第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇）
【人教 A 版 2019】
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 19 题，单选 8 题，多选 3 题，填空 3 题，解答 5 题，满分 150 分，限时 120 分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度
2．（5 分）（2024 高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形 中， 是 边上的一点，则（ ）
A． + = B． + + =
C． + + = D． + =
3．（5 分）（24-25 高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在 △ 中， 是边 的中点， 是 上一点，且
= 13 + ，则 = （ ）
A 1 1 1 2．2 B．3 C．4 D．5
4．（5 分）（23-24 高一下·北京延庆·期中）若 = (1, )， = ( 1,1)，且 ⊥ ( + )，则 x 的值为（ ）
A．1 B． 1 C． 1或 0 D． 1或 1
5．（5 分）（23-24 高一下·河南·期中）在四边形 中， 与 交于点 ，且 = ， = ，| |
= | |，则 （ ）
A． ⊥ B．四边形 是梯形
C．四边形 是菱形 D．四边形 是矩形
6．（5 分）（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量 ， 满足| | = 2，| | = 4 2π，向量 与 的夹角为 3 ，
则 + = （ ）
A．0 B．8 C．4 + 4 3 D．4 4 3
7．（5 分）（23-24 高一下·山东烟台·期中）在 △ 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 cos +
(2 )cos = ，则 △ 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．（5 分）（23-24 高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间
艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花隔断，图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图 2，若正八
边形 的边长为 2，P 是正八边形 八条边上的动点，则 的最大值为（ ）
A． 2 B．4 + 2 2 C．2 + 2 D．2 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高一下·广西来宾·期末）关于非零向量 ， ，下列命题中，正确的是（ ）
A．若| | = | |，则 = B．若 = ，则 //
C．若 // ， // ，则 // D．若| | > | |，则 >
10．（6 分）（23-24 高一下·山东青岛·期末）已知向量 ， 满足| | = 1， = ( 3,1)，则下列说法正确的是
（ ）
A = 3 , 1．若 则 ⊥
2 2
B．| + |最大值为 3
C．若 + = 0，则 = 2
D．若 = 1，则向量 3 , 1在向量 上的投影向量坐标为
4 4
11．（6 分）（23-24 高一下·新疆·期末）记 △ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 = 13，
π
= 3， = 3，则（ ）
A． = 4 B． △ 的周长为7 + 13
C sin = 2 13 D 13π． ． △ 外接圆的面积为
13 3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高一下·广西玉林·期中）已知向量| | = 3,| | = 4，且 = 6，则|2 | = ．
13．（5 分）（23-24 高一下·重庆·阶段练习）若向量 = (2, 1)， = ( 3, )的夹角为钝角，则实数 的取值
范围为 ．
14．（5 分）（23-24 高一下·贵州·期中）贵州中天 201 大厦是贵阳标志性建筑之一，又名为“芦笙楼”．它是
以贵州少数民族芦笙为原型设计，外形造型看上去就像是用很多微型大楼“拼接”起来的一样，而这一部分其
实具有相当先进的建筑工艺，采用的是筒式悬挂结构，目前是世界上最高的筒式悬挂建筑．某数学兴趣小
组成员为测量中天 201 大厦的高度，在与楼底 位于同一水平面上的 , 两处进行测量，已知在 处测得塔顶
的仰角为60 ，在 处测得塔顶 的仰角为45 ,∠ = 30 , = 116米，则中天 201 大厦的高度为 米．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）如图， 为正方形 对角线的交点，四边形 ，
都是正方形.在图中所示的向量中：
(1)分别写出与 ， 相等的向量；
(2)写出与 的相反向量；
(3)写出与 模相等的向量.
π
16．（15 分）（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）已知向量 与 的夹角为4，且| | = 2，| | = 2．
(1)求 和| |；
(2)求向量 与向量 的夹角．
17．（15 分）（23-24 高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在 △ 中，AD 是 BC 边上的中线.M 为 BD 的中点，
G 是 AD 上一点，且 = 2 ，直线 EF 过点 G，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F.
(1)试用 和 表示 ，
(2)若 = ， = ( , ∈ R+)，求 + 4 的最小值.
18．（17 分）（23-24 高一下·山东枣庄·期中）如图，在 △ 中，∠ = 120 ， = 1， = 3，点
1在线段 上，且 = 2 ．
(1)求 的长；
(2)求cos∠ ．
19．（17 分）（23-24 高一下·江西宜春·期末）在 △ 中， 为 上一点， = ， = 7， = 8.
(1)若 = 60°，求 △ 外接圆的半径 ；
(2)若sin∠ = 3 3，∠ 为锐角，求 △ 面积.
