章末综合评价卷(三) 函数
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·江苏扬州)在平面直角坐标系中，点P(1，2)关于坐标原点的对称点P′的坐标为( )
A．(－1，－2) B．(－1，2)
C．(1，－2) D．(1，2)
2．(2024·四川广元)如果单项式－x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点(m，n)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(2024·重庆)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是( )
A．(1，10) B．(－2，5)
C．(2，5) D．(2，8)
4．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( )
A．x＝－1 B．x＝2
C．x＝0 D．x＝3
5．(2024·滨州)点M(x1，y1)和点N(x2，y2)在反比例函数y＝(k为常数)的图象上，若x1＜0＜x2，则y1，y2，0的大小关系为( )
A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0
C．y1＜0＜y2 D．y1＞0＞y2
6．(2024·四川自贡)一次函数y＝x－2n＋4，二次函数y＝x2＋(n－1)x－3，反比例函数y＝在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是( )
A．n＞－1 B．n＞2
C．－1＜n＜1 D．1＜n＜2
7．(2024·四川乐山)已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是( )
A．0＜t≤2 B．0＜t≤4
C．2≤t≤4 D．t≥2
8．如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO＝90°，反比例函数y＝经过另一条直角边AC的中点D，S△AOC＝3，则k＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
9．[跨学科]如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－k)2＋h．已知球与O点的水平距离为6 m时，达到最高2.6 m，球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m，则下列判断正确的是( )
A．球不会过网
B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界
D．无法确定
10．[规律探究题](2024·河北)平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度．
例：“和点”P(2，1)按上述规则连续平移3次后，到达点P3(2，2)，其平移过程如下：．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(－1，9)，则点Q的坐标为( )
A．(6，1)或(7，1)
B．(15，－7)或(8，0)
C．(6，0)或(8，0)
D．(5，1)或(7，1)
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．(2024·黑龙江龙东)在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ________．
12．[跨学科](2024·湖南)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f＝(k为常数，k≠0)．若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 ________．
13．(2024·上海)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售额1 000万元，当投入90万元时销售额5 000万元．则投入80万元时，销售额为 ________万元．
14．(2024·黑龙江齐齐哈尔)如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S ABCO＝3，则实数k的值为 ________．
15．(2024·江苏苏州)直线l1：y＝x－1与x轴交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式是 ________．
16．(2024·四川德阳)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b＋2c＜0；③若抛物线经过点(－6，y1)，(5，y2)，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 ________(请填写序号)．
三、解答题(本大题共5小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(12分)[新定义问题]已知，对于平面直角坐标系中的点P(a，b)，若点P′(a－kb，b－ka)(其中k为常数，且k≠0，则称点P′为点P的“k系好点”．例如：P(1，2)的“2系好点”为P′(1－2×2，2－2×1)，即P′(－3，0)．
(1)求点P(－2，1)的“－2系好点”P′的坐标；
(2)若点P在x轴的正半轴上，点P的“k系好点”为点P′，PP′＝2OP，求k的值；
(3)已知点A(x，y)在第二象限，且满足xy＝－9，点A为点B(m，n)的“1系好点”，求m－n的值．
18．(12分)[跨学科]为了预防春季流行性感冒，学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例；药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧后y与x的函数关系式为________，自变量取值范围是 ________；
(2)当空气中每立方米的含药量低于0.3毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能回到教室？
19．(15分)(2024·黑龙江牡丹江)一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程y km与两车行驶时间x h的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是 ________km/h，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段EF所在直线的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
20．(16分)(2024·四川遂宁)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于A(1，3)，B(n，－1)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
(3)过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连接AC，求△ABC的面积．
21．(17分)(2024·四川雅安)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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1．A 2．D 3．B 4．A 5．C
6．C [根据题意，得
解得－1＜n＜1，
∴n的取值范围是－1＜n＜1．
故选C．]
7．C [因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为(1，－1)．
因为1－(－1)＝3－1，
所以x＝－1和x＝3时的函数值相等．
因为－1≤x≤t－1，当x＝－1时，函数取得最大值，
所以t－1≤3，
又因为当x＝1时，函数取得最小值，
所以t－1≥1，所以1≤t－1≤3，解得2≤t≤4．
故选C．]
8．B [∵直角边AC的中点是D，S△AOC＝3，
∴S△CDO＝S△AOC＝，
∵反比例函数y＝经过另一条直角边AC的中点D，CD⊥x轴，∴k＝2S△CDO＝3．
故选B．]
