2024-2025 学年高一下学期期中数学试卷（巩固篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）下列命题正确的是（ ）
A．若 、 都是单位向量，则 =
B．若 = ，则四点 A、B、C、D 构成平行四边形
C． 与 是两平行向量
D．若 = 2 ≠ 0 ，则 是 的相反向量
【解题思路】对于 A，根据单位向量的定义分析判断，对于 B，根据相等向量的定义分析判断，对于 C，根
据平行向量的定义分析判断，对于 D，根据相反向量的定义分析判断.
【解答过程】对于 A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以 A 错误，
对于 B，当 = ，且 A，B，C，D 四点共线时，四点 A、B、C、D 不能构成平行四边形，所以 B 错误，
对于 C，因为 = ，所以 与 是两平行向量，所以 C 正确，
对于 D，相反向量的长度相等，显然 = 2 ≠ 0 时， 不是 的相反向量，所以 D 错误.
故选：C.
2．（5 分）已知2 + i是关于复数 的方程 2 + = 0( , ∈ )的一根，则 + = （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】根据虚根成对原理可得2 i也是方程的根，再由韦达定理计算可得.
【解答过程】因为2 + i是关于复数 的方程 2 + = 0( , ∈ )的一根，
所以2 i也是关于复数 的方程 2 + = 0( , ∈ )的一根，
= (2 + i) + (2 i) = 4
所以 = (2 + i)(2 i) = 5 ，
所以 + = 9.
故选：C.
3 5 2
．（ 分）如图，在 △ 中， 是边 BC 的中点， 是 AM 上一点，且 = 3 + 2 ，则 = （ ）
A 1 1 1 2．3 B．6 C．2 D．5
【解题思路】根据向量的线性运算求解即可.
→ →
【解答过程】因为 是 上一点，可设 = ，
→ → → → → → → → → → → →
由题意知 = + = + = + ( ) = (1 ) + 2 =
2
3 + 2 ,
1 = 2
= 1
3 3 1所以 , 解得 1 ，所以 = 3，= =
2 2 3
故选：A.
4．（5 分）一水平放置的平面四边形 的直观图 ′ ′ ′ ′如图所示，其中 ′ ′ = ′ ′ = 1， ′ ′ ⊥ ′轴，
′ ′ ⊥ ′轴， ′ ′ // ′轴，则四边形 的面积为（ ）
A 3．3 2 B．3 2 C．3 D．2 2
【解题思路】结合图形可得 ′ ′ = 2，则可得四边形 ′ ′ ′ ′面积，后可得四边形 的面积.
【解答过程】设 ′轴与 ′ ′交点为 D，因 ′ ′ ⊥ ′轴， ′ ′ ⊥ ′轴，则 ′ ′// ′ ′，
又 ′ ′// ′轴，则四边形 ′ ′ ′为平行四边形，故 ′ = ′ ′ = 1.
又∠ ′ ′ ′ = 45o，结合 A′B′⊥x′轴，则 ′ = ′ ′ = 1，故 ′ ′ = 2.
1 3
则四边形 ′ ′ ′ ′面积为2 × (1 + 2) × 1 = 2，
因四边形 ′ ′ ′ ′面积是四边形 的面积的 2倍，
4
则四边形 OABC 的面积为3 2.
故选：B.
5．（5 分）在复平面内，已知 = 10i3+i，则下列说法正确的是（ ）
A． 的虚部为3i
B． 在复平面内对应的点位于第二象限
C．| | = 10
D． 的共轭复数 = 3i 1
【解题思路】应用复数的除法化简复数，进而确定虚部、对应点所在象限、求模长和共轭复数，即可得答
案.
= 10i
10i(3 i)
【解答过程】由 3+i = (3+i)(3 i) = 1 + 3i，所以 的虚部为 3，A 选项错误；
在复平面内对应的点为(1,3)，在第一象限，B 选项错误；
| | = 10，C 选项正确；
= 1 3i，D 选项错误.
