第七章 复数全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（2024 高一下·江苏·专题练习）下列命题：
①若 ∈ R，则( + 1)i是纯虚数；
②若 ， ∈ R，且 > ，则 + i> +i；
③若( 2 4) + ( 2 + 3 + 2)i是纯虚数，则实数 =± 2；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解题思路】对于①，当 = 1时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当 = 2时，
即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断.
【解答过程】对于①，若 = 1，则( + 1)i不是纯虚数，则①错误；
对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；
对于③，若 = 2，则 2 4 = 0， 2 +3 + 2 = 0，此时( 2 4) + ( 2 + 3 + 2)i不是纯虚数，则③错误；
对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确.
故选：D.
2．（5 分）（23-24 高一下·湖南株洲·期末）已知复数 满足(1 i) = | 3 + i|，则 在复平面内所对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出 ，根据共轭复数得到 ，然后由复数的几
何意义进行判断.
【解答过程】根据复数的模长公式，| 3 + i| = 32 + 12 = 2，
2
则(1 i) = 2 2(1+i)，故 = 1 i = 1 i2 = 1 + i，故 = 1 i，
根据复数的几何意义， 在复平面上对应点是(1, 1)，在第四象限.
故选：D.
3．（5 分）（23-24 高一下·江苏苏州·期中）已知复数 满足| 1| = 1，则| + 2 + 4i|（i是虚数单位）的最
小值为（ ）
A． 17 1 B．4 C． 17 +1 D．6
【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果.
【解答过程】设 = + i，则由| 1| = 1 ( 1)2 + 2 = 1，
所以复数 在复平面内对应的点坐标在(1,0)为圆心，1 为半径的圆上，如下图所示：
而| + 2 + 4i| = ( + 2)2 + ( + 4)2，
即求复平面内点( , )到( 2, 4)距离的最小值，
由圆的几何性质可知当点( , )位于( 2, 4)与圆心(1,0)点连线交点时，取到最小值，
即 ( 2 1)2 + ( 4 0)2 1 = 4
故选：B.
4．（5 分）（23-24 高一下·福建福州·期中）已知复数 1 = 1 + 3i， 2 = 3 + i，则 1 2在复平面内对应的点
所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】根据题意，求得 1 2 = 2 + 2i，结合复数的几何意义，即可求解.
【解答过程】由复数 1 = 1 + 3i， 2 = 3 + i，则 1 2 = 2 + 2i，
则复数 1 2在复平面内对应的点为( 2,2)，位于第二象限.
故选：B.
5．（5 分）（23-24 高一下·江苏无锡·期末）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．i + i3 + i5 + i7是纯虚数
B．若 (1 + i) = 2，则 是方程 2 + 1 = 0的一个复数根
C．若 ∈ C，则| 2| = | |2
D．若复数 满足1 < | | < 2，则复数 在复平面内对应的点所构成的图形面积为π
【解题思路】根据虚数i运算法则和复数的分类，可判定 A 错误；根据复数的运算法则，可判定 B 错误；根
据复数模的计算公式，可判定 C 正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定 D 正确.
【解答过程】对于 A 中，由i + i3 + i5 + i7 = i i + i i = 0，不是纯虚数，所以 A 不正确；
2(1 i)
对于 B 中，由 (1 + i) = 2，可得 = (1+i)(1 i) = 1 i，
因为(1 i)2 (1 i) +1 = 2i 1 + i +1 = i ≠ 0，
所以 不是方程 2 + 1 = 0的一个复根，所以 B 不正确；
对于 C 中，设复数 = + i,( , ∈ R)，可得 2 = 2 2 +2 i，
所以| 2| = ( 2 2)2 + (2 )2 = 2 + 2，
又由| |2
2
= ( 2 + 2) = 2 + 2，所以| |2 = | |2，所以 C 正确；
对于 D 中，设 = + i,( , ∈ R)，由1 < | | < 2，可得1 < 2 + 2 < 4，
所以复数 在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环，
其中小圆的半径为1，大圆的半径为2，其面积为 = π × 22 π × 12 = 3π，所以 D 错误.
故选：C.
6．（5 分）（24-25 高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知复数 满足 = 4且 + + 2| | = 0，则 1931+2021
的值为（ ）
A． 21976 B． 23952 C．21976 D．23952
【解题思路】首先根据条件求得复数 ，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值.
