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2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题精选汇编（三）
一、单选题
1．（2025·湖南永州·三模）若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知，可得．
因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立．
移项可得在区间上恒成立，令，，则．
对求导，可得：．
令，即，因为恒成立，所以，解得或．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以在处取得极大值，也是最大值，．
因为，所以实数的最小值为．
故选：C．
2．（2025·湖南永州·三模）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
【答案】B
【解析】由题干条件，即，
也即数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则数列增长尽可能缓慢，
需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，
因为，则，
，，所以，
采用累加法，
令，即，解得，
当时，，符合题意；
当时，，无法构造“速增数列”满足题意，
故选：B.
3．（2025·湖南娄底·二模）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足，，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】如图，设l：，，，
联立得，所以，，
所以，依题意，，所以．
而，，所以．因为，，
所以，则，所以.
故选：B．
4．（2025·湖南娄底·二模）已知正六棱柱的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为（ ）
A．36 B．42 C．48 D．24
【答案】A
【解析】设正六边形ABCDEF的中心为点M，则点M与任意一条边均构成等边三角形，
因此点M到各边的距离均为等边三角形的高，即，
不妨设该正六棱柱的高为h，则且，r取两者之中的较小者，
由点M到A，B，C，D，E，F的距离均为2，得点M是正六边形ABCDEF的外接圆圆心，
因此正六棱柱的外接球半径，
若，则，；
若，则，，
于是当时，取得最小值，正六边形的面积为，
所以该正六棱柱的体积为.
故选：A
5．（2025·湖南·二模）若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立直线与椭圆的方程，
可得，即得，代入，
得，，，，
因为，令则，则，
若，，
又因为，的面积都为定值，
因此，
因此我们只需要求的最小值即可，
设，，，
作差得，时最小为，
因此；
同理，当时，，
，当时最小为0，
S最小为，综合比较可的最小值为，
故选：C
6．（2025·湖南岳阳·二模）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】椭圆的焦点，，不妨令点在第一象限，
在中，，
则，解得，，则，
由平分，得，而，则，
所以.
故选：D
7．（2025·湖南岳阳·二模）已知圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面是以为顶点的等腰三角形，若分别是该三角形的三个内角，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径以及圆锥的母线分别为，
由题意可得，故，
因此三角形为等边三角形，故,
故,
故选：B
8．（2025·湖南·二模）在正三棱柱中，为线段上的动点，为边上靠近B的三等分点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以A为坐标原点，为轴，过A作的垂线为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设三角形的外接圆的圆心为，则点在平面上，且为线段AB中垂线与线段AD中垂线交点，注意到线段AB中垂线方程满足，AD中点为，
又在平面中，，则AD中垂线方程满足，
联立与，故解得点的坐标为，
过点作平面的垂线，则外心一定在此垂线上，故可设的坐标为，又因为，
故三角形的外接圆半径，
由题可设点的坐标为，且，
由外接球的定义知：，
故，得，
故当最小时，半径最小，即体积最小，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立，即，
故体积.
9．（2025·湖南·二模）记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】数列中，由，得，
即，
所以
，
又，所以.
又由，得且，
可知，
所以是整数，于是是整数，且是偶数的平方，则，当取等号.
下面举例说明可以取到，
，
，
此时，
所以的最小值为3.
故选：D.
10．（2025·湖南·二模）已知某正三棱柱外接球的表面积为，则该正三棱柱体积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】A
【解析】设外接球的半径为，则，解得.
设正三棱柱的底面三角形的边长为，则该三角形外接圆的半径为，
故该正三棱柱的高为，
所以该正三棱柱的体积.
由，解得.
令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在时取得最大值，
故，所以该正三棱柱体积的最大值为1.
故选：A.
11．（2025·湖南常德·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，由，得，，
由椭圆定义得，
由，得，则，
解得，，令椭圆的半焦距为c，
由，得，解得，
所以椭圆的离心率为.
故选：C
12．（2025·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
由和差化积公式可得，
因为，所以，
由，
可得，所以.
故选：C
13．（2025·湖南·模拟预测）已知的定义域为且，则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】因为，
则，
所以，
又，得，则，
故，
令，则，，
因为时，则函数在单调递增，
因为时，则函数在单调递减，
且时，
所以，，
则，令，其图象的对称轴，
则在单调递减，
所以，即的最小值是.
故选：B．
14．（2025·湖南郴州·三模）定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为、、，则，
由三角不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
同理可得，，当且仅当、时，等号成立，
又因为，
即，可得、、，
又因为、、都是整数，则、、，
故满足条件的点的个数为个.
故选：C.
15．（2025·湖南郴州·三模）已知函数，若函数在区间的图象上存在两条斜率之积为的切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，
不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且
若，则恒成立，不符合题意，可排除A项.
所以，此时在上单调递增，
依题意需使，解得.
