第七章 复数全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（24-25 高一· 2全国·课后作业）在2 + 7，7i，8 + 5i，(1 3)i，0.618 这五个数中，纯虚数的个
数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据复数的定义、复数的分类判断．
2
【解答过程】7i，(1 3)i是纯虚数，2 + 7，0.618 是实数，8 + 5i是虚数．故纯虚数的个数为 2．
故选：C．
2．（5 分）（23-24 高一下·安徽合肥·期末）已知 ∈ R，(2 + i)i = 4 + 2i（i为虚数单位），则 等于（ ）
A．－1 B．1 C．－4 D．3
【解题思路】根据复数相等的条件列式即可求解.
【解答过程】由题意可得：2i = 4 + 2i，所以 = 4.
故选：C.
3．（5 分）（23-24 高一下·甘肃定西·期末）已知i为虚数单位，若i(1 ) = 1，则 = （ ）
A．1 + i B．1 i C．i D． i
【解题思路】根据条件，利用复数的运算及共轭复数的定义，即可求解.
【解答过程】因为i(1 ) = 1，所以1 = i，得到 = 1 + i，
所以 = 1 i．
故选：B.
4．（5 分）（2025 高一下·上海·专题练习） 1 3i的三角形式是（ ）
π π
A． 2(cos3 + isin3) B
2π
．2[cos( 3 ) + isin(
2π
3 )]
C 7π 7π．2(sin 6 + icos 6 ) D．2(cos
7π 7π
6 + isin 6 )
【解题思路】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得.
1 3 2π 2π
【解答过程】 1 3i = 2( 2 i) = 2[cos( 3 ) + isin( 2 3 )]，故 B 正确；
经检验，ACD 都错误.
故选：B.
5．（5 分）（23-24 高一下·福建龙岩·阶段练习）在复数范围内，方程 2 4 + 5 = 0的根是（ ）
A．2 + i B．2 i
C．2 ± i D．无解
【解题思路】利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可.
4±2i
【解答过程】由Δ = 16 4 × 5 = 4，则方程的根为4± Δ = 2 = 2 ± i.2
故选：C.
6．（5 分）（23-24 高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数3 + 4i， 2 + i对应的向量分别是 ， ，
其中 是原点，则向量 对应的复数为（ ）
A． 5 3i B． 1 3i C．5 + 3i D．5 3i
【解题思路】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解.
【解答过程】由题意可得 = (3,4)， = ( 2,1)，
所以 = = ( 2,1) (3,4) = ( 5, 3)，
所以向量 对应的复数为 5 3i.
故选：A.
7．（5 分）（23-24 高一下·安徽安庆·期末）若复数 = (2 ) + (2 1)i( ∈ )为纯虚数，则复数 在复
平面上的对应点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】借助纯虚数的定义可计算出复数 ，结合其几何意义即可得其在复平面上的对应点的位置.
【解答过程】 ∵ 复数 = (2 ) + (2 1)i( ∈ ) 2 = 0为纯虚数， ∴ 2 1 ≠ 0 ， ∴ = 2，
复数 = 3i 2 = 2 + 3i在复平面上的对应点为( 2,3)，位置在第二象限.
故选：B.
8．（5 分）（23-24 高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）发现了棣莫弗定理：设两个复
数 1 = 1(cos 1 + isin 1)， 2 = 2(cos 2 + isin 2)，（ 1， 2 > 0）则 1 2 = 1 2
1
[cos( 1 + 2) + isin( 1 +
3
2)]．设 = 20242 + i，则 的虚部为（ ）2
A 1 1 3 3． 2 B． 2i C． D． i2 2
【解题思路】根据题意化简 2024 = cos(2024 × 2π3 ) + sin(2024 ×
2π
3 )i即可得解.
= 1 + 3i=cos2π【解答过程】根据题意，由 2 3 + isin
2π
2 3
，
可得 2024 = cos(2024 × 2π3 ) + sin(2024 ×
2π
3 )i
= cos(4π3 ) + sin(
4π
3 )i=
1 32 i.2
故虚部为 3.
2
故选：C.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知复数 = 2 1 + ( + 1)i( ∈ )，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 为纯虚数，则 = 1
B．若 为实数，则 = 0
C 3．若 在复平面内对应的点在直线 = 2 上，则 = 2
D． 在复平面内对应的点可能在第三象限
【解题思路】根据复数的分类，即可列出方程或不等式，进而判断 A,B;根据复数的几何意义，即可列出方
程或不等式，进而可以判断 C,D.
