苏科版八年级数学下册 9.4.2菱形 复习题（含解析）

9.4.2菱形复习题
【类型一：菱形的性质】
1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，AF⊥BC于点F，交BD于点P．若AB＝6，则DP的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣1，﹣2），C（3，1），则点A的坐标为 　 　．
3．如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O．且AM＝CN，连接BO．若∠OBC＝60°，则∠DAC为（　　）
A．65° B．30° C．25° D．20°
4．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE．
（1）求证：OE＝CB；
（2）如果OC：OB＝2：1，，求菱形的面积．
【类型二：菱形的判定】
5．在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．∠A＝∠B D．AC⊥BD
6．如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当∠BAC＝　 　度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）作∠AEB的平分线交AB于点G，若EG∥AC，求证：四边形AECF是菱形．
9．在 ABCD中，对角线AC与BD相交点O，过点O分别作AB和BC的垂线，垂足分别为H，M．
（1）如图1，当OH＝OM时，求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，当∠ABC＝90°时，若AB＝OB，求的值．
【类型三：菱形的翻折问题】
10．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（　　）
A．78° B．75° C．60° D．45°
11．如图，菱形纸片ABCD的边长为2，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB'⊥AD，垂足为F．若∠B＝60°，则BE的长是 ．
【类型四：菱形的旋转问题】
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1＝（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
13．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为 　　 ．
【类型五：菱形的动点问题】
14．如图1，在菱形ABCD中，点P沿A﹣B﹣C方向从点A移动到点C，设点P的移动路程为x，线段AP的长为y，点P在运动过程中y与x的变化关系如图2所示，点P运动到BC边上时，当x＝18，y的值最小为12，则a的值是 　 ．
15．如图1，四边形ABCD是菱形，AD＝5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH＝3．
（1）DH＝　 　；DM＝　 ；
（2）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【类型六：菱形在一次函数中的存在性问题】
16．已知，如图，O为坐标原点，在四边形OABC中，BC∥OA，BC＝24，A（26，0），C（0，12），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
（1）当P运动 　 　秒，四边形PDAB是平行四边形．
（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（6，3），C（0，3）．
（1）若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值；
（2）点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．
【类型七：与菱形有关的作图题】
18．（1）图1是在Rt△ABC中，∠B＝90°，用直尺和圆规作矩形ABCD，作法是“以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D“，请判断所作的四边形ABCD是不是矩形，并说明理由．
（2）如图2，在矩形ABCD的边AB上任取一点E，O是AC中点，在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹）
19．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线．
（1）在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接BE、DF，判断四边形BEDF的形状．
20．在平行四边形ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，请用直尺和圆规作菱形ABFE．
要求：
（1）用两种不同方法，不写作图过程，保留作图痕迹；
（2）选择其中一种给出证明过程．
21．如图①，在 ABCD中，AB＝5，BC＝13，BC边上的高为4．求作菱形AEFG，使点E在边AD上，点F，G在边BC上．
小宁的作法1．如图②，在边AD上取一点E．
2．以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点G．
3．在BC上截取GF＝AE，连接EF，则四边形AEFG为所求作的菱形．
（1）证明小宁所作的四边形AEFG是菱形．
（2）小宁进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围．
【类型八：菱形综合题】
22．邻边长分别为1，a（a＞1）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于1的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去．若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 　 　．
23.如图，E为菱形ABCD对角线AC上一点，直线DE交射线AB于点F，AD＝10，AC＝8．
（1）求此菱形的面积；
（2）当△BEF是直角三角形时，求AE的长．
参考答案
【类型一：菱形的性质】
1．
