第三节 与圆有关的计算
考点一 弧长和扇形面积的有关计算
1．弧长的有关公式
(1)圆周长公式：C＝__________．
(2)弧长公式：l＝__________．
注意：(1)在弧长的计算公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位．
(2)若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
(3)题设未标明精确度的，可以将弧长用含π的式子表示．
2．扇形的定义及有关公式
(1)圆面积公式：S＝__________．
(2)扇形：由组成圆心角的两条__________和圆心角所对的__________所围成的图形叫做扇形．
(3)扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则S扇形＝__________或S扇形＝lr．(其中l为扇形的弧长)
考点二 圆锥的有关概念和公式
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
(2)如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径为母线长l，扇形的弧长为底面圆的周长__________．因此圆锥的侧面积为S侧＝__________．
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全＝__________．
考点三 正多边形和圆的有关概念
(1)正多边形与圆的关系
把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，顺次连接n个分点所得的多边形是这个圆的__________，这个圆叫做这个正n边形的__________．
(2)正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距．
1．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是( )
A．60° B．90° C．180° D．360°
2．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为( )
A．4 cm B．8 cm
C．12 cm D．16 cm
3．若扇形半径为4 cm，面积为8 cm2，则它的弧长为________cm．
4．如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为________(结果保留π)．
5．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是________cm2．(结果用π表示)
命题点1 弧长的有关计算
【典例1】 (2024·泰山模拟)某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是________．
[听课记录]
[对点演练]
1．(2024·贵州)如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为( )
A．30π B．25π C．20π D．10π
2．(2024·安徽)若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为( )
A．2π B．3π C．4π D．6π
命题点2 扇形面积的有关计算
【典例2】 (2021·泰安)若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．
[听课记录]
求阴影面积常用的方法：①公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化法将不规则图形变为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
[对点演练]
1．(2023·泰安)如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是( )
A．π B．π
C．π D．π
2．(2022·泰安)如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为( )
A．6π－9 B．12π－9
C．6π－ D．12π－
3．(2020·泰安)如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是________．
命题点3 圆锥的有关计算
【典例3】 如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[听课记录]
[对点演练]
1．(典例3变式)已知圆锥的母线长为8 cm，底面圆的直径为6 cm，则这个圆锥的侧面积是( )
A．96π cm2 B．48π cm2
C．33π cm2 D．24π cm2
2．(2024·泰山二模)如图是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图，则该圆锥的母线长AB为________．
命题点4 正多边形和圆的有关计算
【典例4】 (2024·济宁)如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为( )
A．1 B．2
C． D．
[听课记录]
正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径、边长、边心距、中心角之间的计算转化为解直角三角形．
[对点演练]
1．(2023·泰山期中)如图，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a的值应是( )
A．2 cm B． cm
C． cm D．1 cm
2．如图，正六边形ABCDEF的边长为4 cm，以一个顶点A为圆心，AE为半径作一个扇形，则图中阴影扇形的面积为________cm2．
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第三节 与圆有关的计算
链接教材 基础过关
考点一 弧长和扇形面积的有关计算
1．弧长的有关公式
(1)圆周长公式：C＝___．
(2)弧长公式：l＝______．
2πr
注意：(1)在弧长的计算公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位．
(2)若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
(3)题设未标明精确度的，可以将弧长用含π的式子表示．
πr2
半径
弧
考点二 圆锥的有关概念和公式
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
(2)如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，
那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径为母线
长l，扇形的弧长为底面圆的周长____．因此圆
锥的侧面积为S侧＝____．
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全＝________．
2πr
πrl
πr2＋πrl
考点三 正多边形和圆的有关概念
(1)正多边形与圆的关系
