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第二节 与圆有关的位置关系
链接教材 基础过关
考点一 与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．
dd＝r 点在⊙O__；
d>r 点在⊙O__．
内
上
外
2．直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
示意图
公共点个数 __个 __个 __个
大小关系 ______ ______ ______
0
1
2
d＞r
d＝r
d＜r
考点二 切线的性质
1．切线的性质
(1)定理：圆的切线____于过____的半径．
(2)经过__________于切线的直线必经过切点．
(3)经过__________于切线的直线必经过圆心．
总结：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过____；②直线过____；③直线与圆的切线____．
垂直
切点
圆心且垂直
切点且垂直
圆心
切点
垂直
考点三 切线的判定
切线的判定定理
(1)判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)推论：①与圆只有一个______的直线是圆的切线(定义法)．②到圆心的距离________的直线是圆的切线．
公共点
等于半径
考点四 三角形的内切圆与切线长定理
1．三角形的内切圆
(1)内切圆的有关概念：
与三角形三边都____的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的____，这个三角形叫做圆的外切三角形．
(2)三角形的内心就是三角形三条________的交点．三角形的内心到三角形三边的距离____，三角形的内心与三角形顶点的连线____这个内角．
相切
内心
角平分线
相等
平分
2．切线长定理
(1)圆的切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的__，叫做这点到圆的切线长．
(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____，这一点和圆心的连线____两条切线的夹角．
切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对．这些结论在证明求解问题中会经常用到．
长
相等
平分
1．一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16 cm或6 cm B．3 cm或8 cm
C．3 cm D．8 cm
√
B [当点P在圆内时，最近点的距离为5 cm，最远点的距离为11 cm，则直径是16 cm，因而半径是8 cm；当点P在圆外时，最近点的距离为
5 cm，最远点的距离为11 cm，则直径是6 cm，因而半径是3 cm．故选B．]
2．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线，连接AD经过点O，若∠ADC＝42°，则∠ABC的度数为( )
A．42°
B．66°
C．84°
D．48°
√
√
4．[易错题]如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为________________．
62°或118°
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．
[解] (1)证明：如图，连接EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直径，∴OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线．
考点突破 对点演练
命题点1 点、直线与圆的位置关系
【典例1】 (2024·宁阳期末)圆的直径是16 cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm，那么该直线与圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
√
C [∵圆的直径为16 cm，
∴圆的半径为8 cm，
∵圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
∴直线与圆相交．
故选C．]
方法总结 判断点(直线)与圆之间的位置关系，将该点(直线)到圆心的距离与半径作比较即可．
C [根据点到圆心的距离为7 cm大于圆的半径6 cm，则该点在圆外．故选C．]
[对点演练]
1．(2024·泰山期末)如果⊙O的半径为6 cm，OP＝7 cm，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．不能确定
√
2．[跨学科]如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是________．
相交 [图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交．故答案为相交．]
相交
√
方法总结 由切线的性质定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记为：见切点，连半径，得垂直．
[对点演练]
1．(2021·泰安)如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是( )
A．50°
B．48°
C．45°
D．36°
√
√
6.9
[解] (1)∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠OCB＋∠BCP＝90°，
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠OCB＝2∠BCP，
∴3∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，
∴∠OCB＝60°．
√
【教师备选资源】
1．(2020·泰安)如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．50°
2．(2022·泰安)如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A，C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A＝32°，则∠ADO＝________．
64°
64° [连接OC，
∵∠A＝32°，
∴∠DOC＝2∠A＝64°，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
∵∠B＝90°，∴∠B＋∠OCB＝180°，
∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC＝64°．
故答案为64°．]
方法总结 证明切线常见的作辅助线方法
(1)判定切线时，“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．
(2)有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
[对点演练]
1．(2024·泰安二模)如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连接OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线．正确的序号是_____________．
①②③④
①②③④ [连接AD，
∵D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，①正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
