专题 9.7 统计图中必考六类问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 绘制、补全频率分布直方图】 ................................................................................................................2
【类型 2 频率分布直方图中的相关计算】 ............................................................................................................6
【类型 3 根据其他统计图解决实际问题】 ..........................................................................................................10
【类型 4 频率分布直方图中百分位数与统计参数的估计】 ..............................................................................16
【类型 5 频率分布直方图中总体离散程度的估计】 ..........................................................................................21
【类型 6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 ..................................................................................28
【知识点 1 统计图】
1．频率分布直方图
(1)频率分布表与频率分布直方图的意义
为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初
中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布
在各个小组的个数.
有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直
方图来整理和表示数据.
(2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤
与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图.
第一步，求极差
极差为一组数据中最大值与最小值的差.
第二步，决定组距与组数
第三步，将数据分组
通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间.
第四步，列频率分布表
计算各小组的频率，作出频率分布表.
第五步，画频率分布直方图
画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示 .
2．频率分布直方图中的统计参数
(1)频率分布直方图中的“众数”
根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用
中点近似代替.
(2)频率分布直方图中的“中位数”
根据中位数的意义，在样本中，有 50%的个体小于或等于中位数，也有 50%的个体大于或等于中位数.
因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
(3)频率分布直方图中的“平均数”
平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分
布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
【方法技巧与总结】
1．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆.
【类型 1 绘制、补全频率分布直方图】
1．（24-25 高一上·全国·课后作业）某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了 100 头仔猪的体重（单位：
斤），经数据处理得到如图①的频率分布直方图，其中体重最轻的 14 头仔猪的体重的频数分布表如图②，
为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中 a＋b 的值为（ ）
体重 22 24 26 27 28 29 31
频数 1 1 2 3 3 2 2
图②
A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076
【解题思路】根据图表的频数及频率分布直方图概率和为 1 列式求参即可.
12 1
【解答过程】由题意得 + = 100 × 5 = 0.024，且[2( + ) + + ] × 5 = 1 ，
所以2 × 0.024 + + = 0.2，所以 + = 0.152.
故选：B.
2．（23-24 高三上·云南·阶段练习）要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，
根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在[120,140)之间的学生中用分层抽样的方法抽取5人，应
从[120,130)间抽取人数为 ，则（ ）
A． = 0.025， = 2 B． = 0.025， = 3
C． = 0.030， = 4 D． = 0.030， = 3
【解题思路】先由频率之和为1解得 值，再分别计算各段学生人数，根据抽样比得 .
【解答过程】由题得10 × (0.005 + 0.035 + + 0.020 + 0.010) = 1，所以 = 0.030．
在[120,130)之间的学生：100 × 10 × 0.030 = 30人，
在[130,140)之间的学生：100 × 10 × 0.020 = 20人，
在[120,140)之间的学生：50人，
1
又用分层抽样的方法在[120,140)之间的学生 50 人中抽取 5 人，即抽取比为：10，
1
所以成绩在[120,130)之间的学生中抽取的人数应为30 × 10 = 3，即 = 3.
故选：D．
3．（多选）（24-25 高二上·内蒙古·期末）某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中
挑选了 100 个称重（单位：kg），并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，
下面结论正确的是（ ）
A． = 0.8
B．估计该哈密瓜的质量不低于 1.6kg 的比例为 30%
C．估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于 1.4kg 至 1.6kg 之间
D．估计该哈密瓜的质量的中位数介于 1.5kg 至 1.6kg 之间
【解题思路】先根据概率和为1，可得 = 1，进而根据频率分布直方图得到对应概率，进而可得.
【解答过程】选项 A：0.5 + 2 + 2 + 2.5 + 3 = 10，解得 = 1，A 错误；
选项 B：估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为2 × 0.1 + 1 × 0.1 = 300 0，B 正确；
选项 C：低于1.4kg的概率为0.5 × 0.1 + 1 × 0.1 = 0.15，
低于1.6kg的概率为0.5 × 0.1 + 1 × 0.1 + 3 × 0.1 + 2.5 × 0.1 = 0.7，
故估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间，C 正确；
选项 D：
低于1.5kg的概率为0.5 × 0.1 + 1 × 0.1 + 3 × 0.1 = 0.45，
低于1.6kg的概率为0.7，
估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间，D 正确.
故选：BCD.
4．（23-24 高二下·上海杨浦·期末）学校开展国防知识竞赛，对 100 名学生的竞赛成绩进行统计，发现这
100 名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，图中 x 的值是 0.030 ．
【解题思路】利用面积之和等于 1 即能解.
【解答过程】因为每个小矩形的面积就是频率，所以面积之和等于 1，即10 ×
(0.005 + 0.01 + 0.015 + + 0.04) = 1，解出 = 0.030.
故答案为：0.030.
5．（23-24 高二·上海·课堂例题）某校 30 名高一女生的扔手球记录如下（单位：m）：
16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1
14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9
17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5
(1)选择适当的组距，制作一张频率分布表；
(2)在（1）的基础上，绘制一幅频率分布直方图.
【解题思路】（1）根据所给数据求出极差，分组，求出各区间的频数及频率即可求出频率分布表；
（2）根据（1）作出频率分布直方图即可
【解答过程】（1）由题目数据可知极差为21.4 11.7 = 9.7，组距为2，所以分 5 组较好，
[11.55,13.55),[13.55,15.55),[15.55,17.55),[17.55,19.55),[19.55,21.55]，
频率分布表如下：
分组 频数 频率
[11.55,13.55) 3 0.10
[13.55,15.55) 7 0.23
[15.55,17.55) 11 0.37
[17.55,19.55) 6 0.20
[19.55,21.55] 3 0.10
合计 30 1.00
（2）根据（1）的频率分布表可以画出频率分布直方图如图所示：
6．（24-25 高二·上海·课堂例题）从高一学生中抽取 50 名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单
位：分）：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比．
【解题思路】（1）根据题中所给数据 即可得出频率分布表；
（2）根据频率分布表画出频率分布直方图即可；
（3）根据频率分布直方图即可得解.
【解答过程】（1）频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率
[40,50) 2 0.04
[50,60) 3 0.06
[60,70) 10 0.20
[70,80) 15 0.30
[80,90) 12 0.24
[90,100] 8 0.16
合计 50 1.00
（2）由题意知组距为 10，取小矩形的高根据表格画出如下的频率分布直方图：
（3）由频率分布直方图，可估计成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是0.03 × 10 = 0.3 = 30%.
【类型 2 频率分布直方图中的相关计算】
7．（2024·陕西渭南·模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对 800 名考生的考试成绩进行统计，得到如
图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100].若考生成绩在[70,80)内的人数为 ，考生成绩在[80,100]内的人数为 ，则 = （ ）
A．20 B．10 C．60 D．40
【解题思路】由频率分布直方图求出 、 ，即可得解.
【解答过程】由频率分布直方图可得 = 800 × 0.03 × 10 = 240， = 800 × (0.01 + 0.015) × 10 = 200，
所以 = 240 200 = 40.
故选：D.
8．（2025 高三上·河南·专题练习）为了调查某工厂生产的一批口罩的质量情况，随机抽取了一批口罩，所
得数据如下图所示，为了进一步了解情况，研究人员在被抽取的口罩中按照质量的指标值再次进行分层抽
样，共抽取 个，若质量的指标值在[110,120)中的抽取80个，则下列说法正确的是（ ）
A．质量的指标值在[140,150)中的抽取5个
B．质量的指标值在[130,140)中的抽取60个
C．质量的指标值在[120,130)中的抽取40个
D． = 200
【解题思路】计算出质量的指标值在[110,120)内的频率，由频率、频数以及总容量三者之间的关系额可求
得 的值，可判断 D 选项；然后将 的值乘以对应组的频率，可判断 ABC 选项.
