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第二节 一元二次方程及其应用
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考点一 一元二次方程的有关定义
1．定义：只含有__个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式：______________(a，b，c为常数，a≠0)．
一
ax2＋bx＋c＝0
考点二 一元二次方程的解法
直接开
平方法 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程
因式分
解法 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)化二次项系数为1；(2)将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程右边；(3)两边同时加上一次项系数____的平方；(4)将方程化成(x＋a)2＝b的形式；(5)若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b<0，则原方程无解
一半
公
式
法
考点三 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式：Δ＝_________，注意隐含条件a≠0．
当Δ＞0时 方程有__________的实数根；
当Δ＝0时 方程有________的实数根；
当Δ<0时 方程____实数根，无解．
b2－4ac
两个不相等
两个相等
没有
1．方程3x(x－1)＝2(x＋1)化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．3x2，－5x，－2 B．3x2，－5x，2
C．3，－5，－2 D．3，－5，0
√
C [3x(x－1)＝2(x＋1)，
3x2－3x＝2x＋2，3x2－5x－2＝0，
二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2．故选C．]
2．方程(x－1)2－x＋1＝0的根为( )
A．x＝2 B．x＝3
C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝2
√
D [(x－1)2－x＋1＝0，(x－1)2－(x－1)＝0，
(x－1)(x－1－1)＝0，x－1＝0或x－1－1＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
故选D．]
3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
A [因为Δ＝(k＋3)2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，所以原方程有两个不相等的实数根．故选A．]
√
4．若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1x2＋x1＋x2的值是( )
A．7 B．－7
C．3 D．－3
√
D [∵x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，
∴x1x2＝－5，x1＋x2＝2，
则原式＝－5＋2＝－3．
故选D．]
√
考点突破 对点演练
命题点1 一元二次方程及其解法
【典例1】 (2024·安徽)解方程：x2－2x＝3．
[解] 法一：x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，
(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝3，x2＝－1．
法二：x2－2x＝3，x2－2x＋12＝3＋12，
∴(x－1)2＝4，∴x－1＝2或x－1＝－2，∴x1＝3，x2＝－1．
归纳总结 灵活选择方法解一元二次方程的口诀
方程没有一次项，直接开方最理想．
如果缺少常数项，因式分解没商量．
b，c相等都为零，等根是零不要忘．
b，c同时不为零，因式分解或配方．
也可直接套公式，因题而异择良方．
A [∵x2－8x－5＝0，∴x2－8x＝5，
则x2－8x＋16＝5＋16，即(x－4)2＝21，
∴a＝－4，b＝21．故选A．]
[对点演练]
1．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )
A．－4，21 B．－4，11
C．4，21 D．－8，69
√
2．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－2x＝0；(2)2x2－3x－1＝0．
命题点2 一元二次方程根的判别式
【典例2】 (2024·山东)若关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为____________．
易错警示 用根的判别式的前提条件是一元二次方程的二次项系数不能为0，并要把方程化为一元二次方程的一般形式，这是常常被忽略的问题．
B [A．(x－2)2＝－1化简为x2－4x＋5＝0，
∵a＝1，b＝－4，c＝5，
∴Δ＝(－4)2－4×1×5＝－4＜0，
此方程没有实数根，不符合题意；
[对点演练]
1．(2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A．(x－2)2＝－1 B．(x－2)2＝0
C．(x－2)2＝1 D．(x－2)2＝2
√
B．(x－2)2＝0，化简为x2－4x＋4＝0，
∵a＝1，b＝－4，c＝4，
∴Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，符合题意；
C．(x－2)2＝1，化简为x2－4x＋3＝0，
∵a＝1，b＝－4，c＝3，
∴Δ＝(－4)2－4×1×3＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D．方程(x－2)2＝2，化简为x2－4x＋2＝0，
∵a＝1，b＝－4，c＝2，
∴Δ＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选B．]
√
a＞－4 [根据题意，得Δ＝(－4)2－4×1×(－a)＞0，
解得a＞－4．]
【教师备选资源】
(2023·泰安)已知关于x的一元二次方程x2－4x－a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．
a＞－4
√
[对点演练]
1．(2024·四川成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为________．
7 [∵m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，
∴m2－5m＋2＝0，m＋n＝5，
∴m2－5m＝－2，n＝5－m，
∴m＋(n－2)2＝m＋(3－m)2＝m2－5m＋9
＝－2＋9＝7．]
7
p
1
命题点4 一元二次方程的应用