【解答过程】设 = + i（x,y∈R），
= ( + i)( i) = 2 + 2 = 4，即| | = 2 + 2 = 2，
+ + 2| | = 0 2 + 2 2 = 0，解得： = 2
∵ 2 + 2 = 4， ∴ =± 2
当 = 2 + 2i时，
3
= 2 2 + 2 i = 2 cos 3 + sin 3 i = 2 i 4 ，
2 2 4 4
3 3952
则 1931+2021 = 2 i 4 = 23952 i2964
= 23952[cos(2964 ) + isin(2964 )]
= 23952(cos0 + isin0) = 23952，
当 = 2 2i时，
2 2
= 2 2 + 2 i = 2 cos 4 + sin 4 i = 2
i4
i 3952
则 1931+2021 = 2 4 = 23952 i988
= 23952[cos(988 ) + isin(988 )]
= 23952(cos0 + isin0) = 23952，
故选：D.
7．（5 分）（23-24 高一下·上海·阶段练习）已知i为虚数单位，复数 满足| | = 1．则|( + 1)( i)|取最大
值时，在复平面上以 对应的点， ( 1,0), (0,1)为顶点的三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解题思路】假设 =cos + isin ，根据模长公式构造关于 ( )的函数，从而可确定当 ( )取最大值时， 的
取值，从而求得 ；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状.
【解答过程】因为 | | = 1，所以可设 =cos + isin ，
所以( + 1)( i)=(cos + isin + 1)(cos isin i) = cos2 icos sin icos + cos isin i+icos sin
+ sin2 + sin = (cos + sin + 1) i(cos + sin + 1)，
所以 ( ) = (cos + sin + 1)2 + (cos + sin + 1)2 = 2[1 + 2sin( + π )]2，
4
π
当sin( + 4) = 1时， ( )取最大值，
π π π
即当 + 4 = 2 +2 π, ∈ Z，即 = 4 +2 π, ∈ Z时， ( )取最大值，
此时 = 2 + 2i, = 2 2i，
2 2 2 2
所以 对应的点 ( 2, 2)，
2 2
2 2 2 2
所以| |2 = ( 1 2 ) + (0 + 2 ) = 2 +2 2 2，| |
2 = (0 2 ) + (1 + 2 ) = 2 +
2 2 2，
| |2 = (1 0)2 + (0 1)2 = 2，
所以| | = | |,| |2 +| |2 ≠ | |2，根据各边关系易知各边对应角为锐角，
所以该图形为等腰三角形.
故选：D.
8．（5 分）（23-24 高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于 1748 年提出了著名的欧拉公式：ei = cos +
isin ，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与
指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项
正确的是（ ）
π
A．e i2 的虚部为i
π
B i．复数e4 在复平面内对应的点位于第二象限
i i
C．sin = e e2
π
D = e i．若 3 , = e i1 2 在复平面内分别对应点 1,
1
2，则 △ 1 2面积的最大值为2
π π
【解题思路】代入 = 2即可判断 A；代入 = 4即可判断 B；对等式右边进行代换化解即可判断 C；代入
π
= 3，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断 D.
πi π π
【解答过程】对于 A，e2 = cos2 + isin2 = i，其虚部为 1，A 错误；
πi π π π
对于 B， e4 = cos4 + isin
2 2 i
4
4 = + i，复数e 在复平面内对应的点位于第一象限，B 错误；2 2
ei C e
i cos +isin [cos( )+isin( )]
对于 ， 2 = 2
= cos +isin (cos isin )2 = isin ，故 C 错误；
πi π π 1 3
对于 D， = e3 =cos i1 3 + isin3 = 2 + i， 2 = e = cos + isin ，2
2 2
| | = ( 11 ) + ( 3 ) = 1，| 2| = cos2 + sin2 = 1，2 2
π π
△ 1 1 1因此 1 2的面积为：2| 1|| 1|sin( 3) = 2sin( 3)， △ 1 2面积的最大值为2，D 正确.