80
【解答过程】质量的指标值在[110,120)内的频率为0.04 × 10 = 0.4，所以， = 0.4 = 200，
所以，质量的指标值在[140,150)中的抽取的数量为200 × 0.005 × 10 = 10个，
质量的指标值在[130,140)中的抽取的数量为200 × 0.02 × 10 = 40个，
质量的指标值在[120,130)的抽取的数量为200 × 0.03 × 10 = 60个，ABC 错，D 对.
故选：D.
9．（多选）（23-24 高一下·内蒙古通辽·阶段练习）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出
了一个容量为 n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有 60 人，则下列说法
正确的是（ ）
A．样本中支出在[50，60)内的频率为 0.03
B．样本中支出不少于 40 元的人数为 132
C．n 的值为 200
D．若该校有 2000 名学生，则估计有 600 人支出在[50，60)内
【解题思路】根据频率之和为 1 即可求解 A，进而根据选项即可逐一求解.
【解答过程】样本中支出在[50，60)内的频率为1 (0.01 + 0.024 + 0.036) × 10 = 0.3，所以 A 错误；
60
样本容量为 = 0.3＝200，支出在[40，50)内的人数为200 × 0.036 × 10 = 72，
支出不少于 40 元的人数为72 + 60 = 132，所以 B，C 正确；
若该校有 2000 名学生，则估计有2000 × 0.3 = 600人支出在[50，60)内，故 D 正确．
故选：BCD.
10．（24-25 高一上·全国·课后作业）为了了解某校学生的体重情况，采用随机抽样的方法调查．将样本体
重数据整理后，得到的频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右前三个矩形面积之比为 1∶2∶3，第二小
组频数为 12，则全校共抽取人数为 48 ．
【解题思路】根据图以及前三组的频率之比可得第二组的频率，即可求解.
【解答过程】由图可知：第四，五小组的频率之和为(0.0375 + 0.0125) × 5 = 0.25，
所以前三组的频率和为1 0.25 = 0.75，
2
故第二组的频率为0.75 × 1+2+3 = 0.25，
12
故总人数为0.25 = 48
故答案为：48.
11．（2024 高三·全国·专题练习）某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按90:1的比例随机
抽取200人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为6组画出频率分布直方图（如图所示），由于操
作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的2倍.
(1)求 和 的值；
(2)若次数在120以上（含120次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为
多少？
【解题思路】（1）根据频率之和为1列方程，结合已知条件求得 , ；
（2）根据频率分布直方图计算出优秀率，并计算出全市优秀学生的人数.
1 ( + + 0.034 + 0.030 + 0.018 + 0.006) × 10 = 1【解答过程】（ ）由题意得 = 2 ，
= 0.004
解得 = 0.008 ；
（2）由图可知，超过120分的组的频率分别为0.30，0.18，0.06，
故优秀率为0.30 + 0.18 + 0.06 = 0.54，
则全市优秀学生的人数约为0.54 × 200 × 90 = 9720（人）.
12．（24-25 高一上·北京西城·阶段练习）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为 100 的
样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布
在[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]的频率分别为 1，
2，…， 7.已知 1 + 2 + 3 = 0.5， 4 = 2 6.
(1)求 2， 6的值；
(2)求样本中在[150,300)内的频数；
(3)若全校共2000名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于250分钟的人
数.
【解题思路】（1）根据频率分布直方图及直方图的性质得到方程组，解得即可；
（2）首先求出 3 + 4 + 5，即可求出频数；
（3）求出 5 + 6 + 7，从而估计人数.
【解答过程】（1）依题意 1 = 7 = 0.001 × 50 = 0.05， 3 = 0.006 × 50 = 0.3，
又 1 + 2 + 3 = 0.5， 4 = 2 6且 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1， 2 = 5，
解得 2 = 0.15， 6 = 0.1， 4 = 0.2；
（2）因为 3 + 4 + 5 = 0.3 + 0.2 + 0.15 = 0.65，
所以样本中在[150,300)内的频数为100 × 0.65 = 65；
（3）因为 5 + 6 + 7 = 0.15 + 0.1 + 0.05 = 0.3，
所以根据样本数据估计全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于250分钟的人数约为2000 × 0.3 = 600
（人）.
【类型 3 根据其他统计图解决实际问题】
13．（23-24 高一下·湖南·阶段练习）如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，
根据该图，下列结论正确的是（ ）
（注：同比，指当前的数据与上一年同期进行比对；环比，指当前数据与上个月的数据进行比对.）
A．2024 年1 2月份，商品零售总额同比增长9.2%
B．2023 年3 12月份，餐饮收入总额同比都降低
C．2023 年6 10月份，商品零售总额同比都增加
D．2023 年 12 月，餐饮收入总额环比增速为 14.1%
【解题思路】根据折线统计图一一分析即可.
【解答过程】对于 A，2024 年1 2月份，商品零售总额同比增长2.9%，故 A 错误；
对于 B，2023 年 8 月份，餐饮收入总额同比增加，故 B 错误；
对于 C，2023 年6 10月份，商品零售总额同比都增加，故 C 正确；
对于 D，2023 年 12 月，餐饮收入总额环比增速并未告知，故 D 错误.
故选：C.
14．（23-24 高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从
业者年龄的分布饼状图 90 后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90 后比 80 后多
B．90 后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
【解题思路】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断
各选项的真假．
【解答过程】选项 A；设整个互联网行业总人数为 a，
互联网行业中从事技术岗位的 90 后人数为56% × 39.6% = 22.176% ，小于 80 后的人数38% ，
但 80 后中从事技术岗位的人数比例未知，故 A 错误．
选项 B：设整个互联网行业总人数为 a，90 后从事技术岗位人数为 56％×39.6％a，
而 90 后总人数的 20％为56% × 39.6% ，故 B 正确；
选项 C：设整个互联网行业总人数为 a，
互联网行业中从事运营岗位的 90 后人数为56% × 17% = 9.52% ，
超过 80 前的人数 6％a，且 80 前中从事运营岗位的人数比例未知，故 C 正确；
选项 D： 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中 90 后占56%，故 D 正确.
故选：A．
15．（多选）（23-24 高一下·广西柳州·阶段练习）给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有
（ ）
A．从折线图能看出世界人口的变化情况
B．2050 年非洲人口将达到大约 13 亿
C．2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D．从 1957 年到 2050 年各洲中北美洲人口增长速度最慢
【解题思路】从折线统计图能看出世界人口的变化情况，可判定 A 正确；从条形统计图中可得到：2050 年
非洲人口大约将达到 18 亿，可判定 B 错误；从扇形统计图表中可得 2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总
和还要多，可判定 C 正确；由上述三幅统计图并不能得出从 1957 年到 2050 年中哪个洲人口增长速度最慢，
可判定 D 错误.
【解答过程】对于 A 中，从折线统计图能看出世界人口的变化情况，所以是正确的；
对于 B 中，从条形统计图中可得到：2050 年非洲人口大约将达到 18 亿，所以是错误的；
对于 C 中，从扇形统计图表中能够明显的得到结论：2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，所以
是正确的；
对于 D 中，由上述三幅统计图并不能得出从 1957 年到 2050 年中哪个洲人口增长速度最慢，所以是不正确
的.
故选：AC.
16．（23-24 高一下·广西玉林·期中）某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有
学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委将统计结果绘制成如下两个不完整的统计图，则合唱社团
的人数占全体学生人数的百分比为 40% .
【解题思路】根据直方图和饼图中数据求总人数，再由合唱社团人数求其百分比即可.
