类型一 反比例函数与一次函数的综合
【典例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(3，n)，与y轴交于点B(0，－2)，点P是反比例函数y＝(x＞0)的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x＋b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
(1)求k，b的值；
(2)当△ABP的面积为3时，求点P的坐标；
(3)设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．
[解] (1)∵直线y＝x＋b过点B(0，－2)，
∴0＋b＝－2，∴b＝－2，
∵直线y＝x－2过点A(3，n)，
∴n＝3－2＝1，∴A(3，1)，
∵y＝的图象过点A(3，1)，
∴k＝xy＝3×1＝3．
(2)∵P，Q(t，t－2)，A(3，1)，B(0，－2)，
∴PQ＝－(t－2)，
∵S△APB＝S△APQ＋S△BPQ＝PQ·(xA－xB)＝×3＝3，
∴t＝，
∴点P的坐标为()．
(3)如图1，
∵P，Q(t，t－2)，∴C，
当BC是边，点D在x轴正半轴上时，
作CF⊥OB于点F，作DG⊥CF于点G，
∴∠BFC＝∠G＝90°，
∴∠FBC＋∠FCB＝90°．
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCG＋∠FCB＝90°，
∴∠FBC＝∠DCG．
∵BC＝CD，
∴△BFC≌△CGD(AAS)，
∴CF＝DG．
∵OF＝DG，
∴OF＝CF，
∴＝t，
∴t1＝1，t2＝－3(舍去)，
∴P(1，3)．
如图2，
当点D在x轴的负半轴上时，
可得BG＝DF＝2，
∴t＝2，
∴P．
如图3，当BC是对角线，点D在x轴负半轴上时，
可得CF＝OD，DF＝OB＝2，
∴＝2－t，
∴t＝1，
∴P(1，3)．
如图4，当BC是对角线，点D在x轴正半轴上时，可得
CG＝DF＝2，DG＝BF，
∴t＋2＝，
∴t1＝2－3，t2＝－2－3(舍去)，
当t＝2－3时，＝＝2＋3，
∴P(2－3，2＋3)．
综上所述，点P的坐标为或(1，3)或(2－3，2＋3)．
[对点演练]
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n所在直线AB与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于A(a，4)和B(4，b)两点，连接OA，把OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段CD，CD恰好过点B且点C(5，c)．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)请结合函数图象，直接写出关于x的不等式≥mx＋n的解集；
(3)求梯形AODB的面积．
[解] (1)根据题意知，AO∥CD，AO＝CD，
∴四边形AODC是平行四边形，
∴点A(a，4)和点C(5，c)的横坐标相差3，纵坐标相同，
即a＝2，c＝4．
∴A(2，4)，C(5，4)．
∵反比例函数y＝的图象过A(2，4)，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝，
把B(4，b)代入y＝，得b＝＝2，
∴B(4，2)．
把A(2，4)，B(4，2)代入y＝mx＋n，得
解得
∴一次函数的表达式为y＝－x＋6．
(2)由函数图象可得≥－x＋6的解集为0＜x≤2或x≥4．
(3)∵OD＝3，点A到OD的距离为4，
∴S AODC＝4×3＝12．
∵AC∥OD，
∴点B到AC的距离为yA－yB＝4－2＝2，
∴S△BAC＝×3×2＝3．
∴S梯形AODB＝S AODC－S△BAC＝12－3＝9．
∴梯形AODB的面积为9．
类型二 反比例函数与几何变换的综合
【典例2】 如图，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°，边AC交y轴于点D，点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，AC所在直线的表达式为y＝ax＋4，其中点A(－2，0)，B(1，0)．
(1)求反比例函数和AC所在直线的表达式；
(2)将Rt△ABC的直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，线段B′C′与反比例函数的图象交于点E，问当m为何值时，四边形ODC′E是平行四边形？
[解] (1)AC所在直线的表达式为y＝ax＋4，其中点A(－2，0)，将A点坐标代入得：－2a＋4＝0，
解得：a＝2，
∴AC所在直线的表达式为y＝2x＋4．
∵B(1，0)，∠ABC＝90°，
∴2×1＋4＝6，∴C(1，6)，
∵点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，
∴k＝1×6＝6，∴反比例函数的表达式为y＝．
(2)当x＝0时，y＝2x＋4＝4，∴OD＝4，
将Rt△ABC的直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，由平移的性质得到C′(1＋m，6)，B′C′＝BC＝6，
由题意得OD∥EC′，
∴当EC′＝OD＝4时，四边形ODC′E是平行四边形，
由(1)知反比例函数的表达式为y＝，
∵点E和点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，E点的横坐标为1＋m，
∴E点的纵坐标为，
∴EC′＝B′C′－B′E＝6－＝4，解得m＝2，
即当m为2时，四边形ODC′E是平行四边形．
[对点演练]
如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，设OA＝a，OB＝b(a＞0，b＞0)．将△AOB绕点A顺时针方向旋转90°得到△ADC，点B的对应点为点C；再将△ADC沿射线AB方向平移，使点A与点B重合得到△BEF，点D的对应点为点E，点E在y轴上，点G为线段EF的中点，点C与点G恰好落在同一个反比例函数的图象上．
