第一节 平面直角坐标系及函数初步
考点一 平面直角坐标系
1．在平面内，两条互相________且有公共________的数轴组成平面直角坐标系．
2．各象限点的坐标的符号特征：第一象限(＋，＋)；第二象限________；第三象限________；第四象限________．
3．坐标轴上点的特征：x轴上的点，________为0；y轴上的点，________为0；原点的坐标为________．
4．成对称的点的坐标特征：
(1)关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标________，纵坐标________．
(2)关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标________，横坐标________．
(3)关于原点对称的两个点的坐标，横坐标________，纵坐标________．
考点二 函数及有关概念
1．函数的定义：一般的，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有________的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是________，y是因变量．
2．函数的三种表示方法：________、________和________．
考点三 函数的图象
1．画函数图象的一般步骤：________、________、________．
2．分析实际问题判断函数图象的方法
(1)找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
(2)找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
(3)判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向．
3．以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法
设时间为t(或线段长为x)，找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象．要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围．
1．(鲁教版七上P126随堂练习T1改编)已知点P的坐标为(－2，3)，则点P所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．在平面直角坐标系中，第四象限的点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点P的坐标为( )
A．(－3，5) B．(－5，3)
C．(5，－3) D．(3，－5)
3．下图中，y不是x的函数的是( )
A． B．
C． D．
4．(鲁教版七上P145想一想改编)函数y＝中自变量x的取值范围是________．
命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
【典例1】 (2024·滨州)若点P(1－2a，a)在第二象限，那么a的取值范围是( )
A．a> B．a<
C．0
[听课记录]
解此类题的关键是掌握平面直角坐标系内四个象限及两坐标轴上点的坐标特征，能根据坐标特征列方程或不等式，从而求得有关字母的取值或取值范围．
【典例2】 (2023·泰安)已知△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，……都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2 023的坐标是________．
[听课记录]
[对点演练]
1．(2024·广西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为( )
A．(3，0)
B．(0，2)
C．(3，2)
D．(1，2)
2．[规律探究题](2024·黑龙江绥化)如图，已知A1(1，－)，A2(3，－)，A3(4，0)，A4(6，0)，A5(7，)，A6(9，)，A7(10，0)，A8(11，－)，…，依此规律，则点A2 024的坐标为________．
命题点2 函数自变量的取值范围
【典例3】 (2024·黑龙江齐齐哈尔)在函数y＝中，自变量x的取值范围是______________________．
[听课记录]
表达式的类型 自变量的取值范围
整式 全体实数
分式 使分母不为零
二次根式 使被开方数为非负数
零指数幂或负指数幂 使底数不为零
由整式、分式或二次根式等综合得到的代数式 使它们均有意义
[对点演练]
1．(2024·四川内江)在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ________．
2．(沪科版八上例题)求下列函数中自变量x的取值范围：
命题点3 函数图象的分析与判断
【典例4】 (2024·江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( )
A． B．
C． D．
[对点演练]
1．(2024·四川广安)向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y(单位：帕)，时间为x(单位：秒)，则y关于x的函数图象大致为( )
A． B．
C． D．
2．[跨学科](2024·青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为0
C．絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54%
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第三章 函数
第一节 平面直角坐标系及函数初步
第三章 函数
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考点一 平面直角坐标系
1．在平面内，两条互相____且有公共____的数轴组成平面直角坐标系．
2．各象限点的坐标的符号特征：第一象限(＋，＋)；第二象限__________；第三象限__________；第四象限__________．
3．坐标轴上点的特征：x轴上的点，______为0；y轴上的点，______为0；原点的坐标为_______．
垂直
原点
(－，＋)
(－，－)
(＋，－)
纵坐标
横坐标
(0，0)
4．成对称的点的坐标特征：
(1)关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标_______，纵坐标__________．
(2)关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标________，横坐标__________．
(3)关于原点对称的两个点的坐标，横坐标_____________，纵坐标__________．
相同
互为相反数
相同
互为相反数
互为相反数
互为相反数