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高一下·江苏徐州·期末）设 1， 2是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 1是纯虚数，则 21 < 0
B．若 21 + 22 = 0，则 1 = 2 = 0
C．若 1 = 2，则| 1| = | 2|
D．若| 1| = | 2|，则 1 1 = 2 2
【解题思路】对于 A 代入 1 = i( ∈ )即可判断正误，对于 B 取特殊值 1 = i, 2 = 1验证即可，
对于 C 设 1 = + i，求得| 1|,| 2|即可判断正误，对于 D 设 1 = + i, 2 = + i,代入验证即可求得.
【解答过程】A. 2 2 21 = i( ∈ R)，则 1 = ( i) = < 0，故 A 正确；
B.当 1 = i, 2 = 1时， 2 21 + 2 = 0，但得不出 1 = 2 = 0，故 B 错误；
C.设 1 = + i，则 1 = 2 = i， 2 = + i，所以| 1| = | 2| = 2 + 2，C 正确；
D.设 1 = + i, 2 = + i,则| 1| = | 2|得 2 + 2 = 2 + 2，又 1 1 = ( + i) × ( i) = 2 + 2， 2 2
= ( + i) × ( i) = 2 + 2，
故 1 1 = 2 2成立，D 正确.
故选：ACD.
10．（6 分）（23-24 · 1 3高一下 重庆九龙坡·期中）已知复数 = 2 + i，则下列结论正确的有（ ）2
A 1． = B．复数
4 +1 3的虚部为 i
2
C．| 2| = | |2 D．复数 w 满足| | = 1，则| |的最大值为 2
【解题思路】利用复数的四则运算、乘方运算以及共轭复数的概念可判断 A 正确，B 错误，C 正确，利用
复数的几何意义可求得 D 正确.
1 3 1 2 2( 1 3i) 2( 1 3i) 1 3
【解答过程】对于 A，由 = 2 + i可得 = = = = i2 1+ 3i ( 1+ 3i)( 1 3i) ；4 2 2
1 3 1
而 = 2 i，所以可得 = ，即 A 正确；2
1 2
2 2
对于 B， 4 +1 = + 3 i +1 = 1 3 i +1 = 12 +
3i 3
2 2 2 2 ，其虚部为 ，即 B 错误；2 2
2 21
对于 C，| 2| = | + 3 i | = | 1 3 i| = 1,| |2 = | 1 + 3 i| = 12 = 12 2 ，即可得 C 正确；2 2 2 2
2 2
对于 D，设 = + i, , ∈ R 1 3，则由| | = 1可得 + + = 12 2 ，
所以复数 1对应的点的轨迹是以 , 3 为圆心，半径为 1 的圆，
2 2
因此| | = 2 + 2的最大值为1 + 1 = 2，即可得 D 正确；
故选：ACD.
11．（6 分）（23-24 高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式e = cos + isin 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该
公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常
重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
π
A． 2e i4 × 3i = 3 + 3i B．e3πi < 0
e4i |2e( +5)iC． 在复平面内对应的点位于第四象限D． | = 12 2i
【解题思路】对于 A，B，由e i = cos + isin 代入运算即可判断，对于 C，代入，得其对应的点坐标
2e( +5)i ( +5)i
(cos4,sin4)，进行判断即可；对于 D，将 代入化简，再求 2e 即可判断.2 2i | 2 2i|
π
【解答过程】对于 A：由题意得： 2e i × 3i = 2 cos π4 + isin π × 3i = (1 + i) × 3i = 3 + 3i，故 A 正确；
4 4
对于 B：由题意得：e3πi = cos3π + isin3π = 1 < 0，故 B 正确；
对于 C：由题意得：e4i = cos4 + isin4，则其对应的点为(cos4,sin4)，
∵4 ∈ π, 3π ，则cos4 < 0,sin4 < 0，
2
∴e4i对应的点位于第三象限，故 C 错误；
2e( +5)iD = 2[cos( +5)+isin( +5)]( 2+ 2i)对于 ：由题意可得：
2 2i ( 2 2i)( 2+ 2i)
2 2[cos( + 5) sin( + 5)] + 2 2[cos( + 5) + sin( + 5)]i
= 4
2 2
= 2 [cos( + 5) sin( + 5)] + 2 [cos( + 5) + sin( + 5)]i
2 2
|2e( +5)i| 2 2= 2 [cos( + 5) sin( + 5)] + 2 [cos( + 5) + sin( + 5)]2 2i
= cos2( + 5) + sin2( + 5) = 1，故正确.
