课时分层评价卷(十五)
1．C 2．C 3．B 4．B 5．A
6．D [∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠B＝∠CED＝70°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－70°＝65°．
故选D．]
7．8 [∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°＝8，
即该正多边形的边数为8．]
8．120° [∵正六边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°，
∴该正六边形的每个内角为：720°÷6＝120°．]
9．75° [如图所示．
依题意得：∠2＝60°，∠3＝45°，
∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠4＝75°．]
10．解：∵∠G＝∠AFG＝35°，
∴∠GAF＝180°－∠G－∠AFG＝110°，
∴∠BAC＝180°－∠GAF＝70°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝35°，
∴∠AFG＝∠BFE＝35°，
在△BEF中，∵∠BEG＝100°，
∴∠B＝180°－∠BEG－∠BFE＝180°－100°－35°＝45°，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋35°＝80°．
11．解：(1)∵a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC的形状是等边三角形．
(2)∵a＝2，b＝5，
∴5－2＜c＜5＋2，
∴3＜c＜7，
∵c是奇数，
∴c＝5，∴b＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
(3)∵b＋c＞a，a＋c＞b，a＋b＞c，
∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|
＝－(a－b－c)＋[－(b－c－a)]＋[－(c－a－b)]
＝b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c
＝a＋b＋c．
12．C [如图，
∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－75°＝40°，
又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，
∴∠C′＝∠C＝40°，
而∠3＋∠2＋∠5＋∠C′＝180°，∠5＝∠4＋∠C＝∠4＋40°，∠2＝36°，
∴∠3＋36°＋∠4＋40°＋40°＝180°，
∴∠3＋∠4＝64°，∴∠1＝180°－64°＝116°．
故选C．]
13．100° [∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝50°，∠CBA＝90°－∠BCD＝60°，
∴∠CAB＝90°－∠ACD＝40°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB＝∠CAB＝20°，
∴∠AEB＝180°－∠EAB－∠EBA＝100°．]
14．1 [∵D为BC中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2(cm2)，
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1(cm2)，
∴S△BCE＝2(cm2)，
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1(cm2)．]
15．18 [3(y－1)－2(y－k)＝7，
则3y－3－2y＋2k＝7，
解得y＝10－2k，
∵关于y的一元一次方程3(y－1)－2(y－k)＝7的解为非正数，
∴10－2k≤0，
解得k≥5，
∵△ABC的三边长分别为5，3，k，
∴2＜k＜8，
故符合题意的k的值为5，6，7，
则符合条件的所有整数k的和为5＋6＋7＝18．]
16．解：(1)①∵∠A＝50°，∠C＝100°，
∴在四边形ABCD中，
∠ABC＋∠ADC＝360°－∠A－∠C＝210°，
∴∠CBE＋∠CDF＝150°．
∵外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN，
∴∠PBC＋∠PDC＝∠CBE＋∠CDF＝(∠CBE＋∠CDF)＝×150°＝75°，
∴∠BPD＝360°－∠A－(∠ABC＋∠ADC)－(∠PBC＋∠PDC)＝360°－50°－210°－75°＝25°．
②当∠A＝∠C时，BM∥DN．
证明：如图，连接BD．
∵BM∥DN，
∴∠BDN＋∠DBM＝180°，
∴∠FDN＋∠ADB＋∠ABD＋∠MBE＝360°－180°＝180°，
即(∠FDC＋∠CBE)＋(∠ADB＋∠ABD)＝180°，
∴(360°－∠ADC－∠CBA)＋(180°－∠A)＝180°，
∴(360°－360°＋∠A＋∠C)＋(180°－∠A)＝180°，
∴∠A＝∠C．
(2)如图，延长DC交BP于点Q．
∵∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，
∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDG＋∠G＝540°，
∴∠ABC＋∠CDG＝180°，
∴∠CBE＋∠CDF＝360°－180°＝180°，
∵BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，
∴∠CBP＋∠CDP＝(∠CBE＋∠CDF)＝90°，
∵∠BCD＝∠CBP＋∠CQB，∠CQB＝∠QDP＋∠BPD，
∴∠BCD＝∠CBP＋∠QDP＋∠BPD，
∴∠BPD＝∠BCD－(∠CBP＋∠QDP)＝120°－90°＝30°．
17．m [由题意∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，
∴设∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β，
由三角形的外角的性质，得β＝α＋∠E1，3β＝3α＋∠C，∠E1＝∠C，
同理可求：∠E2＝∠E1，∠E2＝∠C ，…，∠En＝∠C，
即∠En＝m°．]课时分层评价卷(十五) 三角形的有关概念和性质
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分)
1．[情境题]小明有两根长度为4 cm和10 cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择( )
A．3 cm B．5 cm C．8 cm D．15 cm
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，下列说法中不正确的是( )
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3
D．BC是△BDE的高
3．[易错题]如图，在△ABC中，利用三角板能表示BC边上的高的为( )
A． B．
C． D．
4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积是4，则△ADC的面积是( )
A．1 B．2
C．2.5 D．3
5．(2024·四川乐山)下列多边形中，内角和最小的是( )
A． B．
C． D．
6．(2024·四川广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为( )
A．45° B．50°
C．60° D．65°
7．(2024·重庆)若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ________．
8．[数学文化](2024·甘肃临夏州)“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”窗棂的外边框为正六边形(如图)，则该正六边形的每个内角为 ________．
9．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 ________．
10．如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，点G在CA的延长线上，GE交AB于点F，交BC于点E，且∠G＝∠AFG＝35°，∠BEG＝100°，求∠ADC的度数．
11．(10分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a＝2，b＝5，且c是奇数，试判断△ABC的形状；
(3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|．
12．如图，有一个三角形纸片ABC，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角进行折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝36°，则∠1的度数为( )
A．96° B．106°
C．116° D．126°
13．(2024·四川凉山州)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ________．
14．已知，如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 ________cm2．
15．若△ABC的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程3(y－1)－2(y－k)＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为 ________．
16．(10分) [归纳猜想题]已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN．
(1)若多边形为四边形ABCD．
①如图1，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；
②如图2，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．
(2)如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．
17．[规律探究题] (2024·四川达州)如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝______度．
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