把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，顺次连接n个分点所得的多边形是这个圆的______________，这个圆叫做这个正n边形的______．
圆内接正n边形
外接圆
(2)正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距．
1．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是( )
A．60° B．90° C．180° D．360°
√
2．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为( )
A．4 cm B．8 cm
C．12 cm D．16 cm
√
B [设半圆形铁皮的半径为r cm，
根据题意得πr＝2π×4，
解得r＝8，所以围成的圆锥的母线长为8 cm．故选B．]
3．若扇形半径为4 cm，面积为8 cm2，则它的弧长为________cm．
4
4．如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为________(结果保留π)．
5．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是________cm2．(结果用π表示)
3 000π
考点突破 对点演练
命题点1 弧长的有关计算
【典例1】 (2024·泰山模拟)某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是________．
3π
√
√
命题点2 扇形面积的有关计算
【典例2】 (2021·泰安)若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．
4
方法总结 求阴影面积常用的方法：①公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化法将不规则图形变为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
√
√
3．(2020·泰安)如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是____________．
√
命题点3 圆锥的有关计算
【典例3】 如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
√
[对点演练]
1．(典例3变式)已知圆锥的母线长为8 cm，底面圆的直径为6 cm，则这个圆锥的侧面积是( )
A．96π cm2 B．48π cm2
C．33π cm2 D．24π cm2
√
2．(2024·泰山二模)如图是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图，则该圆锥的母线长AB为________．
13
√
方法总结 正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径、边长、边心距、中心角之间的计算转化为解直角三角形．
√
2．如图，正六边形ABCDEF的边长为4 cm，以一个顶点A为圆心，AE为半径作一个扇形，则图中阴影扇形的面积为________cm2．
8π
课时分层评价卷(二十四) 与圆有关的计算
题号
1
3
5
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题号
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15
2．在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为15 cm，圆心角为120°的扇形纸板做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是( )
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
√
题号
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7．(2024·新泰期中)已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，半径AO＝2，则扇形COD的面积为________．
题号
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8．(人教版九上例题)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (结果保留小数点后两位)．
题号
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15
9．[易错题](2024·泰山模拟)如图是一个机器零件的三视图，根据标注的尺寸，这个零件的全面积(单位：mm2)是( )
A．24π
B．21π
C．20π
D．16π
√
题号
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15
A [根据其三视图可以判断该几何体为圆锥，且底面半径为3，高为4，∴母线长为5，
∴其全面积为π×32＋π×3×5＝24π．
故选A．]
题号
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3
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题号
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15
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题号
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15
12．(2024·泰山一模)如图所示，已知圆O的半径OA＝6，以OA为边分别作正五边形OABCD和正六边形OAEFGH，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)．
题号
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4 039π
题号
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题号
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15
14．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C，请在网格图中进行下列操作：
(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为________；
(2)求出弓形ABC的面积．
(2，1)
题号
1
3
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2
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题号
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15
15．[跨学科](2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线长均为7 cm的圆锥形过滤漏斗．
