2024-2025 学年高一下学期第一次月考数学试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）下面命题中，正确的是（ ）
A．若| | = | |，则 = B．若| | > | |，则 >
C．若 = ，则 // D．若| | = 0，则 = 0
【解题思路】根据向量的概念逐一判断
【解答过程】对于A，若| | = | |，但两向量方向不确定，则 = 不成立，故选项A错误；
对于B，向量无法比较大小，故选项B错误；
对于C，若 = ，则两向量反向，因此 // ，故选项C正确；
对于D，若| | = 0，则 = 0，故选项D错误.
故选：C.
2．（5 分）复数 = 1 2i，则（ ）
A． 的实部为 1 B． 的虚部为 2i
C． 的虚部为 2 D． 的虚部为 1
【解题思路】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解.
【解答过程】复数 = 1 2i的实部为 1，虚部为 2，ABD 错误，C 正确.
故选：C.
3．（5 分）已知向量 , , 满足| | = | | = 1,| | = 3，且 + + = 0，则 与 的夹角等于（ ）
π π
A．6 B
2π 5π
．3 C． 3 D． 6
2 2
【解题思路】由 + + = 0，可得 + = ，即 + = ，利用向量数量积的运算求解.
【解答过程】由 + + = 0，则 + = ，
2 2 2
∴ + = ，即| | = | |2 + | |2 +2 ，
∴ 1 = 1 + 3 + 2 × 1 × 3cos , 3，解得cos , = ，又2 , ∈ [0,π]，
所以 与 5π的夹角为 6 .
故选：D.
4．（5 分）复数 满足(1 + i) = 1 i（i为虚数单位），则复数 + 1在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】应用复数除法求复数，即可得 + 1 = 1 i，根据其对应点坐标确定所在象限.
1 i (1 i)2
【解答过程】 = 1+i = 2 = i，则 + 1 = 1 i，对应点为(1, 1)位于第四象限.
故选：D.
5．（5 分）在 △ 中，点 为线段 的中点，点 满足 = 2 ，若 = + ，则 + 的值为
（ ）
A 1 B 1 1 1．2 ．4 C． 2 D． 4
【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将 用 , 表示出来，从而可求出 , ，进而可求得结果.
【解答过程】因为点 D 为线段 BC 的中点，点 E 满足 = 2 ，
1 = ( + )
所以 2
2 = +
，所以
= = 1 3 = 3
，
3
消去 ，得2 3 = 4 ，
1 3
所以 = 2 4 = + ，
1 3 1
所以 = 2， = 4，所以 + = 4．
故选：D．
3
6 1 3．（5 分）棣莫佛定理：若复数 = (cos + isin )，则 = (cos + isin )，计算 + i =2 2 （ ）
A 1 B 1 + 3i C 1 3i D 1 3． ． 2 ． ． i2 2 2 2 2
1 3 π π 1
3
3
【解题思路】变形得出2 + i = cos3 + isin3，再由棣莫佛定理可求得 + i2 2 2 的值.
1 3 π π
【解答过程】因为2 + i = cos2 3 + isin3，
1 33 π π
3
所以， + i = cos + isin = cosπ + isinπ = 12 2 3 3 .
故选：A.
7．（5 分）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角
越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为 1, 2，且| 1| = | 2|，设 1, 2的夹角为 ，旅行包所受
的重力为 ，由相关知识可以知道| | = 2| 1|cos2，当| 1| = | |时， 等于（ ）
A 2π 3π 5π． 3 B． 4 C． 6 D．π
【解题思路】根据给定条件，求出cos2即可得解.
1 π
【解答过程】由| | = 2| 1|cos2，| 1| = | |，得cos2 = 2，而0 ≤ ≤ π，解得2 = 3，
= 2π所以 3 .
故选：A.
8．（5 分）在 △ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，∠ = 120°， = 2， = 1， 为 边上
一点，且∠ = 90°，则 △ 的面积为（ ）
A 3 B 3． ． C 3 3． D．
4 5 6 10
1 1 1
【解题思路】由已知可得2 sin∠ = 2 · ·sin∠ + 2 · ·sin∠ ，可求 ，可求 △ 的面积.
【解答过程】因为在 △ 中，∠ = 120°，又 为 边上一点，且∠ = 90°，
所以∠ = ∠ ∠ = 120° 90° = 30°，
1 1
又 △ = △ + △ ，所以2 sin∠ = 2 · ·sin∠ +
1
2 · ·sin∠ ，
1
所以2 × 1 × 2 ×
3 = 1 × 2 × + 1 1 2 3
2 2 2
× 1 × × 2，解得 = ，5
所以 1 2 3 1 3△ = 2 × 1 × × = .5 2 10
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）下列说法错误的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量 与 是共线向量，则 , , , 四点共线
C．若非零向量 与 共线，则 =
→ →
D．若 = ，则| | = | |
【解题思路】利用向量的定义、共线向量、向量相等、向量的模的概念进行确定即可．
【解答过程】对于 A，两个有共同起点且相等的向量，其终点相同，A 错误；
对于 B，如平行四边形 中， 与 共线，但 , , , 四点不共线，B 错误；
对于 C，两个非零向量共线，说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，
方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量，C 错误；
对于 D，向量相等，即大小相等、方向相同，D 正确．
故选：ABC.
