第一节 一次方程(组)及其应用
考点一 等式的基本性质
文字描述 式子表达
性质1 等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式 若a＝b，则a±c＝b±c
性质2 等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式 若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)
考点二 一元一次方程及解法
1．方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值．
2．一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
3．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1．
考点三 一次方程组的解法
1．二元一次方程(组)有关概念及解法
二元一次 方程 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
二元一次 方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
二元一次 方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解
解二元一 次方程组 解二元一次方程组的基本思路是消元，化“二元”为“一元”；解二元一次方程组的基本方法有代入法和加减法
2．三元一次方程组的概念及解法
三元一次 方程组 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组
解三元一 次方程 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程
考点四 一次方程(组)的应用
1．列一次方程(组)解应用题的步骤
一般 步骤 审 找出已知量、未知量、等量关系
设 设出未知数(直接设或者间接设)
列 根据等量关系列方程
解 解方程(组)
检 检验所求是不是方程的解，是否符合实际
答 写出答案
2．常见的应用题类型及基本数量关系
常见 类型 基本数量关系
销售 问题 利润＝售价－进价；利润率＝×100%；售价＝标价×； 销售额＝售价×销量
利息 问题 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息
工程 问题 工作量＝工作效率×工作时间 特别提醒：工程问题通常用工作量来建立等量关系
行程 问题 路程＝速度×时间
相遇 问题 甲走的路程＋乙走的路程＝全路程
追及 问题 同时不同地出发：追者走的路程－前者走的路程＝初使相距路程； 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程
航行 问题 顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度
1．若a＝b，则下列变形错误的是( )
A．a＋x＝b＋x B．a－x＝b－x
C．2a＝2b D．
D [两边都加x，故A正确；
两边都减x，故B正确；
两边都乘2，故C正确；
x＝0时不成立，故D错误．
故选D．]
2．(鲁教版六上P126例1改编)方程3x－1＝5的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝18 D．x＝2
D [移项，得3x＝5＋1，
合并同类项，得3x＝6，
方程两边同除以3，得x＝2．
故选D．]
3．方程组的解是________ ．
[解方程组
②－①，得3y＝3，所以y＝1．
把y＝1代入①，得x－1＝2，解得x＝3．
所以原方程组的解是]
4．六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 ________ 、________ 个．
10 20 [设该幼儿园购买了甲种玩具x个，乙种玩具y个，根据题意，得
解得所以该幼儿园购买了甲种玩具10个，乙种玩具20个．]
命题点1 一元一次方程及其解法
【典例1】 解方程：．
[解] 去分母，得5(3x＋1)－20＝(3x－2)－2(2x＋3)，
去括号，得15x＋5－20＝3x－2－4x－6，
移项，得15x－3x＋4x＝－2－6－5＋20，
合并同类项，得16x＝7，
系数化为1，得x＝．
解一元一次方程时，易产生如下错误：
(1)根据分数的基本性质把分母转化为整数时，不含分母的项漏乘．
(2)去分母后分子忘记加括号．
(3)去括号时漏乘或弄错符号．
(4)移项时没有改变符号．
(5)系数化为1时弄错符号或分子、分母颠倒．
[对点演练]
1．一元一次方程2x－2＝0的解是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
A [移项，得2x＝0＋2，
合并同类项，得2x＝2，
系数化为1，得x＝1．
故选A．]
2．解方程：－1．
[解] 去分母，得5(3x－1)＝2(4x＋2)－10，
去括号，得15x－5＝8x＋4－10，
移项，得15x－8x＝4－10＋5，
合并同类项，得7x＝－1，
系数化为1，得x＝－．
命题点2 二元一次方程组的解法
【典例2】 (2024·江苏苏州)解方程组
[解] 解方程组
①－②，得4y＝4，即y＝1，
将y＝1代入①，得2x＋1＝7，即x＝3，
则方程组的解为
一般来说，代入法和加减法可以解任意方程组．当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为1或有一个方程的常数项是0时，用代入法较简便；当两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，或系数的绝对值不等也不成整数倍时，用加减法较为简便．
[对点演练]
1．(2020·泰安)方程组的解是________．
[解方程组
②－3×①，得2x＝24，
∴x＝12．
把x＝12代入①，得12＋y＝16，
∴y＝4．
∴原方程组的解为]
2．解方程组
[解] 把x＝4y＋1代入2x－5y＝8，
解得y＝2，
把y＝2代入x＝4y＋1，
解得x＝9，
所以方程组的解为
命题点3 一次方程(组)的应用
【典例3】 (2022·泰安)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6 000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5 100元．求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格．
[解] 设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，根据题意，
得解得
答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
[对点演练]
1．[数学文化](2024·泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为 ( )
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