即AD⊥BC，又BD＝CD，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝∠C，②正确；
∵DE⊥AC，且DO∥AC，∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，④正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∵OA＋OB＝AB，OA＝OB，
∴2OA＝AC，③正确．
故答案为①②③④．]
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)已知AE＝8 cm，CD＝12 cm，求⊙O的半径．
[解] (1)证明：连接OA．
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA．
∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
√
[对点演练]
如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( )
A．15°
B．17.5°
C．20°
D．25°
√
课时分层评价卷(二十三) 与圆有关的位置关系
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．(2024·泰山一模)如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝36°，且PA与⊙O相切，则∠B等于( )
A．27° B．32°
C．36° D．54°
√
题号
1
3
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2
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题号
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题号
1
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题号
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3．(2024·宁阳二模)如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P＝80°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数是( )
A．110°
B．120°
C．125°
D．130°
√
题号
1
3
5
2
4
6
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13
14
D [连接OA，OB，在AB所在的优弧上找一点E，连接EA，EB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝80°，
∴∠AOB＝180°－∠P＝100°，
∴∠AEB＝50°，
∵四边形ACBE是⊙O内接四边形，
∴∠AEB＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝130°．故选D．]
题号
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题号
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2
4
6
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7
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11
12
13
14
A [连接OA，OC，CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OA，
∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，
题号
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题号
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5．在“海上生明月”这幅图中，把月亮与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是________．
相离
相离 [∵月亮与地平线没有公共点，
∴该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是相离．
故答案为相离．]
题号
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6．(2024·岱岳区模拟)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝________．
40°
题号
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7．如图，在半径为10 cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6 cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
题号
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[解] (1)证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
题号
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8．(2024·泰山期中)如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD＝13，PC＝4，则两圆组成的圆环的面积是( )
A．16π B．36π
C．52π D．81π
√
题号
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√
10．(2024·宁阳期末)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，AD＝12，P是半径为4的⊙A上一动点，连接PC，若E是PC的中点，连接DE，则DE长的最大值为( )
A．8
B．9.5
C．9
D．8.5
题号
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11．[数学文化](2024·东平一模)如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AC和BE都是⊙O的切线，点A和点B是切点，BE交OC于点E，OC交⊙O于点D，AD＝CD．若OA＝3，则CE的长为________．
题号
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13．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A(0，8)，B(0，2)．连接AC，BC．
(1)求点P的坐标；
(2)求cos ∠ACB的值．
题号
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[解] (1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°－25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB＋∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°．
题号
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14第二节 与圆有关的位置关系
考点一 与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．
