课时分层评价卷(二十三) 与圆有关的位置关系
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．(2024·泰山一模)如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝36°，且PA与⊙O相切，则∠B等于( )
A．27° B．32° C．36° D．54°
2．(2024·岱岳区模拟)如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是( )
A．2 B．
C． D．
3．(2024·宁阳二模)如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P＝80°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数是( )
A．110° B．120°
C．125° D．130°
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为( )
A． B．
C．2 D．3
5．在“海上生明月”这幅图中，把月亮与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是________．
6．(2024·岱岳区模拟)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝________．
7．(8分)如图，在半径为10 cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6 cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
8．(2024·泰山期中)如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD＝13，PC＝4，则两圆组成的圆环的面积是( )
A．16π B．36π
C．52π D．81π
9．(2024·肥城期末)如图，⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin ∠BAC＝，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．则下列结论：①∠DBF＝3∠DAB；②CG是⊙O的切线；③B，E两点间的距离是2；④AD＝4，正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
10．(2024·宁阳期末)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，AD＝12，P是半径为4的⊙A上一动点，连接PC，若E是PC的中点，连接DE，则DE长的最大值为( )
A．8 B．9.5
C．9 D．8.5
11．[数学文化](2024·东平一模)如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AC和BE都是⊙O的切线，点A和点B是切点，BE交OC于点E，OC交⊙O于点D，AD＝CD．若OA＝3，则CE的长为________．
12．(2024·肥城二模)如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y＝－x＋6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则S△PQO的最小值为________．
13．(10分)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A(0，8)，B(0，2)．连接AC，BC．
(1)求点P的坐标；
(2)求cos ∠ACB的值．
14．(14分) (2024·烟台)如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
(1)若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
(3)若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长．
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1．A 2．B 3．D 4．A 5．相离
6．40° [连接OB，如图，
∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝(180°－∠AOB)＝65°，
∵OA∥CB，
∴∠OAC＝∠ACB＝25°，
∴∠CAB＝∠OAB－∠OAC＝40°．
故答案为40°．]
7．解：(1)证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6 cm，
∴AC＝12 cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即，
∴AD＝ cm．
8．B 9．B
10．D [连接PB，如图1，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝DB＝BC＝5，
∵点E为PC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE＝PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最大，
∵P是半径为4的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，如图2，
∵BD＝5，AD＝12，
∴AB＝＝13，
∵⊙A的半径为4，
∴PB的最大值为13＋4＝17，
∴DE长的最大值为8.5．
故选D．]
11．6－2 [如图，∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵CD＝AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠ADO＝∠C＋∠CAD，
AC是⊙O的切线，点A是切点，
∴∠OAC＝90°，
即3∠CAD＝90°，∴∠CAD＝30°，
又∠AOB＝90°，∴AC∥BO，
∴∠CAD＝∠C＝∠BOD＝30°．
在Rt△AOC中，OA＝3，∠C＝30°，
∴OC＝2OA＝6，
在Rt△BOE中，OB＝3，∠BOE＝30°，
∴OE＝，
∴CE＝OC－OE＝6－2．
故答案为6－2．]
12．2 [如图，作OH⊥AB于点H，
在y＝－x＋6中，当x＝0时，y＝6，则B(0，6)，
当y＝0时，－x＋6＝0，
解得x＝6，则A(6，0)，
∴OA＝OB＝6，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝，
∵OH⊥AB，OB＝OA，
∴BH＝AH，
∴OH＝，
∵PQ为切线，
∴PQ⊥OQ，
∴∠PQO＝90°，
∴PQ＝，
∵S△PQO＝PQ·OQ，
∴当PQ最小时，S△PQO最小，
∵OP最小时，PQ最小，
∴当OP⊥AB时，即P点运动到H点时，OP最小，S△PQO最小，此时OP＝3，
∴PQ＝＝4，
∴S△PQO＝．
故答案为2．]
13．解：(1)∵点A(0，8)，B(0，2)，
∴AB＝6，
过P作PH⊥AB于点H，
∴AH＝BH＝3，
∴OH＝5，
连接PC，PB，
∵⊙P与x轴相切于点C，
∴PC⊥x轴，
∴∠PHB＝∠PCO＝∠COH＝90°，
∴四边形PCOH是矩形，
∴PC＝OH＝5，
∵PH＝＝4，
∴点P的坐标为(4，5)．
(2)连接AP并延长交⊙P于M，连接BM，
则∠ABM＝90°，
∴BM＝＝8，
∴cos ∠ACB＝cos ∠AMB＝．
14．解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°－25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB＋∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°．
(2)DI＝AD＝BD，
连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI＝∠ACB＝45°，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB＋∠BAI，∠DIA＝∠ACI＋∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD．
(3)过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q，F，P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q，F，P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵CI＝2，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI·cos 45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，DI＝，∠ADB＝90°，
∴AB＝＝13，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC
＝AB＋AF＋CF＋CP＋BP
＝AB＋AQ＋BQ＋2CF
＝2AB＋2CF
＝2×13＋2×2＝30．