故选：ABD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数3 3i对应的向量绕原点 O 按顺时针
方向旋转 90°后，则所得向量对应的复数为 3 3i （用代数形式表示）.
【解题思路】根据复数的几何意义，结合三角形计算即可.
【解答过程】
如图所示，复数3 3i对应的向量 = (3, 3),则∠ = 30°,| | = 32 + 32 = 2 3,
绕原点 按顺时针方向旋转 90°，得向量 ,则∠ = 60°,| | = | | = 2 3,
则向量 = ( 3, 3),对应的复数为 3 3i.
故答案为： 3 3i.
13．（5 分）（23-24 高一下·广东东莞·期中）复平面上两个点 1, 2分别对应两个复数 1, 2，它们满足下列
两个条件：① 2 = 1 2i；②两点 1, 2连线的中点对应的复数为3 + 4i，若 为坐标原点，则 △ 1 2的面
积为 20 .
【解题思路】设 1 = + i( , ∈ )，根据复数的运算及集合意义可得点 1, 2的坐标，再根据中点坐标公式
列方程求得 , 的值，从而可得向量 1, 2的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得 △ 1 2
的面积.
【解答过程】设 1 = + i( , ∈ )，
则 2 = 1 2i = ( + i) 2i = 2 + 2 i.
所以点 1, 2的坐标分别为 1( , ), 2( 2 ,2 )
又两点 1, 2连线的中点对应的复数为3 + 4i，
2 = 3, = 22 ,
∴ 22 + 解得 5= 4, = 4 .
2 5
| | 22 2 4 2 | | 8 2 2∴ 1 = + = 2 5, 2 = + 44 = 4 5.5 5 5 5
又 1 = ( , ), 2 = ( 2 ,2 ),
∴ 1 2 = 0, ∴ 1 ⊥ 2
∴△ 1
1
2的面积为 = 2 × 2 5 × 4 5 = 20.
故答案为：20.
14．（5 分）（23-24 高二上·上海杨浦·期末）已知复数 1 2满足| 1| = 3,| 2| = 1，若 1和 2的幅角之差为
π | 913，则 1 2 = . |1+ 2 13
1
【解题思路】分别设 1 = 3(cos 1 + isin 1)， 2 = cos 2 + isin 2，可得 = 3[cos( ) + isin( )] ，2 1 2 1 2
π π 1
1
= = 1 | 1 | | 1| | 1|由题意可得 或 ，即可得 ，再代入 2 = = 2 21 2 3 1 2 3 1 | |计算即可求解.2 1+ 2 +1 1 2 +12
【解答过程】因为| 1| = 3,| 2| = 1，设 1 = 3(cos 1 + isin 1)， 2 = cos 2 + isin 2，
1 = 3(cos 1+isin 1)
3(cos 1+isin 1)(cos 2 isin 2)
所以 2 cos 2+isin
=
2 (cos 2+isin 2)(cos 2 isin 2)
3[cos 1cos 2 + sin = 1
sin 2 + i(sin 1cos 2 cos 1sin 2)]
cos2 2 + sin2 2
= 3[cos( 1 2) + isin( 1 2)]
1
| 1 2 12 | = 1 + 2 | 1 + 1|2
π π
由题意可知 1 2 = 3或 1 2 = 3，
π
当 1
1 π π 3 3 3
2 = 3时， = 3 cos + isin = 2 + i， 2 3 3 2
1 1 3 3 1 27| 1 2 = 1 | + i| +2 = 2 2 = 4 4 = 7 = 91， 1+ | 12 | +1| |5+3 3 i| 25+27 13 132 2 2 4 4
π
= 1 = 3 cos π
3
当 1 2 3时， + isin
π = 2
3 3i，
2 3 3 2
1 27
| | | 1 1 1 3 3 i +1 2 = | |2 = 2 2 4 4 7 91 + 1 +1| |5 3 3 | = = = ，1 2 i 25 2 2 2 +27 13 134 4
综上所述：| 1 2 = 91， 1+ |2 13
91
故答案为： .