14第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度
【解题思路】利用向量的定义判断即可．
【解答过程】向量是既有大小，又有方向的量，
因为海拔，压强，温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向，
所以重力是向量，
故选：C．
2．（5 分）（2024 高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形 中， 是 边上的一点，则（ ）
A． + = B． + + =
C． + + = D． + =
【解题思路】根据向量线性运算化简求解即可.
【解答过程】 = ，故 A 错误； + + = ，故 B 正确；
+ + = ，故 C 错误； = ，故 D 错误.
故选：B.
3．（5 分）（24-25 高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在 △ 中， 是边 的中点， 是 上一点，且
= 13 + ，则 = （ ）
A 1 1 1 2．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】设 = ，根据图形由向量的加法法则运算即可；
【解答过程】设 = ，
1
因为 是边 的中点，所以 = 2 ，
所以 = = 12 ，
= + = + = + 12 =
1
(1 ) + 2 ，
又 = 13 + ，
1 = 1 1
所以 31 ，解得 = ， = 3
2
故选：B.
4．（5 分）（23-24 高一下·北京延庆·期中）若 = (1, )， = ( 1,1)，且 ⊥ ( + )，则 x 的值为（ ）
A．1 B． 1 C． 1或 0 D． 1或 1
【解题思路】由向量垂直可以得到数量积为 0，进而列出方程求解.
→ →
【解答过程】由题设 + = (0, + 1)，
由题，得1 × 0 + ( + 1) = 0，解得 = 0或 = 1.
故选：C.
5．（5 分）（23-24 高一下·河南·期中）在四边形 中， 与 交于点 ，且 = ， = ，| |
= | |，则 （ ）
A． ⊥ B．四边形 是梯形
C．四边形 是菱形 D．四边形 是矩形
【解题思路】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解.
【解答过程】由 = , = ,| | = | |，
知四边形 的对角线相互平分且相等，
所以四边形 为矩形.
故选：D.
6 2π．（5 分）（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量 ， 满足| | = 2，| | = 4，向量 与 的夹角为 3 ，
则 + = （ ）
A．0 B．8 C．4 + 4 3 D．4 4 3
【解题思路】由条件根据数量积的定义求 ，再结合数量积的运算律求 + .
2π
【解答过程】因为| | = 2，| | = 4，向量 与 的夹角为 3 ，
所以 = | | | |cos , = 2 × 4 × 1 = 4，
2
所以 + = 2 + = 4 4 = 0.
故选：A.
7．（5 分）（23-24 高一下·山东烟台·期中）在 △ 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 cos +
(2 )cos = ，则 △ 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【解题思路】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三
角形内角的范围和三角方程即可求解.
【解答过程】由 cos + (2 )cos = 及正弦定理，得
sin cos + (2sin sin )cos = sin ,
所以sin cos + 2sin cos sin cos = sin[π ( + )] = sin( + ),
所以sin cos + 2sin cos sin cos = sin cos + cos sin ,
即2sin cos sin cos = cos sin ，
即(sin sin )cos = 0，解得sin = sin 或cos = 0,
当sin = sin 时，又0 < < π，0 < < π,所以 = 或 + = π（舍），所以 △ 为等腰三角形;
π
当cos = 0时，又0 < < π，所以 = 2，所以 △ 为直角三角形;
综上所述， △ 为等腰或直角三角形.
故选：D.
8．（5 分）（23-24 高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间
艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花隔断，图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图 2，若正八
边形 的边长为 2，P 是正八边形 八条边上的动点，则 的最大值为（ ）
A． 2 B．4 + 2 2 C．2 + 2 D．2 2
【解题思路】由投影向量的定义得到当 在 上时， 取得最大值，进而得到答案.
【解答过程】由投影向量的定义可知，当 在 上时， 取得最大值，
延长 交 的延长线于点 ，
的最大值为 ，
其中正八边形的外角为360° ÷ 8 = 45°，故 = = 2,∠ = 45°，
故 = 2cos45° = 2， = + = 2 + 2，
故 = 2(2 + 2) = 4 + 2 2，
所以 最大值为4 + 2 2.
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高一下·广西来宾·期末）关于非零向量 ， ，下列命题中，正确的是（ ）
A．若| | = | |，则 = B．若 = ，则 //
C．若 // ， // ，则 // D．若| | > | |，则 >
【解题思路】根据向量的模、向量共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】A 选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以 A 选项错误.
B 选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以 B 选项正确.
C 选项，非零向量 ， ，若 // ， // ，则 // 成立，所以 C 选项正确.
D 选项，向量不能比较大小，所以 D 选项错误.
故选：BC.