【典例4】 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围
成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
[解] (1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m．
根据题意，得x(72－2x)＝640，
化简，得x2－36x＋320＝0，
解得x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)，
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)．
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．
(2)不能，理由如下：
由题意，得x(72－2x)＝650，
化简，得x2－36x＋325＝0，
Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650 m2．
温馨提示 因为通常情况下，一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题时一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件．
[对点演练]
1．[数学文化](2022·泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A．3(x－1)x＝6 210 B．3(x－1)＝6 210
C．(3x－1)x＝6 210 D．3x＝6 210
√
A [∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3(x－1)文．
依题意，得3(x－1)x＝6 210．
故选A．]
2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
[解] 设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
根据题意，得
1＋x＋x(1＋x)＝121．
解方程，得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)．
所以平均一个人传染了10个人．
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共90分)
1．一元二次方程3x2＋4x＋2＝0二次项的系数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B [∵一元二次方程3x2＋4x＋2＝0二次项是3x2，
∴二次项的系数是3．故选B．]
课时分层评价卷(六) 一元二次方程及其应用
√
x … 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 …
y＝x2＋
3x－1 … －0.081 6 －0.045 9 －0.01 0.026 1 0.026 4 …
2．[图表信息题]根据如表可知，方程x2＋3x－1＝0的一个解的范围为( )
√
A．0.28＜x＜0.29 B．0.29＜x＜0.30
C．0.30＜x＜0.31 D．0.31＜x＜0.32
C [∵x＝0.30时，x2＋3x－1＝－0.01，
x＝0.31时，x2＋3x－1＝0.026 1，
∴方程x2＋3x－1＝0的一个解x的范围为0.30＜x＜0.31．
故选C．]
3．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方正确的是( )
A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝34
C．(x－5)2＝16 D．(x＋5)2＝25
√
A [∵x2＋10x＋9＝0，
∴x2＋10x＝－9，
∴x2＋10x＋52＝－9＋52，
∴(x＋5)2＝16．
故选A．]
√
√
6．(2024·四川自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
√
A [关于x的方程x2＋mx－2＝0中，
∵a＝1，b＝m，c＝－2，
∴Δ＝m2＋8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．]
7．(2024·四川广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜0且m≠－1 B．m≥0
C．m≤0且m≠－1 D．m＜0
√
8．(2024·黑龙江绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5．则原来的方程是( )
A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0
C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0
√
B [∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1，
∴x1＋x2＝6＋1＝7，
∵小冬在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是－2和
－5，
∴x1x2＝10．
A．x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故该选项不符合题意；
B．x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故该选项符合题意；
C．x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故该选项不符合题意；
D．x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故该选项不符合题意．
故选B．]
9．(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是( )
A．80(1－x2)＝60 B．80(1－x)2＝60
C．80(1－x)＝60 D．80(1－2x)＝60
√
B [根据题意，一年前生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)元，现在生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)2元，
所以80(1－x)2＝60．故选B．]
10．(2024·广东深圳)一元二次方程x2－3x＋a＝0的一个根为x＝1，则a＝________．
2 [由题意，
将x＝1代入一元二次方程得，
1－3＋a＝0，
解得a＝2．]
2
11．(2024·江苏连云港)关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为________．
12．(2024·四川泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2＝________．
14
13．(2024·滨州)解方程：x2－4x＝0．