50
【解答过程】由统计图知，演讲社团共有 50 人，占比10%，则总人数为10% = 500人，
200
又合唱社团共有 200 人，占比为500 × 100% = 40%．
故答案为：40%.
17．（24-25 高一上·全国·课后作业）以下是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请
根据图 1、图 2 解答下列问题:
(1)来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 1~4 月的手机销售总额一共是 290 万元，请将图 1 中的统计
图补充完整;
(2)该店 1 月份音乐手机的销售额为多少万元
(3)小刚观察图 2 后，认为 4 月份音乐手机的销售额比 3 月份减少了，你同意他的看法吗 请说明理由.
【解题思路】（1）用 290 减去 1 月，2 月和 4 月的销售额可得 3 月份的销售额，从而可将图 1 中的统计图
补充完整，
（2）用 1 月份的销售额乘以 1 月份音乐手机所占的百分比可得结果，
（3）根据两个分别计算 3 月份和 4 月份音乐手机的销售额，然后比较可得结论.
【解答过程】（1）290 (85 + 80 + 65) = 60（万元），补图如下图.
（2）85 × 23% = 19.55（万元），所以该店 1 月份音乐手机的销售额为19.55万元.
（3）不同意.理由如下:
3 月份音乐手机的销售额是60 × 18% = 10.8（万元），
4 月份音乐手机的销售额是65 × 17% = 11.05（万元），
而10.8 < 11.05，因此 4 月份音乐手机的销售额比 3 月份的销售额增多了.
18．（23-24 高一上·云南保山·开学考试）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽
样调查.调查结果显示，支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他，该小组对某超市一天内购买者
的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次一共调查了多少名购买者？
(2)请补全条形统计图；
在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为______度.
(3)若该超市这一周内有 1600 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名？
【解题思路】（1）根据频率即可求解，
（2）根据频率之和即可求解，
（3）根据所占频率即可求解.
【解答过程】（1）56 ÷ 28% = 200，即本次一共调查了 200 名购买者；
（2）D 方式支付的有：200 × 20% = 40（人），
A 方式支付的有：200 56 44 40 = 60（人），
补全的条形统计图如图所示，
60
在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为：360° × 200 = 108°
60+56
（3）1600 × 200 = 928（名），
使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有 928 名.
【类型 4 频率分布直方图中百分位数与统计参数的估计】
19．（23-24 高一下·天津南开·期末）某校随机抽取了 400 名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都
在 50 分至 100 分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中 x 的值为 0.035
B．在被抽取的学生中，成绩在区间[70,80)的学生数为 30 人
C．估计全校学生的平均成绩为 84 分
D．估计全校学生成绩的样本数据的 80%分位数约为 93 分
【解题思路】由频率分布直方图求得 x 值判断 A；由频率求得学生数判断 B；由频率频率分布直方图估计平
均数判断 C；由频率分布直方图求出百分位数判断 D.
【解答过程】对于 A，由频率分布直方图得10(0.005 + 0.01 + 0.015 + + 0.040) = 1，解得 x=0.03，A 错
误；
对于 B，成绩在区间[70,80)的学生数为10 × 0.015 × 400 = 60（人），B 错误；
对于 C，平均成绩为55 × 0.05 + 65 × 0.1 + 75 × 0.15 + 85 × 0.3 + 95 × 0.4 = 84（分），C 正确；
0.2
对于 D，全校学生成绩的样本数据的 80%分位数约为90 + 0.4 × 10 = 95（分），D 错误.
故选：C.
20．（23-24 高一下·天津和平·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党 知史爱国的热情，
某校举办了“学党史 育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将 1000 名师生的竞赛成绩（满分 100 分，
成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）
A．a 的值为 0.005
B．估计这组数据的众数为 75
C．估计这组数据的第 85 百分位数为 86
D．估计成绩低于 60 分的有 25 人
【解题思路】对 A：根据频率之和为 1，结合图表数据，计算即可；
对 B：找出面积最大的小长方形对应的区间，求得众数即可；
对 C：根据百分位数定义，结合数据求解即可；
对 D：求得成绩低于 60 分的频率，结合总人数计算即可.
【解答过程】对 A：10 × (2 + 3 + 3 + 6 + 5 + ) = 1，
即10 × 20 = 1， = 0.005，故 A 正确；
对 B：由面积最大的小长方形可知，估计这组数据的众数为 75，故 B 正确；
对 C：前 4 组频率之和为14 × 0.005 × 10 = 0.7，
前 5 组频率之和为19 × 0.005 × 10 = 0.95，
设这组数据的第 85 百分位数为 ，
则0.7 + ( 80) × 0.025 = 0.85， = 86，故 C 正确；
对 D：成绩低于 60 分的频率为0.025 × 10 = 0.25，
故估计成绩低于 60 分的有1000 × 0.25 = 250人，D 错误.
故选：D.
21．（多选）（23-24 高一下·全国·期末）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图
（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，
正确的是（ ）
A．图（1）的平均数 = 中位数 = 众数
B．图（2）的平均数<众数<中位数
C．图（2）的众数 < 中位数<平均数
D．图（3）的平均数 < 中位数 < 众数
【解题思路】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.
【解答过程】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故 A 正确；
图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故 B 错误，C 正确；
图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故 D 正确.
故选：ACD.
22．（23-24 高一上·江西南昌·期末）支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎，全年均可发病，
以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长，近期，某班级出现许多学生感染支原体肺炎的现象，为确
保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周 5 天感染支原体肺炎的学生人数，已知这 5 天的人数互不
相等，且 5 天数据的平均数为 ，若最后一天的数据不小心被墨水污染，前 4 天的数据的平均数为 ，若 =
，则 4 天数据的第 60 百分位数 大于 （填“大于”，“小于”“等于”）这 5 天数据的第 60 百分位数．
【解题思路】先求出污染数据的值，再结合百分位数的定义，即可求解.
【解答过程】5 天数据的平均数为 ，前 4 天的数据的平均数为 且 = ，
则被污染的数据为5 4 = 5 4 = ，
不妨设 5 天的数据关系为 1 < 2 < 3 < 4 < 5，其中 3 = ，
+
则 5 天数据的第 60 3 4百分位数为 2 ，
污染后的数据关系为 1 < 2 < 4 < 5，
则 4 天数据的第 60 百分位数为 4，
> 3+ 4显然 4 2 .
故答案为：大于.
23．（23-24 高一下·广东广州·期末）5 月 11 日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，
6～17 岁的儿童青少年肥胖率接近 20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上
常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的 BMI 数值
标准为：BMI<18.5 为偏瘦；18.5≤BMI<24 为正常；24≤BMI<28 为偏胖；BMI≥28 为肥胖.为了解某公司员工
的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了 60 名男员工、
40 名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的 BMI 值并将女员工的 BMI 值绘制成如图所示的
频率分布直方图：
(1)求图中 a 的值，并估计样本中女员工 BMI 值的 70%分位数；
(2)已知样本中男员工 BMI 值的平均数为 22，试估计该公司员工 BMI 值的平均数.
【解题思路】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为 1 可求出 a 的值，再根据百分位数的定义求解 70%
分位数；
（2）先根据频率分布直方图计算女员工的平均 BMI 值，再求解该公司员式 BMI 值的平均数即可.
【解答过程】（1）由题意得2 × (0.08 + 0.13 + + 0.06 + 0.07 + 0.02 + 0.01 + 0.03) = 1，解得 = 0.10，
因为2 × (0.08 + 0.13 + 0.10) = 0.62 < 0.7，2 × (0.08 + 0.13 + 0.10 + 0.06) = 0.74 > 0.7，
所以70%分位数在[22,24)，设70%分位数为 ，则
0.62 + 0.06 × ( 22) = 0.7 = 70，解得 3 ，
70
所以样本中女员工 BMI 值的 70%分位数为 3 ，
（2）由题意得，样本中女员工 BMI 值的平均数为
2 × (17 × 0.08 + 19 × 0.13 + 21 × 0.10 + 23 × 0.06
+25 × 0.07 + 27 × 0.02 + 29 × 0.01 + 31 × 0.03） = 21.64，
22×60+21.64×40
所以估计该公司员工 BMI 值的平均数为 100 = 21.856.