10 1 3．（6 分）已知虚数 满足 = 2 + i，则（ ）2
A 1 3． 的实部为 2 B． 的虚部为 2
C．| | = 1 D． 在复平面内对应的点在第三象限
【解题思路】根据共轭复数概念写出 ，进而判断各项的正误.
1 3 1 3
【解答过程】由 = 2 + i，得 = i，2 2 2
1 3
所以 的实部为 2, 的虚部为 ,| | = 1，2
( 1在复平面内对应的点 2,
3)在第三象限，
2
故选：ACD.
11．（6 分）已知 △ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若 cos = cos ，则 △ 为等腰三角形
B．若 = 2 ，则 = 2 cos
C．若 = 3， = 2 ，则 △ 面积最大值为 3
D． = 2π3 ，角 B 的平分线 BD 交 AC 边于 D，且 = 3，则 + 的最小值为 12
【解题思路】根据正弦定理和二倍角公式即可判断 AB；对 C，利用余弦定理和二次函数性质即可判断；对
D，根据三角形面积公式和乘“1”法即可判断.
【解答过程】对于 A：若 cos = cos ，根据正弦定理则sin cos = sin cos ，
即sin2 = sin2 ，因为2 ,2 ∈ (0,π)，所以2 = 2 或2 + 2 = π
π
即 = 或 + = 2，所以 △ 为等腰三角形或直角三角形，A 错误；
对 B，因为 = 2 ，则sin = sin2 ，sin = 2sin cos ，
则根据正弦定理有 = 2 cos ， 故 B 正确；
对 C，设 = , = 2 + 2 > 3， 2 < 3 1 < < 3.
cos = 9+
2 4 2 9 3 2
则 2×3× = 6 ，
2
sin = 1 cos2 = 1 9 3
2 = 9 41 54
2+81
，
6 36 2
1 3 4 2
所以 △ = 2| | | | sin = 1
9 54 +81
2 36 2
= 3 4+10 2 9 = 3 4 32 2 4 + 10 2 9 = ( 2 5)2 + 16，4 4
当 2 5 = 0, = ∈ 35 (1,3)时，三角形 的面积取得最大值4 × 16 = 3，故 C 正确；
对 D，由题意可知， △ = △ + △ ，
1 2π 1 π 1 π
由角平分线性质和三角形面积公式得2 sin 3 = 2 × 3 × sin3 + 2 × 3 × sin3，
1 1 1
化简得 = 3( + )，即 + = 3，
因此 + = 3( + ) 1 + 1 = 3 2 + + ≥ 3(2 + 2 · ) = 12，
当且仅当 = ，即 = = 6时取等号，即 + 的最小值为12，则 D 正确.
故选：BCD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1．（5 分）复数 满足 + = | |，则| |的实部为 2 ．
【解题思路】设 = + i( , ∈ R)，根据复数相等可得3 2 = 2，故可求| |的实部.
【解答过程】设 = + i( , ∈ R)，∴ + i + i = 2 = 2 + 2，，
+ i
∴ + i 1
1
| | = = 2+ 2 2 = 2 + 2 i，则| |的实部为2.
1
故答案为：2.
13．（5 分）已知 △ 中， = 2 2,∠ = 45°, 为 上一点，且 = 2 , ⊥ ，垂足为 ，则
=
43 ．
【解题思路】以 为坐标原点， , 所以直线为 轴， 轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出 , 的
坐标，即可求出结果.
【解答过程】如图，以 为坐标原点， , 所以直线为 轴， 轴，建立平面直角坐标系，
因为 = 2 2,∠ = 45°， ⊥ ，所以 = = 2，则 (0,0), (2,0), (0,2)，
又 = 2 ，过 作 ⊥ 于 ，易知 // 1，所以 = = 3,
1 2 2
得到 = 3 = 3，设 0, ，3
则 = 2 4(0, 2), = 0 2,
2
，所以 = 0 × ( 0 2) + ( 2) × 3 = 3 3，
4
故答案为： 3.
14．（5 分）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称
之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高约为 36m，在它们
之间的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）处测得建筑物顶 A、教堂顶 C 的仰角分别是 45°和 60°，在建筑
物顶 A 处测得教堂顶 C 的仰角为 15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度 CD 约为 54m ．
【解题思路】根据题意求得 ，在 △ 中由正弦定理求出 ，即可在直角 △ 中求出 .
