2024-2025 学年高一下学期期中数学试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的向量叫做相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度为零，方向是任意的
D． ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
【解题思路】AB 根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C 选项，根据零向量的定义得到 C 正确；D 选
项，举出反例.
【解答过程】A 选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故 A 不正确；
B 选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故 B 不正确；
C 选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C 正确；
D 选项，当 ∥ 时， 所在的直线与 所在的直线可能重合，故 D 不正确．
故选：C．
2．（5 分）设 = 3 2i，则在复平面内 对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】由共轭复数，及复数几何意义可得答案.
【解答过程】因 = 3 2i，则 = 3 + 2i，其在复平面内对应的点为(3,2)，在第一象限.
故选：A.
3．（5 分）已知平面向量 = ( 3, 1),| | = 4，且 2 ⊥ ，则| | = （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据模的坐标运算得| | = 2，根据垂直关系可得 = 2，再根据模长关系运算求解.
【解答过程】因为 = ( 3, 1)，所以| | = 2，| | = 4，
又因为 2 ⊥ ，所以( 2 ) = | |2 2 = 0，则 = 2，
所以| | = | |2 + | |2 2 = 4 + 16 4 = 4.
故选：C.
4．（5 分）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是2 + i， 1 + 2i，0，则第四个顶点对应
的复数是（ ）
A． 1 + 3i B．1 + 3i C． 1 + i D．1 + i
【解题思路】如图，由 = + 运算得解.
【解答过程】如图，正方形的三个顶点对应的坐标为 (0,0)， (2,1)， ( 1,2)，
π
设第四个顶点为 ( , )，由 = 2 × ( 1) +1 × 2 = 0，则∠ = 2，
所以 , 为正方形的对角线，则 = + ，
∴ ( , ) = (2,1) + ( 1,2)，解得 = 1, = 3，
∴ (1,3)，即第四个顶点对应的复数为1 + 3i.
故选：B.
5．（5 分）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ）
A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
【解题思路】根据几何体结构特征直接判断即可.
【解答过程】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为 , , 1, 1，如图所示，
由三棱锥性质可知， 和 1 1 1 1是全等的梯形，
又平面 1 1//平面 1 1，
平面 1 1分别与平面 1 1和 1 1相交于 1, 1，
所以 1// 1，同理 1// 1，
又 1// 1，所以 1, 1, 1, 1互相平行，
所以盛水部分的几何体是四棱柱.
故选：C.
6．（5 分）不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的
工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面
直径为 16，圆柱和圆锥的高均为 6，则该陀螺的表面积为（ ）
A．240π B．220π C．160π D．176π
【解题思路】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解.
【解答过程】该陀螺的表面积有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面，
因为圆柱的底面直径为 16，所以半径为 8，
则底面圆面面积为：π × 82 = 64π，
因为圆柱的高为 6，
所以圆柱的侧面为：2 × 8π × 6 = 96π，
根据圆锥的高为 6，底面圆的半径为 8，
得圆锥母线长为 62 + 82 = 10，
1
所以圆锥的侧面为：2 × 10 × 2 × 8π = 80π，
所以该陀螺的表面积为：64π +96π +80π = 240π，
故选：A.
7．（5 分）在 △ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(3 + )cos + cos = 0，且 2 2 2
= 2，则 △ 的面积为（ ）
A． 2 B．2 2 C． 6 D．2 3
1
【解题思路】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简(3 + )cos + cos = 0可得cos = 3，进而结合余
弦定理可得 = 3，进而结合面积公式即可求解.
【解答过程】由(3 + )cos + cos = 0，
根据正弦定理得，(3sin + sin )cos + sin cos = 0，
即3sin cos + sin cos + sin cos = 0，
即3sin cos + sin( + ) = 0，
即3sin cos + sin = 0，
因为 ∈ (0,π)，则sin ≠ 0，
所以3cos + 1 = 0，即cos = 13，
2 2 2
所以cos = + 2 =
1
3，
又 2 2 2 = 2，
cos = 2 = 1 1则 2 = 3，即 = 3，
又sin = 1 cos2 = 1 1 = 2 2，
9 3
所以 △ 1的面积为2 sin =
1
2 × 3 ×
2 2 = 2.3
故选：A.