[解] ∵x2－4x＝0，∴x(x－4)＝0，
∴x＝0或x－4＝0，
∴x1＝0，x2＝4．
15．如图，利用一面墙(墙的长度为20 m)，用34 m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1 m宽的门，设AB的长为x m．
(1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式；
(2)两个鸡场面积和S可以等于160 m2吗？如果可以，求出此时AB的值．
[解] (1)由题意可得，
S＝x(34－3x＋2)＝x(36－3x)＝－3x2＋36x，
即S关于x的关系式是S＝－3x2＋36x．
(2)依题意，－3x2＋36x＝160，
即3x2－36x＋160＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝362－4×3×160＝－624＜0，
原方程无实数根，
∴两个鸡场面积和S不能等于160 m2．
16．(2024·内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为( )
A．17或13 B．13或21
C．17 D．13
√
C [由方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7， ∵3＋3<7，
∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，
∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17．故选C．]
17．(2024·四川南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________．
－4
－4 [把x＝m代入x2＋4x－1＝0，
得m2＋4m－1＝0，
m2＋4m＝1，
∴(m＋5)(m－1)＝m2－m＋5m－5
＝m2＋4m－5＝1－5＝－4．]
18．(2024·烟台)若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为________．
6
[解] (1)证明：∵x2－(m＋2)x＋m－1＝0，
∴a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1，
Δ＝b2－4ac
＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)
＝m2＋4m＋4－4m＋4
＝m2＋8．
∵m2≥0，
∴Δ＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
20．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
(1)填表(不需化简)
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后 ________ ________ ________
(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14 000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？(纯收入＝总收入－维护费用)第二节 一元二次方程及其应用
考点一 一元二次方程的有关定义
1．定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)．
考点二 一元二次方程的解法
直接开 平方法 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程
因式分 解法 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)化二次项系数为1；(2)将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程右边；(3)两边同时加上一次项系数一半的平方；(4)将方程化成(x＋a)2＝b的形式；(5)若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b<0，则原方程无解
公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝ (b2－4ac≥0)． 用公式法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程化为一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，求出b2－4ac的值；(2)若b2－4ac≥0，则运用求根公式，求出方程的解；若b2－4ac<0，则原方程无解
考点三 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式：Δ＝b2－4ac，注意隐含条件a≠0．
当Δ＞0时 方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时 方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时 方程没有实数根，无解．
考点四 一元二次方程根与系数的关系
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝，x1x2＝．
考点五 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤完全一样，常见问题有：增长率问题、利润问题、比赛场数(握手)问题、面积问题等．
1．方程3x(x－1)＝2(x＋1)化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．3x2，－5x，－2 B．3x2，－5x，2
C．3，－5，－2 D．3，－5，0
C [3x(x－1)＝2(x＋1)，
3x2－3x＝2x＋2，3x2－5x－2＝0，
二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2．
故选C．]
2．方程(x－1)2－x＋1＝0的根为( )
A．x＝2 B．x＝3
C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝2
D [(x－1)2－x＋1＝0，
(x－1)2－(x－1)＝0，
(x－1)(x－1－1)＝0，
x－1＝0或x－1－1＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
故选D．]
3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
A [因为Δ＝(k＋3)2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，所以原方程有两个不相等的实数根．故选A．]
4．若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1x2＋x1＋x2的值是( )
