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第四节 二次函数的图象与性质
链接教材 基础过关
考点一 二次函数的概念
一般的，形如_______________(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．
y＝ax2＋bx＋c
考点二 二次函数的图象与性质
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
a>0 a<0
图象
开口方向 向__ 向__
顶点坐标
上
下
a>0 a<0
对称轴 直线x＝______
增减性
最值
减小
增大
增大
减小
小
大
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小：
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下
a，b
左
右
c 决定抛物线与____交点的位置：
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在______上；
当c＝0时，抛物线经过____；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在______上
b2－4ac 决定抛物线与____的交点个数：
当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有__个交点；
当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有__个交点；
当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴__交点
y轴
正半轴
原点
负半轴
x轴
2
1
无
考点三 二次函数的表达式与平移
1．二次函数的表达式
(1)一般式：______________(a，b，c为常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是______，对称轴是________．
(3)交点式：若已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
y＝ax2＋bx＋c
(h，k)
直线x＝h
2．抛物线的平移
抛物线平移前后的形状不变，开口方向和大小都不变，抛物线平移前后的顶点遵循“左__右__，上__下__”的规律．
加
减
加
减
考点四 二次函数与一元二次方程及不等式
1．二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当Δ＝b2－4ac__0时，方程有两个不等的实数根；
当Δ＝b2－4ac__0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac__0时，方程无实数根．
>
＝
<
2．二次函数与不等式
抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分点的纵坐标都为正，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
√
2．(鲁教版九上P84做一做改编)已知函数y＝a(x－h)2＋k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是( )
√
D [∵y＝a(x－h)2＋k，a＜0，
∴图象开口向下，A、B选项错误；
∵对称轴为直线x＝h＞0，顶点坐标(h，k)，k＜0，
∴C选项错误，D选项正确．
故选D．]
3．二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴交点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
√
C [∵b2－4ac＝32－4×2×1＝1＞0，
∴二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴有两个不同的交点．
故选C．]
4．(鲁教版九上P93例3改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝10；当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝7．则y与x之间的关系是________________．
y＝2x2－3x＋5
5．若A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是_________________．
y2＜y1＜y3 [∵A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，
∴y1＝1－4－5＝－8，y2＝4－8－5＝－9，y3＝1＋4－5＝0，
∵－9＜－8＜0，∴y2＜y1＜y3．]
y2＜y1＜y3
考点突破 对点演练
√
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c＝2，
∴a－b＋2＜0，
∴b－a＞2，故④错误．
故选B．]
[对点演练]
1．(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )
√
C [对于A，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，故A错误；
对于B，∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，故B错误；
对于C，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，故C正确；
对于D，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，故D错误．故选C．]
x －2 －1 0 1
y 0 4 6 6
√
3．(2021·泰安)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，图象过点(3，0)，对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2＋bx＋c＋1＝0有实数根．其中正确的为________(将所有正确结论的序号都填入)．
②④
∵抛物线与x轴的交点(3，0)，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，即②正确；
由图象无法判断y的最大值，故③错误；
方程ax2＋bx＋c＋1＝0的实数根的个数，可看作二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝－1的图象的交点个数，
由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2＋bx＋c＋1＝0有2个不相等的实数根，故④正确．
故答案为②④．]
【教师备选资源】
1．(2023·泰安)二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是 ________．
2．(2020·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：
①a＞0；
②当x＝－2时，函数最小值为－6；
③若点(－8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2＋bx＋c＝－5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)
x －5 －4 －2 0 2
y 6 0 －6 －4 6
①③④
B [y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x)＋3＝－[(x＋1)2－1]＋3＝－(x＋1)2＋4，
∵将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线表达式为y＝－x2＋2，
当x＝－2时，y＝－(－2)2＋2＝－2，故(－2，2)不在此抛物线上，故A选项不合题意；
命题点2 二次函数图象的平移
【典例2】 (2021·泰安)将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过( )
A．(－2，2) B．(－1，1)
C．(0，6) D．(1，－3)
