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第七章 图形的变换
第一节 投影、视图与尺规作图
第七章 图形的变换
链接教材 基础过关
考点一 投影与视图
1．投影的有关概念
(1)平行投影：由____光线所形成的投影叫做平行投影．如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
(2)中心投影：由______(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
平行
同一点
2．物体的三视图
(1)画物体的三视图的口诀：主、俯：______；主、左：______；俯、左：______．
(2)画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
长对正
高平齐
宽相等
考点二 立体图形的展开与折叠
常见几何体 展开图描述 侧面展开图 表面展开图
(其中一种)
六个大小相等的正方形
两个等圆和一个____
矩形
常见几何体 展开图描述 侧面展开图 表面展开图
(其中一种)
一个圆和一个扇形
两个全等的______和三个矩形
三角形
注：正方体的几种表面展开图
1．一四一型：(四个一行中排列，两边各一无规律)
2．二三一型：(二在三上露一端，一在三下任意放)
3．三三型：(三个三个排两行，中间一“日”放光芒)
4．二二二型：(两两三行排有序，恰似天上登云梯)
考点三 尺规作图
1．基本的尺规作图
(1)作一条线段等于已知线段．
(2)作一个角等于已知角．
(3)作已知线段的垂直平分线．
(4)作已知角的角平分线．
(5)过一点作已知直线的垂线．
2．较复杂的尺规作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般需结合几何图形的性质和基本作图方法．
1．如图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是( )
√
B [它的左视图是 ．故选B．]
2．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是( )
√
B [A可以围成四棱柱，C可以围成五棱柱，D可以围成三棱柱，B选项侧面上多出一个长方形，故不能围成一个三棱柱．
故选B．]
√
A [根据作图过程可知：AF＝AE，DF＝DE，
又AD＝AD，∴△FAD≌△EAD(SSS)，
∴∠CAD＝∠BAD．
故选A．]
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
√
B [A的俯视图是 ，C的俯视图是 ，D的俯视图
是 ，都与题目给出的三视图矛盾．选项B的三视图与题目的三视图一致．故选B．]
5．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是( )
√
D [小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．故选D．]
考点突破 对点演练
命题点1 投影
【典例1】 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是( )
√
A [这里属于平行投影，两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影
子的图形可能是： ．故选A．]
[对点演练]
1．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短
B．逐渐变长
C．先变短后变长
D．先变长后变短
√
C [因为由A到B，离灯光由远到近再到远，所以影子先变短后变长．故选C．]
2．[易错题]如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下( )
A．小莉的影子比小玉的影子长
B．小莉的影子比小玉的影子短
C．小莉的影子和小玉的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
√
D [路灯是点光源，高度较低，在同一路灯下，身高影响身体影长，人站的位置更会影响身体影长．因此，小莉和小玉的影子长短，由于站立位置不同，无法确定谁的更长，故D正确，其他选项错误．故选D．]
命题点2 三视图的判断
【典例2】 (2024·山东)下列几何体中，主视图是如图的是( )
√
D [A．主视图是等腰三角形，不符合题意；
B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意；
C．主视图是上面三角形，下面半圆，故不符合题意；
D．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意．
故选D．]
[对点演练]
1．(2024·泰安二模)如图是领奖台的示意图，此领奖台的主视图是( )
A [领奖台从正面看，是由三个矩形组成的，右边的矩形是最低的，中间的矩形是最高的，故选项A符合题意．故选A．]
√
2．(2024·泰山期末)如图所示，该几何体的俯视图是( )
√
C [由题图可知俯视图应是一个长方形中间有一个圆形，故C正确，故选C．]
命题点3 由三视图得到几何体
【典例3】 (2024·泰山一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )
√
B [由该几何体的三视图知该几何体是： ．
故选B．]
[对点演练]
如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A．圆柱
B．球
C．圆锥
D．正四棱柱
√
A [该几何体的主视图、左视图都是长方形，而俯视图是圆形，因此这个几何体是圆柱．故选A．]
命题点4 图形的展开与折叠
【典例4】 下列图形中，不是正方体展开图的是( )
√
D [根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可得，D不是正方体的表面展开图．故选D．]
[对点演练]
1．下列图形中，正方体展开图错误的是( )
√
D [由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故D选项不符合题意．故选D．]
2．下面四个立体图形的展开图中，是圆锥展开图的是( )
√
B [A．这个立体图形是长方体，故本选项不符合题意；
B．圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个立体图形是圆锥，故本选项符合题意；
C．这个立体图形是三棱柱，故本选项不符合题意；
D．这个立体图形是圆柱，故本选项不符合题意．故选B．]
请根据以上操作，下列结论不一定成立的是( )
A．∠CDM＝∠DCK
B．CK平分∠ACD