【解答过程】由题可得在直角 △ 中，∠ = 45°， = 36，所以 = sin45° = 36 2，
在 △ 中，∠ = 180° 60° 45° = 75°，∠ = 15° + 45° = 60°，
所以∠ = 180° 75° 60° = 45°，
36 2× 3
所以由正弦定理可得 2sin45° = sin60°，所以 = 2 36 3，
2
则在直角 △ 中， = sin60° = 54，
即圣·索菲亚教堂的高度约为 54m.
故答案为：54m.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）设 ∈ R，复数 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 )i.
(1)求 m 为何值时，z 为纯虚数；
(2)若复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求 m 的取值范围.
【解题思路】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可；
（2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于 0，同时纵坐标小于 0，据此列出不等式求解即可.
【解答过程】（1）由 2 5 + 6 = 0解得 = 2或 = 3；
当 = 2时， = 2i是纯虚数，
当 = 3时， = 0为实数，
所以 = 2.
（2）因为 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 )i在复平面内对应的点位于第四象限，
2 5 + 6 > 0
所以 2 3 < 0 ，解得0 < < 2.
16．（15 2π分）已知平面向量 、 满足| | = 4，| | = 8， 与 的夹角为 3 ．
(1)求| |；
(2)当实数 为何值时， + ⊥ ．
【解题思路】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可；
（2）根据条件得 + = 0，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可.
2π
【解答过程】（1）因为| | = 4，| | = 8， 与 的夹角为 3 ．
所以 = | | | |cos2π3 = 4 × 8 ×
1 = 16，
2
| | = 2 = 2 2 + 2所以 = 42 2 × ( 16) + 82 = 4 7.
（2）因为 + ⊥ ，
2
所以 + = 2 + ( 2 1) = 16 16( 2 1) 64 = 0，
化为 2 +3 1 = 0 = 3± 13，解得 .
2
17．（15 分）如图，在等腰梯形 中，2 = 2 = 2 = = 6， ， 分别为 ， 的中点，
与 交于点 ．
(1)令 = ， = ，用 ， 表示 ；
(2)求线段 的长．
【解题思路】（1）由向量的线性运算求解；
1 1
（2）利用 , , 三点共线， , , 三点共线，求得 = 3 + 3 ，同时证明 △ 是等边三角形，然后
1 1
把 = 3 + 3 平方可得．
【解答过程】（1）∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ = = 12 2 =
1
2 2 ；
（2）设 = + ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
所以 = + = 2 + = +2 ，
因为 , , 三点共线， , , 三点共线，
1
2 + = 1 =
所以 3 + 2 = 1 ，解得 = 1
，
3
= 1即 3 +
1
3 ，
由已知 与 平行且相等，因此 是平行四边形，
所以 = = = = 3， △ 是等边三角形，
| |2 2 2 2 2 = = ( 1 + 1 ) = 19( +2 + )3 3 =
1
9(6
2 +2 × 6 × 3cos60° + 32) = 7
所以 = 7．
18．（17 分）已知关于 的实系数一元二次方程 2 2 + = 0.
(1)若方程有一个根1 + 2i（i是虚数单位），求 的值；
(2)若方程有两虚根 1, 2，且| 1 2| = 3，求 的值.
【解题思路】（1）由已知条件得1 2i是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解.
（2）先设 1 = + i, 2 = i, 、 ∈ R，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解.
【解答过程】（1）由题意可知1 2i是方程的另一复数根，
2
所以(1 2i)(1 + 2i) = 1 ( 2i) = 1 + 2 = 3 = ，
所以 = 3.
（2）设 1 = + i, 2 = i, 、 ∈ R，
则由题意 1 + = 2 = 2, = 2 2i22 1 2 = 2 + 2 = 且Δ = 4 4 < 0，
所以 = 1, 2 = 1, > 1，
所以| 1 2| = |2 i| = (2 )2 = 4 2 = 4( 1) = 3，
13
解得 = 4 .
19．（17 分）在锐角 △ 中，角 A， ， 的对边分别为 a，b，c，S 为 △ 的面积，且2 = 2
( )2.
(1)求sin + 2cos 的值；
(2)已知 = 2，求 △ 的面积的最大值.
【解题思路】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得sin = 2 2cos ，即可得结果；
（2）根据同角关系求sin ,cos ，利用余弦定理结合面积公式可得 ≤ 5，即可面积最大值.
【解答过程】（1）因为2 = 2 ( )2 1，且 = 2 sin ，
可得 sin = 2 ( 2 + 2 2) = 2 2 cos ，
即sin = 2 2cos ，所以sin + 2cos = 2.