13
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
2
15．（13 分）（23-24 2 8高一下·全国·课堂例题）复数 = 2 2 + i( ∈ R)，当实数 m 取什么值时，
(1) 是实数；
(2) 是虚数；
(3) 是纯虚数．
【解题思路】（1）根据复数 是实数，列出方程，解方程即可得解；
（2）根据复数 是虚数，列出方程，解方程即可得出答案；
（3）根据复数 是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案.
2 2 8
【解答过程】（1）因为复数 为实数，所以 = 0，即 = 4或 = 2，
所以 = 4或 = 2时，复数 为实数.
2
2 2 8（ ）因为 为虚数，则 ≠ 0，解得 ≠ 4且 ≠ 2且 ≠ 0，
所以 ≠ 4且 ≠ 2且 ≠ 0时，复数 为纯虚数.
2 2 = 0
（3）因为 为纯虚数，则 2 2 8 ≠ 0 ，解得 = 2，
所以 = 2时，复数 为纯虚数.
16．（15 分）（23-24 高一下·山西·期中）已知 ∈ ，复数 1 = ( 2 + ) + ( 2 1)i， 2 = 2 + i.
(1)若 1 2在复平面内对应的点位于第三象限，求 的取值范围；
(2)设 为坐标原点， 1， 2在复平面内对应的点分别为 ， （不与 重合），若 = 0，求| 1 2|.
【解题思路】（1）求出 1 2，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得.
（2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出 ，进而求出 1， 2，再求出复数的模.
【解答过程】（1）依题意， = ( 21 2 ) + ( 2 2)i，而 1 2在复平面内对应的点位于第三象限，
2 < 0
则 2 2 < 0 ，解得0 < < 1，
所以 m 的取值范围为(0,1).
（2）依题意， = ( 2 + , 2 1)， = (2 ,1)，
1
由 = 0，得2 ( 2 + ) + 2 1 = ( + 1)2(2 1) = 0，解得 = 2或 = 1，
而 = 1时， (0,0) 1 3 3为原点，不符合题意，因此 = 2， 1 = 4 4i， 2 = 1 + i， 2 = 1 i，
所以| 1 1 21 2| = | 4 + 4i| = ．4
17．（15 分）（23-24 高一下·上海杨浦·期中）已知关于 x 的实系数一元二次方程 2 + + 9 = 0.
(1)若复数 z 是该方程的一个虚根，且| | + = 4 2 2i，求 m 的值；
(2)记方程的两根为 1和 2，若| 1 2| = 2 3，求 m 的值.
【解题思路】（1）利用| |2 = ，结合韦达定理可求解.
（2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解.
【解答过程】（1）解：因为| |2 = = 9，所以| | = 3，因为| | + = 4 2 2i，所以 = 1 2 2i，
所以 = 1 + 2 2i，由韦达定理可得 = + = 2，所以 = 2；
（2）解：若方程的两根为实数根，则| 1 2| = ( 1 + 2)2 4 1 2 = 2 36 = 2 3，
解得 =± 4 3，
若方程的两根为虚数根，则设 1 = + i， 2 = i, , ∈ R，可得| 1 2| = |2 | = 2 3，
则 2 21 = + 3i， 2 = 3i， 1 2 = +3 = 9，所以 = 6，所以 =± 6，
由韦达定理可得 = 1 + 2 =± 2 6，所以 =± 2 6，
此时Δ = 2 36 < 0，满足题意，
综上， =± 2 6或 ± 4 3.
18．（17 分）（24-25 高一下·上海奉贤·阶段练习）设虚数 21、 2满足 1 = 2.
(1)若 1、 2又是一个实系数一元二次方程的两个根，求 1、 2；
(2)把（1）中虚部大于零的根记作 ，对任意整数 ，计算 + +1 + +2；
(3)若 1 = 1 + i(i为虚数单位， 为实数），| 1| ≤ 2，复数 = 2 +3，求| |的取值范围.
【解题思路】（1）设出 1的代数形式，利用实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数列式求解作答.
（2）利用复数的加减及乘法运算计算作答.
（3）根据给定条件，求出 2的范围，再将| |表示为 2的函数，求出函数的值域作答.
