2024-2025 学年高一下学期期中复习选择题压轴题十七大题型专练
【人教 A 版（2019）】
题型 1 向量线性运算的几何应用
1．（24-25 高一下·全国·课后作业）设四边形 中，有 = 3 且| | = | |，则这个四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
【解题思路】由向量相等，确定平行关系及长度关系即可判断；
1
【解答过程】因为 = 3 ，
所以 // 且 ≠ ，
所以四边形 是梯形．
又| | = | |，所以四边形 是等腰梯形．
故选：C.
→ → → →
2．（2024 高三·全国·专题练习）若 △ 的三边为 a，b，c，有 + + = 0，则 是 △ 的（ ）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
→ → → →
【解题思路】在 ， 上分别取点 ， ，使得 = ， = ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，
即可得到四边形 是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到 ， ， 三点共线，即可得到
在∠ 的平分线上，同理说明可得 在其它两角的平分线上，即可判断.
→ → → → → →
【解答过程】在 ， 上分别取点 ， ，使得 = ， = ，则| | = | | = 1．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图，
→ → → → →
则四边形 是菱形，且 = + = + ．
→ → → →
∴ 为∠ 的平分线． ∵ + + = 0，
→ → → → → →
∴ + ( + ) + ( + ) = 0，
→ → → →
即( + + ) + + = 0，
→ → → → → →
∴ = + + + + + = + + + = + + ．
∴ ， ， 三点共线，即 在∠ 的平分线上，
同理可得 在其它两角的平分线上，
∴ 是 △ 的内心．
故选：B．
3．（23-24 高一下·云南昭通·期中）已知 为 △ 内一点，且满足 + +( 1) = 0，若 △ 的
1
面积与 △ 的面积的比值为4，则 的值为（ ）
A 3 4 1．4 B．3 C．2 D．2
【解题思路】如图，根据平面向量的线性运算可得2 = ，则 在线段 上，且 = ，设 = 1，结
△ = 1合 和 △ = △ 计算即可求解.△
【解答过程】由 + +( 1) = 0，得 ( + ) = = ，
如图， , 分别是 , 的中点，
则2 = ，
所以 在线段 上，且2 = = 2 ，
得 = ，设 = 1，则 = ，所以 = 1，
△ = = 1 1 1因为 ， △ △ = △ = 2 △ ， △ = 2 △ ，
△ 1 1 4
所以 △ = △ ，则 = = ，解得 = .△ 4 3
故选：B.
4．（23-24 高一下·广东阳江·阶段练习）正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，
以 , , , , 为顶点的多边形为正五边形且 5 1 = ，则（ ）2
A． = 5+1 B． + = 5+1
2 2
C． = 5 1 D． + = 5 1
2 2
【解题思路】根据给定的几何图形，利用平面向量的线性运算逐项计算判断.
【解答过程】在正五角星中，以 , , , , 为顶点的多边形为正五边形，且 =
5 1．
2
对于 A， = = = 5+1 ，A 正确；
2
对于 B， + = + = = 5+1 ，B 错误；
2
对于 C， = = = 5 1 ，C 正确；
2
对于 D， + = + , 5 1 = = ，
2
若 + = 5 1 ，则 = 0，不合题意，D 错误．
2
故选：AC.
题型 2 向量的数量积问题
5．（24-25 高一上·河北保定·期末）已知平面向量 ， 满足| | = 1，| | = 1，则 + 2 的最大值为
（ ）
A．8 B．4 2 C．10 D．4 3
2
【解题思路】根据向量数量积运算律得 = 2 ，再利用向量不等式即可得到答案.
2 2
【解答过程】因为| | = 1,| | = 1,则 2 + 2 = 1，则1 + 2 = 1，
2
所以 = 2 ≤ 2| | | | = 2| |，所以| | ≤ 2，
2
( +2 ) = +2 ≤ | | + 2| |2 ≤ 10，
故选：C.
6．（2024· 1浙江宁波·模拟预测）已知△ABC 是边长为 1 的正三角形， = 3 , 是 BN 上一点且 =
+ 29 ，则 = （ ）
A 2 1 2．9 B．9 C．3 D．1
8 1
【解题思路】根据题意得 = + 9 ，由 , , 三点共线求得 = 9，利用向量数量积运算求解即可.
【解答过程】由 = 1 = 1 2 83 ，得 4 ，且 = + 9 = + 9 ，
而 , , 8三点共线，则 + 9 = 1，即 =
1
9，
1 2
所以 = 9 + 9 ，
1 1 2 2
所以 = + 2 = 9 + 9 × cos60° = 9.9 9
故选：A.
7．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，“六芒星”是由两个边长为3正三角形组成，中心重合于点 且
三组对边分别平行，点 ， 是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点 在“六芒星”上（内部以及边界），则
的取值范围是（ ）
A．[ 2,2] B． 3 , 3 C．[ 3, 3] D．[ 2, 3]
2 2
【解题思路】作 在 上的投影向量，观察图形结合数量积的几何意义求 的范围.
【解答过程】由对称性可得 // ，连接 ，与 的交点为 ，
则 为 的中点， 为 的中点，
故 ⊥ ，| | = | | = 32，| | = 3 ×
3 × 23 = 3，| | = 2 × sin30 = 1，2
过点 作直线 的垂线，垂足记为 ′，
则向量 在向量 上的投影向量为 ′，
所以 = ′，
如图过点 作 ′ ⊥ ， ′ ⊥ ，垂足分别为 ′, ′，
→ 3 → 3
所以| ′| = 2，| ′| = 2，
观察图象可得| ′| ≤ | ′| = | ′|，其中 ′与 同向， ′与 反向，
3
所以当点 位于点 的位置时， 取最大值，最大值为2，
3当点 位于点 的位置时， 取最小值，最小值为 2，
所以 3 , 3的取值范围是 .
2 2
故选：B.
8．（2024·陕西西安·一模）下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．设 ， 为非零向量，若| + |=| |，则 ⊥
B．设 ， 为非零向量，若 > 0，则 , 的夹角为锐角
C．设 ， ， 为非零向量，则 =
D．若点 G 为 △ 的外心，则 + + = 0
【解题思路】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项 ABC，结合向量的线性运算即可判断 D.
【解答过程】对于 A，若| + | = | |，
2 2
则 + = ，可得 = 0，
又 ， 为非零向量，所以 ⊥ ，A 正确；
对于 B，若 > 0，且 ， 为非零向量，
所以 ， 夹角为锐角或者同向，B 错；
对于 C，( ) 与 共线， ( )与 共线，C 错；
对于 D，若点 为 △ 的重心，
延长 交 于 ，可得 为 中点，
1
即有 = 2 = 2 2 + = + ，
即有 + + = 0，
而 为 △ 的外心，与重心性质不符，D 错.
故选：BCD.
题型 3 向量的夹角（夹角的余弦值）问题
9．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知向量 ， 满足| | = 4，| | = 2，( + ) ⊥ ，则向量 ， 的夹角为
（ ）
π π
A．6 B．3
C 2π D 5π． 3 ． 6
【解题思路】先设向量夹角为 ，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可.
2
【解答过程】设向量 ， 的夹角为 .因为( + ) ⊥ ，则( + ) = + = 0，
所以| | | |cos + | |2 = 0，则4 × 2cos + 4 = 0，解得cos = 1 2π2，所以 = 3 .
故选：C.
10．（24-25 高三下·海南海口·阶段练习）已知向量 ， 满足| | = | + |，| | = 3| |，则向量 与 +
的夹角的余弦值等于（ ）
A．0 B 1． C． 22 D
3
．
2 2
【解题思路】利用已知可求得 ( + ) = 3| |2，| + | = 2| |，进而利用向量的夹角公式可求cos , +
.
2 2
【解答过程】因为| | = | + |，两边平方得 2 2 + = 2 +2 + ，所以 = 0，
( + ) = 2 + = 3| |2 | + | = + 2， = 2 + 2 + 2 = 2| |，
2
所以cos , + = ( + ) = 3| | = 3．
| || + | 2 3| |2 2
故选：D．
11．（23-24 高一下·贵州安顺·期末）已知 , 为单位向量，则“| + | < 2| |”是“ 与 的夹角是钝角”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必
要条件
【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律及夹角公式求出 , 的范围，再利用充分条件、必要条
件的定义判断即得.
【解答过程】单位向量 , ，由| + | < 2| |，得1 + 2 +1 < 2，解得 < 0，
则cos , = < 0 π，因此 , ∈ ,π ，| || | 2
所以“| + | < 2| |”是“ 与 的夹角是钝角”的必要而不充分条件.
故选：B.
12．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）下列说法中错误的为（ ）
A．已知 = (1,2)， = (1,1) 5且 与 + 夹角为锐角，则 ∈ , + ∞
3
B 1 3．已知 = (2, 3)， = , 不能作为平面内所有向量的一组基底
2 4
C．若 = 且 ≠ 0 ，则 =
→ → → →
D．若非零 ， 满足| | = | | = | |，则 与 + 的夹角是60°
【解题思路】利用向量夹角为锐角的充要条件是向量积大于零且不共线来判断 A，利用是否为共线向量来
判断 B，利用向量数量积性质判断 C，利用向量模的运算来判断 D．
5
【解答过程】对于 A，由 与 + 夹角为锐角，则 + = 2 + = 5 + 3 > 0，解得 > 3，
当 与 + 共线时，即(1,2)//(1 + ,2 + )，可得2 + 2(1 + ) = 0，解得 = 0，
由于当 = 0 5时， 与 + 相等，夹角为零度，不符合题意，所以 > 3且 ≠ 0，
故 A 是错误的；
3 1 3 3
对于 B，因为2 × ( 3) × 2 = 2 + 2 = 0，所以 与 共线，4
即不能作为平面向量的基底，故 B 是正确的；
对于 C，由 = 可得： = 0，因为 ≠ 0，所以有可能 = 或 ⊥ ，故 C 是错误的；
→ →
对于 D，由| | = | | = |→ → 2 2 2 2 |可得：| | = 2 2 + = | |2 2| | | |cos , + | | = | |2 = | | ，
| |2 2| |2cos , + | |2 = | |2，解得cos , = 12，
2 2
cos , + = +
+ | | +| | | |cos
而 | | = 2 =| | + | | 2+2 + | | | |2+2| | | |cos +| |2，
1
再利用| | = | |，cos , = 2代入得：
| |2+| |2 1 3 | |2
cos , + = 21 = 2 = 3，| | | |2+2| |2 +| |2 | |2 3 22
π
因为 , + ∈ [0,π]，所以 , + = 6，故 D 是错误的；
故选：ACD．
题型 4 平面向量基本定理的应用
13．（23-24 高一下·浙江·期中）如图所示，在 中，点 E 为线段 上的中点，点 F 为线段 上靠近
点 C 的三等分点， ， 分别与 交于 R，T 两点．则（ ）
A． = 16
1
4 B． =
3 + 45 5
C． = 3 +4 D． = 3 4
【解题思路】利用平面向量基本定理，由 , 点的位置关系可得出向量的比例关系，再根据平面向量的三角
形法则和平行四边形法则运算，对选项逐一验证即可求得结果.
1 1
【解答过程】根据题意可知 △ △ ，且 = = 3，所以 = 4 ；
对于 A，易知 = + = 1 13 + = 3 ，
= 1 1 1 1 1因此可得 4 = 4 = 12 4 ，可得 A 错误；3
1
对于 B，点 E 为线段 上的中点，由平行四边形法则可得 = 2 + ，
= + = + 2 = 2而 3 3 ；
= 1 +
联立 2 ，解得 = 4 + 3
= 2 5 5
，即 B 错误；
3
C 1 2对于 ，易知 △ △ ，所以 = = 2，因此可得 = 3 ，
2
所以3 +4 = 3 × 3 +4 + = 2 +4
2 + 1 1
3 12 4
= 2 +3 = ，即可得 C 正确；
D = 1 = 1 = 1 1 = 1 1对于 ， 3 3 3 3 6 ，2
因此可得 = 2 6 ，即 D 错误.
故选：C.
14．（23-24 · 1 1高一下 新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形 中， = 3 ， = 4 ， 与 交
于点 .设 = ， = ，若 = + ，则 = （ ）
A 8 19 11 3．17 B．17 C．17 D．17
【解题思路】根据 , , 、 , , 三点共线，可得 = + 、 = + ，利用平面向量线性运
算的应用将 , 表示 ，由此可得方程组求得 , ，进而得到 , 的值.
【解答过程】连接 , ，如图，
因为 , , 三点共线，设 = + ，则 + = 1，
所以 = + ( + ) = + ( + 14 ) = ( +
1
4 ) + ；
因为 , , 三点共线，设 = + ，则 + = 1，
所以 = 3 + ( + ) = ( 3 + ) + ，
+ = 1
+ = 1 = 9 8 11
则 + 1 = + ，解得
17
8 ，所以 = = 17
+ 17 ，
4 3
= 17
= 8 , = 11 11 8 3则 17 17，所以 = 17 17 = 17.