【分析】先由菱形的性质得到AD＝AB＝BC＝6，AC⊥BD，AC＝2OA，再证明△ABC是等边三角形，则AC＝AB＝6，进而得到OA＝3，由三线合一定理得到∠OAP＝30°，则可求出，利用勾股定理得到，则．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝6，AC⊥BD，AC＝2OA，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∴OA＝3，
∵AF⊥BC，
∴∠OAP＝30°，
∴，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
∴，
故选：C．
2．
【分析】过B作BM⊥DC于点M，与y轴交于点N，由勾股定理求出BC＝5，再由菱形的性质得AB＝BC＝5，即可解决问题．
【解答】解：如图，过B作BM⊥DC于点M，与y轴交于点N，
∵B（﹣1，﹣2），C（3，1），
∴BN＝1，BF＝EM＝2，MN＝3，CE＝1，
∴BM＝MN+BN＝3+1＝4，CM＝CE+EM＝1+2＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC5，
∴AB＝BC＝5，
∴AF＝AB﹣BF＝5﹣2＝3，
∵AB∥y轴，
∴点A的坐标为（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
3．
【分析】先由菱形性质得出AB∥CD，BC∥AD，BA＝BC．结合AM＝CN，证明△OAM≌△OCN（ASA），则OA＝OC，因为∠OBC＝60°，所以运用三角形内角和性质来计算，即可作答．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，BC∥AD，BA＝BC．
∴∠OMA＝∠ONC，∠OAM＝∠OCN，∠DAC＝∠OCB．
在△OAM和△OCN中，
，
∴△OAM≌△OCN（ASA）．
∴OA＝OC．
∴BO⊥AC．
∴∠BOC＝90°．
∵∠OBC＝60°，
∴∠OCB＝180°﹣∠BOC﹣∠OBC＝30°．
∴∠DAC＝∠OCB＝30°．
故选：B．
4．（1）证明：点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，
∴AC⊥BD，四边形OCEB是平行四边形，∠COB＝90°，
∴四边形OCEB是矩形，
∴OE＝CB；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，OC：OB＝2：1，，
∴，OC＝2OB，
由（1）知，AC⊥BD，
在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2＝OC2+OB2，
即5＝OC2+（2OC）2，
∴CO＝2，OB＝1．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝4，BD＝2，
∴菱形ABCD的面积．
【类型二：菱形的判定】
5．
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
6．
【分析】AC与BD交于点O，由OC＝OA＝3，OB＝OD＝4，可证明四边形ABCD是平行四边形，由OB2+OC2＝BC2＝25，证明∠BOC＝90°，则四边形ABCD是菱形，可判断A不符合题意；由AB＝AD＝CB＝CD＝5，可证明四边形ABCD是菱形，可判断B不符合题意；由AD∥BC，AD＝BC＝5，证明四边形ABCD是平行四边形，由∠ADB＝∠ABD＝30°，得AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，可判断C不符合题意；若AB∥CD，则四边形ABCD是菱形；C′D与AB不平行，则四边形ABC′D不是菱形，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，AC与BD交于点O，
∵OC＝OA＝3，OB＝OD＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BC＝5，
∴OB2+OC2＝42+32＝25，BC2＝52＝25，
∴OB2+OC2＝BC2，
∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故A不符合题意；
如图2，∵AB＝AD＝CB＝CD＝5，
∴四边形ABCD是菱形，
故B不符合题意；
如图3，∵∠ADB＝∠CBD＝30°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC＝5，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADB＝∠ABD＝30°，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故C不符合题意；
若AB∥CD，
∵AB＝CD＝5，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
若C′D＝AB＝5，但C′D与AB不平行，则四边形ABC′D不是菱形，
∴四边形ABCD不一定是菱形，
故D符合题意，
故选：D．
7．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
由翻折知，∠DAF＝∠HAF∠DAC，∠BCE＝∠MCE∠BCA，
∴∠HAF＝∠MCE，
∴AF∥CE；
（2）解：当∠BAC＝30°时四边形AECF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，
由（1）得：AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝60°．
∴∠ACD＝30°，
由折叠的性质得∠DAF＝∠HAF＝30°，
∴∠HAF＝∠ACD，
∴AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：30．
8．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，AD＝BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
在△FAO与△CEO中，
，
∴△FAO≌△CEO（ASA），
∴AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣CE，
即BE＝DF；
（2）∵AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EG∥AC，
∴∠GEB＝∠ACE，∠GEA＝∠EAC，
∵∠AEB的平分线交AB于点G，
