2024-2025 学年高一下学期第一次月考选择题压轴题十五大题型专练
【人教 A 版（2019）】
题型 1 相等向量与共线向量
1．（23-24 高一下·广东东莞·开学考试）设点 是正方形 的中心，则下列结论错误的是（ ）
A． = B． = C． // D． 与 共线
【解题思路】
画出图形，结合相等向量与共线向量的定义判断即可.
【解答过程】
如图，
因为 ， 方向相同，长度相等，故 = ，故 A 正确；
因为 ， 方向不同，故 ≠ ，故 B 错误；
因为 ， ， 三点共线，所以 // ，故 C 正确；
因为 // ，所以 与 共线，故 D 正确.
故选：B.
2．（23-24 高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形 中， = ，则必有（ ）
A． = B． = C． = D． =
【解题思路】根据 = ，得出四边形 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【解答过程】四边形 中， = ，则 // 且 = ，
所以四边形 是平行四边形；
则有 = ，故 A 错误；
由四边形 是平行四边形，可知 是 中点，则 = ，B 正确；
由图可知 ≠ ，C 错误；
由四边形 是平行四边形，可知 是 中点， = ，D 错误．
故选：B．
3．（24-25 高一下·江苏淮安·阶段练习）如图所示，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则以图中点 A、B、
C、D、E、F、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量 外，与向量
共线的向量共有（ ）
A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．10 个
【解题思路】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出.
【解答过程】图中与 共线的向量有：
, , , , , , , , ，共 9 个，
故选：C.
4．（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，四边形 ， ， 是全等的菱形，则下列结论中一
定成立的是（ ）
A．| | = | |
B． 与 共线
C． 与 共线
D． ＝
【解题思路】根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误.
【解答过程】由四边形 ， ， 是全等的菱形，知：| | = | |，即 A 正确；
由图形可知： 与 的方向相反， 与 方向相同且长度相同即 ＝ ，
故 B、D 正确；而 与 不一定共线，故 C 不一定正确.
故选：ABD.
题型 2 向量线性运算的几何应用
5．（23-24 高一下·广西南宁·期末）已知 为 △ 内一点，且满足3 +4 +5 = 2 +3 + ，
△
则 = （ ）△
A 2．5 B
1 3 3
．4 C．4 D．5
4 5 3
【解题思路】由题意可得4 +5 +3 = 0，方法一：延长 至 点，令 = 9 + 9 = 9 ，从而
可得 , , 三点共线，进而可求解；方法二：利用奔驰定理求解即可.
【解答过程】因为3 +4 +5 = 2 +3 + ，
所以3 +4 +5 = 2 +3 + ，
即4 +5 +3 = 0.
方法 1： ∴ 4 +5 = 3 4 5 3，即9 + 9 = 9 ，
延长 至 4点，令 = 9 +
5 3
9 = 9 ，即 , , 三点共线，
△ = 1则 = 4.△
2 : : = 4:5:3 △ 3 1方法 ：由奔驰定理， ，故 =△ 4+5+3 = 4.
故选 B.
6．（23-24 高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形 中， = 2 , 和 相交于点 G，且 F 为 上
1
一点（不包括端点），若 = + 3，则 + 的最小值为（ ）
A．5 + 3 3 B．6 + 2 5 C．8 + 5 D．15
5
【解题思路】先确定 的位置，接着由 = + 进行转化，利用共线定理得3 + = 1，再利用基本
不等式“1”的妙用即可求解.
【解答过程】由题可设 = , ∈ (0,1)，
则由题意得 = = 2 2 + = + 3 = + 3 ，
2 3
因为 、 、 三点共线，故 + 3 = 1 = 5，
= 3所以 5 ，
5
所以 = + = 3 + ，
又 5、 、 三点共线，所以3 + = 1，
3 1+ = 3 1 5 = 6 + 3 + 5 + + ≥ 6 + 2 3 × 5 所以 = 6 + 2 5， 3 3 3
3 5
当且仅当 5 5 1 = 3 ，即 = = 时等号成立，3 4
3 1
故 + 的最小值为6 + 2 5.
故选：B.
7．（23-24 高一下·云南昭通·期中）已知 为 △ 内一点，且满足 + +( 1) = 0，若 △ 的
1
面积与 △ 的面积的比值为4，则 的值为（ ）
A 3 4 1．4 B．3 C．2 D．2
【解题思路】如图，根据平面向量的线性运算可得2 = ，则 在线段 上，且 = ，设 = 1，结
△ 1
合 = 和 △ △ = △ 计算即可求解.
【解答过程】由 + +( 1) = 0，得 ( + ) = = ，
如图， , 分别是 , 的中点，
则2 = ，
所以 在线段 上，且2 = = 2 ，
得 = ，设 = 1，则 = ，所以 = 1，
△ = 1 1因为 = ， △ = △ = 2 △ ， △ =
1
2 △ ，△
所以 △ =
△ 1 1 4
△ ，则 = = 4，解得 = 3.△
故选：B.
8．（23-24 高一下·青海西宁·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.
在如图所示的正五角星中，以 , , , , 为顶点的多边形为正五边形且 5 1 = ，下列关系中正确的是（ ）2
A． + = B． =
C． + = 5 1 D． = 5 1
2 2
【解题思路】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义，根据选项依次运算
化简判断即可.
【解答过程】A 项， + = + = = ，故 A 正确；
B 项， = = = ，故 B 错误；
C 项， + = + , 5 1 = = + ，
2
若 + = 5 1 ，则 = = 0，不合题意，故 C 错误；
2
D 项， = = + = = 5 1 = 5 1 ，故 D 正确；
2 2
故选：AD.
题型 3 向量的数量积问题
9 2π．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量 ， 满足| | = 2，| | = 4，向量 与 的夹角为 3 ，则 +
= （ ）
A．0 B．8 C．4 + 4 3 D．4 4 3
【解题思路】由条件根据数量积的定义求 ，再结合数量积的运算律求 + .
2π
【解答过程】因为| | = 2，| | = 4，向量 与 的夹角为 3 ，
所以 = | | | |cos , = 2 × 4 × 1 = 4，
2
所以 + = 2 + = 4 4 = 0.
故选：A.
π
10．（23-24 高一下·天津·期中）如图，在 △ 1中，∠ = 3， = 2 ， 为 上一点，且 = 4 +
，若| | = 3，| | = 4，则 的值为（ ）
A 7． 6 B
7
．6 C
13 13
． 12 D．12
1 3 1 1 1
【解题思路】由题意，可得 = 4 + 2 ，又 , , 三点共线，可得 = 2，则 = 4 + 2 ，利用向
量的线性运算可得 = 23 + ，进而表示出 ，计算即可.
【解答过程】在 △ 中，因为 = 2 ，所以 = 3 22 ， = 3 ，
所以 = + = + 23 = +
2 = 2 + 13 3 3 ，
即 = 23
1
3 ，
= 1 1 3因为 4 + ，所以 = 4 + 2 ，
因为 , , 1 3 1三点共线，所以4 + 2 = 1，解得 = 2，
所以 = 1 14 + 2 ，
2 1 2 1
而 = 3 3 = 3 + 3 =
2
3 + ，
所以 = 1 + 1 2 + ，
4 2 3
π
又∠ = 3，| | = 3，| | = 4，
2 2
则 = 1 + 13 3 +
1
4
= 1 × 42 + 13 3 × 4 × 3 ×
1 + 12 4 × 3
2 = 16 9 133 +2 + 4 = 12.
故选：C.
11．（2024·山东威海·一模）在 △ 中，∠ = 90 ，| | | | = 1， 是 △ 所在平面内一点， =
+3 | | | |，则 的最大值为（ ）
A．5 + 2 3 B．10 + 2 3 C．5 2 3 D．10 2 3
【解题思路】根据向量的数量积以及基本不等式求解即可.
【解答过程】 ∵ ∠ = 90 ， ∴ = 0，
∵ = | +3
，
| | |
2 2 2
2
∴ = + 3 = +6 + 3 | | | | | | | | |
= 1 + 0 + 9 = 10，
| | |
∵ = + +
2
= + + +
= 10
= 10 | | + 3 | + 3 | | | | |
= 10 3| | | | = 10 3| | + | | ≤ 10 2 3| | | | = 10 2 3，
当且仅当3| | = | |，即| | = 3，| | = 3时等号成立，3
所以 的最大值为10 2 3.
故选：D.
12．（23-24 高一下·安徽马鞍山·期中）已知圆 半径为 2，弦 = 2，点 为圆 上任意一点，则下列说法
正确的是（ ）
A． = 2 B． 的最大值为 6
C．| | ∈ [0,4] D．满足 = 0的点 只有一个
【解题思路】对于 A，根据数量积的定义计算即可判断；对于 B，由投影向量可找出最大值点的位置，计算
即可判断；对于 C，作图得到 + = ，再由 = + + 可确定最值点的位置，计
算判断即可；对于 D，当 , 重合或者 ⊥ 时都可以得到 = 0，从而可判断.
【解答过程】对于 A 选项，圆 半径为 2，弦 = 2，故 △ 为等边三角形，
取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，所以 = | | | | = 2，A 正确；
对于B选项，过点 作 平行于 ，交圆与点 ，
过点 作 ⊥ ，交 延长线于点 ，连接 ，
则四边形 为菱形，
由投影向量可知，当点 与点 重合时， 取得最大值，
此时 = + = 1 + 2 = 3，
故 的最大值为| | | | = 2 × 3 = 6，B 正确；
对于 C 选项， = + + ，
因为四边形 为菱形，所以 + = ，且| | = 2 3，
因为| | = 2为定值，
故当 与 平行且方向相同时，| |取得最大值，最大值为2 + 2 3，
当 与 平行且方向相反时，| |取得最小值，最小值为2 3 2，
故| | ∈ [2 3 2,2 3 + 2]，C 错误；
对于 D 选项，因为点 为圆 上任意一点，故当 , 重合时， = 0，
又当 ⊥ 时，满足 = 0，故满足 = 0的点 有 2 个，D 错误.
故选：AB.
