(共33张PPT)
微专题二 反比例函数中的面积
模型一 一点一垂线
[模型展示]
√
√
√
模型二 一点两垂线
[模型展示]
特点：平行四边形的一个顶点在双曲线上，一边与坐标轴平行，其对边在坐标轴上．
结论2：由k的几何意义得S阴影＝|k|．
√
C [∵AB⊥x轴于点B，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
过点A作AM⊥y轴，
∴S矩形ABOM＝S平行四边形ABCD＝|k|＝0.5，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝－0.5．
故选C．]
√
B [∵矩形OABC的面积为3，∴|k|＝3，
根据题干图可知，k＜0，∴k＝－3．故选B．]
√
B [如图，延长CD，BA交y轴于点E，F，延长DA，CB交x轴于点M，N，
由k的几何意义得，S矩形DEOM＝S矩形BFON，
∴S矩形ADEF＝S矩形ABNM，
∵AB＝AD，∴AF＝AM，
∵点D的坐标是(b，a)，
∴OM＝b＝AF＝AM，DM＝a＝BF，
∴DA＝BA＝a－b，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴(a－b)2＝4，∴a－b＝2．故选B．]
模型三 两点一垂线
[模型展示]
特点：三角形的两个顶点在双曲线的两个分支上，一边过原点，一边平行于坐标轴．
结论3：根据双曲线的中心对称性，结合k的几何意义得S阴影＝|k|．
√
B [由题意可知，△AOC的面积为1，
∵A，B关于原点O对称，
∴△AOC与△BOC的面积相等，
∴S△ABC＝2S△AOC＝2．
故选B．]
√
模型四 两点两垂线
[模型展示]
特点：(1)直角三角形的两锐角顶点在双曲线的两个分支上，斜边过原点，两直角边平行于坐标轴．
(2)平行四边形的两个对角顶点在双曲线上，一条对角线在坐标轴上，另一条对角线过原点．
结论4：S阴影＝2|k|．
√
√
√
√
√
2微专题二 反比例函数中的面积
模型一 一点一垂线
[模型展示]
特点：三角形的一个顶点在双曲线上，另两个顶点在坐标轴上，且有一边平行于坐标轴．
结论1：①②由k的几何意义得S三角形＝，③④⑤⑥⑦⑧根据同底等高的三角形面积相等得S三角形＝．
【典例1】 如图，点A(－3，a)在反比例函数y＝－的图象上，点B的坐标是(－3，0)，点C的坐标是(0，b)，则△ABC的面积是( )
A．30 B．3
C．60 D．6
B [如图，连接AO，
∵点A(－3，a)，点B(－3，0)，∴AB∥y轴，
∴S△ABC＝S△AOB＝×6＝3．
故选B．]
[跟踪训练]
1．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝(k为常数，k＞0，x＞0)的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为，则k的值( )
A． B． C． D．
A [△AOB的面积为＝＝，
所以k＝．
故选A．]
2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数y＝(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OA，OB交AC于点E，若AE＝CE，四边形BECD的面积为3，则k的值为( )
A．6 B．9
C．12 D．15
C [∵点A，B在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴S△AOC＝S△BOD＝k，
又∵S四边形BECD＝S△BOD－S△EOC，S△AOE＝S△AOC－S△EOC，
∴S△AOE＝S四边形BECD＝3，
∵AE＝CE，∴S△AOC＝2S△AOE＝2×3＝6，
∴k＝2S△AOC＝2×6＝12．
故选C．]
模型二 一点两垂线
[模型展示]
特点：平行四边形的一个顶点在双曲线上，一边与坐标轴平行，其对边在坐标轴上．
结论2：由k的几何意义得S阴影＝|k|．
【典例2】 如图，点A为反比例函数y＝(k＜0，x＜0)的图象上一点，AB⊥x轴于点B，点C是y轴正半轴上一点，连接BC，AD∥BC交y轴于点D，若S四边形ABCD＝0.5，则k的值为( )
A．1 B．0.5 C．－0.5 D．－1
C [∵AB⊥x轴于点B，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
过点A作AM⊥y轴，
∴S矩形ABOM＝S平行四边形ABCD＝|k|＝0.5，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝－0.5．
故选C．]
[跟踪训练]
1．已知反比例函数y＝的图象如图所示，若矩形OABC的面积为3，则k的值是( )
A．3 B．－3
C．6 D．－6
B [∵矩形OABC的面积为3，
∴|k|＝3，
根据题干图可知，k＜0，
∴k＝－3．
故选B．]
2．如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上两点．若点D的坐标是(b，a)，则a－b的值为( )
A．3 B．2
C．－3 D．－2
B [如图，延长CD，BA交y轴于点E，F，延长DA，CB交x轴于点M，N，
由k的几何意义得，S矩形DEOM＝S矩形BFON，
∴S矩形ADEF＝S矩形ABNM，
∵AB＝AD，
∴AF＝AM，
∵点D的坐标是(b，a)，
