第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 ∥ ，则 与 的方向相同或相反
B．若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ = ”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件
C．若 ∥ , ∥ ，则 ∥
D．“ = ”的充要条件是“| | = | |且 ∥ ”
【解题思路】利用向量的概念和共线向量的概念逐项判断即可.
【解答过程】零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当 = 0时， ≠ 0时， ∥ ，
但不满足两向量方向相同或相反，选项 A 错误；
因为 A，B，C，D 是不共线的四点， = ，所以 ∥ , = ，故四边形 ABCD 为平行四边形，
若四边形 ABCD 为平行四边形，则 = ，所以“ = 是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件，
选项 B 正确；
当 = 0时， ∥ ， ∥ ，但不一定有 ∥ ，选项 C 错误；
当 = 时，有| | = | |且 ∥ ，当| | = | |且 ， 方向相反时， ≠ ，
所以“ = ”是“| | = | |且 ∥ ”的充分不必要条件，选项 D 错误．
故选：B．
2．（5 分）（24-25 高一下·天津·阶段练习）若向量 ， 满足| | = | | = 2，| + | = 2 3，则（ ）
π
A． = 2 B． 与 的夹角为6
C | | < | | D 1． + ． 在 上的投影向量为2
【解题思路】由模与数量积的关系求得 = 2，再根据数量积的性质确定 与 的夹角，求解投影向量即可
得结论.
2 2
【解答过程】对于 A，| + | = ( + ) = 2 + 2 + = 8 + 2 = 2 3，则 = 2，A 错误；
π
对于 B，cos , = = 2 1
| || | 2×2
= 2，0 ≤ , ≤ π，则 , = 3，B 错误；
对于 C，| | = ( )2 = 2 2 + 2 = 2，| | < | + |，C 正确；
( ) 2 1
对于 D，又 在 上的投影向量为 = = ，D 错误.
| |2 | |2 2
故选：C.
3．（5 分）（24-25 高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量 ， 不共线， = 4 +6 ， = +3 ，
= +3 ，则（ ）
A． , , 三点共线 B． , , 三点共线
C． , , 三点共线 D． , , 三点共线
【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【解答过程】对于 A， = + = +3 + +3 = 6 ，与 不共线，A 不正确；
对于 B， = 4 +6 ， = +3 ，则 与 不共线，B 不正确；
对于 C， = +3 ， = +3 ，则 与 不共线，C 不正确；
对于 D， = + = 4 +6 +3 = 3 +9 = 3 ，
即 / ，又线段 AC 与 CD 有公共点 C，所以 , , 三点共线，D 正确．
故选：D．
4．（5 分）（23-24 高一下·四川乐山·期中）如图，已知点 是 △ 的重心，过点 作直线分别与 ，
两边交于 ， 两点，设 = ， = ，则 + 9 的最小值为（ ）
A 5 16．2 B．4 C． 3 D．3
1 1
【解题思路】利用三角形重心性质，得 = 3 + 3 ，再由平面向量基本定理设 = +(1 ) ，
1
即 = +(1 ) 1 1，对照系数，得3( + ) = 1，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得 + 9
的最小值.
【解答过程】
如图，延长 交 于点 ，因点 是 △ 的重心，
则 = 2 2 13 = 3 × 2( + ) =
1 1
3 + 3 ，①
因 , , 三点共线，则 > 0，使 = +(1 ) ，
因 = ， = ，代入得， = +(1 ) ，②
= 1 1 1 1
由①，②联立，可得， 3 ，消去 即得， ( + ) = 1，
(1 ) = 1 3
3
1
+ 9 = ( + 9 ) 1(1 + ) = 1
则 3 3(10 + +
9
) ≥
10
3 +
1
3 2 =
16
9 3 ，
当且仅当 = 3 时等号成立，
4 4 16
即 = 3, = 9时， + 9 取得最小值，为 3 .
故选：C.
5．（5 分）（23-24 高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶
点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在
如图所示的勒洛三角形中，已知 = 2，点 在弧 AC 上，且∠ = 30°，则 = （ ）
A．6 4 3 B．2 3 4 C．2 6 4 2 D．4 3 6
【解题思路】以 为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积.