故选：D.
15．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在 △ 中， 为线段 的中点， 为线段 上一点， = 2
1
4，过点 的直线分别交直线 ， 于 ， 两点．设 = ( > 0)， = ( > 0)，则 +2 + +1的
最小值为（ ）
A 3 3．4 B．2 C．3 D．6
1
【解题思路】由中点和三等分点得到 = 3( + )，结合 = ( > 0)， = ( > 0)，得到
= 3 + 3 ，
1
由三点共线得到 + = 3，利用均值不等式中“1 4的代换”求得 +2 + +1的最小值.
【解答过程】因为 为线段 1的中点，所以 = 2( + )，又因为 = 2
2 1
，所以 = 3 = 3( +
)，
又 = ( > 0)， = ( > 0)，则 = 3 + 3 ，
而 ， ， 三点共线，所以3 + 3 = 1，即 + = 3，
4 1 1 1 1 3
则 +2 + +1 = 6[( + 2) + ( + 1)]
4 + 1 = 4 + +2 + 4( +1) + 1 ≥ 5 + 2 +2 4( +1) = 5+2 4 = ，
+2 +1 6 +1 +2 6 +1 +2 6 2
+2 4( +1)
当且仅当 +1 = +2 ，即 = 2， = 1时取等号．
故选：B．
16．（23-24 高一下·河南·期中）在平行四边形 中， 与 交于点 ， 为 的中点， 与 交于
点 ，延长 交 于 ， = ( ∈ )，则 （ ）
A 2． 为三角形 的外心 B． = 3
1 1 2 2C． = 2 + 4 D．4 =
1
【解题思路】由 △ 与 △ 相似， 为 的中点，可知 = 2 ，所以点 为三角形 的重心，判
2
断出 A 错误；由重心得到 为 的中点，所以 = 3 ，判断出 B 正确；由平面向量的基本定理判断出 C，
D 正确.
【解答过程】在三角形 中， 为 的中点，又 △ 与 △ 相似，
可得： = 12 ，故点 为三角形 的重心，故 A 错误；
由于点 为三角形 的重心，延长 交 于 ，则 为 的中点，
2
所以 = 3 ，故 B 正确；
= 1 + 1 1 + 1 = 1 12 2 ，2 4 2 + +
1 = 14 2 +
1
2 2
= ，故 C 正确；
2 2 2 2
= + = 4 ，故 D 正确.
故选：BCD.
题型 5 向量坐标运算的几何应用
平面向量线性运算的坐标表示
17．（23-24 高一下·平辽面向宁量·线期性运中算）的坐扇标表形示 的半径为 1，∠ = 120°，点 在弧 上运动，则 的最小
值为（ ）
A． 1 B 0 C 32 ． ． 2 D．-1
【解题思路】利用三角函数的定义可得 (cos ,sin )，即可根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换可得
π
= 12 sin( + 6)，即可利用三角函数的性质求解.
【解答过程】以 为原点，以 所在直线为 轴，过 作 的垂线为 轴，建立平面直角坐标系，
设∠ = ，则 (cos ,sin )，其中0 ≤ ≤ 2π3 ， (1,0)， (
1
2,
3)，
2
故 = (1 cos , sin ) = ( 1 cos , 3， 2 sin )，2
∴ = ( cos + 1)( 12 cos ) + (
3 sin )( sin )
2
π
= 12
1 3 1
2cos sin = 2 sin( + 6)，2
∵ 0 ≤ ≤ 2π
π π
∴ 5π 1
π
3 ， 6 ≤ + 6 ≤ 6 ， ∴ 2 ≤ sin( + 6) ≤ 1，
∴ 1 ≤ 1
π
2 2 sin( + 6) ≤ 0，
∴ 1的取值范围为[ 2,0]，故
1
的最小值为 2；
故选：A．
18．（24-25 高一·全国·课后作业）如图，在直角梯形 ABCD 中， ∥ ，∠ = 90°， = = 4，
= 1，动点 P 在边 BC 上，且满足 = + 1 1（m，n 均为正数），则 + 的最小值为（ ）
A 3 3 7+4 3．1 B．4 C． 4 D． 4
【解题思路】
建系，利用 P 在边 BC 上设出点的坐标，然后找出 ， 满足的方程，利用基本不等式求解即可.
【解答过程】如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，
则 (0,0)， (4,0)， (0,4)， (1,4)，则 = (4,0)， = (0,4)， = ( 3,4)，
设 = = ( 3 ,4 )( ∈ (0,1))，
则 = + = (4 3 ,4 ).
因为 = + = (4 ,4 )，
4 3 = 4 + 3所以 4 = 4 ，消去 ，得 4 =1，
因为 > 0 > 0 1 + 1， ，所以 = +
3 1 + 1
4
= 1 + 3 + + 3 ≥ 7 +2 3 4 4 4 =
7+4 3
，
4 4
3 3 = 4 2 3
当且仅当 = ，结合 + 4 = 1，即2 = 4(2 3 3) 时等号成立.
3
1 + 1 7+4 3故 的最小值为 .4
故选：D.
19．（23-24 高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆
心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所
示的勒洛三角形中，已知 = 2，点 在弧 AC 上，且∠ = 30°，则 = （ ）
A．6 4 3 B．2 3 4 C．2 6 4 2 D．4 3 6
【解题思路】以 为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积.
【解答过程】以 为原点， 为 轴，点 在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，
则有 (0,0)， (2,0)， (1, 3), 为弧 上的点且∠ = 30 ，则 ( 3,1)，
= (1 3, 3 1), = (2 3, 1)，
2
= (1 3) × (2 3) + ( 3 1) × ( 1) = 3 × (1 3) = 3 × (4 2 3) = 6 4 3.
故选：A.
20．（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）如图，在长方形 中， = 6, = 4，点 满足 = ，其中
∈ 0, 2 ，则| + |的取值可以是（ ）
3
A．8 B．9 C．10 D．11
2
【解题思路】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到 (6 ,4)， ∈ 0, ，从而求出| + | =
3
(6 12 )2 + 64，求出值域。
【解答过程】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，建立平面直角坐标系，则 (0,0)， (6,0)，
(6,4)， (0,4)，
设 ( , ) = 2，因为 ，所以( , 4) = (6,0)，即 = 6 ， = 4，故 (6 ,4)， ∈ 0, ，
3
则 + = ( 6 , 4) + (6 6 , 4) = (6 12 , 8)，
| + | = (6 12 )2 + 64 ∈ 0, 2，因为 ，所以| + | = (6 12 )2 + 64 ∈ [8,10].
3
故选：ABC.
题型 6 向量与几何最值（范围）问题
平面向量线性运算的坐标表示
21．（23-24 高一下·平重面向庆量线·期性运末算的）坐如标表图示 ，已知正方形 的边长为 2，若动点 在以 为直径的半圆上（正
方形 内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A．[0,2] B．[0,4] C．[0,3] D．[0,1]
【解题思路】取 中点 ，连接 ，求出| |的取值范围，再根据 = + + 结合数
量积的运算律求解即可.
【解答过程】取 中点 ，连接 ，
因为 是边长为 2 的正方形，动点 在以 为直径的半圆上，
所以当 在 点或 点时，| |取得最大值 5，
当 在弧 中点时，| |取得最小值1，
| |的取值范围为 1, 5 ，
1
又因为 = + + ， = = 2 ，| | = 2，
2 2
所以 = +
| 2 2 2= | 1|4 | = | | 1，
因为| |的取值范围为 1, 5 ，
所以| |2的取值范围为[1,5]， 的取值范围为[0,4]，
故选：B.
22．（23-24 高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为 1 的圆 O 上运动，且
⊥ ， M 是圆 O 外一点， = 2，则| + + 2 |的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【解题思路】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案.
【解答过程】连接 ，如下图所示：
因为 ⊥ ，则 为圆 O 的一条直径，故 O 为 的中点，
所以 + = ( + ) + ( + ) = 2 ，
所以 | + +2 | = |2 +2( + )|
= |4 + 2 | ≤ 4| | + 2| |
= 4 × 2 + 2 × 1 = 10 .
当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立，
因此，| + + 2 | 的最大值为10 .
故选：C.
23．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形 ABCD 中， ⊥ ， ⊥ ，∠ = 120°，
= = 1．若点 E 为边 CD 上的动点（不与 C、D 重合），则 的最小值为（ ）
A 13 B 21．12 ．16 C． 3 D．1
【解题思路】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得 , 的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二
次函数知识，即可求得答案.
【解答过程】由于 ⊥ , ⊥ ，
如图，以 D 为坐标原点，以 , 为 , 轴建立直角坐标系，
连接 ,由于 = = 1，则 △ ≌ △ ,
而∠ = 120 ，故∠ = ∠ = 60°，则∠ = 60°，
则 (0，0), (1,0), (
3
2,
3), (0,
2 3)，
设 (0, ),0 ≤ ≤ 3，则 = (1, )， = (
3 3
2, )，2
= 3 + 2 3
2
故 2 = (
3 ) + 21
4 16，2
当 = 3时， 21有最小值
4 16
，
故选：B．
24．（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知点 A、B、P 在 ⊙ 上，则下列命题中正确的是（ ）
A 1．| | = 1，则 的值是2
B 1．| | = 1，则 的值是2
C．| | = | | = 1 1 3，则 的范围是 ,
2 2
D．| | = | | = 1，且 = + ，则 + 的范围是 1 2 3 ,1 + 2 3
3 3
【解题思路】由 = | | | |cos∠ =
1| |22 可判断 AB，由 = + =
1
2 + cos
, 1可判断 C，设 ⊙ 方程为 2 + 2 = 1， (1,0), , 3 , (cos ,sin ), ∈ [0,2 ]，根据坐标运算结合三
2 2
角恒等式可判断 D．
【解答过程】由 = | | | |cos∠ =
1 2
2| |
当| | = 1时， =
1
2，则 A 错，B 正确；
由 = 1 + = + = 2 + cos ,
因为cos , ∈ [ 1,1]，所以 1 3的范围是 , ，故 C 正确；
2 2
1
设 ⊙ 方程为 2 + 2 = 1， (1,0), , 3 , (cos ,sin ), ∈ [0,2 ]
2 2
由 = + 得(cos 1,sin ) = 1 , 3 + ( 1,0)
2 2
cos 1 = 1 = 2 sin
则 2 3
sin = 3
，得
= 1 sin cos + 1
2 3
1 2
所以 + = sin cos + 1 = sin3 3 ( + ) +1 ∈ 1
2 3 ,1 + 2 3 ，故 D 正确．
3 3
故选：BCD.
题型 7 正、余弦定理判定三角形形状
平面向量线性运算的坐标表示
25．（23-24 高一下·平湖面向北量线孝性感运算·的期坐中标表）示 已知三角形的三边长分别为 4、6、8，则此三角形为（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【解题思路】不妨设 = 4， = 6， = 8，可得 是最大角，根据余弦定理算出cos 是负数，从而得到角
是钝角，由此得到此三角形为钝角三角形.
【解答过程】三角形的三边长分别为 4、6、8，
不妨设 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 4， = 6， = 8，
因为 = 8是最大边，所以角 是最大角，
2
cos = +
2 2 = 16+36 64根据余弦定理，得 2 2×4×6 < 0，
因为 ∈ (0,π)
所以角 是钝角，可得 △ 是钝角三角形.
故选：D.
π
26．（23-24 高一下·北京海淀·期末）在 △ 中，已知 = 2, = 3．则下列说法正确的是（ ）
A．当 = 1时， △ 4 3是锐角三角形 B．当 = 时， △ 是直角三角形
3
C．当 = 3 52时， △ 是钝角三角形 D．当 = 3时， △ 是等腰三角形
【解题思路】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项.
2 1 3 1
【解答过程】对于 A:因为 = 1由正弦定理 3 = sin ,sin = < ,2 4 2
当π > > 5π6 时， △ 是钝角三角形,
π π
当 < 6, = π > 2时， △ 是钝角三角形,A 选项错误；
4 3 2 4 3 π
对于 B:因为 = ,由 3 = 3 ,sin = 1, =
3 2 sin 2
,
所以 △ 是直角三角形,B 选项正确；
3 2 3
对于 C:因为 = 22,由 3 = ,sin =
3 3 > 1
2 sin 8 2
π π π
当6 < < 2时， = π < 2, △ 是锐角三角形,C 选项错误；
5 2 5 π
对于 D:因为 = 33,由 3 = ,sin =
5 3 < 3, < , < < ,
2 sin 12 2 3
75 69
cos = 1 sin2 = 1 144 = 12
5 3 1 69 3 5 3 + 3 23
sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 12 × 2 + 12 × 2 = 24
因为 ≠ , ≠ ，所以 △ 不是等腰三角形,D 选项错误；
故选：B.