D [根据列出的二元一次方程组可得，甜果和苦果共买一千个，甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱．]
2．[跨学科](2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
[解] 设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，根据题意，得解得
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．
【教师备选资源】
1．[数学文化](2023·泰安)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得( )
A．
B．
C．
D．
C [∵甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，
∴9x＝11y；
∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，
∴(10y＋x)－(8x＋y)＝13．
根据题意可列方程组
故选C．]
2．[数学文化](2021·泰安)《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为__________________．
[根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50”可得x＋y＝50；根据“甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50”可得x＋y＝50．
故可列方程组为]
课时分层评价卷(五) 一次方程(组)及其应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共78分)
1．已知方程x＋2y＝6，下列选项中是此方程的解的是( )
A． B．
C． D．
B [∵当时，x＋2y＝1＋2×2＝5≠6，
∴不是方程x＋2y＝6的解，
故选项A不符合题意；
∵当时，x＋2y＝4＋2×1＝6，
∴是方程x＋2y＝6的解，
故选项B符合题意；
∵当时，x＋2y＝－2＋2×2＝2≠6，
∴不是方程x＋2y＝6的解，
故选项C不符合题意；
当时，x＋2y＝－1＋2×3＝5≠6，
∴不是方程x＋2y＝6的解，
故选项D不符合题意．
故选B．]
2．已知x＝－2是方程x－3a＝1的解，那么a的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
A [∵x＝－2是方程x－3a＝1的解，
∴－2－3a＝1，
∴a＝－1，
故选A．]
3．由方程组可得出x与y之间的关系是( )
A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1
C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7
B [
把②代入①，得x＋y－3＝－4，
则x＋y＝－1．
故选B．]
4．已知二元一次方程组则x－y的值为( )
A．2 B．－2
C．6 D．－6
A [
②×2，得2x－4y＝2，③
①－③，得3y＝3，
解得y＝1，
将y＝1代入①，得x＝3，
∴方程组的解为
∴x－y＝2．
故选A．]
5．若方程3x＋1＝4和方程2x＋a＝0的解相同，则a＝( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
D [解3x＋1＝4，得x＝1，
将x＝1代入2x＋a＝0，
得2＋a＝0，
解得a＝－2．
故选D．]
6．[数学文化](2024·威海)《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？
若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是( )
A． B．
C． D．
C [∵将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺．
∴－y＝4．
∵将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺，
∴－y＝1．
∴根据题意可列方程组
故选C．]
7．方程组的解为________．
[
①×7，得7x－14y＝0，③
②－③，得y＝3，
把y＝3代入①，得x＝6，
∴方程组的解为]
8．[数学文化](2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是________．
20 [设快马追上慢马需要的天数是x天，
根据题意，得240x＝150(12＋x)，
解得x＝20，
∴快马需要20天追上慢马．]
9．(2024·滨州)解方程：．
[解] 去分母，得2(2x－1)＝3(x＋1)，
去括号，得4x－2＝3x＋3，
移项，得4x－3x＝3＋2，
合并同类项，得x＝5．
10．(2024·浙江)解方程组：
[解]
①×3＋②，得10x＝5，
解得x＝，
把x＝代入①，得2×－y＝5，
解得y＝－4，
所以方程组的解是
11．(2024·陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间．
[解] 设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x)h，根据题意，得
＝1，
解得x＝2．
答：这次小峰打扫了2 h．
12．(2024·贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左、右两边分别放入“”“”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是( )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝4y D．x＝5y
C [设“”的质量为z．
根据甲天平，得x＋y＝y＋2z，①
根据乙天平，得x＋z＝x＋2y．②
根据等式的基本性质1，将①的两边同时减去y，得x＝2z，③
根据等式的基本性质1，将②的两边同时减去x，得z＝2y，④
根据等式的基本性质2，将④的两边同时乘2，得2z＝4y，
所以x＝4y．
故选C．]
13．[方案设计题](2024·黑龙江龙东)国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买)．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案( )
A．5 B．4
C．3 D．2
B [设购买笔记本x本，碳素笔y支，根据题意，
得3x＋2y＝28，
∴y＝14－x，
又∵x，y均为正整数，
∴或或或
∴共有4种购买方案．
故选B．]
14．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是________．
5 [解方程组得
代入x＋y＋m＝0，得m＝5．]
15．[方案设计题]某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获 得积分 a b 100 无