故选：D
16．（2025·高三·广西贵港·开学考试）在中，，且边上的高为，则（ ）
A．的面积有最大值，且最大值为
B．的面积有最大值，且最大值为
C．的面积有最小值，且最小值为
D．的面积有最小值，且最小值为
【答案】D
【解析】因为
所以
所以，又为三角形内角，
所以，所以
设角的对边分别为，边的高为，
由三角形面积公式可得：，又，
所以，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以
所以
故选:D
17．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的一个对称中心为 B．
C．函数为周期函数，且一个周期为4 D．
【答案】C
【解析】对于A，因为为奇函数，
所以，即，
所以，所以，
所以函数的图象关于点对称，所以A正确，
对于B，在中，令，得，得，
因为函数为偶函数，所以，
所以，
所以，
令，则，所以，得，所以B正确，
对于C，因为函数的图象关于点对称，，
所以，所以，
所以4不是的周期，所以C错误，
对于D，在中令，则，
令，则，因为，所以，
因为，所以，所以D正确，
故选：C
18．（2025·湖南邵阳·二模）已知向量满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取，为线段的中点，记，则．
．
又，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，
长半轴的长为4，短半轴的长为，
．
故选：A.
19．（2025·湖南·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，令，即．
因为均为的单调递增函数，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误；
对于B，令，即．
由于均为的单调递增函数，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误；
对于C，由，得，
易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点；
当时，单调递减，且；
当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点．
所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误；
对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点，
即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确．
故选：D.
20．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为当时，不等式恒成立，
即当时，不等式恒成立，
所以当时，不等式恒成立，
即当时，不等式恒成立，
即当时，不等式恒成立，
即当时，不等式恒成立，
设，，则，
所以函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
可以转化为在上恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，即，.
设，，则，
令，即；令，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，又，，显然，
所以，所以，
所以，即实数a的取值范围为.
故选：B.
21．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，
则，故函数在上递增，
所以,
又，，，
所以，
又是偶函数，则
，
所以，，，.
故选：B.
22．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，得.
，.
令，由的图象得：
，化简得.
故选：D.
二、多选题
23．（2025·湖南永州·三模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增
C．曲线关于直线对称 D．
【答案】ABD
【解析】A ，
，则是的周期，
假设其最小正周期，则对任意恒成立，
故当时，，即①，
当时，，即②，
当时，，即③，
①②两式相加得，
因，则，则或或，即或或，
经检验，当或时，①式不成立；当时，③式不成立，
故是的最小正周期，故A正确；
B，当时，
，
则在上单调递增，故B正确；
C，因，，
则，故曲线不关于直线对称，故C错误；
D，先证明，
令，则，则在上单调递减，
则，即，即，等号成立时，
当时，，
则当时有，
又因和均为偶函数，则恒成立且等号成立时，
则
，等号成立时，故D正确.
故选：ABD
24．（2025·湖南永州·三模）已知平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分
B．点横坐标的取值范围是
C．若过点的直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，则
D．对给定的点（），用表示的最小值，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】由于平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，
则，所以，
整理得轨迹为曲线：；
对于A，若，则轨迹为曲线化简得，
则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分，故A正确；
对于B，若，则曲线为，可得，则，
若，则轨迹为曲线化简得，可得，，
综合，可得，解得，所以点横坐标的取值范围是，故B不正确；
对于C，由选项B，可得曲线的图象如图所示：
设曲线的左右端点为，
又，所以，
设直线的方程为，则，即，
联立，解得，
联立，解得，
当时，则，，所以，故；
当时，则，，所以，故；
综上，恒成立，故C正确；
对于D，如图，设直线与曲线的交点为，
当时，代入曲线中可得或，则，
如图1：当时，，
则；
如图2：当时，，
则
如图3：当时，因为，则，所以，
综上，的最小值为.
故选：ACD.
25．（2025·湖南娄底·二模）已知函数的定义域为D，若，，都有，则称是次可加函数，则（ ）
A．（）是次可加函数
B．（）是次可加函数
C．若，，，则次可加函数可以是周期函数
D．若，，，则次可加函数的表达式不唯一
【答案】ABD
【解析】对于和，有，
由，
所以，所以，
得，故A正确；
对于和，有，
由m，n的范围，有，所以．
又，
所以，
所以，故B正确；
由于，所以不是常函数．若是周期函数，
设T是的一个周期，，考虑，，…，这T个函数值.
设是其中的最大值，则，，
由周期性可知的最大值也是．
取，则有，
这与的最大值是矛盾，
所以不是周期函数，故C错误；
令，下面证明是次可加函数．
若，成立，只需考虑．
若，，
而，成立；
只需考虑，
则，
，
故，
故其表达式不唯一，故D正确.