27 sin sin sin ．（24-25 高二上·广东潮州·开学考试）在 △ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 3 = 4
( 为非零实数），则下列结论错误的是（ ）
A．当 = 5时， △ 是直角三角形 B．当 = 3时， △ 是锐角三角形
C．当 = 2时， △ 是钝角三角形 D．当 = 1时， △ 是钝角三角形
【解题思路】由正弦定理化简已知可得 : : = :3:4，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三
边等知识逐一分析各个选项即可得解．
A = 5 sin = sin = sin 【解答过程】对于选项 ，当 时， 5 3 4 ，根据正弦定理不妨设 = 5 ， = 3 ， = 4 ，
显然 △ 是直角三角形，故命题正确；
B = 3 sin = sin = sin 对于选项 ，当 时， 3 3 4 ，根据正弦定理不妨设 = 3 ， = 3 ， = 4 ，
显然 △ 是等腰三角形， 2 + 2 2 = 9 2 +9 2 16 2 = 2 2 > 0，
说明∠ 为锐角，故 △ 是锐角三角形，故命题正确；
sin sin sin
对于选项C，当 = 2时， 2 = 3 = 4 ，根据正弦定理不妨设 = 2 ， = 3 ， = 4 ，
可得 2 + 2 2 = 4 2 +9 2 16 2 = 3 2 < 0，说明∠ 为钝角，故 △ 是钝角三角形，故命题正确；
对于选项D，当 = 1 sin 时， 1 =
sin sin
3 = 4 ，根据正弦定理不妨设 = 1 ， = 3 ， = 4 ，
此时 + = ，不等构成三角形，故命题错误.
故选：D.
28．（23-24 高一下·陕西西安·期中）在 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A．若 cos + cos = ,则 △ 是等腰三角形
B．若 sin + sin > sin ，则 △ 为锐角三角形
C ．若cos = cos = cos ，则 △ 一定是等边三角形
D．若 cos = cos ，则 △ 一定是等腰三角形
【解题思路】根据题意，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角和可判断 A；利用
正弦定理得到 2 + 2＞ 2，结合余弦定理可判断 B；利用正弦定理换边为角，结合等边三角形的判定可判
断 C；利用正弦定理化边为角，结合二倍角的正弦公式可判断 D.
【解答过程】对于 A，因为 cos + cos = ,所以sin cos + sin cos = sin ,
即sin( + ) = sin ，所以sin = sin ，
结合 , ∈ (0,π)，可得 = 或 + = π（舍去），
所以 △ 是等腰三角形，故 A 正确；
2 2 2
对于 B，由正弦定理可得 2 + 2 2 cos = + ＞ ，则 2 ＞0，
所以∠ 为锐角，但无法判断 , 两角是否为锐角，故 B 错误；
sin sin sin
对于 C，因为cos = cos = cos ，所以cos = cos = cos ，
即tan = tan = tan ，
又因为 , , ∈ (0, )，可得 = = ，即 △ 是等边三角形，故 C 正确；
对于 D，因为 cos = cos ，所以sin cos = sin cos ，
所以sin2 = sin2 ，所以2 = 2 或2 + 2 = π，
π
即 = 或 + = 2，
所以 △ 是等腰三角形或直角三角形，故 D 错误.
故选：AC.
题型 8 三角形（四边形）的面积问题
平面向量线性运算的坐标表示
29．（23-24 高一下·平山面向东量线菏性泽运算·的期坐末标表）示 在 △ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ， 是 上的点， 平分
∠ ，且 = 1， sin + 3 cos = 0，则 △ 面积的最小值为（ ）
A．1 B． 3 C．2 D．2 3
【解题思路】根据正弦定理可得sin sin + 3sin cos = 0，从而求得tan = 3，即可求出角 ,利用
△ = △ + △ 即可解出 = + ，再结合基本不等式，即可求出 的最小值，从而得解.
【解答过程】因为 sin + 3 cos = 0，由正弦定理得sin sin + 3sin cos = 0，
又sin ≠ 0 ，可得sin + 3cos = 0，即tan = 3 ，
因为0 < < π，所以 = 2π3 ，
平分∠ ，且 = 1 1 1，得2 × sin120
= 2 × 1 × sin60
+ 12 × 1 × sin60
，
整理得： = + ，所以 ≥ 2 ，解得 ≥ 2
所以 ≥ 4，则 △ =
1
2 sin ≥ 3，当且仅当 = = 2时等号成立，
故 △ 面积的最小值为 3，
故选：B.
30．（23-24 高一下·辽宁抚顺·期末）在 △ 中，已知sin + 3cos = 2， = 2， 2 sin = sin2 ，则
△ 的面积是（ ）
A． 3 +1 B．2 3 +2 C． 3 1 D．2 3 2
π π
【解题思路】根据题意利用三角恒等变换以及正弦定理可得 = 6， = 4，进而求sin ，利用正弦定理可得
= 2 2，即可得面积.
【解答过程】因为sin + 3cos = 2，则sin + π = 1，
3
π π π π
且 ∈ (0,π) π 4π，则 + 3 ∈ , ，可得 + = ，解得 = ，3 3 3 2 6
又因为 2 sin = sin2 ，由正弦定理可得 2sin sin = sin sin2 ，
则 2sin sin = 2sin sin cos ，
且 , ∈ (0,π)，则sin ,sin > 0，
π
可得 2 = 2cos ，即cos = 2，可得 = ，2 4
则sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 2+ 6，4
sin
由正弦定理sin = sin 可得 = sin = 2 2，
△ 1 1所以 的面积是 △ = 2 sin = 2 × 2 × 2 2 ×
6+ 2 = +1.
4 3
故选：A.
31．（23-24 高二下·江苏南京·期中） △ 中， = 2， = 2 3，∠ = 90°，D 为线段 CB 的中点，
点 E，F 分别在线段 BA，AC 上．若 △ 为正三角形，则 △ 的面积为（ ）
A 3 3 B 3 3 7 3 3 3． ． C． D．
16 8 16 28
3 1
【解题思路】设∠ = ，根据角度关系与正弦定理可得 = ，结合 =
2sin cos
与 = 可得tan =
3 = 7，进而有 求得 △ 的面积.
2 2
【解答过程】在 △ 中， = 2， = 2 3，∠ = 90°，
设∠ = ，则∠ = 120° ，
1
在 △ 中，因为 = 2 = 1，∠ = 90°，
在 △ 中，∠ = 60° ，∠ = ，则sin = sin60°，
3 1
所以 = 2 = 3 ，又 = ，
sin 2sin cos
由题， △ 1 3为正三角形，所以 = ，即cos = ，2sin
1
3 2 1 7
所以tan = ，则cos = 2 3 2 = ，所以 = cos =1 + 7 ，2 2 2
2
3 3 7 7 3
从而 △ 的面积为 2△ = = = ．4 4 2 16
故选：C.
π
32．（23-24 高一下·云南大理·阶段练习）在 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , ，若 = 2， = 6，则下
列结论正确的是（ ）
A．若 = 3，则 △ 有两解
B．若 = 45°，则 = 2 + 6
C． △ 的周长有最大值 6
D． △ 的面积有最大值2 + 3
【解题思路】综合运用正弦定理，面积公式及周长可得选项.
π sin 3
【解答过程】对于 A，因为 = 2， = 6，由正弦定理可得sin = = 4，
又sin = 34 >
1
2 = sin ，所以 △ 有两解，A 正确；
对于 B，由 = 45°， = 30°可得 = 105°，sin105° = sin(60° + 45°) = 6+ 2，4
= sin 由正弦定理可得 sin = 6 + 2，B 正确；
对于 C，由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 (2 + 3) ，
2 ( + )2( + ) 4 ≤ (2 + 3) 4 ，当且仅当 = 时，取到等号，解得 + ≤ 4 2 + 3，C 不正确；
对于 D，由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ≥ (2 3) ，
4
即 ≤ = 42 3 (2 + 3)，当且仅当 = 时，取到等号，
所以 △ 的面积 = 12 sin ≤ 2 + 3，D 正确.
故选：ABD.
题型 9 求三角形中的边长或周长的最值或范围
平面向量线性运算的坐标表示
2 2 2 2
33．（23-24 高一下·平宁面向夏量线石性嘴运算山的坐·期标表末示 ）在 △ 中，角 , , ( + )sin 的对边分别为 , , ，若 2 sin cos + 2 +
= 0， = 3，则 + 的取值范围是（ ）
A． 3，2 B．( 3,2] C． 3 ，1 D． 3 12 2 ，
【解题思路】先根据已知式子化简得出角，再由余弦定理结合基本不等式求边长和范围即可.
( 2+ 2 2)sin 2 ( 2+ 2 2 2+ = ) sin + = cos sin
2
【解答过程】由余弦定理得 2 sin cos 2 + 2 sin cos 2 + sin cos + 2 + = 0,
cos sin = cos sin sin 所以sin cos 2 + ，由正弦定理得sin cos = 2sin +sin ,
cos 1
所以sin cos = 2sin +sin ，cos (2sin + sin ) = sin cos ,
所以2sin cos + sin cos = sin cos ，
所以2sin cos + sin cos + sin cos = 0，2sin cos + sin( + )=0,
可得2sin cos + sin =0,cos = 12, ∈ (0,π), =
2π
3 ,
由余弦定理可得3 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 + = ( + )2 ,
( + )2
又因为基本不等式 + ≥ 2 ,所以( + )2 ≥ 4 , ≤ 4 ,
2
所以3 = ( + )2 ≥ ( + )2 ( + )4 ，( + )
2 ≤ 4， + ≤ 2,
当且仅当 = = 1时， + 取最大值 2，
因为 = 3,所以 + > 3,
所以 3 < + ≤ 2.
故选：B.
34．（2024·江西赣州·模拟预测）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
= 2 ， = 2，则 △ 的周长的取值范围是（ ）
A．(4 + 2 2,6 + 2 3) B．[4 + 2 2,6 + 2 3)
C．(4 + 2 2,6 + 2 3] D．[4 + 2 2,6 + 2 3]
【解题思路】将 , 表示为角的形式，结合三角恒等变换以及三角函数的值域等知识确定正确答案.
【解答过程】sin3 =sin(2 + )=sin2 cos + cos2 sin =2sin cos2 + (2cos2 1)sin ，
2
由正弦定理得sin = sin = sin ,sin = sin2 = sin( + )，
2
sin = 2sin cos = sin3 ，
由于sin > 0，
所以 = 4cos , =2 2sin cos
2 +(2cos2 1)sin =8cos2 2，
sin
所以 + + = 8cos2 + 4cos ，
0 < < π 0 < < π
2 2
0 < < π 0 < 2 < π π π由于 2 ，所以 2 ，所以6 < < ，π 4< + < π π < 3 < π
2 2
3
所以 2 < cos < ，则4 < 8cos2 < 6,2 2 < 4cos < 2 3，2 2
函数 = 8 2 +4 1的开口向上，对称轴为 = 4，
所以 + + = 8cos2 + 4cos ∈ (4 + 2 2,6 + 2 3).
故选：A.
35．（23-24 高一下·福建龙岩·期末）在锐角 △ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若cos2 + cos
cos( ) = sin sin ， = 2 3，则 △ 周长的取值范围是（ ）
A．(6 3,6 + 6 3) B．(3 + 3 3,6 + 6 3)
C．(3 + 3 3,9 3) D．(6 3,9 3)
π
cos = 1 = △ + + = 3 + 2 3sin 【解题思路】先求出 2，可得 3，由正弦定理得 的周长为 sin +2 =sin 3
3 π π
tan +3 3，再求出
2 12
< 2 < 4，进而可得答案.
【解答过程】因为cos2 + cos cos( ) = sin sin
所以cos [cos + cos( )] = sin sin ，
∵ + + = π，∴cos [ cos( + ) + cos( )] = sin sin ，
cos [(sin sin cos cos ) + (sin sin + cos cos )] = sin sin
π
2cos sin sin = sin sin ，∵0 < , < 2，∴sin > 0，sin > 0，
1 π ∴cos = 2，∴ =
3，由正弦定理得sin = sin = sin ,
∴ = sin = 2 3×
3
= 3 sin 2sin sin sin ，
= sin ，
所以 △ 的周长为
3 2 3sin
+ + = sin + sin + 2 3
= 3 2 3sin
2 3+2 3 3 cos +1 sin
3 2 2
sin + +2 3 = +2 3sin sin
2
= 3(1+cos )+ 3sin
6cos
+2 3 = 2sin 2sin cos +3 32 2
3
= + 3 3
tan 2
0 < < π
2 π π π π∵ 0 < 2π < π 6 < < 2 12 <
2 < 4 2 3 < tan
2 < 1，
3 2
∴ △ 的周长为 + + ∈ （3 + 3 3,6 + 6 3），
故选：B.