【解答过程】以 为原点， 为 轴，点 在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，
则有 (0,0)， (2,0)， (1, 3), 为弧 上的点且∠ = 30 ，则 ( 3,1)，
= (1 3, 3 1), = (2 3, 1)，
2
= (1 3) × (2 3) + ( 3 1) × ( 1) = 3 × (1 3) = 3 × (4 2 3) = 6 4 3.
故选：A.
6．（5 分）（24-25 高一下·广东清远·阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽 250m，河水的速度
为向东2 3km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头 A 处出发，航行到位于河对岸 B(AB 与河的方向垂直)
的正西方向并且与 B 相距250 3m 的码头 C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为
6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A． 21km/h B．2 21km/h
C． 22km/h D．2 22km/h
【解题思路】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【解答过程】如图所示：
= 250m = 0.25km， = 250 3m = 3km，4
π
tan∠ = 5π = 3 ∠ = 3 ∠ = 6 ，
设合速度为 ，小货船航行速度为 1，水流的速度为 2，
则有 1 + 2 = 1 = 2所以有
| 1| = | 2| =
2
2 = 2 + 22 2 2 = 36 + 12 2 × 6 × 2 3 × 3 = 2 21，2
故选：B.
7．（5 分）（24-25 高一下·北京海淀·阶段练习）如图，在四边形 中， ⊥ , ⊥ ,∠ = 60
, = 2, = 3, 为线段 的中点， 为线段 上一动点（包括端点），且 = + ，则下列说法
错误的是（ ）
A． = 52
B．若 为线段 的中点，则 + = 1
C． 15的最小值为 4
D 8． 的最大值比最小值大5
【解题思路】建立平面直角坐标系，作出辅助线，利用相似求出边长，求出点的坐标，进而利用向量解决
四个选项.
【解答过程】以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，过点 C
作 CG⊥x 轴于点 G，作 CH⊥y 轴于点 H，过点 B 作 BM⊥CH 交 HC 的延长线于点 M，则 △ △ ，
因为 ⊥ , ⊥ ,∠ = 60 ，
所以∠ = 60°，设 = ，则 = 3 ，则 = = 3 + ， = 2 3 ，
=
= 3 3则 ，即2 3 ，解得： = 或 = 0（舍去），3+ 4
则 (0,0), (2,0), (0, 3), 3 , 5 3 ， 3 , 9 3 ，
4 4 8 8
= 2 + 2 = 75 + 25 =
5
2，A 说法正确；16 16
若 为线段 的中点，则 (1,0)，
5 5
所以 = , 9 3 , = (0, 3), = , 5 3 ，
8 8 4 4
5 5 =
8 4 =
1
则 9 3 5 3 ，解得：
2
1 ，则 + = 1，B 说法正确； = 3 =
8 4 2
设 ( ,0),0 ≤ ≤ 2，
2
则 = 3 5 3 3 15 231 , ( , 3) = 2 4 + 4 =
3 +
4 4 8 64
，
故当 = 3 2318时， 取得最小值，故最小值为 64 ，C 选项说法错误；
3 = 5
= 3 , 9 3 ，则 8 4
8 8 9 3 = 3 5 3
，
8 4
3 3 13 5 3 13
因为0 ≤ ≤ 2，则 8 ∈ , ，所以4 ∈ , ，8 8 8 8
3 13 13 8
解得： ∈ , ，10
3 =
10 10 10 5
，
所以 8的最大值比最小值大5，D 说法正确.
故选：C.
8．（5 分）（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角 △ 中，角 A，B，C 的对边分别为 ， ， ，
2 2
为 △ 的面积，且4 = 3 2 ( )2 + ，则 的取值范围为（ ）
A 3 5 3 5． ， B． ,2 C． 2， D．[2, + ∞)2 2 2 2
【解题思路】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两
角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得.