∴∠GEB＝∠GEA，
∴∠ACE＝∠EAC，
∴AE＝EC，
∴ AECF是菱形．
9．（1）证明：∵OH⊥AB，OM⊥BC，OH＝OM，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD＝AC，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AB＝OB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠OBM＝30°，
∵OH⊥AB，OM⊥BC，
∴四边形OHBM是矩形，
∴OH＝BM，OB＝2OM，
∴BMOM，
∴．
【类型三：菱形的翻折问题】
10．
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故选：B．
11．
【分析】作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，求出∠ECB＝45°，得到EH＝CH，在Rt△EBH中，用BE表示EH，BH，再利用BH+CH＝BC列方程解出即可．
【解答】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，
由折叠得BC＝B′C＝2，∠BCE＝∠B′CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，DC＝BC＝2，∠B＝∠D＝60°，
∵CB′⊥AD于点F，
∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE＝∠B′CE∠BCB′90°＝45°，
∵∠B＝60°，
∴∠DCF＝30°，
∴DFDC2＝1，
∴∠HEC＝∠BCE＝45°，
∴CH＝EH，
在Rt△EBH中，
∵sinB，cosB，
∴CH＝EHBE，BHBE，
∴BEBE＝2，
∴BE，
故答案为：．
【类型四：菱形的旋转问题】
12．
【分析】根据平行四边形的性质及旋转的性质可知∠A＝∠C＝∠C1＝70°，BC＝BC1，然后可得∠BCC1＝∠C1＝70°，则有∠CBC1＝40°，进而问题可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝70°，
∴∠A＝∠C＝70°，
由旋转的性质可得∠C＝∠C1＝70°，BC＝BC1，∠ABA1＝∠CBC1，
∴∠BCC1＝∠C1＝70°，
∴∠ABA1＝∠CBC1＝40°．
故选：B．
13．
【分析】连接BE，作BH⊥AD，由旋转的性质可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案．
【解答】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H，
菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠BCD＝120°．
∵∠ECF＝120°，
∴∠BCD＝∠ECF，
∴∠BCE＝∠DCF
由旋转可得：EC＝FC，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF＝BE，
即求DF的最小值转化为求BE的最小值．
∵在Rt△AHB中，∠BAH＝60°，AB＝2，
∴BH＝2sin60°，
当E与H重合时，BE最小值是，
∴DF的最小值是．
故答案为：．
【类型五：菱形的动点问题】
14．
【分析】根据菱形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，运用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图1，过A点作AE⊥BC于E，
根据图2知：当点P与点E重合时，AB+BP＝18，AP＝12，
∴AB+BE＝18，AE＝12，
设AB＝m，则BE＝18﹣m，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
∴122+（18﹣m）2＝m2，
解得：m＝13，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝13，BE＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝13﹣5＝8，
当点P到达点C时，AP＝AC＝a，
在Rt△ACE中，AC2＝AE2+EC2，即a2＝122+82＝208，
∵a＞0，
∴a＝4，
故答案为：4．
15．解：（1）在Rt△ADH中，AD＝5，AH＝3，
∴DH4，
在Rt△ADH中，AD＝5，AH＝3，
∴DH＝4，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，
在△DCM和△BCM中，
，
∴△DCM≌△BCM（SAS），
∴DM＝BM，
在Rt△BHM中，BM＝DM，HM＝DH﹣DM＝4﹣DM，BH＝AB﹣AH＝2，
根据勾股定理得，DM2﹣MH2＝BH2，
即：DM2﹣（4﹣DM）2＝4，
∴DM；
故答案为：4，；
（2）在△BCM和△DCM中，
，
∴△BCM≌△DCM（SAS），
∴BM＝DM，∠CDM＝∠CBM＝90°
①当P在AB之间时，0＜t，S（5﹣2t）t．
②当P在BC之间时，t＜5，S（2t﹣5）t，
综上，S与t之间的函数关系式为S；
（3）存在，
∵∠ADM+∠BAD＝90°，∠BCD＝∠BAD，
∴∠ADM+∠BCD＝90°，
∵∠MPB+∠BCD＝90°，
∴∠MPB＝∠ADM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAM＝∠BAM，
∵AM＝AM，
∴△ADM≌△ABM（AAS），
∴∠ADM＝∠ABM，
∴∠MPB＝∠ABM，
∵MH⊥AB，
∴PH＝BH＝2，
∴BP＝2BH＝4，
∵AB＝5，
∴AP＝1，
∴t．
【类型六：菱形在一次函数中的存在性问题】
16．解：（1）∵A（26，0），C（0，12），
∴OA＝26，OC＝8，
∵点D时OA的中点，
∴OD＝1OA＝13，
由运动知，PC＝2t，
∵BC＝24，
∴BP＝BC﹣PC＝24﹣2t，
∵四边形PDAB是平行四边形，
∴PB＝AD＝13，
∴24﹣2t＝13，
解得t＝5.5，
∴当t值为5.5时，四边形PDAB是平行四边形．
故答案为：5.5；
（2）存在，分三种情况：
①当Q点在P点的右边时，如图，
∵四边形ODQP是菱形，
∴OD＝OP＝PQ＝13，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝5，
∴2t＝5，
解得t＝2.5，