积分可以兑换部分商品，具体如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费 券/张 水果店打 折券/张 小区临时停 车券/张
积分数 800 1 500 2 000 1 000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分．
(1)求a，b的值；
(2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾、100公斤易腐垃圾、1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？
[解] (1)根据题意，得解得
答：a的值为50，b的值为20．
(2)小明家一季度获得的积分为46×50＋100×20＋1×100＝4 400，
设兑换垃圾袋x卷，5元话费券y张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，根据题意，得800x＋1 500y＋2 000m＋1 000n＝4 400，
化简，得8x＋15y＋20m＋10n＝44，
∵15，20，10均为5的倍数，
∴x＝3，
∴原式为3y＋4m＋2n＝4，
又∵y，m，n均为自然数，
∴或
∴共有2种兑换方案，
方案1：兑换垃圾袋3卷，水果店打折券1张；
方案2：兑换垃圾袋3卷，小区临时停车券2张．
16．[图表信息题](2024·江苏苏州)某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了________分钟，从B站到C站行驶了________分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2．
①＝________；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟(如：上午9：15，则t＝75)，已知v1＝240千米/小时(可换算为4千米/分钟)，在G1002次列车的行驶过程中(25≤t≤150)，若|d1－d2|＝60，求t的值．
[解] (1)90，60．
(2)①．
②∵v1＝4(千米/分钟)，，
∴v2＝4.8(千米/分钟)，
∵4×90＝360(千米)，
∴A与B站之间的路程为360千米，
∵360÷4.8＝75(分钟)，
∴当t＝100时，G1002次列车经过B站，
由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，
∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
当|d1－d2|＝60时，分四种情况讨论：
ⅰ．当25≤t＜90时，d1＞d2，
∴|d1－d2|＝d1－d2，
∴4t－4.8(t－25)＝60，
解得t＝75(分钟)；
ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2，
∴|d1－d2|＝d1－d2，
∴360－4.8(t－25)＝60，
解得t＝87.5(分钟)，不合题意，舍去；
ⅲ．当100＜t≤110时，d1＜d2，
∴|d1－d2|＝d2－d1，
∴4.8(t－25)－360＝60，
解得t＝112.5(分钟)，不合题意，舍去；
ⅳ．当110＜t≤150时，d1＜d2，
∴|d1－d2|＝d2－d1，
∴4.8(t－25)－[360＋4(t－110)]＝60，
解得t＝125(分钟)．
综上所述，当t＝75或125时，|d1－d2|＝60．
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第二章 方程(组)与不等式(组)
第一节 一次方程(组)及其应用
第二章 方程(组)与不等式(组)
链接教材 基础过关
考点一 等式的基本性质
文字描述 式子表达
性质1 等式两边同时加上(或减去)____________，
所得结果仍是等式 若a＝b，则a±c＝_____
性质2 等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是____
同一个代数式
b±c
等式
考点二 一元一次方程及解法
1．方程的解：使方程左、右两边的值____的未知数的值．
2．一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
3．解一元一次方程的一般步骤：(1)______；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1．
相等
去分母
考点三 一次方程组的解法
1．二元一次方程(组)有关概念及解法
二元一次
方程 含有__个未知数，并且所含未知数的项的次数都是__的方程叫做二元一次方程
二元一次
方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
两
1
二元一次
方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解
解二元一
次方程组 解二元一次方程组的基本思路是____，化“____”为“____”；解二元一次方程组的基本方法有______和______
消元
二元
一元
代入法
加减法
2．三元一次方程组的概念及解法
三元一次
方程组 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组
解三元一
次方程
二元一次
一元一次
考点四 一次方程(组)的应用
1．列一次方程(组)解应用题的步骤
一般
步骤 审 找出已知量、未知量、等量关系
设 设出未知数(直接设或者间接设)
列 根据________列方程
解 解方程(组)
检 检验所求是不是方程的解，是否符合实际
答 写出答案
等量关系
2．常见的应用题类型及基本数量关系
常见
类型 基本数量关系
销售
问题
利息
问题 利息＝本金×利率×期数；
本息和＝本金＋利息
工程
问题 工作量＝工作效率×工作时间
特别提醒：工程问题通常用工作量来建立等量关系
行程
问题 路程＝速度×____
相遇
问题 甲走的路程＋乙走的路程＝______
追及
问题 同时不同地出发：追者走的路程－前者走的路程
＝初使相距路程；
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程
航行
问题 顺水速度＝静水速度＋水流速度；
逆水速度＝静水速度－水流速度
时间
全路程
√
D [两边都加x，故A正确；
两边都减x，故B正确；
两边都乘2，故C正确；
x＝0时不成立，故D错误．
故选D．]
D [移项，得3x＝5＋1，
合并同类项，得3x＝6，
方程两边同除以3，得x＝2．
故选D．]
√
4．六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 ________ 、________ 个．
10
20
考点突破 对点演练
易错警示 解一元一次方程时，易产生如下错误：
(1)根据分数的基本性质把分母转化为整数时，不含分母的项漏乘．
(2)去分母后分子忘记加括号．
(3)去括号时漏乘或弄错符号．
(4)移项时没有改变符号．
(5)系数化为1时弄错符号或分子、分母颠倒．