【解答过程】在锐角 △ ，由余弦定理可知2 cos = 2 + 2 2，
1
由面积公式可得 △ = 2 sin ，代入到已知条件可得
4 × 12 sin = 3[
2 2 2 +2 ] 2 sin = 3[2 cos + 2 ]，
因为 ≠ 0，化简可得sin = 3cos + 3，
π 3
根据恒等变换可得sin + = ，因为锐角 △ ，
3 2
π π π
0 < < , < + < 5π
π 2π π
所以 2 3 3 6 ，所以可得 + 3 = 3 , = 3，
3 1
所以sin = ,cos = 2，2
= sin sin( + ) sin cos +cos sin 3 1 1则 sin = sin = sin = 2 tan + 2，
π 2π π
因为锐角 △ ，所以0 < < 2,0 < = 3 < 2，
π π
则6 < <
π
2，tan 在 0, 单调递增，2
1 1 1
则tan ∈ (0, 3)
3
，令 = = tan + 2，所以 ∈
1 ,2 ，2 2
2+ 2 =
所以 + = +
1 1 1
，由对勾函数的单调性知 = + 在 ,1 单调递减，在(1,2)单调递增，2
当 = 1 1时，是极小值 = 2，当 = 2或 = 2
5
时，最大值 = 2，
2+ 2
则 ∈ 2,
5 .
2
故选：C.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高一下·宁夏固原·期末）设 ， 是非零向量，且 ≠ ，下列结论正确的是（ ）
A．若 = 0，则 //
B．若 = | | | |，则 //
C．若 = ，则 ⊥
D．若| | = | + |，则 ⊥
【解题思路】根据向量数量积的运算即可判断A，B；根据向量的运算性质和向量垂直的条件即可判断C，
D.
【解答过程】对于A，若 = 0，则 ⊥ ，故A不正确；
对于B，设 ， 的夹角为 ，所以 = | | | |cos ，
若 = | | | |，则cos = 1，所以 = 0 ，即 ， 同向，
所以 // ，故B正确；
对于C，若 = ，则 = 0，
所以 = 0，
因为 ≠ 0， ≠ ，所以 ⊥ ，故C正确；
对于D，设 ， 的夹角为 ，
| | | | 2 2若 = + ，则 = + ，
2 2
所以 2 2 + = 2 +2 + ，
所以 = 0，所以 ⊥ ，故D正确.
故选：BCD.
10．（6 分）（23-24 高一下·江苏徐州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民
间艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花，图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形
的边长为 2, 是正八边形 边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． = ( 2 +1)
B． 在 向量上的投影向量为 2 + 1
2
C．若 = (1 + 2) ，则 P 为 的中点
D．若 P 在线段 上，且 = + ，则 + 的取值范围为[1,2 + 2]
【解题思路】建立如图平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示计算可得 = ( 2 +1) 、投影向量( 22
0+
+1) 、满足 0 = (1 + 2) 0的点可能是 ED 的中点也可能是 AH 的中点、 + = 2 , 0 ∈ [
2 ,0]，依
2 2
次判断即可.
【解答过程】如图，以 所在直线为 y 轴，GC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，
设 = = = = = = = = ，
π
则2 = 2 + 2 2 2cos ，整理得 24 = 2 + 2，
(0, ), ( 2 , 2 ), ( ,0), ( 2 , 2 ), (0, ), ( 2 , 2 ), ( ,0), ( 2 , 2 )，
2 2 2 2 2 2 2 2
设 ( 0, 0).
A： = ( 2 , 2 ), = ( 2 , 2 )，得 = ( 2 +1) ，故 A 正确；2 2 2 2
B： = ( 2 , 2 + ), = ( 2 , 2 )，
2 2 2 2
1 1
2+ 2 2
得 2 2
1 2
| |2 = 1 2 2 = = +12 2 ，即投影向量为(
2 +1) ，故 B 正确；
2+( ) 2 2
2 2
C： = (0, ) ( + 2 , 2 ) = 2 2，
2 2 2
= ( 20, 0) ( , 2 ) = 2 0 ( + 0)( 2 )，2 2 2 2
2 2
由 = (1 + 2) ，整理得 2 ( + )( 2 ) = 2 ，2 0 0 2 1+ 2
即 0 = (1 + 2) 0，满足此等式的点可能是 ED 的中点，也可能是 AH 的中点，故 C 错误；
D： = ( 0, 20 + ), = ( , 2 ), = ( 2 , 2 )，2 2 2 2
由 = + ，得( 0, 0 + ) = ( 2 , 2 ) + ( 2 , 2 )，2 2 2 2
0+
整理，得 + = 2 2 , 0 ∈ [ ,0]，
2 2
所以 + ∈ [1,2 + 2]，故 D 正确.