9．C [∵球与O点的水平距离为6 m时，达到最高2.6 m，
∴抛物线的表达式为y＝a(x－6)2＋2.6，
∵抛物线过点(0，2)，
∴2＝a(0－6)2＋2.6，
解得a＝－，
故y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋2.6，
当x＝9时，y＝－(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y＝0时，－(x－6)2＋2.6＝0，
解得x1＝6＋2＞18，x2＝6－2(舍去)，
故球会出界．
故选C．]
10．D [根据已知：点P3(2，2)横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4(2，3)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5(1，3)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位，…，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移；
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16(－1，9)，则按照“和点”Q16 反向运动16次即可，可以分为两种情况：
①Q16先向右1个单位得到Q15(0，9)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立； ②Q16先向下1个单位得到Q15(－1，8)，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到Q16，故符合题意，
∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为(－1＋7，9－8)，即(6，1)，
∴最后一次若向右平移则为(7，1)，若向左平移则为(5，1)，
故选D．]
11．x≥3 [由题意，得x－3≥0且x＋2≠0，
解得x≥3．]
12．180 [当l＝0.9，f＝200时，200＝，
∴k＝180．]
13．4 500 [设y＝kx＋b，
∵当投入10万元时销售额1 000万元，当投入90万元时销售额5 000万元，
∴解得
∴y＝50x＋500，
当x＝80时，y＝50×80＋500＝4 500．]
14．－6 [如图，延长AB交y轴于点D，
∵B(－1，3)，S ABCO＝3，
∴OC·OD＝3OC＝3，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC＝1，
∴AD＝2，
∴A(－2，3)，
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝－6．]
15．y＝ [如图所示，
将x＝0代入y＝x－1得，y＝－1，
所以点B坐标为(0，－1)．
将y＝0代入y＝x－1得，x＝1，
所以点A的坐标为(1，0)，
所以OA＝OB＝1，
所以∠OBA＝∠OAB＝45°．
由旋转可知，
∠BAC＝15°，
∴∠OAC＝45°＋15°＝60°．
在Rt△AOC中，
tan ∠OAC＝，
所以OC＝，
则点C的坐标为．
令直线l2的函数表达式为y＝kx＋b，
则解得
所以直线l2的函数表达式为y＝．]
16．①②④ [∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A的坐标为，
∴－．
∴a＝b，
∵抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
由图象可得：当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，
∴5b＋2c＜0，故②正确．
∵直线x＝－是抛物线的对称轴，
∴点(－6，y1)到对称轴的距离大于点(5，y2)到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故③错误．
∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝4无实数根，
∴顶点A在直线y＝4的下方，
∴n＜4，故④正确．
故正确的有①②④．]
17．解：(1)∵点P′是点P(－2，1)的“－2系好点”，
∴P′(－2＋2×1，1－2×2)，即P′(0，－3)．
(2)设P(t，0)，其中t＞0，则P′(t，－kt)，
∴PP′∥y轴，
∴PP′＝|－kt|，
∵OP＝t，PP′＝2OP，
∴|－kt|＝2t，解得k＝±2．
(3)∵B(m，n)的“1系好点”A为(m－n，n－m)，
∴x＝m－n，y＝n－m，
又∵xy＝－9，
∴(m－n)(n－m)＝－9，
∴m－n＝±3，
∵点A(x，y)在第二象限，
∴m－n＝－3．
18．解：(1)y＝，x＞2．
(2)反比例函数表达式为y＝(x>2)，
当y＝0.3时，x＝＝40(分钟)．
答：从消毒开始，至少需要40分钟后，学生才能回到教室．
19．解：(1)由图可知，甲车小时行驶的路程为(200－180)km，
∴甲车行驶的速度是(200－180)÷＝70(km/h)，
70×＝300(km)，
填图如下．
(2)由图可知，E，F的坐标分别为，(4，180)，
设线段EF所在直线的函数表达式为y＝kx＋b，
则解得
∴线段EF所在直线的函数表达式为y＝120x－300．
(3)由题意知，A，C两地的距离为×70＝300(km)，
乙车行驶的速度为300÷－70＝50(km/h)，
C，B两地的距离为50×4＝200(km)，
A，B两地的距离为300－200＝100(km)，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
200－50x＝3(100－70x)，解得x＝；
当甲乙相遇后时：
200－50x＝3(70x－100)，解得x＝．
综上可知，两车出发 h或 h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
20．解：(1)将点A的坐标代入反比例函数表达式，得m＝1×3＝3，
所以反比例函数表达式为y＝．
将点B坐标代入反比例函数表达式，得n＝－3，
所以点B的坐标为(－3，－1)．
将A，B两点坐标代入一次函数表达式，得解得
所以一次函数表达式为y＝x＋2．
(2)由函数图象可知，
当－3＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，
所以当y1＞y2时，x的取值范围是－3＜x＜0或x＞1．
(3)连接AO，令直线AB与x轴的交点为M，
将y＝0代入y＝x＋2，
得x＝－2，
所以点M的坐标为(－2，0)，
所以S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝×2×3＝4．
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点B和点C关于原点O中心对称，
所以BO＝CO，
所以S△ABC＝2S△AOB＝8．
21．解：(1)由题意，得y＝a(x－1)(x－3)＝a(x2－4x＋3)＝ax2＋bx＋3，
则a＝1，
则抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3．
(2)由抛物线的表达式知，点C(0，3)，
由点B，C的坐标得，直线CB的表达式为y＝－x＋3，
设点P(x，－x＋3)，则点Q(x，x2－4x＋3)，
则PQ＝－x＋3－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x，
∵－1＜0，故PQ有最大值，
此时x＝，则y＝x2－4x＋3＝－，
即点Q．
(3)存在，理由：
由点C，Q的坐标得，直线CQ的表达式为y＝－x＋3，
过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQC＝∠QCO，
∵∠CQD＝2∠OCQ，
则∠CQT＝∠DQT，
即直线CQ和DQ关于直线QT对称，
则直线DQ的表达式为y＝，
联立上式和抛物线的表达式得：x2－4x＋3＝，
解得x＝(舍去)或x＝5，
即点D(5，8)．
设点E(0，y)，由B，D，E的坐标得BD2＝68，DE2＝25＋(y－8)2，BE2＝9＋y2，
当DE＝BD时，则68＝25＋(y－8)2，
解得y＝8±，即点E；
当DE＝BE或BD＝BE时，
同理可得25＋(y－8)2＝9＋y2或9＋y2＝68，
解得y＝5或y＝±，
即点E(0，5)或．
综上，点E的坐标为或(0，5)或．
