课时分层评价卷(二十二)
1．A 2．B 3．B 4．D 5．C
6．112° [∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，
∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－68°＝112°．
故答案为112°．]
7．52.5° [设量角器的圆心是O，连接OD，OB，
∵∠BOD＝130°－25°＝105°，
∴∠BAD＝∠BOD＝52.5°．
故答案为52.5°．
]
8．解：(1)证明：∵AD＝BC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD．
(2)如图，连接OA，OC，则OA＝OC，
∵∠D＝30°，
∴∠AOC＝2∠D＝60°，
∴△AOC是正三角形，
∴OA＝OC＝AC＝1，
即⊙O的半径为1．
9．C [过O点作OE⊥AB于点E，交CD于F点，连接OA，OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝4 cm，CF＝DF＝CD＝3 cm．
在Rt△OAE中，
∵OA＝5 cm，AE＝4 cm，
∴OE＝＝3(cm)，
在Rt△OCF中，
∵OC＝5 cm，CF＝3 cm，
∴OF＝＝4(cm)，
当点O在弦AB与CD之间时，如图1，EF＝OF＋OE＝4＋3＝7(cm)；
当点O不在弦AB与CD之间时，如图2，EF＝OF－OE＝4－3＝1(cm)．
综上所述，EF的值为1 cm或7 cm，
即AB与CD之间的距离为1 cm或7 cm．
故选C．
]
10．B [连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示，
∵AB＝24 cm，
∴BD＝AB＝12(cm)，
∵OB＝OC＝13 cm，
在Rt△OBD中，OD＝5(cm)，
∴CD＝OC－OD＝13－5＝8(cm)，
即水的最大深度为8 cm．
故选B．]
11．C [如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE＋PD的最小值．
∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，
∴A′D′＝BC＝3，DD′＝2DC＝4，AE′＝1，
∴A′D＝5，
∴DE′＝5－1＝4，
∴PE＋PD＝PE′＋PD＝DE′＝4．
故选C．]
12．33° [∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∵∠A＝66°，
∴∠BCD＝114°，
∵CO⊥BD，
∴，
∴∠CBD＝∠CDB＝×(180°－114°)＝33°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝33°．
故答案为33°．]
13．26 [连接OA，
设⊙O的半径是r寸，
∵直径CD⊥AB，
∴AE＝×10＝5(寸)，
∵CE＝1寸，
∴OE＝(r－1)寸，
∵OA2＝OE2＋AE2，
∴r2＝(r－1)2＋52，
∴r＝13，
∴直径CD的长度为2r＝26寸．
故答案为26．]
14．解：(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ADE＋∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE．
(2)连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CBF＝90°，
在Rt△BCF中，BC＝4，
CF＝12，
∴BF＝，
∴cos ∠BFC＝，
∵∠BAC＝∠BFC，
∴cos ∠BAC＝cos ∠BFC＝，
∴cos ∠BAC的值为．
15．解：(1)如图，延长DE交BF于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵EA⊥FA，
∴∠EAF＝90°，
∴∠BAD－∠BAE＝∠EAF－∠BAE，即∠DAE＝∠BAF，
∵AE＝AF，
∴△DAE≌△BAF(SAS)，
∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，
∴∠ADE＋∠BDH＝∠ABF＋∠BDH＝45°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠BDH＋∠DBH＝90°，
∴DH⊥BF，即DE⊥BF，
∴DE，BF的数量和位置关系是DE＝BF，DE⊥BF．
(2)∵DH⊥BF，
∴在Rt△DHF和Rt△DHB中，DF2－FH2＝DH2＝BD2－BH2，
即DF2－FH2＝BD2－BH2，
在Rt△EHF和Rt△EHB中，EF2－FH2＝EH2＝BE2－BH2，
即EF2－FH2＝BE2－BH2，
将所得两个等式相减得，DF2－EF2＝BD2－BE2，
即DF2＋BE2＝EF2＋BD2．
∵AB＝AD＝7，
∴BD＝，
∵AE＝AF＝4，
∴EF＝，
∴EF2＋BD2＝2＋2＝130，
∴DF2＋BE2＝EF2＋BD2＝130．课时分层评价卷(二十二) 圆的有关概念和性质
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．(2024·宁阳月考)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是( )
A．28° B．30° C．36° D．56°
2．(2024·肥城模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为( )
A．4 B．2
C． D．4
3．(2024·东平月考)如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5．则CD的长为( )
A．2 B．4
C．4 D．8
4．(2024·宁阳一模)如图，AC，BC为⊙O的两条弦，D，G分别为AC，BC的中点，⊙O的半径为2．若∠C＝45°，则DG的长为( )
A．2 B．
C． D．
5．(2024·泰山二模)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是( )
A．OC∥BD B．AD⊥OC
C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
6．(2024·新泰模拟)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，则∠ADC的度数是________．
7．如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为________．
8．(7分) (2024·岱岳区期末)如图，AD＝BC，AC＝1，∠D＝30°．
(1)求证：AB＝CD；
(2)求⊙O的半径长．
9．[易错题](2024·岱岳区二模)已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则AB与CD之间的距离为( )
A．1 cm B．7 cm
C．1 cm或7 cm D．3 cm或4 cm
10．(2024·泰山开学)往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为( )
A．5 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
11．(2024·泰山一模)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是BC上一动点，则PE＋PD的最小值是( )
A．2 B．2.5
C．4 D．3
12．(2024·宁阳期末)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD，∠A＝66°，则∠ADB＝________．
13．[数学文化]“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为________寸．
14．(10分) (2024·泰山一模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
(1)若AB＝AC，求证：AD平分∠BDE；
(2)若BC＝4，⊙O的半径为6，求cos ∠BAC．
15．(12分) (2024·岱岳区二模)如图，正方形ABCD的边长为7．E，F在半径为4的⊙A上，且EA⊥FA，连接DE，BE，BF，DF．
(1)试探求线段DE，BF的数量和位置关系；
(2)求证：DF2＋BE2＝EF2＋BD2，并求DF2＋BE2的值．
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