8．（5 分）如图，两个共底面的正四棱锥（底面 ABCD 是正方形，顶点 E、F 与正方形 ABCD 的中心的连
线与底面 ABCD 垂直）组成一个八面体 ，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）
A．异面直线 AE 与 BC 所成的角为45°
B． ⊥
C．平面 ⊥ 平面 CDF
D．直线 AE 与平面 BDE 所成的角为60°
【解题思路】对于 A，异面直线 AE 与 BC 所成的角转化为直线 AE 与 AD 所成角即可；对于 B，只需证明 ⊥
平面 ACE 即可；对于 C，需证 //平面 与 //平面 ,得出面面平行判断即可；对于 D，先证 ⊥
平面 BEDF，故∠ 即为直线 AE 与平面 BDE 所成的角，求解即可.
【解答过程】因为 // ，所以∠ （或其补角）即为异面直线 AE 与 BC 所成的角，
又 = = ，所以∠ = 60°，即异面直线 AE 与 BC 所成的角为60°，A 错误；
连接 AC 交 BD 于点 O，则点 O 为正方形 的中心，连接 EF，
根据正棱锥的性质可知 EF 必过点 O，且 ⊥ 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ，OE， 平面 ACE，
所以 ⊥ 平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，B 正确；
由对称性可知 = ， = ，所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
同理 //平面 ，又 ∩ = ，AF， 平面 ，
所以平面 //平面 ，C 错误；
由 = ， = ，得 ⊥ ，在正方形 ABCD 中， ⊥ ，
又 ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
所以∠ 即为直线 AE 与平面 所成的角，
1 1
设该八面体的棱长为 2，则 = 2 = 22 + 2 = 2，
所以 = 2 2 = 2 = ，所以∠ = 45°，D 错误.
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）已知虚数 满足 = 1 + 32 i，则（ ）2
A 1 3． 的实部为 2 B． 的虚部为 2
C．| | = 1 D． 在复平面内对应的点在第三象限
【解题思路】根据共轭复数概念写出 ，进而判断各项的正误.
1 3 1 3
【解答过程】由 = 2 + i，得 = i，2 2 2
1 3
所以 的实部为 2, 的虚部为 ,| | = 1，2
1 3在复平面内对应的点( 2, )在第三象限，2
故选：ACD.
10．（6 分）已知向量 = (3, )， = ( ,1)， 2 = ( 1,2)，则下列结论中正确的是（ ）
A． // 3 + 2 B． 2 5 ⊥
C．cos , = 2 5 D． = | |5 | | 5
【解题思路】利用平面向量的坐标运算可求出 、 的值，可得出向量 、 的坐标，利用平面向量共线的坐
标表示可判断 A 选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断 BCD 选项.
【解答过程】因为向量 = (3, )， = ( ,1)， 2 = (3 2 , 2) = ( 1,2)，
3 2 = 1 = 2
所以， 2 = 2 ，解得 = 4 ，则 = (3,4)， = (2,1)，
对于 A 选项，3 +2 = 3(3,4) +2(2,1) = (13,14)，
因为3 × 14 ≠ 13 × 4，则 与3 +2 不共线，A 错；
对于 B 选项，2 5 = 2(3,4) 5(2,1) = ( 4,3)，则 2 5 = 12 + 12 = 0，
故 2 5 ⊥ ，B 对；
C cos = 10对于 选项， , = = 2 5，C 对；| | | | 5 5 5
对于 D 选项，| | = 32 + 42 = 5，| | = 22 + 12 = 5，故| | = 5| |，D 对.
故选：BCD.