√
当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2＝1，故(－1，1)在此抛物线上，故B选项符合题意；
当x＝0时，y＝－02＋2＝2，故(0，6)不在此抛物线上，故C选项不合题意；
当x＝1时，y＝－12＋2＝1，故(1，－3)不在此抛物线上，故D选项不合题意．
故选B．]
归纳总结 解决抛物线的平移问题，一般有两种解决方法，一是将问题转化为顶点的平移问题解决；二是直接利用抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解决．
[对点演练]
1．(2024·内蒙古包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为( )
A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2
C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2
√
A [y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝(x＋1)2－3．故选A．]
2．(2024·四川内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1________y2(填“＞”或“＜”)．
＜ [∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2，
∵点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，∴y1＝9，y2＝16，
∴y1＜y2．]
＜
(2)由题意，∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度，
∴平移后的点为(1－m，9)．
又(1－m，9)在y＝x2＋x＋3的图象上，
∴9＝(1－m)2＋(1－m)＋3．
∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4．
归纳总结 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其表达式为交点式来求解．
[对点演练]
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1，3)，当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线表达式可以是( )
A．y＝－2(x＋1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝2(x－1)2＋3
D [根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为(1，3)，根据抛物线的顶点式，故选D．]
√
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，则该二次函数的表达式是__________________．
y＝－x2＋2x＋3 [根据题意设抛物线表达式为
y＝a(x＋1)(x－3)，
将点C(0，3)代入，得－3a＝3，
解得a＝－1，
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．]
y＝－x2＋2x＋3
3．(北师大版九下例题)已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
题号
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课时分层评价卷(十二) 二次函数的图象与性质
√
题号
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√
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√
D [根据二次函数图象，当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．故选D．]
题号
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5．[新定义问题](2024·四川眉山)定义运算：a b＝(a＋2b)(a－b)，例如4 3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1) 2的最小值为( )
A．－21 B．－9 C．－7 D．－5
√
B [由题意得，
y＝(x＋1) 2＝(x＋1＋2×2)(x＋1－2)＝(x＋5)(x－1)，
即y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，
∴函数y＝(x＋1) 2的最小值为－9．故选B．]
题号
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6．(2024·四川达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是( )
A．b＋c＞1 B．b＝2
C．b2＋4c＜0 D．c＜0
√
题号
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A [∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，分别设为(x1，0)和(x2，0)，且x1＜1，
∴x1－1＜0，x2－1＞0，
∴(x1－1)(x2－1)＜0，
∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，
由根与系数的关系可得，－c－b＋1＜0，
∴b＋c＞1．
故选A．]
题号
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7．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是( )
A．a＜0 B．c＜0
C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0
√
题号
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C [由题意，∵抛物线顶点坐标为(－1，－2)，
∴可设抛物线为y＝a(x＋1)2－2．
∴y＝a(x2＋2x＋1)－2＝ax2＋2ax＋a－2．
又抛物线为y＝ax2＋bx＋c，∴b＝2a，c＝a－2．
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＝a－2＞0．∴a＞2＞0，故A，B均不正确．
又抛物线的顶点为(－1，－2)，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝－2，故C正确．
由b＝2a，c＝a－2，
∴b2－4ac＝4a2－4a(a－2)＝8a＞0，故D错误．故选C．]
题号
1
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8．[图表信息题](2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴为直线x＝1
√
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
题号
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令y＝0，得－x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)．
又因为抛物线的顶点坐标为(1，1)，
所以抛物线经过第一、三、四象限，
故C选项不符合题意．
因为二次函数表达式为y＝－(x－1)2＋1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，
故D选项符合题意．故选D．]
题号
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9．(2024·滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ________．
(1，2) [将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，抛物线表达式为y＝－(x－1)2＋2，