题型 4 向量的夹角（夹角的余弦值）问题
13．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知单位向量 1， 2满足( 1 + 2) =
3
1 2，则 1， 2的夹角为（ ）
π π
A．4 B
2π 3π
．3 C． 3 D． 4
【解题思路】根据向量数量积的运算，即可求出向量 1, 2的夹角.
【解答过程】由题意，| 1| = | 2| = 1，
所以( 1 + 2) 1 =
3
2，则
2
1 + 1 2 =
3
2，解得 1
1
2 = 2，
设 1， 2的夹角为
1 ∴ cos = 2 1| || | = 2，又 ∈ [0,π]，1 2
π
∴ = 3，
π
所以 1, 2的夹角为3.
故选：B.
14．（23-24 高一下·湖北·期末）已知单位向量 ， 互相垂直，若存在实数 ，使得 + (1 ) 与(1 ) +
的夹角为60 ，则 = （ ）
A 1± 3． 1± 2 B． 1 ± 2 C． D． 1 ±2 2 3
【解题思路】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解.
2
【解答过程】因为 + (1 ) (1 ) + = (1 ) 2 + (1 )2 + 1 + (1 )
= 1 + 1 = 2 2 ，
| + (1 ) | = + (1 ) 2 = 1 + (1 )2，|(1 ) + | = (1 ) + 2 = 1 + (1 )2，
又 + (1 ) 与(1 ) + 的夹角为60 ，
所以2 2 = 1 + (1 )2 cos60 ，即4 4 = 1 + (1 )2，
解得： = 1 ± 3.
故选：D.
15 2π．（23-24 高一下·山西长治·期末）已知平面向量 ， 满足| | = 1，| | = 2， ， 夹角为 3 ，若 +2 与 +
夹角为锐角，则 的取值范围是（ ）
A 1． , + ∞ B 1． ,1 ∪ (1, + ∞)
2 2
C 1 1． , + ∞ D． ,2 ∪ (2, + ∞)
7 7
【解题思路】根据 + 2 + > 0且 +2 与 + 不共线，可求出结果.
【解答过程】根据题意可得 + 2 + > 0且 +2 与 + 不共线，
2
则 2 + ( + 2) +2 > 0，
所以1 ( + 2) +8 > 0
1
，解得 > 7，
当 +2 与 + 共线时，即存在 ∈ R，使得 + = + 2 ，
解得 = 1, = 2，
因为 +2 与 + 不共线，所以 ≠ 2，
1
所以 > 7且 ≠ 2，
1
所以实数 的取值范围为 ,2 ∪ (2, + ∞).
7
故选：D.
16．（24-25 高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 1, 2是两个单位向量， ∈ R时，| 1 + 2|的最小值为
3
，则下列结论正确的是（ ）
2
A． 1, 2的夹角是3 B． 1,
2
2的夹角是3或 3
C．| 31 + 2| = 1或 3 D．| 1 + 2| = 1或 2
3 1
【解题思路】由已知可得| 1 + 2|2的最小值为4，展开后利用二次函数求最值，即可得到 1 2 =± 2，进一
步分析四个选项得答案．
【解答过程】由题意，| 1| = | 2| = 1，
3 3
又| 1 + 2|的最小值为 ， ∴ | 1 + 22 2| 的最小值为4，
由| 1 + |22 = | 1|2 +2( 2 21 2) + | 2| = 2 +2( 1 2) + 1，
2
∴ 4 4( 1 2)4 =
3 1
4，可得 1 2 =± 2，
π 2π
则 1， 2的夹角是3或 3 ，故 A 错误，B 正确；
| 1 + 2 22| = | 1| +| 2|2 +2 1 2 = 2 ± 1，
∴ | 1 + 2| = 1或 3．故 C 正确，D 错误；
故选：BC．
题型 5 平面向量基本定理的应用
17．（23-24 高一下·陕西西安·期末）如图，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 = ，则 =
（ ）
A 1 B 1 C 4 D 5． ． ．3 ．3
【解题思路】根据给定条件，取{ , }为平面的一个基底，再利用向量的线性运算计算即得.
= + 1
【解答过程】正方形 ABCD 中，M 是 BC 2的中点，则 2 ，则 = 3 +
2 ，
= 3
于是 = + 12 = +
1
2(
2
3 +
2
3 ) =
4 1
3 + 3 ，而 = ，
所以 = 43.
故选：C.
18．（23-24 高一下·安徽芜湖·期中）如图，E，F 分别为平行四边形 ABCD 边 AD 的两个三等分点，分别连
接 BE，CF，并延长交于点 O，连接 OA，OD，则 = （ ）
2 → 1 →A． 3 + 3 B． +2
→ →
C． 2 + D． 2
1 1
【解题思路】由题意，根据相似三角形可得 = 3 , = 3 ，结合平面向量的线性运算即可求解.
【解答过程】由题意知， = + = + = + ，
由 △ △ 1 1，得 = = = 3，所以 = 3 , =
1
3 ，
在 △ 中， = 1 + 12 2 ，
1 1 1
即3 = 2 3 +
1
2 =
1 1
6 + 2 ，
1
即3( + ) =
1
6 +
1
2 ，整理得 = 2 + .
故选：C.
19．（23-24 高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A，C），点 Q 在
对角线 BD 上（不包括端点 B，D），若 = 1 + 1 ， = 2 + 2 ，记2 21 1的最小值为 m，
1 2
2 + 的最小值为 n，则（ ）2 2
A． = 1 = 9 B 1 98， 2 ． = 4， = 2
C． = 1 9 18， = 4 D． = 4， =
9
4
【解题思路】由四边形 ABCD 为平行四边形，得 = 1 + 1 = 1 + 1 及 1 = 1且 1 ∈ (0,1)，
再通过二次函数求最小值 ；由 = 2 + 2 及点 Q 在对角线 BD 上，得 2 + 2 = 1，再通过基本不
等式求最小值 .
【解答过程】因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 = 1 + 1 = 1 + 1 ，
又点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A，C），所以 1 = 1且 1 ∈ (0,1)，
2
则2 21 1 = 2 21 1 = 2
1 1 1 11 4 8，当 1 = 4时， = 8．
同理 = 2 + 2 ，因为点 Q 在对角线 BD 上（不包括端点 B，D），
所以 2 + 2 = 1且 2 > 0， 2 > 0，
1 2
+ = 1 2 ( 5
2 2 2 5+ 2 2 2
9
则2 2 2 2 2
+ 2) = + 2 + ≥ +2 = ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= 1 2 9当且仅当 2 3， 2 = 3时取得等号，所以 = 2．
故选：A．
20．（23-24 高一下·河北·期中）如图，在 △ 中，BD 与 EC 交于点 G，E 是 AB 的靠近 B 的三等分点，D
是 AC 的中点，且有 = + ， , ∈ (0, + ∞)，则下列命题正确的是（ ）
A． + 3 = 1
B．3 + 2 = 2
C． = 12 +
1
4
D．过 G 作直线 MN 分别交线段 AB，AC 于点 M，N，设 = ， = （ > 0， > 0），则
+ 2 的最小值为 2．
【解题思路】根据向量的线性运算法则计算可判断 A,B,C 1 1；利用共线定理的推论可得2 + 4 = 1，然后妙用
“1”可判断 D.
【解答过程】对于 A,B,C,设 = + = 2，将 3 ， =
1
2 代入，
= 3 +
得 2 ，因为 E、G、C 三点共线，且 B、G、D 三点共线，
= + 2
3 + = 1 =
1
所以 2 ，得 2 ，
+ 2 = 1 = 1
4
1 1
即 = 2 + 4 ．所以 A 错，B，C 正确；
对于 D， = 12 +
1
4 ， = ， = ，
1 1 1 1
则 = 2 + 4 ，因为 M、G、N 三点共线，
1 1 2 1
则2 + 4 = 1，即 + = 4，
+ 2 = 1 1( + 2 ) 2 + 1 = 2 + + 4 + 2 ≥ 2，
4 4
2 + 1 = 4 = 1
当且仅当 ，即 = 1 时取得等号．所以 D 正确． = 2 2
故选：BCD．
题型 6 平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
21．（23-24 高三上·平广面向东量线揭性阳运算·的期坐中标表）示 已知点 (0,0)，向量 = (2,3)， = (6, 3)，点 是线段 的三等
分点，则点 的坐标是（ ）
A 14 , 1 B 10 ,1 C 14 , 1 10 ,1 D 14 ,1 10． ． ． 或 ． 或 ,1
3 3 3 3 3 3
【解题思路】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.
【解答过程】因为 = (2,3)， = (6, 3)，可得 = = (4, 6)，
2 8 1 4
又因为点 是线段 的三等分点，则 = 3 = , 4 或 = 3 = , 2 ，3 3
= + = 14所以 , 1 或 = + = 10 ,1 ，
3 3
14 10即 点的坐标为 , 1 或 ,1 .
3 3
故选：C.
22．（23-24 高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形 AOB 中，扇形的半径为1,∠ = 2π3 ，点 在弧 上移
π
动， = + ．当∠ = 2时， + = （ ）
A 3．2 B． 3 C 2 D
3 3
． ．
2
【解题思路】建立直角坐标系，求出 , , 三点坐标，利用坐标表示向量，然后根据条件求解即可
【解答过程】
如图， (1,0), (0,1)，又扇形的半径为1,∠ =
2π 2π
3 ，所以 cos ,sin
2π
，
3 3
1即 , 3 ，
2 2
所以 = (1,0), = (0,1), = 1 , 3 ，
2 2
1 = 0 = 3
由 = + ，得(0,1) = 1 , 3 23 32 2 = 1 = 2 3
，
2 3
所以 + = 3 + 2 3 = ，
3 3 3
故选：B.
