 1，D、F、G 分别是 1、 1 1、 1 1的中点， 与 1 相交于 ．
(1)求证： 1 ⊥ 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
【变式 7-3】（23-24 高一下·福建厦门·期末）如图，棱长为 2 的正方体 ABCD –A1B1C1D1中，E，F 分别是
棱 AA1，CC1的中点，过 E 作平面 ，使得 //平面 BDF.
(1)作出 截正方体 ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；
(2)求平面 与平面 的距离.
【题型 8 平行关系与垂直关系的综合应用】
【例 8】（2024·陕西榆林·模拟预测）在正方体 1 1 1 1中，E，F 分别是 1， 1的中点，则
（ ）
A． // B． 1//平面 BCE
C． ⊥ 1 D． ⊥ 平面 1 1
【变式 8-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 ， 的
一点，则下面结论中错误的是（ ）
A． ⊥
B． //平面
C．平面 ⊥ 平面
D． ⊥ 平面
【变式 8-2】（23-24 高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体 1 1 1 1中．
(1)求证： 1∥平面 1 1；
(2)求证： 1 ⊥ 平面 1 1．
【变式 8-3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥 中， ⊥ , = ，M 是 的中
点．点 N 在棱 上，点 D 是 的中点．
求证：
(1) //平面 ；
(2)平面 ⊥ 平面 ．
【题型 9 立体几何中的探索性问题】
【例 9】（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 ⊥ 底面 ，底面
是直角梯形， // ， ⊥ ， = = = = 1， = 2， 是 的中点.
(1)证明： ⊥ 平面 ；
π
(2) 底边 上是否存在异于端点的一点 ，使得直线 与平面 所成的角为6？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【变式 9-1】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥ 平面
， = 2 ．
(1)判断在梭 上是否存在一点 使 ⊥ 平面 ，若存在，求 ；若不存在，说明理由；
(2)当点 , 分别是 , 的中点时，求异面直线 和 的夹角的余弦值．
【变式 9-2】（23-24 高一下·浙江杭州·期末）三棱台 1 1 1中， ⊥ ，面 1 1 ⊥ 面 1 1，
1 = 1 1 = 1 = 2, = 4，且 1与底面 所成角的正弦值为 15.5
(1)求证： ⊥ 面 1 1；
(2)求三棱台 1 1 1的体积；
π
(3)问侧棱 1上是否存在点 ，使二面角 成6？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.1
【变式 9-3】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥 中，平面 ⊥ 平面 ，
⊥ ， // ， = = = 1， = 2， = 3. 为
1
的中点，点 在 上，且 = 2.
(1)求证： ⊥ 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 3的距离为 ，若存在求出点 的位置，不存在请说明理由.
9专题 8.7 空间直线、平面的垂直（二）【九大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 求二面角】 ................................................................................................................................................2
【题型 2 由二面角大小求线段长度或距离】 ........................................................................................................7
【题型 3 由二面角大小求其他角】 ......................................................................................................................12
【题型 4 面面垂直的判定】 ..................................................................................................................................18
【题型 5 面面垂直性质定理的应用】 ..................................................................................................................22
【题型 6 求点面、线面距离】 ..............................................................................................................................25
【题型 7 求面面距离】 ..........................................................................................................................................29
【题型 8 平行关系与垂直关系的综合应用】 ......................................................................................................34
【题型 9 立体几何中的探索性问题】 ..................................................................................................................38
【知识点 1 二面角】
1．二面角
(1) 二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为 AB，面分别为 α，β 的二面角记作二面角 α-AB-β，如果棱记作 l，那么这个二面角记作二面角
α
-l-β，如图(1).
②若在 α，β 内分别取不在棱上的点 P，Q，这个二面角可记作二面角 P-AB-Q，如果棱记作 l，那么这
个二面角记作二面角 P-l-Q，如图(2).
(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA
和
OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB 叫做二面角 α-l-β 的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是 180°.所以二面角的平面角 α 的范围是 .
2．几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，
再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
【题型 1 求二面角】
【例 1】（24-25 高二上·山西运城·期末）如图，在四棱锥 中，已知 ⊥ 底面 ，底面 为
等腰梯形， // , = = , = 1, = = 2， 的中点为 ，则平面 与平面 所成角的余
弦值为（ ）
A． 57 B． 51 C． 57 D． 51
19 17 19 17
【解题思路】根据题意判断四边形 为平行四边形，得到三角形 和三角形 为等边三角形，则
⊥ ，再根据线面垂直判定定理可得∠ 为平面 与平面 所成角的平面角，解三角形即可求得.
【解答过程】取 的中点 ，连接 , , ，
因为 // ， = 2， 的中点为 ，则 // 且 = ，
则四边形 为平行四边形，则 = = 1 = = ，
则三角形 为等边三角形，则∠ = 60 ，
又四边形 为等腰梯形，则∠ = 60 ，
则三角形 为等边三角形，则 ⊥ ，
又因为 ⊥ 平面 , 平面 ，则 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，则 ⊥ 平面 ，
又因为 平面 ，则 ⊥ ，
则∠ 为平面 与平面 所成角的平面角，
Rt △ = 2 = 3 = 3 = 2 + 2 = 19在 中， ， ，则 ，2 2 2
cos∠ = 则 =
57.
19
故选：A.
【变式 1-1】（23-24 高一下·湖北武汉·期末）已知 △ 中， = 1， = 2， = 3，点 M 为 AB 中点，
连接 CM．将 △ 沿直线 CM 折起，使得点 A 到达 A'的位置，且平面 ⊥ 平面 ，则二面角 ′
的余弦值为（ ）
A 2 13 13 2 39． B． C． D． 5
13 13 13 5
【解题思路】根据折叠前后的不变量，再用定义法找出二面角的平面角即可求解.
【解答过程】取 的中点 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ′ ，
则 ⊥ ，
因为在 △ 中， = 1， = 2， = 3，点 M 为 AB 中点，
所以∠ = 90°, = = = 1，则 △ 为等边三角形，
所以∠ = 60°,∠ = 120°,∠ = ∠ = 30°， ′ ⊥ ，
将 △ 沿直线 CM 折起，使得点 A 到达 A'的位置，则 △ ′ 为等边三角形，
∠ = 90°, ′ = = = ′ = 1 = 1 = 1， ′2， 4， =
3
，
2
因为平面 ⊥ 平面 ，且 ′ 平面 ， ′ ⊥ ，平面 ∩ 平面 = ，
所以 ′ ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ′ ，
又因为 ′ ∩ = ， ′ , 平面 ′ ，所以 ⊥ 平面 ′ ，
又因为 ′ 平面 ′ ，所以 ′ ⊥ ，则二面角 A'-BC-M 的平面角为∠ ′ ，
在直角三角形 △ ′ 中， ′ = 2 + 2 = 3
2 2
′ + 1 = 13，
2 4 4
1
所以cos∠ ′ =
= 4 = 13 ，′ 13 13
4
故选：B.