故选：C.
6．（5 分）已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中 = 3, = 6,∠ = 2π3 ，若此圆台的上、下底面圆
周都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A．36π B．54π C．64π D．68π
【解题思路】由对应关系可得圆台的上、下底面圆半径分别为1,3，进而计算出圆台的高，设球心 到 点所
在的底面的距离为 ，表示 到 点所在底面的距离，利用球半径相等建立等量关系，解方程即可得到结果.
【解答过程】设圆台的上、下底面圆半径分别为 1, 2，
= 2由题意得， 3π × 3 = 2π=2π 1， =
2
3π × 9 = 6π=2π 2，解得 1 = 1, 2 = 3.
如图，设圆台的上、下底面圆心分别为 1, 2，则圆台的高为 62 (3 1)2 = 4 2.
设球 的半径为 ，球心 到 点所在的底面的距离为 ，则到 点所在的底面的距离为|4 2 |，
2 + 12 = 2 27
由题意得， 5 2 2|4 2 |2 + 32 = 2 ，解得 = = ，2 ， 2
27
所以球 的表面积为4π 2 = 4π × 2 = 54π.
故选:B.
2 2 sin( + )
7．（5 分）在 △ + 中，角 ， ， 分别为 ， ， 三边所对的角， 2 2 = sin( )，则 △ 的形状是
（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解题思路】先化简应用两角和差的正弦公式，再应用正弦定理结合余弦定理得出( 2 + 2) ( 2 2) =
( 2 2) 2，最后得出边长关系即可判断三角形形状.
2+ 2 sin( + )
【解答过程】由 2 2 =
2 2
sin( )得：( + ) sin( ) = ( 2 2)sin( + )，且 ≠ ，
∴ ( 2 + 2) (sin cos cos sin ) = ( 2 2)(sin cos + cos sin )，且 ≠ ，
∴ ( 2 + 2) ( cos cos ) = ( 2 2)( cos + cos )，
∴ ( 2 + 2)
2+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = ( 2 2) + + + ，
2 2 2 2
化简整理得：( 2 + 2) ( 2 2) = ( 2 2) 2，即( 2 + 2 2)( 2 2) = 0，
∴ 2 = 2或 2 + 2 = 2，又 ≠ ，
∴ △ 是直角三角形但一定不是等腰三角形．
故选：C．
8．（5 分）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为1， 为棱 1的中点， 为底面正方形 内（含边
界）的动点，则（ ）
A．三棱锥 1 1 1 的体积大小不确定
B．当 1 ⊥ 1时， 1 ⊥
C．直线 1 //平面 1
D 2．直线 1 与平面 1 1所成角的正弦值为3
【解题思路】对于 A 项：以点 为顶点， △ 1 1 1为底面研究三棱锥的体积即可；
对于 B 项：在矩形 1 1内思考即可判断；
对于 C 项：在矩形 1 1中即可判断 1 与 的关系，从而判断 1 与平面 1 的关系；
对于 D 项：利用线面角的定义可作出线面角，再解三角形即可；
【解答过程】解：对于 A 项：因为 为底面正方形 内（含边界）的动点，所以点 到平面 1 1 1的距
离为 1 1 1，所以 三棱锥 1 1 1 = 三棱锥 1 1 1=3 × 1 × △ 1 1 1=6，故 A 错误；
对于 B 项：在矩形 1 1内，当 1 ⊥ 1时，显然 1 与 不垂直，故 B 错误；
对于 C 项：在平面 1 1内， 1 与 相交，所以 1 与平面 1 相交，故 C 错误；
对于 D 项：连接 1 ，因为 1 1 ⊥ 平面 1 1，
所以 1 是 1 在平面 1 1内的射影，
所以∠ 1 1为直线 1 与平面 1 1所成角，
所以在直角三角形 1 1中，
1
sin∠ 1 =
1 1 2
1 = 2+1 = 3，故 D 正确；1 4
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9 6 = 1 3i．（ 分）已知复数 1+i （i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．复数 的虚部等于 2i B． = 5
C． + = 2 D．若 是实数， + 是纯虚数，则 = 1
【解题思路】先化简复数 ，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可
求解.