23．（23-24 高一下·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角
形来构造无理数．已知 = = = 2, ⊥ , ⊥ ，若 = + ，则 + = （ ）
A． 2 B． 2 C． 2+1 D． 2 1
2 2 2 2
【解题思路】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【解答过程】
以 为坐标原点， , 所在直线分别为 , 轴建立如图所示的坐标系，
由题意得 = 2 2，则 (0,2 2)， ( 2, 2)， (0,0)， ( 2,0)， = ( 2, 2)， = (0, 2 2)， =
( 2 + 2, 2)．
2 + 2 = 2 ,
因为 = + ，所以
2 = 2 2 2 ,
= 2 + 1,
解得 2 = 1 2 , 所以 + = ．2
2
故选：B．
24．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形 中， ⊥ , = 2 , 为 中点， , 分别为线段
的两个三等分点，点 为线段 上任意一点，若 = + ，则 + 的值可能是（ ）
A 3 5．1 B．2 C．7 D．3
【解题思路】建立平面直角坐标系，设 = ,0 ≤ ≤ 1，用坐标表示出 , , ，再根据 = +
列方程可得 + = 2 ，然后可得.
【解答过程】
如图，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设 = 6, = 3 , > 0，则 (0,0), (6,0), (0,3 ), (3,0), (2, ), (1,2 )，
则 = (2, ), = (1,2 ), = ( 6,3 ), = (6,0)
设 = ,0 ≤ ≤ 1，则 = + = (6 6 ,3 )
∵ = + ，
∴(6 6 ,3 ) = (2, ) + (1,2 ) = (2 + , + 2 )，
∴ 6 6 = 2 + 3 = + 2 整理得 + = 2 ，
因为 ∈ [0,1]，所以 + = 2 ∈ [1,2]
故选：AB.
题型 7 向量共线、垂直的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
25．（24-25 高三上·平山面向东量线·阶性运段算的练坐习标表）示 向量 = （1,3）， = (3 1, + 1)， = (5,7)，若 + ∥ + ，
且 = + ，则 + 的值为（ ）
A 2 B 5． ．2 C．3 D
7
．2
【解题思路】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出 = 1，再利用向量的坐标表示
得到关于 、 的方程组进行求解.
【解答过程】由题意，得 + = (3 , + 4) ， + = (6,10)，
因为 + ∥ + ，所以30 = 6 + 24，解得 = 1，
则 = + = ( ,3 ) + (2 ,2 ) = ( + 2 ,3 + 2 ) = (5,7)，
+ 2 = 5 = 1
即 3 + 2 = 7 ，解得 = 2 ，故 + = 3.
故选：C.
26．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量 = ( 1, )， = (1,2)， = ( + 2,0)且实数 ≥ 0，
若 A，B，C 三点共线．则 = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】由三点共线转化为两个向量共线，即 , 共线，由向量共线的坐标表示计算．
【解答过程】 ∵ = = (2,2 )， = = ( + 3, )，
因为 A，B，C 三点共线，所以 // ，
则2 × ( ) = (2 )( + 3)，解得 = 3或 2，
∵ ≥ 0， ∴ = 3.
故选：D.
27．（23-24 高一下·河北张家口·期末）已知平面向量 = (2,3), = ( , 6), = ( ,4)，若 // , ⊥ ，则 =
（ ）
A． 12 B． 2 C．2 D．12
【解题思路】由 // ，列方程可求出 ，再由 ⊥ ，列方程可求出 ，即可求得 .
【解答过程】因为 // ，所以2 × ( 6) 3 = 0，解得 = 4，
因为 ⊥ ，所以 + ( 6) × 4 = 0，解得 = 6，
所以 = ( 4) ( 6) = 2.
故选：C.
28．（2024 高一下·全国·专题练习）已知 = ( , 2)， = ( 4, )，则（ ）
A．若 // ，则 =± 2 2
B．若 ⊥ ，则 = 0
C．| |的最小值为 2
D．若向量 与向量 的夹角为钝角，则 的取值范围为(0, + ∞)
【解题思路】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项计算判断即可.
【解答过程】对于 A，由 // ，得 2 8 = 0，解得 =± 2 2，A 正确；
对于 B，由 ⊥ ，得 = 4 2 = 0，解得 = 0，B 正确；
对于 C， = ( + 4, 2 )，
则| | = ( + 4)2 + ( 2 )2 = 2 2 + 12 + 20 = 2( + 3)2 + 2，
当 = 3时，| |min = 2，C 正确；
对于 D，由向量 与向量 的夹角为钝角，得 < 0且 ， 不共线，
则 = 4 2 < 0，解得 > 0，当 // 时， =± 2 2，
所以 的取值范围为(0,2 2) ∪ (2 2, + ∞)，D 错误．
故选：ABC.
题型 8 用向量解决夹角、线段的长度问题
平面向量线性运算的坐标表示
29．（23-24 高一下·平辽面向宁量线锦性州运算·的期坐末标表）示 已知 △ ， = 1， = 2，∠ = 60°，点 D 在 边上且
= 13 ，则 长度为（ ）
A 3 B 3 C 3 D 2 3． ． ． ．2 3 3
【解题思路】利用向量数量积去求 长度即可.
【解答过程】 △ 中，点 D 在 边上且 = 13 ，
则 = + = + 1 13 = 3 +
2
3
又| | = 1，| | = 2，∠ = 60°，
2
则| | = 1 + 2 = 1 | |2 + 4 | |2 + 4
3 3 9 9 9
= 1 × 4 + 4 × 1 + 4
2 2
× 1 × 2 × 1 = 3 3，即 长度为3 39 9 9 2
故选：D.
30．（2024·四川南充·三模）在Rt △ 中，∠ = 90°， = 2， = 3， = 2 ， = 12 ，CN 与
BM 交于点 P，则cos∠ 的值为（ ）
A． 5 B． 2 5
5 5
C． 5 D．2 5
5 5
【解题思路】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【解答过程】解：建立如图直角坐标系，则 (0,2), (0,1), (3,0), (2,0),
得 = ( 3,1), = ( 2,2),
8
所以cos∠ = 2 5| | | | = =10 2 2 ，5
故选：D.
31．（23-24 高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形 ABCD 中， // ， ⊥ ，| | = 2，| | = 2| |.若
点 P 在线段 BC 上，则| +3 |的最小值是（ ）
A 7．2 B
9
．4 C．2 D．6
【解题思路】以 B 为原点， 为 x 轴正方向， 为 y 轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【解答过程】如图示，以 B 为原点， 为 x 轴正方向， 为 y 轴正方向建立平面直角坐标系.
则 (0,0), (0,2), (2 ,0), ( ,2), ( ,0)(0 ≤ ≤ 2 )，
所以 = (2 ,0)， = ( ,2).
所以 +3 = (5 4 ,6)，
所以| +3 | = (5 4 )2 + 62 ≥ 6（当且仅当5 = 4 时等号成立）.
所以| +3 |的最小值是 6.
故选：D.
32．（23-24 高二上·广东广州·阶段练习）在 △ 中，已知 = 2, = 5,∠ = 60°，BC、AC 边上的两
条中线 AM、BN 相交于点 P，下列结论正确的是（ ）
A． = 39 B． = 212
C．∠ 的余弦值为 21 D． + + = 0
21
【解题思路】画出图形，由 = 12 + 同时平方可求| |；同理由 = 同时平方可求| |；
cos∠ = 由 | | | |，代换成基底向量 , 可求∠ 的余弦值；结合重心性质全部代换成 , 可验
证选项 D.
1
【解答过程】如图所示：由题可知， , 分别为 , 中点，则 = 2 + ，
2 1 2 2
同时平方得 = 4 + + 2
1 2 2= 4 | | + | | + 2| | | | cos∠ =
1 39
4 4 + 25 + 2 2 5
1 = 4 ，2
则| | = 39，故 A 错误；2
又 = ，
2 2 2 2 25 5 1 21
同时平方得 = = + 2 = 4 +4 2 × 2 × 2 × 2 = 4 ，
则| | = 21，故 B 正确；2
1 1 1 1
3 3 2 + 2 cos∠ = | = = | | | 1 | | 1 | | | | | |3 3
2 1 2 25 1 1
= 1 +
1 1 4+ ×2×5×2 2 = 2 2 2 4 912 | | | | 2
39 21 = ，故 C 错误；× 91
2 2
+ + = + + = + 3
= + 3 × 23 = + 3 ×
2
3 ×
1
2 + = 0，故 D 正确.
故选：BD.
题型 9 向量与几何最值（范围）问题
平面向量线性运算的坐标表示
33．（23-24 高一下·平重面向庆量线·期性运末算的）坐如标表图示 ，已知正方形 的边长为 2，若动点 在以 为直径的半圆上（正
方形 内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A．[0,2] B．[0,4] C．[0,3] D．[0,1]
【解题思路】取 中点 ，连接 ，求出| |的取值范围，再根据 = + + 结合数
量积的运算律求解即可.
【解答过程】取 中点 ，连接 ，
因为 是边长为 2 的正方形，动点 在以 为直径的半圆上，
所以当 在 点或 点时，| |取得最大值 5，
当 在弧 中点时，| |取得最小值1，
| |的取值范围为 1, 5 ，
1
又因为 = + + ， = = 2 ，| | = 2，
2 2
所以 = +
2 2 2
= | | 1|4 | = | | 1，
因为| |的取值范围为 1, 5 ，
2
所以| | 的取值范围为[1,5]， 的取值范围为[0,4]，
故选：B.
34．（23-24 高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为 1 的圆 O 上运动，且
⊥ ， M 是圆 O 外一点， = 2，则| + + 2 |的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【解题思路】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案.
【解答过程】连接 ，如下图所示：
因为 ⊥ ，则 为圆 O 的一条直径，故 O 为 的中点，
所以 + = ( + ) + ( + ) = 2 ，
所以 | + +2 | = |2 +2( + )|
= |4 + 2 | ≤ 4| | + 2| |
= 4 × 2 + 2 × 1 = 10 .
当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立，
因此，| + + 2 | 的最大值为10 .
故选：C.
35．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形 ABCD 中， ⊥ ， ⊥ ，∠ = 120°，
= = 1．若点 E 为边 CD 上的动点（不与 C、D 重合），则 的最小值为（ ）
A 13．12 B
21
．16 C． 3 D．1
【解题思路】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得 , 的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二
次函数知识，即可求得答案.
