北师大版八年级数学下册 第4章 因式分解 章节综合测试卷（含解析）

第4章《因式分解》章节综合测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（ ）
A．16 B．22 C．34 D．36
3．在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知＝9x2+mx，则m的值是（　　）
A．45 B．63 C．54 D．不确定
4．已知满足，则的值为（ ）
A．1 B．－5 C．－6 D．－7
5．已知满足，，则的值为（ ）
A．4 B．1 C．0 D．-8
6．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）
A．56 B．60 C．62 D．88
8．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是
A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1
9．如图，中，，将沿方向平移个单位得（其中的对应点分别是），设交于点，若的面积比的大，则代数式的值为（ ）

A． B． C． D．
10．已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知，，，则代数式的值为 ．
12．已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 ．
13．一个四位数，其中均为两位数，的十位数字相同且，则的最小值是 ；将放在的左边形成一个新的四位数，我们称为的“合构数”，若的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且能被17整除，则满足条件的的最小值是 ．
14．已知，，，则
15．若，满足，且为常数），则称点为“和谐点”．一次函数存在“和谐点”，则b的取值范围 ．
16．已知，，那么 ， ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）分解因式
(1)； (2)；
(3)； (4)计算：．
18．（6分）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代数式的最小值．
原式．可知当时，有最小值，最小值是．
(1)用配方法分解因式：；
(2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
(3)求使得是完全平方数的所有整数m的积．
19．（8分）已知：，．
(1)求证：；
(2)若，为整数，且，，求的值．
20．（8分）（1）已知，，求
①；
②．
（2）若，求．
21．（10分）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
(1)已知多项式，则此多项式的零点为________．
(2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
(3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________．
22．（10分）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式
例如：求代数式的最小值．可知
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)若满足，求的值；
(3)已知,（为任意实数），比较的大小；
(4)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
23．（12分）阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
，
，
（满足条件①）
当时，（满足条件②）
4是的下确界．
又例如：
，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求的下确界．
(2)若代数式的下确界是1，求m的值．
(3)求代数式的下确界．
24．（12分）感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图 1 中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_____________ ；
应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图 2 所示 的是棱长为的正方体被分割线分成 8 块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为 ；
拓展：（3）如图 3，棱长为 x 的实心大正方体切除一个棱长为 y 的小正方体，剩余部分按如图所示的 方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为 ，乙长方体的体积为 ， 丙长方体的体积为 ，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为．
根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图 2 与图 3 中的 x 与 y 的值分别相等，且满足，，其中，求的值．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】根据因式分解的定义和方法逐项判断即可．
【详解】解：A： x2-a2=(x-a)2 ，因式分解不正确；
B： 4a2+4a+1=(2a+1)2，因式分解不正确；
C： -x2+4x=-x(x-4) ，原式因式分解错误；
D： x2 4y2=(x+2y)(x 2y) ，原式因式分解正确；
故选：D．
2．D
【分析】由得.由于 ，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的的值，即可找到的最大值.
【详解】由得
∵m，n均为正整数
或或或
或或或 或
解得或或或或或或或
∴或22或18或16
∴的最大值是36
故选：D
3．B
【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），
∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），
∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m），
∴n﹣2＝9，m＝，
∴n＝11，m＝63．
故选：B．
4．A
【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17），
∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11
∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0，
∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0
∴a-3=0，b+1=0，c-1=0，
∴a+b-c=3-1-1=1．
故选：A．
5．C
【分析】根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可．
【详解】解： ， ，
又 ，
，
，，
，
，
，
代入得，=0．
故选：C．
6．D
【分析】先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．
【详解】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
7．B
【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．
【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），
∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；
C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；
D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；
故选：B．
8．B
【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.
【详解】解：根据2x2+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x2+mx-3分解．
2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3；
故选：B.
9．B
【分析】根据平移的性质可得，AD=b，则，由，可得，根据题意可得，，再结合即可求出的值.
【详解】∵，
∴，
由平移可知，AD=b，
∴，
∵的面积比的大，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选B.
10．C
【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据a，b，c，d，e的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解．
【详解】解：根据，且，，，，为整数，可得a最小为0，则的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确；
若，则，假设可以分解为一个整式的平方，
设，
则
,
，，，，,
，
，,
这与矛盾，
∴假设不成立，
故，则不可能分解为一个整式的平方，
∴②正确；
若，且，，，，均为正整数，
则有，，，，，
或，，，，，
或，，，，共三种情况，故③错误；
故选：C．
二．填空题
11．3
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据代数式的形式，构造出完全平方公式进行计算即可，掌握分解因式的应用，把原多项式扩大2倍得完全平方式是解题关键．
【详解】解： ，，，
，，，
，，，
原式
．
故答案为：3．
12．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据，可得，进而得出，再根据，可得，最后根据得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
则．
∵，
∴，
可得．
∵，
∴，
∴，
即．
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查因式分解的应用，整除，根据当最大数不超过时，，当时，，根据能被17整除，可知，中必有一个是的整数倍，即为，68，，然后根据“的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除”逐一检验即可解题．
【详解】解：设较大的两位数是，则较小的两位数是，
则，
∵A是四位数，
当时，不符合题意；
当时，，符合题意；
∴ 的最小值是，
∵能被17整除，
∴，中必有一个是的整数倍，即为，68，；
当时，，数，这时不能被整除，不符合题意；
当时，，数，这时不能被整除，不符合题意；
当时，，数，这时能被整除，不符合题意；
当时，，数，这时能被整除，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，数，这时能被整除，不符合题意；
故满足条件的的最小值是，
故答案为：1023，．
14．
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把所求式子进行因式分解，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴原式；
故答案为：．
15．且
【分析】本题考查了一次函数的性质，因式分解的应用；根据新定义得出，进而得出，，根据，即可求解．
【详解】解：∵一次函数存在“和谐点”，
∴，且为常数）．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，．
∴．
当时，，此时，
∴．
故答案为：且．
16． -1 0
【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∵m≠2n，
∴
∴m＋2n＝ 1；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案是： 1；0．
三．解答题
17．（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：，
，
，
，
∴
．
18．（1）解：
；
（2）解：
；
∵，
∴，
∴当时，多项式有最大值13．
（3）解：设，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数，
所以①，，解得：，；
②，，解得：，；
③，，解得：，；
④，，解得：，．
所以所有m的积为．
19．（1）证明：∵，，
∴，，，
∴
，
∵，，
∴，
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，异号，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，为整数，
∴或或或，
∴（不符号、异号，舍去）或（不符号、异号，舍去）或或（不符号、异号，舍去），
∴，
∴的值为．
20．解：（1）解：①，，
，
；
②，，
，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
21．（1）解：根据题意，令，
或，
解得：或，
故答案为：或；
（2）根据题意，把代入，得，
解得：，
把代入，得，
令，
解得：，
多项式的另一个零点是；
（3），
的两个零点分别是或，
根据“系多项式”的定义，有，
∴
把代入，
得
，
，
故答案为：，，．
22．（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴
∴，即；
（4）解：
，
∴当且时，有最小值16，
此时得：，，
∴，时，多项式有最小值为16．
23．（1）解：，
∵，
∴（满足条件①），
当时，（满足条件②），
∴是的下确界；
（2）解：∵代数式的下确界是1，
∴可设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即：；
（3）解：
，
∵，
∴（满足条件①），
当，即时，（满足条件②），
∴6是的下确界
24．解：（1）图 1 中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（2）图 2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为，
因此可得．
故答案为：．
（3），，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．