C．MN垂直平分AB
D．∠CKD＝90°
√
B [A．由②作法可知∠CDM＝∠DCK，故此选项不符合题意；
B．由②作法可知∠CDM＝∠DCK，不是作的∠ACD的平分线CK，
∴CK平分∠ACD不成立，故此选项符合题意；
C．由①作法可知MN垂直平分AB，故此选项不符合题意；
D．∵MN垂直平分AB，∴∠MDB＝90°，
∵∠CDM＝∠DCK，∴CK∥MN，
∴∠CKD＝∠MDB＝90°，故此选项不符合题意．故选B．]
√
√
C [由作法得AD平分∠BAC，故①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°－∠CAD＝60°，
∴∠ADC＝∠BAC，故②正确；
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，
∴点D到AB边的距离与DC的长相等，故③正确；
∵AD＝2CD，
∴BD＝2CD，
∴BC＝3CD，
∴S△DAC∶S△ABC＝1∶3，故④不正确．
故选C．]
课时分层评价卷(二十五) 投影、视图与尺规作图
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．下列不是三棱柱展开图的是( )
√
题号
1
3
5
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4
6
8
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15
B [A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．
B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故B不能围成三棱柱．
故选B．]
题号
1
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2．(2024·宁阳一模)如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是( )
√
题号
1
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A [观察图形可知，该几何体的主视图为： ．
故选A．]
题号
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3．(2024·肥城月考)如图，它需再添一个面，折叠后才能围成一个正方体．图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是( )
√
题号
1
3
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C [四个方格形成“田”字的，不能组成正方体，A错；
出现“U”字的，不能组成正方体，B错；
以横行上的方格从上往下看：C选项能组成正方体；
有两个面重合，不能组成正方体，D错．
故选C．]
题号
1
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√
题号
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题号
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5．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是( )
√
题号
1
3
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2
4
6
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D [根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影
子可能是： ．故选D．]
题号
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6．(2024·岱岳区期中)乡村建设是我国经济社会发展的重要组成部分．近年来岱岳区美丽乡村建设取得重大成就．某镇葡萄种植园大门口有一正方体展开平面图上写有“美丽乡村建设”六个字，如果将其折成正方体，则“美”字对着的字是________．
村
村 [正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“美”与“村”是相对面，故答案为村．]
题号
1
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7．(2024·泰山期末)如图是一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图，则搭成该几何体的小立方块有________块．
4
题号
1
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4 [从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得有2层，上面一层有1个小正方体，下面一层有2个小正方体，从左视图上看，后面一层有2个小正方体，前面有1个小正方体，
所以此几何体共有4个正方体．
故答案为4．]
题号
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8．画出图中基本几何体的三视图．
题号
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[解] 如图所示．
题号
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9．(2024·宁阳二模)如图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( )
A．36π
B．48π
C．60π
D．96π
√
题号
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题号
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√
10．(2024·肥城月考)下列四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何体的是( )
题号
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A [由立体图可知，圆、小正方形、三角形所在的正方形有公共顶点，题目中的4个选项图，只有A图中三个小图形有公共顶点．故选A．]
题号