24．（23-24 高一下·湖南长沙·期末） （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是
体重(单位:kg)
否健康的一个标准，其计算公式是： = 2 : m2 ．中国成人的 数值参考标准为： < 18.5为身高 单位
偏瘦；18.5 ≤ < 24为正常；24 ≤ < 28为偏胖； ≥ 28为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥
胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了 60 名男员工，40 名女员工的身
高体重数据，通过计算男女员工的 值，整理得到如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 a 的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
(2)估计该公司员工的 值的众数，中位数；
(3)已知样本中 60 名男员工 值的平均数为 1 = 22.4，根据频率分布直方图，估计样本中 40 名女员工
值的平均数 2．
【解题思路】（1）利用频率之和为 1 可计算 的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比；
（2）利用频率分布直方图即可估计众数，中位数；
（3）先计算整体的平均数，然后由分层抽样平均数的公式即可得解．
【解答过程】（1）由题，2 × (0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.06 + 0.07 + 0.08 + + 0.13) = 1，解得： = 0.1，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为2 × (0.01 + 0.03) × 100% = 8%；
2 18+20（ ）由频率分布直方图可得，众数为 2 = 19，
因为2 × (0.08 + 0.13) = 0.42 < 0.5，2 × (0.08 + 0.13 + 0.1) = 0.62 > 0.5，
故中位数在[20,22) = 20 + 0.5 0.42，设为 ，则 2×0.1 × (22 20) = 20.8；
（3）设样本平均数为 ，
则由频率分布直方图可得；
= 2 × (17 × 0.08 + 19 × 0.13 + 21 × 0.1 + 23 × 0.06 + 25 × 0.07 + 27 × 0.02 + 29 × 0.01 + 31 × 0.03)
，
= 21.64
= 60 1+40 2又 100 ，
60×22.4+40 2
即 100 = 21.64，解得： 2 = 20.5．
【类型 5 频率分布直方图中总体离散程度的估计】
25．（24-25 高一下·安徽·开学考试）已知甲，乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击 10 次，得分情
况如下图所示．则根据本次比赛结果，以下说法正确的是（ ）
乙射击环数 6 7 8 9 10
频数 1 2 2 2 3
A．甲比乙的射击水平更高
B．甲的射击水平更稳定
C．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
D．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
【解题思路】计算甲，乙的平均数并比较即可判断 A；计算甲，乙的方差并比较即可判断 B；求出甲，乙的
中位数即可判断 C；求出甲，乙的众数即可判断 D．
1
【解答过程】甲的平均数 1 = 10(5 + 7 + 3 × 8 + 4 × 9 + 10) = 8.2
1
乙的平均数 2 = 10(6 + 2 × 7 + 2 × 8 + 2 × 9 + 3 × 10) = 8.4
∵ 1 < 2，∴乙的射击水平更高，故 A 错误；
1
甲的方差 2 = (5 8.2)21 10 + (7 8.2)
2 + 3 × (8 8.2)2 + 4 × (9 8.2)2 + (10 8.2)2 = 1.76
1
乙的方差 22 = 10 (6 8.4)
2 + 2 × (7 8.4)2 + 2 × (8 8.4)2 + 2 × (9 8.4)2 + 3 × (10 8.4)2 = 1.84
∵ 2 21 < 2，∴甲的射击水平更稳定，故 B 正确；
甲的射击成绩由小到大排列为：5,7,8,8,8,9,9,9,9,10，位于第 5、第 6 位的数分别是8,9，所以甲的中位数是
8+9
2 = 8.5；
乙的射击成绩由小到大排列为：6,7,7,8,8,9,9,10,10,10，位于第 5、第 6 位的数分别是8,9，所以乙的中位数
8+9
是 2 = 8.5，
故甲射击成绩的中位数与乙射击成绩的中位数相等，故 C 错误；
甲的众数为 9，乙的众数为 10，故 D 错误.
故选：B.
26．（2024·陕西西安·一模）某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如右图，为响应国家
减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少 5 分钟，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（ ）
A．减负后完成作业的时间的标准差减少 25
B．减负后完成作业的时间的方差减少 25
C．减负后完成作业的时间在 60 分钟以上的概率为12%
D．减负后完成作业的时间的中位数为 25
【解题思路】根据给定的频率分布直方图求出 ，利用方差、标准差的意义判断 AB；求出减负前完成作业
的时间在 60 分钟以上的概率及中位数判断 CD.
【解答过程】由频率分布直方图可得：20 + 0.025 × 20 + 0.0065 × 20 + 0.003 × 2 × 20 = 1，解得
= 0.0125，
减负后每天作业布置量减少 5 分钟，则减负后完成作业的时间的平均数减少 5 分钟，
而完成作业的时间波动大小不变，因此减负后完成作业的时间的标准差、方差不变，AB 错误；
减负前完成作业时间在 60 分钟以上的频率为0.003 × 40 = 0.12，减负后完成作业时间在 60 分钟以上的频率
小于0.12，
由此估计减负后完成作业的时间在 60 分钟以上的概率小于12%，C 错误；
减负前，第一组的频率为0.0125 × 20 = 0.25，第二组的频率为0.025 × 20 = 0.5，
20+40
则完成作业的时间的中位数在第二组的中间，即中位数为 2 = 30（分钟），
所以减负后完成作业时间的中位数为30 5 = 25（分钟），D 正确.
故选：D.
27．（多选）（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从
某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成
绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同
学成绩方差为10．则（ ）
A． = 0.005
B．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50
C．估计该年级学生成绩的中位数约为76.14
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
【解题思路】对于 A 选项，由各组频率之和为1求参数；对于 B 选项，两组求加权平均数可得；对于 C 选
项，由频率分布直方图面积与0.5比较，估计中位数所在区间，利用面积关系建方程求解可得；对于 D 选项，
由两组成绩的方差与两组总方差的关系求解即可.
【解答过程】对于 A 选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，
则(2 + 3 + 7 + 6 + 2 ) × 10 = 200 = 1，解得 = 0.005，故 A 正确；
对于 B 选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为
6
6 +2 × 85 +
2
6 +2 × 95 = 87.5分，故 B 错误；
对于 C 选项，前两个矩形的面积之和为(2 + 3 ) × 10 = 50 = 0.25 < 0.5
前三个矩形的面积之和为(2 + 3 + 7 ) × 10 = 120 = 0.6 > 0.5.
设该年级学生成绩的中位数为 ，则 ∈ (70,80)，
根据中位数的定义可得0.25 + ( 70) × 0.035 = 0.5，解得 ≈ 77.14，
所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，故 C 错误；
对于 D 选项，估计该年级成绩在 80 分及以上的学生成绩的方差为
3 2 + 14 12 + (87.5 85) 4 10 + (87.5 95)
2 = 30.25，故 D 正确.
故选：AD.
28．（23-24 高一下·江苏苏州·期末）2023 年 10 月 22 日，汉江生态城 2023 襄阳马拉松在湖北省襄阳市成
功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔
的面试工作．现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三
组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之
和为 0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这 100 名候选者面试成绩的平均数和第 25 百分位数；
(2)在这 100 名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取 10 人，再从这 10 名面试者中
随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的
面试成绩的平均数和方差分别为 62 和 40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 80 和 70，据此
估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
【解题思路】（1）首先算出 , ，然后根据平均数、百分位数的计算公式计算即可；
（2）由列举法求解古典概型概率即可；
（3）由分层抽样方差公式计算即可.