【变式 1-2】（23-24 高一下·青海·期末）如图，在四棱锥 中，底面四边形 是直角梯形，
= 2 = 2 = 4, ⊥ , ⊥ , 是 的中点， ⊥ ．
(1)证明： ⊥ 平面 ．
(2)若 = = 2 2，求二面角 的正弦值．
【解题思路】（1）连接 ，通过四边形 是正方形，得到 ⊥ ，进而可求证；
（2）作 ⊥ ，垂足为 ，连接 , .先证明 ⊥ 平面 ，得到∠ 是二面角 的平面角，
在判断四棱锥 为正四棱锥，求得 = = 14，再由余弦定理即可求解.
2
【解答过程】（1）证明：连接 ．
因为 是 的中点，所以 = 2 ．
分因为 = 2 = 2 = 4，且 ⊥ , ⊥ ，所以四边形 是正方形，
则 ⊥ ．
因为 ⊥ , , 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥ 平面 ．
（2）解：
作 ⊥ ，垂足为 ，连接 , .
由（1）可知 ⊥ 平面 ．又 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 , 平面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥ 平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ，则∠ 是二面角 的平面角．
记 ∩ = ，连接 ，则 是 的中点．
因为 = ，且 是 的中点，所以 ⊥ ．
因为 ⊥ 平面 ，且 平面 ，所以 ⊥ ．
连接 ．因为 , 平面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥ 平面 ，
则四棱锥 为正四棱锥，故 = = = 2 2．
1 2 1
因为 △ 的面积 = 2 2 = 2 ，2
1 × 2 × 1即2 8 1 = 2 × 2 2 × ，
所以 = 14．
2
同理可得 = = 14．
2
2 2 2
在 △ + 1中，由余弦定理可得cos∠ = 2 = 7，
则sin∠ = 1 cos2∠ = 4 3，即二面角 4 3的正弦值为 .7 7
【变式 1-3】（23-24 高一下·四川凉山·期末）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面
是正三角形，侧面 ⊥ 底面 ， 是 的中点.
(1)求证： ⊥ 平面 ；
(2)求侧面 与底面 所成二面角的正弦值.
【解题思路】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直即可求证；
（2）根据面面垂直的性质可得∠ 为平面 与面 所成二面角的平面角，即可利用三角形的边角关
系求解.
【解答过程】（1）因为 △ 是正三角形，且 是 的中点.，所以 ⊥ ，
又底面 是正方形，所以 ⊥ ，
又因为平面 ⊥ 平面 ，
且平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
（2）如图，取 的中点 , 的中点 ，连接 , , ，
因为 △ 是正三角形，所以 ⊥ ,
又因为平面 ⊥ 平面 ，且平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ， 平面 ，故 ⊥ ，
由题意可知 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，故 ⊥ 平面 ，
平面 ，故 ⊥ ，
故∠ 为平面 与面 所成二面角的平面角，
设 = 3， 则 = ， = 2 + 2 = 7 ，2 2
2
所以 sin∠ = 3 21 = × =7 . 2 7
综上所述：侧面 与底面 21所成二面角的正弦值为 .
7
【题型 2 由二面角大小求线段长度或距离】
【例 2】（23-24 高一下·新疆克孜勒苏·期中）如图，已知大小为60°的二面角 棱上有两点 ， ，
， ⊥ ， ， ⊥ ，若 = 3， = 3， = 7，则 的长度（ ）
A．22 B．44 C．2 10 D． 22
【解题思路】根据二面角的定义得到∠ = 60°，然后结合余弦定理得到 = 3，根据线面垂直的判定定
理和性质得到 ⊥ ，最后利用勾股定理求长度即可.
【解答过程】
如图，过点 作 ∥ ，过点 作 ∥ 交 于点 ，连接 , ，
因为 ∥ ， ∥ ，所以四边形 为平行四边形，
所以 = = 3， = ，
因为 ⊥ ， ∥ ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ，二面角 为60°，所以∠ = 60°，
2 2 2 2
在 △ cos∠ = + 中， 2 =
9+9
18 =
1
2，
解得 = 3，
因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∥ ，所以 ⊥ ，
所以 = = 72 32 = 2 10.
故选：C.
【变式 2-1】（23-24 高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱 1 1 1的体积为 8，二面角 1 的大
π
小为4，且 = ， 1 = 2，则点 1到平面 1的距离为（ ）
A． 2 B． 2 C 2． D． 22 3 4
【解题思路】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得 1，再根据直三棱柱的体积求出 ，再利
用等体积法求点 1到平面 1的距离.
【解答过程】取 的中点 ，连接 , 1，
∵ = ， ∴ ⊥ , 1 ⊥ ，则二面角 1 的平面角为∠ 1 ，
π π
∵ 二面角 1 的大小为4，则∠ 1 = 4，
所以 = 1 = 2， 1 = 2 + 12 = 4 + 4 = 2 2，
又 ∵ 直三棱柱 1 1 1的体积为 8， ∴ 1 1 1 = △ 1 = 2 △ = 8，
则 1△ = 4， ∴ △ = 2 =
1
2 × 2 = 4 = 4，
又 ∵ 平面 ⊥ 平面 1 1，平面 ∩ 平面 1 1 = ，
且 ⊥ , 平面 ， ∴ ⊥ 平面 1 1，
设点 1到平面 1的距离为 ，又 1 1 = 1 1，
∴ 1 = 1 1 × 13 △ 1 3 △ 1 3 2 × 4 × 2 2 × =
1 × 13 2 × 4 × 2 × 2，解得 = 2，
故选：A.
【变式 2-2】（23-24 高一下·贵州黔西·阶段练习）如图，将边长为 2的正方形 沿对角线 折起使得点
到点 ′的位置，连接 ′， 为 的中点.
(1)若平面 ′ ⊥ 平面 ，求 ′的长度.
(2) 2不考虑点 ′与点 重合的位置，若二面角 ′ 的余弦值为 3，求 ′的长度.
【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得 ′ ⊥ ，再由正方形 的边长可得答案；
（2）取 ′的中点 ，可得∠ 为二面角 ′ 的平面角，利用余弦定理可得答案.
【解答过程】（1）连接 ′, ，则 ′ ⊥ ，
∵平面 ′ ⊥ 平面 ，平面 ′ ∩ 平面 = ，
′ 平面 ′ ，∴ ′ ⊥ 平面 ，又 平面 ，
∴ ′ ⊥ ，又正方形 的边长为 2，
∴ ′ = = = 1， ′ = 2；
（2）取 ′的中点 ，连接 , ，
∵ = ′ = = ′ = 2，
∴ ⊥ ′， ⊥ ′，
∠ 为二面角 ′ 的平面角，
∴cos∠ = 23，
由题可知 △ ′与 △ ′全等，
在 △ 中， = 2， = ，
2 2 2
cos∠ = + 22 = 3，
∴ 2 = 2 = 65，
∴ ′ 2 = 6 4′2 2 = 2 5 = 5，
∴ ′ = 2 ′ = 4 5.