故选：ABD．
26．（2025·湖南·二模）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．是周期函数，且最小正周期为
C．不存在直线与曲线相切
D．若，，，则
【答案】ACD
【解析】由函数，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，当且仅当时等号成立；
又函数，恒成立，函数单调递减，
所以当时，，
所以，A选项正确；
由，周期为，故B选项错误；
令，方程无解，故C选项正确；
，且在单调递增，
因此，所以，
所以，，故D选项正确；
故选：ACD.
27．（2025·湖南·二模）为抛物线上一点，按照如下方式构造与：过点作的切线交轴于，取中点为，过点作的切线，切点为，与轴交于点，与为两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等比数列
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由抛物线，即，，
当时，过点做抛物线的切线，则切线斜率为：，
则切线方程为，即，则，
又为中点坐标值为，，
过的切线，代入，得，，
可得，，故A错误，B正确；
又，则，
所以，，所以
则，故D正确；
过点的切线为，所以，
令，，即，又，
，
所以，故C正确；
故选：BCD.
28．（2025·湖南岳阳·二模）已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”.以下结论中正确的是（ ）
A．若，则为“回归数列”
B．若为等比数列，则为“回归数列”
C．设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则
D．对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得
【答案】ACD
【解析】对于A，由，可得，所以必存在，
使得，故为“回归数列”，所以A正确；
对于B，由等比数列通项公式得，当时，，
显然对任意的，，故不是“回归数列”，所以B错误；
对于C，当时，，
假设总存在，则，
由于对任意的上式恒成立，不妨取，可得，存在，
再取，可得，
因为，而，所以，
当时，对任意的，由
可得总存在满足成立，所以C正确；
对于D，设等差数列，
总存在两个回归数列，
显然和是等差数列，使得，
证明如下：，
因为
所以数列{}前n项和，可得 ，
时，由为正整数，当时，，
所以存在正整数，使得，所以是“回归数列”，
因为所以数列前n项和，
由于，则存在正整数，使得，
所以是“回归数列”，所以D正确.
故选：ACD.
29．（2025·湖南·二模）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（ ）
A． B．与有相同的值域
C．的最小正周期是6 D．
【答案】ABD
【解析】由图象的变换知A项正确；
因为图象变换中没有上下平移，所以值域不变，可知B项正确；
由得①，
在中用代替得②，
由①②得，所以3是的周期，C项错误，
由知的周期，
则，
在中令得，所以，D项正确.
故选：ABD
30．（2025·湖南·二模）过点作抛物线的两条切线，切点为为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若线段的中点为与抛物线交于点，则
C．设抛物线上之间任意一点处的切线分别与交于点，记的面积分别为，则
D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A，由，得到，则，由导数的几何意义知，
曲线在点处的切线方程为，整理得到，
又，所以，即，
同理可得曲线在点的处切线方程为，
则，
解得，所以点的坐标为，故选项A正确；
对于选项B，易知，由选项A知的方程为，
所以，代入，得，
所以是线段的中点，故，所以选项B正确，
对于选项C，由选项B知垂直轴，不妨设，则
，
由，同理可得，
所以，故选项C错误；
对于选项D，点的坐标为，点的坐标为，
则，
又由抛物线定义可知，
所以，故选项D正确，
故选：ABD.
31．（2025·湖南·二模）已知函数，则（ ）
A．
B．对任意实数
C．
D．若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则
【答案】ACD
【解析】对A，，故A正确；
对B，，而，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，令，得，
当时，单调递增；当时，单调递减.
所以在处取得极小值1，
当时，；当时，.
恒成立，所以在上单调递增，
当；当.
所以函数的大致图象如图所示，
不妨设，由为偶函数可得，
直线与和的图象有三个交点，显然，
令，整理得，
解得或（舍去），
所以，即，
又因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
32．（2025·湖南常德·一模）如图，在棱长为2的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为
D．若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为
【答案】ABD
【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由，得，即点，
对于A，，则点，，，
，因此，A正确；
对于B，，则，即，
令，则，
其中锐角由确定，则当时，的最大值为，B正确；
对于C，，在边上，且，
因平面平面，设平面平面，
而平面平面，则，同理，
因此是平面截该正方体的截面，
点到直线的距离
，当且仅当时取等号，
，C错误；
对于D，因，
设平面的法向量，则，
令，得；
又，因，则，
令平面的法向量，则，
令，得.
设平面与平面的夹角为，
则，，
当时，，当时，，
当且仅当或时取等号，因，此时最小，，，
因此平面与平面夹角的正切值的最小值为，D正确.