故选：ABD.
11．（6 分）（23-24 高一下·四川内江·期中）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 cos +
cos = 2，则下列说法正确的是（ ）
π
A．若 = 3，则 △
3
面积的最大值为
4
π
B．若 = 4，且 △ 只有一解，则 b 的取值范围为(0,1]
π
C．若 = 3，且 △ 为锐角三角形，则 △ 周长的取值范围为(1 + 3,3]
D．若 △ 为锐角三角形， = 2，则 AC 边上的高的取值范围为 3 ,2 3
2
【解题思路】根据正弦定理边角互化可得 = 1，即可根据余弦定理，结合不等式求解 A；根据正弦定理即
可求解 B，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求 C，根据余弦定理得3 < 2 < 5，
即可根据二次函数的性质求解 D.
【解答过程】由正弦定理可得sin cos + sin cos = sin ，即sin( + ) = sin = sin
因为0 < < π，所以sin ≠ 0，所以 = 1，
π
对于 A，若 = 3，
π
cos = cos =
2+ 2 2 2+ 2 1
由余弦定理得 3 2 = 2 ，
由 > 0， > 0，可得 2 + 2 = + 1 ≥ 2 ，
即 ≤ 1，当且仅当 = 时等号成立，
△ 1则 面积2 sin ≤
1 × 3 32 = ，所以 △
3
面积的最大值为 ，故 A 正确；
2 4 4
π 1
对于 B，若 = 4，且 = 1，由正弦定理得 = sin πsin ，4
π
所以sin = sin4 =
2 ，
2
当sin = 1时，即 2 = 1， = 2时有一解，故 B 错误；2
π 2 2 2 2π
对于 C，若 = 3，由正弦定理得sin = 3，所以 + + = 1 + 3(sin + sin ) = 1 + 3 sin + sin 3
2
= 1 + 3
3 sin +
3 cos = 1 + 2sin + π ，
2 2 6
π 2π π π π
由于 △ 为锐角三角形，故0 < < 2且0 < 3 < 2，故6 < < 2，
π
因此 + π 2π6 ∈ , ，故 + + = 1 + 2sin +
π ∈ (1 + 3,3]，故 C 正确；
3 3 6
对于 D，由于 △ 为锐角三角形， = = 2， = 1，
2 + 2 > 2 5 > 2
所 2 + 2 > 2 2 > 3 3 < 2 < 5，
2 + 2 > 2 2 + 4 > 1
5 2 2 ( 2 5)2+16
故 AC 边上的高为 sin = 1 cos2 = 1 = ∈ 3 ,1 ，故 D 错误．
4 16 2
故选：AC.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高一下·黑龙江大庆·期末）已知向量 , 满足| | = 2, = (3,0)，则向量 在向量 方向上
1
的投影向量的坐标为 ,0 ，则| | = 10 ．
2
【解题思路】由已知分别求出cos < , > 和| |，再根据平面向量数量积的运算律求解即可．
【解答过程】由 = (3,0)得，| | = 3，
1
因为向量 在向量 方向上的投影向量的坐标为 ,0 ，
2
1 1
所以| | cos < , > 1| | = ,0 = 6 ，即cos < , >=2 4，
| |2 2所以 = | |2 + | | 2 1| || | cos < , >= 4 + 9 2 × 2 × 3 × 4 = 10，
所以| | = 10，
故答案为： 10．
13．（5 分）（24-25 高一下·广东广州·阶段练习）一艘游轮航行到 处时看灯塔 在 的北偏东75 ，距离为
12 6海里，灯塔 在 的北偏西30 ，距离为12 3海里，该游轮由 沿正北方向继续航行到 处时再看灯塔
在其南偏东60 方向，则此时灯塔 位于游轮的 南偏西60 方向(用方向角作答).