11．（6 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 、 分别是 1、 1的中点，下列结论正
确的是（ ）
A．EF 与 1垂直
B． //平面 ABCD
π
C．异面直线 1与 1所成的角为3
D 3．点 到平面 1 的距离为 3
【解题思路】根据 // ，但 AC 与 1不垂直，即可判断 A，根据线面平行的判定即可求解 B，根据线线
平行可得∠ 1 就是异面直线 1与 1所成的角或其补角，利用三角形的边角关系即可求解 C，根据线面
平行，结合等体积法即可求解 D.
【解答过程】对 A：连接 1 ， 1 1，则 1 交 1于 ，
又 为 1中点，可得 // 1 1，即 // ，但 AC 与 1不垂直，故 A 错误；
对 B：由 // ， 平面 ， 平面 ，故 //平面 ；故 B 正确.
对 C：由于 1// 1，故∠ 1 就是异面直线 1与 1所成的角或其补角，
由正方体可知 = 1 = 1，即 △ 1 为等边三角形，
π π
故∠ 1 =3，即异面直线 1与 1所成的角为3，故 C 正确；
对 D：由于 1// 1 ， 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，故 1//平面 1 ，
所以点 E 到平面 1 的距离等于点 A 到平面 1 的距离，设为 d，
1△ 1 ×1×1×1
由体积法可知， = 2 3 =△ 1 3 = ，故 D 正确.1 × 2× × 2 32 2
故选：BCD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）若复数 满足(1 i) = 2 + i，则 在复平面内对应的点位于第 一 象限.
【解题思路】利用复数的除法与乘法运算，化简复数为标准式，结合复数的几何意义，可得答案.
= 2 + i = 2+i = (2+i)(1+i)(1 i) = 2 1+(2+1)i
1 3
【解答过程】由 ，则 1 i 1+1 2 = 2 + 2i，
1 3
所以复数 在复平面上对应点为 , ，该点位于第一象限.
2 2
故答案为：一.
13．（5 分）如图是三角形 用斜二测画法得到的水平直观图三角形 1 1 1，其中 1 1// ′轴， 1 1// ′
轴，若三角形 1 1 1的面积是6．则三角形 的面积是 12 2 ．
【解题思路】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为 2，结合三角形 1 4 1 1的面积是6求结论.
【解答过程】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为 2，
4
△ 1 所以 1 1 2 = ，又 △ = 6，△ 4 1 1 1
6
所以 △ = 2 = 12 2.
4
故三角形 的面积是12 2．
故答案为：12 2.
14．（5 分）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称
之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高约为 36m，在它们
之间的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）处测得建筑物顶 A、教堂顶 C 的仰角分别是 45°和 60°，在建筑
物顶 A 处测得教堂顶 C 的仰角为 15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度 CD 约为 54m ．
【解题思路】根据题意求得 ，在 △ 中由正弦定理求出 ，即可在直角 △ 中求出 .
【解答过程】由题可得在直角 △ 中，∠ = 45°， = 36 ，所以 = sin45° = 36 2，
在 △ 中，∠ = 180° 60° 45° = 75°，∠ = 15° + 45° = 60°，
所以∠ = 180° 75° 60° = 45°，
36 2× 3
所以由正弦定理可得 2sin45° = sin60°，所以 = 2 36 3，
2
则在直角 △ 中， = sin60° = 54，
即圣·索菲亚教堂的高度约为 54m.
故答案为：54m.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）已知向量 = (1, 3), = (0, 3).
(1)若单位向量 与 共线，求向量 的坐标；
(2)若 与2 + 垂直，求 的值.
【解题思路】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可；
（2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可.
【解答过程】（1）因为两向量共线， 是单位向量，
所以设 = ( , )，
1 1
2 + 2 = 1 = =
得到 2 23 = 0 ，解得 ，或 ， = 3 = 3
2 2
= 1得 3 1， 或 3 .2 2 2 ， 2
（2）因为 与2 + 垂直，
→ → → →
所以 · 2 + = 0，而| | = 2, · = 3,| | = 3，
2 2即2 + (1 2 ) = 5 + 3 = 0，
5
解得 = 3.