故选：ABD
33．（2025·湖南·模拟预测）下列说法不正确的有（ ）
A．正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块
B．若直线和平面均垂直于平面，则
C．正八面体的八个面所在平面可以将空间划分的区块数是正四面体划分区块数的4倍
D．从空间内任意一点出发，最多可以引出5条射线使得他们两两之间的夹角均为钝角
【答案】BCD
【解析】对于A，参考直线划分平面的思路，
当新加入平面后，考虑已有平面与原有平面的交线可以将新加入的平面划分为个区域，
由于每一个区域可将原空间一分为二，所以新增加的区块数为（新加入平面被划分的区域）．
例如：一个平面将空间划分为2块，加入新平面．若平行，那么新增加的区块数为1．
若不平行，那么与有一条交线，这条交线把平面划分为2个区域，所以新增加的区块数为2．
类比分析四面体划分的区块，
①平面将空间划分为2个部分．
②增加平面，平面与平面的交线为，直线将平面一分为二，
每个区域将所在空间一分为二，故增加了2个区块，此时区块数为．
③增加平面，平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，
这两条交线相交，将平面分为4个区域，这4个区域将所在空间一分为二，
故增加了4个区块，此时区块数为．
④增加平面，平面与上述三个平面的交线分别为，，，这3条交线将平面分为7个区域，
这7个区域将其所在空间一分为二，故增加了7个区块，此时区块数为．
故正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块，故A正确；
对于B，也可以，故B错误；
对于C，同选项A，正八面体的八个面所在平面可以将空间划分的区块数为59个，，故C错误；
对于D，假设5条射线可以两两成钝角，设起始点为，终点为，
则，以方向建立轴，，
那么，，，都在平面的的负半轴一侧，，
又恒大于0，且是在平面上的投影向量的数量积，
于是总有，使得．从而，故假设不成立，故D错误．
故选：BCD．
34．（2025·湖南郴州·三模）已知正方体的表面积与体积的数值之比为3，，分别是棱BC，的中点，是线段上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．多面体的体积为
C．存在一点，使得
D．若平面PQG，则平面PQG截正方体的截面面积是
【答案】BD
【解析】
对于A，因为正方体的表面积与体积之比为3，
所以，解得，故A错误；
对于B，因为四面体的体积为，
所以多面体的体积为，正确；
对于C，设的中点为，连接，则，因为在平面内，而是线段上一个动点，即点在平面内，点在平面外，所以为异面直线，故C错误；
对于D，在正方体中，连接，易得，
又结合正方体的结构特点易证，
是平面内的两条相交直线，
所以平面，又在平面内，
所以，同理可证，
是平面内两条相交直线，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
又分别是棱BC，的中点，
所以平面截正方体的截面分别交棱的中点，
所以截面为正六边形，又，所以截面面积为，故D正确，
故选：BD
35．（2025·湖南郴州·三模）已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为当时，，
令，可得，所以在上单调递增.
因为，可得，
对于A，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故A正确；
对于B，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故B错误；
对于C，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故C正确；
对于D，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故D错误；
故选：AC.
36．（2025·高三·广西贵港·开学考试）若函数，则（ ）
A．可能只有1个极值点
B．当有极值点时，
C．存在，使得点为曲线的对称中心
D．当不等式的解集为时，的极小值为
【答案】BCD
【解析】，
则，令，
.
A项，当时，，则在上单调递增，不存在极值点；
当时，方程有两个不等的实数根，设为，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
故在处取极大值，在处取极小值，即存在两个极值点；
综上所述，不可能只1个极值点，故A错误；
B项，当有极值点时,有解，则，
即.由A项知，当时，在上单调递增，不存在极值点；
故，故B正确；
C项，当时，，
，所以，
则曲线关于对称，
即存在，使得点为曲线的对称中心，故C正确；
D项，不等式的解集为，
由A项可知仅当时，满足题意.
则且，且在处取极大值.
即，则有，
故，
，
又，
解得，
故，
则，
当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
故在处有极大值，且极大值为；
在处有极小值，且极小值为；
故D正确.
故选：BCD.
37．（2025·湖南邵阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ）
A．直线与恰有两个公共点
B．双曲线的离心率为
C．当时，的面积为
D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，
【答案】BC
【解析】对于A选项，联立可得，
所以，直线与恰有只有一个公共点，A错；
对于B选项，对于双曲线，则，，，
所以，双曲线的离心率为，B对；
对于C选项，设，，由双曲线的定义可得，
由余弦定理可得，
可得，则，C对；
对于D选项，设点、，线段的中点为，
则，，则，
由题意可得，所以，，则，D错.
故选：BC.
38．（2025·湖南邵阳·二模）设函数的导函数为，即．当，函数在区间上的图象连续不断时，直线，，和曲线所围成的区域的面积为，且，则（ ）
A．
B．当时，
C．存在实数，使得、、成等比数列
D．直线，，和曲线所围成的区域的面积为
【答案】BD
【解析】对于选项A，，为常数，A错；
对于选项B，，为常数，
即要证，．
设，，．
则在上单调递减，所以．B正确；
对于选项C，，，，
要使、、成等比数列，
则．．
． ①
时，，
又．
，．
①不成立，C错误．
对于选项D，，为常数．
D正确．
故选：BD.
