章末综合评价卷(五)
1．C 2．C 3．C 4．C
5．A [∵将长方形纸片折叠，点A落在BC上的F处，
∴BA＝BF．
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABFE为正方形．
故用的判定定理是：邻边相等的矩形是正方形．
故选A．]
6．C 7．A 8．D
9．C [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝12，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝12．
∵AE＝2ED，∴2ED＝12，
∴ED＝6，
如图，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，
则∠EFC＝∠EFD＝90°，
∴∠FED＝90°－∠D＝90°－60°＝30°，
∴DF＝ED＝3，
∴EF＝，CF＝CD－DF＝12－3＝9，
CE＝，
故选C．]
10．D [过点B作BH⊥AC，垂足为点H，连接EH，如图所示，
∴∠BEF＝∠BHF＝90°，
∴E，B，F，H四点共圆，
∴∠EHB＝∠EFB．
∵∠AHE＋∠EHB＝90°，∠EBF＋∠EFB＝90°，
∴∠AHE＝∠EBF，
∵∠EBF＝∠ACD，
∴∠AHE＝∠ACD为定值，
∴点E在射线HE上运动，当AE⊥EH时，AE的值最小．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠D＝90°，
∴AC＝＝10，
∴sin ∠AHE＝sin ∠ACD＝，
∵S△ACB＝AC·BH，
即×10×BH，
∴BH＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH＝，
∴AE的最小值为AH·sin ∠AHE＝．故选D．]
11．32° [正三角形的内角的度数是60°，正四边形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：(5－2)×180°＝108°，
则∠3＝360°－60°－90°－108°－∠1－∠2＝32°．
故答案为32°．]
12．30° [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，
∴∠BAD＝180°－∠D＝80°．
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝80°÷2＝40°．
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝(180°－40°)÷2＝70°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝30°．
故答案为30°．]
13．(0，4) [∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，
∴AB＝AO＋OB＝5，
∴AD＝AB＝5，
∴DO＝＝4，
∴点D(0，4)．
故答案为(0，4)．]
14．4 [∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝8，
同理DE＝DC＝8，
∵AD＝AF＋(DE－EF)＝12，∴EF＝4．
故答案为4．]
15． [∵四边形OABC是矩形，
∴OC∥AB，∴∠ECA＝∠CAB，
根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°，
∴∠ECA＝∠EAC，∴EC＝EA，
∵B(2，4)，∴AD＝AB＝4，
设OE＝x，则AE＝EC＝OC－OE＝4－x，
在Rt△AOE中，AE2＝OE2＋OA2，
即(4－x)2＝x2＋4，
解得：x＝，∴OE＝．
故答案为．]
16．5× [∵点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)，
∴OA＝1，OD＝2，BC＝AB＝AD＝．
∵四边形ABCD，四边形A1B1C1C都为正方形，
∴∠OAD＋∠A1AB＝90°，∠ADO＋∠OAD＝90°，
∴∠A1AB＝∠ADO．
∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，
∴△AOD∽△A1BA，
∴，
∴，∴A1B＝，
∴A1B1＝A1C＝A1B＋BC＝，
以此类推，A2B2＝，
A3B3＝，
…
A2 016B2 016＝，
∴S第2 016个正方形的面积＝
＝＝5×，
故答案为5×．]
17．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＋∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF＝∠ADC＝70°，
∴∠AFD＝∠CDF＝70°，
∵DF∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝70°．
18．解：(1)证明：在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD(ASA)，
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形．
(2)∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形．
∵AC＝8，∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积为×8×6＝24．
19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE．
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
20．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
BD是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，∴PA＝PC．
∵PA＝PE，∴PC＝PE．
(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP．
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E．
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°．
21．解：(1)①证明：过点E作EM⊥AD，垂足为点M，EN⊥AB，垂足为点N，则∠EMA＝∠EMD＝∠ENF＝∠ENB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB＝45°，AD＝AB，又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，EM＝EN，
∴DE＝BE．
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
又∵四边形DEFG是矩形，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN＝90°－∠MEF．
又∵∠EMD＝∠ENF＝90°，EM＝EN，
∴△EMD≌△ENF(ASA)，则DE＝EF，
∴EF＝BE，则∠EFB＝∠EBF．
②∵四边形DEFG是矩形，DE＝EF，
∴四边形DEFG是正方形．
(2)∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴AG＝CE，
∴AG＋AE＝CE＋AE＝AC＝．章末综合评价卷(五) 四边形
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
2．小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是( )
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
3．量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为( )
A．60° B．70° C．80° D．85°
4．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，E为AB的中点，连接OE．若菱形的周长为72，则OE的长为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
5．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
6．(2024·岱岳区期中)如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线BD上找两点M，N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是( )
A．只有甲 B．只有乙
C．甲和乙 D．甲、乙都不是
7．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tan α的值为( )
A． B．
C． D．
8．如图，在 ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD，垂足为点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
9．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E．连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为( )
A．10 B．6
C．6 D．3
10．如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF＝∠ACD，AB＝6，BC＝8，则AE的最小值为( )
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝________．
12．(2024·泰山模拟)如图，在 ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为________．
13．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点D的坐标是________．
14．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，BC＝12，则EF的长为________．
15．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B(2，4)，则OE的长为________．
16．(2024·泰安模拟)在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2 016个正方形的面积是________．
三、解答题(本大题共5小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(12分)如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
18．(12分)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
19．(12分)如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
20．(17分)如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．
(1)证明：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数．
21．(19分)(2024·泰山二模)如图，正方形ABCD中，AB＝1，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，垂足为点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG，EB．
(1)求证：①∠EFB＝∠EBF；
②矩形DEFG是正方形．
(2)求AG＋AE的值．
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