【解答过程】由于 ⊥ , ⊥ ，
如图，以 D 为坐标原点，以 , 为 , 轴建立直角坐标系，
连接 ,由于 = = 1，则 △ ≌ △ ,
而∠ = 120 ，故∠ = ∠ = 60°，则∠ = 60°，
则 (0，0), (1,0), (
3, 32 ), (0,2 3)，
3 3
设 (0, ),0 ≤ ≤ 3，则 = (1, )， = (2, )，2
2
故 = 3 + 2 32 = (
3 ) + 21，
2 4 16
3
当 = 时， 21有最小值 ，
4 16
故选：B．
36．（23-24 高一下·福建龙岩·期末）已知 是边长为 1 的正六边形 所在平面内一点， = +
+ ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 为正六边形 的中心时， = 12 B． 的最大值为 4
C 1． 的最小值为 4 D． 可以为 0
1 1
【解题思路】以 为原点，以 为 轴，建立坐标系， ( 1,0), , 3 , , 3 , (1,0)，设 ( , )，
2 2 2 2
2
3 1
求出 = 4 2 +4 + 4 4，进而可得答案．
【解答过程】以 为原点，以 为 轴，建立平面直角坐标系，如图，
∵ 正六边形边长为 1，
∴ ( 1,0), 1 , 3 , 1 , 3 , (1,0)，设 ( , )
2 2 2 2
则 = ( 1 , ), = 1 , 3 ，
2 2
= 1 , 3 , = (1 , )，
2 2
可得 + = 1 2 , 3 2 ，
2 2
+ = 1 2 , 3 2 ，
2 2
= + +
2
= 1 2 1 2 + 3 2 2 ，2 2
1 3
= 4 2 4 + 4
2 + 2 3 + 4
1
= 4 2 + 4 2 + 2 3 + 2
2
= 4 2 +4 + 3 1 ≥ 1
4 4 4，
= 0, = 3 1时， 的最小值为 4，C 对， 4
1为正六边形的中心时，即 = = 0时， = 2，A 对，
∵ ∈ 1 , + ∞ . ∴ 可以为 0， 没有最大值， ∴ D 对，B 错，
4
故选：ACD.
题型 10 正、余弦定理判定三角形形状
平面向量线性运算的坐标表示
37 23-24 ·平面向量线· 性运算的坐标表示 △ sin sin ．（ 高一下 天津 阶段练习）在 中，已知 2+ 2 2 = 2+ 2 2，则 △ 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【解题思路】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可.
sin sin sin sin
【解答过程】在 △ 中，由 2+ 2 2 = 2+ 2 2及余弦定理，得2 cos = 2 cos ，
整理得sin cos = sin cos ，即sin2 = sin2 ，
而0 < 2 < 2π,0 < 2 < 2π,0 < 2 + 2 < 2π，因此2 = 2 或2 + 2 = π，
π
所以 = 或 + = 2，即 △ 为等腰三角形或直角三角.
故选：C.
π
38．（23-24 高一下·北京海淀·期末）在 △ 中，已知 = 2, = 3．则下列说法正确的是（ ）
A．当 = 1时， △ 是锐角三角形 B．当 = 4 3时， △ 是直角三角形
3
C．当 = 3 △ 52时， 是钝角三角形 D．当 = 3时， △ 是等腰三角形
【解题思路】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项.
2
【解答过程】对于 A:因为 = 1 1由正弦定理 3 = sin ,sin =
3 < 1
2 4 2
,
5π
当π > > 6 时， △ 是钝角三角形,
π π
当 < 6, = π > 2时， △ 是钝角三角形,A 选项错误；
4 3 2 4 3 π
对于 B:因为 = ,由 3 = 3 ,sin = 1, = ,
3 2 sin 2
所以 △ 是直角三角形,B 选项正确；
2 3
对于 C:因为 = 32,由 3 = 2 ,sin =
3 3 > 1
2 sin 8 2
π π π
当6 < < 2时， = π < 2, △ 是锐角三角形,C 选项错误；
2 5 π
对于 D:因为 = 53,由 3 = 3 ,sin =
5 3 < 3, < , < < ,
2 sin 12 2 3
75 69
cos = 1 sin2 = 1 144 = 12
5 3 1 69 3 5 3 + 3 23
sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 12 × 2 + 12 × 2 = 24
因为 ≠ , ≠ ，所以 △ 不是等腰三角形,D 选项错误；
故选：B.
39 sin sin sin ．（24-25 高二上·广东潮州·开学考试）在 △ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 3 = 4
( 为非零实数），则下列结论错误的是（ ）
A．当 = 5时， △ 是直角三角形 B．当 = 3时， △ 是锐角三角形
C．当 = 2时， △ 是钝角三角形 D．当 = 1时， △ 是钝角三角形
【解题思路】由正弦定理化简已知可得 : : = :3:4，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三
边等知识逐一分析各个选项即可得解．
A = 5 sin = sin sin 【解答过程】对于选项 ，当 时， 5 3 = 4 ，根据正弦定理不妨设 = 5 ， = 3 ， = 4 ，
显然 △ 是直角三角形，故命题正确；
sin sin sin
对于选项B，当 = 3时， 3 = 3 = 4 ，根据正弦定理不妨设 = 3 ， = 3 ， = 4 ，
显然 △ 是等腰三角形， 2 + 2 2 = 9 2 +9 2 16 2 = 2 2 > 0，
说明∠ 为锐角，故 △ 是锐角三角形，故命题正确；
对于选项C，当 = 2 sin sin sin 时， 2 = 3 = 4 ，根据正弦定理不妨设 = 2 ， = 3 ， = 4 ，
可得 2 + 2 2 = 4 2 +9 2 16 2 = 3 2 < 0，说明∠ 为钝角，故 △ 是钝角三角形，故命题正确；
D = 1 sin = sin sin 对于选项 ，当 时， 1 3 = 4 ，根据正弦定理不妨设 = 1 ， = 3 ， = 4 ，
此时 + = ，不等构成三角形，故命题错误.
故选：D.
40．（23-24 高一下·江苏宿迁·期中）在 △ 中， ， ， 分别为角 、 ， 的对边，下列叙述正确的是
（ ）
A．若 cos = cos ，则 △ 为等腰三角形
B．若 tan = tan ，则 △ 为等腰三角形
C．若sin2 + sin2 + cos2 < 1，则 △ 为锐角三角形
D．若cos2 + cos2 + cos2 > 1，则 △ 为钝角三角形
【解题思路】应用正弦定理判断 A 选项，应用正弦定理结合同角三角函数关系判断 B 选项，结合余弦定理
判断 C 选项，根据二倍角公式的余弦公式及余弦定理判断 D 选项.
【解答过程】因为 cos = cos ，所以sin cos = sin cos ,sin( ) = 0, , ∈ (0,π),所以 = ,A 选项正
确；
2 2
因为 tan = tan , sin sin 所以 cos = cos ,cos ,cos 同号，cos ,cos 只能同时为正，cos ,cos ∈ (0,1),
因为 = 1 , ∈
1
(0,1)单调递减，cos cos =
1
cos cos 可得cos = cos ， , ∈ (0,π)，所以 = ,B 选项正
确；
因为sin2 + sin2 + cos2 < 1，所以sin2 + sin2 < 1 cos2 = sin2 ,又由正弦定理得 2 + 2 < 2,
2
cos = +
2 2
又由余弦定理得 2 < 0, ∈ (0,π),所以 为钝角，所以 △ 为钝角三角形，C 选项错误；
因为cos2 + cos2 + cos2 > 1，所以cos2 + cos[( + ) + ( )] + cos[( + ) ( )] > 1
所以2cos2 + 2cos( + )cos( ) > 0，
因为cos = cos( + )，所以cos [ cos( + ) cos( )] > 0，
则cos ( cos cos + sin sin cos cos sin sin ) > 0，
所以cos cos cos < 0，故 , , 中必有一个是钝角，
所以 △ 为钝角三角形，故 D 正确；
故选：ABD.
题型 11 三角形（四边形）的面积问题
平面向量线性运算的坐标表示
41．（23-24 高一下·平江面向苏量线扬性州运算·的期坐中标表）示 在 △ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， = 3，D 为
的中点， = 1，且 cos + cos = 2 cos ，则 △ 的面积为（ ）
A 7 B 7 3 5 3 5．8 ． C． D．8 8 8
【解题思路】先由 cos + cos = 2 cos 结合余弦定理求出 ，再由余弦定理得 2 + 2 = 9 ，进而由
= 1 + 12 2
5 1
两边平方得 = 2，再由三角形面积公式 △ = 2 sin 即可得解.
【解答过程】因为 cos + cos = 2 cos ，
2 2
× +
2 2 2
+ × +
2 2+ 2 2
所以由余弦定理得 2 2 = 2 × 2 ，
2 2 2 2 2 2整理得 + = ，故cos = + 2 =
1
2 = 2，
又 ∈ 2π(0,π)，所以 = 3 ，
所以由 2 = 2 + 2 2 cos 得32 = 2 + 2 2 × 1 即 2 + 2 = 9 ，
2
又由题 = 12 +
1
2 ，
2
= 1
2 2 2
所以 + 1 = 14 +
1
4 +
1
2 · 2 2
= 1 2 + 1 2 + 1 cos = 1 2 2 14 4 2 4( + ) 4 =
1 1 9 1
4(9 ) 4 = 4 2 ，
9 1 5
即4 2 = 1，故 = 2，
1 1 5 2π 5 3
所以 △ 的面积为 △ = 2 sin = 2 × 2 × sin 3 = .8
故选：C.
42．（23-24 高一下·江苏盐城·期中）记 △ 的三个内角分别为 ， ， ，其对边分别为 ， ， ，分别以
， ， 为边长的三个正三角形的面积依次为 1， 2， 3，已知 1 2 + 3 = 3，sin =
1
2 3
，则 △ 的面
积（ ）
A．2 2 B 2 2 2． C． D．28 3
【解题思路】根据三角形面积公式，结合余弦定理即可求解.
