课时分层评价卷(十二) 二次函数的图象与性质
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．下列函数中，是y关于x的二次函数的是( )
A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝x(x－1)
C．y＝ D．y＝(x－2)2－x2
2．[易错题](2024·四川凉山州)抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1
C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
3．(2024·四川泸州)已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( )
A．1≤a< B．0＜a<
C．0＜a< D．1≤a<
4．函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，x的取值范围是( )
A．x＜－1
B．－1＜x＜0
C．0＜x＜2
D．x＞1
5．[新定义问题](2024·四川眉山)定义运算：a b＝(a＋2b)(a－b)，例如4 3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1) 2的最小值为( )
A．－21 B．－9 C．－7 D．－5
6．(2024·四川达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是( )
A．b＋c＞1 B．b＝2
C．b2＋4c＜0 D．c＜0
7．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是( )
A．a＜0 B．c＜0
C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0
8．[图表信息题](2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴为直线x＝1
9．(2024·滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ________．
10．在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx＋2上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
(1)当m＝2，n＝－4时，求抛物线的表达式；
(2)当m＝n时，求t的值．
11．(9分) (2024·江苏扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点．
(1)求b，c的值；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
12．(2024·四川遂宁)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)，(0，－3)之间(不含端点)，则下列结论正确的个数为( )
①abc＞0；
②9a－3b＋c＞0；
③
④若方程ax2＋bx＋c＝x＋1两根为m，n(m＜n)，则－3＜m＜1＜n．
A．1 B．2
C．3 D．4
13．(2024·四川南充)已知抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与x轴交于两点A，B(A在B的左侧)，抛物线C2：y＝x2＋nx＋n(m≠n)与x轴交于两点C，D(C在D的左侧)，且AB＝CD．下列四个结论：
①C1与C2交点为(－1，1)；②m＋n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于(－1，0)对称．其中正确的结论是 ________．(填写序号)
14．(12分) (2024·山东)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
(1)求m的值；
(2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)．若4＜x2－x1＜6，求a的取值范围．
15．[新定义问题](2024·上海)对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中存在一点P(x′，y′)，使得x′－m＝y′－k≠0，则称2|x′－m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝－x2＋x＋3“开口大小”为 ________．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层评价卷(十二)
1．B 2．D 3．A 4．D 5．B
6．A [∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，分别设为(x1，0)和(x2，0)，且x1＜1，
∴x1－1＜0，x2－1＞0，
∴(x1－1)(x2－1)＜0，
∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，
由根与系数的关系可得，
－c－b＋1＜0，
∴b＋c＞1．
故选A．]
7．C [由题意，∵抛物线顶点坐标为(－1，－2)，
∴可设抛物线为y＝a(x＋1)2－2．
∴y＝a(x2＋2x＋1)－2＝ax2＋2ax＋a－2．
又抛物线为y＝ax2＋bx＋c，
∴b＝2a，c＝a－2．
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＝a－2＞0．
∴a＞2＞0，故A，B均不正确．
又抛物线的顶点为(－1，－2)，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝－2，故C正确．
由b＝2a，c＝a－2，
∴b2－4ac＝4a2－4a(a－2)＝8a＞0，故D错误．
故选C．]
8．D [由题知解得
所以二次函数的表达式为y＝－x2＋2x．
因为a＝－1＜0，
所以抛物线的开口向下，
故A选项不符合题意．
因为y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小，
故B选项不符合题意．
令y＝0，得－x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)．
又因为抛物线的顶点坐标为(1，1)，
所以抛物线经过第一、三、四象限，
故C选项不符合题意．
因为二次函数表达式为y＝－(x－1)2＋1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，
故D选项符合题意．
故选D．]
9．(1，2) [将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，抛物线表达式为y＝－(x－1)2＋2，
∴顶点坐标为(1，2)．]
10．解：(1)把点(1，2)，(3，－4)代入y＝ax2＋bx＋2，得解得
所以抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2．
(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2过点(1，m)和(3，n)，m＝n，
∴两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝t，
∴t＝2．
11．解：(1)把A(－2，0)，B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得
(2)由(1)知，二次函数表达式为y＝－x2－x＋2，
设点P坐标为(m，－m2－m＋2)，
∵△PAB的面积为6，AB＝1－(－2)＝3，
∴S△PAB＝＝＝6，
∴|m2＋m－2|＝4，
即m2＋m－2＝4或m2＋m－2＝－4，
解得m＝－3或m＝2，
∴P(－3，－4)或P(2，－4)．
12．B [∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝－1＜0，a，b同号，
∴b＞0，
∵与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－3)之间，
∴－3＜c＜－2＜0，
∴abc＜0，
故①不正确；
∵对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，
∴与x轴交于另一点(－3，0)，
∵x＝－3，y＝9a－3b＋c＝0，
故②不正确；
由题意可得，方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝－3，
∵x1·x2＝，即c＝－3a，
又∵－3＜c＜－2，∴－3＜－3a＜－2，
因此故③正确；
若方程ax2＋bx＋c＝x＋1两根为m，n(m＜n)，则直线y＝x＋1与抛物线的交点的横坐标为m，n，
∵直线y＝x＋1过一、二、三象限，且过点(－1，0)，
∴直线y＝x＋1与抛物线的交点在第一、第三象限，
由图象可知－3＜m＜1＜n．
故④正确．
综上所述，正确的结论有③④．
故选B．]
13．①②④ [令x2＋mx＋m＝x2＋nx＋n，解得x＝－1，
把x＝－1代入y＝x2＋mx＋m，得y＝1，
∴C1与C2交点为(－1，1)，故①正确；
∵抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与抛物线C2：y＝x2＋nx＋n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，
∴两抛物线关于直线x＝－1对称，
∴A，D两点关于(－1，0)对称，故④正确；
－＝－2，
∴m＋n＝4，故②正确；
∵点A，B是抛物线C1与x轴的两个交点，∴令y＝0，得x2＋mx＋m＝0有两个不等实根，∴Δ＝m2－4m>0，解得m<0或m>4，同理n2－4n>0，解得n<0或n>4，由②知m＋n＝4，m＝4－n，当n<0时，m>4，mn<0；当n>4时，m<0，mn<0，故③错误．]
14．解：(1)∵点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，
∴4a＋2b－3＝－3，
解得b＝－2a，
∴抛物线为y＝ax2－2ax－3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，
∴m＝1．
(2)∵点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上，
∴a－2a－3＝－4，
解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为(4－1)2＋1＝10．
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11．
(3)∵y＝ax2－2ax－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)．
∴x1＋x2＝2，x1·x2＝－，
∵x2－x1＝，
∴x2－x1＝，
∵4＜x2－x1＜6，
∴4<2<6，即2<<3，
解得15．4 [∵抛物线y＝－，
∴x′－，
解得x′－＝－2，
∴抛物线y＝－x＋3“开口大小”为2＝2×|－2|＝4．]