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√
11．(2024·新泰期末)一个几何体是由一些大小相同的小正方体组成的，其从上面与从正面看到的形状如图所示．则组成这个几何体的小正方体最多有( )
A．9个
B．10个
C．11个
D．12个
题号
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C [综合俯视图和主视图，这个几何体的底层最多有5个小正方体，第二层最多有3个小正方体，第3层最多有3个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最多有5＋3＋3＝11(个)．故选C．]
题号
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12．如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为_________________．
④①③② [从早晨到傍晚物体的指向是：西－西北－北－东北－东，影长由长变短，再变长．则四幅图按先后顺序排列应是④①③②．故答案为④①③②．]
④①③②
题号
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25
题号
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题号
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14．(2024·东平期末)如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗户距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度．
题号
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题号
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15．小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)动手操作
现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒(如图3)，请你帮助小明在图1中补全图形(补出来一种即可)；
题号
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(2)解决问题
经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，它的边长是长方体高的5倍，根据图1中的数据，求这个纸盒的体积．
题号
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[解] (1)图形如图所示．
题号
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15
(2)∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴正方形的边长为10 cm，
∵底边边长是长方体的高的5倍，
∴高为2 cm，
∴纸盒的体积为10×10×2＝200(cm3)，
答：这个纸盒的体积为200 cm3．第一节 投影、视图与尺规作图
考点一 投影与视图
1．投影的有关概念
(1)平行投影：由平行光线所形成的投影叫做平行投影．如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
(2)中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
2．物体的三视图
(1)画物体的三视图的口诀：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
(2)画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
考点二 立体图形的展开与折叠
常见几何体 展开图描述 侧面展开图 表面展开图(其中一种)
六个大小相等的正方形
两个等圆和一个矩形
一个圆和一个扇形
两个全等的三角形和三个矩形
注：正方体的几种表面展开图
1．一四一型：(四个一行中排列，两边各一无规律)
2．二三一型：(二在三上露一端，一在三下任意放) 3．三三型：(三个三个排两行，中间一“日”放光芒) 4．二二二型：(两两三行排有序，恰似天上登云梯)
考点三 尺规作图
1．基本的尺规作图
(1)作一条线段等于已知线段．
(2)作一个角等于已知角．
(3)作已知线段的垂直平分线．
(4)作已知角的角平分线．
(5)过一点作已知直线的垂线．
2．较复杂的尺规作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般需结合几何图形的性质和基本作图方法．
1．如图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是( )
A． B．
C． D．
B [它的左视图是．故选B．]
2．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是( )
A． B．
C． D．
B [A可以围成四棱柱，C可以围成五棱柱，D可以围成三棱柱，B选项侧面上多出一个长方形，故不能围成一个三棱柱．
故选B．]
3．如图，以∠CAB的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点D，作射线AD，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是( )
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
A [根据作图过程可知：AF＝AE，DF＝DE，
又AD＝AD，∴△FAD≌△EAD(SSS)，
∴∠CAD＝∠BAD．
故选A．]
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A． B． C． D．
B [A的俯视图是，C的俯视图是，D的俯视图是，都与题目给出的三视图矛盾．选项B的三视图与题目的三视图一致．
故选B．]
5．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是( )
A． B．
C． D．
D [小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．故选D．]
命题点1 投影
【典例1】 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是( )
