章末综合评价卷(四)
1．C 2．B 3．B 4．D
5．B [∵BE是△ABC的中线，
∴S△ABE＝S△BCE．
故④正确，符合题意；
∵CF是∠ACB的平分线，∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD⊥BC，∴∠BCF＋∠CGD＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠ACF＋∠AFG＝90°，
∴∠CGD＝∠AFG，
∵∠CGD＝∠AGF，
∴∠AGF＝∠AFG．
故②正确，符合题意；
∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF．
故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定∠HBC＝∠HCB，
∴BH与CH的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
∵CF是∠ACB平分线，∠BAC＝90°，
∴BF≠AF，
故①错误，不符合题意．
综上，符合题意的有3个．
故选B．]
6．A [∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，
∵点B的坐标为(－2，4)，
∴点B的对应点B′的坐标为(－2×2，4×2)，即(－4，8)．
故选A．]
7．A [∵＝0，
∴sin A－－cos B＝0，
∴sin A＝cos B＝
∴∠A＝30°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝120°．
故选A．]
8．D [∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE．
故A，C选项不符合题意．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
故B选项不符合题意．
∵△ADE∽△ABC，
∴
则S△ADE＝S△ABC．
故D选项符合题意．
故选D．]
9．C [∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，
∴EH＝AE－AH＝4－3＝1，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠DHE＝90°，
∴DE＝
故选C．]
10．A [由题知，
令AD＝BC＝a，AB＝CD＝2a，
由翻折可知，
∠EAC＝∠BAC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AE＝EC．
令DE＝x，
则AE＝EC＝2a－x，
在Rt△ADE中，
2＋x2＝(2a－x)2，
解得x＝a，
∴DE＝a．
在Rt△DAE中，
sin ∠DAE＝．
故选A．]
11．＞ [∵45°＜55°，∴cos 45°＞cos 55°．]
12．1∶2 [∵两个相似多边形的相似比为1∶2，
∴两个相似多边形周长的比等于1∶2．]
13．AB∥CD(答案不唯一 ) [∵∠AOB＝∠COD(对顶角相等)，
∴只要∠OAB＝∠OCD，∠ODC＝∠OBA，AB∥CD等，其中一项符合即可，答案不唯一．]
14． [如图，过F作FH⊥AC于点H，
由作图可得：∠BAP＝∠CAP，DE⊥AB，AF＝BF＝AB＝2，
∵∠PQE＝67.5°，
∴∠AQF＝67.5°，
∴∠BAP＝∠CAP＝90°－67.5°＝22.5°，
∴∠FAH＝45°，
∴AH＝FH＝
∴F到AN的距离为．]
15．6－2 [延长DC交l于点H，连接OC，
在Rt△OBH中，∠BOH＝90°－60°＝30°，OB＝12 dm，
∴BH＝12×tan 30°＝4(dm)，OH＝8 dm，
∵S△OBH＝S△OCH＋S△OBC，
∴OB·BC，
∴×12×4，
∴CF＝dm．]
16． [连接A1B．由题知，
∠COB＝∠O′C′B＝30°，BO＝BC′，
∴A1O＝A1C′，
∴点A1在OC′的垂直平分线上．
∵点B的坐标为(1，0)，∴OB＝1，
在Rt△A1OB中，
tan 30°＝∴A1B＝
∴点A1的坐标为．
依次类推，
点A2的坐标为
点A3的坐标为
…，
∴点An的坐标为(n为正整数)．
又∵每滚动三次，出现下一个花心，
∴2 024÷3＝674……2，
则674＋1＝675，
∴滚动2 024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为点A675．
当n＝675时，
点A675的坐标为
即滚动2 024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为．]
17．[证明] ∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，
在△ABD和△BCE中
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE．
18．解： (1)△ABC是直角三角形．
∵AC＝15 km，BC＝20 km，AB＝25 km，
152＋202＝252，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
(2)∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AC·BC，
∴CD＝＝12(km)．
答：修建的公路CD的长是12 km．
19．解：(2)图2的结论是BM2＋NC2＋BM·NC＝MN2．
证明：∵AB＝AC，
∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN，连接QA，QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，
∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，
∴△ACN≌△ABQ(SAS)，
∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB．
又∵∠CAN＋∠BAM＝30°，
∴∠BAM＋∠QAB＝30°，
即∠QAM＝∠MAN，
又∵AM＝AM，
∴△AQM≌△ANM(SAS)，
∴MN＝QM．
∵∠ABQ＝60°，∠ABC＝60°，
∴∠QBH＝60°，
∴∠BQH＝30°，
∴BH＝BQ，
∴HM＝BM＋BH＝BM＋BQ，
在Rt△QHM中，可得：QH2＋HM2＝QM2，
即＝QM2，
整理得BM2＋BQ2＋BM·BQ＝QM2．
∴BM2＋NC2＋BM·NC＝MN2．
图3的结论是：BM2＋NC2－BM·NC＝MN2．
证明：以点B为顶点在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN，连接QA，QM，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，
∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，
∴△ACN≌△ABQ(SAS)，
∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，
又∵∠CAN＋∠BAM＝60°，
∴∠BAM＋∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，
又∵AM＝AM，
∴△AQM≌△ANM(SAS)，
∴MN＝QM，
在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°，
∴BH＝BQ，
HM＝BM－BH＝BM－BQ，
在Rt△QHM中，可得：QH2＋HM2＝QM2，
即＝QM2，
整理得BM2＋BQ2－BM·BQ＝QM2．
∴BM2＋NC2－BM·NC＝MN2．
(选择一个证明即可)
20．解： (1)在Rt△ABC中，∠A＝45°，
∴∠B＝45°，∴BC＝AC＝20 cm．
(2)由题意可知ON＝EC＝AC＝10 cm，
∴NB＝ON＝10 cm．
又∵∠DON＝32°，
∴DN＝ON·tan ∠DON＝10·tan 32°≈10×0.62＝6.2(cm)，
∴BD＝BN－DN＝10－6.2＝3.8(cm)．
21．解： (1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠BEF＝∠CED＝90° ，