1 3i (1 i)(1 3i)
【解答过程】由题意，复数 = 1+i = (1 i)(1+i) = 1 2i，
对于 A 项： = 1 2i，所以复数 的虚部等于 2，故 A 错误；
对于 B 项： = | |2 = 5，故 B 错误；
对于 C 项： + = ( 1 2i) + ( 1 + 2i) = 2，故 C 正确；
对于 D 项：因为 + 是纯虚数且 是实数，即 1 2i为纯虚数，所以 1 = 0，解得 = 1，故 D 正确．
故选：CD.
10．（6 分）如图，在 △ 中，BD 与 EC 交于点 G，E 是 AB 的靠近 B 的三等分点，D 是 AC 的中点，且
有 = + ， , ∈ (0, + ∞)，则下列命题正确的是（ ）
A． + 3 = 1
B．3 + 2 = 2
C． = 12 +
1
4
D．过 G 作直线 MN 分别交线段 AB，AC 于点 M，N，设 = ， = （ > 0， > 0），则
+ 2 的最小值为 2．
1 1
【解题思路】根据向量的线性运算法则计算可判断 A,B,C；利用共线定理的推论可得2 + 4 = 1，然后妙用
“1”可判断 D.
【解答过程】对于 A,B,C,设 = + 2 1，将 = 3 ， = 2 代入，
= 3 +
得 2 ，因为 E、G、C 三点共线，且 B、G、D 三点共线，
= + 2
3 + = 1 =
1
所以 2 ，得 2 ，
+ 2 = 1 = 1
4
= 1即 2 +
1
4 ．所以 A 错，B，C 正确；
D = 1对于 ， 2 +
1
4 ， = ， = ，
则 = 1 1 1 12 + 4 ，因为 M、G、N 三点共线，
1 + 1 2 1则2 4 = 1，即 + = 4，
+ 2 = 1 1( + 2 ) 2 + 1 4
4
= 2 + + + 2 ≥ 2，
4
2 + 1 = 4 = 1
当且仅当 ，即 = 1 时取得等号．所以 D 正确． = 2 2
故选：BCD．
11．（6 分）如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，M，N 分别为 1 1， 1 的中点，其中
不正确的结论是（ ）
A．直线 MN 与 AC 所成的角为60° B．直线 AM 与 BN 是平行直线
C．二面角 的平面角的正切值为 2 D．点 C 与平面 MAB 的距离为 2
【解题思路】利用线线平行结合异面直线的夹角即可求解 A，由异面直线的性质即可求解 B，根据二面角的
定义可得其平面角，即可根据三角形的边角关系求解 C，根据等体积法即可求解 D.
【解答过程】对于 A，连接 1， ∵ // 1，则直线 与 所成角为∠ 1或其补角，
∴△ 1为等边三角形， ∴ ∠ 1 = 60°， ∴ 直线 与 所成角为60°，故 A 对；
对于 B，取 1中点为 ，连接 ，由于 // ，而 , 相交，所以直线 ， 异面，故 B 错误；
对于 C，连接 , 相交于 ，连接 ,
由于 = = 22 + 12 = 5，所以 ⊥ , ⊥ ,
所以∠ 为二面角 的平面角，
1
在Rt △ 中，tan∠ = 2 = =2 ，故 C 错误，2
对于 D， = = 12 + 1 2 = 3，设 到平面 的距离为 ，
△
1
1 ×2×2×2
由 = 得 = = 2 1△ ×2 32 12 = 2，故 D 正确，2
故选：BC.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）若复数 = ( 2 + 6) + ( 2 4 + 3)i（其中i为虚数单位），当 对应的点在第三象限时，
则实数 的取值范围为 ( 3,1) ．
【解题思路】根据 对应的点在第三象限，则实部虚部均小于0列不等式即可求解.