A [移项，得2x＝0＋2，
合并同类项，得2x＝2，
系数化为1，得x＝1．
故选A．]
[对点演练]
1．一元一次方程2x－2＝0的解是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
√
归纳总结 一般来说，代入法和加减法可以解任意方程组．当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为1或有一个方程的常数项是0时，用代入法较简便；当两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，或系数的绝对值不等也不成整数倍时，用加减法较为简便．
命题点3 一次方程(组)的应用
【典例3】 (2022·泰安)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6 000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5 100元．求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格．
温馨提示 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
√
D [根据列出的二元一次方程组可得，甜果和苦果共买一千个，甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱．]
2．[跨学科](2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【教师备选资源】
1．[数学文化](2023·泰安)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得( )
√
课时分层评价卷(五) 一次方程(组)及其应用
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2．已知x＝－2是方程x－3a＝1的解，那么a的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
√
A [∵x＝－2是方程x－3a＝1的解，
∴－2－3a＝1，
∴a＝－1，
故选A．]
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5．若方程3x＋1＝4和方程2x＋a＝0的解相同，则a＝( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
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D [解3x＋1＝4，得x＝1，
将x＝1代入2x＋a＝0，
得2＋a＝0，
解得a＝－2．
故选D．]
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8．[数学文化](2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是________．
20
20 [设快马追上慢马需要的天数是x天，
根据题意，得240x＝150(12＋x)，
解得x＝20，
∴快马需要20天追上慢马．]
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[解] 去分母，得2(2x－1)＝3(x＋1)，
去括号，得4x－2＝3x＋3，
移项，得4x－3x＝3＋2，
合并同类项，得x＝5．
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11．(2024·陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间．
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12．(2024·贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左、右两边分别放入 三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设 的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是( )
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝4y D．x＝5y
√
C [设“ ”的质量为z．
根据甲天平，得x＋y＝y＋2z，①
根据乙天平，得x＋z＝x＋2y．②
根据等式的基本性质1，将①的两边同时减去y，得x＝2z，③
根据等式的基本性质1，将②的两边同时减去x，得z＝2y，④
根据等式的基本性质2，将④的两边同时乘2，得2z＝4y，
所以x＝4y．故选C．]
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13．[方案设计题](2024·黑龙江龙东)国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买)．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案( )
A．5 B．4
C．3 D．2
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15．[方案设计题]某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获
得积分 a b 100 无
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积分可以兑换部分商品，具体如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费
券/张 水果店打
折券/张 小区临时停
车券/张
积分数 800 1 500 2 000 1 000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分．
(1)求a，b的值；
(2)小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾、100公斤易腐垃圾、1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可有哪些兑换方案？
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16．[图表信息题](2024·江苏苏州)某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
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列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
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由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，
∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
当|d1－d2|＝60时，分四种情况讨论：
ⅰ．当25≤t＜90时，d1＞d2，
∴|d1－d2|＝d1－d2，
∴4t－4.8(t－25)＝60，
解得t＝75(分钟)；
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ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2，
∴|d1－d2|＝d1－d2，
∴360－4.8(t－25)＝60，
解得t＝87.5(分钟)，不合题意，舍去；
ⅲ．当100＜t≤110时，d1＜d2，
∴|d1－d2|＝d2－d1，
∴4.8(t－25)－360＝60，
解得t＝112.5(分钟)，不合题意，舍去；
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ⅳ．当110＜t≤150时，d1＜d2，
∴|d1－d2|＝d2－d1，
∴4.8(t－25)－[360＋4(t－110)]＝60，
解得t＝125(分钟)．
综上所述，当t＝75或125时，|d1－d2|＝60．第一节 一次方程(组)及其应用
考点一 等式的基本性质
文字描述 式子表达
性质1 等式两边同时加上(或减去)________，所得结果仍是等式 若a＝b，则a±c＝________
性质2 等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是________ 若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)
考点二 一元一次方程及解法
1．方程的解：使方程左、右两边的值________的未知数的值．
2．一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
3．解一元一次方程的一般步骤：(1)________；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1．
考点三 一次方程组的解法
1．二元一次方程(组)有关概念及解法
二元一次 方程 含有________个未知数，并且所含未知数的项的次数都是________的方程叫做二元一次方程
二元一次 方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
二元一次 方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解
解二元一 次方程组 解二元一次方程组的基本思路是________，化“________”为“________”；解二元一次方程组的基本方法有________和________
2．三元一次方程组的概念及解法
三元一次 方程组 共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组
解三元一 次方程 三元一次方程组________方程组________方程
考点四 一次方程(组)的应用
1．列一次方程(组)解应用题的步骤
一般 步骤 审 找出已知量、未知量、等量关系
设 设出未知数(直接设或者间接设)
列 根据________列方程
解 解方程(组)
检 检验所求是不是方程的解，是否符合实际
答 写出答案
2．常见的应用题类型及基本数量关系
常见 类型 基本数量关系
销售 问题 利润＝售价－进价；利润率＝×100%；售价＝标价×； 销售额＝售价×销量
利息 问题 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息
工程 问题 工作量＝工作效率×工作时间 特别提醒：工程问题通常用工作量来建立等量关系
行程 问题 路程＝速度×________
相遇 问题 甲走的路程＋乙走的路程＝________
追及 问题 同时不同地出发：追者走的路程－前者走的路程＝初使相距路程； 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程
航行 问题 顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度
1．若a＝b，则下列变形错误的是( )
A．a＋x＝b＋x B．a－x＝b－x
C．2a＝2b D．
2．(鲁教版六上P126例1改编)方程3x－1＝5的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝18 D．x＝2
3．方程组的解是________ ．
4．六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 ________ 、________ 个．
命题点1 一元一次方程及其解法
【典例1】 解方程：．
[听课记录]
解一元一次方程时，易产生如下错误：
(1)根据分数的基本性质把分母转化为整数时，不含分母的项漏乘．
(2)去分母后分子忘记加括号．
(3)去括号时漏乘或弄错符号．
(4)移项时没有改变符号．
(5)系数化为1时弄错符号或分子、分母颠倒．
[对点演练]
1．一元一次方程2x－2＝0的解是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
2．解方程：－1．
命题点2 二元一次方程组的解法
【典例2】 (2024·江苏苏州)解方程组
[听课记录]
一般来说，代入法和加减法可以解任意方程组．当方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值为1或有一个方程的常数项是0时，用代入法较简便；当两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，或系数的绝对值不等也不成整数倍时，用加减法较为简便．
[对点演练]
1．(2020·泰安)方程组的解是________．
2．解方程组
命题点3 一次方程(组)的应用
【典例3】 (2022·泰安)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6 000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5 100元．求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格．
[听课记录]
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
[对点演练]
1．[数学文化](2024·泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为 ( )
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
2．[跨学科](2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
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