5
【变式 2-3】（23-24 高一下·安徽·期末）如图①，已知 △ ′ 是边长为 2 的等边三角形，D 是 ′的中点，
⊥ ′ ，如图②，将 △ ′ 沿边 DH 翻折至 △ .
(1)在线段 BC 上是否存在点 F，使得 //平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面 BHC 与平面 BDA 所成的二面角的正切值为2 2，求点 B 到直线 CH 的距离.
【解题思路】（1）在图①中，取 ′ 的中点 M，连接 AM，证明 // ，则 //平面 BDH，在线段 BC
F 1上取点 使 = 2，连接 MF，FA，证明平面 //平面 ，再根据面面平行的性质即可得解；
（2）连接 ′，取 ′的中点 ，连接 , ， ⊥ 平面 ，易得 ⊥ ′, ⊥ ′，则∠ 即为平面
BHC 与平面 BDA 所成的二面角的平面角，求出 ，再利用等面积法求解即可.
【解答过程】（1）在图①中，取 ′ 的中点 M，连接 AM，如图所示，
因为 △ ′ 是等边三角形， ′ 的中点为 M，
所以 ⊥ ′ ,
因为 ⊥ ′ ，
所以 // ，
在图②中， // ， 平面 BDH， 平面 BDH，
所以 //平面 BDH 1，且 = 2，
1
在线段 BC 上取点 F 使 = 2，连接 MF，FA，如图所示，
1
因为 = = 2，
所以 // ，
又因为 平面 BDH， 平面 BDH，
所以 //平面 BDH，
又因为 ∩ = , , 平面 AMF，
所以平面 //平面 ，
又因为 平面 ，
所以 //平面 BDH，
1
所以存在点 F 满足题意，且 = 2；
（2）如图所示，连接 ′，取 ′的中点 ，连接 , ，
由折叠性质可得 = ′ , = ′ , ′ ∈ 平面 ， ′ ∈ 平面 ，
因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 为 ′的中点，
所以 ⊥ ′, ⊥ ′，
所以∠ 即为平面 BHC 与平面 BDA 所成的二面角的平面角，
1 = 3由（ ）可得 ， ′ = = 12, = ′ = 1，2
因为平面 BHC 与平面 BDA 所成的二面角的正切值为2 2，
所以tan∠ = = 2 2，所以 =
6
，
8
所以 ′ = ′ 2 2 = 10 10，所以 ′ = ，8 4
设点 B 到直线 CH 的距离为 ，
则 1 1△ ′ = 2 ′ = ′2 ，
1 × 10 × 6 = 1 × 1即2 2 2 ，解得 =
15，
4 8 8
即点 B 到直线 CH 的距离为 15.
8
【题型 3 由二面角大小求其他角】
【例 3】（23-24 高一下·四川绵阳·期末）如图，在三棱锥 中， △ 和 △ 均为正三角形，
= 4，二面角 的大小为60 ，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A 1 1 1 1． 8 B．8 C． 4 D．4
【解题思路】根据二面角的大小可得长度关系，利用线线平行得异面直线所成角，根据余弦定理即可求解.
【解答过程】取 , , 中点为 , , ,连接 , , , ，由于 △ 和 △ 均为等边三角形，所以
⊥ , ⊥ ,故∠ 为二面角 的平面角，即∠ = 60 ，
3
由于 = = = 2 3, ∴△ 3 3为等边三角形，故 = 2 3，进而 = = × 2 3 = 3,2 2 2
又 = = 12 = 2,
2+ 2 2 4+4 9 1
由余弦定理可得cos∠ = 2 = 2×2×2 = 8,
由于 // , // ,所以∠ 即为直线 与 所成角或其补角，
1
所以直线 与 所成角的余弦值为8，
故选：B.
【变式 3-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，二面角 的大小是60°，线段 ， ∈ ， 与
所成的角为30°，则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是（ ）
A 2 5． B 3． C 3． D． 2
29 4 3 5
【解题思路】作出辅助线，找到二面角 的平面角，AB 与 l 所成的角及 AB 与 β 所成的角，利用sin60°
sin30°求出答案.
【解答过程】如图，作 AO⊥β 于 O，AC⊥l 于 C，连接 OB，OC，
因为 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
则∠ 为二面角 的平面角，即∠ = 60°，
∠ 为 AB 与 l 所成的角，∠ = 30°，
设 AB 与 所成的角为 θ，则∠ = .
由图得sin = = = sin60°sin30° =
3.
4
故选：B.
【变式 3-2】（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在四棱锥 中，已知底面 为矩形，侧
面 是正三角形，侧面 ⊥ 底面 ， 是棱 的中点， = 2．
(1)证明： ⊥ 平面 ；
(2)若二面角 6的余弦值为 ，求异面直线 与 所成角的正切值．
3
【解题思路】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判断定理证明即可；
（2）先应用二面角余弦值求出 ,再求异面直线所成角的正切即得.
【解答过程】（1）在四棱锥 中，由底面 为矩形，得 ⊥ ，
由侧面 ⊥ 底面 ，侧面 ∩ 底面 = ， 平面 ，
得 ⊥ 平面 ，
又 平面 ，则 ⊥ ，
又侧面 是正三角形， 是 的中点，则 ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ 平面 ．
（2）如图，
在正三角形 内，过点 作 ⊥ 3，垂足为 ，∴ = ，
2
∵ ⊥ ，侧面 ⊥ 底面 ，面 ∩ 面 = ， 面 ，
∴ ⊥ 底面 ， 底面 ，则 ⊥ ，
过 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ， ∩ = ，
， 平面 ，则 ⊥ 平面 ，而 平面 ，∴ ⊥ ，
则∠ 即为二面角 6的平面角，即cos∠ =
3
∴sin∠ = 1 cos2∠ = 3，3
∴tan∠ = sin∠ 2cos∠ = 2
在Rt △ 中，tan∠ = 6 ，∴NH = ，2
由 // ， // ，得四边形 6为平行四边形，∴CD = ，
2
由 // ，得∠ 为异面直线 与 所成角，
2
由（1）知 ⊥ 平面 ，则 △ 为直角三角形，tan∠ = 2 6 = 6 = ，2 3
2 6
所以异面直线 与 所成角的正切值为 ．
3
【变式 3-3】（24-25 高二上·上海·阶段练习）如图，边长为 3 的正方形 ABCD 所在平面与半圆弧 BC 所在平
面垂直，点 M 是 BC 上异于 B、C 的点.
(1)求证：平面 ⊥ 平面 ；
(2)当二面角 的大小为60°时，求直线 CA 与平面 ABM 所成角的正弦值.
【解题思路】（1）根据已知可推得 ⊥ ，又 ⊥ ，根据线面垂直的判定定理得 ⊥ 平面 ，
然后根据面面垂直的判定定理，即可可证；
（2）由已知可推得∠ 即为二面角 的平面角，即∠ = 60°，进而求出 = 2 3，在Rt △
3
中得出sin∠ = ，即可得答案.