10 + 10 = 0.3 = 0.005
【解答过程】（1）由题意可知： 10(0.045 + 0.020 + ) = 0.7 ，解得 = 0.025 ，
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为50 × 0.05 + 60 × 0.25 + 70 × 0.45 + 80 × 0.2 + 90 × 0.05 = 69.5，
因为0.05 + 0.25 = 0.3 > 0.25，
设第 25 百分位数为 ，则 ∈ [55,65)，则0.05 + ( 55) × 0.025 = 0.25，解得 = 63，故第 25 百分位数为
63．
（2）10 人中，第四组为 8 人.第五组为 2 人，记第四组的人的编号为 1 到 8，第五组的人的编号为 9 和 10，
则样本空间Ω = {(1,2),(1,3),(1,4), (1,10),(2,3),(2,4), (2,10),(3,4),(3,5), (3,10), (4,5),
(4,6), (4,10),(5,6), (5,10),(6,7), (6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10)}共 45 个样本点，
1
记两名面试者成绩都在第五组为事件 A， 则事件 = {(9,10)}，故 ( ) = 45；
（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为 , , 21 2 1, 22，
0.25 5 5×62+4×80
且两组频率之比为0.20 = 4，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数 = 9 = 70，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
2 = 5 2 2 + 4 2 2 = 5 2 + 4 2 = 4009 1 + ( 1 ) 9 2 + ( 2 ) 9 40 + (62 70) 9 70 + (80 70) 3 ．
400
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是 3 ．
29．（23-24 高一下·广东广州·期末）为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形
成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，
某学校举办了读书节活动.现从该校的 2000 名学生中发放调查问卷，随机调查了 100 名学生一周的课外阅读
时间，将统计数据按照[0,20)，[20,40)，…[100,120)，[120,140]组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单
位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(1)求 的值，若每周课外阅读时间 60 分钟以上（含 60 分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；
(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；
(3) 5若样本数据在[0,20)与[20,40)内的方差分别为 21 = 3， 22 = 3，计样本数据在[0,40)内的方差
2.
【解题思路】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为 1 求出 ；求出阅读时间达标的频率即可得解.
（2）利用频率分布直方图求出平均时间.
（3）利用分层抽样的方差公式计算即得.
【解答过程】（1）由频率分布直方图，得
20(0.0025 + 0.005 + 0.0125 + + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) = 1，所以 = 0.015；
阅读时间达标的频率为20(0.015 + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) = 0.6，
估计该校阅读时间达标的人数为2000 × 0.6 = 1200.
（2）一周的课外阅读时间在[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140]
内的频率依次为：0.05,0.1,0.25,0.3,0.15,0.1,0.05，
= 0.05 × 10 + 0.1 × 30 + 0.25 × 50 + 0.3 × 70 + 0.15 × 90 + 0.1 × 110 + 0.05 × 130 = 68，
所以估计该校学生每周课外阅读的平均时间为 68 分钟.
（3）样本数据在[0,20)与[20,40)内的平均数分别为10,30，
0.05×10+0.1×30 70
则样本数据在[0,40)内的平均数为 0.15 = 3 ，
0.05 2 0.1 5 2
所以样本数据在[0,40) 70 70内的方差 2 = 0.15[3 + (10 ) ] + 0.15[3 + (30 ) ] = 913 3 .
30．（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞
赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 x（单位：分，得分取正整数，满分为 100 分）
作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（50 ≤ < 60，60 ≤ < 70，70 ≤ < 80，80 ≤ < 90，
90 ≤ ≤ 100），其中 = 8 ，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)求 , 的值；
(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名学生的分数： 1, 2, 3, , 10，已知这 10 个分数的平均数 = 90，
标准差 = 6，若剔除其中的 95 和 85 两个分数，求剩余 8 个分数的平均数与方差；
1 1 1
附：方差计算公式： 2 = ( )2 = ( )2 + ( )2 + + ( )2 或 2 = 2 2
1
1 2 = =1 =1
21 + 22 + + 2 2
(3)已知总体分为 2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： 1, , 21；
1
2 2 2 22, , 22．记总样本的平均数为 ，样本方差为 ．试证明： = + 1 1 + ( ) + 2
2 2
1 2 2 + ( ) ．
【解题思路】（1）由频率分布直方图面积和为 1，列出等式求解即可；
（2）由平均数、方差计算公式代入数据求解即可；
（3）由方差的计算过公式即可求证；
【解答过程】（1）由题意知， = 8 ，且(0.008 + 0.016 + + 0.04 + ) × 10 = 1，
所以 = 0.032， = 0.004．
（2）解： = 90，故： 1 + 2 + 3 + + 10 = 10 × 90 = 900．
又 2 = 1 2 2 2 2 2 2 2 210 1 + 2 + + 10 90 = 6 ， 1 + 2 + + 10 = 81360，
剔除其中的 95 和 85 两个分数，设剩余 8 个数为 1, 2, 3, , 8，
平均数与标准差分别为 0， 0，
则剩余 8 个分数的平均数： =
1+ 2+ 3+ + 8 = 900 95 850 8 8 = 90；
2 = 1 1方差： 0 8
2
1 + 22 + + 2 902 = 2 2 28 8(81360 95 85 ) 90 = 38.75．
（3）证明：已知总体分为 2 层，通过分层随机抽样，
各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： 1, , 21； 2, , 22．
记总样本的平均数为 ，样本方差为 2，
1 2 1 2
2
1 1
= + ( )
2 + ( )2 = + ( + )
2 + ( + )2
1 2 =1 =1 1 2 =1 =1
1 2 1 2
由 ( ) = ( ) = 0，得 2( )( ) = 2( )( ) = 0，
=1 =1 =1 =1
1 1 2
所以 2 = 2 2 + ( + ) + ( + )1 2 =1 =1
1 1 2 2
2
1
= ( 2 + ) + ( )
2 + ( )2 + ( )2
1 2 =1 =1 =1 =1
1
= 2 2 2 2 1+ 1 1 + ( ) + 2 2 + ( ) ．2
【类型 6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】
31．（2024·全国·模拟预测）如图为 2014—2022 年中国游戏用户规模（单位：百万人）及同比增长率、
2010—2022 年中国国产游戏获批版号数量（单位：个）的统计图，则下列结论正确的是（ ）
A．2014—2022 年中国游戏用户规模逐年增长
B．2014—2022 年中国游戏用户规模的同比增长率的中位数为3.1%
C．2010—2022 年中国国产游戏获批版号数量的极差为 223 个
D．2010—2022 年中国国产游戏获批版号数量的平均数超过 1600 个
【解题思路】根据条形统计图、折线统计图逐项分析样本的数字特征即可判断.
【解答过程】A 选项：2022 年中国游戏用户规模比 2021 年少，A 错误；
B 选项：2014—2022 年中国游戏用户规模的同比增长率从小到大依次为 0.3%，0.2%，
2.5%，3.1%，3.2%，3.7%，4.6%，5.9%，7.3%，中位数为3.2%，B 错误；
C 选项：2010—2022 年中国国产游戏获批版号数量的极差为9177 245 = 8932（个），C 错误；
D 选项：200 + 2 × 400 + 2 × 500 + 3 × 600 + 2 × 1300 + 2000 + 4000 + 9100
= 21500 > 13 × 1600 = 20800，D 正确．
故选：D.