39．（2025·湖南·模拟预测）阅读材料:在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为（、、不全为零）的平面的方程为.根据阅读材料，解决问题：已知、、、、，则（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值为
B．三棱锥的体积为
C．平面的方程为
D．在上的投影向量的坐标为
【答案】CD
【解析】对于A选项，若直线与平面所成角的正弦值为，则平面，
由题意可得，，则，
所以，、不垂直，A错；
对于B选项，易知、、三点都在平面上，
，
则，
所以，，
点到平面的距离为，
故，B错；
对于C选项，因为，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，，即平面的一个法向量为，
所以平面的方程为，即，C对；
对于D选项，在上的投影向量为
，D对.
故选：CD.
40．（2025·湖南·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，设，，且，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】令，，可得，因为，则，，
令，则，所以，或，
若，则，②，矛盾，故，A对；
令，，得，则，
令，得，即，
即函数的图象关于直线对称，
在等式两边求导得，即，
所以，函数的图象关于点对称，
因为，即，可得出（为常数），
无法判断的图象是否关于点对称，B错C对；
因为函数的图象关于点对称，
所以，，
因此，，D对.
故选：ACD.
41．（2025·高三·安徽黄山·期末）已知是双曲线：的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，和的内切圆半径分别为.设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A，如图所示，设内切圆与的三边分别切与点，
则由双曲线定义可得，又由内切圆性质可得：，
又，则，，所以，
又，即，
则，故A错误；
对于B，设，，
所以为等腰三角形，则点为的中点，
则，，
所以，即得，所以双曲线离心率为，故B正确；
对于C，由B可知：，，
则.因为内切圆半径为，
所以，
由等面积法可知，，
整理得，即，
设，，，又由可知为等腰三角形，
则，所以，
由余弦定理可得：，
整理得：，即，即，，
又等面积法可得：，
即，即，
则，故C正确；
对于D，所以，故D正确，
故选：BCD.
42．（2025·湖南邵阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（ ）
A．
B．当时，的最小值为
C．点到直线的距离的最小值为2
D．当时，直线ON的斜率的最大值为
【答案】ABD
【解析】根据抛物线的定义，的准线为，
由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确；
对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为，
对于B选项，当时，；
当时，
当且仅当时，等号成立.选项B正确；
对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：
到直线的距离，
当时，.选项C错误；
对于D选项，可根据向量共线作出示意图：
根据定义求出抛物线的焦点，由得，
当时，；
当时，，
当且仅当时，等号成立.选项D正确.
故选：ABD
43．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，为奇函数
B．的图象关于直线对称
C．当时，，
D．若，，则
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，，
，函数是奇函数，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，当时，，，C正确；
对于D，由，得，
令，，
而，，且均在时取等号，则，，
因此，D正确.
故选：ACD
三、填空题
44．（2025·湖南永州·三模）已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】
图1
由题意设下底长、宽分别为，则上底边长、宽为，如图1，分别是上下底面的中心，连结，，，
，
根据边长关系，知该棱台的高为，
则，
当且仅当，即时等号成立，取得最大值；
此时棱台的高，
上底面外接圆半径，下底面半径，设球的半径为R，显然球心M在所在的直线上.
显然球心M在所在的直线上.
图2
当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段上，如图2，设，则，，显然
则，有，即
解得，舍去.
图3
当棱台两底面在球心同侧时，显然球心M在线段的延长线上，如图3，设，则，显然
即，即
解得，，
此时，外接球的表面积为.
故答案为：
45．（2025·湖南娄底·二模）幻方是一种数学游戏，具有悠久的历史，其要求每行每列以及两条对角线的数字之和均相等，且每格的数字均不相同．现将1～16填入4×4幻方，部分数据如图所示，则m的取值集合是 ．
【答案】
【解析】不妨记第i列（从左往右），第j行（从下往上）的数字坐标为，如，
易知，，，，．
设，则，，由对角线可得到，解得，
故，，，．
注意到，故，而12，13，16均在幻方中出现过，故或．
当时，，但，矛盾；
当时，给出一种幻方成立的情况：
综上，m的取值集合是.
故答案为：.
46．（2025·湖南·二模）已知椭圆，为的右焦点，为第一象限内椭圆上的一点，过点作的切线，与、轴分别交于，两点，若，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】设，，
易知切线斜率存在，
则设切线方程为
，可得，
则，
所以，代入直线，可得，
即，即直线为，即，
令，得，同理令，得，
因此，，
又因为，，
故，得，，
故点的坐标为，
故答案为：.
47．（2025·湖南·二模）若函数，，若，为偶函数，则 .若为奇函数，则 .
【答案】 ， ，
【解析】当时，，
若为偶函数，则，
，
整理得恒成立，
恒成立，
因此，，
若为奇函数，则，即
整理得：
，
因此，此时，.