考点二 函数及有关概念
1．函数的定义：一般的，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有____的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是______，y是因变量．
2．函数的三种表示方法：______、________和______．
唯一
自变量
列表法
关系式法
图象法
考点三 函数的图象
1．画函数图象的一般步骤：____、____、____．
2．分析实际问题判断函数图象的方法
(1)找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
(2)找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
(3)判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向．
列表
描点
连线
3．以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法
设时间为t(或线段长为x)，找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象．要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围．
1．(鲁教版七上P126随堂练习T1改编)已知点P的坐标为(－2，3)，则点P所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
B [∵点P的坐标为P(－2，3)，横坐标小于0，纵坐标大于0，∴点P在第二象限．故选B．]
2．在平面直角坐标系中，第四象限的点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点P的坐标为( )
A．(－3，5) B．(－5，3)
C．(5，－3) D．(3，－5)
√
C [∵第四象限的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，∴点P的横坐标是5，纵坐标是－3，
∴点P的坐标为(5，－3)．
故选C．]
3．下图中，y不是x的函数的是( )
√
D [D中，对于x的每一个取值，y有两个值，不符合函数的定义．故选D．]
x≤4且x≠3
考点突破 对点演练
√
归纳总结 解此类题的关键是掌握平面直角坐标系内四个象限及两坐标轴上点的坐标特征，能根据坐标特征列方程或不等式，从而求得有关字母的取值或取值范围．
【典例2】 (2023·泰安)已知△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，……都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2 023的坐标是_______________．
[对点演练]
1．(2024·广西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为( )
A．(3，0)
B．(0，2)
C．(3，2)
D．(1，2)
C [由题意可得，点Q的坐标为(3，2)．]
√
x＞－3且x≠－2 [由题意，得3＋x＞0且x＋2≠0，解得x＞－3且x≠－2．]
x＞－3且x≠－2
归纳总结
表达式的类型 自变量的取值范围
整式 全体实数
分式 使分母不为零
二次根式 使被开方数为非负数
零指数幂或负指数幂 使底数不为零
由整式、分式或二次根式等综合得到的代数式 使它们均有意义
x≠0 [分式的分母不为零．]
x≠0
[解] (1)x为全体实数．
(2)x为全体实数．
(3)x≠2．
(4)x≥3．
命题点3 函数图象的分析与判断
【典例4】 (2024·江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( )
C [温度计的温度升高到60度后温度不再变化．]
√
[对点演练]
1．(2024·四川广安)向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y(单位：帕)，时间为x(单位：秒)，则y关于x的函数图象大致为( )
√
B [因为根据图象可知，底层圆柱的直径较大，上层圆柱的直径较小，所以注水过程中，水压上升速度是先慢后快．故选B．]
2．[跨学科](2024·青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为0
C．絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54%
√
D [A．从图象上可以看到，加入絮凝剂的体积在0.5 mL达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；
B．未加入絮凝剂时，净水率为12.48%，故不符合题意，选项错误；
C．当絮凝剂的体积为0.3 mL时，净水率增加量为84.60%－76.54%＝8.06%，絮凝剂的体积为0.4 mL时，净水率增加量为86.02%－84.60%＝1.42%，故絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；
D．根据图象可得，加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54%，符合题意，选项正确．]
B [在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是(－1，4)．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
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11
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13
14
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共50分)
1．(2024·四川成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(－1，－4) B．(－1，4)
C．(1，4) D．(1，－4)
课时分层评价卷(九) 平面直角坐标系及函数初步
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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14
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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12
13
14
3．(2024·贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(－2，0)，(0，0)，则“技”所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