A． B．
C． D．
A [这里属于平行投影，两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是：．
故选A．]
[对点演练]
1．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短
B．逐渐变长
C．先变短后变长
D．先变长后变短
C [因为由A到B，离灯光由远到近再到远，所以影子先变短后变长．故选C．]
2．[易错题]如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下( )
A．小莉的影子比小玉的影子长
B．小莉的影子比小玉的影子短
C．小莉的影子和小玉的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
D [路灯是点光源，高度较低，在同一路灯下，身高影响身体影长，人站的位置更会影响身体影长．因此，小莉和小玉的影子长短，由于站立位置不同，无法确定谁的更长，故D正确，其他选项错误．
故选D．]
命题点2 三视图的判断
【典例2】 (2024·山东)下列几何体中，主视图是如图的是( )
A B C D
D [A．主视图是等腰三角形，不符合题意；
B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意；
C．主视图是上面三角形，下面半圆，故不符合题意；
D．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意．
故选D．]
[对点演练]
1．(2024·泰安二模)如图是领奖台的示意图，此领奖台的主视图是( )
A． B．
C． D．
A [领奖台从正面看，是由三个矩形组成的，右边的矩形是最低的，中间的矩形是最高的，故选项A符合题意．故选A．]
2．(2024·泰山期末)如图所示，该几何体的俯视图是( )
A． B．
C． D．
C [由题图可知俯视图应是一个长方形中间有一个圆形，故C正确，
故选C．]
命题点3 由三视图得到几何体
【典例3】 (2024·泰山一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )
A． B．
C． D．
B [由该几何体的三视图知该几何体是：．
故选B．]
[对点演练]
如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A．圆柱 B．球
C．圆锥 D．正四棱柱
A [该几何体的主视图、左视图都是长方形，而俯视图是圆形，因此这个几何体是圆柱．故选A．]
命题点4 图形的展开与折叠
【典例4】 下列图形中，不是正方体展开图的是( )
A． B．
C． D．
D [根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可得，D不是正方体的表面展开图．故选D．]
[对点演练]
1．下列图形中，正方体展开图错误的是( )
A． B．
C． D．
D [由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故D选项不符合题意．故选D．]
2．下面四个立体图形的展开图中，是圆锥展开图的是( )
A． B．
C． D．
B [A．这个立体图形是长方体，故本选项不符合题意；
B．圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，故这个立体图形是圆锥，故本选项符合题意；
C．这个立体图形是三棱柱，故本选项不符合题意；
D．这个立体图形是圆柱，故本选项不符合题意．故选B．]
命题点5 尺规作图
【典例5】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图：
①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线与AB交于点D；
②连接CD，以点D为圆心，以一定长为半径画弧，交MN于点E，交CD于点F，以点C为圆心，以同样定长为半径画弧，与CD交于点G，以点G为圆心，以EF长为半径画弧与前弧交于点H．作射线CH与AB交于点K．
请根据以上操作，下列结论不一定成立的是( )
A．∠CDM＝∠DCK B．CK平分∠ACD
C．MN垂直平分AB D．∠CKD＝90°
B [A．由②作法可知∠CDM＝∠DCK，故此选项不符合题意；
B．由②作法可知∠CDM＝∠DCK，不是作的∠ACD的平分线CK，
∴CK平分∠ACD不成立，故此选项符合题意；
C．由①作法可知MN垂直平分AB，故此选项不符合题意；
D．∵MN垂直平分AB，
∴∠MDB＝90°，
∵∠CDM＝∠DCK，
∴CK∥MN，
∴∠CKD＝∠MDB＝90°，故此选项不符合题意．
故选B．]
[对点演练]
1．(2024·新泰三模)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝( )
A． B．
C． D．
C [由作图过程可知：AE垂直平分CD，
∴CE＝DE，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵BC·AE＝AB·AC，
∴AE＝，
∴CE＝＝＝，
∴BD＝BC－2CE＝5－＝．
∴S△ABD＝·BD·AE＝＝．
故选C．]
2．(2024·岱岳区三模)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点P，连接AP并延长，交BC于点D．有下列说法：①线段AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝∠BAC；③点D到AB边的距离与DC的长相等；④△DAC与△ABC的面积之比是1∶4．其中结论正确的是( )
A．①② B．③④
C．①②③ D．①③④
C [由作法得AD平分∠BAC，故①正确；
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°－∠CAD＝60°，
∴∠ADC＝∠BAC，故②正确；
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，
∴点D到AB边的距离与DC的长相等，故③正确；
∵AD＝2CD，
∴BD＝2CD，
∴BC＝3CD，
∴S△DAC∶S△ABC＝1∶3，故④不正确．
故选C．]
课时分层评价卷(二十五) 投影、视图与尺规作图
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．下列不是三棱柱展开图的是( )
A． B．
C． D．
B [A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．
B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故B不能围成三棱柱．