故答案为：.
48．（2025·湖南岳阳·二模）祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线：，若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成图形（如图1），则它绕轴旋转一周所得几何体的体积为 ；由双曲线和两直线围成的封闭图形绕轴旋转一周后得到几何体（如图2），则的体积为 .
【答案】
【解析】由，可得渐近线方程：，
在第一象限内与渐近线的交点N的坐标为，
与双曲线在第一象限交点B的坐标为，
易得，
如图所示，设直线与轴的交点为，在第一象限与双曲线及其渐近线的交点为，
则，
所以，
则，
根据祖晅原理，它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积等于，
又直角绕轴旋转一周所得圆锥体积为：，
所以的体积为，
故答案为：；.
49．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 .
【答案】0或2
【解析】由得，当时，切线的斜率，
则曲线在点处的切线方程为，
因为它与只有一个公共点，所以有唯一解，
即有唯一解，
故或，
解得或，
故答案为：0或2
50．（2025·湖南·二模）定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位“稳定数”，则三位“稳定数”共有 个.
【答案】151
【解析】法一：要求各位数字的极差不超过2的“稳定数”的数量，可以按照最小值进行分类讨论，并计算每个对应的三位数的数量.
①当时：允许的数字范围是，百位数不能为0，因此百位只能是1或2，总数为种，
减去不含0的情况（即所有数字都是1或2）的8种，得到10个符合条件的数；
②当到7时：允许的数字范围是，百位数可以是中的任何一个，总数为种，
减去不含的情况（即所有数字都是或）的8种，得到每个对应的19个数，故共有133个符合条件的数；
③当时：允许的数字范围是8，9，百位数可以是8或9，总数为种，
减去不含8的情况（即所有数字都是9）的1种，得到7个符合条件的数；
④当时：所有数字都是9，只有1个数999.
将各个的情况累加起来，总数为：.
故答案为：151.
法二：位数的极差范围为0到9，根据定义，“稳定数”需满足极差，即.
①极差，所有数字相同，即形如，共9个（即）.
②极差，分两种情况：
最小值含0：数字范围为，且百位，此时十位和个位可为0或1，但需至少含一个0，共3个.
最小值：数字范围为，每位可选或，且至少含和各一次，
每位选择数有2种（或），扣除全或全的情况，
每个对应6个数，共8个，共个，小计：个.
③极差，分两种情况：
最小值含0：数字范围为，且百位，需至少含0和2各一次，
时，十位和个位需含0和2，共2个；
时，十位和个位需含0，共5个（），小计：个.
最小值：数字范围为，每位可选，且至少含和各一次，
由容斥原理有个，共7个，共个.小计：个.
三位“稳定数”总数为个.
故答案为：151.
51．（2025·湖南·二模）已知点在圆上，点，则当最小时，点到原点的距离为 .
【答案】
【解析】由题知，圆的标准方程为，圆心为，，
设，又，则，
所以，令，则，
又在圆上，由，解得，
根据题设可知满足题意，即与圆相切时满足题意，
此时，即点到原点的距离为，
故答案为：.
52．（2025·湖南·二模）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为 .
【答案】
【解析】
依题意，得，则抛物线的方程为.
由题意可知与抛物线的准线垂直，
在中，，则，
则直线的方程为.
由消去并化简整理得：
易得，则，
又原点到直线的距离为，
故.
故答案为：.
53．（2025·湖南·二模）已知函数，且的最小值为，则 .
【答案】1
【解析】因为
，
又，且的最小值为，
所以函数的最小正周期，由，
所以.
故答案为：1.
54．（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，，
由函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，，
得或，解得或，
则，所以实数的取值范围是.
故答案为：
55．（2025·湖南·模拟预测）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点，为上一点，且轴，过点A的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题意可设，，，
设直线的方程为，
令，可得，令，可得．
设的中点为，可得，
因为，，三点共线，
所以，又，，
所以，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故答案为：.
56．（2025·湖南·模拟预测）已知，若在上有解，则的最小值是 ．
【答案】12
【解析】因为函数，
又在上有解，
设这个解是，则，
则，即，
即点可看作在动直线上，则可转化为点到原点距离的平方的最小值．
则，令，，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，
则．
故答案为：12.
57．（2025·湖南郴州·三模）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以，所以抛物线：；
设，不妨设，
由，可得，可得，则，
可得切线的方程为
因为点在直线上，可得，
同理可得：，
所以直线的方程为，可得直线过定点，
又因为在直线上的射影为，可得且，
所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为，
当与相切时，
由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为，
可得切线方程为，则，解得或，
所以实数的范围为.
故答案为：.