π
36．（23-24 高三上·福建龙岩·期中）设 △ 的内角 , , 的对边分别为 , , ， = 2 3， = 3，下列结论
正确的是（ ）
A．若 = 15，则满足条件的三角形只有 1 个
B． △ 面积的最大值为3 3
C． △ 周长的最大值为6 3
D．若 △ 1为锐角三角形，则 的取值范围是 ,22
【解题思路】根据 sin < < 即可判断 A；根据余弦定理结合基本不等式即可判断 BC；利用正弦定理化
边为角，再结合三角函数的性质即可判断 D.
【解答过程】对于 A，因为 sin = 3 5，3 5 < < 15，2 2
所以满足条件的三角形有 2 个，故 A 错误；
对于 B，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，即12 = 2 + 2 ≥ 2 = ，
所以 ≤ 12，当且仅当 = = 2 3时取等号，
所以 1 3△ = 2 sin = ≤ 3 ，4 3
所以 △ 面积的最大值为3 3，故 B 正确；
对于 C，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
12 = 2 + 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3( + )
2
即 4 ，所以 + ≤ 4 3，
当且仅当 = = 2 3时取等号，
所以 △ 的周长 = 2 3 + + ≤ 6 3，
所以 △ 周长的最大值为6 3，故 C 正确；
sin sin +π 1 sin + 3 cos 1
对于 D，由正弦定理得 = = 3 = 2 2 3 sin = + ，sin sin 2tan 2
π π
因为 △ 2π为锐角三角形，所以0 < < 2，0 < 3 < 2，
π π
即6 < < 2，tan >
3 1
，所以
3 2
< < 2，故 D 正确．
故选：BCD.
题型 10 复数的模的几何意义
平面向量线性运算的坐标表示
37．（2024·黑龙江哈平面尔向量滨线·性模运算拟的预坐标测表示）已知 1 = 2 2i，| 2 i| = 1，则| 2 1|的最大值为（ ）
A．2 3 B．2 2 C． 5 +1 D． 13 +1
【解题思路】设 2 = + i ( , ∈ R)，利用| 2 i| = 1得出 2 + ( 1)2 = 1，表示以(0,1)为圆心，半径为1
的圆，| 2 1| = | 2 + ( + 2)i| = ( 2)2 + ( + 2)2，表示( , )与(2, 2)之间的距离，求| 2 1|的最大
值，即求(2, 2)与 2 + ( 1)2 = 1圆上任意一点的距离最大值.
【解答过程】设 2 = + i ( , ∈ R)，
则| 2 i| = | + ( 1)i| = 2 + ( 1)2 = 1，
所以 2 + ( 1)2 = 1，
表示以(0,1)为圆心，半径为1的圆，
则| 2 1| = | 2 + ( + 2)i| = ( 2)2 + ( + 2)2，
表示( , )与(2, 2)之间的距离，
即(2, 2)与 2 + ( 1)2 = 1圆上任意一点的距离，
因22 + ( 2 1)2 > 1，
所以(2, 2)在 2 + ( 1)2 = 1圆外，
所以| 2 1|max = (2 0)2 + ( 2 1)2 +1 = 13 +1.
故选：D.
38．（24-25 高一下·全国·课后作业）复数 满足关系式：2| |2 7| | +3 = 0，则复数在复平面内对应点的轨
迹是（ ）
A．两条直线 B．一条直线和一个圆
C．两个圆 D．一个圆
= 1【解题思路】解方程得出| | 2或| | = 3，再由复数的模得出表示的轨迹.
1
【解答过程】由2| |2 7| | +3 = 0，解得| | = 2或| | = 3.
1 1
当| | = 2时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为2的圆.
当| | = 3时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为3的圆.
故选：C.
39．（2024·山西太原·一模）复平面内复数 满足| 2| = 1，则| i|的最小值为（ ）
A．1 B． 5 1 C． 5 +1 D．3
【解题思路】根据| 2| = 1分析出 对应点轨迹方程，再根据| i|的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离
最小值求法求解出结果.
【解答过程】设 = + i( , ∈ R)，
因为| 2| = | 2 + i| = ( 2)2 + 2 = 1，所以( 2)2 + 2 = 1，即 z 在复平面内对应点的轨迹为圆 C：
( 2)2 + 2 = 1，如图，
又| i| = | + ( 1)i| = 2 + ( 1)2，
所以| i|表示圆 C 上的动点到定点 (0,1)的距离，
所以| i|min为| | = 5 1，
故选：B．
40．（23-24 高一下·浙江台州·期中）已知复数 1， 2满足| 1 4i| = | 1 5i|，| 2 1 + 2i| = 2（i为虚数单
位），则下列结论正确的是（ ）
A．| 1| > | 2| B
．| 1 | = 11
C 1．| 2 1|的最小值为2 D．| 2 1|的最小值为 4
【解题思路】根据复数的几何意义作出复数 1, 2对应的点所在的图形，数形结合，可判断 A；根据复数以
及其共轭复数的模的关系，判断 B；数形结合判断 C,D.
【解答过程】由| 1 4i| = | 1 5i|可知， 1表示的复数所对应的点都落在(0,4),(0,5)两点连线的中垂线上，即
如图直线 m 上，m 与 y 轴交点为(0,4.5) ，
由| 2 1 + 2i| = 2可知， 2 对应的点都在以点 (1, 2)为圆心，半径为 2 的圆上，如图，
则| 1|的最小值为4.5 ，| 2|的最大值为 12 + ( 2)2 +2 = 5 +2 ，
而4.5 > 5 +2 ，故| 1| > | 2|，故 A 正确；
| | = | | | 由于 1 1 ，故 1 = 1，故 B 正确； |1
1 对应的点在直线 上，如图，和直线 m 关于 x 轴对称，
过点 A 作 n 的垂线，交圆于 D,交 n 于 E 点，
则| 2 1|的最小值即为 的长，为4.5 4 =
1
2 ，故 C 正确；
设| 2 1 + 2i| = 2中 2对应的圆与 x 轴切于 B 点，过 B 作 m 的垂线，垂足为 C,
则| 2 1|的最小值即为 BC 的长，即为4.5 ，故 D 错误，
故选：ABC.
题型 11 根据复数的四则运算结果求复数特征
平面向量线性运算的坐标表示
41．（23-24 高一下·平面向量线· 性运 1+ i湖北 期中算的）坐已标表知示 复数 = 1 i ，其中i为虚数单位， ∈ R，若 为纯虚数，则复数 +
在复平面内对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【解题思路】先化简复数，再根据复数为纯虚数求参，最后求出 + 的对应点即可.
(1+ i)(1+i)
【解答过程】因为 = (1 )+(1+ )i(1 i)(1+i) = 2 ，
若 z 为纯虚数，则1 = 0，即 = 1，
则 = i, + = 1 + i在复平面内对应的点为(1,1),
则复数 + 在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A.
42．（23-24 高三上·全国·阶段练习）复数 满足( + 2)i = 1 i（i为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是
（ ）
A． 3 B．1 C．i D． i
【解题思路】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 ，即可得到其虚部．
【解答过程】解：由( + 2)i = 1 i可得： i + 2i = 1 i，
= 1 3i = (1 3i)i得 i i2 = 3 i，
= 3 + i，
则 的共轭复数的虚部为1，
故选：B．
43．（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）设复数 对应的点在第四象限，则复数 (1 + i)1016对应的点在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】计算(1 + i)1016 = 2508，设 = + i，则 > 0， < 0，根据2508 > 0,2508 < 0得到答案.
【解答过程】(1 + i)1016 = (1 + i)2
508
= (2i)508 = 2508i508 = 2508，
设 = + i，则 > 0， < 0， (1 + i)1016 = 2508 + 2508 i，
2508 > 0,2508 < 0，故复数 (1 + i)1016对应的点在第四象限.
故选：D.
44．（23-24 高一下· 1 3i安徽黄山·期中）已知复数 = 1+i （i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．复数 的虚部等于 2i B． = 5
C． + = 2 D．若 是实数， + 是纯虚数，则 = 1
【解题思路】先化简复数 ，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可
求解.
1 3i (1 i)(1 3i)
【解答过程】由题意，复数 = 1+i = (1 i)(1+i) = 1 2i，
对于 A 项： = 1 2i，所以复数 的虚部等于 2，故 A 错误；
对于 B 项： = | |2 = 5，故 B 错误；
对于 C 项： + = ( 1 2i) + ( 1 + 2i) = 2，故 C 正确；
对于 D 项：因为 + 是纯虚数且 是实数，即 1 2i为纯虚数，所以 1 = 0，解得 = 1，故 D 正确．
故选：CD.
题型 12 空间几何体的截面问题
平面向量线性运算的坐标表示
45．（23-24 高二下·平浙面向江量线杭性州运算·的期坐末标表）示 在正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 1和 1上的点，
= 1 = 13 1， 3 1，那么正方体中过点 ， ， 的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【解题思路】画出图形，然后判断即可.
【解答过程】在正方体 1 1 1 1中，取 1 =
1 1
3 1， = 3 1，
连接 ， ， ， ， ， ，如下图所示：
因为在正方体 1 1 1 1中， ，
1 1
分别是棱 1和 1上的点， = 3 1， = 3 1，
所以 // ，且 = ，则四边形 为平行四边形，则 // ， = ，
又因为 // ，且 = ，所以四边形 为平行四边形，
则 // ， = ，
所以 // ， = ，所以 为平行四边形，
则正方体中过点 ， ， 的截面形状为四边形 .
故选：B.
46．（23-24 高一下·浙江杭州·期末）已知正四面体 中， 是棱 上一点，过 作平面 ，满足 // ,
// ，若 到平面 的距离分别是 3 和 9，则正四面体 的外接球被平面 截得的截面面积为（ ）
A．99π B．100π C．103π D．108π
【解题思路】补形成正方体，求出正方体棱长，然后可得外接球半径，然后可解.
【解答过程】将正四面体补形成正方体，如图，
因为 // ， // ，所以 // ，
又 // , , 是平面 内的相交直线，所以平面 //平面 ，
因为 到平面 的距离分别是 3 和 9，所以正方体棱长为12，
结合正方体对称性可知，球心 到平面 的距离为 3，
记正四面体的外接球的半径为 ，则4 2 = 3 × 122，解得 = 6 3，
则外接球被平面 截得的截面半径 = 2 32 = 3 11，
所以，截面面积为π 2 = 99π.
故选：A.
47．（23-24 高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为2 3的正三棱锥 中，∠ = ∠ = ∠ = 40 ，
过 作截面 ，则截面的最小周长为（ ）
A．2 2 B．4 C．6 D．10
【解题思路】作出三棱锥的侧面展开图，连接 交 、 于点 、 ，则侧面展开图中线段 的长度即为
截面的最小周长，利用余弦定理计算可得.
【解答过程】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面 的周长最小，
连接 交 、 于点 、 ，则侧面展开图中线段 的长度即为截面的最小周长，
因为侧棱长为2 3的正三棱锥 ，∠ = ∠ = ∠ = 40 ，
所以∠ = 120 ，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos120
2 2
= (2 3) + (2 3) 2 × 2 3 × 2 3 × 1 = 36，
2
∴ = 6，所以截面的最小周长为6.
故选：C.
48．（23-24 高一下· 1云南·期末）一块正方体形木料如图所示，棱长为 3，点 在线段 1 1上，且 = 31
1，过点 将木料锯开，使得截面过 ，则（ ）
A． ⊥
B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C．截面的面积为2 3
D 3π．以 为球心， 为半径的球面与截面的交线长为
2
【解题思路】利用线面垂直的判定、性质推理判断 A；作出截面，结合球的截面小圆性质判断 BCD.
【解答过程】对于 A， 1 1是正方体 1 1 1 1的对角面，则四边形 1 1为矩形， // 1 1，
由 1 ⊥ 平面 ， 平面 ，得 1 ⊥ ，而 ⊥ ，
∩ 1 = , , 1 平面 1 1，则 ⊥ 平面 1 1，
又 平面 1 1，因此 ⊥ ，A 正确；
对于 B，过点 作直线平行于 1 1交 1 1, 1 1分别于 , ，连接 , ，
显然 // 1 1// ，则四边形 为过点 及直线 的正方体的截面，
截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，B 错误；
1 1 1
对于 C，由选项 B 得 = = ，则 1 = 1， = ( 3)
2 + 12 1 1 1 = 21 3 ，
因此截面矩形 面积 = = 2 3，C 正确；
对于 D，过 作 ⊥ 于 ，由 ⊥ 平面 1 1， 平面 1 1，
得 ⊥ ，而 ∩ = , , 平面 ，则 ⊥ 平面 ，
因此 为以 为球心， 为半径的球面被平面 所截小圆圆心，
球面与截面的交线为以 为圆心， 为半径的半圆弧，显然∠ = ∠ 1 = 30 ，
= 12 =
3 3π
，因此交线长为 ，D 正确.