∴顶点坐标为(1，2)．]
(1，2)
题号
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10．在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx＋2上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
(1)当m＝2，n＝－4时，求抛物线的表达式；
(2)当m＝n时，求t的值．
题号
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11．(2024·江苏扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点．
(1)求b，c的值；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的
面积为6，求点P的坐标．
题号
1
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题号
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B [∵抛物线开口向上，
∴a＞0，∵对称轴为直线x＝－1＜0，a，b同号，
∴b＞0，∵与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－3)之间，
∴－3＜c＜－2＜0，∴abc＜0，故①不正确；
∵对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，
∴与x轴交于另一点(－3，0)，
∵x＝－3，y＝9a－3b＋c＝0，故②不正确；
题号
1
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13．(2024·四川南充)已知抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与x轴交于两点A，B(A在B的左侧)，抛物线C2：y＝x2＋nx＋n(m≠n)与x轴交于两点C，D(C在D的左侧)，且AB＝CD．下列四个结论：
①C1与C2交点为(－1，1)；②m＋n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于(－1，0)对称．其中正确的结论是 ___________．(填写序号)
①②④
题号
1
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①②④ [令x2＋mx＋m＝x2＋nx＋n，解得x＝－1，
把x＝－1代入y＝x2＋mx＋m，得y＝1，
∴C1与C2交点为(－1，1)，故①正确；
∵抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与抛物线C2：y＝x2＋nx＋n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，
∴两抛物线关于直线x＝－1对称，
∴A，D两点关于(－1，0)对称，故④正确；
题号
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14．(2024·山东)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
(1)求m的值；
(2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)．若4＜x2－x1＜6，求a的取值范围．
题号
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(2)∵点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上，
∴a－2a－3＝－4，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1，
∵0≤x≤4，∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为(4－1)2＋1＝10．
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
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15第四节 二次函数的图象与性质
考点一 二次函数的概念
一般的，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．
考点二 二次函数的图象与性质
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴 直线x＝
增减性 当x<－时，y随x的增大而减小；当x>－时，y随x的增大而增大 当x<－时，y随x的增大而增大；当x>－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小： 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下
a，b 决定对称轴的位置： 当a，b同号时，－＜0，对称轴在y轴左侧； 当b＝0时，－＝0，对称轴为y轴； 当a，b异号时，－＞0，对称轴在y轴右侧
c 决定抛物线与y轴交点的位置： 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数： 当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； 当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； 当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴无交点
考点三 二次函数的表达式与平移
1．二次函数的表达式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h．
(3)交点式：若已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．抛物线的平移
抛物线平移前后的形状不变，开口方向和大小都不变，抛物线平移前后的顶点遵循“左加右减，上加下减”的规律．
考点四 二次函数与一元二次方程及不等式
1．二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac<0时，方程无实数根．
2．二次函数与不等式
抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分点的纵坐标都为正，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝－2x2＋1 D．y＝(x－1)2－x2
C [A．y＝x－1是一次函数，错误；
B．y＝是反比例函数，错误；
C．y＝－2x2＋1是二次函数，正确；
D．y＝(x－1)2－x2＝－2x＋1，是一次函数，错误．
故选C．]
2．(鲁教版九上P84做一做改编)已知函数y＝a(x－h)2＋k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是( )
A． B．
C． D．
D [∵y＝a(x－h)2＋k，a＜0，
∴图象开口向下，A、B选项错误；
∵对称轴为直线x＝h＞0，顶点坐标(h，k)，k＜0，
∴C选项错误，D选项正确．
故选D．]
3．二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴交点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
C [∵b2－4ac＝32－4×2×1＝1＞0，
∴二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴有两个不同的交点．
故选C．]
4．(鲁教版九上P93例3改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝10；当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝7．则y与x之间的关系是__________．
y＝2x2－3x＋5 [根据题意，得
解得
所以y与x之间的关系为y＝2x2－3x＋5．]
