课时分层评价卷(十七) 特殊三角形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共80分)
1．若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另一个锐角等于( )
A．50° B．60°
C．70° D．140°
2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
3．如图，点B，C，D在同一条直线上，且点A在线段BC的垂直平分线上，∠BAC＝120°，点D在线段AB的垂直平分线上，那么∠ADC的度数为( )
A．60° B．50°
C．40° D．30°
4．(2024·云南)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为( )
A． B．2
C．3 D．
5．(2024·青海)如图，在Rt△ABC中， D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是( )
A．3 B．6
C． D．3
6．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
7．(2024·贵州)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若AB＝5，则AD的长为 ________．
8．(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 ________．
9．在△ABC中，∠A＝60°，请你添加一个适当的条件，使△ABC是等边三角形，添加的条件可以是 ________．(只要写出一个符合题意的条件即可)
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度2 cm和8 cm，则AD的长为 ________cm．
11．(2024·岱岳区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，BC＝________．
12．[跨学科](2024·吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为________．
13．(8分)(2024·四川自贡)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDF＝∠C．
(1)求证：∠BDF＝∠A；
(2)若∠A＝45°，DF平分∠BDE，请写出△ABC的形状．
14．[数学文化](2024·四川眉山)如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为( )
A．24 B．36
C．40 D．44
15．(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是( )
A． B．
C．2－2 D．2
16．(2024·四川自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢( )
A． m B． m
C． m D． m
17．[易错题](2024·新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8．若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为 ________．
18．(12分)[追本溯源题](2024·江西)(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2)．
(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
【方法应用】
(2)如图2，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G．
①图中一定是等腰三角形的有 ________个．
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．
19．(12分) [项目式学习试题](2024·滨州)
【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在△ABC中，若AD⊥BC，BD＝CD，则有∠B＝∠C；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB＝AC，即知AB＋BD＝AC＋CD．若把①中的BD＝CD替换为AB＋BD＝AC＋CD，还能推出∠B＝∠C吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B＝∠C，并分别提供了不同的证明方法．
小军 小民
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB 与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理，得……
【问题解决】
(1)完成①的证明；
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整．
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1．A 2．D 3．A 4．C 5．A
6．D [∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED＝(180°－36°)÷2＝72°，
∴∠ADE＝∠BED－∠A＝72°－36°＝36°，
∴∠A＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴题图中的等腰三角形有5个．
故选D．]
7．5 [由作图可知：AD＝AB，
∵AB＝5，
∴AD＝5．]
8．100° [由题知，
∵等腰三角形的一个底角的度数为40°，
∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为40°，
∴等腰三角形的顶角的度数为：180°－2×40°＝100°．]
9．∠B＝60°(答案不唯一) [∵在△ABC中，∠A＝60°，
若△ABC是等腰三角形，
故只需∠B＝60°或∠C＝60°或AB＝AC或AC＝BC或AB＝BC，
即可得出△ABC为等边三角形．]
10．3 [∵∠BAC＝90°，D是边BC中点，
∴AD＝BC，
∵BC＝8－2＝6(cm)，
∴AD＝3 cm．]
11．6 [∵AB⊥AD，
∴△ABD是直角三角形，
∵∠C＝30°，AB＝AC，AD＝2，
∴∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝4，
∵∠B＝30°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝120°－90°＝30°，
∴AD＝CD＝2，
∴BC＝BD＋CD＝6．]
12．x2＋22＝(x＋0.5)2 [由AC的长度为x尺，得AB＝AB′＝x＋0.5,
∵AB⊥B′C,
由勾股定理得，AC2＋B′C2＝AB′2,
∴x2＋22＝(x＋0.5)2． ]
13．解：(1)证明：∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED，
∵∠EDF＝∠C，∴∠AED＝∠EDF，
∴DF∥AC，
∴∠BDF＝∠A．
(2)∵∠A＝45°，∴∠BDF＝45°，
∵DF平分∠BDE，
∴∠BDE＝2∠BDF＝90°，
∵DE∥BC，∴∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
14．D [如图，设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，
∵图1中大正方形的面积是24，∴a2＋b2＝c2＝24，
∵小正方形的面积是4，∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝4，∴ab＝10，
∴图2中最大的正方形的面积为c2＋4×ab＝24＋2×10＝44．
故选D．]
15．B [如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴AB＝2，
∵CD＝AB＝2，∴DH＝，
∴BD＝．
故选B．]
16．D [∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC＝12，BD＝6，
∴CD＝6，
∵∠BED＝60°，
∴DE＝2，
∴减少用钢为(AB＋AC＋BC＋CD)－(AE＋BE＋AB＋DE)＝AC＋BC＋CD－AE－BE－DE＝24－4(m)．
故选D．]
17．6或12 [在Rt△ABC中，sin A＝，
∴BC＝×8＝4，
∴AC＝．
当点D在点B左上方时，如图所示，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°．
又∵∠BCD＝30°，
∴∠BDC＝60°－30°＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴AD＝8＋4＝12．
当点D在点B的右下方时，如图所示，
∵∠ABC＝60°，∠BCD＝30°，
∴∠CDA＝90°．
在Rt△ACD中，
cos A＝，
∴AD＝＝6．
综上所述，AD的长为6或12．]
18．解：(1)△BDE 的形状是等腰三角形，
理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．
∵BC∥ED，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED，
∴△BDE是等腰三角形．
(2)①4．
②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵在 ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形且AB＝AE．∵AF⊥BE，
∴∠BAF＝∠EAF．∵BC∥AD，∴∠EAG＝∠AGB，
∴∠BAF＝∠AGB，∴AB＝BG＝3，∵AB∥FD，∴∠BAF＝∠CFG，∵∠AGB＝∠CGF，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF，∵CG＝BC－BG＝5－3＝2，∴CF＝2．
19．解：(1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC(SAS)，
∴∠B＝∠C．
(2)小军的证明过程：
分别延长DB，DC至E，F两点，使得BE＝BA，CF＝CA，连接AE，AF，如图所示，
∵AB＋BD＝AC＋CD，
∴BE＋BD＝CF＋CD，
∴DE＝DF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠ADF＝90°，
在△ADE和△ADF中，
∴△ADE≌△ADF(SAS)，
∴∠E＝∠F．
∵BE＝BA，CF＝CA，
∴∠E＝∠BAE，∠F＝∠CAF，
∵∠ABC＝∠E＋∠BAE，∠ACB＝∠F＋∠CAF，
∴∠ABC＝∠ACB．
小民的证明过程：
∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC均为直角三角形，
根据勾股定理，得：AD2＋BD2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2，
∴AB2－BD2＝AC2－CD2，
∴AB2＋CD2＝AC2＋BD2．
∵AB＋BD＝AC＋CD，
∴AB－CD＝AC－BD，
∴(AB－CD)2＝(AC－BD)2，
∴AB2－2AB·CD＋CD2＝AC2－2AC·BD＋BD2，
∴AB·CD＝AC·BD，
∴．
又∵∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴△ADB∽△ADC，
∴∠B＝∠C．