2 2
故选：ACD.
题型 13 几何体与球的切、接问题
平面向量线性运算的坐标表示
49．（23-24 高三下·平云面向南量线·阶性运段算的练坐习标表）示 如图所示的三棱锥 中， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
⊥ ，且 = 10， = 5，则其外接球表面积的最小值为（ ）
A 25π B 125π 65π． ．20π C． 6 D． 3
【解题思路】利用线面垂直的判定定理，将三棱锥 放入长方体中，再利用基本不等式即可求其外接
球表面积的最小值.
【解答过程】因为 ⊥ ， ⊥ ，且 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
又因为 ⊥ ， ⊥ ，且 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
所以可以将三棱锥 放入一个长方体 中，该长方体以 ， ， 为长，宽，高，如图
所示，
则长方体 的外接球就是三棱锥 的外接球，
设所求外接球的半径为 ，
因为 = 10，所以 2 + 2 ≥ 2 = 20，当且仅当 = = 10时等号成立，
所以 2 + 2 + 2 ≥ 20 + 5 = 25，即(2 )2 ≥ 25 5，解得 ≥ 2，
5 2
所以该长方体外接球表面积的最小值为4π 2 = 4π × = 25π2 ，
所以三棱锥 的外接球表面积的最小值为25π，
故选：A.
50．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥 的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为
（ ）
A．4:1 B．3:1 C．2:1 D．8:1
【解题思路】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案.
【解答过程】如图，等边三角形 的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径，
记内切球和外接球的半径分别为 和 ，
π
则 = sin =
1
6 2
4π 2
所以其外接球与内切球的表面积之比为4π 2 = 4:1.
故选：A．
51．（2024·四川·三模）如图，在梯形 中， ∥ , = 4, = = = 2，将 △ 沿对角线
折起，使得点 翻折到点 ，若面 ⊥ 面 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A．16π B．20π C．24π D．32π
【解题思路】设 为 的中点， 2为 的中点， 1为 △ 的外心， 为三棱锥 的外接球球心，利
用球的截面性质得到四边形 1 2为矩形，然后设外接球半径为 ，由 2 = 22 + 2 2求解.
【解答过程】解：如图，
设 为 的中点， 2为 的中点， 1为 △ 的外心， 为三棱锥 的外接球球心，
则 2 ⊥ 面 , 1 ⊥ 面 .
由题意得∠ = 90 , ∴ 2为 △ 的外心，
在 △ 中，∠ = 120 , = = 2, = 2 3，
所以 1 = 1，
又四边形 1 2为矩形，
∴ 2 = 1 = 1，设外接球半径为 ，
则 2 = 22 + 22 = 5, ∴ 外接球表面积4 2 = 20 ，
故选：B.
52．（23-24 高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（多选题）已知四面体 ABCD 的一个平面展开图如图
所示，其中四边形 AEFD 是边长为2 2的菱形，B，C 分别为 AE，FD 的中点， = 2 2，则在该四面体中
（ ）
A． ∥
B．BE 与平面 DCE 210所成角的余弦值为
15
C．四面体 ABCD 的外接球表面积为9π
D．四面体 ABCD 的内切球半径为 105
30
【解题思路】画出直观图，利用线面垂直判断 A；取 AB 中点 M，CD 中点 N，MN 中点 O，连 MN、OA，
过 O 作 ⊥ 于 H，证明 OH 是内切球的半径，OA 是外接球的半径，求出半径可判断 CD；求 BE 与平
面 DCE 所成角，利用余弦定理判断 B.
【解答过程】由题意得，展开图拼成的几何体如下图所示，
= = 2 ， = = = = 2 2 ，所以四面体的 4 个面是全等三角形，
取 AB 中点 M，CD 中点 N，MN 中点 O，连 MN、OA，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
过 O 作 ⊥ 于 H，
2
所以 = = 12 =
2， = = = =
2
2 2 = (2 2)2 2 = 30，
2 2
因为 = ，AB 中点 M，所以 ⊥ ，
2 2
= 2 2 = 30 2 = 7，
2 2
对于 A： ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 在平面 ABN 内，
故 ⊥ 平面 ABN，而 平面 ABN ，所以 ⊥ ，故 A 错误；
对于 B：由于 平面 ACD，故平面 ⊥ 平面 ACD，则 B 在平面 DCE 上的投影是在射线 AN 上,
2
故∠ 是 BE 与平面 DCE 所成角，故cos∠ = =
2 × = 15
30 ，故 B 错误；2 15
1 2 2 2C 2 = 2 + = 2 + 7对于 ： = 92 2 2 4 ，
因为四面体的 4 个面是全等三角形，所以根据对称性，同理可求得 2 = 2 = 2 = 94，
3
即四面体外接球的球心为 O，半径为 = ，所以外接球的表面积为4π 22 = 9π ，故 C 正确；
对于 D： ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 在平面 CDM 内，
故 ⊥ 平面 CDM，因为 平面 CDM，所以 ⊥ ,
又因为 ⊥ ， , 在平面 内相交，所以 ⊥ 平面 ，
2
易得 △ ∽△ ，所以 = ，即 =
×
1 1 = 2 × × × = 105 ，
2 2 30 2
7 30
即 到平面 的距离为 = 105，
30
因为四面体的 4 个面是全等三角形，
所以根据对称性，同理可求得 到平面 , , 的距离都为 105，
30
即四面体 ABCD 的内切球半径为 105，故 D 正确.
30
故选：CD.
题型 14 空间中的点共线、点（线）共面问题
平面向量线性运算的坐标表示
53．（23-24 高一下·平河面向南量线三性门运算峡的坐·阶标表段示 练习）如图正方体或四面体， , , , 分别是棱的中点，这四个点不共
面的图是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据 1 1// , 1 1// 得 1 1// 可判断 A；取 1的中点 ，可得 // ，即 , , ,
四点共面，同理 // 即 , , , 四点共面可判断 B；利用 // 可判断 C；利用点面关系可判断 D，
【解答过程】对于 A，如图， , , , 是 1 1, 1 , 1 1, 1的中点，
连接 , , , ，连接 1 1，
因为 1 1// , 1 1// ，所以 // ，所以 , , , 共面；
对于 B，如图，因为 , , , 是 1 1, , 1 1, 1的中点，
取 1的中点 ，连接 , , , 1 , 1 , , , 1, ，
可得 // 1, // 1 , 1// 1 ，所以 // ，即 , , , 四点共面，
因为 // 1 , // 1 ，所以 // ，即 , , , 四点共面，
因为过 , , 的平面有且只有 1 个，
所以 , , , 四点共面；
对于 C，如图，三棱锥中连接 , , , ，
因为 , , , 是 , , , 的中点，
则 // ， // ，所以 // ，即 , , , 四点共面；
对于 D，如图，连接 , , , ，
平面 ，即 , , , 四点不共面.
故选：D.
54．（24-25 高三上·河北唐山·期中）如图所示， 1 1 1 1是长方体， 是 1 1的中点，直线 1 交
平面 1 1于点 ，给出下列结论：
① ， ， 三点共线；
② ， ， ， 1不共面；
③ ， ， ， 共面；
④ ， 1， ， 共面.其中正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．③④ C．①③ D．②④
【解题思路】根据公理确定点共面与点共线，再根据异面直线判定定理判定共面问题，即得结果.
【解答过程】因为 是 1 1的中点，所以 是 1 1的中点，从而 在平面 1 1 上，也在平面 1 1上；又
在平面 1 1 上，也在平面 1 1上；
因为直线 1 交平面 1 1于点 ，所以 在 1 上，即在平面 1 1 上， 也在平面 1 1上；
因此 ， ， 在平面 1 1 与平面 1 1的交线上，即 ， ， 三点共线，①正确；
， ， ， ， 1都在平面 1 1 上，所以②错误，③正确；
根据异面直线判定定理可得 1与 异面，从而④错误；
故选 C.
55．（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体 1 1 1 1中，P，Q 分别是棱 1， 1的
中点，平面 1 ∩ 平面 = ，则下列结论错误的是（ ）
A． 过点 B
B． 不一定过点 B
C． 1 的延长线与 的延长线的交点在 上
D． 1 的延长线与 的延长线的交点在 上
【解题思路】作出辅助线，得到 1，P，B，Q 四点共面，即 ∈ 平面 1 ，又 ∈ 平面 ，所以
∈ ；作出辅助线，得到 ∈ 平面 1 ， ∈ 平面 ，故 ∈ ，同理 D 正确.
【解答过程】连接 ， ，如图，
因为 P，Q 分别是棱 1， 1的中点，
由勾股定理得 1 = 1 = = ，
所以四边形 1 是菱形，
所以 1，P，B，Q 四点共面，即 ∈ 平面 1 .
又 ∈ 平面 ，所以 ∈ ，故 A 结论正确，B 结论错误.
如图，延长 1 与 的延长线交于点 F，延长 1 与 的延长线交于点 E.
因为 1 平面 1 ，所以 ∈ 平面 1 ，
因为 平面 ，所以 ∈ 平面 ，所以 ∈ ，
同理 ∈ ，故 C，D 正确.
故选：B.
56．（23-24 高一下·四川广安·期中）如图所示，在空间四边形 中，点 , 分别是边 , 的中点，点 ,
, 2分别是边 上的三等分点，且 = = 3，则下列说法正确的是（ ）
A． , , , 四点共面
B． 与 异面
C． 与 的交点 可能在直线 上，也可能不在直线 上
D． 与 的交点 一定在直线 上
【解题思路】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得 ∥ ，即可判断 A，B；由平面
基本事实推理可判断 C，D.
【解答过程】在空间四边形 ABCD 中，点 E，H 分别是边 AB，AD 的中点，则 ∥ 1，且 = 2 ，
2 2
点 F，G 分别是边 BC，CD 上的点，且 = = 3，则 ∥ ，且 = 3 ，
因此 ∥ ，点 E，F，G，H 四点共面，故 A 正确，B 错误；
∥ ， > ，即四边形 是梯形，则 EF 与 GH 必相交，交点为 M，
点 M 在 EF 上，而 EF 在平面 ACB 上，则点 M 在平面 ACB 上，同理点 M 在平面 ACD 上，
则点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的公共点，而 AC 是平面 ACB 与平面 ACD 的交线，
所以点 M 一定在直线 AC 上，故 C 错误，D 正确.
故选：AD.
题型 15 平行与垂直关系的综合应用
平面向量线性运算的坐标表示
57．（23-24 高一下·平江面向苏量线扬性州运算·的期坐末标表）示 在正方体 1 1 1 1中， , , , 分别是棱 1, , , 1 1的中
点，下列结论正确的是（ ）
A． ∥ 1 B． 1 ⊥
C． ⊥ 平面 1 1 D．平面 1 ∥ 平面 1
【解题思路】根据题意，逐项判断即可.
【解答过程】对于 A，连接 , 1 , 1 , 1 ，如下图所示：
因为 , 分别是棱 1, 的中点，所以 ∥ 1 ，
由正方体性质可得 1 ∥ 1 ，因此可得 ∥ 1 ，而 1 , 1相交，
所以 ∥ 1错误，即 A 错误；
对于 B，取 1的中点 ，连接 , , ，如下图所示：
易知 ∥ 1 ， ∥ ，所以∠ 即为异面直线 1 与 所成的角（或其补角）；
不妨设正方体的棱长为 2，则 = = 5， = 2 2，
显然 2 + 2 ≠ 2，可知∠ 不是直角，所以 1 与 不垂直，即 B 错误；
对于 C，连接 , , 1 1，如下图所示：
由正方体性质可得 1 ⊥ 平面 ，而 平面 ，所以 1 ⊥ ；
因为 是正方形，所以 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1, 平面 1 1 ，所以 ⊥ 平面 1 1 ,
又因为 , 分别是棱 , 的中点，所以 ∥
可得 ⊥ 平面 1 1 ，即 C 正确；
对于 D，如下图所示：
易知 1 ∈ 平面 1 ，且 1 ∈ 1 1，而 1 1 平面 1，所以 1 ∈ 平面 1；
因此可得平面 1 与平面 1有公共点 1，可知两平面必有一条过 1的共公交线；
因此平面 1 ∥ 平面 1是错误的，即 D 错误.
故选：C.
58．（23-24 高一下·黑龙江鹤岗·期末）如图，在正四棱锥 中， , , 分别是 , , 的中点，当点
在线段 上运动时，下列四个结论：
① ⊥ ；② // ；③ //平面 ；④ ⊥ 平面 .