(1)当a＝1时，求反比例函数的解析式；
(2)求的值；
(3)若线段BD，GO交于点P，且△PGC的面积为4，求a的值．
[解] (1)由题意可知C(a＋b，a)，OE＝a＋b，设反比例函数的表达式为y＝，
∵k＝OE·EG＝a(a＋b)，
∴(a＋b)·EG＝a(a＋b)，
∴EG＝a，
∵点G为线段EF的中点，
∴EF＝2a，
∴OB＝EF＝2a＝b，
∵a＝1，
∴G(1，3)，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝．
(2)由(1)可知b＝2a，
∴＝．
(3)连接OC，GC，GD，BG，OD，PC，作CM⊥x轴于点M，
由(1)可知EG＝OA＝a，
∴四边形OAGE是矩形，
∴AG∥OE，
∵OB＝DG，
∴四边形OBGD是平行四边形，
∴OP＝GP，
∵△PGC的面积为4，
∴△OGC的面积为8，
∵S△OAG＝S△OCM＝k，
∴S△COG＝S△OAG＋S梯形AGCM－S△OCM＝S梯形AGCM＝8，
∴(AG＋CM)·AM＝8，
∵b＝2a，
∴AG＝a＋b＝3a，CM＝a，AM＝b＝2a，
∴(3a＋a)·2a＝8，
∴a＝．
类型三 反比例函数的存在性问题
【典例3】 如图1，直线y＝2x＋1与y轴交于点B，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，a)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，连接AC，BD．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵点A(1，a)在直线y＝2x＋1上，
∴a＝2×1＋1＝3，
∴A(1，3)，∴k＝1×3＝3，∴y＝．
(2)①由(1)知，y＝，
当y＝1时，x＝3，
∴D(3，1)，
∴BD＝AC＝3，
∴C(4，3)，
当x＝4时，y＝，
∴EF＝，CF＝3，
∴CE＝，∴＝＝3．
②设点N(m，n)，
若AD为对角线，∵四边形ACDN是平行四边形，A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴4＋m＝1＋3，3＋1＝3＋n，
∴m＝0，n＝1，
∴点N(0，1)；
若AC为对角线，∵四边形ADCN是平行四边形，
A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴3＋m＝1＋4，3＋3＝1＋n，
∴m＝2，n＝5，∴点N(2，5)；
若AN为对角线，∵四边形ADNC是平行四边形，A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴1＋m＝3＋4，3＋n＝1＋3，
∴m＝6，n＝1，
∴点N(6，1)．
综上所述，点N的坐标为(0，1)或(2，5)或(6，1)．
对于存在性问题，一般是先假设其存在，解出来就是存在，解不出来通常就是不存在．
[对点演练]
如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，OA＝OC，点D(a，1)在反比例函数的图象上．
(1)连接AD，求AD的长；
(2)在x轴上是否存在点P，使PB＋PD的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)∵直线y＝2x＋2与x轴交于点A，
∴A(－1，0)，
∵OA＝OC，∴C(1，0)，
把x＝1代入y＝2x＋2，得y＝2＋2＝4，
∴B(1，4)，
∵点B在反比例函数的图象上，∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝．
∵点D(a，1)在反比例函数的图象上，
∴D(4，1)，
∴AD＝＝．
(2)在x轴上存在点P，使PB＋PD的值最小，理由如下：
如图，作出点D关于x轴的对称点D′，则D′(4，－1)，连接BD′交x轴于点P，此时，PB＋PD最小．
设直线BD′对应的函数表达式为y＝kx＋b，B(1，4)，D′(4，－1)在直线上，
∴解得
∴直线BD′对应的函数表达式为y＝－x＋，
令y＝0，得x＝，∴P．
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题型六 反比例函数综合题
②设点N(m，n)，
若AD为对角线，∵四边形ACDN是平行四边形，A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴4＋m＝1＋3，3＋1＝3＋n，
∴m＝0，n＝1，
∴点N(0，1)；
若AC为对角线，∵四边形ADCN是平行四边形，
A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴3＋m＝1＋4，3＋3＝1＋n，
∴m＝2，n＝5，∴点N(2，5)；
若AN为对角线，∵四边形ADNC是平行四边形，A(1，3)，D(3，1)，C(4，3)，
∴1＋m＝3＋4，3＋n＝1＋3，
∴m＝6，n＝1，
∴点N(6，1)．
综上所述，点N的坐标为(0，1)或(2，5)或(6，1)．
归纳总结 对于存在性问题，一般是先假设其存在，解出来就是存在，解不出来通常就是不存在．
2门世2有
3厚
类型一反比例函数与一次函数的综合
【典例1】
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x十b与反比例函数y=(x
>0)的图象交于点A(3,m),与y轴交于点B0,一2)，点P是反比例函数y=(x
O)的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y=x十b于点Q,设点P的横坐
标为t,且0(1)求k,b的值：
(2)当△ABP的面积为3时，求点P的坐标：
(3)设PQ的中点为C,点D为轴上一点，
点E为坐标平面内一点，当以B,C,D,
E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.