10．（6 分）（23-24 高一下·山东青岛·期末）已知向量 ， 满足| | = 1， = ( 3,1)，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 = 3 , 1 则 ⊥
2 2
B．| + |最大值为 3
C．若 + = 0，则 = 2
D．若 = 1，则向量 在向量 上的投影向量坐标为 3 , 1
4 4
【解题思路】对于 A,验证数量积是否为 0 即可判断；对于 B，求模先求平方，再开方即可求解；对于 C,移
项之后在平方求解即可；对于 D, 在向量 上的投影向量为| |cos , ,据此求解即可.| |
3
【解答过程】对于 A,因为 = ×
2 3 +
1 × 1 = 1 ≠ 0，所以 与 不垂直，故 A 错误；
2
对于 B,因为 = ( 3,1)，所以| | = 2，
所以
当 , 共线时，cos , 有最大值为 1，所以| + |max = 3，故 B 正确；
2 2
对于 C,因为 + = 0，所以 = ，即 = ，
所以 2| |2 = | |2，所以 2 = 4，解得 =± 2，故 C 错误；
对于 D,因为 = 1，所以| || |cos , = 1，即cos 1 , = 2，
1
所以 在向量 上的投影向量为| |cos , = 1 × 2 ×
1
| | 2( 3,1) =
3 , 1 ，故 D 正确.
4 4
故选：BD.
11．（6 分）（23-24 高一下·新疆·期末）记 △ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 = 13，
π
= 3， = 3，则（ ）
A． = 4 B． △ 的周长为7 + 13
C sin = 2 13 D 13π． ． △ 外接圆的面积为
13 3
【解题思路】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论.
π
【解答过程】由 2 = 2 + 2 2 cos = 9 + 2 2 × 3 cos3 = 13，得
2 3 4 = 0，解得 = 4或 = 1（舍
去），
所以 △ 的周长为7 + 13，A 正确，B 正确.
13 4 2 39
因为sin = sin ，所以sin π = sin ，解得sin = ，C 错误.3 13
13
设 △ 外接圆的半径为 R，因为sin π = 2 =
13 39
，所以 = ，△ 13π外接圆的面积为π 2 = ，D 正确.
3 3 3 3
故选：ABD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高一下·广西玉林·期中）已知向量| | = 3,| | = 4，且 = 6，则|2 | = 2 19 ．
【解题思路】应用向量数量积的运算律求向量的模即可.
2
【解答过程】由题意|2 |2 = 4 2 4 + = 36 + 24 + 16 = 76，所以|2 | = 2 19．
故答案为：2 19.
13．（5 分）（23-24 高一下·重庆·阶段练习）若向量 = (2, 1)， = ( 3, )的夹角为钝角，则实数 的取值
3 3
范围为 6, ∪ , + ∞ ．
2 2
【解题思路】两向量的夹角为钝角，等价于两向量的数量积小于零且两向量不反向共线，由此可求参数的
取值范围.
【解答过程】因为向量 = (2, 1)， = ( 3, )的夹角为钝角，
所以 < 0且 , 不反向共线，
由 < 0 6 < 0 > 6；
由 // 2 3 = 0 = 32；
6, 3 ∪ 3所以 ， 的夹角为钝角，可得 的取值范围是： , + ∞ .
2 2
故答案为： 6, 3 ∪ 3 , + ∞ .
2 2
14．（5 分）（23-24 高一下·贵州·期中）贵州中天 201 大厦是贵阳标志性建筑之一，又名为“芦笙楼”．它是
以贵州少数民族芦笙为原型设计，外形造型看上去就像是用很多微型大楼“拼接”起来的一样，而这一部分其
实具有相当先进的建筑工艺，采用的是筒式悬挂结构，目前是世界上最高的筒式悬挂建筑．某数学兴趣小
组成员为测量中天 201 大厦的高度，在与楼底 位于同一水平面上的 , 两处进行测量，已知在 处测得塔顶
的仰角为60 ，在 处测得塔顶 的仰角为45 ,∠ = 30 , = 116米，则中天 201 大厦的高度为 116 3
米．
【解题思路】设 = ，利用直角三角形边角关系表示 , ，再利用余弦定理建立方程求解即得.
【解答过程】设 = ，在Rt △ 中，∠ = 45 ，则 = ，
在Rt △ 中，∠ = 60 = 3，则 tan60 = ，3
在 △ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos30 ，
3 2
即1162 = 2 + ( ) 2 3 33 ，解得 = 116 ，3 2 3
所以中天 201 大厦的高度为116 3米.
故答案为：116 3.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）如图， 为正方形 对角线的交点，四边形 ，
都是正方形.在图中所示的向量中：
(1)分别写出与 ， 相等的向量；
(2)写出与 的相反向量；
(3)写出与 模相等的向量.
【解题思路】（1）根据相等向量的定义直接求解即可；
（2）根据相反向量的定义直接求解即可；
（3）根据模相等向量的定义求解即可.