其中恒成立的为（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
【解题思路】连接 , ，证得平面 //平面 ，得到 //平面 ，设 与 交于点 ，证得 ⊥
平面 ，得到 ⊥ 平面 ，得出 ⊥ ，所以①恒成立；对于线段 MN 上的任意一点 P 时，②④不
一定成立，即可求解.
【解答过程】如图所示，连接 , ，
因为 , , 分别是 , , 的中点，所以 // , // ，
又因为 ∩ = , ∩ = ，且 , 平面 ， , 平面 ，
所以平面 //平面 ，
因为 平面 ， //平面 ，所以③恒成立；
设 与 交于点 ，则 为底面正方形 的中心，且 ⊥ ，
由正四棱锥 ，可得 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ，且 , 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ，所以①恒成立；
对于②④对于线段 MN 上的任意一点 P 不一定成立.
故选：A.
59．（2024·四川眉山·三模）如图，该组合体由一个正四棱柱 1 1 1 1和一个正四棱锥 1 1 1 1
组合而成，已知 = 2, 1 = 2, 1 = 2，则（ ）
A． 1//平面 1 1 B． 1//平面 1 1
C． 1 ⊥ 平面 1 D． 1 ⊥ 平面 1
【解题思路】借助线面平行的判断定理可得 1//平面 1，即可得 A 错误，同理可得 B 错误；借助线面
垂直的判定定理可得 1 ⊥ 平面 1，又 1 ∩ 1 = ，即可得 C 正确、D 错误.
【解答过程】对 A、B：如图，因为 1 = 1 = 2, 1 1 = 2 2, = 1 = 2，
π
在平面 1 1中有∠ 1 1 = ∠ 1 1 = ∠ 1 = 4，
所以 1// 1, 1//平面 1, 1不平行于平面 1 1，故 A 错误；
同理 1// 1, 1不平行于平面 1 1，故 B 错误；
对 C、D： = 2 + 2 × 2 = 2 2， 2 1 = 1 = 2，
有 21 + 1 2 = 2，所以 1 ⊥ 1 ，
又 ⊥ ， ⊥ 1, ∩ 1 = , , 1 平面 1 ，
所以 ⊥ 平面 1 ，又因为 1 平面 1 ，
所以 1 ⊥ ，又 ∩ 1 = ， 、 1 平面 1，
所以 1 ⊥ 平面 1，故 C 正确；
又因为 1 ∩ 1 = ，且过一点有且仅有一条直线与平面垂直，
所以 1不垂直于平面 1，故 D 错误.
故选：C.
60．（23-24 高一下·福建莆田·期末）在棱长为 6 的正方体 1 1 1 1中，点 为棱 1的中点，则
（ ）
A． 1 ⊥ 1
B．平面 //平面 1 1
C．平面 ⊥ 平面 1 1
D．平面 1 1截该正方体外接球的截面面积为24π
【解题思路】由线面垂直，面面垂直的判定定理性质定理即可判定选项 A，C；由面面平行的判定定理通过
反证法即可判定 B； 根据几何体截面面积即可判定选项 D.
【解答过程】
在正方体 1 1 1 1中， 1 1 ⊥ 1 1且 1 ⊥ 平面 1 1 1 1，
又因为 1 1 平面 1 1 1 1，所以 1 ⊥ 1 1，
因为 1 ∩ 1 1 = 且 1, 1 1 平面 1 1，所以 1 1 ⊥ 平面 1 1，
因为 1 平面 1 1，所以 1 ⊥ 1 1，
同理可得 1 ⊥ 1(正方形对角线垂直)， 1 ⊥ (由 ⊥ 平面 1 1 可得)，
又因为 1 ∩ = ， 1, 平面 1，所以 1 ⊥ 平面 1，
又因为 1 平面 1，所以 1 ⊥ 1 ，
因为 1 1 ∩ 1 = 1且 1 1, 1 平面 1 1，所以 1 ⊥ 平面 1 1，
又因为 1 平面 1 1，所以 1 ⊥ 1，故 A 正确；
因为 // 1 1，所以 ⊥ 平面 1 1，
又因为 平面 ，所以平面 ⊥ 平面 1 1，故 C 正确；
由 A 知 1 ⊥ 平面 1 1， 1 ⊥ 1，
若平面 //平面 1 1，则 1 ⊥ 平面 ， 1 ⊥ ，
取 1的中点 ，连接 ，
因为点 为棱 1的中点，所以 // ，
又因为 1 ∩ = ，所以 1不垂直 ，所以 1不垂直 ，矛盾，
所以平面 ,平面 1 1不平行，故 B 错误；
因为平面 1 1三个点都是正方体 1 1 1 1上的点，所以平面 1 1截该正方体外接球的截面即为
等边 △ 1 1的外接圆，等边 △ 1 1的边长为6 2，
2
设 △ 1 6 21的外接圆的半径为 ，则由正弦定理可得 = 2 = 2° 6，所以截面面积为π
2 = π × (2 6)
sin60
= 24π，故 D 正确，
故选：ACD.
题型 16 求空间角
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
61．（23-24 高一下·安徽黄山·期末） △ 中， = = 4，∠ = 120°. 为 中点， 为线段 上靠
近点 的四等分点，将 △ 沿 翻折，使 到 的位置，且平面 ⊥ 平面 ，则异面直线 与 所
成角的余弦值为（ ）
A 5 19． B． 51 C．5 51 D 1．
38 5 5 2
【解题思路】过点 作 // 交 于点 ，说明异面直线 与 所成角的大小等于∠ ，结合面面垂
直的性质以及解三角形知识即可求解.
【解答过程】
// = 过点 作 交 于点 ，所以 = ，
1
因为 为线段 上靠近点 的四等分点， = = 4，所以 = 4 × 4 = 1， = 1，
而 = 2 cos 180 120 = 2 cos30 = 4 3，
2
= 1所以 4 4 3 = 3，而 是 中点，所以 = = 2 3 3 = 3，
180 120
在三角形 中， = 2 3, = 1,∠ = 2 = 30
，
由余弦定理有 = 12 + 1 2 2 3 1 3 = 7，
2
由于 = ，点 是 中点，所以 ⊥ ，由折叠关系可知 ⊥ ， = = 2 3，
又因为平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ , ⊥ ，
因为 = = 2 3， = 3, = 7，
所以 = 15, = 19，
19+1 15
在三角形 中， = 15, = 19, = 1 5 19，由余弦定理有cos∠ = =2 19 1 ，38
因为 // ，所以异面直线 与 所成角的大小等于∠ ，
5 19
故所求为 .
38
故选：A.
62．（23-24 高一下·河南新乡·期末）在正三棱柱 1 1 1中， 1 = ，M 是 AB 的中点，N 是棱 1 1
上的动点，则直线 与平面 1 1所成角的正切值的最大值为（ ）
A 1． 22 B． C
3
． D 3．
2 2 4
【解题思路】根据题意，先画出图象，作 ⊥ ，然后由面面的垂直的性质可得 ⊥ 平面 1 1，进而
可知∠ 为直线 与平面 1 1所成的角，当∠ 取得最大值时，tan∠ = 取得最大值， 取
得最小值，从而可得直线 与平面 1 1所成角的正切值的最大值.
【解答过程】如图，作 ⊥ ，垂足为 G，连接 .
在正三棱柱 1 1 1中，平面 ⊥ 平面 1 1，
因为平面 ∩ 平面 1 1 = ， 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥ 平面 1 1.
故∠ 为直线 与平面 1 1所成的角.
当∠ 取得最大值时，tan∠ = 取得最大值， 取得最小值.
1 3 3
不妨设 1 = = ，则 = cos = 2 = ， 的最小值为 a，2 4
于是tan∠ = =
3.
4
故选：D.
63．（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）如图，四棱锥 的底面 为矩形，且 ⊥ 平面 ，
若 = 2 = 2 ，则下列结论错误的是（ ）
A．直线 与平面 6所成角的正弦值为 B．平面 ⊥ 平面
6
C． ⊥ D 2．二面角 的余弦值为3
【解题思路】依题意可得∠ 为直线 与平面 所成的角，即可判断 A；根据 ⊥ 平面 及面面
垂直的判定定理判断 B；推出矛盾即可判断 C，过点 作 ⊥ 交 于点 ，连接 ，即可得到∠ 为
二面角 的平面角，再由锐角三角函数计算判断 D.
【解答过程】不妨设 = 2 = 2 = 2，
对于 A：连接 ，因为 ⊥ 平面 ，所以∠ 为直线 与平面 所成的角，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又 = 12 + 22 = 5， = 1，则 = 2 + 2 = 5 2 + 12 = 6，
6 6
所以sin∠ = = ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 ，故 A 正确；6 6
对于 B：因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以平面 ⊥ 平面 ，故 B 正确；
对于 C：因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
若 ⊥ ，又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
则矩形 为正方形，所以 = ，与 = 2 矛盾，故 与 不垂直，故 C 错误；
对于 D：过点 作 ⊥ 交 于点 ，连接 ，因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
则∠ 为二面角 1 1 1 1的平面角，又 △ = 2 = 2 ，即2 × 1 × 2 = 2 × 5 ，
2
解得 = 2 5，所以 = 2 + 2 = 2 5 + 12 = 3 5，5 5 5
2 5
所以cos∠ = =
5
3 5 =
2 2
3，即二面角 的余弦值为3，故 D 正确.
5
故选：C.
64．（23-24 高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图：在三棱锥 中， ⊥ 面 ， △ 是直角三角形，
∠ = 90 ， = = 2，∠ = 45 ，点 分别为 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． ∥ 平面
B． , 所成的角为45
C．直线 与平面 10所成的角的正弦值为
10
D 1．二面角 的余弦值为 3
【解题思路】对 A：通过证明 // ，即可由线线平行证明线面平行；对 B：通过证明 ⊥ 面 ，即可
求得 , 的夹角为90°；对 C：记 ∩ = ，根据 B 中所证 ⊥ 面 ，从而求得线面角为∠ ，再
结合几何关系，即可求得线面角；
对 D：先求二面角 ，结合二面角平面角的定义，再根据其与 互补，即可求得结果.
【解答过程】对 A：在△ 中，因为 , 分别为 , 的中点，故 // ，
又 面 , 面 ，故 //面 ，故 A 正确；
对 B：因为△ 为等腰直角三角形，又 为 中点，故可得 ⊥ ；
又 // ，故 ⊥ ；
又 ⊥ 面 , 面 ，故 ⊥ ；
又 , 面 , ∩ = ，故 ⊥ 面 ；
又 面 ，故 ⊥ ，故直线 , 所成的角为90°，故 B 错误；
对 C：记 ∩ = ，连接 , ，如下所示：
由 B 可知， ⊥ 面 ，故∠ 即为所求直线 与平面 的夹角；
1
在△ 中， = 2 =
1
2 + 2 =
1
2 2 4 + 4 = 2；
因为 ⊥ 面 , , 面 ，故 ⊥ , ⊥ ，
2 2
则 = 2 + 2 = 4 + 1 = 5， = 2 + 2 = 2 + 1 = 4 + 2 = 3 2；
2 2 2
在△ 中，因为 ⊥ 面 ， 面 ，故 ⊥ ，
则△ 为直角三角形，
9
故 = 2 2 = 5 = 2
2 10
，则sin∠ = 2
2 2
= = ，
5 10
10
即直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，故 C 正确；
10
对 D：连接 ，如下所示：
由图可知，二面角 的平面角和 的平面角互补，故先求二面角 ；
由 B 可知， ⊥ 面 ，又 , 面 ，故 ⊥ , ⊥ ，
则∠ 即为二面角 的平面角；
在直角三角形 中， = 2, = 12 =
1
2 ×
1 1 2
2 = 4 × 2 2 = , = 2 + 2 =2 4 +
1 = 3 2，
2 2
2
故cos∠ = = 2 = 1 1 3 2 3，故二面角 的余弦值为3，
2
1
则二面角 的余弦值为 3，故 D 正确.
故选：ACD.
题型 17 点、线、面的距离问题
平面向量线性运算的坐标表示
65．（23-24 高一下·平河面向南量周线性口运算·的期坐末标表）示在平行四边形 中，∠ = 60 ， = 1, = 2，将 △ 沿 折
起，使得平面 ⊥ 平面 ，则 到平面 的距离为（ ）
A 3． B． 2 C 5 D 3． ．
3 2 3 2
【解题思路】计算可得 ⊥ ，结合平面 ⊥ 平面 ，得 ⊥ 平面 ，平面 ⊥ 平面 ，在
平面 内，作 ⊥ 于点 H，则 即为所求点 B 到平面 的距离，计算可得结果.