【解题思路】由正弦定理得到 = 24 3，由余弦定理得 = 12，从而由正弦定理得到sin∠ = ，结合
2
> ，得到∠ = 60 ，得到答案.
【解答过程】如图，在 △ 中， = 180 60 75 = 45 ，
12 6
由正弦定理得 sin45 =
sin60 = 3 = 24 2，解得 = 24，2
在 △ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 × × cos30 ，
因为 = 12 3, = 24，所以解得 = 12，
由正弦定理得 sin30 = sin∠ ，解得sin∠ =
3
，
2
故 ∠ = 60 或∠ = 120 ，
因为 > ，故∠ 为锐角，所以∠ = 60 ，
此时灯塔 位于游轮的南偏西60 方向．
故答案为：南偏西60 .
14．（5 分）（23-24 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，若动点 P 在以
AB 为直径的半圆 E（正方形 ABCD 内部，含边界），则 的取值范围为 [0,4] .
【解题思路】先求得| | 2 的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为| | 1，从而得解.
【解答过程】因为正方形 的边长为 2，取 的中点 ，连接 ，
当 在 点或 点时，| | = 22 + 12max = 5，
当 在弧 中点时，| |min = 2 1 = 1，
所以| |的取值范围为 1, 5 ，
= = 1因为 2 ，| | = 2，
2 2
所以 = + + =
1
4
| |2= 1| |2 24 = | | 1，
| | | |2因为 ∈ 1, 5 ，所以 ∈ [1,5]，故| |2 1 ∈ [0,4]，
所以 ∈ [0,4]，即 的取值范围为[0,4].
故答案为：[0,4].
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2025 高一·全国·专题练习）在平行四边形 中， ， 分别为边 、 的中点，如图．
(1)写出与向量 共线的向量；
(2)求证： = ．
【解题思路】（1）由题意直接写出与向量 共线的向量即可；
（2）证明四边形 是平行四边形即可证明 = .
【解答过程】（1）据题意，与向量 共线的向量为： , , , , , , , , , , ；
（2）证明： ∵ 是平行四边形，且 ， 分别为边 ， 的中点，
∴ = ，且 // ，
∴ 四边形 是平行四边形，
∴ = ，且 // ，
∴ = ．
16．（15 分）（23-24 高一下·福建漳州·阶段练习）已知向量 = (2,0)， = (1,4)．
(1)求| + |的值；
(2)( + ) ⊥ ( )，求 ；
(3)若向量 + 与 +2 的夹角为锐角，求 的取值范围．
【解题思路】（1）求出 + 的坐标，再求出模即可；
（2）求出 + 和 的坐标，再由( + ) ⊥ ( )，得到关于 的方程，求解即可；
（3）由向量 + 与 +2 的夹角为锐角，得到( + ) ( +2 ) > 0且 + 与 +2 不共线，从而建立
关于 的不等式关系，求解即可.
【解答过程】（1）由 = (2,0)， = (1,4)知 + = (3,4)，所以| + | = 32 + 42 = 5．
（2）由 = (2,0)， = (1,4)知 + = (3,4), = (2 1, 4),
因为( + ) ⊥ ( )，
所以( + ) ( ) = 6 3 16 = 0 = 19，解得： 6
（3）由题可得 + = (2 + 1,4)， +2 = (4,8)，由已知有 + 与 +2 的夹角为锐角，
故即是要( + ) ( +2 ) > 0且 + 与 +2 不共线．
9
4(2 + 1) + 4 × 8 > 0 > 2 9 1 1从而命题等价于 2 + 1 ≠ 2 ，即 1 ，所以 的取值范围是 ∪ ≠ , , + ∞
．
2 2 2
2
17．（15 分）（23-24 高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形 中， // ， ⊥ ， = 2
3， = 2， = 4， 为 的中点，点 满足 = ， ∈ [ 0,1 ].