2 + 6 < 0
【解答过程】由题意得 ( 2 4 + 3) < 0 ，解得 3 < < 1，
故答案为：( 3,1).
13．（5 分）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称
之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高约为 36m，在它们
之间的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）处测得建筑物顶 A、教堂顶 C 的仰角分别是 45°和 60°，在建筑
物顶 A 处测得教堂顶 C 的仰角为 15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度 CD 约为 54m ．
【解题思路】根据题意求得 ，在 △ 中由正弦定理求出 ，即可在直角 △ 中求出 .
【解答过程】由题可得在直角 △ 中，∠ = 45°， = 36，所以 = sin45° = 36 2，
在 △ 中，∠ = 180° 60° 45° = 75°，∠ = 15° + 45° = 60°，
所以∠ = 180° 75° 60° = 45°，
36 2× 3
所以由正弦定理可得sin45° =
2
sin60°，所以 = 2 36 3，
2
则在直角 △ 中， = sin60° = 54，
即圣·索菲亚教堂的高度约为 54m.
故答案为：54m.
14．（5 分）已知正方体 1 1 1 1的棱长为 3，点 是线段 上靠近 点的三等分点， 是 1 1中点，
则下列命题正确的有 ①②④ ．
①直线 与 所成角的正切值为3 5 ②三棱柱 1 1 3 31外接球的半径为4 2
③平面 31 截正方体所得截面为等腰梯形 ④点 到平面 1 1的距离为 2
【解题思路】借助等角定理可得直线 与 所成角与直线 与 所成角相等，计算出tan∠ 可判断①；
由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半可判断②；借助平行线的性质可作出
该截面，计算边长可判断③：借助等体积法计算可判断④.
【解答过程】对于①：由 // ，故直线 与 所成角与直线 与 所成角相等，
3 2
连接 ，可得 = 32 + = 3 5，又 = 2，
2 2
⊥ 平面 1 1， 平面 1 1，所以 ⊥ ，
故tan∠ = = 3 5 ，故①正确；4
对于②：三棱柱 1 1 1外接球与正方体 1 1 1 1外接球相同，
2 2 2 3 3
故其外接球半径为 3 +3 +3 = ，故②正确；
2 2
对于③：如图：取 中点 ，连接 ，过 点作 // ，
交 于点 ，则 // 1 ，所以平面 1 截正方体所得截面为梯形 1 ，
由 =
2 = 3 133 = 1，所以 =2 2 1 = 2，
2
所以 = 32 + 1 = 37， 1 = 22 3 + 1
2 = 10，所以 ≠
2 1
，
所以梯形 1 不是等腰梯形，故③错误；
1
对于④：如图：设点 到平面 1 1的距离为 ，则 1 1 = 3 △ 1 1· ，
3 2
而 △ 1 1 = × (3 2) =
9 3
，
4 2
1 1 1 = 1 1 = 3 △ 1 1
1 9 9
1 = 3 × 4 × 3 = 4，
3× 9
= 4 = 3所以 9 3 ，故④正确.2
2
故答案为：①②④.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
π
15．（13 分）已知向量 = ( 1,0)， = ( ,1)，且 与 的夹角为4．
(1)求 及| + 2 |；
(2)若 + 与 +2 所成的角是锐角，求实数 的取值范围．
【解题思路】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得 的值，计算出向量 +2
的坐标，利用平面向量的模长公式可求得| + 2 |的值；
（2）求出向量 + 的坐标，分析可知 + + 2 > 0且向量 + 与 +2 不共线，结合平面向量
的坐标运算可求得实数 的取值范围.
π
【解答过程】（1）因为向量 = ( 1,0)， = ( ,1)，且 与 的夹角为4，
π
则cos = 24 = | | | | 2+1 = ，解得 = 1，2
所以， = ( 1,1)，则 +2 = ( 1,0) +2( 1,1) = ( 3,2)，
故| + 2 | = ( 3)2 + 22 = 13.