【解答过程】由∠ = 60 ， = 1, = 2， 得 2 = 2 + 2 2 cos60 = 1 + 4 2 × 1 × 2 × 12
= 3， = 3，
则 2 + 2 = 2， ⊥ ，又四边形 为平行四边形，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 ⊥ 平面 ，
在平面 内，作 ⊥ 于点 H，因为平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ，
所以 ⊥ 平面 ，则 即为所求点 B 到平面 的距离，
在直角三角形 中， ⊥ ，又 ⊥ ，
1 = 1 = 3所以2 2 = .2
3
所以 到平面 的距离为 .
2
故选：D.
66．（23-24 高一下·湖北武汉·期末）已知棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 分别为 和 的中
点，则 到平面 1 1 的距离为（ ）
A 3 B 6 3． ． C． D 6．
3 3 2 2
【解题思路】在正方体 1 1 1 1中，连接 , , 1 1, ， 1 1交 1 1于 ，连接 ， 交 于
，过 作 ⊥ 于 ，由已知可证 ⊥ 平面 1 1 ，即 为 到平面 1 1 的距离，求解即可.
【解答过程】在正方体 1 1 1 1中，连接 , , 1 1, ， 1 1交 1 1于 ，
连接 ， 交 于 ，过 作 ⊥ 于 ，
因为 分别为 和 的中点，所以 ∥ ，
又在正方体 1 1 1 1中， 1 ∥ 1 ∥ 1且 1 = 1 = 1，
所以四边形 1 1 是平行四边形，从而可得 1 1 ∥ ，
所以 1 1 ∥ ，又因为 1 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，
所以 //平面 1 1 ，所以 到平面 1 1 的距离即为点 到平面 1 1 的距离，
由正方形 1 1 1 1可得 1 1 ⊥ 1 1，
又由正方体 1 1 1 1，可得 1 ⊥ 平面 1 1 1 1，又 1 1 平面 1 1 1 1，
所以 1 ⊥ 1 1，又 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1, 1 平面 1 1 ，
所以 1 1 ⊥ 平面 1 1 ，又 1 1 平面 1 1 ，所以平面 1 1 ⊥ 平面 1 1 ，
又平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = ， ⊥ ，所以 ⊥ 平面 1 1 ，
所以 为点 到平面 1 1 的距离，
1 11 2
在Rt △ 1 中，可得cos∠ 1 = = 2 2+ 2 = 2+( 1 2+ 2) = ，1 1 1 2 1 1 1 1 3
所以sin∠ = sin（90° ∠ 1) = cos∠ 1 =
2
，
3
3
又易求得 = 4 =
3 2，
4
所以 = × sin∠ = 3 2 × 2 = 3.
4 3 2
故选：C.
π
67．（23-24 高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱 1 1 1的体积为 8，二面角 1 的大小为4，
且 = ， 1 = 2，则点 1到平面 1的距离为（ ）
A 2． 2 B． 2 C． D． 22 3 4
【解题思路】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得 1，再根据直三棱柱的体积求出 ，再利
用等体积法求点 1到平面 1的距离.
【解答过程】取 的中点 ，连接 , 1，
∵ = ， ∴ ⊥ , 1 ⊥ ，则二面角 1 的平面角为∠ 1 ，
π π
∵ 二面角 1 的大小为4，则∠ 1 = 4，
所以 = 1 = 2， 1 = 2 + 12 = 4 + 4 = 2 2，
又 ∵ 直三棱柱 1 1 1的体积为 8， ∴ 1 1 1 = △ 1 = 2 △ = 8，
则 △ = 4， ∴
1 1
△ = 2 = 2 × 2 = 4 = 4，
又 ∵ 平面 ⊥ 平面 1 1，平面 ∩ 平面 1 1 = ，
且 ⊥ , 平面 ， ∴ ⊥ 平面 1 1，
设点 1到平面 1的距离为 ，又 1 1 = 1 1，
∴ 1 13 △ 1 = 3
1 1 1 1
△ 1 3 × 2 × 4 × 2 2 × = 3 × 2 × 4 × 2 × 2，解得 = 2，
故选：A.
68．（2024·河北·模拟预测）如图，正四面体 的棱长为 ，则（ ）
A 3．点 到直线 的距离为
2
B 6．点 到平面 的距离为
3
C 3．直线 与平面 所成角的余弦值为
2
D 1．二面角 的余弦值为3
【解题思路】根据点线距、点面距、线面角、面面角的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
π 3
【解答过程】对于 A，在等边三角形 中，点 A 到直线 的距离为 sin3 = ，故 A 正确；2
对于 B，如图，
取 的中点 ，连接 ， ，过点 作 ⊥ 交 于点 G，
则 ⊥ ， ⊥ .
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥ 平面 .
又 平面 ，所以平面 ⊥ 平面 .
又平面 ∩ 平面 = ， ⊥ ， 平面 ，所以 ⊥ 平面 .
2 2 3 3
由正四面体的性质，知 = 3 = 3 × = ，2 3
2
所以在Rt △ 中， = 2 2 = 2 ( 3 ) = 6 ，故 B 正确；
3 3
对于 C，由 B，知 ⊥ 平面 ，所以∠ 即为直线 与平面 所成的角.
3
在Rt △ 3中，cos∠ = 3 = = ，故 C 错误； 3
对于 D，取 的中点 F，连接 ， ，如图，则 ⊥ ， ⊥ .
又 平面 ， 平面 ，平面 ∩ 平面 = ，
所以∠ 为二面角 的平面角.
π
又 = = sin3 =
3 ， = ，
2
3 2 3 2 2 1 2
所以在 △ 中，由余弦定理，得cos∠ =
( ) +( )
2 2 2 1
2× 3
= 3
× 3 2
= 3，
2 2 2
所以二面角 1的余弦值为3，故 D 正确．
故选：ABD.2024-2025 学年高一下学期期中复习选择题压轴题十七大题型专练
【人教 A 版（2019）】
题型 1 向量线性运算的几何应用
1．（24-25 高一下·全国·课后作业）设四边形 中，有 = 3 且| | = | |，则这个四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
→ → → →
2．（2024 高三·全国·专题练习）若 △ 的三边为 a，b，c，有 + + = 0，则 是 △ 的（ ）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
3．（23-24 高一下·云南昭通·期中）已知 为 △ 内一点，且满足 + +( 1) = 0，若 △ 的
△ 1面积与 的面积的比值为4，则 的值为（ ）
A 3．4 B
4
．3 C
1
．2 D．2
4．（23-24 高一下·广东阳江·阶段练习）正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，
, , , , 以 为顶点的多边形为正五边形且 = 5 1 ，则（ ）2
A． = 5+1 B． + = 5+1
2 2
C． = 5 1 D． + = 5 1
2 2
题型 2 向量的数量积问题
5．（24-25 高一上·河北保定·期末）已知平面向量 ， 满足| | = 1，| | = 1，则 + 2 的最大值为
（ ）
A．8 B．4 2 C．10 D．4 3
6 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC 是边长为 1 的正三角形， = 3 , 是 BN 上一点且 =
+ 29 ，则 = （ ）
A 2 B 1 C 2．9 ．9 ．3 D．1
7．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图，“六芒星”是由两个边长为3正三角形组成，中心重合于点 且
三组对边分别平行，点 ， 是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点 在“六芒星”上（内部以及边界），则
的取值范围是（ ）
A．[ 2,2] B． 3 , 3 C．[ 3, 3] D．[ 2, 3]
2 2
8．（2024·陕西西安·一模）下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．设 ， 为非零向量，若| + |=| |，则 ⊥
B．设 ， 为非零向量，若 > 0，则 , 的夹角为锐角
C．设 ， ， 为非零向量，则 =
D．若点 G 为 △ 的外心，则 + + = 0
题型 3 向量的夹角（夹角的余弦值）问题
9．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知向量 ， 满足| | = 4，| | = 2，( + ) ⊥ ，则向量 ， 的夹角为
（ ）
π π
A．6 B．3
C 2π 5π． 3 D． 6
10．（24-25 高三下·海南海口·阶段练习）已知向量 ， 满足| | = | + |，| | = 3| |，则向量 与 +
的夹角的余弦值等于（ ）
A 0 B 1． ． 22 C． D
3
．
2 2
11．（23-24 高一下·贵州安顺·期末）已知 , 为单位向量，则“| + | < 2| |”是“ 与 的夹角是钝角”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必
要条件
12．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）下列说法中错误的为（ ）
A．已知 = (1,2)， = (1,1)且 与 + 5夹角为锐角，则 ∈ , + ∞
3
B．已知 = (2, 3)， = 1 , 3 不能作为平面内所有向量的一组基底
2 4
C．若 = 且 ≠ 0 ，则 =
→ → → →
D．若非零 ， 满足| | = | | = | |，则 与 + 的夹角是60°
题型 4 平面向量基本定理的应用
13．（23-24 高一下·浙江·期中）如图所示，在 中，点 E 为线段 上的中点，点 F 为线段 上靠近
点 C 的三等分点， ， 分别与 交于 R，T 两点．则（ ）
A． = 16
1
4 B． =
3
5 +
4
5
C． = 3 +4 D． = 3 4
14．（23-24 高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形 = 1 1中， 3 ， = 4 ， 与 交
于点 .设 = ， = ，若 = + ，则 = （ ）
A 8．17 B
19 11 3
．17 C．17 D．17
15．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在 △ 中， 为线段 的中点， 为线段 上一点， = 2
1
，过点 4的直线分别交直线 ， 于 ， 两点．设 = ( > 0)， = ( > 0)，则 +2 + +1的
最小值为（ ）
A 3 B 3．4 ．2 C．3 D．6
16．（23-24 高一下·河南·期中）在平行四边形 中， 与 交于点 ， 为 的中点， 与 交于
点 ，延长 交 于 ， = ( ∈ )，则 （ ）
A． 为三角形 的外心 B． = 23
2 2
C． = 1 12 + 4 D．4 =
题型 5 向量坐标运算的几何应用
平面向量线性运算的坐标表示
17．（23-24 高一下·平辽面向宁量·线期性运中算）的坐扇标表形示 的半径为 1，∠ = 120°，点 在弧 上运动，则 的最小
值为（ ）
A． 1 32 B．0 C． 2 D．-1
18．（24-25 高一·全国·课后作业）如图，在直角梯形 ABCD 中， ∥ ，∠ = 90°， = = 4，
= 1 1 1，动点 P 在边 BC 上，且满足 = + （m，n 均为正数），则 + 的最小值为（ ）
A 3 3．1 B．4 C． 4 D
7+4 3
．
4
19．（23-24 高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆
心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所
示的勒洛三角形中，已知 = 2，点 在弧 AC 上，且∠ = 30°，则 = （ ）
A．6 4 3 B．2 3 4 C．2 6 4 2 D．4 3 6
20．（23-24 高一下·陕西咸阳·期中）如图，在长方形 中， = 6, = 4，点 满足 = ，其中
∈ 0, 2 ，则| + |的取值可以是（ ）
3
A．8 B．9 C．10 D．11
题型 6 向量与几何最值（范围）问题
平面向量线性运算的坐标表示
21．（23-24 高一下·平重面向庆量线·期性运末算的）坐如标表图示 ，已知正方形 的边长为 2，若动点 在以 为直径的半圆上（正
方形 内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A．[0,2] B．[0,4] C．[0,3] D．[0,1]
22．（23-24 高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为 1 的圆 O 上运动，且
⊥ ， M 是圆 O 外一点， = 2，则| + + 2 |的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
23．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形 ABCD 中， ⊥ ， ⊥ ，∠ = 120°，
= = 1．若点 E 为边 CD 上的动点（不与 C、D 重合），则 的最小值为（ ）
A 13 21．12 B．16 C． 3 D．1
24．（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知点 A、B、P 在 ⊙ 上，则下列命题中正确的是（ ）
A．| | = 1，则
1
的值是2
B 1．| | = 1，则 的值是2
C．| | = | | = 1，则 1的范围是 , 3
2 2
D．| | = | | = 1，且 = + ，则 + 的范围是 1 2 3 ,1 + 2 3
3 3
题型 7 正、余弦定理判定三角形形状
平面向量线性运算的坐标表示
25．（23-24 高一下·平湖面向北量线孝性感运算·的期坐中标表）示 已知三角形的三边长分别为 4、6、8，则此三角形为（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
π
26．（23-24 高一下·北京海淀·期末）在 △ 中，已知 = 2, = 3．则下列说法正确的是（ ）
A．当 = 1时， △ 4 3是锐角三角形 B．当 = 时， △ 是直角三角形
3
C．当 = 32时， △ 是钝角三角形 D
5
．当 = 3时， △ 是等腰三角形