【解答过程】（1）设 1 = + i, , ∈ R，则 2 = ( + i)2 = 2 2 +2 i，又 1, 2是虚数，即有 ≠ 0，
因为 1、 2是一个实系数一元二次方程的两个根，则 1、 2互为共轭复数，
2 2 = 1 3
因此 2 = ，解得 = 2, =± ，2
= 1 3所以 1 2 i， =
1
2 2 +
3i = 1 3或 1 2 + i， 2 =
1 3
2 2 2 2
i.
2
2 1 1 3（ ）由（ ）知， = 2 + i，则1 + +
2 = 1 + (1 + ) = 1 + ( 1 3 1 32 + i)(2 + i) = 1 1 = 0，2 2 2
对任意整数 ， + +1 + +2 = (1 + + 2) = 0.
（3）由 1 = 1 + i知 ∈ R, ≠ 0，又| 1| ≤ 2，即1 < 1 + 2 ≤ 2，则0 < 2 ≤ 1，
= 21 +3 = (1 + i)2 +3 = 4 2 +2 i，
所以| | = (4 2)2 + 4 2 = ( 2 2)2 + 12 ∈ [ 13,4).
19．（17 分）（23-24 高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数 = + i都可以表示成 (cos + isin )
的形式.其中 是复数 的模， 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复
数 = + i的辐角， (cos + isin )叫做复数 = + i的三角形式.②方程 = 1（ 为正整数）有 个不同
的复数根；
(1)求证： 1(cos 1 + isin 1) 2(cos 2 + isin 2) = 1 2[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)]；
(2) 1 3设 = + i，求 20242 ；2
(3)试求出所有满足方程 6 = 1的复数 的值所组成的集合.
【解题思路】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明；
（2）根据题意，将复数 化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果.
【解答过程】（1）证明： 1(cos 1 + isin 1) 2(cos 2 + isin 2)
= 1 2[cos 1cos 2 sin 1sin 2 + (cos 1sin 2 + sin 1cos 2)i]
= 1 2[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)].
2 = 1 + 3i = cos2π + isin2π（ ）依题意， 2 2 3 3 ，
2024
2024 = cos 2π + isin 2π = cos4048π + isin4048π所以 3 3 = cos
4π
3 + isin
4π
3 =
1 3i
3 3 2 .2
（3）设 = cos + isin ，则 6 = (cos + isin )6 = cos6 + isin6 = 1，
因此sin6 = 0,cos6 = 1,6 = 2 π, ∈ = π，解得 3 , ∈ ，
π 2π 4π 5π
由终边相同的角的意义，取 = 0,1,2,3,4,5，则对应的 依次为0,3, 3 ,π, 3 , 3 ，
1,1 + 3i, 1 3 1 3 1 3因此对应的 依次为 2 2 2 + i, 1, 2 2 i,2 i，2 2
所以所求的集合是 1, 1 + 3 i, 1 + 3 i, 1, 1 3 i, 1 3 i .
2 2 2 2 2 2 2 2第七章 复数全章综合测试卷（提高篇）
【人教 A 版 2019】
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 19 题，单选 8 题，多选 3 题，填空 3 题，解答 5 题，满分 150 分，限时 120 分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（2024 高一下·江苏·专题练习）下列命题：
①若 ∈ R，则( + 1)i是纯虚数；
②若 ， ∈ R，且 > ，则 + i> +i；
③若( 2 4) + ( 2 + 3 + 2)i是纯虚数，则实数 =± 2；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（5 分）（23-24 高一下·湖南株洲·期末）已知复数 满足(1 i) = | 3 + i|，则 在复平面内所对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5 分）（23-24 高一下·江苏苏州·期中）已知复数 满足| 1| = 1，则| + 2 + 4i|（i是虚数单位）的最
小值为（ ）
A． 17 1 B．4 C． 17 +1 D．6
4．（5 分）（23-24 高一下·福建福州·期中）已知复数 1 = 1 + 3i， 2 = 3 + i，则 1 2在复平面内对应的点
所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（5 分）（23-24 高一下·江苏无锡·期末）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．i + i3 + i5 + i7是纯虚数
B．若 (1 + i) = 2，则 是方程 2 + 1 = 0的一个复数根
C．若 ∈ C，则| 2| = | |2
D．若复数 满足1 < | | < 2，则复数 在复平面内对应的点所构成的图形面积为π
6．（5 分）（24-25 高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知复数 满足 = 4且 + + 2| | = 0，则 1931+2021