（2）由（1）可得 + = ( 1,0) + ( 1,1) = ( 1, )，且 +2 = ( 3,2)，
3
因为 + 与 +2 所成的角是锐角，则 + + 2 = 3 + 3 + 2 > 0，解得 > 5，
且向量 + 与 +2 不共线，则 3 ≠ 2 2，即 ≠ 2，
3
因此，实数 的取值范围是 ,2 ∪ (2, + ∞).
5
16．（15 分）已知复数 1 = 5 + 10i，复数 2在复平面内对应的点为 (3, 4).
(1)若复数 2是关于 的方程 2 + + 1 = 0的一个根， ∈ R，求 + 的值：
1 1
(2) 1若复数 满足 = +1 ，求复数 的共轭复数 .2
【解题思路】（1）将 2 = 3 4i代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可；
（2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.
【解答过程】（1）由题意得 2 = 3 4i，
因为复数 2是关于 的方程 2 + + 1 = 0的一个根，
所以(3 4i)2 + (3 4i) + 1 = 0，
3 + 8 (4 + 24)i = 0，
3 + 8 = 0
4 + 24 = 0 ，
解得 = 6, = 26，所以 + = 20.
2 = 1 2 = (5+10i)(3 4i) 55+10i
5(11+2i)(4 3i) 5
（ ） 1+ 2 5+10i+3 4i = 8+6i = 2(4+3i)(4 3i) = 5 2i，
∴ = 5 + 52i.
17 5．（15 分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知 ′ ′ = 4, ′ ′ = 2, ′ ′ = 2，
且 ′ ′ ∥ ′ ′.
(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形 并求面积；
(2)将原平面图形 绕 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.
【解题思路】（1）把直观图还原出原平面图形，由此计算四边形的面积；
（2）将原平面图形 绕 旋转一周，所得几何体是圆柱，挖去一个圆锥，由此求解即可．
【解答过程】（1）如图所示：梯形 为还原的平面图形，
作 ⊥ 交 于点，
因为 = 5, = 4, = 4，所以 = 1, = 4, = 17，
= (4+5)×4所以 2 = 18.
（2）将原平面图形 绕 旋转一周，所得几何体是一个以 为底面半径的圆柱挖去一个以 为底面半
径的圆锥，
圆锥侧 = π × 4 × 17 = 4 17π, 圆柱侧 = 2π × 4 × 5 = 40π, 圆柱下底 = 16π,
所以所形成的几何体的表面积为 = 圆锥侧 + 圆柱侧 + 圆柱下底 = 4 17π +40π +16π = 56π +4 17π，
圆柱 = π × 42 × 5 = 80π, =
1 2 16
圆锥 3π × 4 × 1 = 3 π，
16 224
所形成的几何体的体积为 = 圆柱 圆锥 = 80π 3 π = 3 π.
18 17 △ A B C a b c sin sin ．（ 分）在 中，设 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 sin = + .
(1)求角 B 的值；
(2)若 : = tan :tan ，判断 △ 的形状；
(3)若 △ 为锐角三角形，且 = 2，求 △ 的面积 S 的取值范围.
【解题思路】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和
余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示 边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围.
sin sin
【解答过程】（1）∵ sin = + ，
∴由正弦定理得 = + ，
即( )( + ) = ( )，
即 2 2 = 2，
即 2 + 2 2 = ，
2
cos = +
2 2 = 1由余弦定理得 2 2，
∵0° < < 180°，
∴ = 60°；
（2）∵ : = tan :tan
∴sin = sin cos sin cos sin ，
∴cos = cos ，
∴ = ，
∴ △ 为等边三角形.
（3）因为 + = 120 , = 2,
sin 2sin (120 ) 3cos +sin 3
由正弦定理,得 = sin = sin = = +1sin tan
所以 = 12 sin = sin 60
= 3 3
2 + 1tan
因为 △ 为锐角三角形,则30 < < 90 ,
从而tan ∈ 3 , + ∞ ,
3
所以 ∈ 3 ,2 3 .