故选B．]
2．(2024·宁阳一模)如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是( )
A． B．
C． D．
A [观察图形可知，该几何体的主视图为：．
故选A．]
3．(2024·肥城月考)如图，它需再添一个面，折叠后才能围成一个正方体．图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是( )
A． B．
C． D．
C [四个方格形成“田”字的，不能组成正方体，A错；
出现“U”字的，不能组成正方体，B错；
以横行上的方格从上往下看：C选项能组成正方体；
有两个面重合，不能组成正方体，D错．
故选C．]
4．(2024·新泰期末)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，尺规作图如下：分别以点A、点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，连接两弧交点的直线交AB于点E，交AC于点D，连接CE；以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点G，H，分别以点G，H为半径，以大于GH的长为半径作弧，两弧交于点M，连接CM并延长交AB于点F，则∠ECF的度数为( )
A．15° B．20°
C．25° D．30°
A [∵∠ACB＝90°，CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠ACB＝45°，
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠ECA＝∠A＝30°，
∴∠ECF＝∠FCA－∠ECA＝45°－30°＝15°．
故选A．]
5．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是( )
A． B．
C． D．
D [根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是：．
故选D．]
6．(2024·岱岳区期中)乡村建设是我国经济社会发展的重要组成部分．近年来岱岳区美丽乡村建设取得重大成就．某镇葡萄种植园大门口有一正方体展开平面图上写有“美丽乡村建设”六个字，如果将其折成正方体，则“美”字对着的字是________．
村 [正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“美”与“村”是相对面，
故答案为村．]
7．(2024·泰山期末)如图是一些相同的小立方块搭成的几何体的三视图，则搭成该几何体的小立方块有________块．
4 [从俯视图可得最底层有3个小正方体，由主视图可得有2层，上面一层有1个小正方体，下面一层有2个小正方体，从左视图上看，后面一层有2个小正方体，前面有1个小正方体，
所以此几何体共有4个正方体．
故答案为4．]
8．画出图中基本几何体的三视图．
[解] 如图所示．
9．(2024·宁阳二模)如图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( )
A．36π B．48π
C．60π D．96π
C [由三视图知：几何体是圆锥，
∵底面直径为12，高为8，
∴圆锥的母线长为＝10，
∴圆锥的侧面积S＝π×6×10＝60π．
故选C．]
10．(2024·肥城月考)下列四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何体的是( )
A． B．
C． D．
A [由立体图可知，圆、小正方形、三角形所在的正方形有公共顶点，题目中的4个选项图，只有A图中三个小图形有公共顶点．故选A．]
11．(2024·新泰期末)一个几何体是由一些大小相同的小正方体组成的，其从上面与从正面看到的形状如图所示．则组成这个几何体的小正方体最多有( )
A．9个 B．10个
C．11个 D．12个
C [综合俯视图和主视图，这个几何体的底层最多有5个小正方体，第二层最多有3个小正方体，第3层最多有3个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最多有5＋3＋3＝11(个)．
故选C．]
12．如图是一幢建筑物和一根旗杆在一天中四个不同时刻的影子．将四幅图按先后顺序排列应为_________________．
④①③② [从早晨到傍晚物体的指向是：西－西北－北－东北－东，影长由长变短，再变长．则四幅图按先后顺序排列应是④①③②．
故答案为④①③②．]
13．(2024·岱岳区一模)如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．小明按以下操作进行尺规作图：分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P，G点，作直线PG交AB于F，交BC于D，连接AD．以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AD于点M、点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点H，画射线AH交BC于点E．则∠DAE＝________°．
25 [由作法得DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠DAC，
∴∠DAB＝∠B＝40°，
∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝90°－40°＝50°，
∴∠DAE＝×50°＝25°．
故答案为25．]
14．(2024·东平期末)如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗户距地面的高度OD＝0.8 m，窗高CD＝1.2 m，并测得OE＝0.8 m，OF＝3 m，求围墙AB的高度．
[解] 延长OD至C，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE＝90°，
∵OD＝0.8 m，OE＝0.8 m，
∴∠DEB＝45°，
∵AB⊥BF，∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，
设AB＝EB＝x，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，∴＝，
即＝，
解得：x＝4.4．
经检验：x＝4.4是原方程的解．
答：围墙AB的高度是4.4 m．
15．小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)动手操作