(1)用 与 表示 ；
(2)求 的取值范围；
(3)若点 为 △ 的重心，是否存在 ，使得 ， ， 三点共线？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由.
【解题思路】（1）利用向量的线性运算可得答案；
（2）利用向量的线性运算、数量积的运算可得答案；
3 1 2 +3 1（ ） = 2 + 12 ， = + 2 ， 若 ， ， 三点共线，则 = ，求出 可得答案.
1 1 3 1
【解答过程】（1） = 2 + =
1
2 + + = 4 +2 2 ；
→ →
（2） = + = + 2 ，且 ⊥ ，即 · = 0，
= + 1 3
1 2 3 2
所以 + = 2 + = 6 + 6 ，2 2 4 8
又因为 ∈ [0,1]，所以 ∈ [6,12]；
3 2 1 1 2 +3（ ）若点 为 △ 的重心，则 = 3 × 2 + = 2 + 12 ，
又因为 = + 12 ，
若 ， ， 三点共线，则 ∈ R使得 = ，
1 =
可得 22 +3 1 ，解得 = 0，=
12 2
所以存在 = 0，使得 ， ， 三点共线.
18．（17 分）（23-24 高一下·浙江台州·期中）在直角梯形 中，已知 ∥ ， ⊥ ， = 1，
= 2， = 3，动点 、 分别在线段 和 上， 和 交于点 ，且 = ， = (1 ) ，
∈ ．
(1)当 = 0时，求 的值；
(2) 2 当 = 3时，求 的值；
(3)求| + 1 的取值范围．2 |
【解题思路】(1)在直角梯形 ABCD 中，根据几何关系求出∠ABC 和 BC 长度，当 AE⊥BC 时，求出 BE 长度，
= 从而可得 ；
(2)设 = ， = ，以 , 为基底用两种形式表示出 ，从而可得关于 x、y 的方程组，解方
程组可得 = 1 ；
2
(3)以 , 为基底表示出 、 1，从而表示出 + 2 ，求出| + 1 2 | 的范围即可求出| + 1 的范2 |
围．
【解答过程】（1）在直角梯形 中，易得∠ = 4， = 2 2，
∵ = 0，∴ ⊥ ，∴ △ 为等腰直角三角形，∴ = 3 2，
2
故 = 3 = 4；
（2） = + = + = + + + = + +
3
= 1 2 + ，
3
2 5
当 = 3时， = 9 +
2
3 ，
设 = ， = ，
则 = = 59 +
2
3 ，
= + = + = + ( + ) = + (1 ) ，
5 =
∵ , ∴ 9 = 5 5不共线， 2 ，解得 ，即 = ； = 1 1 6 6
3
（3）∵ = + = +(1 ) = + 1 3
2
， = + 1 ，
3
∴ + 12 = 1 +
+ 5 2 ，
2 6 3
| 1 2 2 5 2 2 2 5 2 2 + 2 | = 1 + | |22 + 6 3 | |2 = 4 1 + 2 + 9 6 3
2
＝( + 2)2 + 5 2 = 5 2 6 + 412 4 ，
由题意知， ∈ [0,1]，
2
∴当 = 35时，| + |
3 3
取到最小值 5 × 6 × + 41＝13 5，
5 5 4 10
当 = 0时，| + |取到最大值 41，2
∴| + 1 |的取值范围是 13 5 , 41 ．2 10 2
19．（17 分）（24-25 高一下·新疆·阶段练习）在 △ 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足
cos + 3 sin = 0．
(1)求角 A；
(2)若 = 3，求 △ 周长的最大值；
(3) 求 2 的取值范围．
π
【解题思路】（1）根据正弦定理与sin = sin cos + cos sin 得到 3sin cos = 1，从而求出 = 3；
（2）由余弦定理和基本不等式求出 + ≤ 2 3，从而得到周长的最大值；
4 1
（3）利用正弦定理，结合三角恒等变换得到 2 = 3sin
2 + π 2sin + π 3，换元后，配方求出最6 6
值，得到取值范围.