2
19．（17 分）如图，在四棱锥 中， ⊥ 平面 ， // ，且 = 2 = 2， 是 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 = = 2，直线 6与直线 所成角的余弦值为 ．
4
（ⅰ）求直线 与平面 所成角；
（ⅱ）求二面角 的余弦值．
【解题思路】（1）取 的中点 ，利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得.
（2）（ⅰ）利用线面垂直的判定性质证得 ⊥ ，再由异面直线夹角余弦求出 ，确定线面角并求出大小；
（ⅱ）过 作 ⊥ 于 ，过 作 ⊥ 交 于 ，再借助图形求出二面角的余弦值.
【解答过程】（1）取 的中点 ，连接 , ，由 ⊥ 平面 ， // ，得 ⊥ 平面 ，
而 平面 ，则 ⊥ ，由 为 的中点，得 // // , = 12 = ，
则四边形 是平行四边形，因此 // ，
所以 ⊥ .
（2）（ⅰ）由 为 的中点， = = 2，则 ⊥ ，而 ⊥ ，
∩ = , , 平面 ，于是 ⊥ 平面 ， 平面 ，
则 ⊥ ，由 // ，得直线 与直线 所成的角即为直线 与直线 所成的角，为∠ ，
在Rt △ 6中，cos∠ = = ，而 = 2 + 2 = 2 2，4
解得 = 3，则 = = 1，由 ⊥ 平面 ，得直线 与平面 所成角为∠ ，
π
显然tan∠ = = 1，则∠ = 4，
π
所以直线 与平面 所成角为4.
（ⅱ）过 作 ⊥ 于 ，由（ⅰ）可得 ⊥ ， △ 为等腰三角形，
= = 5, = =
3 2 6， = 2 2，由三角形面积法得 = = ，5
由勾股定理得 = 2 2 = 5，过 作 ⊥ 交 于 ，与 延长线交于点 ，5
1
在直角梯形 中，cos∠ = cos∠ = = 5，则 = cos∠ = 1，
2
= 1 ( 5 ) = 2 5，显然Rt △ ∽Rt △ ，则 =
5 5
= = 5，
于是 = 1, = 5， = 3 5， 为线段 的中点，5
显然∠ 是二面角 的平面角，在正 △ 中， ⊥ ，
由 ⊥ 平面 ， 平面 ，则 ⊥ ， ∩ = , , 平面 ，
3 5
于是 ⊥ 平面 ，而 平面 ，则 ⊥ ，cos∠ = = 5 6 2 6 = ，4
5
6
所以二面角 的余弦值 .
42024-2025 学年高一下学期期中数学试卷（巩固篇）
【人教 A 版（2019）】
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第二册第六章、第七章、第八章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）下列命题正确的是（ ）
A．若 、 都是单位向量，则 =
B．若 = ，则四点 A、B、C、D 构成平行四边形
C． 与 是两平行向量
D．若 = 2 ≠ 0 ，则 是 的相反向量
2．（5 分）已知2 + i是关于复数 的方程 2 + = 0( , ∈ )的一根，则 + = （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（5 分）如图，在 △ 2中， 是边 BC 的中点， 是 AM 上一点，且 = 3 + 2 ，则 = （ ）
A 1 B 1 1 2．3 ．6 C．2 D．5
4．（5 分）一水平放置的平面四边形 的直观图 ′ ′ ′ ′如图所示，其中 ′ ′ = ′ ′ = 1， ′ ′ ⊥ ′轴，
′ ′ ⊥ ′轴， ′ ′ // ′轴，则四边形 的面积为（ ）
A 3．3 2 B．3 2 C．3 D．2 2
5．（5 10i分）在复平面内，已知 = 3+i，则下列说法正确的是（ ）
A． 的虚部为3i
B． 在复平面内对应的点位于第二象限
C．| | = 10
D． 的共轭复数 = 3i 1
6．（5 2π分）已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中 = 3, = 6,∠ = 3 ，若此圆台的上、下底面圆
周都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A．36π B．54π C．64π D．68π
2 2 sin( + )
7 5 △ + ．（ 分）在 中，角 ， ， 分别为 ， ， 三边所对的角， 2 2 = sin( )，则 △ 的形状是
（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
8．（5 分）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为1， 为棱 1的中点， 为底面正方形 内（含边
界）的动点，则（ ）