dd＝r 点在⊙O上；
d>r 点在⊙O外．
2．直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
示意图
公共点 个数 0个 1个 2个
大小关系 d＞r d＝r d＜r
考点二 切线的性质
1．切线的性质
(1)定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
(2)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
总结：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
考点三 切线的判定
切线的判定定理
(1)判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)推论：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)．②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
考点四 三角形的内切圆与切线长定理
1．三角形的内切圆
(1)内切圆的有关概念：
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
(2)三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．切线长定理
(1)圆的切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对．这些结论在证明求解问题中会经常用到．
1．一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16 cm或6 cm B．3 cm或8 cm
C．3 cm D．8 cm
B [当点P在圆内时，最近点的距离为5 cm，最远点的距离为11 cm，则直径是16 cm，因而半径是8 cm；当点P在圆外时，最近点的距离为5 cm，最远点的距离为11 cm，则直径是6 cm，因而半径是3 cm．故选B．]
2．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线，连接AD经过点O，若∠ADC＝42°，则∠ABC的度数为( )
A．42° B．66° C．84° D．48°
B [连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴半径OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝42°，
∴∠AOC＝∠OCD＋∠D＝90°＋42°＝132°，
∴∠ABC＝∠AOC＝66°．
故选B．]
3．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接AC，BC．若∠BAC＝2∠BCO，AC＝3，则PA的长为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A [∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B＋∠BCO，
∴∠AOC＝2∠BCO，
而∠BAC＝2∠BCO，
∴∠BAC＝∠AOC，∴CA＝CO，
而OA＝OC，∴OA＝OC＝AC＝3，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵tan ∠AOP＝，∴PA＝3tan 60°＝3．
故选A．]
4．[易错题]如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为________．
62°或118° [如图，连接CA，BC，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB＋∠PAO＋∠PBO＋∠APB＝360°，
∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠PBO－∠APB＝360°－90°－90°－56°＝124°，
由圆周角定理知，∠ACB＝∠AOB＝62°．
当点C在劣弧AB上时，
由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°．
故答案为62°或118°．]
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．
[解] (1)证明：如图，连接EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA＝OE，
∴∠BAD＝∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线．
(2)∵⊙O的半径为5，
∴EF＝2OE＝10，
在Rt△AEF中，AF＝6，
根据勾股定理得，AE＝＝8，
由(1)知OE∥BC，
∵OA＝OD，
∴BE＝AE＝8．
命题点1 点、直线与圆的位置关系
【典例1】 (2024·宁阳期末)圆的直径是16 cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm，那么该直线与圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
C [∵圆的直径为16 cm，
∴圆的半径为8 cm，
∵圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm，
∴圆心到直线的距离小于圆的半径，
∴直线与圆相交．
故选C．]
判断点(直线)与圆之间的位置关系，将该点(直线)到圆心的距离与半径作比较即可．
[对点演练]
1．(2024·泰山期末)如果⊙O的半径为6 cm，OP＝7 cm，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．不能确定
C [根据点到圆心的距离为7 cm大于圆的半径6 cm，则该点在圆外．故选C．]
2．[跨学科]如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是________．
相交 [图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交．
故答案为相交．]
【教师备选资源】
(2020·泰安)如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( )
A．＋1 B．
C．2＋1 D．2
B [如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，从而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2＋1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为．
故选B．]
命题点2 切线的性质
【典例2】 (2024·泰安)如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，tan B＝，则AE的长为________．
[∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AH是⊙O的切线，
∴∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABD＝90°－∠DAB，
∴△DAF∽△DBA，
∴＝＝tan B＝，
∵DF＝1，
∴AD＝2，
∴AF＝＝，
∵点D为的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠DAC＝∠DAF，
∵∠ADE＝∠ADF＝90°，
∴90°－∠DAE＝90°－∠DAF，
即∠AED＝∠AFD，
∴AE＝AF＝．
故答案为．]
由切线的性质定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记为：见切点，连半径，得垂直．