A．7 B．－7
C．3 D．－3
D [∵x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，
∴x1x2＝－5，x1＋x2＝2，
则原式＝－5＋2＝－3．
故选D．]
5．如图所示，使用墙的一边，再用13 m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20 m2的矩形．设墙的对边长为x m，可得长、宽分别为( )
A．5 m，4 m
B．5 m，4 m或8 m， m
C．8 m， m
D．5 m， m
B [因为墙的对边长为x m，则宽为 m，
根据题意，得x·＝20，
解得x＝5或x＝8，则宽为4 m或 m．
故选B．]
命题点1 一元二次方程及其解法
【典例1】 (2024·安徽)解方程：x2－2x＝3．
[解] 法一：x2－2x＝3，
x2－2x－3＝0，
(x－3)(x＋1)＝0，
∴x1＝3，x2＝－1．
法二：x2－2x＝3，
x2－2x＋12＝3＋12，
∴(x－1)2＝4，
∴x－1＝2或x－1＝－2，
∴x1＝3，x2＝－1．
灵活选择方法解一元二次方程的口诀
方程没有一次项，直接开方最理想．
如果缺少常数项，因式分解没商量．
b，c相等都为零，等根是零不要忘．
b，c同时不为零，因式分解或配方．
也可直接套公式，因题而异择良方．
[对点演练]
1．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )
A．－4，21 B．－4，11
C．4，21 D．－8，69
A [∵x2－8x－5＝0，
∴x2－8x＝5，
则x2－8x＋16＝5＋16，即(x－4)2＝21，
∴a＝－4，b＝21．
故选A．]
2．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－2x＝0；
(2)2x2－3x－1＝0．
[解] (1)x2－2x＝0，
x(x－2)＝0，
∴x＝0或x－2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
(2)∵2x2－3x－1＝0，
∴a＝2，b＝－3，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－1)＝9＋8＝17，
∴x＝，
∴x1＝．
命题点2 一元二次方程根的判别式
【典例2】 (2024·山东)若关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．
(或0.25) [∵关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×4×m＝4－16m＝0，
解得m＝．
故答案为．]
用根的判别式的前提条件是一元二次方程的二次项系数不能为0，并要把方程化为一元二次方程的一般形式，这是常常被忽略的问题．
[对点演练]
1．(2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A．(x－2)2＝－1 B．(x－2)2＝0
C．(x－2)2＝1 D．(x－2)2＝2
B [A．(x－2)2＝－1化简为x2－4x＋5＝0，
∵a＝1，b＝－4，c＝5，
∴Δ＝(－4)2－4×1×5＝－4＜0，
此方程没有实数根，不符合题意；
B．(x－2)2＝0，化简为x2－4x＋4＝0，
∵a＝1，b＝－4，c＝4，
∴Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，符合题意；
C．(x－2)2＝1，化简为x2－4x＋3＝0，
∵a＝1，b＝－4，c＝3，
∴Δ＝(－4)2－4×1×3＝4＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D．方程(x－2)2＝2，化简为x2－4x＋2＝0，
∵a＝1，b＝－4，c＝2，
∴Δ＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选B．]
2．[易错题](2024·泰安)关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k< B．k≤
C．k≥ D．k<－
B [因为关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，
所以Δ＝(－3)2－4×2×k≥0，
解得k≤．
故选B．]
【教师备选资源】
(2023·泰安)已知关于x的一元二次方程x2－4x－a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．
a＞－4 [根据题意，得Δ＝(－4)2－4×1×(－a)＞0，
解得a＞－4．]
命题点3 一元二次方程根与系数的关系
【典例3】 (2024·四川乐山)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，x2，且＝3，则p的值为( )
A．－ B．
C．－6 D．6
A [∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝p，
∵＝3，
∴＝3，即＝3，
解得p＝－．
故选A．]
常用根与系数的关系解决的几类问题
(1)不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
(2)已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
(3)不解方程求关于根的式子的值，如求等等．
(4)判断两根的符号．
(5)求作新方程．
(6)由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．
这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件．
[对点演练]
1．(2024·四川成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为________．
7 [∵m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，
∴m2－5m＋2＝0，m＋n＝5，
∴m2－5m＝－2，n＝5－m，
∴m＋(n－2)2
＝m＋(3－m)2
＝m2－5m＋9
＝－2＋9
＝7．]
2．(2024·四川内江)已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2．
(1)填空：x1＋x2＝________，x1x2＝________；
(2)求；
(3)已知＝2p＋1，求p的值．
[解] (1)p；1．
(2)∵x1＋x2＝p，x1x2＝1，
∴＝p．
∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2，
∴－px1＋1＝0，
由题意知，x1≠0，
∴x1－p＋＝0，
即x1＋＝p．
(3)由根与系数的关系，得x1＋x2＝p，x1x2＝1，
∵＝2p＋1，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1，
∴p2－2＝2p＋1，