3
【解答过程】（1）由题设，平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ， ⊥ ， 平面
，
所以 ⊥ 平面 ，又 平面 ，故 ⊥ ，
由圆的性质有 ⊥ ， ∩ = 都在平面 内，故 ⊥ 平面 ，
由 平面 ，所以平面 ⊥ 平面 .
（2）由 ⊥ 平面 ，所以 在平面 上的投影为 ，
所以直线 CA 与平面 ABM 所成角∠ ，
由二面角 的大小为60°， ⊥ , ⊥ ，故∠ = 60°，
由∠ = 90° ，则 = sin60° = 2 3， = 3 2， = 6，
3
由 平面 ，则 ⊥ ，故sin∠ = = .3
3
所以直线 CA 与平面 ABM 所成角的正弦值 .
3
【知识点 2 平面与平面垂直】
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面 α 与 β 垂
直，记作 α⊥β.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为 ，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即 a∥b，a⊥α b⊥α.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即 α∥β，a⊥α
a⊥β.
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
4．点到平面的距离的常见求法
(1)直接法：过 P 点作平面 α 的垂线，垂足为 Q，把 PQ 放在某个三角形中，解三角形求出 PQ 的长度
就是点 P 到平面 α 的距离.
②转化法：若点 P 所在的直线 l 平行于平面 α，则转化为直线 l 上某一个点到平面 α 的距离来求.
③等体积法.
【题型 4 面面垂直的判定】
【例 4】（2024 高三·全国·专题练习）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， △ 是正三
角形，∠ = 60°, = = 2 = 4．证明：平面 ⊥ 平面 .
【解题思路】取 中点 ，连接 , ，根据 △ 是正三角形可得 ⊥ ，由余弦定理求 长，再由
勾股定理的逆定理得 ⊥ ，结合面面垂直判定定理证得结论.
【解答过程】取 中点 ，连接 , ，
因为 △ 是正三角形， 为 中点，
所以 ⊥ ，
由已知 = 2，则 = 1 = 3， = ，
2 3
又∠ = 60°, = = 4，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos60° = 1 + 16 2 × 1 × 4 × 12 = 13，
则 2 + 2 = 2，故 ⊥ ，
因为 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥ 平面 .
【变式 4-1】（24-25 高三上·河南许昌·期中）如图，棱长 1 的正方体 1 1 1 1．
(1)求三棱锥 1 的体积；
(2)求证：平面 1 ⊥ 平面 1 1 ．
【解题思路】（1）根据三棱锥的体积公式即可解得；
（2）根据线面垂直证明线线垂直，再由线面垂直证明面面垂直即可解得.
1 1
【解答过程】（1）由正方体的棱长为 1，可得 △ 的面积为 2 × 1 × 1 = 2，
1
所以 1 = 3 △ ·
1 1 1
1 = 3 × 2 × 1 = 6；
（2）连接 1 , 1 ，如图所示：
由 ⊥ 平面 1 1，又 1 平面 1 1，∴ ⊥ 1，
又正方形 1 1中， 1 ⊥ 1， 且 1 ∩ = ，
且 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，∴ 1 ⊥ 平面 1 1 ，
又 1 平面 1 ，
所以，平面 1 ⊥ 平面 1 1 .
【变式 4-2】（2024 高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱 1
1
1 1中， = 2 1 = 2，点 为 1 1的
中点.
(1)证明：平面 1 ⊥ 平面 1 1
(2)在棱 11上是否存在点 ，使得 ⊥ 平面 1 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据线面垂直、面面垂直的判定定理可证平面 1 ⊥ 平面 1 1 ；
（2）在平面 1 1 内过点 作 ⊥ 交 1于点 ，根据面面垂直的性质定理可得 ⊥ 平面 1 ，根据
1
相似可得 = 7.
【解答过程】（1）在正三棱柱 1 1 1中，因为点 为 1 1的中点，
则 1 ⊥ 1 1，
又 1 ⊥ 平面 1 1 1， 1 平面 1 1 1，
则有 1 ⊥ 1 ，
而 1 ∩ 1 1 = 1， 1, 1 1 平面 1 1 ，
所以 1 ⊥ 平面 1 1 ，
因为 1 平面 1 ，所以平面 1 ⊥ 平面 1 1 ，
（2）在平面 1 1 内过点 作 ⊥ 交 1于点 ，
因为平面 1 ∩ 平面 1 1 = ， 平面 1 1 ，
所以 ⊥ 平面 1 ，则点 即为所要找的点，
如下图所示，因为∠ 1 = ∠ ，∠ 1 = ∠ ，
所以 △ 与 △ 1 相似，
因此 1
= ，1
即有 1 =
2
4，于是 =
1
2， 1 = 1 = 4
1 7 1
2 = 2，所以 = 7.
【变式 4-3】（24-25 高二上·广东肇庆·阶段练习）已知四边形 为直角梯形，∠ = 90°， // ，△
为等腰直角三角形，平面 ⊥ 平面 ， 为 的中点， = 2 = 2 2， = 3 = 3．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证：平面 ⊥ 平面 ；
(3)求三棱锥 的体积．
【解题思路】（1）取 中点 F，连 , ，由中位线性质得到四边形 为平行四边形，得到 // ，
进而得到 //平面 ；
（2）由勾股定理逆定理得到 ⊥ ，结合 △ 为等腰直角三角形得到 ⊥ 平面 ，进而得到平面
⊥ 平面 ；
1
（3）在（2）的基础上，结合 为 的中点，利用 = = 2 求出答案.
【解答过程】（1）证明：取 中点 F，连 , ，
因为 E 为 的中点，所以 // 1且 = 2 ，
又 // ， = 2 ，所以 // 且 = ，
故四边形 为平行四边形，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 .
（2）证明：由题意： = 2 = 2 2， = 3 = 3．
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 △ 为等腰直角三角形，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，又 平面 ，所以平面 ⊥ 平面 .
（3）因为 △ 为等腰直角三角形， = 2 2，所以 = = 2，
因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 = 1，故 △ =
1
2 =
1
2 × 1 × 2 = 1，
由（2）得， ⊥ 平面 ，又 为 的中点，
1 1 1 1 1 1所以 = = 2 = 2 × 3 △ = 2 × 3 × 1 × 2 = 3.
【题型 5 面面垂直性质定理的应用】
【例 5】（24-25 高三上·天津滨海新·阶段练习）设 , 是两条直线， , 是两个平面，下列说法错误的是
（ ）
A．如果 // , ，那么 // .
B．若 ⊥ , ⊥ ，则 //
C．若 ∩ = ， // , // ，则 //
D．若 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，则 ⊥
【解题思路】由线、面之间的位置关系的判定定理和性质逐一判断即可.
【解答过程】对于 A，如果 // , ，则 // ，故 A 正确；
对于 B，若 ⊥ , ⊥ ，则 // 或 ，故 B 错误；
对于 C，因为 // ，所以存在直线 ，使得 // ，
又 // ，所以 // 或 ，
当 // 时，因为 ∩ = ， ，所以由线面平行性质定理可知 // ，
所以由平行传递性可得 // ；
当 时，因为 ， ∩ = ，所以直线 与直线 重合，故 // .