5．若A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是________．
y2＜y1＜y3 [∵A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，
∴y1＝1－4－5＝－8，
y2＝4－8－5＝－9，
y3＝1＋4－5＝0，
∵－9＜－8＜0，
∴y2＜y1＜y3．]
命题点1 二次函数的图象与性质
【典例1】 (2024·泰安)如图所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a＋b＝0；②方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根在－2和－1之间；③方程ax2＋bx＋c－＝0一定有两个不相等的实数根；④b－a＜2．其中，正确结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B [∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴－＝1，
∴b＝－2a，
∴2a＋b＝0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2和3之间，
∴与x轴的另一个交点在－1和0之间，
∴方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根在－1和0之间，故②错误；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝有两个交点，
∴方程ax2＋bx＋c－＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在－1和0之间，
∴a－b＋c＜0，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴c＝2，
∴a－b＋2＜0，
∴b－a＞2，故④错误．
故选B．]
解答有关二次函数图象与性质的问题时，要抓住抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向，与x轴、y轴的交点，特殊点，对称点等；通常采用把已知点坐标代入函数表达式中找出a，b，c间的关系；通过对称轴x＝－，确定a，b之间的关系；判断与x轴的交点情况则利用判别式b2－4ac进行判断．
[对点演练]
1．(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )
A． B．
C． D．
C [对于A，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，
故A错误；
对于B，∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，
故B错误；
对于C，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，
故C正确；
对于D，∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数图象交于y轴负半轴的同一点，
故D错误．
故选C．]
2．(2022·泰安)抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表：
x －2 －1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0)
D．函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为
C [由表格可得解得
∴y＝－x2＋x＋6＝－＋
＝(－x＋3)(x＋2)，
∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意；
当y＝0时，解得x＝3或x＝－2，∴抛物线与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)，故选项C错误，符合题意；
函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为，故选项D正确，不符合题意．
故选C．]
3．(2021·泰安)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，图象过点(3，0)，对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2＋bx＋c＋1＝0有实数根．其中正确的为 ________(将所有正确结论的序号都填入)．
②④ [∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝－＝1，∴b＝－2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的交点(3，0)，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝0，即②正确；
由图象无法判断y的最大值，故③错误；
方程ax2＋bx＋c＋1＝0的实数根的个数，可看作二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝－1的图象的交点个数，
由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2＋bx＋c＋1＝0有2个不相等的实数根，故④正确．
故答案为②④．]
【教师备选资源】
1．(2023·泰安)二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是 ________．
[y＝－x2－3x＋4＝－＋．
∵a＝－1＜0，
∴当x＝－时，y取得最大值，最大值是．]
2．(2020·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：
x －5 －4 －2 0 2
y 6 0 －6 －4 6
下列结论：
①a＞0；
②当x＝－2时，函数最小值为－6；
③若点(－8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2＋bx＋c＝－5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)
①③④ [将(－4，0)，(0，－4)，(2，6)代入
y＝ax2＋bx＋c，得
解得
∴二次函数的表达式为y＝x2＋3x－4，
a＝1＞0，因此①正确；
对称轴为直线x＝－，即当x＝－时，函数的值最小，因此②不正确；
把(－8，y1)，(8，y2)代入关系式得，y1＝64－24－4＝36，y2＝64＋24－4＝84，因此③正确；
方程ax2＋bx＋c＝－5，也就是x2＋3x－4＝－5，即方程x2＋3x＋1＝0，由b2－4ac＝9－4＝5＞0，可得x2＋3x＋1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确．
故正确的结论有①③④．]
命题点2 二次函数图象的平移
【典例2】 (2021·泰安)将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过( )
A．(－2，2) B．(－1，1)
C．(0，6) D．(1，－3)
B [y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x)＋3
＝－[(x＋1)2－1]＋3
＝－(x＋1)2＋4，
∵将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
∴得到的抛物线表达式为y＝－x2＋2，
当x＝－2时，y＝－(－2)2＋2＝－2，故(－2，2)不在此抛物线上，故A选项不合题意；
当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2＝1，故(－1，1)在此抛物线上，故B选项符合题意；
当x＝0时，y＝－02＋2＝2，故(0，6)不在此抛物线上，故C选项不合题意；
当x＝1时，y＝－12＋2＝1，故(1，－3)不在此抛物线上，故D选项不合题意．
故选B．]
解决抛物线的平移问题，一般有两种解决方法，一是将问题转化为顶点的平移问题解决；二是直接利用抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解决．
[对点演练]