解得p1＝3，p2＝－1，
当p＝3 时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0；
当 p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0，
∴p＝3．
命题点4 一元二次方程的应用
【典例4】 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
[解] (1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m．
根据题意，得x(72－2x)＝640，
化简，得x2－36x＋320＝0，
解得x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40(m)，
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32(m)．
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．
(2)不能，理由如下：
由题意，得x(72－2x)＝650，
化简，得x2－36x＋325＝0，
Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650 m2．
因为通常情况下，一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题时一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件．
[对点演练]
1．[数学文化](2022·泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A．3(x－1)x＝6 210 B．3(x－1)＝6 210
C．(3x－1)x＝6 210 D．3x＝6 210
A [∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3(x－1)文．
依题意，得3(x－1)x＝6 210．
故选A．]
2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
[解] 设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
根据题意，得
1＋x＋x(1＋x)＝121．
解方程，得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)．
所以平均一个人传染了10个人．
课时分层评价卷(六) 一元二次方程及其应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共90分)
1．一元二次方程3x2＋4x＋2＝0二次项的系数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B [∵一元二次方程3x2＋4x＋2＝0二次项是3x2，
∴二次项的系数是3．
故选B．]
2．[图表信息题]根据如表可知，方程x2＋3x－1＝0的一个解的范围为 ( )
x … 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 …
y＝x2＋ 3x－1 … －0.081 6 －0.045 9 －0.01 0.026 1 0.026 4 …
A．0.28＜x＜0.29 B．0.29＜x＜0.30
C．0.30＜x＜0.31 D．0.31＜x＜0.32
C [∵x＝0.30时，x2＋3x－1＝－0.01，
x＝0.31时，x2＋3x－1＝0.026 1，
∴方程x2＋3x－1＝0的一个解x的范围为0.30＜x＜0.31．
故选C．]
3．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方正确的是( )
A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝34
C．(x－5)2＝16 D．(x＋5)2＝25
A [∵x2＋10x＋9＝0，
∴x2＋10x＝－9，
∴x2＋10x＋52＝－9＋52，
∴(x＋5)2＝16．
故选A．]
4．利用公式法可得一元二次方程3x2－11x－1＝0的两根为a，b，且a＞b，则a的值为( )
A． B．
C． D．
D [∵3x2－11x－1＝0，
∴a＝3，b＝－11，c＝－1，
∴Δ＝(－11)2－4×3×(－1)＝133＞0，
∴x＝，
∵一元二次方程3x2－11x－1＝0 的两根为a，b，且a＞b，
∴a的值为．
故选D．]
5．(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝( )
A．1 B．－1
C．＋1 D．1或＋1
C [根据题意，得a2－2a＝1，
解得a＝1±，
∵a＞0，∴a＝＋1．
故选C．]
6．(2024·四川自贡)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
A [关于x的方程x2＋mx－2＝0中，
∵a＝1，b＝m，c＝－2，
∴Δ＝m2＋8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．]
7．(2024·四川广安)若关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A．m＜0且m≠－1 B．m≥0
C．m≤0且m≠－1 D．m＜0
A [∵关于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴解得m＜0且m≠－1．
故选A．]
8．(2024·黑龙江绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5．则原来的方程是 ( )
A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0
C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0
B [∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1，
∴x1＋x2＝6＋1＝7，
∵小冬在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是－2和－5，
∴x1x2＝10．
A．x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故该选项不符合题意；
B．x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故该选项符合题意；
C．x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故该选项不符合题意；
D．x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故该选项不符合题意．
故选B．]
9．(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是( )