16．（15 分）设 ∈ R，复数 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 )i.
(1)求 m 为何值时，z 为纯虚数；
(2)若复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求 m 的取值范围.
【解题思路】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可；
（2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于 0，同时纵坐标小于 0，据此列出不等式求解即可.
【解答过程】（1）由 2 5 + 6 = 0解得 = 2或 = 3；
当 = 2时， = 2i是纯虚数，
当 = 3时， = 0为实数，
所以 = 2.
（2）因为 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 )i在复平面内对应的点位于第四象限，
2 5 + 6 > 0
所以 2 3 < 0 ，解得0 < < 2.
17．（15 分）如图，平面 ⊥ 平面 ，四边形 与四边形 都是直角梯形，
∠ = ∠ = 90°, ∥ 且 = 12 , ∥ 且 =
1
2 , , 分别为 , 的中点．
(1)证明：四边形 是平行四边形；
(2) , , , 四点是否共面？为什么？
【解题思路】（1）运用中位线性质，结合平行四边形判定即可解；
（2）运用中位线性质，结合平行线传递性，证明 , 共面,进而得到四点共面.
1
【解答过程】（1）由题意知，由已知 = , = ，可得 // , = 2 ．
又 // , = 12 , ∴ // , = ．
∴ 四边形 为平行四边形．
（2） , , , 四点共面．理由如下：
∵ // , = 12 , 是 的中点， ∴ // , = ，
则四边形 为平行四边形,所以 //
由（Ⅰ）知 // ，所以 // ，故 , 共面．
又点 在直线 上
所以 , , , 四点共面．
18．（17 分）如图，在 △ 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，角 的平分线交 于点 ，且
= 3 sin + 2， 2 = sin .
(1)求角 的大小;
(2)若 = 2 3，求 △ 的面积.
【解题思路】（1）由正弦定理“边化角”，由二倍角正弦化简，求出 B；
（2）在 △ 中， △ 中由正弦定理求得 ， ，得 ，代入面积公式求解.
+
【解答过程】（1）∵ sin 2 = sin ，
由正弦定理得sin sin + 2 = sin sin ，
∵ sin ≠ 0，
∴sin + 2 = sin ，
由 + + = 180 ，可得sin + 2 = cos
2，
∴ cos 2 = 2sin
2cos2，
又cos 2 ≠ 0，故sin
2 =
1
2，
π
∴ = 3；
（2）在 △ sin∠ sin 中，由正弦定理得 = ，
∴sin∠ = sin = 2 3×
3
2
=
2，
3 2 2
π
又∠ ∈ 0, π ，所以∠ =
2 4
，
π π
∴ = 2∠ = 2， = 6，
在 △ 中，由正弦定理得sin∠ = sin ，
π
=
3 2sin
sin sin∠ =
4
sin π = 6，
6
∴ = 2 3 +6，
1 1
2
△ = 2 = 2 cos
π sin π = 3(2 3 + 6) = 9 + 6 .
3 3 8
3
19．（17 分）如图，已知 1 1 1 1的棱长为 2.
(1)求四棱锥 1 1 的体积；
(2)求直线 1和平面 所成角的余弦值.
【解题思路】（1）利用锥体体积公式即可求得四棱锥 1 1 的体积；
（2）先在正方体 1 1 1 1中找到直线 1和平面 所成角，进而求得其余弦值.
【解答过程】（1）正方体 1 1 1 1的棱长为 2，
由正方体性质可得 ⊥ 平面 1 1 ，则四棱锥 1 1 的高为 ，
∴ 1 8 1 1 = 3 × 2 × 2 × 2 = 3.
（2）因为 1 ⊥ 平面 ，
∴ 直线 1 在平面 上的射影为直线 ，
∴ ∠ 1 就是直线 1 和平面 所成的角.