√
A [如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，故选A．]
4．(2024·四川凉山州)匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是( )
√
题号
1
3
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题号
1
3
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2
4
6
8
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14
C [因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小，
所以注水过程中水的高度变化是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
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√
题号
1
3
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14
A [根据函数图象可得A，B两地之间的距离为20 km，两车行驶了4小时，同时到达C地，如图所示，在1－2小时，两车同向运动，在第2小时，即点D时，两者距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发，
∴乙车休息了1小时，故D不正确；
题号
1
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题号
1
3
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x≠1
题号
1
3
5
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14
7．(2024·江西)在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ________．
(3，4)
(3，4) [将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
则点B的坐标为(1＋2，1＋3)，即(3，4)．]
题号
1
3
5
2
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8
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9
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15
(2，－1)(答案不唯一) [等式两边都乘xy，得x＋y＝1，
令x＝2，则y＝－1，
∴“美好点”的坐标为(2，－1)(答案不唯一)．]
(2，－1)(答案不唯一)
题号
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9．[情境题](2024·浙江)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 16：00～16：50 不分段 A档 4 000米
小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1 800米
第一次休息
第二段 B档 1 200米
第二次休息
第三段 C档 1 600米
题号
1
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(1)求A，B，C各档速度(单位：米/分)；
(2)求小丽两次休息时间的总和(单位：分)；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
[解] (1)由题意可知，A档速度为4 000÷50＝80(米/分)，
则B档速度为80＋40＝120(米/分)，
C档速度为120＋40＝160(米/分)．
答：A，B，C各档速度分别为80米/分、120米/分、160米/分．
题号
1
3
5
2
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6
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13
14
(2)小丽第一段跑步时间为1 800÷120＝15(分)，
小丽第二段跑步时间为1 200÷120＝10(分)，
小丽第三段跑步时间为1 600÷160＝10(分)，
则小丽两次休息时间的总和为50－10－15－10－10＝5(分)，
答：小丽两次休息时间的总和为5分钟．
(3)∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a－10－15－10－5＝a－40(分)，
∴80a＝3 000＋160(a－40)，∴a＝42.5．
题号
1
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14
10．[数学文化](2024·甘肃)如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为( )
A．y＝3x B．y＝4x
C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1
√
题号
1
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B [由题图可知，“回文”的桌面的总面积为4x(x＋y)，其中每张长桌的桌面面积为xy，每张中桌的桌面面积为3x2，每张小桌的桌面面积为2x2．根据题意，得2xy＋2×3x2＋3×2x2＝4x(x＋y)，解得y＝4x．故选B．]
题号
1
3
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2
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14
11．(2024·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2)．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为( )
A．(－4，－2)
B．(－4，2)
C．(2，4)
D．(4，2)
√
题号
1
3
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C [∵点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2)，
∴OA＝4，OC＝2．
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝2，∠ABC＝90°．