【解答过程】由题及 1 2 + = 3 3 33 得： ( 2 2 + 2) = ，即 2 2 + 2 = 2，2 4 2
又 ∵ 2 2 + 2 = 2 cos ， ∴ cos = 1，
∵ sin = 13， ∴ cos =
2
3 2或cos =
2 2
（舍)，
3
3
∴ = = 3 2 ∴ = 1， sin = 1 × 3 2 × 1 22 2 4 △ 2 2 4 3 = ．8
故选：B．
43．（23-24 高一下·山东淄博·期中）在 △ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若sin2 sin2 + sin2 =
sin sin ，且 = 3，则 △ 面积的最大值为（ ）
A 9 3 3 3． 3 B． C． D．24 4 3
【解题思路】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出 ，然后由余弦定理结合重要不等式得 范围，
最后由面积公式求最值即可.
【解答过程】根据题意，由正弦定理角化边为： 2 2 + 2 = ，
cos =
2+ 2 2 = 1再由余弦定理得： 2 2，
π
因为0 < < π，所以 = 3，又 = 3，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，即9 = 2 + 2 ，
因为 2 + 2 ≥ 2 ，所以9 ≥ 2 ，即 ≤ 9，
当且仅当 = = 3时等号成立，
π
△ = 1 sin = 1 sin ≤ 1 × 9 × 3 = 9 3故 的面积 2 2 3 2 ，2 4
所以 △ 9 3面积的最大值为 .
4
故选：B.
44．（23-24 高一下·山东菏泽·期中）△ 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， cos + cos = 2
π
sin ，且∠ = 3.若 D 是 △ 外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（ ）
π π
A．∠ = 6 B．∠ = 2
C．四边形 ABCD 面积有最小值 D．四边形 ABCD 面积有最大值
【解题思路】利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦定理可求出角 ，进而求出∠ ，即可判断 AB；
先求出 , 的关系，再在 △ 中，利用余弦定理求出 ，再根据三角形的面积公式结合三角函数即可
判断 CD.
【解答过程】在 △ 中，因为 cos + cos = 2 sin ，
所以sin cos + sin cos = 2sin sin ，
即sin( + ) = sin = 2sin sin ，
又sin ≠ 0 1，所以sin = 2，
π
在 △ 中，因为∠ = 3，则 ∈ 0,
2π
，
3
π π
所以 = 6，则∠ = 2，故 AB 正确；
在Rt △ 中， = 3 ，
在 △ 中， 2 = 2 + 2 2 sin∠ = 5 4cos ，
四边形 ABCD 面积 = △ + △
1 1
= 2 + 2 sin
1 1
= 2 3 + 2 × 1 × 2sin
3
= sin + 2
2
3
= sin + 2 (5 4cos )
5 3
= sin 2 3cos + 2
= 13sin( ) + 5 3，其中tan = 2 3（ 为锐角），2
又0 < < π，
所以 < < π ，
因为函数 = sin( )在 , π π上递增，在 ,π 上递减，
2 2
所以四边形 ABCD 面积有最大值，无最小值，故 C 错误，D 正确.
故选：ABD.
题型 12 求三角形中的边长或周长的最值或范围
平面向量线性运算的坐标表示
45．（23-24 高一下·平湖面向北量线武性汉运算·的期坐中标表）示 在锐角 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , , 为 △ 的面积，
= 4，且2 = 2 ( )2，则 △ 的周长的取值范围是（ ）
A． 8,4 5 + 4 B． 12,2 5 + 2 C． 8,2 5 + 2 D． 12,4 5 + 4
1 4
【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得tan2 = 2,tan = 3，然后根据正弦定理及三角变换可得 + = 5
(sin + sin ) = 4 5sin( + )，再根据三角形是锐角三角形，得到 的范围，转化为三角函数求值域的问
题.
【解答过程】 ∵ 2 = 2 ( )2 = 2 2 2 +2 = 2 2 cos ，
∴ = cos = 12 sin ，
∴1 cos = 12sin ，即2sin
2 = sin cos 2 2 2， 为锐角，
1
∴tan 2 =
1
2,tanA =
4 4
1 1 = 3,sin = 5,cos =
3
5，又 = 4，4
由正弦定理可得sin = sin = sin = 5，
所以 + = 5(sin + sin ) = 5[sin + sin( + )]
3 4
= 5 sin + 5 sin + 5 cos = 8sin + 4cos
= 4 1 5sin( + )，其中tan = 2， = 2，
因为 △ 为锐角三角形，
π π π π
所以2 < < 2，则2 + < + < 2 + ，
π π
即：2 2 < + <
2 + 2，
2
所以cos2 < sin( + ) ≤ 1，又cos
2 = 5，
∴8 < 4 5sin( + ) ≤ 4 5，即 + ∈ 8，4 5 ，
故 △ 的周长的取值范围是 12,4 5 + 4 .
故选：D.
2 2 2 2
46．（23-24 高一下·宁夏石嘴山·期末）在 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , ( + )sin ，若 2 sin cos + 2 +
= 0， = 3，则 + 的取值范围是（ ）
A． 3 2 B．( 3,2] C． 3 1 D． 3， 2 ， 2 ，1
【解题思路】先根据已知式子化简得出角，再由余弦定理结合基本不等式求边长和范围即可.
( 2+ 2 2)sin 2+ = (
2+ 2 2) sin 2+ = cos sin
2
【解答过程】由余弦定理得 2 sin cos 2 + 2 sin cos 2 + sin cos + 2 + = 0,
cos sin cos sin sin
所以sin cos = 2 + ，由正弦定理得sin cos = 2sin +sin ,
cos 1
所以sin cos = 2sin +sin ，cos (2sin + sin ) = sin cos ,
所以2sin cos + sin cos = sin cos ，
所以2sin cos + sin cos + sin cos = 0，2sin cos + sin( + )=0,
可得2sin cos + sin =0,cos = 12, ∈ , =
2π
(0,π) 3 ,
由余弦定理可得3 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 + = ( + )2 ,
( + )2
又因为基本不等式 + ≥ 2 ,所以( + )2 ≥ 4 , ≤ 4 ,
3 = ( + )2 ≥ ( + )2 ( + )
2
所以 4 ，( + )
2 ≤ 4， + ≤ 2,
当且仅当 = = 1时， + 取最大值 2，
因为 = 3,所以 + > 3,
所以 3 < + ≤ 2.
故选：B.
47．（23-24 高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形 中，已知 ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 3 = 2
sin ， = 3，则三角形 的周长的取值范围是（ ）
A．(3 3,3 3) B．(3 3,3 3] C．(3 + 3,3 3] D．[3 + 3,3 3]
π
【解题思路】由正弦定理化简已知可得sin ，再由 是锐角，得到 = 3，然后根据正弦定理和三角形内角和
将周长用 表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围.
【解答过程】因为 3 = 2 sin ，
根据正弦定理得， 3sin = 2sin sin ，
因为 为锐角，所以sin ＞0，
所以 3 = 2sin ，即sin = 3，而 A 为锐角，2
π
所以 = 3，
3
因为根据正弦定理sin = sin = sin = 3 = 2，2
所以 = 2sin , = 2sin ，
因为三角形周长为 + + = 3 +2sin + 2sin ，
π 2
又因为 = 3，所以 = 3π ，
2
所以 + + = 3 +2sin + 2sin π = 3 +2sin + 3cos + sin = 2 3sin + π + 3，
3 6
∈ 0, π因为 , ∈
2
0, π π π，即 ∈ 0, , π ∈ 0, ，
2 2 2 3 2
所以 ∈ π , π ，
6 2
π
+ ∈ π , 2即 6 π ，sin +
π ∈ 3 ,1 ，
3 3 6 2
所以 + + ∈ 3 + 3，3 3 .
故选：C.
48．（23-24 高一下·山东菏泽·期末）已知 △ 三个内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且∠ = 3，
= 2，则下列结论正确的有（ ）
A． △ 面积的最大值为 3 B． cos + cos = 2
C． △ cos 周长的最大值为 6 D．cos 的取值范围为 ∞,
3 ∪ ( 3, + ∞)
2
【解题思路】A 选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B 选项，利用余弦定理计算可判断；
C 选项，利用余弦定理和基本不等式求解周长的最大值；D 选项，用cos = cos cos ( + )进行变换得到cos =
3tan 1 cos 2，结合 A 的取值范围得到cos 的取值范围.2
2 2
【解答过程】解：对于 A，由余弦定理得：cos = + 4 12 = 2，解得：
2 + 2 = + 4，
由基本不等式得： 2 + 2 = + 4 ≥ 2 ，当且仅当 = 时，等号成立，
1
所以 ≤ 4，故 △ = 2 sin ≤ 3，故 A 正确；
2 2 2 2 2 2 2
对于 B cos + cos = + + + 2 ， 2 2 = 2 = = 2，故 B 不正确；
2+ 2 4 1
对于 C，由余弦定理得：cos = 2 = 2，解得：
2 + 2 = + 4，
( + )2 = 3 + 4 ≤ 3 × +
2
所以 +42 ，当且仅当 = 时，等号成立，
解得 + ≤ 4，当且仅当 = 时，等号成立，
所以， △ 周长 = + + ≤ 4+2 = 6，所以 △ 周长的最大值为 6，故 C 正确；
cos cos +π 3 sin 1
对于 D， 3cos = =
cos
2 2 = 3tan 12，cos cos 2
因为 ∈ 0, 2π ，所以tan ∈ ( ∞, 3) ∪ (0, + ∞)，
3
3 1
所以 tan 2 ∈2 ( ∞, 2) ∪
1 , + ∞ ，故 D 错误.
2
故选：AC.
题型 13 复数的模的几何意义
平面向量线性运算的坐标表示
49．（23-24 高一下·平河面向南量线郑性州运算·的期坐中标表）示 已知复数 z 满足| + 3i| = | i|，则| + 1 + 2i|的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． 3 D． 5
【解题思路】设复数 在复平面内对应的点为 ，由复数的几何意义可知点 的轨迹为 = 1，则问题转化为
= 1上的动点 到定点( 1, 2)距离的最小值，从而即可求解．
【解答过程】设复数 在复平面内对应的点为 ，
因为复数 满足| + 3i| = | i|，
所以由复数的几何意义可知，点 到点(0, 3)和(0,1)的距离相等，
所以在复平面内点 的轨迹为 = 1，
又| + 1 + 2i|表示点 到点( 1, 2)的距离，
所以问题转化为 = 1上的动点 到定点( 1, 2)距离的最小值，
当 为( 1, 1)时，到定点( 1, 2)的距离最小，最小值为 1，
所以| + 1 + 2i|的最小值为 1，
故选：A．
50．（23-24 高二下·广东湛江·期中）设 ∈ ，在复平面内 对应的点为 ，若1 ≤ | | ≤ 4，则点 所在区域的
面积为（ ）
A．15π B．6π C．3π D．2π
【解题思路】利用复数 的几何意义即可得解.