[对点演练]
1．(2021·泰安)如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是( )
A．50° B．48° C．45° D．36°
B [连接AD，∵BC与⊙A相切于点D，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝6，AG＝AD＝3，
∴AD＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠GAD＝60°，
∵∠CDE＝18°，
∴∠ADE＝90°－18°＝72°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝72°，
∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝180°－72°－72°＝36°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝60°＋36°＝96°，
∴∠GFE＝∠GAE＝×96°＝48°．
故选B．]
2．(2024·泰山二模)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝15°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若OE＝2，则⊙O的半径为( )
A． B．
C． D．
A [连接OC，
∵∠CDB＝15°，
∴∠COB＝2∠CDB＝30°，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴OC＝OE·cos ∠COB＝2×＝．故选A．]
3．(2023·泰安)为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4 cm，则这张光盘的半径是________cm．(精确到0.1 cm．参考数据：≈1.73)
6.9 [设光盘的圆心为O，由题意可知：AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，
连接OC，OB，OA，
如图所示，
∵AC，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，OB⊥AB，又∠CAD＝60°，
∴∠OAC＝∠OAB＝∠CAB＝60°．
在Rt△AOB中，∠OAB＝60°，AB＝4 cm，
∴tan ∠OAB＝，
∴OB＝tan ∠OAB×AB＝×4＝4≈6.9(cm)，
∴这张光盘的半径为6.9cm．
故答案为6.9．]
4．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．
(1)求∠OCB的度数；
(2)若EF＝3，求⊙O直径的长．
[解] (1)∵PC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠OCB＋∠BCP＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠OCB＝2∠BCP，
∴3∠BCP＝90°，
∴∠BCP＝30°，
∴∠OCB＝60°．
(2)连接DE，
∵CD是直径，
∴∠DEC＝90°，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴∠DCE＝∠FDE＝∠ECB＝∠DCB＝30°，
∵∠E＝90°，EF＝3，∠FDE＝30°，
∴DE＝FE＝3，
∵∠E＝90°，∠DCE＝30°，
∴CD＝2DE＝6，
∴⊙O的直径的长为6．
【教师备选资源】
1．(2020·泰安)如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于( )
A．20° B．25°
C．30° D．50°
B [连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°－∠P＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∵OC∥AB，
∴∠BOC＝∠OBA＝50°，
由圆周角定理得，
∠BAC＝∠BOC＝25°．
故选B．]
2．(2022·泰安)如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A，C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A＝32°，则∠ADO＝________．
64° [连接OC，
∵∠A＝32°，
∴∠DOC＝2∠A＝64°，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
∵∠B＝90°，∴∠B＋∠OCB＝180°，
∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC＝64°．
故答案为64°．]
命题点3 切线的判定
【典例3】 (2024·山东)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG．
(1)求证：CG为所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)
[解] (1)证明：连接BG，如图，
根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF，
又∵AB＝BC，∴CF＝AE＝AD，
∵BC＝2AD，
∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠BFD＝∠DAB＝60°，
∵BG＝BF，∴△BFG是等边三角形，
∴GF＝BF，∴GF＝BF＝FC，
∴G在以BC为直径的圆上，
∴∠BGC＝90°，∴CG为所在圆的切线．
(2)过D作DH⊥AB于点H，
由图可得：S阴影＝S ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG，
在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°，
∴DH＝AD·sin ∠DAB＝1×＝，
∴S ABFD＝AB·DH＝2×＝，
由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等，
∴S扇形AED＝S扇形BGE＝＝＝＝，
等边三角形BFG的面积S△BFG＝GF·DH＝×1×＝，
∴S阴影＝S ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG＝＝．
证明切线常见的作辅助线方法
(1)判定切线时，“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．
(2)有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
[对点演练]
1．(2024·泰安二模)如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连接OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线．正确的序号是________．
①②③④ [连接AD，
∵D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，①正确；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠ADC，
即AD⊥BC，又BD＝CD，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝∠C，②正确；
∵DE⊥AC，且DO∥AC，∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，④正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∵OA＋OB＝AB，OA＝OB，