【解答过程】（1） cos + 3 sin = 0，由正弦定理得，
sin cos + 3sin sin sin sin = 0，
因为sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
所以sin cos + 3sin sin sin cos cos sin sin = 0，
即 3sin sin cos sin sin = 0，
因为 ∈ (0,π)，所以sin ≠ 0，故 3sin cos = 1，
π 1
所以sin = 2，6
π
因为 ∈ (0,π)，所以 π 5π6 ∈ , ，6 6
π π π
故 6 = 6，解得 = 3；
π
（2）由（1）知 = 3，
2 2 2 2
= 3 + ( + ) 2
2
又 ，由余弦定理得cos = 2 = 2 ，
1 = ( + )
2 2 3
即2 2 ，
所以( + )2 3 = 3 ，
+ 2
由基本不等式可知 ≤ 2 ，
所以( + )2 3 ≤ 34( + )
2，解得 + ≤ 2 3，
当且仅当 = = 3时，等号成立，
故 △ 的周长最大值为3 3；
π
（3）由（1）知 = 3，
= sin sin sin sin sin sin
sin sin 3 (sin +sin )
则 2 2 sin2 = 3
4
4 2 3 4 π 2 3 π
= 3 sin sin 3 (sin + sin ) = 3 sin 3 + sin 3 sin 3 + + sin
4 3 1 2 3 3 1
= 3 2 cos + 2 sin sin 3 2 cos + 2 sin + sin
2 3 2
= 3 sin cos + 3 sin
2 cos 3sin
3 1 cos2
= 3 sin2 + 3 cos 3sin
2 π 1 π
= 3 cos 2 + 3 + 3 2sin + 6
2 π 1 π
= 3 1 2sin
2 + 6 + 3 2sin + 6
= 43sin
2 1 + π 2sin + π ，
6 6 3
令 = sin + π ，
6
2π π π 5π π 1
因为 ∈ 0, ，所以 + ∈ , ， = sin + ∈ ,1 ，
3 6 6 6 6 2
4 2
则 2 = 3
2 2 1 = 43 3
3 13
4 12，
3 13
故当 = 4时， 2 取得最小值，最小值为 12，
当 = 1时， 2 取得最大值，最大值为 1，
13
故 2 的取值范围是 , 1 .12第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）
【人教 A 版 2019】
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 19 题，单选 8 题，多选 3 题，填空 3 题，解答 5 题，满分 150 分，限时 120 分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 ∥ ，则 与 的方向相同或相反
B．若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ = ”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件
C．若 ∥ , ∥ ，则 ∥
D．“ = ”的充要条件是“| | = | |且 ∥ ”
2．（5 分）（24-25 高一下·天津·阶段练习）若向量 ， 满足| | = | | = 2，| + | = 2 3，则（ ）
π
A． = 2 B． 与 的夹角为6
C．| | < | 1 + | D． 在 上的投影向量为2
3．（5 分）（24-25 高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量 ， 不共线， = 4 +6 ， = +3 ，
= +3 ，则（ ）
A． , , 三点共线 B． , , 三点共线
C． , , 三点共线 D． , , 三点共线
4．（5 分）（23-24 高一下·四川乐山·期中）如图，已知点 是 △ 的重心，过点 作直线分别与 ，
两边交于 ， 两点，设 = ， = ，则 + 9 的最小值为（ ）
A 5．2 B．4 C
16
． 3 D．3
5．（5 分）（23-24 高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶
点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在
如图所示的勒洛三角形中，已知 = 2，点 在弧 AC 上，且∠ = 30°，则 = （ ）
A．6 4 3 B．2 3 4 C．2 6 4 2 D．4 3 6
6．（5 分）（24-25 高一下·广东清远·阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽 250m，河水的速度
为向东2 3km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头 A 处出发，航行到位于河对岸 B(AB 与河的方向垂直)
的正西方向并且与 B 相距250 3m 的码头 C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为