综上，若 ∩ = ， // , // ，则 // ，故 C 正确；
对于 D，若 ⊥ ， ⊥ ，所以 // 或 ，
当 // 时，存在直线 ，使得 // ，
又因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，则 ⊥ ；
当 时，因为 ⊥ ，所以 ⊥ .
综上，若 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，则 ⊥ .故 D 正确.
故选：B.
【变式 5-1】（24-25 高二上·广东广州·阶段练习）设 a，b 为两条直线， ， 为两个平面，且“ ⊥ ，
⊥ ”，则 ⊥ 是 ⊥ 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用直线与平面、平面与平面的垂直关系判断.
【解答过程】因为 ⊥ ， ⊥ ，且 ⊥ ，所以 ⊥ ,
又由 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，所以 ⊥ ，
所以 ⊥ 是 ⊥ 的充要条件，
故选:A.
【变式 5-2】（24-25 高二上·北京·阶段练习）如图，已知三棱锥 2的体积为3， = 1， = = 2，
⊥ ， 为 的中点．求证： ⊥ 平面 .
【解题思路】根据三棱锥的体积证明 ⊥ 平面 ，由面面垂直的判定定理得证平面 ⊥ 平面 ，再
由面面垂直的性质定理证明 ⊥ 平面 ；
【解答过程】（1）因为 = = 2， ⊥ ，所以 △ 为等腰直角三角形，
又 为 的中点，所以 ⊥ ，
△ 1 1的面积为2 × × = 2 × 2 × 2 = 2．
设三棱锥 1 2的高为 ，则 = 3 × 2 × = 3，
所以 = 1，因为 = 1，所以 是三棱锥 的高，
所以 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥ 平面 ，
因为平面 ∩ 平面 = ， 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥ 平面 ．
【变式 5-3】（24-25 高二上·北京·期中）如图，在三棱锥 中， △ 为等边三角形，点 O 为 的中
点， ⊥ ，平面 ⊥平面 .
(1)求证：直线 ⊥ 平面 ；
(2)已知 E 为 的中点，F 是线段 上的点， = .若 ⊥ ，求 λ 的值.
【解题思路】（1）根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，即可证明；
（2）由题意可证得 ⊥ ，进而得 // ，从而得出 F 为 中点，可得结论.
【解答过程】（1）因为 △ 为等边三角形，点 O 为 的中点，
所以 ⊥ ，又平面 ⊥ 平面 ，
平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ；
（2）由（1）知， ⊥ ，又 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ 平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
所以 // ，由 O 为 中点，可得 F 为 中点，由 = ，
可得 = 12.
【题型 6 求点面、线面距离】
【例 6】（23-24 高一下·河南郑州·期中）如图，直三棱柱 1 1 1的体积为4， △ 1 的面积为2 2，
则点 到平面 1 的距离为（ ）
A．4
B．3 2
C．2
D． 2
【解题思路】利用等体积法即可求点 到平面 1 的距离．
【解答过程】解：由直三棱柱 1 1 1的体积为4，
1 4
可得 1 = 3 1 1 1 = 3，
设 到平面 1 的距离为 ，
1 4
由 1 = 1 得3 △ 1 = 3
∴ 13 × 2
4
2 = 3，解得 = 2．
故选：D．
【变式 6-1】（24-25 高二上·吉林长春·期末）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥ 底面
， = = 2， = 1，点 是棱 的中点.直线 与平面 的距离为
A 3 8．1 B． C．3 D．3 2
【解题思路】根据 ⊥ 底面 ，得到 ⊥ ，再由底面 为矩形，得到 ⊥ ，利用线面垂直的
判定定理得到 ⊥ 平面 ，从而得到平面 ⊥ 平面 ，则点 A 到 FD 的距离，即点 A 到平面
的距离，根据 // ，则 //平面 ，则点 A 到平面 的距离，即为直线 AB 到平面 的距离，
然后在 △ 中求解.
【解答过程】如图所示：
取 PA 的中点 F，连接 EF，FD，
因为 ⊥ 底面 ，所以 ⊥ ，
因为底面 为矩形，所以 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥ 平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ，
所以点 A 到 FD 的距离，即为点 A 到平面 的距离，
因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
所以点 A 到平面 的距离，即为直线 AB 到平面 的距离，
在 △ 中， = 2, = 1, = 6，
2 2
3
所以点 A 到 FD 的距离为 = = .3
3
故直线 与平面 的距离为 .
3
故选：B.
【变式 6-2】（23-24 高一下·广西玉林·期中）如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1, 1 1均为正
方形， = = 1，∠ = 90°，点 D 是棱的 1 1中点，点 O 为 1 与 1交点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求点 1到平面 1 的距离．
【解题思路】（1）根据已知可得 // 1，再由线面平行的判定证结论；
（2）根据已知 △ 1 1 1是等腰直角三角形，应用线面垂直的判定和性质证 1 ⊥ ，并求出相关线段长，
应用等体积法有 1 1 = 1 1，求点面距离.
【解答过程】（1）由 O 是 1, 1的交点，又 1 1为正方形，则 O 为 1的中点，又 D 是 1 1中点，
在 △ 1 1中 // 1，又 面 1 , 1 面 1 ，故 1//平面 1 .
（2）三棱柱 1 1 1中， = = 1,∠ = 90°，且 △ △ 1 1 1，
易知 △ 1 1 1是等腰直角三角形，点 D 是棱的 1 1中点，
所以 1 21 1 = 2 1 1 = 2, 1 = 2 1 1 = ，2
2
四边形 1 1为正方形， 1 = 1 6，则 = 2 21 + 1 2 = 12 + = ，2 2
又 1 = 2，而 1 ⊥ 1 1， 1 ⊥ 1 1且 1// 1，则 1 ⊥ 2 1 1，
由 1 1 ∩ 1 1 = 1在面 1 1 1内，则 1 ⊥ 面 1 1 1， 1 面 1 1 1，
所以 1 ⊥ 1，而 1 ⊥ 1， 1 ∩ 1 = 1在面 1 1内，
则 1 ⊥ 面 1 1，
1 3
面 1 1，故 1 ⊥ ，所以 △ 1 = 2 1 = ，4
1 1 1 1
由 △ 1 1 = 2 1 1 = 4，则 1 1 = 3 1 △ 1 1 = 12，又 1 1 = 1 1，
若 1到平面 1
1 1
的距离为 d，则3 △ 1 = 12，可得 =
3.
3
【变式 6-3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 2, 1 = 3,∠ = 30 ，
且 ⊥ .
(1)求直三棱柱 1 1 1的表面积与体积；
(2)求证： //平面 1 1，并求出 到平面 1 1的距离.
【解题思路】（1）根据题意，结合表面积和体积公式进行计算即可；
（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可；过点 作 ⊥ 1，垂足为 ，则 ⊥ 平面 1 1， 即为
所求，Rt △ 1中，解出即可.