1．(2024·内蒙古包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为( )
A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2
C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2
A [y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y＝(x＋1)2－3．
故选A．]
2．(2024·四川内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1________y2(填“＞”或“＜”)．
＜ [∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C的函数关系式为y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2，
∵点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，∴y1＝9，y2＝16，
∴y1＜y2．]
命题点3 待定系数法求二次函数表达式
【典例3】 (2024·浙江)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值；
(3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
[解] (1)由题意，∵二次函数为y＝x2＋bx＋c，
∴对称轴为直线x＝－＝－．
∴b＝1．∴y＝x2＋x＋c．
又图象经过点A(－2，5)，
∴4－2＋c＝5．
∴c＝3．
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3．
(2)由题意，∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度，
∴平移后的点为(1－m，9)．
又(1－m，9)在y＝x2＋x＋3的图象上，
∴9＝(1－m)2＋(1－m)＋3．
∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4．
(3)由题意，当n<－时，
最大值与最小值的差为5－＝，
∴n＝－，不符合题意，舍去；
当－≤n≤1 时，
最大值与最小值的差为5－＝，符合题意；
当n＞1时，最大值与最小值的差为＋＝，解得 n1＝1 或 n2＝－2，不符合题意．
综上所述，n的取值范围为－≤n≤1．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其表达式为交点式来求解．
[对点演练]
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1，3)，当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线表达式可以是( )
A．y＝－2(x＋1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝2(x－1)2＋3
D [根据题意可知抛物线开口向上，又知顶点为(1，3)，根据抛物线的顶点式，故选D．]
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，则该二次函数的表达式是 ________．
y＝－x2＋2x＋3 [根据题意设抛物线表达式为
y＝a(x＋1)(x－3)，
将点C(0，3)代入，得－3a＝3，
解得a＝－1，
∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．]
3．(北师大版九下例题)已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
[解] 将点(2，3)和(－1，－3)的坐标分别代入表达式y＝ax2＋c，得
解这个方程组，得
所以所求二次函数表达式为y＝2x2－5．
课时分层评价卷(十二) 二次函数的图象与性质
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．下列函数中，是y关于x的二次函数的是( )
A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝x(x－1)
C．y＝ D．y＝(x－2)2－x2
B [A．当a＝0时，y＝bx＋c不是二次函数；
B．y＝x(x－1)＝x2－x是二次函数；
C．y＝不是二次函数；
D．y＝(x－2)2－x2＝－4x＋4为一次函数．
故选B．]
2．[易错题](2024·四川凉山州)抛物线y＝(x－1)2＋c经过(－2，y1)，(0，y2)，三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1
C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
D [∵y＝(x－1)2＋c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵关于直线x＝1的对称点是，
－2<－<0＜1，
∴y1＞y3＞y2．
故选D．]
3．(2024·四川泸州)已知二次函数y＝ax2＋(2a－3)x＋a－1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为( )
A．1≤a< B．0＜a<
C．0＜a< D．1≤a<
A [∵图象经过第一、二、四象限，
∴a－1≥0，Δ＝(2a－3)2－4a(a－1)＞0，
解得1≤a<，
∴a的取值范围为1≤a<．
故选A．]
4．函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝的图象如图所示，当y1，y2均随着x的增大而减小时，x的取值范围是( )
A．x＜－1
B．－1＜x＜0
C．0＜x＜2
D．x＞1
D [根据二次函数图象，当x＞1时，y1随着x的增大而减小，同样当x＞1时，反比例函数y2随着x的增大而减小．故选D．]
5．[新定义问题](2024·四川眉山)定义运算：a b＝(a＋2b)(a－b)，例如4 3＝(4＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1) 2的最小值为( )
A．－21 B．－9 C．－7 D．－5
B [由题意得，y＝(x＋1) 2＝(x＋1＋2×2)(x＋1－2)＝(x＋5)(x－1)，
即y＝x2＋4x－5＝(x＋2)2－9，
∴函数y＝(x＋1) 2的最小值为－9．
故选B．]
6．(2024·四川达州)抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是( )
A．b＋c＞1 B．b＝2
C．b2＋4c＜0 D．c＜0
A [∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，分别设为(x1，0)和(x2，0)，且x1＜1，
∴x1－1＜0，x2－1＞0，
∴(x1－1)(x2－1)＜0，
∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，
由根与系数的关系可得，－c－b＋1＜0，
∴b＋c＞1．
故选A．]
7．(2024·湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是( )
A．a＜0 B．c＜0
C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0
C [由题意，∵抛物线顶点坐标为(－1，－2)，
∴可设抛物线为y＝a(x＋1)2－2．
∴y＝a(x2＋2x＋1)－2＝ax2＋2ax＋a－2．
又抛物线为y＝ax2＋bx＋c，
∴b＝2a，c＝a－2．
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＝a－2＞0．
∴a＞2＞0，故A，B均不正确．
又抛物线的顶点为(－1，－2)，
∴当x＝－1时，y＝a－b＋c＝－2，故C正确．
由b＝2a，c＝a－2，
∴b2－4ac＝4a2－4a(a－2)＝8a＞0，故D错误．
故选C．]
8．[图表信息题](2024·陕西)已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴为直线x＝1
D [由题知解得
所以二次函数的表达式为y＝－x2＋2x．