的值为（ ）
A． 21976 B． 23952 C．21976 D．23952
7．（5 分）（23-24 高一下·上海·阶段练习）已知i为虚数单位，复数 满足| | = 1．则|( + 1)( i)|取最大
值时，在复平面上以 对应的点， ( 1,0), (0,1)为顶点的三角形的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．（5 分）（23-24 高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于 1748 年提出了著名的欧拉公式：ei = cos +
isin ，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与
指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项
正确的是（ ）
π
A．e i2 的虚部为i
π
B i．复数e4 在复平面内对应的点位于第二象限
i
C sin = e e
i
． 2
π
D i．若 1 = e3 , 2 = e i
1
在复平面内分别对应点 1, 2，则 △ 1 2面积的最大值为2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高一下·江苏徐州·期末）设 1， 2是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 1是纯虚数，则 21 < 0
B．若 21 + 22 = 0，则 1 = 2 = 0
C．若 1 = 2，则| 1| = | 2|
D．若| 1| = | 2|，则 1 1 = 2 2
10．（6 分）（23-24 高一下· 1 3重庆九龙坡·期中）已知复数 = 2 + i，则下列结论正确的有（ ）2
A 1 3． = B．复数
4 +1的虚部为 i
2
C．| 2| = | |2 D．复数 w 满足| | = 1，则| |的最大值为 2
11．（6 分）（23-24 高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式e = cos + isin 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该
公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常
重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
π
A． 2e i4 × 3i = 3 + 3i B．e3πi < 0
C．e4i
( +5)i
在复平面内对应的点位于第四象限D．|2e = 12 2i|
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数3 3i对应的向量绕原点 O 按顺时针
方向旋转 90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）.
13．（5 分）（23-24 高一下·广东东莞·期中）复平面上两个点 1, 2分别对应两个复数 1, 2，它们满足下列
两个条件：① 2 = 1 2i；②两点 1, 2连线的中点对应的复数为3 + 4i，若 为坐标原点，则 △ 1 2的面
积为 .
14．（5 分）（23-24 高二上·上海杨浦·期末）已知复数 1 2满足| 1| = 3,| 2| = 1，若 1和 2的幅角之差为
π
3，则| 1 2| = . 1+ 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
2
15．（13 分）（23-24 高一下·全国·课堂例题）复数 = 2 2 + 2 8 i( ∈ R)，当实数 m 取什么值时，
(1) 是实数；
(2) 是虚数；
(3) 是纯虚数．
16．（15 分）（23-24 高一下·山西·期中）已知 ∈ ，复数 = ( 21 + ) + ( 2 1)i， 2 = 2 + i.
(1)若 1 2在复平面内对应的点位于第三象限，求 的取值范围；
(2)设 为坐标原点， 1， 2在复平面内对应的点分别为 ， （不与 重合），若 = 0，求| 1 2|.
17．（15 分）（23-24 高一下·上海杨浦·期中）已知关于 x 的实系数一元二次方程 2 + + 9 = 0.
(1)若复数 z 是该方程的一个虚根，且| | + = 4 2 2i，求 m 的值；
(2)记方程的两根为 1和 2，若| 1 2| = 2 3，求 m 的值.
18．（17 分）（24-25 高一下·上海奉贤·阶段练习）设虚数 21、 2满足 1 = 2.
(1)若 1、 2又是一个实系数一元二次方程的两个根，求 1、 2；
(2)把（1）中虚部大于零的根记作 ，对任意整数 ，计算 + +1 + +2；
(3)若 1 = 1 + i(i为虚数单位， 为实数），| 1| ≤ 2，复数 = 2 +3，求| |的取值范围.
19．（17 分）（23-24 高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数 = + i都可以表示成 (cos + isin )
的形式.其中 是复数 的模， 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复
数 = + i的辐角， (cos + isin )叫做复数 = + i的三角形式.②方程 = 1（ 为正整数）有 个不同
的复数根；
(1)求证： 1(cos 1 + isin 1) 2(cos 2 + isin 2) = 1 2[cos( 1 + 2) + isin( 1 + 2)]；
(2) = 1 3设 20242 + i，求 ；2
(3)试求出所有满足方程 6 = 1的复数 的值所组成的集合.