【解答过程】（1）因为 ⊥ , = 2,∠ = 30 ，
所以 = 3, = 1，
则直三棱柱 1 1 1的表面积为
= 底 + = 2 ×
1
侧 2 × 3 × 1 + (2 + 1 + 3) × 3 = 9 + 4 3，
1
其体积为 = 底 × 1 = 2 × 3 × 1 × 3 =
3 3.
2
（2）证明：因为 // 1 1, 1 1 平面 1 1, 平面 1 1，
所以 //平面 1 1.
过点 作 ⊥ 1，垂足为 .
由题意得 1 ⊥ ，又 ⊥ , ∩ 1 = ，
所以 ⊥ 平面 1 1，
又 平面 1 1，则 ⊥ ，
所以 ⊥ 1 1，又 1 1 ∩ 1 = 1,
1 1 平面 1 1, 1 平面 1 1,
所以 ⊥ 平面 1 1，
在 Rt △ 21中， 1 = 2 + 1 = 2 3,
×
= 1 = 3×3 = 3 2,1 2 3
所以 到平面 1
3
1的距离为2.
【题型 7 求面面距离】
【例 7】（23-24 高一下·贵州贵阳·期末）正方体 1 1 1 1的棱长为2 3，则平面 1 1到平面 1
的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】证明 1 ⊥ 平面 1 1， 1 ⊥ 平面 1 ，等体积法求 1点到平面 1 1的距离和 点到平面
1 的距离，可得平面 1 1到平面 1 的距离.
【解答过程】连接 1 , 1 1，正方体中， 1 ⊥ 平面 1 1 1 1， 1 1 平面 1 1 1 1，则 1 ⊥ 1 1，
正方形 1 1 1 1中，有 1 1 ⊥ 1 1，
1, 1 1 平面 1 1， 1 ∩ 1 1 = 1，所以 1 1 ⊥ 平面 1 1，
1 平面 1 1，则有 1 1 ⊥ 1 ，
同理有 1 ⊥ 1 ， 1 1, 1 平面 1 1， 1 1 ∩ 1 = 1，
所以 1 ⊥ 平面 1 1，同理有 1 ⊥ 平面 1 ，
正方体棱长为2 3，则 1 1 = 1 1 = 1 = 2 3， 1 1 = 1 = 2 6，
设点 1到平面 1 1的距离为 ，由 1 1 1 = 1 1 1，
1 3
有3 ×
1
2 × (2 3) =
1 × 13 2 × 2 6 × 2 6 ×
3 ，解得 = 2，
2
即点 1到平面 1 1的距离为 2，同理点 到平面 1 的距离为 2，
= (2 3)21 + (2 3)
2 + (2 3)2 = 6，
则平面 1 1到平面 1 的距离为6 2 2 = 2.
故选：B.
【变式 7-1】（2024·广东·二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面
体 就是一个半正多面体，其中四边形 和四边形 均为正方形，其余八个面为等边三
角形，已知该多面体的所有棱长均为 2，则平面 与平面 之间的距离为（ ）
A． 2 B 4 8 C 11 D 10． ． ．2 2
【解题思路】分别取 , 的中点 , ，作出截面 ，结合几何体的性质，确定梯形 的高即为平
面 与平面 之间的距离，由此即可求得答案.
【解答过程】分别取 , 的中点 , ，连接 , , , ，
根据半正多面体的性质可知，四边形 为等腰梯形；
根据题意可知 ⊥ , ⊥ ，
而 ∩ = , , 平面 ，
故 ⊥ 平面 ，又 平面 ，
故平面 ⊥ 平面 ，则平面 ⊥ 平面 ，
作 ⊥ ，垂足为 S，平面 ∩ 平面 = ，
平面 ，故 ⊥ 平面 ，
则梯形 的高即为平面 与平面 之间的距离；
= 2 × 3 = 3, = 2 2 2 = 2 1，2 2
故 = 2 2 = 3 ( 2 1)2 = 2 2 = 4 8，
即平面 与平面 之间的距离为4 8，
故选：B.
【变式 7-2】（23-24 高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱 1 1 1中，∠ = 90°， = 2， 1
= 4，E 是 1上的一点，且 1 = 1，D、F、G 分别是 1、 1 1、 1 1的中点， 与 1 相交于 ．
(1)求证： 1 ⊥ 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
【解题思路】（1）由已知条件得 ⊥ 平面 1 1 ，从而 ⊥ 1 ，又 1 ⊥ ，由此能证明 1 ⊥ 平面
．
（2）由已知条件推导出 //平面 ， //平面 ，由此能证明平面 //平面 ．由已知条件推导
出 为平行平面 与 之间的距离，由此能求出结果．
【解答过程】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面 ⊥ 平面 1 1 ，
又 ⊥ ，平面 ∩ 平面 1 1 = ， 平面 ，
∴ ⊥ 平面 1 1 ，
又 1 平面 1 1 ，
∴ ⊥ 1 ，
∵ = = 1 = 1 1 = 2，
∴ 在Rt △ 和Rt △ 1 1中，∠ = ∠ 1 1 = 45°，
∴ ∠ 1 = 90°，即 1 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面
∴ 1 ⊥ 平面 ．
（2）解：由题意知 1 = 1 = 1，
∴ 在Rt △ 1 中，∠ 1 = 45°，
又∠ 1 = 45°， ∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
∵ 、 分别为 1 1、 1 1的中点，
∴ // 1 1，又 1 1// ，
∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
∵ 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
∴ 平面 //平面 ．
∵ 1 ⊥ 平面 ，平面 //平面 ，
∴ 1 ⊥ 平面 ，
∴ 为平行平面 与 之间的距离，
∴ = 1 1 = 2 2 2 = 3 2，2 2
即平面 与 之间的距离为3 2．
2
【变式 7-3】（23-24 高一下·福建厦门·期末）如图，棱长为 2 的正方体 ABCD –A1B1C1D1中，E，F 分别是
棱 AA1，CC1的中点，过 E 作平面 ，使得 //平面 BDF.
(1)作出 截正方体 ABCD - A1B1C1D1所得的截面，写出作图过程并说明理由；
(2)求平面 与平面 的距离.
【解题思路】（1）根据平面与平面平行的性质可得 经过 , 1, 1，可得截面；
（2）转化为点线距，利用等体积法可求结果.
【解答过程】（1）连接 1 1, 1, 1，由正方体性质可得 // 1 1， // 1；
又 ∩ = ，所以平面 1 1//平面 ；
因为 //平面 ，且 ∈ ，所以平面 1 1与平面 重合，即平面 1 1就是 截正方体 ABCD - A1B1C1D1
所得的截面.
（2）由（1）可知平面 与平面 的距离等于点 1到平面 的距离；
设点 1到平面 的距离为 ，由题意可得 = 2 2, = = 5，所以 △ 的面积为 6； △ 1 的
面积为2；
1 1 2 6由 1 = 1 可得3 △ = 3 △ 1 × 2，解得 = .3
2 6
所以平面 与平面 的距离为 .
