章末综合评价卷(六)
1．A 2．A 3．C 4．C 5．C
6．A [∵CA，CB是⊙O的切线，点A，点B是切点，
∴CA⊥OA，CB⊥OB，
即∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠α＝60°，
∴∠ACB＝180°－60°＝120°，
∴∠AOB＝360°－120°－90°－90°＝60°，
∴这段圆曲线的长为＝π(km)．
故选A．]
7．B [如图，设O′A′与交于点T，连接OT，
∵点O′是OB的中点，OB＝OA＝2，
∴OO′＝，
∵OT＝OB，
∴OO′＝OT，
由平移的性质，得∠A′O′B′＝∠AOB＝90°，即∠OO′T＝180°－∠A′O′B′＝90°，
∵cos ∠TOO′＝，
∴∠TOO′＝60°，
∴O′T＝OO′·tan ∠TOO′＝×tan 60°＝3，∠AOT＝∠AOB－∠TOO′＝30°，
由平移的性质，得S阴影＋S1＝S2＋S1，
∴S阴影＝S2＝S扇形OAT＋S△OO′T＝×3＝π＋．
故选B．]
8．B [当P在AB的左侧时，如图所示，
∵∠PBP′＝90°，
∴∠BPP′＝45°，
当PP′是⊙A的切线时，AP⊥PP′，
∴∠APP′＝90°，
∴∠APB＝90°＋45°＝135°．
当P在AB的右侧时，
同理可得∠BPP′＝45°，
当PP′是⊙A的切线时，AP⊥PP′，
∴∠APP′＝90°，
∴∠APB＝90°－45°＝45°．
故选B．]
9．C [∵将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，∠OBC＝30°，
∴OC＝OC′，∠COC′＝∠BOB′，OB＝OB′＝4 cm，S△COB＝S△C′OB′，
∵∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，
∴∠COB＝90°－∠OBC＝60°，OC＝OB＝2 cm，
∴∠COC′＝180°－∠COB＝120°，
∴∠BOB′＝120°，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BOB′＋S△C′OB′－S扇形COC′－S△COB＝S扇形BOB′－S扇形COC′＝
故选C．]
10．D [连接PO，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵点A，点B关于原点O对称，
∴AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，
连接OM，并延长交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最大值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝6，MQ＝8，
∴OM＝10，
又∵MP′＝r＝4，
∴OP′＝MO＋MP′＝10＋4＝14，
∴AB＝2OP′＝2×14＝28．
故选D．]
11． [连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得AC＝＝13(cm)，
所以圆形镜面的半径为cm．
故答案为．]
12．20π cm2 [根据题意，圆锥的母线长为＝5(cm)，
所以该圆锥的侧面积为×8π×5＝20π(cm2)．
故答案为20π cm2．]
13．108 [∵⊙M的周长为2π cm，
∴⊙M顺时针转动3周时，点P移动的弧长为6π cm，
∴6π＝，
解得n＝108．
故答案为108．]
14．2π－2 [连接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA＝∠C＝30°，
∵OB＝2，
∴OA＝OB·tan ∠ABO＝OB·tan 30°＝2＝4，即圆的半径为2，
∴S阴影＝S半圆－S△ABO＝＝2π－2．
故答案为2π－2．]
15． [连接OD，作EH⊥BC，垂足为H，如图．
∵EF为直径，
∴∠A＝90°，
∵∠B＋∠C＝90°，∠B＋∠BEH＝90°，
∴∠BEH＝∠C，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，
而EH⊥BC，EF∥BC，
∴四边形EHDO为正方形，
∴EH＝OD＝OE＝HD＝5，
∴BH＝BD－HD＝7，
在Rt△BEH中，tan ∠BEH＝，
∴tan ∠ACB＝．
故答案为．]
16． [∵正六边形ABCDEF的边长为2，中心与原点O重合，AB∥x轴，
∴AP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝，
∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，
第2次旋转结束时，点A的坐标为，
第3次旋转结束时，点A的坐标为，
第4次旋转结束时，点A的坐标为，
∴4次一个循环，
∵2 022÷4＝505……2，
∴第2 022次旋转结束时，点A的坐标为．
故答案为．]
17．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED．
(2)∵OC⊥AD，
∴，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴＝2π．
18．解：如图是一个蒙古包的示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为12 m2，高h2＝1.8 m；上部圆锥的高h1＝3.2－1.8＝1.4(m)．
圆柱的底面圆的半径
r＝≈1.954(m)，
侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10(m2)．
圆锥的母线长l≈≈2.404(m)，
侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28(m)，
圆锥的侧面积为×2.404×12.28≈14.76(m2)．
因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10＋14.76)≈738(m2)．
19．解：(1)证明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，
∴∠EDG＝∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵∠ADF＋∠FDC＝∠CDG＋∠FDC＝90°，
∴∠ADF＝∠CDG，
在△ADF和△CDG中，
(2)过点D作DH⊥AG于点H，连接OA，OD，
∴△ADF≌△CDG(ASA)．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∠AGD＝∠AOD＝×90°＝45°，
∴∠DAG＋∠BAG＝∠BAE＋∠BAG＝90°，
∴∠DAG＝∠BAE＝30°，
∵DH⊥AG，
∴∠DHG＝90°，
∴△HDG和△DFG都是等腰直角三角形．
在Rt△ADH中，∠DAG＝30°，
∴DH＝×2＝1，
AH＝，
∴AG＝AH＋HG＝＋1，
DF＝DG＝，
∴S△ADF＝S△ADG－S△DFG＝×1－，
∵OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OA＝，
∴S弓形AD＝S扇形AOD－S△AOD＝－1，
∴S阴影＝S△ADF＋S弓形AD＝．
20．解：(1)证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
(2)连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，CD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝BD·tan 30°＝2＝2，
∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝2，
∵∠BOD＝180°－∠AOD＝120°，
∴的长＝，
∴的长是．