58．（2025·高三·广东·阶段练习）已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】
当在、上时由、，即，即；
当在、上时为等腰三角形，，即，即；
当在、、、上时的取值范围均一致，当在上时，绕翻折，使平面与平面在同一平面内，
如图所示，
则，即，
又在每条棱上运动时，所在位置与的值一一对应，
又，
所以若满足条件的点恰有个，则，
故答案为：.
59．（2025·湖南邵阳·二模）已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 ．
【答案】
【解析】设外接球的半径为，则，．
设正六棱锥的底面边长为，则，，
即正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2．
正六棱锥的底面积．
侧面面积．
正六棱锥的体积．
设正六棱锥的内切球的半径为，
则．
．
设正方体的棱长为，则，．
正方体的棱长的最大值为．
故答案为：.
60．（2025·湖南·模拟预测）2021年小米重新设计了自己的品牌形象.新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形中运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo.类比推理，现有一个棱长为2的正方体，一个直径为1的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 .
【答案】
【解析】根据类比可知：小球在正方体内部运动，“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体，
12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体.
剩余部分是个类似十字的几何体，可得该几何体的体积为4，
所以“小米正方体”的体积为
故答案为：.
61．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆，
因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角，
则点在圆外，
又因为动点在直线上，则直线与圆相离，
所以，，解得，
则，即，
因此，椭圆的离心率的取值范围是.
故答案为：.
62．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 .
【答案】.
【解析】当时，则，令，
求导可得，令，解得，可得下表：
单调递增 极大值 单调递减
由函数的极大值为，则存在唯一零点，
所以函数与函数在上有且仅有一个交点；
当时，，令，
求导可得，显然上，
则函数在上单调递减，
当时，，当时，，
由，则函数在上存在唯一零点，
所以函数与函数在上有且仅有一个交点；
由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点，
当时，，令，
令，整理可得，
当方程有两个相等的实数解时，，解得，
此时，符合题意，
当方程在有一个实数根时，可得，解得，
综上可得.
故答案为：.
63．（2025·湖南邵阳·一模）已知在棱长为3的正方体中，点是底面ABCD内的动点，点为棱BC上的动点，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图（一），，.
又，.
如图（二），建立平面直角坐标系，则，，，设点.
，化简得：（，）.
则圆心为，，点关于BC的对称点.
故答案为：.
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2025年新高考地区数学名校地市选填压轴题精选汇编（三）
一、单选题
1．（2025·湖南永州·三模）若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南永州·三模）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
3．（2025·湖南娄底·二模）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足，，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．（2025·湖南娄底·二模）已知正六棱柱的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为（ ）
A．36 B．42 C．48 D．24
5．（2025·湖南·二模）若椭圆的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆交于A，B两点，若点P为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南岳阳·二模）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·湖南岳阳·二模）已知圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面是以为顶点的等腰三角形，若分别是该三角形的三个内角，则（ ）
A． B． C．0 D．1
8．（2025·湖南·二模）在正三棱柱中，为线段上的动点，为边上靠近B的三等分点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖南·二模）记数列的前项和为，若，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2025·湖南·二模）已知某正三棱柱外接球的表面积为，则该正三棱柱体积的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．4
11．（2025·湖南常德·一模）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，连接并延长交椭圆于点.若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A． B．7 C． D．
13．（2025·湖南·模拟预测）已知的定义域为且，则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
14．（2025·湖南郴州·三模）定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2025·湖南郴州·三模）已知函数，若函数在区间的图象上存在两条斜率之积为的切线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．（2025·高三·广西贵港·开学考试）在中，，且边上的高为，则（ ）
A．的面积有最大值，且最大值为
B．的面积有最大值，且最大值为
C．的面积有最小值，且最小值为
D．的面积有最小值，且最小值为
17．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的一个对称中心为 B．
C．函数为周期函数，且一个周期为4 D．
18．（2025·湖南邵阳·二模）已知向量满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·湖南·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（2025·湖南邵阳·一模）定义在上的偶函数，其导函数为.若，恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
22．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
23．（2025·湖南永州·三模）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增
C．曲线关于直线对称 D．
24．（2025·湖南永州·三模）已知平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分
B．点横坐标的取值范围是
C．若过点的直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，则
D．对给定的点（），用表示的最小值，则的最小值为
25．（2025·湖南娄底·二模）已知函数的定义域为D，若，，都有，则称是次可加函数，则（ ）
A．（）是次可加函数
B．（）是次可加函数
C．若，，，则次可加函数可以是周期函数
D．若，，，则次可加函数的表达式不唯一
26．（2025·湖南·二模）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．是周期函数，且最小正周期为
C．不存在直线与曲线相切
D．若，，，则
27．（2025·湖南·二模）为抛物线上一点，按照如下方式构造与：过点作的切线交轴于，取中点为，过点作的切线，切点为，与轴交于点，与为两个不同的点，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等比数列