3
【题型 8 平行关系与垂直关系的综合应用】
【例 8】（2024·陕西榆林·模拟预测）在正方体 1 1 1 1中，E，F 分别是 1， 1的中点，则
（ ）
A． // B． 1//平面 BCE
C． ⊥ 1 D． ⊥ 平面 1 1
【解题思路】对于 A，说明 , 异面即可判断；对于 B，说明平面 //平面 1即可判断；对于 C，
可以用反证法导出矛盾，进而判断；对于 D，显然不垂直.
【解答过程】对于 A，
设 为 1中点，则 // ，但 , 相交，所以 , 异面，故 A 错误；
对于 B，设 1的中点为 H，则 // ， // 1，
因为 平面 ， 平面 ， 1 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ， 1//平面 ，
又因为 ∩ 1 = , , 1 平面 1，
故平面 //平面 1，
又 1 平面 1，故 1//平面 BCE，选项 B 正确．
对于 C，在 △ 1中， ≠ 1， = 1，故 EF 与 1不可能垂直（否则 垂直平分 1，会得到
= 1，这与 ≠ 1矛盾），C 选项错误．
对于 D，
易知 ⊥ 平面 1 1，又 ∩ = ，故 D 选项错误．
故选：B.
【变式 8-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 ， 的
一点，则下面结论中错误的是（ ）
A． ⊥
B． //平面
C．平面 ⊥ 平面
D． ⊥ 平面
【解题思路】由条件，结合线面垂直判定定理证明 ⊥ 平面 ，再证明 ⊥ ，判断 A，
由 ∥ ，根据线面平行判定定证明 //平面 ，判断 B，
由 ⊥ 平面 ，结合面面垂直判定定理证明平面 ⊥ 平面 ，判断 C，
设 ⊥ 平面 ，结合线面垂直性质可证 ∥ ，推出矛盾，判断 D.
【解答过程】因为四边形 是圆柱的轴截面，则线段 是直径， , 都是母线．
又 是底面圆周上异于 , 的一点，
于是得 ⊥ .
而 ⊥ 平面 ， 平面 ，则 ⊥ .
因为 ∩ ＝ ， , 平面 ，
则 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，因此得 ⊥ ，A 正确；
因为 ∥ , 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，B 正确；
因为 ⊥ 平面 ，而 平面 ，
所以平面 ⊥ 平面 ，C 正确．
点 不在底面 内，而直线 在底面 内，即 , 是两条不同直线，
若 ⊥ 平面 ，因 ⊥ 平面 ，
则 ∥ ，与 ∩ = 矛盾，D 不正确；
故选：D.
【变式 8-2】（23-24 高一下·贵州黔西·期末）如图，在正方体 1 1 1 1中．
(1)求证： 1∥平面 1 1；
(2)求证： 1 ⊥ 平面 1 1．
【解题思路】（1）根据题意可得 1 ∥ 1，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）连接 , 1 1，可得 1 1 ⊥ 1 ， 1 ⊥ 1 ，结合线面垂直的判定定理分析证明.
【解答过程】（1）因为 1 1 1 1为正方体，则 1 1∥ ，且 1 1 = ，
可知 1 1为平行四边形，则 1 ∥ 1，
且 1 平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 1∥平面 1 1.
（2）连接 , 1 1，
因为 1 1 1 1为正方形，则 1 1 ⊥ 1 1，
又因为 1 ⊥ 平面 1 1 1 1， 1 1 平面 1 1 1 1，则 1 1 ⊥ 1，
且 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1, 1 平面 1 1，
可得 1 1 ⊥ 平面 1 1，
由 1 平面 1 1，可得 1 1 ⊥ 1 ，
同理可得： 1 ⊥ 1 ，
且 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1, 1 平面 1 1，
所以 1 ⊥ 平面 1 1.
【变式 8-3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在三棱锥 中， ⊥ , = ，M 是 的中
点．点 N 在棱 上，点 D 是 的中点．
求证：
(1) //平面 ；
(2)平面 ⊥ 平面 ．
【解题思路】（1）只需证明 // ，结合线面平行的判定定理即可得证；
（2）只需证明 ⊥ 平面 ，结合面面垂直的判定定理即可得证.
【解答过程】（1）在 △ 中，M 是 的中点，D 是 的中点，
所以 // ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
（2）在 △ 中， = ，M 是 的中点，所以 ⊥ ．
又因为 ⊥ , 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥ 平面 ．
又因为 平面 ，所以平面 ⊥ 平面 ．
【题型 9 立体几何中的探索性问题】
【例 9】（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 ⊥ 底面 ，底面
是直角梯形， // ， ⊥ ， = = = = 1， = 2， 是 的中点.
(1)证明： ⊥ 平面 ；
π
(2)底边 上是否存在异于端点的一点 ，使得直线 与平面 所成的角为6？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据面面垂直的性质可知 ⊥ 平面 ，即可得 ⊥ ，由题意可得 ⊥ ，结合
线面垂直的判定定理分析证明；
π
（2）做辅助线，分析可知∠ = 6，由垂直关系可得 ⊥
，设 = ，利用等体积法运算求解.
【解答过程】（1）因为平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
由 平面 ，可得 ⊥ ，
又因为 是 的中点， = ，则 ⊥ ，
且 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥ 平面 .
π
（2）假设在 上存在异于端点的点 ，使得直线 与平面 所成的角大小为6.
过点 作 ⊥ 平面 ，垂足为 ，连结 、 、 ，
π
则 ⊥ ，∠ = 6，
设 = ， = 2，则 = = 2 ，
由（1）可知： ⊥ 平面 ， // ，
可知 ⊥ 平面 ，
由 平面 ，可得 ⊥ ，
在Rt △ 中， = 2 + 2 = 12 + (2 )2 = 1 + 4 2，
π
在Rt △ 中， = sin = 1+4 26 ，2
因为底面 是直角梯形， // ， ⊥ ， = = = = 1，
则 = 2 + 2 = 2， = 2 + 2 = 2，
1 2
可得 △ = 2 2 =
7 1 1
， △ = 2 = 2 × 2 × 1 = ，2 4
1 1 2
由 = 得，3 △ = 3 △ 2 ，2
1 × 7 × 1+4 2 = 1即3 3 × × 1
1
，解得 = 35，
4 2 4 10
π
故存在点 ，使得直线 与平面 所成的角大小为6，此时
35
= .10
【变式 9-1】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ⊥ 平面
， = 2 ．
(1)判断在梭 上是否存在一点 使 ⊥ 平面 ，若存在，求 ；若不存在，说明理由；
(2)当点 , 分别是 , 的中点时，求异面直线 和 的夹角的余弦值．
【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理以及性质定理，结合三角形相似即可得出结论；
（2）易知 // ，结合余弦定理即可求得异面直线 和 的夹角的余弦值．
【解答过程】（1）作 ⊥ 于点 ，如下图所示：
因为底面 为正方形，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
且 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
所以此时满足 ⊥ 平面 ；
又因为 ⊥ ，因此 △ △ △ ，
= 2 = = 因为 ，所以 = 2，所以 = 4；
1
可得 = 5
（2）由（1）可知 , , 两两垂直，
因为点 , 分别是 , 的中点，所以 // ，
因此异面直线 和 的夹角即为 和 的夹角，即∠ （或其补角）；
不妨取 = = 1，则 = 2，
所以 = 5, = 6，
在 △ 中，由余弦定理可得
2 + 2 2 6 + 5 1 30
cos∠ = 2 = =2 6 × 5 6
30
因此异面直线 和 的夹角的余弦值为 .