A．80(1－x2)＝60 B．80(1－x)2＝60
C．80(1－x)＝60 D．80(1－2x)＝60
B [根据题意，一年前生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)元，现在生产1千克甲种药品的成本为80(1－x)2元，
所以80(1－x)2＝60．故选B．]
10．(2024·广东深圳)一元二次方程x2－3x＋a＝0的一个根为x＝1，则a＝________．
2 [由题意，
将x＝1代入一元二次方程得，
1－3＋a＝0，
解得a＝2．]
11．(2024·江苏连云港)关于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为________．
[∵一元二次方程x2－x＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即1－4c＝0，
解得c＝．]
12．(2024·四川泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2＝________．
14 [∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝3，x1x2＝－5．
∴(x1－x2)2＋3x1x2
＝
＝(x1＋x2)2－x1x2
＝32－(－5)
＝9＋5
＝14．]
13．(2024·滨州)解方程：x2－4x＝0．
[解] ∵x2－4x＝0，∴x(x－4)＝0，
∴x＝0或x－4＝0，
∴x1＝0，x2＝4．
14．(2024·广东广州)关于x的方程x2－2x＋4－m＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：．
[解] (1)根据题意，得Δ＝(－2)2－4(4－m)＞0，
解得m＞3．
(2)由(1)知m＞3，
∴m－3＞0，
∴
＝＝－2．
15．如图，利用一面墙(墙的长度为20 m)，用34 m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1 m宽的门，设AB的长为x m．
(1)若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式；
(2)两个鸡场面积和S可以等于160 m2吗？如果可以，求出此时AB的值．
[解] (1)由题意可得，
S＝x(34－3x＋2)＝x(36－3x)＝－3x2＋36x，
即S关于x的关系式是S＝－3x2＋36x．
(2)依题意，－3x2＋36x＝160，
即3x2－36x＋160＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝362－4×3×160＝－624＜0，
原方程无实数根，
∴两个鸡场面积和S不能等于160 m2．
16．(2024·内蒙古赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为( )
A．17或13 B．13或21
C．17 D．13
C [由方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7，
∵3＋3<7，
∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，
∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17．
故选C．]
17．(2024·四川南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________．
－4 [把x＝m代入x2＋4x－1＝0，
得m2＋4m－1＝0，
m2＋4m＝1，
∴(m＋5)(m－1)
＝m2－m＋5m－5
＝m2＋4m－5
＝1－5
＝－4．]
18．(2024·烟台)若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为________．
6 [∵一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，
∴2m2－4m＝1，m＋n＝－，
∴3m2－4m＋n2＝2m2－4m＋m2＋n2＝1＋(m＋n)2－2mn＝1＋22－2×＝6．]
19．(2024·四川遂宁)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且－x1x2＝9，求m的值．
[解] (1)证明：∵x2－(m＋2)x＋m－1＝0，
∴a＝1，b＝－(m＋2)，c＝m－1，
Δ＝b2－4ac
＝[－(m＋2)]2－4×1×(m－1)
＝m2＋4m＋4－4m＋4
＝m2＋8．
∵m2≥0，
∴Δ＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)设方程x2－(m＋2)x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2，
则x1＋x2＝m＋2，x1x2＝m－1．
∵－x1x2＝9，即(x1＋x2)2－3x1x2＝9，
∴(m＋2)2－3(m－1)＝9．
整理，得m2＋m－2＝0．
∴(m＋2)(m－1)＝0．
解得m1＝－2，m2＝1．
∴m的值为－2或1．
20．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
(1)填表(不需化简)
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后 ________ ________ ________
(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14 000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？(纯收入＝总收入－维护费用)
[解] (1)60－；200＋x；×20．
(2)依题意，得(200＋x)×20＝14 000，
整理，得x2－420x＋32 000＝0，
解得x1＝320，x2＝100．
当x＝320时，有游客居住的客房数量是60－＝28(间)．
当x＝100时，有游客居住的客房数量是60－＝50(间)．
所以当x＝100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200＋100＝300(元)．
答：每间客房的定价应为300元．
21．[新定义问题](2024·广东广州)定义新运算：a b＝例如：－2 4＝(－2)2－4＝0，2 3＝－2＋3＝1．若x 1＝－，则x的值为________．
－或 [∵x 1＝－，
∴当x≤0时，x2－1＝－，
解得x＝－或x＝(不合题意，舍去)；
当x＞0时，－x＋1＝－，
解得x＝，
由上可得，x的值为－或．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二节 一元二次方程及其应用
考点一 一元二次方程的有关定义
1．定义：只含有________个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式：________(a，b，c为常数，a≠0)．