∴2OA＝AC，③正确．
故答案为①②③④．]
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)已知AE＝8 cm，CD＝12 cm，求⊙O的半径．
[解] (1)证明：连接OA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA．
∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
(2)过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形．∴OF＝AE＝8 cm．
又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝6 cm．
在Rt△ODF中，OD＝＝10 cm，
即⊙O的半径为10 cm．
命题点4 三角形内切圆及切线长定理
【典例4】 [数学文化](2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是( )
A．d＝a＋b－c B．d＝
C．d＝ D．d＝|(a－b)(c－b)|
D [法一：本题作为选择题，用特殊值法可快速定位答案．
∵△ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5．
选项A：d＝a＋b－c＝2，
选项B：d＝＝2，
选项C：d＝＝2，
选项D：d＝|(a－b)(c－b)|＝1，
很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项．
故选D．
法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F，连接AO，BO，CO．
易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r，
则EC＝CD＝r，
∴AE＝AF＝b－r，BD＝BF＝a－r，
∵AF＋BF＝AB，
∴b－r＋a－r＝c，∴r＝，
∴d＝a＋b－c，故选项A正确；
∵S△ABC＝S△AOC＋S△BOC＋S△AOB，
∴ab＝ar＋br＋cr，
∴ab＝r(a＋b＋c)，
∴r＝，即d＝，故选项B正确；
∵由前面可知d＝a＋b－c，
∴d2＝(a＋b－c)2＝(a＋b)2－2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2－2ac－2bc＋c2，
∵a2＋b2＝c2，
∴d2＝2c2＋2ab－2ac－2bc＝2(c2＋ab－ac－bc)＝2[(c2－ac)＋b(a－c)]＝2(c－a)(c－b)，
∴d＝，故选项C正确．
排除法可知选项D错误．
故选D．]
[对点演练]
如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( )
A．15° B．17.5°
C．20° D．25°
C [连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝×(180°－∠BOC)＝×(180°－140°)＝20°．
故选C．]
课时分层评价卷(二十三) 与圆有关的位置关系
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．(2024·泰山一模)如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝36°，且PA与⊙O相切，则∠B等于( )
A．27° B．32° C．36° D．54°
A [∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，又∠P＝36°，
∴∠AOP＝90°－∠P＝54°，
∵OB＝OC，
∴∠AOP＝2∠B，
∴∠B＝∠AOP＝27°．
故选A．]
2．(2024·岱岳区模拟)如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是( )
A．2 B．
C． D．
B [连接OD，
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC．
在Rt△AOD中，
∵∠A＝30°，AD＝2，
∴OD＝OB＝2，AO＝4，
∴∠ODB＝∠OBD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥CB，
∴＝，即＝，
∴CD＝．
故选B．]
3．(2024·宁阳二模)如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P＝80°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数是( )
A．110° B．120°
C．125° D．130°
D [连接OA，OB，在AB所在的优弧上找一点E，连接EA，EB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝80°，
∴∠AOB＝180°－∠P＝100°，
∴∠AEB＝50°，
∵四边形ACBE是⊙O内接四边形，
∴∠AEB＋∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝130°．
故选D．]
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为( )
A． B．
C．2 D．3
A [连接OA，OC，CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝OA，
∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
∴＝，
∴AC2＝AD·AE，
∵AD＝2，DE＝3，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝AC＝，即⊙O的半径为．
故选A．]
5．在“海上生明月”这幅图中，把月亮与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是________．
相离 [∵月亮与地平线没有公共点，
∴该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是相离．
故答案为相离．]
6．(2024·岱岳区模拟)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝________．
40° [连接OB，如图，
∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝(180°－∠AOB)＝65°，
∵OA∥CB，∴∠OAC＝∠ACB＝25°，
∴∠CAB＝∠OAB－∠OAC＝40°．
故答案为40°．]
7．如图，在半径为10 cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6 cm．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
[解] (1)证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6 cm，
∴AC＝12 cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AD＝ cm．
8．(2024·泰山期中)如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD＝13，PC＝4，则两圆组成的圆环的面积是( )
A．16π B．36π
C．52π D．81π
B [连接OP，OB，AD，BC，
∵大圆的弦AB与小圆相切于点P，
∴OP⊥AB，
∴PA＝PB．
∵CD＝13，PC＝4，
∴DP＝9．
∵∠A＝∠C，∠D＝∠CBP，
∴△ADP∽△CBP，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝AP＝6，
则两圆组成的圆环的面积是πOB2－πOP2＝πPB2＝π×62＝36π．
故选B．]
9．(2024·肥城期末)如图，⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin ∠BAC＝，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．则下列结论：①∠DBF＝3∠DAB；②CG是⊙O的切线；③B，E两点间的距离是2；④AD＝4，正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①连接AE，如图，
∵⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠CAE＝∠EAB＝∠BAD，
∴∠CAD＝3∠DAB，
∵∠DBF为圆内接四边形ADBC的外角，
∴∠DBF＝∠CAD＝3∠DAB，
∴①正确；
②连接OC，
∵＝，
∴OE垂直平分BC，
∴GC＝GB．
在△OCG和△OBG中，
∴△OCG≌△OBG(SSS)，
∴∠OCG＝∠OBG．
由题意知GB与⊙O相交，
∴∠OBG为钝角，
∴∠OCG为钝角，
∴OC与GC不垂直，
∴CG不是⊙O的切线，
∴②不正确；
③连接BE，∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．
设DE交BO于点H，
∵OE⊥BC，AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴∠EOB＝∠CAB，
∴sin ∠EOB＝sin ∠BAC＝，
∴＝，
∴EH＝4，
∴OH＝＝3，
∴BH＝OB－OH＝2，
∴BE＝＝＝2，
∴③不正确；
④∵＝，
∴BD＝BE＝2，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，
AD＝＝＝4，
∴④正确．
故选B．]
10．(2024·宁阳期末)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，AD＝12，P是半径为4的⊙A上一动点，连接PC，若E是PC的中点，连接DE，则DE长的最大值为( )
A．8 B．9.5
C．9 D．8.5
D [连接PB，如图1，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝DB＝BC＝5，
∵点E为PC的中点，
∴DE是△PBC的中位线，
∴DE＝PB，
∴当PB取最大值时，DE的长最大，
∵P是半径为4的⊙A上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，如图2，
∵BD＝5，AD＝12，
∴AB＝＝13，
∵⊙A的半径为4，
∴PB的最大值为13＋4＝17，
∴DE长的最大值为8.5．
故选D．]
11．[数学文化](2024·东平一模)如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图2，根据割圆八线图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AC和BE都是⊙O的切线，点A和点B是切点，BE交OC于点E，OC交⊙O于点D，AD＝CD．若OA＝3，则CE的长为________．
6－2 [如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵CD＝AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠ADO＝∠C＋∠CAD，
AC是⊙O的切线，点A是切点，
∴∠OAC＝90°，
即3∠CAD＝90°，∴∠CAD＝30°，
又∠AOB＝90°，∴AC∥BO，
∴∠CAD＝∠C＝∠BOD＝30°．
在Rt△AOC中，OA＝3，∠C＝30°，
∴OC＝2OA＝6，
在Rt△BOE中，OB＝3，∠BOE＝30°，
∴OE＝＝2，
∴CE＝OC－OE＝6－2．
故答案为6－2．]
12．(2024·肥城二模)如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线y＝－x＋6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则S△PQO的最小值为________．
2 [如图，作OH⊥AB于点H，
在y＝－x＋6中，当x＝0时，y＝6，则B(0，6)，
当y＝0时，－x＋6＝0，
解得x＝6，则A(6，0)，
∴OA＝OB＝6，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝＝＝6，
∵OH⊥AB，OB＝OA，
∴BH＝AH，
∴OH＝AB＝×6＝3，
∵PQ为切线，
∴PQ⊥OQ，
∴∠PQO＝90°，
∴PQ＝＝＝，
∵S△PQO＝PQ·OQ，
∴当PQ最小时，S△PQO最小，
∵OP最小时，PQ最小，
∴当OP⊥AB时，即P点运动到H点时，OP最小，S△PQO最小，此时OP＝3，
∴PQ＝＝＝4，
∴S△PQO＝PQ·OQ＝×4×＝2．
故答案为2．]
13．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，⊙P与x轴相切于点C，与y轴相交于点A(0，8)，B(0，2)．连接AC，BC．
(1)求点P的坐标；
(2)求cos ∠ACB的值．
[解] (1)∵点A(0，8)，B(0，2)，
∴AB＝6，
过P作PH⊥AB于点H，
∴AH＝BH＝3，
∴OH＝5，
连接PC，PB，
∵⊙P与x轴相切于点C，
∴PC⊥x轴，
∴∠PHB＝∠PCO＝∠COH＝90°，
∴四边形PCOH是矩形，
∴PC＝OH＝5，
∵PH＝＝4，
∴点P的坐标为(4，5)．
(2)连接AP并延长交⊙P于M，连接BM，
则∠ABM＝90°，
∴BM＝＝＝8，
∴cos ∠ACB＝cos ∠AMB＝＝＝．
14．(2024·烟台)如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
(1)若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
(3)若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长．
[解] (1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°－25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB＋∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°．
(2)DI＝AD＝BD，连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI＝∠ACB＝45°，
∴＝，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB＋∠BAI，∠DIA＝∠ACI＋∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，∴DI＝AD＝BD．
(3)过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q，F，P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q，F，P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵CI＝2，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI·cos 45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，DI＝，∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝13，