【解答过程】因为1 ≤ | | ≤ 4，
所以点 所在区域为两个同心圆所形成的圆环，其中一个半径为1，另一个半径为4，
则其面积为π 42 π 12 = 15π.
故选：A.
51．（2024·辽宁·二模）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足| i| = 1，则| 3|的最小值为（ ）
A． 3 1 B．1 C． 3 +1 D．3
【解题思路】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可.
【解答过程】| i| = 1的几何意义是复数 z 对应的点 Z 到点 (0,1)的距离为 1，
即点 Z 在以点 (0,1)为圆心，1 为半径的圆上，
| 3|的几何意义是点 Z 到点 ( 3,0)的距离．
如图所示，故| 3|min = | | = | | 1 = 2 1 = 1．
故选：B．
52．（23-24 高一下·重庆·期末）已知复数 1 = 2 + 3i, 2 = 3 4i, 1, 2在复平面内对应的点分别为 1, 2，则
（ ）
A．| 1 + 2| = | 1| + | 2|
B．| 1 2| = 5 2
C．满足| | = | 2|的复数 对应的点 形成的图形的周长是5π
D．满足| 1| < | | < | 2|的复数 对应的点 形成的图形的面积是12π
【解题思路】根据复数的几何意义可得 1 = (2,3), 2 = (3, 4).求得| 1 + 2| ≠ | 1| + | 2|即可判断 A；求得
| | = 5 2即可判断 B；求得 2 + 2 = 25即可判断 C；求得13 < 2 + 21 2 < 25即可判断 D.
【解答过程】由 1 = 2 + 3i, 2 = 3 4i，得 1 = (2,3), 2 = (3, 4).
A： 1 + 2 = 5 i，则| 1 + 2| = 26，又| 1| = 13,| 2| = 5，
所以| 1 + 2| ≠ | 1| + | 2|，故 A 错误；
B：| 1 2| = (2 3)2 + (3 + 4)2 = 5 2，故 B 正确；
C：设 = + i( , ∈ R)，则| | = 2 + 2，
由| | = | 2|，得 2 + 2 = 5，即 2 + 2 = 25，
所以复数 对应的点 形成的图形的周长为10π，故 C 错误；
D：设 = + i( , ∈ R)，则| | = 2 + 2，
又| 1| = 13,| 2| = 5，所以 13 < 2 + 2 < 5，即13 < 2 + 2 < 25，
所以满足| 1| < | | < | 2|的复数 对应的点 形成的图形的面积为25π 13π = 12π，故 D 正确.
故选：BD.
题型 14 根据复数的四则运算结果求复数特征
平面向量线性运算的坐标表示
53．（23-24 ·平面向量线· 性运算的坐标表 1+ i高一下 湖北 期中）已知示 复数 = 1 i ，其中i为虚数单位， ∈ R，若 为纯虚数，则复数 +
在复平面内对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【解题思路】先化简复数，再根据复数为纯虚数求参，最后求出 + 的对应点即可.
(1+ i)(1+i)
= = (1 )+(1+ )i【解答过程】因为 (1 i)(1+i) 2 ，
若 z 为纯虚数，则1 = 0，即 = 1，
则 = i, + = 1 + i在复平面内对应的点为(1,1),
则复数 + 在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A.
54 5 i．（23-24 高一下·四川雅安·期末）在复平面内，满足| | = 1的复数 对应的点为 ，复数 1 i对应的1 i
点为 0，则| 0 |的值不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5 i
【解题思路】根据复数代数形式的除法运算化简1 i，设 = + i( , ∈ R)，则 ( , ) | 5 i，根据 = 1得1 i|
到( 3)2 + ( 2)2 = 1，即 在以 (3,2)为圆心，半径 = 1的圆上，求出| 0 |，由| 0 | ≤ | 0 | ≤ | 0 |
+ ，求出| 0 |的范围.
5 i (5 i)(1+i)= 5+5i i i
2
【解答过程】因为1 i (1 i)(1+i) = 2 = 3 + 2i，
设 = + i( , ∈ R) 5 i，则 ( , )，又| | = 1，即| (3 + 2i)| = 1，1 i
所以 ( 3)2 + ( 2)2 = 1，即( 3)2 + ( 2)2 = 1，所以 在以 (3,2)为圆心，半径 = 1的圆上，
又复数 1 i对应的点为 0，所以 0( 1, 1)，所以 0 = ( + 1, + 1)，
所以| 0 | = ( + 1)2 + ( + 1)2，表示圆上的点与点 0( 1, 1)的距离，
又| 0 | = ( 1 3)2 + ( 1 2)2 = 5，
所以| 0 | ≤ | 0 | ≤ | 0 | + ，即4 ≤ | 0 | ≤ 6，结合选项可知只有 A 不可能.
故选：A.
55．（2024· 1 3i陕西宝鸡·一模）已知复数 = ， 为 z 的共轭复数，则| | 在复平面表示的点在（ ）
1+ 3i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】首先利用除法运算化简复数 ，并求 和| |，再根据复数的几何意义，即可求解.
2
1 3i (1 3i) 2 2 3i 1 3
【解答过程】 = = = = i，
1+ 3i (1+ 3i)(1 3i) 4 2 2
1 2| | = + 3
2
= 1， = 12 +
3i，
2 2 2
3 3 3
所以| | = 32 i，对应的点为 , ，在第四象限.2 2 2
故选：D.
56．（23-24 高一下·贵州·期中）已知(1 + 2i) = 4 + 3i，则下列说法正确的是（ ）
A． = 3．
B．| + 2 + 3i| = 2 5．
C．( + i) ( , ∈ R)在复平面内对应的点位于实轴上，则 2 = 0．
D 1．2 i在复平面内的点在直线 = + 5上．
【解题思路】根据复数的除法得出复数，再结合复数乘法可判断 A,根据模长判断 B,根据复数的类型求参判
断 C,化简复数得出对应点即可判断 D.
4+3i (4+3i)(1 2i)
【解答过程】对于A由(1 + 2i) = 4 + 3i得 = 1+2i = (1+2i)(1 2i) = 2 i．
= (2 i)(2 + i) = 5 ≠ 3，故 A 错；
对于B,|z + 2 + 3i| = |2 i + 2 + 3i| = |4 + 2i| = 42 + 22 = 2 5，故B正确；
对于 C．( + i)(2 i) = (2 + ) + (2 )i，因为点(2 + ,2 )在实轴上，所以2 = 0，故 C 正确；
2
对于D, = 2+i (2+i) 3+4i 3 42 i 2 i = (2 i)(2+i) = 5 ，对应复平面内的点的坐标为 , ，5 5
4 3 1
且5 = 5 + 5，故 D 正确．
故选：BCD.
题型 15 复数范围内方程的根的问题
平面向量线性运算的坐标表示
57．（23-24 高一下·平河面向南量线·阶性运段算的练坐习标表）示 已知复数 满足(2 i) = 3 4i， = i， > 0，若 + 是关于 的
方程 2 + 13 = 0( > 0)的一个根，则 + 等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】根据题意可得 + = 2 + 2i，进而可知2 + + 2i是方程的另一个根，利用韦达定理列式
求解即可.
3 4i
【解答过程】因为(2 i) = 3 4i，则 = 2 i = 2 i，
且 = i， > 0，则 + = 2 + 2i，
又因为 + 是关于 的方程 2 + 13 = 0( ∈ )的一个根，
可知2 + + 2i是方程的另一个根，
(2 + 2i)(2 + + 2i) = (2 + )2 + 4 = 13
由韦达定理可得 (2 + 2i) + (2 + + 2i) = 4 + 2 = ，
= 1 = 5
解得 = 6 或 = 6 （舍去），
所以 + = 7．
故选：C．
58．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程 2 + i + 1 = 0（其中i为虚数单位）的两根分别为 1， 2，则有
（ ）
A． 2 21 = 2 > 0 B． 1 + 2 = 1 2 C．|1 + 1| =
1 2
|1 + 2| D． + = i1 2
【解题思路】设方程 2 + i + 1 = 0的根为 = + i，将其代入方程中的 x 中，根据复数相等的条件，构造
方程组，解出 , .则两根 1, 2知道了，再逐项代入验证即可.
【解答过程】设方程 2 + i + 1 = 0的根为 = + i( , ∈ )，
代入方程，( + i)2 + i( + i) + 1 = 0,整理得( 2 2 + 1) + ( + 2 )i = 0，
2 2 + 1 = 0 = 0
故 + 2 = 0 ，则 = 1± 5 ，
2
不妨令 = 1+ 5i,， = 1 51 i，2 2 2
对于 A：因为 2 = 5 3, 21 2 =
3+ 5，即 2 ≠ 2，故 A 错误；
2 2 1 2
对于 B： 1 + 2 = i ≠ 1 2 = 1，故 B 错误.
2
对于 C:|1 + 1| = |1 + 1+ 5 i|= 1 + ( 1+ 5 ) = 5 5,2 2 2
2
|1 + 2| = |1 + 1 5 i| = 1 + ( 1 5 ) = 5+ 5，2 2 2
因此，|1 + 1| ≠ |1 + 2|,故 C 错误.
1 2 1
对于 D： 1+ =2 i = i,故 D 正确.
故选:D.