∴Q（18，12）；
②当Q点在P点左侧且在BC线段上时，如图，
同理①得PC＝18，
即2t＝18，
解得t＝9，
∴Q（5，12）；
③当Q点在P点左侧且在BC延长线上时，如图3，
同理①求出QC＝5，PC＝13﹣5＝8，
即2t＝8，
解得t＝4，
∴Q（﹣5，12）；
综上，t＝2.5时，Q（18，12），t＝9时，Q（5，12），t＝4时，Q（﹣5，12）．
17．解：（1）若点P在点A的左侧，四边形PABQ为平行四边形，PA＝QB，
由题意得4﹣3t＝t，
解得t＝1，
若点P在点A的右侧，四边形PAQB为平行四边形，PA＝QB，
∴3t﹣4＝t，
解得t＝2，
综上：t＝1或2时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形．
（2）N点坐标为（﹣5，3），（5，3），（0，﹣3），．
∵点A（4，0），C（0，3），
∴AO＝4，OC＝3，
∴AC5，
如图，以AC为边，四边形ACMN是菱形，
∵C（0，3），
∴N（0，﹣3）；
如图，以AC为边，四边形ACNM是菱形，
∵CN＝AC＝5，CN∥AM，
∴N（5，3）；
如图，以AC为边，四边形ACNM是菱形，
∵CN＝AC＝5，CN∥AM，
∴N（﹣5，3）；
如图，以AC为对角线，四边形ACNM是菱形，
设CM＝AM＝CN＝x，
∴OM＝4﹣x，
∵OC2+OM2＝CM2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
∴，
∴CN，
∴N（，3）；
综上所述，以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，点N的坐标为（﹣5，3），（5，3），（0，﹣3），．
【类型七：与菱形有关的作图题】
18．解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形．
理由：∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）四边形EFGH即为所求．
19．解：（1）所作的图形如图：
；
（2）证明：四边形BEDF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
由翻折知，BE＝BF，
由作图知，BE＝DE，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝BF，
∴四边形BEDF是菱形．
20．解：（1）如图1、如图2，菱形ABFE为所作；
（2）如图1：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE＝AB，BF＝AB，
∴AE＝BF，
而AE∥BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∵AB＝AE，
∴四边形ABFE为菱形；
如图2：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，
∵BE平分ABC，
∴∠FBE＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
同理可得BF＝BA，
由图1的结论得到四边形ABFE为菱形．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE∥GF，
∵AE＝GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE＝AG，
∴四边形AEFG是菱形．
（2）解：如图①中，过点A作AT⊥BC于点T，
在Rt△ABT中，BT3，
∵BC＝13，
∴CT＝13﹣3＝10，
在TC上取一点G，使得AG＝CG，设AG＝CG＝x，
则有x2＝42+（10﹣x）2，
∴x，
观察图象可知：
①当0＜AE＜4时，菱形的个数为0；
②当AE＝4时，菱形的个数为1；
③当4＜AE≤5时，菱形的个数为2；
④当5＜AE时，菱形的个数为1；
⑤当AE≤13时，菱形的个数为0．
【类型八：菱形综合题】
22．
【分析】根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可．
【解答】解：①如图，经历三次折叠后，四边形IJHF为菱形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，
∴DF＝CE＝a﹣1，
∵四边形GCEH为菱形，
∴GC＝CE＝a﹣1，
∴DG＝FH＝1﹣（a﹣1）＝2﹣a，
∵四边形DGJI为菱形，
∴DI＝DG＝2﹣a，
∴IF＝a﹣1﹣（2﹣a）＝2a﹣3，
∵四边形IJHF为菱形，
∴IF＝HF，即2﹣a＝2a﹣3，
解得：；
②如图，经历三次折叠后，四边形DIHF为菱形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，
∴DF＝CE＝a﹣1，
∵四边形JCEG，IJGH，DIHF都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
③如图，经历三次折叠后，四边形FIJH为菱形，
∵四边形ABCD，DCEF为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝CE＝DF＝EF＝1，
∴FH＝a﹣2，
∵四边形FIJH，IEGJ都为菱形，
∴，
∴，
解得：；
④如图，经历三次折叠后，四边形HGIJ为菱形，
∵四边形ABCD，DCEF，FEGH，HGIJ都为菱形，
∴AB＝AD＝DF＝FH＝1，
∴HJ＝a﹣3，
∴HJ＝IJ，
∴a﹣3＝1，
解得：a＝4；
综上：a的值为或4或或．
23.解：（1）连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AOAC＝4，AC⊥BD，
∴OD2，
∴BD＝4，
∴菱形的面积 8 480；
（2）①当∠EFB＝90°时，如图1，
∵∠EFB＝90°，
∴菱形的面积＝10 DF＝80，
∴DF＝8，
∴AF6，
∴BF＝4，
∵AC垂直平分BD，
∴DE＝BE，
∵BE2＝FE2+BF2，
∴EF2+42＝（8﹣EF）2，
得EF＝3，
在△AEF中，AE3，
②当∠BEF＝90°时，如图2，连接BD交AC于O，当点E在AO上时，
则△EDB是等腰直角三角形，BD＝4，
∴OE＝2，
∴AE＝2；
当点E在OC上时，同理可求AE＝6，
③当∠FBE＝90°时，如图3，
∵AE2＝BE2+AB2，AE OB＝BA BE，
∴AE2＝BE2+100，2AE＝10BE，
∴AE2＝（AE）2+100，
∴AE＝5，
综上：AE的长为3或2或6或5．