A．三棱锥 1 1 1 的体积大小不确定
B．当 1 ⊥ 1时， 1 ⊥
C．直线 1 //平面 1
D 2．直线 1 与平面 1 1所成角的正弦值为3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9 6 = 1 3i．（ 分）已知复数 1+i （i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．复数 的虚部等于 2i B． = 5
C． + = 2 D．若 是实数， + 是纯虚数，则 = 1
10．（6 分）如图，在 △ 中，BD 与 EC 交于点 G，E 是 AB 的靠近 B 的三等分点，D 是 AC 的中点，且
有 = + ， , ∈ (0, + ∞)，则下列命题正确的是（ ）
A． + 3 = 1
B．3 + 2 = 2
C 1 1． = 2 + 4
D．过 G 作直线 MN 分别交线段 AB，AC 于点 M，N，设 = ， = （ > 0， > 0），则
+ 2 的最小值为 2．
11．（6 分）如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，M，N 分别为 1 1， 1 的中点，其中
不正确的结论是（ ）
A．直线 MN 与 AC 所成的角为60° B．直线 AM 与 BN 是平行直线
C．二面角 的平面角的正切值为 2 D．点 C 与平面 MAB 的距离为 2
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）若复数 = ( 2 + 6) + ( 2 4 + 3)i（其中i为虚数单位），当 对应的点在第三象限时，
则实数 的取值范围为 ．
13．（5 分）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称
之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 AB，高约为 36m，在它们
之间的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）处测得建筑物顶 A、教堂顶 C 的仰角分别是 45°和 60°，在建筑
物顶 A 处测得教堂顶 C 的仰角为 15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度 CD 约为 ．
14．（5 分）已知正方体 1 1 1 1的棱长为 3，点 是线段 上靠近 点的三等分点， 是 1 1中点，
则下列命题正确的有 ．
① 3 3直线 与 所成角的正切值为3 5 ②三棱柱
4 1 1
1外接球的半径为 2
③ 3平面 1 截正方体所得截面为等腰梯形 ④点 到平面 1 1的距离为 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
π
15．（13 分）已知向量 = ( 1,0)， = ( ,1)，且 与 的夹角为4．
(1)求 及| + 2 |；
(2)若 + 与 +2 所成的角是锐角，求实数 的取值范围．
16．（15 分）已知复数 1 = 5 + 10i，复数 2在复平面内对应的点为 (3, 4).
(1)若复数 是关于 的方程 22 + + 1 = 0的一个根， ∈ R，求 + 的值：
1 1 1(2)若复数 满足 = + ，求复数 的共轭复数 .1 2
17 15 5．（ 分）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知 ′ ′ = 4, ′ ′ = 2, ′ ′ = 2，
且 ′ ′ ∥ ′ ′.
(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形 并求面积；
(2)将原平面图形 绕 旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.
18．（17 分）在 △ 中，设 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c sin sin ，已知 sin = + .
(1)求角 B 的值；
(2)若 : = tan :tan ，判断 △ 的形状；
(3)若 △ 为锐角三角形，且 = 2，求 △ 的面积 S 的取值范围.
19．（17 分）如图，在四棱锥 中， ⊥ 平面 ， // ，且 = 2 = 2， 是 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2) = = 2 6若 ，直线 与直线 所成角的余弦值为 ．
4
（ⅰ）求直线 与平面 所成角；
（ⅱ）求二面角 的余弦值．