27．（24-25 高二上·广东潮州·开学考试）在 △ 中，角 ， ， 的对边分别为 sin = sin = sin ， ， ，若 3 4
( 为非零实数），则下列结论错误的是（ ）
A．当 = 5时， △ 是直角三角形 B．当 = 3时， △ 是锐角三角形
C．当 = 2时， △ 是钝角三角形 D．当 = 1时， △ 是钝角三角形
28．（23-24 高一下·陕西西安·期中）在 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , ，下列四个命题中正确的是
（ ）
A．若 cos + cos = ,则 △ 是等腰三角形
B．若 sin + sin > sin ，则 △ 为锐角三角形
C ．若cos = cos = cos ，则 △ 一定是等边三角形
D．若 cos = cos ，则 △ 一定是等腰三角形
题型 8 三角形（四边形）的面积问题
平面向量线性运算的坐标表示
29．（23-24 高一下·平山面向东量线菏性泽运算·的期坐末标表）示 在 △ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ， 是 上的点， 平分
∠ ，且 = 1， sin + 3 cos = 0，则 △ 面积的最小值为（ ）
A．1 B． 3 C．2 D．2 3
30．（23-24 高一下·辽宁抚顺·期末）在 △ 中，已知sin + 3cos = 2， = 2， 2 sin = sin2 ，则
△ 的面积是（ ）
A． 3 +1 B．2 3 +2 C． 3 1 D．2 3 2
31．（23-24 高二下·江苏南京·期中） △ 中， = 2， = 2 3，∠ = 90°，D 为线段 CB 的中点，
点 E，F 分别在线段 BA，AC 上．若 △ 为正三角形，则 △ 的面积为（ ）
A 3 3 B 3 3 C 7 3 D 3 3． ． ． ．
16 8 16 28
π
32．（23-24 高一下·云南大理·阶段练习）在 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , ，若 = 2， = 6，则下
列结论正确的是（ ）
A．若 = 3，则 △ 有两解
B．若 = 45°，则 = 2 + 6
C． △ 的周长有最大值 6
D． △ 的面积有最大值2 + 3
题型 9 求三角形中的边长或周长的最值或范围
平面向量线性运算的坐标表示
2 2 2
33 23-24 ( + )sin
2
．（ 高一下·平宁面向夏量线石性嘴运算山的坐·期标表末示 ）在 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , ，若 2 sin cos + 2 +
= 0， = 3，则 + 的取值范围是（ ）
A． 3，2 B．( 3,2] C． 3 ，1 D． 3 12 2 ，
34．（2024·江西赣州·模拟预测）在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
= 2 ， = 2，则 △ 的周长的取值范围是（ ）
A．(4 + 2 2,6 + 2 3) B．[4 + 2 2,6 + 2 3)
C．(4 + 2 2,6 + 2 3] D．[4 + 2 2,6 + 2 3]
35．（23-24 高一下·福建龙岩·期末）在锐角 △ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若cos2 + cos
cos( ) = sin sin ， = 2 3，则 △ 周长的取值范围是（ ）
A．(6 3,6 + 6 3) B．(3 + 3 3,6 + 6 3)
C．(3 + 3 3,9 3) D．(6 3,9 3)
π
36．（23-24 高三上·福建龙岩·期中）设 △ 的内角 , , 的对边分别为 , , ， = 2 3， = 3，下列结论
正确的是（ ）
A．若 = 15，则满足条件的三角形只有 1 个
B． △ 面积的最大值为3 3
C． △ 周长的最大值为6 3
D △ 1．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 ,22
题型 10 复数的模的几何意义
平面向量线性运算的坐标表示
37．（2024·黑龙江哈平面尔向量滨线·性模运算拟的预坐标测表示）已知 1 = 2 2i，| 2 i| = 1，则| 2 1|的最大值为（ ）
A．2 3 B．2 2 C． 5 +1 D． 13 +1
38．（24-25 高一下·全国·课后作业）复数 满足关系式：2| |2 7| | +3 = 0，则复数在复平面内对应点的轨
迹是（ ）
A．两条直线 B．一条直线和一个圆
C．两个圆 D．一个圆
39．（2024·山西太原·一模）复平面内复数 满足| 2| = 1，则| i|的最小值为（ ）
A．1 B． 5 1 C． 5 +1 D．3
40．（23-24 高一下·浙江台州·期中）已知复数 1， 2满足| 1 4i| = | 1 5i|，| 2 1 + 2i| = 2（i为虚数单
位），则下列结论正确的是（ ）
A．| 1| > |
1
2| B．| | = 1 1
C 1．| 2 1|的最小值为2 D．| 2 1|的最小值为 4
题型 11 根据复数的四则运算结果求复数特征
平面向量线性运算的坐标表示
41．（23-24 1+ i高一下·平湖面向北量线·期性运中算的）坐已标表知示 复数 = 1 i ，其中i为虚数单位， ∈ R，若 为纯虚数，则复数 +
在复平面内对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
42．（23-24 高三上·全国·阶段练习）复数 满足( + 2)i = 1 i（i为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是
（ ）
A． 3 B．1 C．i D． i
43．（23-24 高三上·江苏苏州·阶段练习）设复数 对应的点在第四象限，则复数 (1 + i)1016对应的点在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
44 1 3i．（23-24 高一下·安徽黄山·期中）已知复数 = 1+i （i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．复数 的虚部等于 2i B． = 5
C． + = 2 D．若 是实数， + 是纯虚数，则 = 1
题型 12 空间几何体的截面问题
平面向量线性运算的坐标表示
45．（23-24 高二下·平浙面向江量线杭性州运算·的期坐末标表）示 在正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 1和 1上的点，
= 13 =
1
1， 3 1，那么正方体中过点 ， ， 的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
46．（23-24 高一下·浙江杭州·期末）已知正四面体 中， 是棱 上一点，过 作平面 ，满足 // ,
// ，若 到平面 的距离分别是 3 和 9，则正四面体 的外接球被平面 截得的截面面积为（ ）
A．99π B．100π C．103π D．108π
47．（23-24 高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为2 3的正三棱锥 中，∠ = ∠ = ∠ = 40 ，
过 作截面 ，则截面的最小周长为（ ）
A．2 2 B．4 C．6 D．10
48 23-24 1．（ 高一下·云南·期末）一块正方体形木料如图所示，棱长为 3，点 在线段 1 1上，且 = 31
1，过点 将木料锯开，使得截面过 ，则（ ）
A． ⊥
B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C．截面的面积为2 3
D 3π．以 为球心， 为半径的球面与截面的交线长为
2
题型 13 几何体与球的切、接问题
平面向量线性运算的坐标表示
49．（23-24 高三下·平云面向南量线·阶性运段算的练坐习标表）示 如图所示的三棱锥 中， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
⊥ ，且 = 10， = 5，则其外接球表面积的最小值为（ ）
A 25π B 20π C 125π D 65π． ． ． 6 ． 3
50．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥 的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为
（ ）
A．4:1 B．3:1 C．2:1 D．8:1
51．（2024·四川·三模）如图，在梯形 中， ∥ , = 4, = = = 2，将 △ 沿对角线
折起，使得点 翻折到点 ，若面 ⊥ 面 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A．16π B．20π C．24π D．32π
52．（23-24 高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（多选题）已知四面体 ABCD 的一个平面展开图如图
所示，其中四边形 AEFD 是边长为2 2的菱形，B，C 分别为 AE，FD 的中点， = 2 2，则在该四面体中
（ ）
A． ∥
B．BE 210与平面 DCE 所成角的余弦值为
15
C．四面体 ABCD 的外接球表面积为9π
D．四面体 ABCD 的内切球半径为 105
30
题型 14 空间中的点共线、点（线）共面问题
平面向量线性运算的坐标表示
53．（23-24 高一下·平河面向南量线三性门运算峡的坐·阶标表段示 练习）如图正方体或四面体， , , , 分别是棱的中点，这四个点不共
面的图是（ ）
A． B．
C． D．
54．（24-25 高三上·河北唐山·期中）如图所示， 1 1 1 1是长方体， 是 1 1的中点，直线 1 交
平面 1 1于点 ，给出下列结论：
① ， ， 三点共线；
② ， ， ， 1不共面；
③ ， ， ， 共面；
④ ， 1， ， 共面.其中正确结论的序号为（ ）
A．①④ B．③④ C．①③ D．②④
55．（24-25 高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体 1 1 1 1中，P，Q 分别是棱 1， 1的
中点，平面 1 ∩ 平面 = ，则下列结论错误的是（ ）
A． 过点 B
B． 不一定过点 B
C． 1 的延长线与 的延长线的交点在 上
D． 1 的延长线与 的延长线的交点在 上
56．（23-24 高一下·四川广安·期中）如图所示，在空间四边形 中，点 , 分别是边 , 的中点，点 ,
, = 2分别是边 上的三等分点，且 = 3，则下列说法正确的是（ ）
A． , , , 四点共面
B． 与 异面
C． 与 的交点 可能在直线 上，也可能不在直线 上
D． 与 的交点 一定在直线 上
题型 15 平行与垂直关系的综合应用
平面向量线性运算的坐标表示
57．（23-24 高一下·平江面向苏量线扬性州运算·的期坐末标表）示 在正方体 1 1 1 1中， , , , 分别是棱 1, , , 1 1的中
点，下列结论正确的是（ ）
A． ∥ 1 B． 1 ⊥
C． ⊥ 平面 1 1 D．平面 1 ∥ 平面 1
58．（23-24 高一下·黑龙江鹤岗·期末）如图，在正四棱锥 中， , , 分别是 , , 的中点，当点
在线段 上运动时，下列四个结论：
① ⊥ ；② // ；③ //平面 ；④ ⊥ 平面 .
其中恒成立的为（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
59．（2024·四川眉山·三模）如图，该组合体由一个正四棱柱 1 1 1 1和一个正四棱锥 1 1 1 1
组合而成，已知 = 2, 1 = 2, 1 = 2，则（ ）
A． 1//平面 1 1 B． 1//平面 1 1
C． 1 ⊥ 平面 1 D． 1 ⊥ 平面 1
60．（23-24 高一下·福建莆田·期末）在棱长为 6 的正方体 1 1 1 1中，点 为棱 1的中点，则
（ ）
A． 1 ⊥ 1
B．平面 //平面 1 1
C．平面 ⊥ 平面 1 1
D．平面 1 1截该正方体外接球的截面面积为24π
题型 16 求空间角
平面向量线性运算的坐标表示
61．（23-24 高一下·平安面向徽量黄线性山运算·期的坐末标表）示 △ 中， = = 4，∠ = 120°. 为 中点， 为线段 上靠
近点 的四等分点，将 △ 沿 翻折，使 到 的位置，且平面 ⊥ 平面 ，则异面直线 与 所
成角的余弦值为（ ）
A 5 19． B． 51 C．5 51 D 1．
38 5 5 2
62．（23-24 高一下·河南新乡·期末）在正三棱柱 1 1 1中， 1 = ，M 是 AB 的中点，N 是棱 1 1
上的动点，则直线 与平面 1 1所成角的正切值的最大值为（ ）
A 1．2 B．
2 C 3． D 3．
2 2 4
63．（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）如图，四棱锥 的底面 为矩形，且 ⊥ 平面 ，
若 = 2 = 2 ，则下列结论错误的是（ ）
A 6．直线 与平面 所成角的正弦值为 B．平面 ⊥ 平面
6
C． ⊥ D．二面角 2的余弦值为3
64．（23-24 高一下·江苏宿迁·阶段练习）如图：在三棱锥 中， ⊥ 面 ， △ 是直角三角形，
∠ = 90 ， = = 2，∠ = 45 ，点 分别为 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． ∥ 平面
B． , 所成的角为45
C 10．直线 与平面 所成的角的正弦值为
10
D 1．二面角 的余弦值为 3
题型 17 点、线、面的距离问题
平面向量线性运算的坐标表示
65．（23-24 高一下·平河面向南量周线性口运算·的期坐末标表）示在平行四边形 中，∠ = 60 ， = 1, = 2，将 △ 沿 折
起，使得平面 ⊥ 平面 ，则 到平面 的距离为（ ）
A 3 3． B． 2 C． 5 D．
3 2 3 2
66．（23-24 高一下·湖北武汉·期末）已知棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， 分别为 和 的中
点，则 到平面 1 1 的距离为（ ）
A 3 B 6 C 3 6． ． ． D．
3 3 2 2
π
67．（23-24 高一下·广东惠州·期末）已知直三棱柱 1 1 1的体积为 8，二面角 1 的大小为4，
且 = ， 1 = 2，则点 1到平面 1的距离为（ ）
A． 2 B 2 C 2． ． D． 22 3 4
68．（2024·河北·模拟预测）如图，正四面体 的棱长为 ，则（ ）
A 3．点 到直线 的距离为
2
B 6．点 到平面 的距离为
3
C．直线 与平面 3所成角的余弦值为
2
D 1．二面角 的余弦值为3