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝2，
∠OA′B′＝90°，∴A′B′⊥y轴，
∴点B′的坐标为(2，4)．故选C．]
题号
1
3
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2
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题号
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14
2 [由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，
∴∠MOH＝45°，
∴2a－1＝a＋1，
解得a＝2．]
题号
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13．[规律探究题](2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推．则点(1，4)经过2 024次运算后得到点 ________．
(2，1)
题号
1
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(2，1) [点(1，4)经过1次运算后得到点为(1×3＋1，4÷2)，即为(4，2)，
经过2次运算后得到点为(4÷2，2÷2)，即为(2，1)，
经过3次运算后得到点为(2÷2，1×3＋1)，即为(1，4)，
……
发现规律：点(1，4)经过3次运算后还是(1，4)，
∵2 024÷3＝674……2，
∴点(1，4)经过2 024次运算后得到点(2，1)．]
题号
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题号
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题号
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又∵－3＜a＜2，
∴a＝－2，－1，0，1，
当a＝－2时，2a－4＝－8，a＋3＝1，此时点P(－8，1)；
当a＝－1时，2a－4＝－6，a＋3＝2，此时点P(－6，2)；
当a＝0时，2a－4＝－4，a＋3＝3，此时点P(－4，3)；
当a＝1时，2a－4＝－2，a＋3＝4，此时点P(－2，4)．
∴“整点”P的个数是4个，
故选项B不正确；
题号
1
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14
根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P(－2，4)是“超整点”，
∴若点P为“超整点”，则点P的个数为1个，
故选项C正确；
当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：|－2|＋|4|＝6，
故选项D不正确．故选C．]第一节 平面直角坐标系及函数初步
考点一 平面直角坐标系
1．在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．
2．各象限点的坐标的符号特征：第一象限(＋，＋)；第二象限(－，＋)；第三象限(－，－)；第四象限(＋，－)．
3．坐标轴上点的特征：x轴上的点，纵坐标为0；y轴上的点，横坐标为0；原点的坐标为(0，0)．
4．成对称的点的坐标特征：
(1)关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
(2)关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
(3)关于原点对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
考点二 函数及有关概念
1．函数的定义：一般的，如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
2．函数的三种表示方法：列表法、关系式法和图象法．
考点三 函数的图象
1．画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
2．分析实际问题判断函数图象的方法
(1)找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
(2)找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
(3)判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向．
3．以几何图形(动点)为背景判断函数图象的方法
设时间为t(或线段长为x)，找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象．要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围．
1．(鲁教版七上P126随堂练习T1改编)已知点P的坐标为(－2，3)，则点P所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [∵点P的坐标为P(－2，3)，横坐标小于0，纵坐标大于0，∴点P在第二象限．故选B．]
2．在平面直角坐标系中，第四象限的点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，则点P的坐标为( )
A．(－3，5) B．(－5，3)
C．(5，－3) D．(3，－5)
C [∵第四象限的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，∴点P的横坐标是5，纵坐标是－3，
∴点P的坐标为(5，－3)．
故选C．]
3．下图中，y不是x的函数的是( )
A． B．
C． D．
D [D中，对于x的每一个取值，y有两个值，不符合函数的定义．故选D．]
4．(鲁教版七上P145想一想改编)函数y＝中自变量x的取值范围是________．
x≤4且x≠3 [根据题意，得
解得x≤4且x≠3．]
命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
【典例1】 (2024·滨州)若点P(1－2a，a)在第二象限，那么a的取值范围是( )
A．a> B．a<
C．0A [∵点P(1－2a，a)在第二象限，
∴解得a>．故选A．]
解此类题的关键是掌握平面直角坐标系内四个象限及两坐标轴上点的坐标特征，能根据坐标特征列方程或不等式，从而求得有关字母的取值或取值范围．
【典例2】 (2023·泰安)已知△OA1A2，△A3A4A5，△A6A7A8，……都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A2，A3，A5，…都在x轴正半轴上，且A2A3＝A5A6＝A8A9＝…＝1，则点A2 023的坐标是________．
(2 023，) [如图，过点A1，A4，A7，A10，A13，…，A2 023分别作x轴的垂线，