6
【变式 9-2】（23-24 高一下·浙江杭州·期末）三棱台 1 1 1中， ⊥ ，面 1 1 ⊥ 面 1 1，
1 = 1 1 = 1 = 2, = 4，且 1与底面 所成角的正弦值为 15.5
(1)求证： ⊥ 面 1 1；
(2)求三棱台 1 1 1的体积；
π
(3)问侧棱 1上是否存在点 ，使二面角 成6？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.1
【解题思路】（1）连接 1 ，过 1作 1 // 1交 于 ，由已知可得 1 ⊥ 1，又平面 1 1 ⊥ 平面
1 1，则 1 ⊥ 平面 1 1，可得 1 ⊥ ，又 ⊥ ，则可得 ⊥ 平面 1 1.
（2）由已知可得平面 1 1 ⊥ 平面 ，过 1作 1 ⊥ ，连接 ，可得 1 ⊥ 平面 ，求得 1 =
3，如图，延长侧棱交于点 ，作 ⊥ 于 ，连接 ，可求得 = 2，又因为 1与底面 所成角的
正弦值为 15，可求得 1 = 5，即可求得三棱台的体积.5
（3）如图，作 // 交 于 ，过 作 ⊥ 于 ，则 // ，由（2），可得 ⊥ 平面 ，则∠
即为二面角 的平面角，设 = 2 5 ，则 = 2 2 ， = 2 3 ，由 // ， 可得 = 2
(1 )，
π 1 π
若∠ = 16，可得 = 4，即 为 1中点，即侧棱 1上是存在点 ，使二面角 成6，则 = .1 2
【解答过程】（1）连接 1 ，
在梯形 1 1中，过 1作 1 // 1交 于 ，
由 1 = 1 1 = 1 = 2, = 4，
则 △ 1 为等边三角形,则∠ = 60°，
四边形 1 1为菱形，则∠ 1 = 30°，
所以∠ 1 = 90°，即 1 ⊥ 1，
因为平面 1 1 ⊥ 平面 1 1，平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = 1，
1 平面 1 1，
所以 1 ⊥ 平面 1 1，
又 平面 1 1，所以 1 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ 1 = ， 、 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 平面 1 1.
（2）因为 ⊥ 平面 1 1， 平面 ，
所以平面 1 1 ⊥ 平面 ，
过 1作 1 ⊥ ，连接 ， 1 平面 1 1，
平面 1 1 ∩ 平面 = ，
则 1 ⊥ 平面 ，
故几何体的高为 1 = 3，
如图，延长侧棱交于点 ，作 ⊥ 于 ，连接 ，
由已知 为 中点， = 2，
由（1）得， ⊥ 平面 ，
因为 101与底面 所成角的正弦值为 15，则余弦值为 ，5 5
2 3
= 2 1 = 2 3， = 15 = 2 5， = 2 2，
5
= 2 + 2 = 4，
由（1）得 ⊥ ，则 = 2 2 = 2，
又因为 1与底面 所成角的正弦值为 15，5
3
所以 1 = 15 = 5，
5
= 1 × 3 1故三棱台体积为 3 × 2 × 4 +
1 × 2 × 4 + 1 × 2 × 4 = 7 3.
2 4 8 3
（3）如图， 作 // 交 于 ，过 作 ⊥ 于 ，则 // ，
由（2）可得， ⊥ 平面 ，
则∠ 即为二面角 的平面角，
又 平面 ，则 ⊥ ，
= 2 5 10 10设 ，则 = = × 2 5 = 25 5 2 ，
则 = 2 5 2 (2 2 )2 = 2 3 ，
由 // ，得 = ，又 = = 2 2(1 )，
= 2 2(1 )所以 × 2 = 2(1 )，
2 2
π
若∠ = 2 3 36，则tan∠ = 2(1 ) = ，3
1
解得 = 54，所以 = ，即 为 2 1中点，
π
即侧棱 1上是存在点 ，使二面角 成6，
5 1
则 2 = = .1 5 2
【变式 9-3】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥 中，平面 ⊥ 平面 ，
⊥ ， // ， = = = 1， = 2， = 3.
为 的中点，点 在 上，且 =
1
2.
(1)求证： ⊥ 平面 ；
(2)在棱 3上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，若存在求出点 的位置，不存在请说明理由.
9
【解题思路】（1）利用面面垂直的性质定理，结合垂直关系的转化，即可正面线面垂直；
（2）根据（1）的结果，作出平面 与四棱锥的截面，通过点的转化，以及等体积转化，求得点 到平面
的距离，再根据比例关系，确定点 的位置.
【解答过程】（1）取 的中点 ，连结 ，则四边形 是正方形，
则 = = 1， ⊥ ，所以 = 2，且 = 1, = 3
所以 2 + 2 = 2,所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ，PA 在面 PAB 内，
所以 ⊥ 平面 ；
（2）
在 上取点 = 3 1，使 2，连结 ，在 上取点 ，使 = 3，
1 2在 上取点 ，使 = 3，连结 ，则 // ，且 = 3，则 = 1，
即 // // ，且 = ，
则四边形 是平行四边形，所以 // ，且 = ，即 // ，
则 // ，所以四点 , , , 四点共面，连结 ，
2 2 2 1
= 3 = 3 + = 3 + 4
2 1 1 1
= 3 + 4 = 2 + 6
= 12 +
1
2
1 1
，因为2 + 2 = 1，所以点 , , 三点共线，
所以 , , , , 五点共面，即 与平面 交于点 ，
由（1）可知， ⊥ 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，且 ⊥ ， ∩ = ，且 , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
且 △ 是等腰直角三角形，点 为 的中点，
所以 ⊥ ，且 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
1 1 1 2△ = 6 △ = 6 × 2 × × = ,12
1
所以 = 3 × △ × =
1
3 ×
2 × 2 = 1 ，
12 2 36
= 2， = 13 =
3
，cos∠ = 2 = 6，
2 3 3 3
1 6
所以 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 6，即 = ，6
因为 ⊥ 1，所以 △ = 2 × × =
1 × 22 ×
6 = 3，
2 6 12
设点 到平面 的距离为 ，则 = ，
1 3 1 3
即3 × × =12 36，所以 = ，3
3因为点 是 的中点，所以点 到平面 的距离也是 ，
3
3
若点 3 1到平面 的距离为 ，则 9
9 3
= = 3,
3
3
所以存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，点 为靠近点 的三等分点.
9