因为a＝－1＜0，
所以抛物线的开口向下，
故A选项不符合题意．
因为y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小，
故B选项不符合题意．
令y＝0，得－x2＋2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2，0)．
又因为抛物线的顶点坐标为(1，1)，
所以抛物线经过第一、三、四象限，
故C选项不符合题意．
因为二次函数表达式为y＝－(x－1)2＋1，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，
故D选项符合题意．
故选D．]
9．(2024·滨州)将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ________．
(1，2) [将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，抛物线表达式为y＝－(x－1)2＋2，
∴顶点坐标为(1，2)．]
10．在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx＋2上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
(1)当m＝2，n＝－4时，求抛物线的表达式；
(2)当m＝n时，求t的值．
[解] (1)把点(1，2)，(3，－4)代入y＝ax2＋bx＋2，得
解得
所以抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2．
(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2过点(1，m)和(3，n)，m＝n，
∴两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝t，
∴t＝2．
11．(2024·江苏扬州)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)两点．
(1)求b，c的值；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标．
[解] (1)把A(－2，0)，B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
(2)由(1)知，二次函数表达式为y＝－x2－x＋2，
设点P坐标为(m，－m2－m＋2)，
∵△PAB的面积为6，AB＝1－(－2)＝3，
∴S△PAB＝AB·|yP|＝×3×|－m2－m＋2|＝6，
∴|m2＋m－2|＝4，
即m2＋m－2＝4或m2＋m－2＝－4，
解得m＝－3或m＝2，
∴P(－3，－4)或P(2，－4)．
12．(2024·四川遂宁)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)，(0，－3)之间(不含端点)，则下列结论正确的个数为( )
①abc＞0；
②9a－3b＋c＞0；
③
④若方程ax2＋bx＋c＝x＋1两根为m，n(m＜n)，则－3＜m＜1＜n．
A．1 B．2
C．3 D．4
B [∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝－1＜0，a，b同号，
∴b＞0，
∵与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－3)之间，
∴－3＜c＜－2＜0，
∴abc＜0，
故①不正确；
∵对称轴为直线x＝－1，且该抛物线与x轴交于点A(1，0)，
∴与x轴交于另一点(－3，0)，
∵x＝－3，y＝9a－3b＋c＝0，
故②不正确；
由题意可得，方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝－3，
∵x1·x2＝，即c＝－3a，
又∵－3＜c＜－2，
∴－3＜－3a＜－2，
因此故③正确；
若方程ax2＋bx＋c＝x＋1两根为m，n(m＜n)，则直线y＝x＋1与抛物线的交点的横坐标为m，n，
∵直线y＝x＋1过一、二、三象限，且过点(－1，0)，
∴直线y＝x＋1与抛物线的交点在第一、第三象限，
由图象可知－3＜m＜1＜n．
故④正确．
综上所述，正确的结论有③④．
故选B．]
13．(2024·四川南充)已知抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与x轴交于两点A，B(A在B的左侧)，抛物线C2：y＝x2＋nx＋n(m≠n)与x轴交于两点C，D(C在D的左侧)，且AB＝CD．下列四个结论：
①C1与C2交点为(－1，1)；②m＋n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于(－1，0)对称．其中正确的结论是 ________．(填写序号)
①②④ [令x2＋mx＋m＝x2＋nx＋n，解得x＝－1，
把x＝－1代入y＝x2＋mx＋m，得y＝1，
∴C1与C2交点为(－1，1)，故①正确；
∵抛物线C1：y＝x2＋mx＋m与抛物线C2：y＝x2＋nx＋n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，
∴两抛物线关于直线x＝－1对称，
∴A，D两点关于(－1，0)对称，故④正确；
－＝－2，
∴m＋n＝4，故②正确；
∵点A，B是抛物线C1与x轴的两个交点，∴令y＝0，得x2＋mx＋m＝0有两个不等实根，∴Δ＝m2－4m>0，解得m<0或m>4，同理n2－4n>0，解得n<0或n>4，由②知m＋n＝4，m＝4－n，当n<0时，m>4，mn<0；当n>4时，m<0，mn<0，故③错误．]
14．(2024·山东)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
(1)求m的值；
(2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)．若4＜x2－x1＜6，求a的取值范围．
[解] (1)∵点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，
∴4a＋2b－3＝－3，
解得b＝－2a，
∴抛物线为y＝ax2－2ax－3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，
∴m＝1．
(2)∵点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上，
∴a－2a－3＝－4，
解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为(4－1)2＋1＝10．
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11．
(3)∵y＝ax2－2ax－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)．
∴x1＋x2＝2，x1·x2＝－，
∵x2－x1＝，
∴x2－x1＝＝2，
∵4＜x2－x1＜6，
∴4<2<6，
即2<<3，
解得15．[新定义问题](2024·上海)对于一个二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中存在一点P(x′，y′)，使得x′－m＝y′－k≠0，则称2|x′－m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y＝－x2＋x＋3“开口大小”为 ________．
4 [∵抛物线y＝－x2＋x＋3＝－＋，
∴x′－＝－＋，
解得x′－＝－2，
∴抛物线y＝－x2＋x＋3“开口大小”为2＝2×|－2|＝4．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第四节 二次函数的图象与性质
考点一 二次函数的概念
一般的，形如________(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．
考点二 二次函数的图象与性质
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
a>0 a<0
图象
开口方向 向________ 向________
顶点坐标 ______________
对称轴 直线x＝_______