∴∠F＝90°－∠B，∠CDE＝90°－∠C，且∠CDE＝∠ADF，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF．
(2)①当时；当时
∴总结规律得：是的2倍，
∴当时．
②当时，猜想
证明：作AG⊥EF于点G，
∵DE⊥BC，
∴AG∥CE， ∴△AGD∽△CED．
∵
∴
由(1)知AD＝AF，又AG⊥EF，
∴DG＝FG，即DF＝2DG， ∴．
(3)理由如下：
过点D作DG⊥CF，
∵∠ACF＝∠ACB，DE⊥CE，
∴DG＝DE，
由(2)知，当时 ，
∴
∴
∵PF⊥AC ，
∴∠ACF＋∠CFP＝90° ，
∵FE⊥BC，
∴∠B＋∠AFD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∴∠B＝∠ACF，
∴∠AFD＝∠CFP，
∴∠AFD－∠PFD＝∠CFP－∠PFD，
∴∠AFP＝∠DFG，
∴sin ∠AFP＝sin ∠DFG，
∴
由(1)知AD＝AF，
∴．章末综合评价卷(四) 几何初步与三角形
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．(2024·广西)如图， 2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为( )
A．20° B．40°
C．60° D．80°
2．下列命题中，属于假命题的是( )
A．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同旁内角互补，两直线平行
D．对顶角相等
3．(2024·四川德阳)如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC等于( )
A．10° B．20°
C．30° D．40°
4．[跨学科]如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝15，则线段AB的长是( )
A．5 B．4
C．3 D．10
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是∠ACB的平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE；⑤BH＝CH．其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
6．(2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为( )
A．(－4，8) B．(8，－4)
C．(－8，4) D．(4，－8)
7．在△ABC中，若＝0，则∠C的度数是( )
A．120° B．105°
C．75° D．45°
8．(2024·湖南)如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是( )
A．DE∥BC
B．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DE
D．S△ADE＝S△ABC
9．(2024·浙江)如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝( )
A．5 B．2
C． D．4
10．[新定义问题](2024·四川泸州)宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin ∠DAE的值为( )
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．比较大小：cos 45°________cos 55°．(用“＞”或“＜”填空)
12．(2024·江苏盐城)两个相似多边形的相似比为1∶2，则它们的周长的比为________．
13．(2024·青海)如图，线段AC、 BD交于点O，请你添加一个条件：________，使△AOB∽△COD．
14．(2024·山东)如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM，AN相交于点B，C，分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为________．
15．如图，已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4 dm，OB＝12 dm，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为_____________dm．
(结果用含根号的式子表示)
16．[规律探究题](2024·黑龙江齐齐哈尔)如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为O′，点C的对应点为C′，OC与O′C′的交点为A1，称点A1为第一个“花朵”的花心，点A2为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2 024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为________．
三、解答题(本大题共5小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(10分)(2024·四川宜宾)如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE．
18．(12分)[情境题]如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15 km，与公路上另一停靠站B的距离为BC＝20 km，停靠站A，B之间的距离为AB＝25 km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．
(1)请判断△ABC的形状．
(2)求修建的公路CD的长．
19．(16分)[探究题](2024·黑龙江龙东)已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M，N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM，NC，MN之间的数量关系．
(1)如图1，当∠BAC＝90°时，探究如下：
由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN＝BP且∠PBM＝90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2＋BP2＝MP2，则有BM2＋NC2＝MN2．
(2)当∠BAC＝60°时，如图2；当∠BAC＝120°时，如图3，分别写出线段BM，NC，MN之间的数量关系，并选择图2或图3进行证明．
20．(17分)[项目式学习试题](2024·贵州)综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．(直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线)
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20 cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长；
(2)求B，D之间的距离(结果精确到0.1 cm)．
(参考数据：sin 32°≈0.52，cos 32°≈0.84，tan 32°≈0.62)
21．(17分)[探究题](2024·内蒙古赤峰)数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延长线于点 F．
请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证：AD＝AF；
(2)探究与的关系：
某小组探究发现，当时；当时．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值(用含m， n的式子表示)，并证明；
(3)拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使∠ACF＝∠ACB时，若直接写出的值(用含m， n的式子表示)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