题号
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【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示的漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．(结果保留π)
题号
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题号
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15
第三节 与圆有关的计算
考点一 弧长和扇形面积的有关计算
1．弧长的有关公式
(1)圆周长公式：C＝2πr．
(2)弧长公式：l＝．
注意：(1)在弧长的计算公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位．
(2)若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
(3)题设未标明精确度的，可以将弧长用含π的式子表示．
2．扇形的定义及有关公式
(1)圆面积公式：S＝πr2．
(2)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
(3)扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形＝lr．(其中l为扇形的弧长)
考点二 圆锥的有关概念和公式
(1)圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
(2)如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径为母线长l，扇形的弧长为底面圆的周长2πr．因此圆锥的侧面积为S侧＝πrl．
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全＝πr2＋πrl．
考点三 正多边形和圆的有关概念
(1)正多边形与圆的关系
把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，顺次连接n个分点所得的多边形是这个圆的圆内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆．
(2)正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距．
1．将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是( )
A．60° B．90° C．180° D．360°
B [由于正六边形的中心角为＝60°，所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°．故选B．]
2．用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为( )
A．4 cm B．8 cm
C．12 cm D．16 cm
B [设半圆形铁皮的半径为r cm，
根据题意得πr＝2π×4，
解得r＝8，所以围成的圆锥的母线长为8 cm．故选B．]
3．若扇形半径为4 cm，面积为8 cm2，则它的弧长为________cm．
4 [设弧长是l，则×4l＝8，
解得l＝4．
故答案为4．]
4．如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为________(结果保留π)．
[∠BAE＝＝108°，
∴阴影部分的面积为＝．
故答案为．]
5．甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，则阴影部分的面积是________cm2．(结果用π表示)
3 000π [S阴影＝S扇形AOD－S扇形BOC
＝
＝
＝3 000π(cm2)，
故答案为3 000π．]
命题点1 弧长的有关计算
【典例1】 (2024·泰山模拟)某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是________．
3π [如图，△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴的长＝的长＝的长＝＝π，
∴这个“莱洛三角形”的周长是3π．]
[对点演练]
1．(2024·贵州)如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝150°，OA＝24，则的长为( )
A．30π B．25π C．20π D．10π
C [因为∠AOB＝150°，OA＝24，
所以的长为＝20π．
故选C．]
2．(2024·安徽)若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为( )
A．2π B．3π C．4π D．6π
C [的长＝＝＝4π．
故选C．]
命题点2 扇形面积的有关计算
【典例2】 (2021·泰安)若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．
4 [设AB交半圆于点D，连接CD．
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB．
又∵△ABC为等腰直角三角形，
∴CD垂直平分斜边AB，
∴CD＝BD＝AD，
∴＝，
∴S弓形BD＝S弓形CD，
∴S阴影＝SRt△ABC－SRt△BCD．
∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，
∴SRt△ABC＝2SRt△BCD．
又SRt△ABC＝×4×4＝8，
∴S阴影＝4．]
求阴影面积常用的方法：①公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化法将不规则图形变为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
[对点演练]
1．(2023·泰安)如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB＝70°，则阴影部分的面积是( )
A．π B．π
C．π D．π
C [∵OA＝OC，∠CAO＝40°，
∴∠CAO＝∠ACO＝40°，
∴∠AOC＝180°－40°－40°＝100°，
∵∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
∴∠BOC＝360°－100°－140°＝120°，
∴阴影部分的面积是＝π．
故选C．]
2．(2022·泰安)如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为( )
A．6π－9 B．12π－9
C．6π－ D．12π－
B [过点E作EG⊥DF交DF于点G，
∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝3，
∴DF＝6，
阴影部分的面积＝×6×3＝12π－9．
故选B．]
3．(2020·泰安)如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是________．
－8 [连接OA，
∵∠ABO＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠BAO＝60°，
∴∠AOE＝120°，
∵AB＝8，
∴⊙O的半径为8，
∵AD∥OB，
∴∠DAO＝∠AOB＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOD＝∠AOB，∴＝，
∴AB＝AD，
∴AB＝AD＝OD＝OB，
∴四边形ABOD是菱形，
∴OD∥AB，四边形ABOD是中心对称图形，
∴∠DOE＝∠ABO＝60°，
∴S阴影＝S扇形AOE－S△COD＝×8××8＝－8．]
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(2024·泰安)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是( )
A．π－ B．π
C．π－ D．π－
A [如图，连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，
∵OA＝OO′＝AO′＝2，
∴△AOO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OB＝OO′＝1，
∴AB＝＝，
∴S弓形AO′＝S扇形AOO′－S△AOO′
＝－2×
＝，
∴S阴影＝S弓形AO′＋S扇形AO′O
＝
＝．
故选A．]
命题点3 圆锥的有关计算
【典例3】 如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A [设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝15π，
∴R＝3．故选A．]
[对点演练]
1．(典例3变式)已知圆锥的母线长为8 cm，底面圆的直径为6 cm，则这个圆锥的侧面积是( )
A．96π cm2 B．48π cm2
C．33π cm2 D．24π cm2
D [∵底面圆的直径为6 cm，
∴底面圆的半径为3 cm，
∴圆锥的侧面积＝×8×2π×3＝24π (cm2)．
故选D．]
2．(2024·泰山二模)如图是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图，则该圆锥的母线长AB为________．
13 [由题知，
令OB＝x，
则2πx＝10π，
解得x＝5，
即OB＝5．
在Rt△AOB中，
AB＝＝13．
故答案为13．]
命题点4 正多边形和圆的有关计算
【典例4】 (2024·济宁)如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为( )
A．1 B．2
C． D．
D [如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，点O是它的中心，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝1，
在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝1，
∴OM＝＝，
即它的内切圆半径为．
故选D．]
正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径、边长、边心距、中心角之间的计算转化为解直角三角形．
[对点演练]
1．(2023·泰山期中)如图，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a的值应是( )
A．2 cm B． cm
C． cm D．1 cm
A [连接AC，过B作BD⊥AC于D．
∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AD＝CD．
∵此多边形为正六边形，
∴∠ABC＝＝120°，
∴∠ABD＝×120°＝60°，
∴∠BAD＝30°，AD＝AB·cos 30°＝2×＝(cm)，
∴a＝2(cm)．
故选A．]
2．如图，正六边形ABCDEF的边长为4 cm，以一个顶点A为圆心，AE为半径作一个扇形，则图中阴影扇形的面积为________cm2．
8π [∵正六边形ABCDEF的边长为4 cm，
∴AB＝BC＝4 cm，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，
∵∠ABC＋∠BAC＋∠BCA＝180°，
∴∠BAC＝(180°－∠ABC)＝×(180°－120°)＝30°，
同理∠FAE＝30°，∴∠CAE＝60°，
过B作BH⊥AC于点H，
∴AH＝CH，BH＝AB＝×4＝2(cm)，
∴AC＝2AH＝2＝4(cm)，
∴图中阴影扇形的面积为＝8π．
故答案为8π．]
课时分层评价卷(二十四) 与圆有关的计算
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分)
1．如图，某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为( )
A． cm B． cm C． cm D．7π cm
B [∵字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，
∴此弧所对的圆心角为90°，
由题意可得，R＝ cm，
则“蘑菇罐头”字样的长度为＝(cm)．
故选B．]
2．在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径为15 cm，圆心角为120°的扇形纸板做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是( )
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
C [半径为15 cm、圆心角为120°的扇形弧长是＝10π (cm)，
设圆锥的底面半径是r cm，
则2πr＝10π，
解得r＝5．
故选C．]
3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上一点，则∠APC的度数为( )
A．36° B．60°
C．65° D．72°
D [如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°．
故选D．]
4．(2024·岱岳区一模)如图，⊙A的圆心为(4，0)，半径为2，OP切⊙A于P点，则阴影部分的面积为( )
A．2 B．2
C．－2 D．2
A [连接AP，则∠OPA＝90°．
∵AP＝2，OA＝4，
∴OP＝2，∠OAP＝60°，
∴S阴影＝S△OAP－S扇形＝×2×2－＝2．
故选A．]
5．(2024·宁阳期末)如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝10 cm，圆锥的侧面积为75π cm2，则sin ∠ABC的值为( )
A． B．
C． D．
A [圆锥的底面周长为π×10＝10π(cm)，
∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为10π cm，
∴×10π×AB＝75π，
解得AB＝15，
由勾股定理，得AO＝＝＝10(cm)，
∴sin ∠ABC＝＝＝．
故选A．]
6． [跨学科]大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，如图所示，若边心距OM＝ mm，则这个正六边形的面积是________mm2．
6 [连接OB，OC，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，
∵OM⊥BC，