21．解：(1)设BC与半圆O交于点M，
当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE＝EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴的长度为，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为．
(2)∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG＋∠BOH＝90°，
∵∠AGO＋∠AOG＝90°，∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△BOH中，
∴△AGO≌△BOH(AAS)，
∴OB＝AG＝t－5，
∵AB＝7，∴AE＝t－7，
∴AO＝5－(t－7)＝12－t，
在Rt△AGO中，AG2＋AO2＝OG2，
∴(t－5)2＋(12－t)2＝52，
解得t1＝8，t2＝9，
即t的值为8或9．章末综合评价卷(六) 圆
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．如果一个圆的直径是8 cm，圆心到一条直线的距离也是8 cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
2．(2024·岱岳区期末)如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是( )
A．OA＝OB＝AB
B．∠AOB＝∠COD
C．＝
D．O到AB、CD的距离相等
3．[易错题]已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB＝8 cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为( )
A．2cm B．4 cm
C．2cm或4cm D．2 cm或4 cm
4．[新考法](2024·河北)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m＝，则m与n关系的图象大致是( )
A． B．
C． D．
5．(2024·济宁)如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41′，∠F＝43°19′，则∠A的度数为( )
A．42° B．41°20′
C．41° D．40°20′
6．[情境题](2024·宁阳期末)中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝3 km，则这段圆曲线的长为( )
A．π km B．2π km
C．3π km D．6π km
7．(2024·东平二模)如图，将扇形OAB沿OB方向平移，使点O平移到OB的中点O′处，得到扇形O′A′B′．若∠AOB＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为( )
A．6 B．π＋
C．π＋2 D．π＋3
8．题目：“如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，以点A为圆心，以小于AB的长度为半径作⊙A，P是⊙A上一点，连接BP．将线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BP′，连接PP′．当∠APB为何度数时，PP′与⊙A相切，切点为P？”对于其答案，甲答：∠APB＝135°，乙答：∠APB＝60°，丙答：∠APB＝45°，则下列判断正确的是( )
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
9．(2024·宁阳期中)如图，在Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝4 cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C′在BO的延长线上，则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为( )
A．π cm2 B．(π＋) cm2
C．4π cm2 D．(4π＋) cm2
10．(2024·泰山期末)如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最大值为( )
A．13 B．14
C．12 D．28
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝5 cm，则圆形镜面的半径为_________________cm．
12．[情境题]草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为________．
13．[跨学科](2024·兰州)“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1 cm和10 cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝________．
14．(2024·泰山一模)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B的坐标为(0，2)，OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为________．
15．(2024·泰安模拟)如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l交⊙O于E，F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线l于B，C两点．若⊙O的半径R＝5，BD＝12，则∠ACB的正切值为________．
16．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2 022次旋转结束时，点A的坐标为________．
三、解答题(本大题共5小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
(1)求证：AE＝ED；
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
18．(12分)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高为1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142，结果取整数)
19．(14分)如图，正方形ABCD内接于⊙O，在上取一点E，连接AE，DE，过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG．
(1)求证：△AFD≌△CGD；
(2)若AB＝2，∠BAE＝30°，求阴影部分的面积．
20．(16分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
21．(18分)如图1，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E，F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
(1)如图2，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
(2)如图3，在点B运动的过程中，当AD，BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G，H．连接OG，OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
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