∵△A1A2O是边长为2的等边三角形，
∴OB＝BA2＝1，A1B＝＝，
∴点A1的横坐标为1，
由题意可得，点A2的横坐标为2，点A3的横坐标为3，点A4的横坐标为4，……，
因此点A2 023的横坐标为2 023．
∵点A1的纵坐标为，点A2，A3的纵坐标为0，
点A4的纵坐标为－，点A5，A6的纵坐标为0，
点A7的纵坐标为，……，
2 023÷6＝337……1，∴点A2 023的纵坐标与点A1的纵坐标相同，即点A2 023(2 023，)．]
[对点演练]
1．(2024·广西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为(2，1)，则点Q的坐标为( )
A．(3，0)
B．(0，2)
C．(3，2)
D．(1，2)
C [由题意可得，点Q的坐标为(3，2)．]
2．[规律探究题](2024·黑龙江绥化)如图，已知A1(1，－)，A2(3，－)，A3(4，0)，A4(6，0)，A5(7，)，A6(9，)，A7(10，0)，A8(11，－)，…，依此规律，则点A2 024的坐标为________．
(2 891，－) [由题知，
点A1的坐标为(1，－)，点A2的坐标为(3，－)，
点A3的坐标为(4，0)，点A4的坐标为(6，0)，
点A5的坐标为(7，)，点A6的坐标为(9，)，
点A7的坐标为(10，0)，点A8的坐标为(11，－)，
点A9的坐标为(13，－)，点A10的坐标为(14，0)，
点A11的坐标为(16，0)，点A12的坐标为(17，)，
点A13的坐标为(19，)，点A14的坐标为(20，0)，
……
由此可见，每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按－，－，0，0，，0循环出现，
又因为2 024÷7＝289……1，
所以1＋289×10＝2 891，
则点A2 024的坐标为(2 891，－)．]
命题点2 函数自变量的取值范围
【典例3】 (2024·黑龙江齐齐哈尔)在函数y＝中，自变量x的取值范围是______________________．
x＞－3且x≠－2 [由题意，得3＋x＞0且x＋2≠0，解得x＞－3且x≠－2．]
表达式的类型 自变量的取值范围
整式 全体实数
分式 使分母不为零
二次根式 使被开方数为非负数
零指数幂或负指数幂 使底数不为零
由整式、分式或二次根式等综合得到的代数式 使它们均有意义
[对点演练]
1．(2024·四川内江)在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ________．
x≠0 [分式的分母不为零．]
2．(沪科版八上例题)求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)y＝2x＋4；
(2)y＝－2x2；
(3)y＝；
(4)y＝．
[解] (1)x为全体实数．
(2)x为全体实数．
(3)x≠2．
(4)x≥3．
命题点3 函数图象的分析与判断
【典例4】 (2024·江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( )
A． B．
C． D．
C [温度计的温度升高到60度后温度不再变化．]
[对点演练]
1．(2024·四川广安)向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y(单位：帕)，时间为x(单位：秒)，则y关于x的函数图象大致为( )
A． B．
C． D．
B [因为根据图象可知，底层圆柱的直径较大，上层圆柱的直径较小，所以注水过程中，水压上升速度是先慢后快．故选B．]
2．[跨学科](2024·青海)化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为0
C．絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54%
D [A．从图象上可以看到，加入絮凝剂的体积在0.5 mL达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；
B．未加入絮凝剂时，净水率为12.48%，故不符合题意，选项错误；
C．当絮凝剂的体积为0.3 mL时，净水率增加量为84.60%－76.54%＝8.06%，絮凝剂的体积为0.4 mL时，净水率增加量为86.02%－84.60%＝1.42%，故絮凝剂的体积每增加0.1 mL，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；
D．根据图象可得，加入絮凝剂的体积是0.2 mL时，净水率达到76.54%，符合题意，选项正确．]
课时分层评价卷(九) 平面直角坐标系及函数初步
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共50分)
1．(2024·四川成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(－1，－4) B．(－1，4)
C．(1，4) D．(1，－4)
B [在平面直角坐标系xOy中，点P(1，－4)关于原点对称的点的坐标是(－1，4)．故选B．]
2．[跨学科](2024·广西)激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离d km与时间t s的关系式为( )
A．d＝t B．d＝3×105t
C．d＝2×3×105t D．d＝3×106t
A [激光由L到M的时间为，
光速为3×105 km/s，
则L到M的距离d＝×3×105＝t．
故选A．]
3．(2024·贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(－2，0)，(0，0)，则“技”所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限，故选A．
]
4．(2024·四川凉山州)匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是( )
A． B．
C． D．
C [因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小，
所以注水过程中水的高度变化是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢．故选C．]
5．(2024·威海)同一条公路连接A，B，C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系．下列结论正确的是( )
A．甲车行驶 h与乙车相遇
B．A，C两地相距220 km
C．甲车的速度是70 km/h
D．乙车中途休息36分钟
A [根据函数图象可得A，B两地之间的距离为20 km，两车行驶了4小时，同时到达C地，如图所示，在1－2小时，两车同向运动，在第2小时，即点D时，两者距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发，
∴乙车休息了1小时，故D不正确；
设甲车的速度为a km/h，乙车的速度为b km/h，