（2）因为sin = 2 2cos ，
又因为sin2 + cos2 = 1，即(2 2cos ) + cos2 = 1，
整理可得5cos2 8cos + 3 = 0，解得cos = 35或cos = 1，
又因为 ∈ 3 40, π ，则cos = 2
2 5
，sin = 1 cos = 5，
由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 cos 6，即4 = 2 + 2 5 ，
整理可得 2 + 2 = 4 + 65 ，
又因为 2 + 2 = 4 + 65 ≥ 2 ，即 ≤ 5，
当且仅当 = = 5时，等号成立，
且此时为 △ 为锐角三角形，符合题意，
1 4
所以 △ 的面积的最大值为2 × 5 × 5 = 2.2024-2025 学年高一下学期第一次月考数学试卷（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第二册第六章、第七章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）下面命题中，正确的是（ ）
A．若| | = | |，则 = B．若| | > | |，则 >
C．若 = ，则 // D．若| | = 0，则 = 0
2．（5 分）复数 = 1 2i，则（ ）
A． 的实部为 1 B． 的虚部为 2i
C． 的虚部为 2 D． 的虚部为 1
3．（5 分）已知向量 , , 满足| | = | | = 1,| | = 3，且 + + = 0，则 与 的夹角等于（ ）
π π
A B 2π 5π．6 ．3 C． 3 D． 6
4．（5 分）复数 满足(1 + i) = 1 i（i为虚数单位），则复数 + 1在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（5 分）在 △ 中，点 为线段 的中点，点 满足 = 2 ，若 = + ，则 + 的值为
（ ）
A 1 1 1 1．2 B．4 C． 2 D． 4
6 5 1
3
3
．（ 分）棣莫佛定理：若复数 = (cos + isin )，则 = (cos + isin )，计算 + i =2 2 （ ）
A 1 B 1 3 1 3 1 3． ． 2 + i C． 2 i D．2 i2 2 2
7．（5 分）在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角
越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为 1, 2，且| 1| = | 2|，设 1, 2的夹角为 ，旅行包所受
的重力为 ，由相关知识可以知道| | = 2| |cos 1 2，当| 1| = | |时， 等于（ ）
A 2π 3π 5π． 3 B． 4 C． 6 D．π
8．（5 分）在 △ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，∠ = 120°， = 2， = 1， 为 边上
一点，且∠ = 90°，则 △ 的面积为（ ）
A 3 B 3 C 3 D 3． ． ． ．
4 5 6 10
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）下列说法错误的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量 与 是共线向量，则 , , , 四点共线
C．若非零向量 与 共线，则 =
→ →
D．若 = ，则| | = | |
10 6 1 3．（ 分）已知虚数 满足 = 2 + i，则（ ）2
A． 的实部为 12 B．
3
的虚部为
2
C．| | = 1 D． 在复平面内对应的点在第三象限
11．（6 分）已知 △ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若 cos = cos ，则 △ 为等腰三角形
B．若 = 2 ，则 = 2 cos
C．若 = 3， = 2 ，则 △ 面积最大值为 3
D． = 2π3 ，角 B 的平分线 BD 交 AC 边于 D，且 = 3，则 + 的最小值为 12
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）复数 满足 + = | |，则| |的实部为 ．
13．（5 分）已知 △ 中， = 2 2,∠ = 45°, 为 上一点，且 = 2 , ⊥ ，垂足为 ，则
=
．
14．（5 分）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称
之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高约为 36m，在它们
之间的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）处测得建筑物顶 A、教堂顶 C 的仰角分别是 45°和 60°，在建筑
物顶 A 处测得教堂顶 C 的仰角为 15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度 CD 约为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）设 ∈ R，复数 = ( 2 5 + 6) + ( 2 3 )i.
(1)求 m 为何值时，z 为纯虚数；
(2)若复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求 m 的取值范围.
16 2π．（15 分）已知平面向量 、 满足| | = 4，| | = 8， 与 的夹角为 3 ．
(1)求| |；
(2)当实数 为何值时， + ⊥ ．
17．（15 分）如图，在等腰梯形 中，2 = 2 = 2 = = 6， ， 分别为 ， 的中点，
与 交于点 ．
(1)令 = ， = ，用 ， 表示 ；
(2)求线段 的长．
18．（17 分）已知关于 的实系数一元二次方程 2 2 + = 0.
(1)若方程有一个根1 + 2i（i是虚数单位），求 的值；
(2)若方程有两虚根 1, 2，且| 1 2| = 3，求 的值.
19．（17 分）在锐角 △ 中，角 A， ， 的对边分别为 a，b，c，S 为 △ 的面积，且2 = 2
( )2.
(1)求sin + 2cos 的值；
(2)已知 = 2，求 △ 的面积的最大值.