59．（23-24 高一下·广东珠海·期中）已知复数 1， 2是关于 的方程 2 + + 1 = 0 ( 2 < < 2, ∈ R)的两
根，则下列说法中不正确的是（ ）
A． 1 = B
1
2 ． ∈ R2
C．| 1| = | 2| = 1 D．若 = 1，则 31 = 32 = 1
【解题思路】在复数范围内解方程得 1， 2，然后根据复数的概念、运算判断各选项．
【解答过程】对于关于 的方程 2 + + 1 = 0，则Δ = 2 4 < 0，
∴ = ± 4 2i，不妨设 1 =
+ 4 2i， = 4 2
2 2 2 2 2
i，
2
1 = 2，故 A 正确；
2 4 2 2| 1| = | 2| = + = 1，故 C 正确；2 2
2 2
1 = 1 ∴
1
， 1 2
2 4 2
2 = = 1 = 2 i，当 ≠ 0
1
时， R，故 B 错误；2 1 2 2 2
当 = 1时， 1 =
1 3 1 3 2 1 3
2 + i， 2 2 = 2 i，所以 2 1 = 2 i = = ，2 2 1
2 3 32 = 1 = 2， 1 = 1 2 = 1，同理 2 = 1，故 D 正确．
故选：B．
60．（23-24 高一下·辽宁辽阳·阶段练习）已知复数 21， 2是关于 的方程3 + = 0（ ， ∈ R， > 0）
1
的两个复数根，且 = ， 2 + 2 = 21 2 3 1 2 9，则（ ）
A． 1与 2互为共辄复数 B． = 1
C． 2 + 2 = 6 D．| 2 2| = 2 21 2 9
【解题思路】根据韦达定理与题目所给条件建立方程组，可得 = 2, = 1，进而可得 1， 2的值，再逐项判
断即可.
【解答过程】因为 1, 2是关于 的方程3 2 + = 0的两个复数根，
+ = , = 所以 1 2 3 1 2 3，
2
2
+ 2 = ( + )2 2 = 2 所以 1 2 1 2 1 2 9 3 ，
1
又因为 1 2 = 3,
2 + 2 21 2 = 9，
= 1
所以 3 3 2 ， 2 = 2
9 3 9
解得 = 1, =± 2，
因为 > 0，
所以 = 2.
1 2 1 2
对于 A，由3 2 2 + 1 = 0，得， 1 = 3 + = i，3 i， 2 3 3
所以 1与 2互为共轭复数，故 A 正确；
对于 B， = 2 1 = 1，故 B 正确；
对于 C， 2 + 2 = 4 + 1 = 5，故 C 错误；
对于 D，由 A 选项知，
2 21 2 = ( 1 + 2)( 1 2) = (
1
3 +
2i + 13
2i)(13 +
2i 1 + 23 i) =
2 2 2
3 × i，3 3 3 3 3
所以| 2 2| = 4 21 2 ，故 D 错误.9
故选：AB.2024-2025 学年高一下学期第一次月考选择题压轴题十五大题型专练
【人教 A 版（2019）】
题型 1 相等向量与共线向量
1．（23-24 高一下·广东东莞·开学考试）设点 是正方形 的中心，则下列结论错误的是（ ）
A． = B． = C． // D． 与 共线
2．（23-24 高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形 中， = ，则必有（ ）
A． = B． = C． = D． =
3．（24-25 高一下·江苏淮安·阶段练习）如图所示，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则以图中点 A、B、
C、D、E、F、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量 外，与向量
共线的向量共有（ ）
A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．10 个
4．（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，四边形 ， ， 是全等的菱形，则下列结论中一
定成立的是（ ）
A．| | = | |
B． 与 共线
C． 与 共线
D． ＝
题型 2 向量线性运算的几何应用
5．（23-24 高一下·广西南宁·期末）已知 为 △ 内一点，且满足3 +4 +5 = 2 +3 + ，
△
则 = （ ）△
A 2．5 B
1 C 3 3．4 ．4 D．5
6．（23-24 高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形 中， = 2 , 和 相交于点 G，且 F 为 上
1
一点（不包括端点），若 = + 3，则 + 的最小值为（ ）
A．5 + 3 3 B．6 + 2 5 C．8 + 5 D．15
7．（23-24 高一下·云南昭通·期中）已知 为 △ 内一点，且满足 + +( 1) = 0，若 △ 的
面积与 △ 1的面积的比值为4，则 的值为（ ）
A 3 B 4 C 1．4 ．3 ．2 D．2
8．（23-24 高一下·青海西宁·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.
在如图所示的正五角星中，以 , , , , 为顶点的多边形为正五边形且 = 5 1 ，下列关系中正确的是（ ）2
A． + = B． =
C． + = 5 1 D． = 5 1
2 2
题型 3 向量的数量积问题
9．（23-24 · 2π高一下 黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量 ， 满足| | = 2，| | = 4，向量 与 的夹角为 3 ，则 +
= （ ）
A．0 B．8 C．4 + 4 3 D．4 4 3
π
10 23-24 · · △ ∠ = = 2 = 1．（ 高一下 天津 期中）如图，在 中， 3， ， 为 上一点，且 4 +
，若| | = 3，| | = 4，则 的值为（ ）
A 7 7 13 13． 6 B．6 C． 12 D．12
11．（2024·山东威海·一模）在 △ 中，∠ = 90 ，| | | | = 1， 是 △ 所在平面内一点， =
| +3
，则 的最大值为（ ）
| | |
A．5 + 2 3 B．10 + 2 3 C．5 2 3 D．10 2 3
12．（23-24 高一下·安徽马鞍山·期中）已知圆 半径为 2，弦 = 2，点 为圆 上任意一点，则下列说法
正确的是（ ）
A． = 2 B． 的最大值为 6
C．| | ∈ [0,4] D．满足 = 0的点 只有一个
题型 4 向量的夹角（夹角的余弦值）问题
13．（23-24 3高一下·江苏南通·期中）已知单位向量 1， 2满足( 1 + 2) 1 = 2，则 1， 2的夹角为（ ）
π π
A B 2π 3π．4 ．3 C． 3 D． 4
14．（23-24 高一下·湖北·期末）已知单位向量 ， 互相垂直，若存在实数 ，使得 + (1 ) 与(1 ) +
的夹角为60 ，则 = （ ）
A 1± 2 B 1 ± 2 C 1± 3． ． ． D． 1 ±2 2 3
15．（23-24 2π高一下·山西长治·期末）已知平面向量 ， 满足| | = 1，| | = 2， ， 夹角为 3 ，若 +2 与 +
夹角为锐角，则 的取值范围是（ ）
A 1 1． , + ∞ B． ,1 ∪ (1, + ∞)
2 2
C 1． , + ∞ D 1． ,2 ∪ (2, + ∞)
7 7
16．（24-25 高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 1, 2是两个单位向量， ∈ R时，| 1 + 2|的最小值为
3
，则下列结论正确的是（ ）
2
A． 2 1, 2的夹角是3 B． 1, 2的夹角是3或 3
C．| 1 + 2| = 1或 3 D．| + | = 1
3
1 2 或 2
题型 5 平面向量基本定理的应用
17．（23-24 高一下·陕西西安·期末）如图，正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若 = ，则 =
（ ）
A 1 B 1 C 4 D 5． ． ．3 ．3
18．（23-24 高一下·安徽芜湖·期中）如图，E，F 分别为平行四边形 ABCD 边 AD 的两个三等分点，分别连
接 BE，CF，并延长交于点 O，连接 OA，OD，则 = （ ）
→ →
A 2 1． 3 + 3 B． +2
→ →
C． 2 + D． 2
19．（23-24 高一下·河南·阶段练习）已知□ABCD 中，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点 A，C），点 Q 在
对角线 BD 上（不包括端点 B，D），若 = 1 + 1 ， = 2 + 2 ，记2 21 1的最小值为 m，
1 2
2 + 的最小值为 n，则（ ）2 2
A = 1 = 9． 8， 2 B． =
1
4， =
9
2
C． = 1 9 18， = 4 D． = 4， =
9
4
20．（23-24 高一下·河北·期中）如图，在 △ 中，BD 与 EC 交于点 G，E 是 AB 的靠近 B 的三等分点，D
是 AC 的中点，且有 = + ， , ∈ (0, + ∞)，则下列命题正确的是（ ）
A． + 3 = 1
B．3 + 2 = 2
C． = 12 +
1
4
D．过 G 作直线 MN 分别交线段 AB，AC 于点 M，N，设 = ， = （ > 0， > 0），则
+ 2 的最小值为 2．
题型 6 平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
21．（23-24 高三上·平广面向东量线揭性阳运算·的期坐中标表）示 已知点 (0,0)，向量 = (2,3)， = (6, 3)，点 是线段 的三等
分点，则点 的坐标是（ ）
A 14． , 1 B 10 ,1 C 14 , 1 10 ,1 D 14 10． ． 或 ． ,1 或 ,1
3 3 3 3 3 3
22．（23-24 高一下·广东梅州·期末）如图，在扇形 AOB 中，扇形的半径为1,∠ = 2π3 ，点 在弧 上移
π
动， = + ．当∠ = 2时， + = （ ）
A 3 B 3 C 2 D 3 3．2 ． ． ． 2
23．（23-24 高一下·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角
形来构造无理数．已知 = = = 2, ⊥ , ⊥ ，若 = + ，则 + = （ ）
A． 2 B． 2 C． 2+1 D． 2 1
2 2 2 2
24．（2024·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形 中， ⊥ , = 2 , 为 中点， , 分别为线段
的两个三等分点，点 为线段 上任意一点，若 = + ，则 + 的值可能是（ ）
A 1 B 3 C 5． ．2 ．7 D．3
题型 7 向量共线、垂直的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
25．（24-25 高三上·平山面向东量线·阶性运段算的练坐习标表）示 向量 = （1,3）， = (3 1, + 1)， = (5,7)，若 + ∥ + ，
且 = + ，则 + 的值为（ ）
A．2 B 5 7．2 C．3 D．2
26．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量 = ( 1, )， = (1,2)， = ( + 2,0)且实数 ≥ 0，
若 A，B，C 三点共线．则 = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
27．（23-24 高一下·河北张家口·期末）已知平面向量 = (2,3), = ( , 6), = ( ,4)，若 // , ⊥ ，则 =
（ ）
A． 12 B． 2 C．2 D．12
28．（2024 高一下·全国·专题练习）已知 = ( , 2)， = ( 4, )，则（ ）