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC
＝AB＋AF＋CF＋CP＋BP
＝AB＋AQ＋BQ＋2CF
＝2AB＋2CF
＝2×13＋2×2＝30．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二节 与圆有关的位置关系
考点一 与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d，圆的半径为r．
dd＝r 点在⊙O__________；
d>r 点在⊙O__________．
2．直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
示意图
公共点 个数 __________个 __________个 __________个
大小关系 __________ __________ __________
考点二 切线的性质
1．切线的性质
(1)定理：圆的切线__________于过__________的半径．
(2)经过__________于切线的直线必经过切点．
(3)经过__________于切线的直线必经过圆心．
总结：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过__________；②直线过__________；③直线与圆的切线__________．
考点三 切线的判定
切线的判定定理
(1)判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)推论：①与圆只有一个__________的直线是圆的切线(定义法)．②到圆心的距离__________的直线是圆的切线．
考点四 三角形的内切圆与切线长定理
1．三角形的内切圆
(1)内切圆的有关概念：
与三角形三边都__________的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的__________，这个三角形叫做圆的外切三角形．
(2)三角形的内心就是三角形三条__________的交点．三角形的内心到三角形三边的距离__________，三角形的内心与三角形顶点的连线__________这个内角．
2．切线长定理
(1)圆的切线长定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的__________，叫做这点到圆的切线长．
(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长__________，这一点和圆心的连线__________两条切线的夹角．
切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对．这些结论在证明求解问题中会经常用到．
1．一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16 cm或6 cm B．3 cm或8 cm
C．3 cm D．8 cm
2．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线，连接AD经过点O，若∠ADC＝42°，则∠ABC的度数为( )
A．42° B．66° C．84° D．48°
3．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接AC，BC．若∠BAC＝2∠BCO，AC＝3，则PA的长为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
4．[易错题]如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为________．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．
命题点1 点、直线与圆的位置关系
【典例1】 (2024·宁阳期末)圆的直径是16 cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5 cm，那么该直线与圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相交或相切
[听课记录]
判断点(直线)与圆之间的位置关系，将该点(直线)到圆心的距离与半径作比较即可．
[对点演练]
1．(2024·泰山期末)如果⊙O的半径为6 cm，OP＝7 cm，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．不能确定
2．[跨学科]如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是________．
命题点2 切线的性质
【典例2】 (2024·泰安)如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F．若DF＝1，tan B＝，则AE的长为________．
[听课记录]
由切线的性质定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记为：见切点，连半径，得垂直．
[对点演练]
1．(2021·泰安)如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是( )
A．50° B．48° C．45° D．36°
2．(2024·泰山二模)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝15°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若OE＝2，则⊙O的半径为( )
A． B．
C． D．
3．(2023·泰安)为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4 cm，则这张光盘的半径是________cm．(精确到0.1 cm．参考数据：≈1.73)
4．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．
(1)求∠OCB的度数；
(2)若EF＝3，求⊙O直径的长．
命题点3 切线的判定
【典例3】 (2024·山东)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG．
(1)求证：CG为所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．(结果保留π)
[听课记录]
证明切线常见的作辅助线方法
(1)判定切线时，“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．
(2)有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
[对点演练]
1．(2024·泰安二模)如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O恰好过BC的中点D，过点D作DE⊥AC于E，连接OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切线．正确的序号是________．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)已知AE＝8 cm，CD＝12 cm，求⊙O的半径．
命题点4 三角形内切圆及切线长定理
【典例4】 [数学文化](2024·滨州)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是( )
A．d＝a＋b－c B．d＝
C．d＝ D．d＝|(a－b)(c－b)|
[听课记录]
[对点演练]
如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为( )
A．15° B．17.5°
C．20° D．25°
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