∵ 在Rt △ 1 中， 1 = 2， = 2 2， 1 ⊥ ，
∴ 21 = 2 + 1 = 2 3，
∴ cos∠ 1 = =
2 2 = 6.
1 2 3 32024-2025 学年高一下学期期中数学试卷（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第二册第六章、第七章、第八章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的向量叫做相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度为零，方向是任意的
D． ∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
2．（5 分）设 = 3 2i，则在复平面内 对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5 分）已知平面向量 = ( 3, 1),| | = 4，且 2 ⊥ ，则| | = （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（5 分）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是2 + i， 1 + 2i，0，则第四个顶点对应
的复数是（ ）
A． 1 + 3i B．1 + 3i C． 1 + i D．1 + i
5．（5 分）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ）
A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
6．（5 分）不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的
工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面
直径为 16，圆柱和圆锥的高均为 6，则该陀螺的表面积为（ ）
A．240π B．220π C．160π D．176π
7．（5 分）在 △ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若(3 + )cos + cos = 0，且 2 2 2
= 2，则 △ 的面积为（ ）
A． 2 B．2 2 C． 6 D．2 3
8．（5 分）如图，两个共底面的正四棱锥（底面 ABCD 是正方形，顶点 E、F 与正方形 ABCD 的中心的连
线与底面 ABCD 垂直）组成一个八面体 ，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）
A．异面直线 AE 与 BC 所成的角为45°
B． ⊥
C．平面 ⊥ 平面 CDF
D．直线 AE 与平面 BDE 所成的角为60°
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9 1 3．（6 分）已知虚数 满足 = 2 + i，则（ ）2
A． 1 3的实部为 2 B． 的虚部为 2
C．| | = 1 D． 在复平面内对应的点在第三象限
10．（6 分）已知向量 = (3, )， = ( ,1)， 2 = ( 1,2)，则下列结论中正确的是（ ）
A． // 3 + 2 B． 2 5 ⊥
C．cos , = 2 5 D． = | |5 | | 5
11．（6 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 、 分别是 1、 1的中点，下列结论正
确的是（ ）
A．EF 与 1垂直
B． //平面 ABCD
π
C．异面直线 1与 1所成的角为3
D 3．点 到平面 1 的距离为 3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）若复数 满足(1 i) = 2 + i，则 在复平面内对应的点位于第 象限.
13．（5 分）如图是三角形 用斜二测画法得到的水平直观图三角形 1 1 1，其中 1 1// ′轴， 1 1// ′
轴，若三角形 1 1 1的面积是6．则三角形 的面积是 ．
14．（5 分）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称
之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高约为 36m，在它们
之间的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）处测得建筑物顶 A、教堂顶 C 的仰角分别是 45°和 60°，在建筑
物顶 A 处测得教堂顶 C 的仰角为 15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度 CD 约为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）已知向量 = (1, 3), = (0, 3).
(1)若单位向量 与 共线，求向量 的坐标；
(2)若 与2 + 垂直，求 的值.
16．（15 分）设 ∈ R，复数 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 )i.
(1)求 m 为何值时，z 为纯虚数；
(2)若复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求 m 的取值范围.
17．（15 分）如图，平面 ⊥ 平面 ，四边形 与四边形 都是直角梯形，
∠ = ∠ = 90°, ∥ 且 = 12 , ∥
1
且 = 2 , , 分别为 , 的中点．
(1)证明：四边形 是平行四边形；
(2) , , , 四点是否共面？为什么？
18．（17 分）如图，在 △ 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，角 的平分线交 于点 ，且
= 3 2， sin
+
2 = sin .
(1)求角 的大小;
(2)若 = 2 3，求 △ 的面积.
19．（17 分）如图，已知 1 1 1 1的棱长为 2.
(1)求四棱锥 1 1 的体积；
(2)求直线 1和平面 所成角的余弦值.