【解答过程】（1）由题意 = ， = ．
（2）由题意，与 的相反向量为： ， ．
（3）由题意，与 模相等的向量为： ， ， ， ， ， ， ．
π
16．（15 分）（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）已知向量 与 的夹角为4，且| | = 2，| | = 2．
(1)求 和| |；
(2)求向量 与向量 的夹角．
【解题思路】（1）先求出 ，再结合模长关系代入求解即可得出答案.
（2）设向量 与向量 的夹角 ，由向量的夹角公式结合数量积的运算律求解即可.
π
【解答过程】（1）因为向量 与 的夹角为4，且| | = 2，| | = 2，
则 = | || |cos , = 2 × 2 × 2 = 2．2
所以| | = 2 = 2 + 2 2 = 4 + 2 4 = 2．
（2）设向量 与向量 的夹角 ，
cos = =
2 | |2 4 2
可得 2| | | | | = = = ， | | | | | | | 2×2 2
π π
且 ∈ [0,π]，则 = 4，所以向量 与向量 的夹角为4．
17．（15 分）（23-24 高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在 △ 中，AD 是 BC 边上的中线.M 为 BD 的中点，
G 是 AD 上一点，且 = 2 ，直线 EF 过点 G，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F.
(1)试用 和 表示 ，
(2)若 = ， = ( , ∈ R+)，求 + 4 的最小值.
【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）先将 用 , 表示，再根据 E，F，G 三点共线，可得 , 的关系，再根据基本不等式即可得解.
1 1
【解答过程】（1）由题意， 为 的中点，所以 = 2 + 2 ，
又 为 的中点，所以 = 12 +
1
2 =
1 1 1 1
2 + 2 + =
3
4 +
1
4 ；2 2
∵ = 2 2，即 = 3 ，
= = 2 2 1 1 2 13 = 3 × + = 3 + 3 ；2 2
3 1 2 1
故 = 4 + 4 ， = 3 + 3 .
（2）由 = 2 ， = ， = ( , ∈ R+)，
1
得 = 1 ， = ，
= 2 = 2 1 1 1 1
1
所以 3 3 +
1 = 3 + 3 = 3 + 3 ，2 2
1 1
因为 E，F，G 三点共线，则3 + 3 = 1 ，
5 4 5
则 + 4 = ( + 4 ) 1 + 1 = 3 + 3 + 3 ≥ 3 +2
4 = 3，
3 3 3 3
4 = 1当且仅当3 3 ，即 = 1， = 2时取等号所以 + 的最小值 3.
18．（17 分）（23-24 高一下·山东枣庄·期中）如图，在 △ 中，∠ = 120 ， = 1， = 3，点
1
在线段 上，且 = 2 ．
(1)求 的长；
(2)求cos∠ ．
【解题思路】（1）用 、 表示 ，再根据 、 的长度和夹角可求出结果；
（2）根据夹角公式可求出结果.
【解答过程】（1）设 = ， = ，
则 = + = + 13 = +
1 2 1
3 = 3 + 3 =
2
3 +
1
3 ．
2 1 2 4 2 1
| |2 = 2 = 2 23 + 3 = 9 + 2 × 9 × + 9
= 4 2 1 7 79 × 1 + 2 × 9 × 1 × 3 × cos120 + 9 × 9 = 9．故 = ．3
2 +1 2 1 2
（2）因为cos∠ = = 3 3 = + 3 3| | | | 7 ×3
3 7
2 ×1×3× 1 +1= ×3
2
3 2 3 = 2 7．
7 7
所以cos∠ = 2 7.
7
19．（17 分）（23-24 高一下·江西宜春·期末）在 △ 中， 为 上一点， = ， = 7， = 8.
(1)若 = 60°，求 △ 外接圆的半径 ；
(2)若sin∠ = 3 3，∠ 为锐角，求 △ 面积.
14
【解题思路】（1）利用余弦定理求得 ，再利用正弦定理即可得解.
（2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解.
【解答过程】（1）由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos
= 72 + 82 2 × 7 × 8cos60° = 57，解得 = 57；
又 57sin = 2 ，解得 = 2sin = = ；2sin60° 19
∴△ 外接圆的半径 为 19；
（2 3 3）因为sin∠ = ，∠ 为锐角，
14
2
则cos∠ = 131 3 3 = ；
14 14
设 = ，则 = 8 , = 8 ，
在 △ 中， = 7, = , = 8 ,cos∠ = 1314，
由余弦定理得 2 = 72 + (8 )2 2 × 7 × (8 ) × 1314，解得 = 3；
所以 = 3, = 5；
3
由正弦定理sin∠ = sin ，即3 3 =
5
sin ，解得sin =
5 3
；
14 14
所以 △ =
1
2 sin =
1 × 7 × 8 × 5 32 = 10 3，14
即 △ 的面积为10 3.