C．
D．
28．（2025·湖南岳阳·二模）已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”.以下结论中正确的是（ ）
A．若，则为“回归数列”
B．若为等比数列，则为“回归数列”
C．设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则
D．对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得
29．（2025·湖南·二模）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（ ）
A． B．与有相同的值域
C．的最小正周期是6 D．
30．（2025·湖南·二模）过点作抛物线的两条切线，切点为为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若线段的中点为与抛物线交于点，则
C．设抛物线上之间任意一点处的切线分别与交于点，记的面积分别为，则
D．
31．（2025·湖南·二模）已知函数，则（ ）
A．
B．对任意实数
C．
D．若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则
32．（2025·湖南常德·一模）如图，在棱长为2的正方体中，空间中的点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最大值为
C．若，则平面截该正方体的截面面积的最小值为
D．若，则平面与平面夹角的正切值的最小值为
33．（2025·湖南·模拟预测）下列说法不正确的有（ ）
A．正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块
B．若直线和平面均垂直于平面，则
C．正八面体的八个面所在平面可以将空间划分的区块数是正四面体划分区块数的4倍
D．从空间内任意一点出发，最多可以引出5条射线使得他们两两之间的夹角均为钝角
34．（2025·湖南郴州·三模）已知正方体的表面积与体积的数值之比为3，，分别是棱BC，的中点，是线段上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．多面体的体积为
C．存在一点，使得
D．若平面PQG，则平面PQG截正方体的截面面积是
35．（2025·湖南郴州·三模）已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
36．（2025·高三·广西贵港·开学考试）若函数，则（ ）
A．可能只有1个极值点
B．当有极值点时，
C．存在，使得点为曲线的对称中心
D．当不等式的解集为时，的极小值为
37．（2025·湖南邵阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（ ）
A．直线与恰有两个公共点
B．双曲线的离心率为
C．当时，的面积为
D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，
38．（2025·湖南邵阳·二模）设函数的导函数为，即．当，函数在区间上的图象连续不断时，直线，，和曲线所围成的区域的面积为，且，则（ ）
A．
B．当时，
C．存在实数，使得、、成等比数列
D．直线，，和曲线所围成的区域的面积为
39．（2025·湖南·模拟预测）阅读材料:在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为（、、不全为零）的平面的方程为.根据阅读材料，解决问题：已知、、、、，则（ ）
A．直线与平面所成角的正弦值为
B．三棱锥的体积为
C．平面的方程为
D．在上的投影向量的坐标为
40．（2025·湖南·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，设，，且，若，，则（ ）
A． B． C． D．
41．（2025·高三·安徽黄山·期末）已知是双曲线：的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，和的内切圆半径分别为.设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率
C． D．
42．（2025·湖南邵阳·一模）已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（ ）
A．
B．当时，的最小值为
C．点到直线的距离的最小值为2
D．当时，直线ON的斜率的最大值为
43．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，为奇函数
B．的图象关于直线对称
C．当时，，
D．若，，则
三、填空题
44．（2025·湖南永州·三模）已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为.当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为 .
45．（2025·湖南娄底·二模）幻方是一种数学游戏，具有悠久的历史，其要求每行每列以及两条对角线的数字之和均相等，且每格的数字均不相同．现将1～16填入4×4幻方，部分数据如图所示，则m的取值集合是 ．
46．（2025·湖南·二模）已知椭圆，为的右焦点，为第一象限内椭圆上的一点，过点作的切线，与、轴分别交于，两点，若，则点的坐标为 .
47．（2025·湖南·二模）若函数，，若，为偶函数，则 .若为奇函数，则 .
48．（2025·湖南岳阳·二模）祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线：，若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成图形（如图1），则它绕轴旋转一周所得几何体的体积为 ；由双曲线和两直线围成的封闭图形绕轴旋转一周后得到几何体（如图2），则的体积为 .
49．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 .
50．（2025·湖南·二模）定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位“稳定数”，则三位“稳定数”共有 个.
51．（2025·湖南·二模）已知点在圆上，点，则当最小时，点到原点的距离为 .
52．（2025·湖南·二模）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为 .
53．（2025·湖南·二模）已知函数，且的最小值为，则 .
54．（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是 .
55．（2025·湖南·模拟预测）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点，为上一点，且轴，过点A的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为 ．
56．（2025·湖南·模拟预测）已知，若在上有解，则的最小值是 ．
57．（2025·湖南郴州·三模）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是 .
58．（2025·高三·广东·阶段练习）已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为 .
59．（2025·湖南邵阳·二模）已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 ．
60．（2025·湖南·模拟预测）2021年小米重新设计了自己的品牌形象.新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形中运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo.类比推理，现有一个棱长为2的正方体，一个直径为1的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 .
61．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 .
62．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 .
63．（2025·湖南邵阳·一模）已知在棱长为3的正方体中，点是底面ABCD内的动点，点为棱BC上的动点，且，则的最小值为 .
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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