∴BM＝MC＝BC，∠BOM＝∠BOC＝30°，
∴BM＝BO，
根据勾股定理得，BO2－BM2＝OM2，
即BO2－＝()2，
解得BO＝2(负值舍去)，
∴BC＝BO＝2 mm，
∴S△BOC＝BC·OM＝×2×＝(mm2)，
∴S六边形ABCDEF＝6S△BOC＝6 (mm2)．
故答案为6．]
7．(2024·新泰期中)已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，半径AO＝2，则扇形COD的面积为________．
[∵点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴＝＝，
∴∠COD＝60°，
∴扇形COD的面积为＝．
故答案为．]
8．(人教版九上例题)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (结果保留小数点后两位)．
[解] 如图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC．
∵ OC＝0.6 m，DC＝0.3 m，
∴ OD＝OC － DC＝0.3(m)．
∴ OD＝DC．
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线．
∴AC＝AO＝OC．
从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．
在Rt△AOD中，OA＝0.6 m，OD＝0.3 m，
∴AD＝＝ m．
∴AB＝2AD＝ m．
∴截面上有水部分的面积S＝S扇形AOB －SΔOAB
＝×0.62－AB·OD
＝0.12π－×0.3≈0.22(m2)．
9．[易错题](2024·泰山模拟)如图是一个机器零件的三视图，根据标注的尺寸，这个零件的全面积(单位：mm2)是( )
A．24π B．21π
C．20π D．16π
A [根据其三视图可以判断该几何体为圆锥，且底面半径为3，高为4，∴母线长为5，
∴其全面积为π×32＋π×3×5＝24π．
故选A．]
10．如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为( )
A．π B．π
C．π D．π
A [
连接AC，AF，
由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴DE＝BC＝AD，
在Rt△ADE中，DE＝AD，
∴∠DAE＝45°，AE＝＝3，
∴∠EAB＝90°－45°＝45°，即旋转角为45°，
∴∠FAC＝45°，
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝9，
∴的长为＝π．
故选A．]
11．(2024·肥城一模)如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，以B为圆心、BC长为半径画弧AC，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为( )
A．π－2＋2 B．π－2－2
C．8π D．8π－6－6
B [连接AC，延长AP，交BC于点E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝4，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
∴△APB≌△APC(SSS)，
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝2，
∵△BPC为等腰直角三角形，
∴PE＝BC＝2，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝2，
∴AP＝2－2，
∴S阴影＝S扇形ABC－S△PAB－S△PBC＝×(2－2)×2－×4×2＝π－2－2．
故选B．]
12．(2024·泰山一模)如图所示，已知圆O的半径OA＝6，以OA为边分别作正五边形OABCD和正六边形OAEFGH，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)．
π [由题意得，
∠AOD＝＝108°，
∠AOH＝＝120°，
∴∠DOH＝∠AOH－∠AOD＝120°－108°＝12°，
∴阴影部分的面积为＝π．
故答案为π．]
13．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是________．
4 039π [由题图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径＋1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn－1＝AAn＝4(n－1)＋1，BAn＝BBn＝4(n－1)＋2，
故的半径为BA2 020＝BB2 020＝4(2 020－1)＋2＝的长为×8 078π＝4 039π．
故答案为4 039π．]
14．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C，请在网格图中进行下列操作：
(1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为________；
(2)求出弓形ABC的面积．
[解] (1)①连接AB，BC，
②分别作AB，BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点D，
③点D就是所求的圆心．点D的坐标为D(2，1)．
故答案为D(2，1)．
(2)连接AD，AC，DC，
∵正方形网格单位长度为1，
∴AD＝，DC＝，AC＝，
∵AD2＋DC2＝13＋13＝26＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
S弓形＝S扇形ADC－S△ADC＝×13＝．
15．[跨学科](2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线长均为7 cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示的漏斗中．
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．(结果保留π)
[解] (1)滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下，
法一：如图作出示意图，由题意知，AB＝AC＝BC＝7 cm，
折叠后CD＝CE＝×10＝5(cm)，
∵底面周长为×10π＝5π(cm)，
∴DE·π＝5π，
∴DE＝5 (cm)，
∴＝＝，
∴△CDE∽△CAB，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．
法二：由2πr＝，得＝，
图1中，n1＝90°×2＝180°，
图2中，＝＝，
∴n2＝180°，
∵n1＝n2，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．
(2)由(1)知CD＝DE＝CE＝5 cm，
∴∠CDE＝60°，
过C作CF⊥DE于点F，则DF＝DE＝ cm，
在Rt△CDF中，CF＝＝ cm，
∴V＝π·＝π(cm3)．
∴圆锥形的体积是π(cm3)．
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