现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒(如图3)，请你帮助小明在图1中补全图形(补出来一种即可)；
(2)解决问题
经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，它的边长是长方体高的5倍，根据图1中的数据，求这个纸盒的体积．
[解] (1)图形如图所示．
(2)∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴正方形的边长为10 cm，
∵底边边长是长方体的高的5倍，
∴高为2 cm，
∴纸盒的体积为10×10×2＝200(cm3)，
答：这个纸盒的体积为200 cm3．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一节 投影、视图与尺规作图
考点一 投影与视图
1．投影的有关概念
(1)平行投影：由__________光线所形成的投影叫做平行投影．如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
(2)中心投影：由__________(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
2．物体的三视图
(1)画物体的三视图的口诀：主、俯：__________；主、左：__________；俯、左：__________．
(2)画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
考点二 立体图形的展开与折叠
常见几何体 展开图描述 侧面展开图 表面展开图(其中一种)
六个大小相等的正方形
两个等圆和一个__________
一个圆和一个扇形
两个全等的__________和三个矩形
注：正方体的几种表面展开图
1．一四一型：(四个一行中排列，两边各一无规律)
2．二三一型：(二在三上露一端，一在三下任意放) 3．三三型：(三个三个排两行，中间一“日”放光芒) 4．二二二型：(两两三行排有序，恰似天上登云梯)
考点三 尺规作图
1．基本的尺规作图
(1)作一条线段等于已知线段．
(2)作一个角等于已知角．
(3)作已知线段的垂直平分线．
(4)作已知角的角平分线．
(5)过一点作已知直线的垂线．
2．较复杂的尺规作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般需结合几何图形的性质和基本作图方法．
1．如图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是( )
A． B．
C． D．
2．下列图形经过折叠不能围成棱柱的是( )
A． B．
C． D．
3．如图，以∠CAB的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点D，作射线AD，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是( )
A．SSS B．SAS
C．ASA D．AAS
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )
A． B． C． D．
5．下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是( )
A． B．
C． D．
命题点1 投影
【典例1】 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
[对点演练]
1．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A．逐渐变短
B．逐渐变长
C．先变短后变长
D．先变长后变短
2．[易错题]如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下( )
A．小莉的影子比小玉的影子长
B．小莉的影子比小玉的影子短
C．小莉的影子和小玉的影子一样长
D．无法判断谁的影子长
命题点2 三视图的判断
【典例2】 (2024·山东)下列几何体中，主视图是如图的是( )
A B C D
[听课记录]
[对点演练]
1．(2024·泰安二模)如图是领奖台的示意图，此领奖台的主视图是( )
A． B．
C． D．
2．(2024·泰山期末)如图所示，该几何体的俯视图是( )
A． B．
C． D．
命题点3 由三视图得到几何体
【典例3】 (2024·泰山一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
[对点演练]
如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A．圆柱 B．球
C．圆锥 D．正四棱柱
命题点4 图形的展开与折叠
【典例4】 下列图形中，不是正方体展开图的是( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
[对点演练]
1．下列图形中，正方体展开图错误的是( )
A． B．
C． D．
2．下面四个立体图形的展开图中，是圆锥展开图的是( )
A． B．
C． D．
命题点5 尺规作图
【典例5】 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．小聪同学利用直尺和圆规完成了如下作图：
①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，过点M，N作直线与AB交于点D；
②连接CD，以点D为圆心，以一定长为半径画弧，交MN于点E，交CD于点F，以点C为圆心，以同样定长为半径画弧，与CD交于点G，以点G为圆心，以EF长为半径画弧与前弧交于点H．作射线CH与AB交于点K．
请根据以上操作，下列结论不一定成立的是( )
A．∠CDM＝∠DCK B．CK平分∠ACD
C．MN垂直平分AB D．∠CKD＝90°
[听课记录]
[对点演练]
1．(2024·新泰三模)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝( )
A． B．
C． D．
2．(2024·岱岳区三模)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点P，连接AP并延长，交BC于点D．有下列说法：①线段AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝∠BAC；③点D到AB边的距离与DC的长相等；④△DAC与△ABC的面积之比是1∶4．其中结论正确的是( )
A．①② B．③④
C．①②③ D．①③④
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