考点二 一元二次方程的解法
直接开 平方法 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程
因式分 解法 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)化二次项系数为1；(2)将含未知数的项保留在方程左边，常数项移到方程右边；(3)两边同时加上一次项系数________的平方；(4)将方程化成(x＋a)2＝b的形式；(5)若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b<0，则原方程无解
公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝___________ (b2－4ac≥0)． 用公式法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程化为一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，求出b2－4ac的值；(2)若b2－4ac≥0，则运用求根公式，求出方程的解；若b2－4ac<0，则原方程无解
考点三 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式：Δ＝________，注意隐含条件a≠0．
当Δ＞0时 方程有________的实数根；
当Δ＝0时 方程有________的实数根；
当Δ<0时 方程________实数根，无解．
考点四 一元二次方程根与系数的关系
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________．
考点五 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的步骤和列一次方程(组)解应用题的步骤完全一样，常见问题有：增长率问题、利润问题、比赛场数(握手)问题、面积问题等．
1．方程3x(x－1)＝2(x＋1)化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．3x2，－5x，－2 B．3x2，－5x，2
C．3，－5，－2 D．3，－5，0
2．方程(x－1)2－x＋1＝0的根为( )
A．x＝2 B．x＝3
C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝2
3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
4．若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的两个实数根，则x1x2＋x1＋x2的值是( )
A．7 B．－7
C．3 D．－3
5．如图所示，使用墙的一边，再用13 m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20 m2的矩形．设墙的对边长为x m，可得长、宽分别为( )
A．5 m，4 m
B．5 m，4 m或8 m， m
C．8 m， m
D．5 m， m
命题点1 一元二次方程及其解法
【典例1】 (2024·安徽)解方程：x2－2x＝3．
[听课记录]
灵活选择方法解一元二次方程的口诀
方程没有一次项，直接开方最理想．
如果缺少常数项，因式分解没商量．
b，c相等都为零，等根是零不要忘．
b，c同时不为零，因式分解或配方．
也可直接套公式，因题而异择良方．
[对点演练]
1．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )
A．－4，21 B．－4，11
C．4，21 D．－8，69
2．用适当的方法解下列方程：
命题点2 一元二次方程根的判别式
【典例2】 (2024·山东)若关于x的方程4x2－2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．
[听课记录]
用根的判别式的前提条件是一元二次方程的二次项系数不能为0，并要把方程化为一元二次方程的一般形式，这是常常被忽略的问题．
[对点演练]
1．(2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A．(x－2)2＝－1 B．(x－2)2＝0
C．(x－2)2＝1 D．(x－2)2＝2
2．[易错题](2024·泰安)关于x的一元二次方程2x2－3x＋k＝0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A．k< B．k≤
C．k≥ D．k<－
命题点3 一元二次方程根与系数的关系
【典例3】 (2024·四川乐山)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，x2，且＝3，则p的值为( )
A．－ B．
C．－6 D．6
[听课记录]
常用根与系数的关系解决的几类问题
(1)不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
(2)已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
(3)不解方程求关于根的式子的值，如求等等．
(4)判断两根的符号．
(5)求作新方程．
(6)由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．
这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，Δ≥0这两个前提条件．
[对点演练]
1．(2024·四川成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则m＋(n－2)2的值为________．
2．(2024·四川内江)已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2．
(1)填空：x1＋x2＝________，x1x2＝________；
(2)求；
(3)已知＝2p＋1，求p的值．
命题点4 一元二次方程的应用
【典例4】 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
[听课记录]
因为通常情况下，一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题时一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件．
[对点演练]
1．[数学文化](2022·泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A．3(x－1)x＝6 210 B．3(x－1)＝6 210
C．(3x－1)x＝6 210 D．3x＝6 210
2．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
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