32．（23-24 高一下·福建福州·期末）图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的
是（ ）
A．这 10 年粮食年产量的极差为 16
B．这 10 年粮食年产量的第 70 百分位数为 35
C．这 10 年粮食年产量的平均数为 33.7
D．前 5 年的粮食年产量的方差小于后 5 年粮食年产量的方差
【解题思路】将数据由小到大排列26,28,30,32,32,35,35,38,39,42，利用极差、百分位数、平均数的定义得到
A、B、C 选项；由前 5 年和后 5 年的波动性得到方差的大小，得到 D 选项.
【解答过程】A 选项，将样本数据从小到大排列为26,28,30,32,32,35,35,38,39,42，这 10 年的粮食年产量极
差为42 26 = 16，故 A 正确；
B 选项，10 × 70% = 7，结合 A 选项可知第 70 35+38百分位数为第 7 个数和第 8 个数的平均数，即 2 = 36.5，
故 B 不正确；
C 1选项，这 10 年粮食年产量的平均数10 × (32 + 32 + 30 + 28 + 35 + 38 + 42 + 39 + 26 + 35) = 33.7，故 C
正确：
D 选项，结合图形可知，前 5 年的粮食年产量的波动小于后 5 年的粮食产量波动，所以前 5 年的粮食年产
量的方差小于后 5 年的粮食年产量的方差，故 D 正确．
故选：B.
33．（多选）（24-25 高一下·全国·开学考试）某市今年夏天迎来罕见的高温炎热天气，当地气象部门统计
进入八月份以来（8 月 1 日至 8 月 10 日）连续 10 天中每天的最高气温和最低气温，得到如下的折线图：
根据该图，关于这 10 天的气温，下列说法中正确的有（ ）
A．最高气温的众数为 38°C B．最低气温的平均值为 29°C
C．8 月 4 日的温差最大 D．最高气温的极差大于最低气温的极差
【解题思路】根据折线图分别判断各选项.
【解答过程】由图知，最高气温的众数为 37°C，故 A 错误；
29+30+28+27+29+29+28+30+31+29
最低气温的平均值为 10 = 29 °C，故 B 正确；
这 10 天的温差分别为 9°C，7°C，9°C，12°C，9°C，10°C，10°C，7°C，8°C，8°C，
则温差最大的为 8 月 4 日，故 C 正确；
最高气温的极差为39 37 = 2 °C，最低气温的极差为31 27 = 4 °C，故 D 错误.
故选：BC.
34．（2025 高二下·北京·学业考试）某公司对去年甲、乙两种产品的月投资额（单位：万元）进行了统计，
作出如下统计图（称为雷达图）．
根据图中信息，给出下列三个结论：
①该公司去年 12 月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额；
②该公司去年甲产品的月投资额的平均数大于乙产品的月投资额的平均数；
③该公司去年甲产品的月投资额的方差小于乙产品的月投资额的方差．
其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【解题思路】根据雷达图，明显可得出甲、乙每月投资额的大小及波动幅度，即可得出结论.
【解答过程】由雷达图可知，12 月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额，故①正确；
由雷达图可知，该公司去年甲产品的月投资额的平均数在 25 万元附近，比较稳定，变化幅度小，乙产品的
月投资额的平均数明显小于 25 万元较多，并且不稳定，变化幅度大，故②③正确.
故答案为：①②③.
35．（23-24 高一下·福建三明·期末）已知 A，B 两家公司的员工月均工资（单位：万元）情况分别如图 1，
图 2 所示：
(1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图 1 估计 A 公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个
数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请说明理由．
(2)小明拟到 A，B 两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？
【解题思路】（1）根据平均数、中位数的定义，由图 1 扇形统计图上读取的数据，可得答案；
（2）求解出两家公司的平均数、中位数、众数，进行比较，可得答案.
【解答过程】（1）A 公司员工月均工资的平均数为
0.3 × 0.21 + 0.5 × 0.29 + 0.7 × 0.27 + 0.9 × 0.21 + 29 × 0.02 = 1.166（万元）．
由题图 1 可知 A 公司员工月均工资在 0.6 万元以下的比例为0.21 + 0.29 = 0.5，
所以 A 公司员工月均工资的中位数约为 0.6 万元．
用中位数更能反映该公司普通员工的工资水平，理由如下：
因为平均数受每一个数据的影响，越离群的数据对平均数的影响越大，该公司少数员工的月收入很高，在
这种情况下平均数并不能较好的反映普通员工的收入水平，而中位数不受少数极端数据的影响，可以较好
的反映普通员工的收入水平．
（2）B 公司员工月均工资的平均数为
(0.3 × 0.375 + 0.5 × 0.750 + 0.7 × 2.750 + 0.9 × 1.000 + 1.1 × 0.125) × 0.2 = 0.69（万元）
由题图 2 知，B 公司员工月均工资在 0.6 万元以下的频率为(0.375 + 0.75) × 0.2 = 0.225，在 0.8 万元以下的
频率为(0.375 + 0.75 + 2.75) × 0.2 = 0.775．
设 B 公司员工月均工资的中位数为 x 万元，
则( 0.6) × 2.75 = 0.5 0.225，得 = 0.7．
小明应选择 B 公司应聘，理由如下：
B 公司员工工资数据较为集中，月均工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均收入水平，B 公
司员工月均工资平均数为 0.69，中位数为 0.7，均大于 A 公司员工月均工资的中位数 0.62，所以以公司普通
员工的工资水平作为决策依据，小明应该选 B 公司应聘．
36．（23-24 高一下·甘肃定西·阶段练习）甲、乙两人在相同的条件下各射靶 10 次，每次射靶成绩均为整数
（单位：环），如图所示
(1)填写下表：
平均 方 中位
命中 9环及以上
数 差 数
甲 1.2 7
乙 3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数与方差相结合的角度分析偏离程度；
②从平均数与中位数相结合的角度分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中 9 环以上的次数看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更好．
【解题思路】（1）由折线图对应的数据，算出平均数，方差，中位数，填入表中即可；
（2）根据数据特征的意义分析即可.
【解答过程】（1）
平均 方 中位
命中 9环及以上
数 差 数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
9+5+7+8+7+6+8+6+7+7
甲的平均数为 10 = 7，
2+4+6+8+7+7+8+9+9+10
乙的平均数为 10 = 7，
2 = 1乙 10
(2 7)2 + (4 7)2 + (6 7)2 + (8 7)2 + (7 7)2 + (7 7)2 + (8 7)2 + (9 7)2 + (9 7)2 + (10 7)2 = 5.4，
乙的环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，
7+8
所以乙的中位数为 2 = 7.5，
（2）甲乙的平均数都为 7，但是 2甲 <
2
乙，说明甲的偏离的程度小，乙的偏离程度大；
甲乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，可遇见乙射击环数优秀次数比甲多，所以乙的成绩好些；
甲乙的水平相同，乙命中 9 环以上的次数比甲多 2 次，可知乙的射击成绩好些；
从折线图上，乙的成绩基本成上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在上升，有潜力
可挖.专题 9.7 统计图中必考六类问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 绘制、补全频率分布直方图】 ................................................................................................................2
【类型 2 频率分布直方图中的相关计算】 ............................................................................................................4
【类型 3 根据其他统计图解决实际问题】 ............................................................................................................7
【类型 4 频率分布直方图中百分位数与统计参数的估计】 ..............................................................................10
【类型 5 频率分布直方图中总体离散程度的估计】 ..........................................................................................13
【类型 6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】 ..................................................................................17
【知识点 1 统计图】
1．频率分布直方图
(1)频率分布表与频率分布直方图的意义
为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初
中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布
在各个小组的个数.
有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直
方图来整理和表示数据.
(2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤
与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图.
第一步，求极差
极差为一组数据中最大值与最小值的差.
第二步，决定组距与组数
第三步，将数据分组
通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间.
第四步，列频率分布表
计算各小组的频率，作出频率分布表.
第五步，画频率分布直方图
画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示 .