根据题意，乙车休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，a＜b，
∵2b＋20－2a＝40，即b－a＝10，
在DE－EF时，乙车不动，则甲车的速度是＝60(km/h)，
∴乙车速度为60＋10＝70(km/h)，故C不正确；
∴AC的距离为4×60＝240(km)，故B不正确；
设x小时两辆车相遇，依题意得：60x＝2×70＋20，
解得x＝，即小时时，两车相遇，故A正确．
故选A．]
6．(2024·滨州)若函数y＝的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是 ________．
x≠1 [∵y＝的解析式在实数范围内有意义，
∴x－1≠0，∴x≠1．]
7．(2024·江西)在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ________．
(3，4) [将点A(1，1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
则点B的坐标为(1＋2，1＋3)，即(3，4)．]
8．[新定义问题](2024·四川广元)若点Q(x，y)满足＝，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标________．
(2，－1)(答案不唯一) [等式两边都乘xy，得x＋y＝1，
令x＝2，则y＝－1，
∴“美好点”的坐标为(2，－1)(答案不唯一)．]
9．[情境题](2024·浙江)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 16：00 ～ 16：50 不分段 A档 4 000米
小丽 16：10 ～ 16：50 第一段 B档 1 800米
第一次休息
第二段 B档 1 200米
第二次休息
第三段 C档 1 600米
(1)求A，B，C各档速度(单位：米/分)；
(2)求小丽两次休息时间的总和(单位：分)；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
[解] (1)由题意可知，A档速度为4 000÷50＝80(米/分)，
则B档速度为80＋40＝120(米/分)，
C档速度为120＋40＝160(米/分)．
答：A，B，C各档速度分别为80米/分、120米/分、160米/分．
(2)小丽第一段跑步时间为1 800÷120＝15(分)，
小丽第二段跑步时间为1 200÷120＝10(分)，
小丽第三段跑步时间为1 600÷160＝10(分)，
则小丽两次休息时间的总和为50－10－15－10－10＝5(分)，
答：小丽两次休息时间的总和为5分钟．
(3)∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a－10－15－10－5＝a－40(分)，
∴80a＝3 000＋160(a－40)，∴a＝42.5．
10．[数学文化](2024·甘肃)如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为( )
A．y＝3x B．y＝4x
C．y＝3x＋1 D．y＝4x＋1
B [由题图可知，“回文”的桌面的总面积为4x(x＋y)，其中每张长桌的桌面面积为xy，每张中桌的桌面面积为3x2，每张小桌的桌面面积为2x2．根据题意，得2xy＋2×3x2＋3×2x2＝4x(x＋y)，解得y＝4x．故选B．]
11．(2024·吉林)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2)．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为( )
A．(－4，－2) B．(－4，2)
C．(2，4) D．(4，2)
C [∵点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2)，
∴OA＝4，OC＝2．
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝2，∠ABC＝90°．
∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，
∴OA′＝OA＝4，A′B′＝AB＝2，
∠OA′B′＝90°，
∴A′B′⊥y轴，
∴点B′的坐标为(2，4)．
故选C．]
12．[动手操作题](2024·黑龙江齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H(2a－1，a＋1)，则a＝________．
2 [由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，
∴∠MOH＝45°，
∴2a－1＝a＋1，
解得a＝2．]
13．[规律探究题](2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推．则点(1，4)经过2 024次运算后得到点 ________．
(2，1) [点(1，4)经过1次运算后得到点为(1×3＋1，4÷2)，即为(4，2)，
经过2次运算后得到点为(4÷2，2÷2)，即为(2，1)，
经过3次运算后得到点为(2÷2，1×3＋1)，即为(1，4)，
……
发现规律：点(1，4)经过3次运算后还是(1，4)，
∵2 024÷3＝674……2，
∴点(1，4)经过2 024次运算后得到点(2，1)．]
14．[新定义问题](2024·湖南)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当(其中xy≠0)的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P(2a－4，a＋3)在第二象限，下列说法正确的是( )
A．a＜－3
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
C [∵点P(2a－4，a＋3)在第二象限，
∴解得－3＜a＜2，
故选项A不正确；
∵点P(2a－4，a＋3)为“整点”，
∴a为整数，
又∵－3＜a＜2，
∴a＝－2，－1，0，1，
当a＝－2时，2a－4＝－8，a＋3＝1，
此时点P(－8，1)；
当a＝－1时，2a－4＝－6，a＋3＝2，
此时点P(－6，2)；
当a＝0时，2a－4＝－4，a＋3＝3，
此时点P(－4，3)；
当a＝1时，2a－4＝－2，a＋3＝4，
此时点P(－2，4)．
∴“整点”P的个数是4个，
故选项B不正确；
根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P(－2，4)是“超整点”，
∴若点P为“超整点”，则点P的个数为1个，
故选项C正确；
当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：|－2|＋|4|＝6，
故选项D不正确．故选C．]
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