2 1 = 0
【解答过程】对于 A，若 为纯虚数，则 + 1 ≠ 0 ，解得 = 1，A 正确；
对于 B，若 为实数，则 + 1 = 0，所以 = 1，此时 = 0，B 正确；
对于 C， 在复平面内对应的点为( 2 1, + 1)，
所以 + 1 = 2( 2 1)，即2 2 3 = 0，解得 = 1或 = 32，C 错误；
2
对于 D，若 1 < 0在复平面内对应的点在第三象限，则 + 1 < 0 无解，
所以 在复平面内对应的点不可能在第三象限，D 错误.
故选：AB.
10．（6 分）（23-24 高一下·青海·期末）已知复数 = (1 2i)(3 2i)，则（ ）
A． = 1 + 8i B．| | = 65
C． 的虚部是 8 D． 在复平面内对应的点位于第四象限
【解题思路】先化简 = 1 8i，再结合复数的概念，共轭复数，复数的模，复数在复平面内对应的点分别
判断各个选项即可.
【解答过程】因为 = (1 2i)(3 2i) = 3 2i 6i +4i2 = 1 8i，
则 = 1 + 8i，| | = 1 + 64 = 65， 的虚部是 8，
在复平面内对应的点为( 1, 8)，位于第三象限
故 ABC 正确，D 错误．
故选：ABC.
11．（6 分）（2024 高一下·全国· = 2 cos π专题练习）设 1 isin π 2π， 2 = 1 + i， 3 = 2 cos + isin 2π ，4 4 3 3
则（ ）
A． 1 2 = 2 B
2
． = 11
C． 1 2 3 = 2 + 2 3i D．arg 1 + arg 2 + arg
2π
3 = 3
【解题思路】根据复数三角形式的乘除运算法则求解即可.
π π π π 2π 2π
【解答过程】因为 1 = 2 cos + isin ， 2 = 2 cos + isin ， 3 = 2 cos + isin ，4 4 4 4 3 3
所以 1 2 = 2(cos0 + isin0) = 2，故 A 正确；
2 = 1 × cos π + isin
π = i，故 B 错误；
1 2 2
= 2 × 2 × 2 cos π + π + 2π + isin π + π + 2π = 4 cos 2π 2π1 2 3 + isin = 2 + 2 3i，故 C 正确；4 4 3 4 4 3 3 3
π
arg 1 =
7π
4 ,arg 2 = 4,arg
2π
3 = 3 ，所以arg 1 + arg 2 + arg
8π
3 = 3 ，故 D 错误，
故选：AC.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高一下·福建福州·期中）若复数 满足 (1 2i) = 1 + i，则 的共轭复数为
1 35 5i .
【解题思路】根据复数代数形式的除法运算化简复数 ，即可求出其共轭复数.
【解答过程】因为 (1 2i) = 1 + i，
1+i (1+i)(1+2i) = = = 1+2i+i+2i
2
所以 1 2i (1 2i)(1+2i) 5 =
1
5 +
3
5i，
1 3
所以 的共轭复数为 5 5i.
1 3
故答案为： 5 5i.
13．（5 分）（23-24 高一下·河北·期中）若复数 1， 2满足| 1 5 7i| = 1，| 2 + i| = | 2 i|，则| 1 2|的
最小值为 6 ．
【解题思路】在复平面内，根据复数的几何意义，结合直线与圆的位置关系分析即可.
【解答过程】由| 1 5 7i| = 1可知， 1对应的点是以 (5,7)为圆心，1 为半径的圆．
由| 2 + i| = | 2 i|可知， 2对应的点是以 (0,1)， (0, 1)为端点的线段 BC 的垂直平分线，也就是 x 轴．
| 1 2|为圆上一点与 x 轴上一点的距离的最小值，即为圆心到 x 轴的距离减去半径为 6．
故答案为：6.
14．（5 分）（23-24 高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设 是坐标原点，向量 =
π π π 3cos ,3sin ，将 绕 点顺时针旋转4得到向量
3 3
，则点 的坐标是 , 3 ．
12 12 2 2
π π
【解题思路】易得 对应的复数 = 3cos12 + isin12 = 3 cos
11π + isin 11π ，再由 对应的复数是
12 12
cos π + isin π 求解.
4 4
π π 11π 11π
【解答过程】解：设向量 对应的复数是 ，则 = 3cos12 + isin12 = 3 cos + isin ，12 12
所以 对应的复数是：
cos π + isin π = 3 cos 11π + isin 11π cos π + isin π ，
4 4 12 12 4 4
= 3 cos 2π
3 3
+ isin 2π = 2 + 2 3i，3 3
3 3所以 的坐标是 , 3 ，
2 2
3 3
故答案为： , 3 .
2 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2024 高一下·全国·专题练习）计算
(1)(2 + 4i) + (3 4i)
(2)5 (3 + 2i)
(3)( 3 4i) + (2 + i) (1 5i)
(4)(2 i) (2 + 3i) +4i
【解题思路】根据题意，结合复数的加法与减法的运算法则，准确运算，即可求解.