增减性 当x<－时，y随x的增大而________；当x>－时，y随x的增大而________ 当x<－时，y随x的增大而________；当x>－时，y随x的增大而________
最值 当x＝－时，y有最________值 当x＝－时，y有最________值
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小： 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下
a，b 决定对称轴的位置： 当a，b同号时，－＜0，对称轴在y轴________侧； 当b＝0时，－＝0，对称轴为y轴； 当a，b异号时，－＞0，对称轴在y轴________侧
c 决定抛物线与________交点的位置： 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在________上； 当c＝0时，抛物线经过________； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在________上
b2－4ac 决定抛物线与________的交点个数： 当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有________个交点； 当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有________个交点； 当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴________交点
考点三 二次函数的表达式与平移
1．二次函数的表达式
(1)一般式：________(a，b，c为常数，a≠0)．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是________，对称轴是________．
(3)交点式：若已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．抛物线的平移
抛物线平移前后的形状不变，开口方向和大小都不变，抛物线平移前后的顶点遵循“左________右________，上________下________”的规律．
考点四 二次函数与一元二次方程及不等式
1．二次函数与一元二次方程
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
当Δ＝b2－4ac________0时，方程有两个不等的实数根；
当Δ＝b2－4ac________0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac________0时，方程无实数根．
2．二次函数与不等式
抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分点的纵坐标都为正，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝
C．y＝－2x2＋1 D．y＝(x－1)2－x2
2．(鲁教版九上P84做一做改编)已知函数y＝a(x－h)2＋k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是( )
A． B．
C． D．
3．二次函数y＝2x2＋3x＋1的图象与x轴交点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
4．(鲁教版九上P93例3改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝10；当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝7．则y与x之间的关系是__________．
5．若A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是________．
命题点1 二次函数的图象与性质
【典例1】 (2024·泰安)如图所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a＋b＝0；②方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根在－2和－1之间；③方程ax2＋bx＋c－＝0一定有两个不相等的实数根；④b－a＜2．其中，正确结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[听课记录]
解答有关二次函数图象与性质的问题时，要抓住抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向，与x轴、y轴的交点，特殊点，对称点等；通常采用把已知点坐标代入函数表达式中找出a，b，c间的关系；通过对称轴x＝－，确定a，b之间的关系；判断与x轴的交点情况则利用判别式b2－4ac进行判断．
[对点演练]
1．(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )
A． B．
C． D．
2．(2022·泰安)抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表：
x －2 －1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0)
D．函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为
3．(2021·泰安)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，图象过点(3，0)，对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2＋bx＋c＋1＝0有实数根．其中正确的为 ________(将所有正确结论的序号都填入)．
命题点2 二次函数图象的平移
【典例2】 (2021·泰安)将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过( )
A．(－2，2) B．(－1，1)
C．(0，6) D．(1，－3)
[听课记录]
解决抛物线的平移问题，一般有两种解决方法，一是将问题转化为顶点的平移问题解决；二是直接利用抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”解决．
[对点演练]
1．(2024·内蒙古包头)将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为( )
A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x＋1)2－2
C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x－1)2－2
2．(2024·四川内江)已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1________y2(填“＞”或“＜”)．
命题点3 待定系数法求二次函数表达式
【典例3】 (2024·浙江)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值；
(3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
[听课记录]
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其表达式为交点式来求解．
[对点演练]
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是(1，3)，当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线表达式可以是( )
A．y＝－2(x＋1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝2(x－1)2＋3
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点，则该二次函数的表达式是 ________．
3．(北师大版九下例题)已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
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