6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （ ）
A． 21km/h B．2 21km/h
C． 22km/h D．2 22km/h
7．（5 分）（24-25 高一下·北京海淀·阶段练习）如图，在四边形 中， ⊥ , ⊥ ,∠ = 60
, = 2, = 3, 为线段 的中点， 为线段 上一动点（包括端点），且 = + ，则下列说法
错误的是（ ）
A． = 52
B．若 为线段 的中点，则 + = 1
C． 15的最小值为 4
D 8． 的最大值比最小值大5
8．（5 分）（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角 △ 中，角 A，B，C 的对边分别为 ， ， ，
2+ 2
为 △ 的面积，且4 = 3 2 ( )2 ，则 的取值范围为（ ）
A 3 5 3 5． ， B． ,2 C． 2 D．[2, + ∞)2 2 2 ， 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高一下·宁夏固原·期末）设 ， 是非零向量，且 ≠ ，下列结论正确的是（ ）
A．若 = 0，则 //
B．若 = | | | |，则 //
C．若 = ，则 ⊥
D．若| | = | + |，则 ⊥
10．（6 分）（23-24 高一下·江苏徐州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民
间艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花，图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形
的边长为 2, 是正八边形 边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． = ( 2 +1)
B． 在 向量上的投影向量为 2 + 1
2
C．若 = (1 + 2) ，则 P 为 的中点
D．若 P 在线段 上，且 = + ，则 + 的取值范围为[1,2 + 2]
11．（6 分）（23-24 高一下·四川内江·期中）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 cos +
cos = 2，则下列说法正确的是（ ）
π
A 3．若 = 3，则 △ 面积的最大值为 4
π
B．若 = 4，且 △ 只有一解，则 b 的取值范围为(0,1]
π
C．若 = 3，且 △ 为锐角三角形，则 △ 周长的取值范围为(1 + 3,3]
D．若 △ 为锐角三角形， = 2，则 AC 边上的高的取值范围为 3 ,2 3
2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高一下·黑龙江大庆·期末）已知向量 , 满足| | = 2, = (3,0)，则向量 在向量 方向上
1
的投影向量的坐标为 ,0 ，则| | = ．
2
13．（5 分）（24-25 高一下·广东广州·阶段练习）一艘游轮航行到 处时看灯塔 在 的北偏东75 ，距离为
12 6海里，灯塔 在 的北偏西30 ，距离为12 3海里，该游轮由 沿正北方向继续航行到 处时再看灯塔
在其南偏东60 方向，则此时灯塔 位于游轮的 方向(用方向角作答).
14．（5 分）（23-24 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，若动点 P 在以
AB 为直径的半圆 E（正方形 ABCD 内部，含边界），则 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2025 高一·全国·专题练习）在平行四边形 中， ， 分别为边 、 的中点，如图．
(1)写出与向量 共线的向量；
(2)求证： = ．
16．（15 分）（23-24 高一下·福建漳州·阶段练习）已知向量 = (2,0)， = (1,4)．
(1)求| + |的值；
(2)( + ) ⊥ ( )，求 ；
(3)若向量 + 与 +2 的夹角为锐角，求 的取值范围．
17．（15 分）（23-24 高一下·山东威海·期末）如图，在直角梯形 中， // ， ⊥ ， = 2
3， = 2， = 4， 为 的中点，点 满足 = ， ∈ [ 0,1 ].
(1)用 与 表示 ；
(2)求 的取值范围；
(3)若点 为 △ 的重心，是否存在 ，使得 ， ， 三点共线？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理
由.
18．（17 分）（23-24 高一下·浙江台州·期中）在直角梯形 中，已知 ∥ ， ⊥ ， = 1，
= 2， = 3，动点 、 分别在线段 和 上， 和 交于点 ，且 = ， = (1 ) ，
∈ ．
(1)当 = 0时，求 的值；
(2) = 2 当 3时，求 的值；
(3)求| + 1 |的取值范围．2
19．（17 分）（24-25 高一下·新疆·阶段练习）在 △ 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足
cos + 3 sin = 0．
(1)求角 A；
(2)若 = 3，求 △ 周长的最大值；
(3) 求 2 的取值范围．