【解答过程】（1）解：由复数的运算法则，可得(2 + 4i) + (3 4i) = 5.
（2）解：由复数的运算法则，可得5 (3 + 2i) = 2 2i.
（3）解：由复数的运算法则，可得( 3 4i) + (2 + i) (1 5i) = 2 + 2i.
（4）解：由复数的运算法则，可得(2 i) (2 + 3i) +4i = 0.
16．（15 分）（23-24 高一下·河北邯郸·期中）已知复数 = ( 2 1) + ( 2 2)i， ∈ ．
(1)若 z 是纯虚数，求 m 的值；
(2)若 z 在复平面内对应的点在第四象限，求 m 的取值范围．
【解题思路】（1）由纯虚数定义直接求得；
（2）由 在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得．
【解答过程】（1） ∵ 是纯虚数，
2∴ 1 = 0 2 2 ≠ 0 ，
∴ = 1．
（2） ∵ 在复平面内对应的点为( 2 1, 2 2)，在第四象限，
2
∴ 1 > 0 2 2 < 0 ，
∴ 1 < < 2．
即 的取值范围为(1,2)．
17．（15 分）（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知复数 1 = 4 + i( ∈ )，且 1 (1 2i)为纯虚数.
(1)求复数 1；
= 1(2)若 2 (1 i)2，求复数 2及| 2|.
【解题思路】（1）根据 1 = 4 + i( ∈ )和 1 (1 2i)为纯虚数列关于 的方程组求解 ，求出复数 1；
（2）求出 1，求出 2，求出 2，求出| 2|.
【解答过程】（1）由 1 = 4 + i( ∈ )，所以(4 + i) (1 2i) = 4 + 2 + ( 8)i，
(1 2i) 4 + 2 = 0又 1 为纯虚数，所以 8 ≠ 0 ，
解得 = 2，所以复数 1 = 4 2i；
4+2i 4+2i (4+2i) 2i
（2）由（1）知 1 = 4 + 2i，所以 2 = (1 i)2 = 2i = ( 2i) 2i = 1 + 2i，
故 2 = 1 2i，| 2| = ( 1)2 + 22 = 5.
18．（17 分）（2025 高一下·上海·专题练习）已知 ( ) = 1，且 ( 1 2) = 4 + 4i，若 1 = 2 2i．
(1)求复数 1 = 2 2i的三角形式，并且复数 1的辐角主值arg 1；
1 (2) 2求| + |．1 2
【解题思路】（1）直接利用三角变换可得复数 1的三角形式及辐角主值arg 1.
（2）设 2 = + i( , ∈ R)，结合 ( ) = 1求得 2，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模
的计算公式求解．
【解答过程】（1） = 2 2i = 2 2( 2 2
7 7
1 i) = 22 2 2(cos 4 + isin 4 )，
则arg = 7 1 4 ；
（2）设 2 = + i( , ∈ R)，而 1 = 2 2i，则 1 2 = (2 ) ( + 2)i，
又 ( ) = 1，于是 ( 1 2) = (1 ) + ( + 2)i = 4 + 4i，
1 = 4
则 + 2 = 4 ，解得 = 3， = 2，即 2 = 3 + 2i，
1 2 5 4i
因此 + = 1 = 5 + 4i
1 2
，所以| 2 2
1 2 + | = ( 5) + 4 = 41．1 2
19．（17 分）（23-24 高一下·浙江绍兴·期中）已知复数 = 3 + i， ∈ R，其中i为虚数单位，若1+3i > 0.
(1)若 为 的共轭复数，求 在复平面内对应的点的坐标；
(2)若复数 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ R)的一个根，求实数 ， 的值.
【解题思路】（1）根据复数代数形式的除法运算化简1+3i，由1+3i > 0求出 ，即可得到 ，再求出其共轭复
数，最后根据复数的几何意义得解；
（2）将 代入方程，再由复数相等得到方程组，解得即可.