2．频率分布直方图中的统计参数
(1)频率分布直方图中的“众数”
根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用
中点近似代替.
(2)频率分布直方图中的“中位数”
根据中位数的意义，在样本中，有 50%的个体小于或等于中位数，也有 50%的个体大于或等于中位数.
因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
(3)频率分布直方图中的“平均数”
平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分
布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
【方法技巧与总结】
1．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆.
【类型 1 绘制、补全频率分布直方图】
1．（24-25 高一上·全国·课后作业）某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了 100 头仔猪的体重（单位：
斤），经数据处理得到如图①的频率分布直方图，其中体重最轻的 14 头仔猪的体重的频数分布表如图②，
为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中 a＋b 的值为（ ）
体重 22 24 26 27 28 29 31
频数 1 1 2 3 3 2 2
图②
A．0.144 B．0.152 C．0.76 D．0.076
2．（23-24 高三上·云南·阶段练习）要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳远测试，
根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在[120,140)之间的学生中用分层抽样的方法抽取5人，应
从[120,130)间抽取人数为 ，则（ ）
A． = 0.025， = 2 B． = 0.025， = 3
C． = 0.030， = 4 D． = 0.030， = 3
3．（多选）（24-25 高二上·内蒙古·期末）某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中
挑选了 100 个称重（单位：kg），并整理数据，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，
下面结论正确的是（ ）
A． = 0.8
B．估计该哈密瓜的质量不低于 1.6kg 的比例为 30%
C．估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于 1.4kg 至 1.6kg 之间
D．估计该哈密瓜的质量的中位数介于 1.5kg 至 1.6kg 之间
4．（23-24 高二下·上海杨浦·期末）学校开展国防知识竞赛，对 100 名学生的竞赛成绩进行统计，发现这
100 名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[50,60)，
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，图中 x 的值是 ．
5．（23-24 高二·上海·课堂例题）某校 30 名高一女生的扔手球记录如下（单位：m）：
16.3 13.2 17.7 14.3 16.4 19.8 13.5 14.5 11.7 14.1
14.8 17.2 13.8 15.4 16.3 15.7 18.5 16.8 17.9 15.9
17.6 15.4 16.8 21.4 16.5 18.1 16.0 20.3 16.6 19.5
(1)选择适当的组距，制作一张频率分布表；
(2)在（1）的基础上，绘制一幅频率分布直方图.
6．（24-25 高二·上海·课堂例题）从高一学生中抽取 50 名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下（单
位：分）：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8．
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比．
【类型 2 频率分布直方图中的相关计算】
7．（2024·陕西渭南·模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对 800 名考生的考试成绩进行统计，得到如
图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100].若考生成绩在[70,80)内的人数为 ，考生成绩在[80,100]内的人数为 ，则 = （ ）
A．20 B．10 C．60 D．40
8．（2025 高三上·河南·专题练习）为了调查某工厂生产的一批口罩的质量情况，随机抽取了一批口罩，所
得数据如下图所示，为了进一步了解情况，研究人员在被抽取的口罩中按照质量的指标值再次进行分层抽
样，共抽取 个，若质量的指标值在[110,120)中的抽取80个，则下列说法正确的是（ ）
A．质量的指标值在[140,150)中的抽取5个
B．质量的指标值在[130,140)中的抽取60个
C．质量的指标值在[120,130)中的抽取40个
D． = 200
9．（多选）（23-24 高一下·内蒙古通辽·阶段练习）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出
了一个容量为 n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有 60 人，则下列说法
正确的是（ ）
A．样本中支出在[50，60)内的频率为 0.03
B．样本中支出不少于 40 元的人数为 132
C．n 的值为 200
D．若该校有 2000 名学生，则估计有 600 人支出在[50，60)内
10．（24-25 高一上·全国·课后作业）为了了解某校学生的体重情况，采用随机抽样的方法调查．将样本体
重数据整理后，得到的频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右前三个矩形面积之比为 1∶2∶3，第二小
组频数为 12，则全校共抽取人数为 ．
11．（2024 高三·全国·专题练习）某市为了了解学生的体能情况，从全市所有高一学生中按90:1的比例随机
抽取200人进行一分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分为6组画出频率分布直方图（如图所示），由于操
作失误，导致第一组和第二组的数据丢失，但知道第二组频率是第一组的2倍.
(1)求 和 的值；
(2)若次数在120以上（含120次）为优秀，试估计全市高一学生的优秀率是多少？全市优秀学生的人数约为
多少？
12．（24-25 高一上·北京西城·阶段练习）为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为 100 的
样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布
在[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400]的频率分别为 1，
2，…， 7.已知 1 + 2 + 3 = 0.5， 4 = 2 6.
(1)求 2， 6的值；
(2)求样本中在[150,300)内的频数；
(3)若全校共2000名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于250分钟的人
数.
【类型 3 根据其他统计图解决实际问题】
13．（23-24 高一下·湖南·阶段练习）如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，
根据该图，下列结论正确的是（ ）
（注：同比，指当前的数据与上一年同期进行比对；环比，指当前数据与上个月的数据进行比对.）
A．2024 年1 2月份，商品零售总额同比增长9.2%
B．2023 年3 12月份，餐饮收入总额同比都降低
C．2023 年6 10月份，商品零售总额同比都增加
D．2023 年 12 月，餐饮收入总额环比增速为 14.1%
14．（23-24 高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从
业者年龄的分布饼状图 90 后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90 后比 80 后多
B．90 后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
15．（多选）（23-24 高一下·广西柳州·阶段练习）给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有
（ ）
A．从折线图能看出世界人口的变化情况
B．2050 年非洲人口将达到大约 13 亿
C．2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D．从 1957 年到 2050 年各洲中北美洲人口增长速度最慢
16．（23-24 高一下·广西玉林·期中）某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有
学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委将统计结果绘制成如下两个不完整的统计图，则合唱社团
的人数占全体学生人数的百分比为 .
17．（24-25 高一上·全国·课后作业）以下是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请
根据图 1、图 2 解答下列问题:
(1)来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 1~4 月的手机销售总额一共是 290 万元，请将图 1 中的统计
图补充完整;
(2)该店 1 月份音乐手机的销售额为多少万元
(3)小刚观察图 2 后，认为 4 月份音乐手机的销售额比 3 月份减少了，你同意他的看法吗 请说明理由.
18．（23-24 高一上·云南保山·开学考试）近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽
样调查.调查结果显示，支付方式有：A 微信、B 支付宝、C 现金、D 其他，该小组对某超市一天内购买者
的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次一共调查了多少名购买者？
(2)请补全条形统计图；
在扇形统计图中 A 种支付方式所对应的圆心角为______度.