y
P
A
A
0
Q
X
0
X
B
B
备用图
[解]
y
F
C
G
I
O
D
X
B
图1
y
C
D
!I
I
0
X
I
I
I
I
1
G
F
B
图2
y
C
D
0
F
x
B
图3
C
G
I
0
D
X
I
B
F
图4
[对点演练]
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x十n所在直线AB与反比例函数y=k
的图象在第一象限内交于A(a,4)和B(4,b)两点，连接OA,把OA沿x轴向右平
移3个单位长度得到线段CD,CD恰好过点B且点C(5,C),
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)请结合函数图象，直接写出关于x的不等式
:Ix
解集；
(3)求梯形AODB的面积.
y米
A
C
B
0
D
X
解]
类型二反比例函数与几何变换的综合
【典例2】如图，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°，边AC交y轴
于点D,点C在反比例函数y=k第一象限的图象上，AC所在直线的表达式为y=
ax+4,其中点A(-2,0),B(1,0)
(1)求反比例函数和AC所在直线的表达式：
(2)将Rt△ABC的直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长
度得到线段BC,线段BC与反比例函数的图象交于点E,
问当m为何值时，四边形ODCE是平行四边形？类型一 反比例函数与一次函数的综合
【典例1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(3，n)，与y轴交于点B(0，－2)，点P是反比例函数y＝(x＞0)的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x＋b于点Q，设点P的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．
(1)求k，b的值；
(2)当△ABP的面积为3时，求点P的坐标；
(3)设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．
[听课记录]
[对点演练]
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx＋n所在直线AB与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于A(a，4)和B(4，b)两点，连接OA，把OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段CD，CD恰好过点B且点C(5，c)．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)请结合函数图象，直接写出关于x的不等式≥mx＋n的解集；
(3)求梯形AODB的面积．
类型二 反比例函数与几何变换的综合
【典例2】 如图，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC＝90°，边AC交y轴于点D，点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，AC所在直线的表达式为y＝ax＋4，其中点A(－2，0)，B(1，0)．
(1)求反比例函数和AC所在直线的表达式；
(2)将Rt△ABC的直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，线段B′C′与反比例函数的图象交于点E，问当m为何值时，四边形ODC′E是平行四边形？
[听课记录]
[对点演练]
如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A，B，设OA＝a，OB＝b(a＞0，b＞0)．将△AOB绕点A顺时针方向旋转90°得到△ADC，点B的对应点为点C；再将△ADC沿射线AB方向平移，使点A与点B重合得到△BEF，点D的对应点为点E，点E在y轴上，点G为线段EF的中点，点C与点G恰好落在同一个反比例函数的图象上．
(1)当a＝1时，求反比例函数的解析式；
(2)求的值；
(3)若线段BD，GO交于点P，且△PGC的面积为4，求a的值．
类型三 反比例函数的存在性问题
【典例3】 如图1，直线y＝2x＋1与y轴交于点B，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，a)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，连接AC，BD．
①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
[听课记录]
对于存在性问题，一般是先假设其存在，解出来就是存在，解不出来通常就是不存在．
[对点演练]
如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，OA＝OC，点D(a，1)在反比例函数的图象上．
(1)连接AD，求AD的长；
(2)在x轴上是否存在点P，使PB＋PD的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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