(3+ i)(1 3i)
【解答过程】（1 3+ i） ∵ 1+3i = 1+3i = =
3 +3+( 9)i
(1+3i)(1 3i) 10 =
3 +3 + 910 10 i，
9
又1+3i > 0，所以 10 = 0，解得 = 9，所以 = 3 + 9i，
∴ = 3 9i，则 在复平面内对应的点的坐标(3, 9)；
（2） ∵ = 3 + 9i是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ R)的一个根，
∴ (3 + 9i)2 + (3 + 9i) + = 0，得(3 + 72) + (54 + 9 )i = 0，
3 + 72 = 0 = 6
所以 54 + 9 = 0 ，解得 = 90 .第七章 复数全章综合测试卷（基础篇）
【人教 A 版 2019】
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 19 题，单选 8 题，多选 3 题，填空 3 题，解答 5 题，满分 150 分，限时 120 分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2．（5 分）（24-25 高一·全国·课后作业）在2 + 7，7i，8 + 5i，(1 3)i，0.618 这五个数中，纯虚数的个
数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（5 分）（23-24 高一下·安徽合肥·期末）已知 ∈ R，(2 + i)i = 4 + 2i（i为虚数单位），则 等于（ ）
A．－1 B．1 C．－4 D．3
3．（5 分）（23-24 高一下·甘肃定西·期末）已知i为虚数单位，若i(1 ) = 1，则 = （ ）
A．1 + i B．1 i C．i D． i
4．（5 分）（2025 高一下·上海·专题练习） 1 3i的三角形式是（ ）
π π
A． 2(cos3 + isin3) B．2[cos(
2π 2π
3 ) + isin( 3 )]
C．2(sin7π6 + icos
7π 7π
6 ) D．2(cos 6 + isin
7π
6 )
5．（5 分）（23-24 高一下·福建龙岩·阶段练习）在复数范围内，方程 2 4 + 5 = 0的根是（ ）
A．2 + i B．2 i
C．2 ± i D．无解
6．（5 分）（23-24 高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数3 + 4i， 2 + i对应的向量分别是 ， ，
其中 是原点，则向量 对应的复数为（ ）
A． 5 3i B． 1 3i C．5 + 3i D．5 3i
7．（5 分）（23-24 高一下·安徽安庆·期末）若复数 = (2 ) + (2 1)i( ∈ )为纯虚数，则复数 在复
平面上的对应点的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（5 分）（23-24 高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）发现了棣莫弗定理：设两个复
数 1 = 1(cos 1 + isin 1)， 2 = 2(cos 2 + isin 2)，（ 1， 2 > 0）则 1 2 = 1 2
1
[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)]．设 = 2 +
3i，则 2024的虚部为（ ）
2
A 1 1 3． 2 B． 2i C． D．
3i
2 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知复数 = 2 1 + ( + 1)i( ∈ )，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 为纯虚数，则 = 1
B．若 为实数，则 = 0
C 3．若 在复平面内对应的点在直线 = 2 上，则 = 2
D． 在复平面内对应的点可能在第三象限
10．（6 分）（23-24 高一下·青海·期末）已知复数 = (1 2i)(3 2i)，则（ ）
A． = 1 + 8i B．| | = 65
C． 的虚部是 8 D． 在复平面内对应的点位于第四象限
11 6 π π 2π 2π．（ 分）（2024 高一下·全国·专题练习）设 1 = 2 cos isin ， 2 = 1 + i， 3 = 2 cos + isin ，4 4 3 3
则（ ）
A 2． 1 2 = 2 B． = 11
C． 1 2 3 = 2 + 2 3i D．arg 1 + arg 2 + arg 3 =
2π
3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高一下·福建福州·期中）若复数 满足 (1 2i) = 1 + i，则 的共轭复数为 .
13．（5 分）（23-24 高一下·河北·期中）若复数 1， 2满足| 1 5 7i| = 1，| 2 + i| = | 2 i|，则| 1 2|的
最小值为 ．
14．（5 分）（23-24 高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设 是坐标原点，向量 =
π
3cos π ,3sin π ，将 绕 点顺时针旋转4得到向量 ，则点 的坐标是 ．12 12
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2024 高一下·全国·专题练习）计算
(1)(2 + 4i) + (3 4i)
(2)5 (3 + 2i)
(3)( 3 4i) + (2 + i) (1 5i)
(4)(2 i) (2 + 3i) +4i
16．（15 分）（23-24 高一下·河北邯郸·期中）已知复数 = ( 2 1) + ( 2 2)i， ∈ ．
(1)若 z 是纯虚数，求 m 的值；
(2)若 z 在复平面内对应的点在第四象限，求 m 的取值范围．
17．（15 分）（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知复数 1 = 4 + i( ∈ )，且 1 (1 2i)为纯虚数.
(1)求复数 1；
1
(2)若 2 = (1 i)2，求复数 2及| 2|.
18．（17 分）（2025 高一下·上海·专题练习）已知 ( ) = 1，且 ( 1 2) = 4 + 4i，若 1 = 2 2i．
(1)求复数 1 = 2 2i的三角形式，并且复数 1的辐角主值arg 1；
(2)求| 1 2 |．1+ 2
19．（17 分）（23-24 高一下·浙江绍兴·期中）已知复数 = 3 + i， ∈ R，其中i为虚数单位，若1+3i > 0.
(1)若 为 的共轭复数，求 在复平面内对应的点的坐标；
(2)若复数 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ R)的一个根，求实数 ， 的值.