∴OM＝b＝AF＝AM，DM＝a＝BF，
∴DA＝BA＝a－b，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴(a－b)2＝4，
∴a－b＝2．
故选B．]
模型三 两点一垂线
[模型展示]
特点：三角形的两个顶点在双曲线的两个分支上，一边过原点，一边平行于坐标轴．
结论3：根据双曲线的中心对称性，结合k的几何意义得S阴影＝|k|．
【典例3】 如图，A，B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [由题意可知，△AOC的面积为1，
∵A，B关于原点O对称，
∴△AOC与△BOC的面积相等，
∴S△ABC＝2S△AOC＝2．
故选B．]
[跟踪训练]
如图，△ABC的顶点A，B在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，且AC⊥y轴于点C，原点O在边AB上，如果△ABC的面积等于4，则k的值为( )
A．4 B．－4
C．8 D．－8
B [∵△ABC的顶点A，B在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，原点O在边AB上，
∴OA＝OB．
∵AC⊥y轴，
∴S△AOC＝＝S△ABC＝2，
∴|k|＝4，
∵图象在第二象限，
∴k＝－4．
故选B．]
模型四 两点两垂线
[模型展示]
特点：(1)直角三角形的两锐角顶点在双曲线的两个分支上，斜边过原点，两直角边平行于坐标轴．
(2)平行四边形的两个对角顶点在双曲线上，一条对角线在坐标轴上，另一条对角线过原点．
结论4：S阴影＝2|k|．
【典例4】 如图，在 ABCD中，AB∥x轴，点B，D在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，若 ABCD的面积是8，则k的值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
B [连接OB．
∵ ABCD的面积是8，
∴S△ABC＝×S ABCD＝×8＝4，AB＝CD，AB∥CD，
∴点B，D横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，
又∵AB∥x轴，AB∥CD，
∴OA＝OC，
∴S△AOB＝S△ABC＝2，
∴k＝2S△AOB＝S△ABC＝4．
故选B．]
[跟踪训练]
1．如图，矩形ABCD的中心位于直角坐标系的坐标原点O，其面积为8，反比例函数y＝的图象经过点D，则m的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
A [∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，
矩形ABCD的面积是8，
设D(x，y)，则4xy＝8，
即xy＝2，
又反比例函数的表达式为y＝，
∴m＝2．
故选A．]
2．如图，过原点O的直线交反比例函数y＝的图象于A，B两点，分别过A，B两点作x轴、y轴的垂线，相交于C点，已知△ABC的面积等于4，则k的值为( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
B [由题意可知，A与B关于原点对称，且k＜0，
故可设A(a，b)，B(－a，－b)，
设BC与y轴交于点D，AC与x轴交于点E，
∴△AOE与△BOD的面积都是－，
∵矩形OECD的面积为：|ab|＝－k，
△ABC的面积是4，
∴2×－k＝4，∴k＝－2．
故选B．]
模型五 与两个双曲线有关的面积(双k模型)
[模型展示]
结论5：①S△ABC＝S△OBC＝；②S△AOB＝．
【典例5】 在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝(x<0)和反比例函数y＝(x<0)的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则△AOB的面积为( )
A． B．
C．m－n D．－m＋n
B [根据两个反比例函数图象可知，m＜0，n＞0，
由反比例函数k值几何意义可得：S△AOB＝|m|＋|n|＝．
故选B．]
[跟踪训练]
1．如图，点A在反比例函数y＝(x<0)的图象上，点B在反比例函数y＝－(x>0)的图象上，连接AB，AB与y轴交于点C，且AB∥x轴，D是x轴正半轴上一点，连接AD，BD，则△ABD的面积为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
B [如图，过A作AE⊥x轴交x轴于点E，过B作BF⊥x轴交x轴于点F，
∵点A在反比例函数y＝(x<0)的图象上，点B在反比例函数y＝－(x>0)的图象上，
∴S矩形ACOE＝2，S矩形OCBF＝4，
则S矩形ABFE＝6，
∴AB·AE＝6，
∴S△ABD＝AB·AE＝3．
故选B．]
2．如图，点A是函数y＝－(x<0)的图象上一点，AC⊥x轴于点C，与函数y＝－(x<0)的图象交于点B，连接OA，OB，则△OAB的面积为________．
2 [∵点A在反比例函数y＝－(x＜0)的图象上，且AC⊥x轴，
∴S△ACO＝＝3．
同理可得，
S△BCO＝＝1，
∴S△OAB＝S△ACO－S△BCO＝3－1＝2．]
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