A．若 // ，则 =± 2 2
B．若 ⊥ ，则 = 0
C．| |的最小值为 2
D．若向量 与向量 的夹角为钝角，则 的取值范围为(0, + ∞)
题型 8 用向量解决夹角、线段的长度问题
平面向量线性运算的坐标表示
29．（23-24 高一下·平辽面向宁量线锦性州运算·的期坐末标表）示 已知 △ ， = 1， = 2，∠ = 60°，点 D 在 边上且
= 13 ，则 长度为（ ）
A 3 3 2 3． 3 B． C． D．2 3 3
30．（2024·四川南充·三模）在Rt △ 中，∠ = 90°， = 2， = 3， = 2 ， = 12 ，CN 与
BM 交于点 P，则cos∠ 的值为（ ）
A． 5 B． 2 5
5 5
C． 5 D．2 5
5 5
31．（23-24 高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形 ABCD 中， // ， ⊥ ，| | = 2，| | = 2| |.若
点 P 在线段 BC 上，则| +3 |的最小值是（ ）
A 7．2 B．4 C
9
．2 D．6
32．（23-24 高二上·广东广州·阶段练习）在 △ 中，已知 = 2, = 5,∠ = 60°，BC、AC 边上的两
条中线 AM、BN 相交于点 P，下列结论正确的是（ ）
A． = 39 B． = 212
C．∠ 的余弦值为 21 D． + + = 0
21
题型 9 向量与几何最值（范围）问题
平面向量线性运算的坐标表示
33．（23-24 高一下·平重面向庆量线·期性运末算的）坐如标表图示 ，已知正方形 的边长为 2，若动点 在以 为直径的半圆上（正
方形 内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A．[0,2] B．[0,4] C．[0,3] D．[0,1]
34．（23-24 高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为 1 的圆 O 上运动，且
⊥ ， M 是圆 O 外一点， = 2，则| + + 2 |的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
35．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形 ABCD 中， ⊥ ， ⊥ ，∠ = 120°，
= = 1．若点 E 为边 CD 上的动点（不与 C、D 重合），则 的最小值为（ ）
A 13．12 B
21
．16 C． 3 D．1
36．（23-24 高一下·福建龙岩·期末）已知 是边长为 1 的正六边形 所在平面内一点， = +
+ ，则下列结论正确的是（ ）
A 1．当 为正六边形 的中心时， = 2 B． 的最大值为 4
C． 1的最小值为 4 D． 可以为 0
题型 10 正、余弦定理判定三角形形状
平面向量线性运算的坐标表示
37 23-24 ·平面向量线· 性运算的坐标表示 △ sin = sin ．（ 高一下 天津 阶段练习）在 中，已知 2+ 2 2 2+ 2 2，则 △ 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
π
38．（23-24 高一下·北京海淀·期末）在 △ 中，已知 = 2, = 3．则下列说法正确的是（ ）
A．当 = 1 4 3时， △ 是锐角三角形 B．当 = 时， △ 是直角三角形
3
C = 3 5．当 2时， △ 是钝角三角形 D．当 = 3时， △ 是等腰三角形
39 24-25 · · △ sin = sin sin ．（ 高二上 广东潮州 开学考试）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 3 = 4
( 为非零实数），则下列结论错误的是（ ）
A．当 = 5时， △ 是直角三角形 B．当 = 3时， △ 是锐角三角形
C．当 = 2时， △ 是钝角三角形 D．当 = 1时， △ 是钝角三角形
40．（23-24 高一下·江苏宿迁·期中）在 △ 中， ， ， 分别为角 、 ， 的对边，下列叙述正确的是
（ ）
A．若 cos = cos ，则 △ 为等腰三角形
B．若 tan = tan ，则 △ 为等腰三角形
C．若sin2 + sin2 + cos2 < 1，则 △ 为锐角三角形
D．若cos2 + cos2 + cos2 > 1，则 △ 为钝角三角形
题型 11 三角形（四边形）的面积问题
平面向量线性运算的坐标表示
41．（23-24 高一下·平江面向苏量线扬性州运算·的期坐中标表）示 在 △ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， = 3，D 为
的中点， = 1，且 cos + cos = 2 cos ，则 △ 的面积为（ ）
A 7 B 7 3 C 5 3 5．8 ． ． D．8 8 8
42．（23-24 高一下·江苏盐城·期中）记 △ 的三个内角分别为 ， ， ，其对边分别为 ， ， ，分别以
， 3 1， 为边长的三个正三角形的面积依次为 1， 2， 3，已知 1 2 + 3 = ，sin = 3，则 △ 的面2
积（ ）
A 2 2 2．2 2 B． C． D．28 3
43．（23-24 高一下·山东淄博·期中）在 △ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若sin2 sin2 + sin2 =
sin sin ，且 = 3，则 △ 面积的最大值为（ ）
A 3 B 9 3 C 3 3． ． ． D．24 4 3
44．（23-24 高一下·山东菏泽·期中） △ 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， cos + cos = 2
π
sin ，且∠ = 3.若 D 是 △ 外一点，DC＝1，AD＝2，则下列说法中正确（ ）
π π
A．∠ = 6 B．∠ = 2
C．四边形 ABCD 面积有最小值 D．四边形 ABCD 面积有最大值
题型 12 求三角形中的边长或周长的最值或范围
平面向量线性运算的坐标表示
45．（23-24 高一下·平湖面向北量线武性汉运算·的期坐中标表）示 在锐角 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , , 为 △ 的面积，
= 4，且2 = 2 ( )2，则 △ 的周长的取值范围是（ ）
A． 8,4 5 + 4 B． 12,2 5 + 2 C． 8,2 5 + 2 D． 12,4 5 + 4
( 2 2 246 23-24 · · △ , , , , + )sin
2
．（ 高一下 宁夏石嘴山 期末）在 中，角 的对边分别为 ，若 2 sin cos + 2 +
= 0， = 3，则 + 的取值范围是（ ）
A． 3，2 B．( 3,2] C． 3 ，1 D． 3 ，12 2
47．（23-24 高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形 中，已知 ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 3 = 2
sin ， = 3，则三角形 的周长的取值范围是（ ）
A．(3 3,3 3) B．(3 3,3 3] C．(3 + 3,3 3] D．[3 + 3,3 3]
48．（23-24 高一下·山东菏泽·期末）已知 △ 三个内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且∠ = 3，
= 2，则下列结论正确的有（ ）
A． △ 面积的最大值为 3 B． cos + cos = 2
C． △ cos 周长的最大值为 6 D．cos 的取值范围为 ∞,
3 ∪ ( 3, + ∞)
2
题型 13 复数的模的几何意义
平面向量线性运算的坐标表示
49．（23-24 高一下·平河面向南量线郑性州运算·的期坐中标表）示 已知复数 z 满足| + 3i| = | i|，则| + 1 + 2i|的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． 3 D． 5
50．（23-24 高二下·广东湛江·期中）设 ∈ ，在复平面内 对应的点为 ，若1 ≤ | | ≤ 4，则点 所在区域的
面积为（ ）
A．15π B．6π C．3π D．2π
51．（2024·辽宁·二模）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足| i| = 1，则| 3|的最小值为（ ）
A． 3 1 B．1 C． 3 +1 D．3
52．（23-24 高一下·重庆·期末）已知复数 1 = 2 + 3i, 2 = 3 4i, 1, 2在复平面内对应的点分别为 1, 2，则
（ ）
A．| 1 + 2| = | 1| + | 2|
B．| 1 2| = 5 2
C．满足| | = | 2|的复数 对应的点 形成的图形的周长是5π
D．满足| 1| < | | < | 2|的复数 对应的点 形成的图形的面积是12π
题型 14 根据复数的四则运算结果求复数特征
平面向量线性运算的坐标表示
53．（23-24 ·平面向量线· 性运 1+ i高一下 湖北 期中算的）坐已标表知示 复数 = 1 i ，其中i为虚数单位， ∈ R，若 为纯虚数，则复数 +
在复平面内对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
54．（23-24 5 i高一下·四川雅安·期末）在复平面内，满足| | = 1的复数 对应的点为 ，复数 1 i对应的1 i
点为 0，则| 0 |的值不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
55．（2024·陕西宝鸡·一模）已知复数 = 1 3i， 为 z 的共轭复数，则| | 在复平面表示的点在（ ）
1+ 3i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
56．（23-24 高一下·贵州·期中）已知(1 + 2i) = 4 + 3i，则下列说法正确的是（ ）
A． = 3．
B．| + 2 + 3i| = 2 5．
C．( + i) ( , ∈ R)在复平面内对应的点位于实轴上，则 2 = 0．
D 1．2 i在复平面内的点在直线 = + 5上．
题型 15 复数范围内方程的根的问题
平面向量线性运算的坐标表示
57．（23-24 高一下·平河面向南量线·阶性运段算的练坐习标表）示 已知复数 满足(2 i) = 3 4i， = i， > 0，若 + 是关于 的
方程 2 + 13 = 0( > 0)的一个根，则 + 等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
58．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程 2 + i + 1 = 0（其中i为虚数单位）的两根分别为 1， 2，则有
（ ）
2 A． 1 = 22 > 0 B
1 2
． 1 + 2 = 1 2 C．|1 + 1| = |1 + 2| D． 1+ = i2
59．（23-24 高一下·广东珠海·期中）已知复数 1， 2是关于 的方程 2 + + 1 = 0 ( 2 < < 2, ∈ R)的两
根，则下列说法中不正确的是（ ）
A． 1 = 2 B
1
． ∈ R2
C．| 1| = | 2| = 1 D．若 = 1，则 31 = 32 = 1
60．（23-24 高一下·辽宁辽阳·阶段练习）已知复数 1， 2是关于 的方程3 2 + = 0（ ， ∈ R， > 0）
的两个复数根，且 1 2 =
1 2
3，
2
1 + 22 = 9，则（ ）
A． 1与 2互为共辄复数 B． = 1
C． 2 + 2 = 6 D．| 2 2 2 21 2| = 9