(3)若该超市这一周内有 1600 名购买者，请你估计使用 A 和 B 两种支付方式的购买者共有多少名？
【类型 4 频率分布直方图中百分位数与统计参数的估计】
19．（23-24 高一下·天津南开·期末）某校随机抽取了 400 名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都
在 50 分至 100 分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中 x 的值为 0.035
B．在被抽取的学生中，成绩在区间[70,80)的学生数为 30 人
C．估计全校学生的平均成绩为 84 分
D．估计全校学生成绩的样本数据的 80%分位数约为 93 分
20．（23-24 高一下·天津和平·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党 知史爱国的热情，
某校举办了“学党史 育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将 1000 名师生的竞赛成绩（满分 100 分，
成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）
A．a 的值为 0.005
B．估计这组数据的众数为 75
C．估计这组数据的第 85 百分位数为 86
D．估计成绩低于 60 分的有 25 人
21．（多选）（23-24 高一下·全国·期末）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图
（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，
正确的是（ ）
A．图（1）的平均数 = 中位数 = 众数
B．图（2）的平均数<众数<中位数
C．图（2）的众数 < 中位数<平均数
D．图（3）的平均数 < 中位数 < 众数
22．（23-24 高一上·江西南昌·期末）支原体肺炎是学龄前儿童及青年人常见的一种肺炎，全年均可发病，
以冬季多见，主要通过飞沫传播，潜伏期较长，近期，某班级出现许多学生感染支原体肺炎的现象，为确
保班级的正常教学，该班班主任统计了最近一周 5 天感染支原体肺炎的学生人数，已知这 5 天的人数互不
相等，且 5 天数据的平均数为 ，若最后一天的数据不小心被墨水污染，前 4 天的数据的平均数为 ，若 =
，则 4 天数据的第 60 百分位数 （填“大于”，“小于”“等于”）这 5 天数据的第 60 百分位数．
23．（23-24 高一下·广东广州·期末）5 月 11 日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，
6～17 岁的儿童青少年肥胖率接近 20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上
常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的 BMI 数值
标准为：BMI<18.5 为偏瘦；18.5≤BMI<24 为正常；24≤BMI<28 为偏胖；BMI≥28 为肥胖.为了解某公司员工
的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了 60 名男员工、
40 名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的 BMI 值并将女员工的 BMI 值绘制成如图所示的
频率分布直方图：
(1)求图中 a 的值，并估计样本中女员工 BMI 值的 70%分位数；
(2)已知样本中男员工 BMI 值的平均数为 22，试估计该公司员工 BMI 值的平均数.
24．（23-24 高一下·湖南长沙·期末） （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是
体重(单位:kg)
否健康的一个标准，其计算公式是： = 2
身高 单位: m2 ．中国成人的 数值参考标准为： < 18.5为
偏瘦；18.5 ≤ < 24为正常；24 ≤ < 28为偏胖； ≥ 28为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥
胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了 60 名男员工，40 名女员工的身
高体重数据，通过计算男女员工的 值，整理得到如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 a 的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
(2)估计该公司员工的 值的众数，中位数；
(3)已知样本中 60 名男员工 值的平均数为 1 = 22.4，根据频率分布直方图，估计样本中 40 名女员工
值的平均数 2．
【类型 5 频率分布直方图中总体离散程度的估计】
25．（24-25 高一下·安徽·开学考试）已知甲，乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击 10 次，得分情
况如下图所示．则根据本次比赛结果，以下说法正确的是（ ）
乙射击环数 6 7 8 9 10
频数 1 2 2 2 3
A．甲比乙的射击水平更高
B．甲的射击水平更稳定
C．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
D．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
26．（2024·陕西西安·一模）某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如右图，为响应国家
减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少 5 分钟，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（ ）
A．减负后完成作业的时间的标准差减少 25
B．减负后完成作业的时间的方差减少 25
C．减负后完成作业的时间在 60 分钟以上的概率为12%
D．减负后完成作业的时间的中位数为 25
27．（多选）（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）某次物理考试后，为分析学生的学习情况，某校从
某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成
绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同
学成绩方差为10．则（ ）
A． = 0.005
B．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为86.50
C．估计该年级学生成绩的中位数约为76.14
D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
28．（23-24 高一下·江苏苏州·期末）2023 年 10 月 22 日，汉江生态城 2023 襄阳马拉松在湖北省襄阳市成
功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔
的面试工作．现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三
组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之
和为 0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这 100 名候选者面试成绩的平均数和第 25 百分位数；
(2)在这 100 名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取 10 人，再从这 10 名面试者中
随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 20 人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的
面试成绩的平均数和方差分别为 62 和 40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 80 和 70，据此
估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
29．（23-24 高一下·广东广州·期末）为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形
成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，
某学校举办了读书节活动.现从该校的 2000 名学生中发放调查问卷，随机调查了 100 名学生一周的课外阅读
时间，将统计数据按照[0,20)，[20,40)，…[100,120)，[120,140]组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单
位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(1)求 的值，若每周课外阅读时间 60 分钟以上（含 60 分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；
(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；
(3)若样本数据在[0,20)与[20,40)内的方差分别为 2 21 = 3， 2 =
5
3，计样本数据在[0,40)内的方差
2.
30．（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，全校学生参加了这次竞
赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 x（单位：分，得分取正整数，满分为 100 分）
作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（50 ≤ < 60，60 ≤ < 70，70 ≤ < 80，80 ≤ < 90，
90 ≤ ≤ 100），其中 = 8 ，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)求 , 的值；
(2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名学生的分数： 1, 2, 3, , 10，已知这 10 个分数的平均数 = 90，
标准差 = 6，若剔除其中的 95 和 85 两个分数，求剩余 8 个分数的平均数与方差；
1 1 1 1
附：方差计算公式： 2 = 2 2 2 2 2 2 2 ( ) = ( 1 ) + ( 2 ) + + ( ) 或 = =1
=
=1
2 2 21 + 2 + + 2
(3)已知总体分为 2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： 21, , 1；
, , 2
1
2 2．记总样本的平均数为 ，样本方差为 2．试证明： 2 = 2 2 2 + 1 1 + ( ) + 2 2 + ( )2 ．1 2
【类型 6 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度】
31．（2024·全国·模拟预测）如图为 2014—2022 年中国游戏用户规模（单位：百万人）及同比增长率、
2010—2022 年中国国产游戏获批版号数量（单位：个）的统计图，则下列结论正确的是（ ）
A．2014—2022 年中国游戏用户规模逐年增长
B．2014—2022 年中国游戏用户规模的同比增长率的中位数为3.1%
C．2010—2022 年中国国产游戏获批版号数量的极差为 223 个
D．2010—2022 年中国国产游戏获批版号数量的平均数超过 1600 个
32．（23-24 高一下·福建福州·期末）图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的
是（ ）
A．这 10 年粮食年产量的极差为 16
B．这 10 年粮食年产量的第 70 百分位数为 35
C．这 10 年粮食年产量的平均数为 33.7
D．前 5 年的粮食年产量的方差小于后 5 年粮食年产量的方差
33．（多选）（24-25 高一下·全国·开学考试）某市今年夏天迎来罕见的高温炎热天气，当地气象部门统计
进入八月份以来（8 月 1 日至 8 月 10 日）连续 10 天中每天的最高气温和最低气温，得到如下的折线图：
根据该图，关于这 10 天的气温，下列说法中正确的有（ ）
A．最高气温的众数为 38°C B．最低气温的平均值为 29°C
C．8 月 4 日的温差最大 D．最高气温的极差大于最低气温的极差
34．（2025 高二下·北京·学业考试）某公司对去年甲、乙两种产品的月投资额（单位：万元）进行了统计，
作出如下统计图（称为雷达图）．
根据图中信息，给出下列三个结论：
①该公司去年 12 月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额；
②该公司去年甲产品的月投资额的平均数大于乙产品的月投资额的平均数；
③该公司去年甲产品的月投资额的方差小于乙产品的月投资额的方差．
其中所有正确结论的序号是 ．
35．（23-24 高一下·福建三明·期末）已知 A，B 两家公司的员工月均工资（单位：万元）情况分别如图 1，
图 2 所示：
(1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图 1 估计 A 公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个
数据更能反映该公司普通员工的工资水平？请说明理由．
(2)小明拟到 A，B 两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司？
36．（23-24 高一下·甘肃定西·阶段练习）甲、乙两人在相同的条件下各射靶 10 次，每次射靶成绩均为整数
（单位：环），如图所示
(1)填写下表：
平均 方 中位
命中 9环及以上
数 差 数
甲 1.2 7
乙 3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数与方差相结合的角度分析偏离程度；
②从平均数与中位数相结合的角度分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中 9 环以上的次数看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更好．
