课时分层评价卷(二十一) 矩形、菱形和正方形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．[情境题]如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为( )
A．27° B．53° C．57° D．63°
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为( )
A．4 B．4.5
C．5 D．5.5
3．[情境题]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
4．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是( )
A． B．
C． D．1
5．(2024·泰安二模)如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝2，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论正确的是( )
A．CE＝CF B．2CE＋CG＝AD
C．CG＝CD D．DE＝EF
6．[易错题]如图，将边长为15的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离AA′＝________．
7．(鲁教版八下P26习题6.8T2改编)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．
8．(鲁教版八下P23随堂练习T2改编)如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝10，tan ∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′(点A′与点C重合)，则点B′的坐标是( )
A．(3，3) B．(3，3)
C．(3，6) D．(6，3)
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是边AB上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF＝2AE，连接AF，CE．若AF＋CE＝m，则m的最小值为( )
A．3 B．3
C．6 D．6
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝3，PF＝5．则图中阴影部分的面积为________．
12．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC，垂足为点F，连接DE，EF．
(1)求证：四边形AEFD为平行四边形；
(2)①当t＝________s时，四边形AEFD为菱形；
②当t＝________s时，四边形DEBF为矩形．
13．(12分) [项目式学习试题](2024·泰安)综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
(1)同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连接BG，EF与BG相交于点H．同学们发现图形中四条线段成比例，即＝，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF．将纸片展平，连接EG，FH，FG．同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD·GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
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1．D 2．B 3．C 4．A 5．D
6．7或8 [设AA′＝x，AC与A′B′相交于点G，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝45°，
∴△AA′G是等腰直角三角形，
∴A′G＝AA′＝x，
∴A′D＝AD－AA′＝15－x．
∵两个三角形重叠部分的面积为56，
∴x(15－x)＝56，
解得x1＝7，x2＝8，
即移动的距离AA′为7或8．
故答案为7或8．]
7．8 [如图，连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC．
∵AE＝CF＝2，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF．
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝，
∴四边形BEDF的周长为4DE＝4×2．
故答案为8．]
8．解：(1)证法一：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD．
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE(SSS)，
∴∠DOE＝∠BOE．
∵∠DOE＋∠BOE＝180°，
∴∠DOE＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
证法二：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE(SSS)，
∴∠BEO＝∠DEO．
在△BAE与△DAE中，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)在Rt△ABO中，∵tan ∠BAC＝＝2，
∴设AO＝x，BO＝2x，
∴AB＝x＝10，
∴x＝2，
∴AO＝2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝4，
∴S四边形ABCD＝＝80．
9．B [如图，过B′作B′D⊥y轴，垂足为D，连接OB′．
∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′，∠AOC＝60°，菱形OABC的边长为2，
∴OC′＝C′B′＝2，∠C′OB′＝∠C′OC＝30°，B′C′∥OC，
∴∠DC′B′＝∠C′OC＝60°，
∴∠DB′C′＝30°，
∴C′D＝C′B′＝，DB′＝B′C′＝3，
∴OD＝OC′＋C′D＝3，
∴B′的坐标是．
故选B．]
10．C [连接DE，如图．
∵＝2，∠ABF＝∠DAE＝90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴，
∴AF＋CE＝DE＋CE，
延长DA至点D′，使AD′＝AD，连接D′E，则DE＝D′E，
∴DE＋CE＝D′E＋CE＝m，
∴当D′，E，C三点共线时，m取最小值，此时m＝CD′＝，
即m的最小值为6，
故选C．]
11．15 [过点P作直线PM⊥AD，垂足为点M，交BC于点N．
则有四边形AEPM，
四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×5＝7.5，
∴S阴＝7.5＋7.5＝15．
故答案为15．]
12．解：(1)证明：由题意可知CD＝4t cm，AE＝2t cm，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴DF＝DC＝2t cm．
∵AE＝2t cm，DF＝2t cm，
∴AE＝DF．
又∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
(2)①由(1)知四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即2t＝60－4t，
解得t＝10，
∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形．
故答案为10．
②要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴∠DEB＝90°，
∴∠AED＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
即60－4t＝4t，
解得t＝．
即当t＝时，四边形DEBF为矩形．
故答案为．
13．解：(1)正确，理由如下：
作EM⊥BC，垂足为点M．
∵EF⊥BG，
∴∠BHF＝90°，
∴∠FBH＋∠BFH＝90°．
∵∠EMF＝90°，
∴∠MEF＋∠BFH＝90°，
∴∠FBH＝∠MEF．
又∵∠EMF＝∠C＝90°，
∴△EMF∽△BCG．
∴．
∵四边形ABCD是矩形，EM⊥BC，
∴四边形ABME是矩形．
∴AB＝EM．
∴．
(2)同学们的发现正确，理由如下，
∵CD∥FG，
∴，∠CDF＝∠DFG，
由折叠的性质可知∠CDF＝∠BDF，
∴∠DFG＝∠BDF．
∴GD＝GF．
∴．
由平行四边形及折叠的性质可知AB＝BG，AB＝CD，
∴，
∴BG2＝BD·GD．
即点G为BD的一个黄金分割点．
