第三节 反比例函数及其应用
考点一 反比例函数的概念
一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，并且x为一切非零的实数，k是比例系数．
考点二 反比例函数的图象及性质
1．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，且关于原点中心对称．
2．反比例函数的性质
图象 所在象限 增减性
k＞0 第一、三象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小
k<0 第二、四象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大
考点三 反比例函数系数k的几何意义
1．意义：从反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|，以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为．
2．常见的面积类型
考点四 反比例函数的应用
1．与一次函数的综合
(1)确定交点坐标：方法一(仅适用于正比例函数)：已知一个交点坐标为(a，b)，则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(－a，－b)．方法二：联立两个函数表达式，利用方程思想求解．
(2)确定函数表达式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数表达式中求解．
(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项进行判断、排除．
(4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围．
2．反比例函数的实际应用
(1)根据题意找出自变量与因变量之间的关系．
(2)设出函数表达式．
(3)依题意求解函数表达式．
(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题．
1．(鲁教版九上P4习题1.1T3改编)下列关系式中，是反比例函数的是( )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝－ D．y＝－1
C [A．是正比例函数，故A错误；
B．是正比例函数，故B错误；
C．是反比例函数，故C正确；
D．不符合反比例函数的定义，故D错误．
故选C．]
2．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为( )
A． B．
C． D．
A [∵矩形的面积为10，长为y，宽为x，
∴10＝xy，即y＝，
∵此函数是反比例函数，其图象是双曲线，
∴C、D错误，
∵x＞0，y>0，
∴其图象在第一象限，
故选A．]
3．如图，已知点P为反比例函数y＝－图象上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四边形MONP的面积为( )
A．－6 B．3
C．6 D．12
C [由于点P为反比例函数y＝－图象上的一点，
则四边形MONP的面积S＝|k|＝6．
故选C．]
命题点1 反比例函数的图象与性质
【典例1】 (2024·天津)若点，5)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2
C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
B [∵k＝5＞0，
∴反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(x1，－1)，B(x2，1)，C(x3，5)都在反比例函数y＝的图象上，
∴点A(x1，－1)分布在第三象限，B(x2，1)，C(x3，5)分布在第一象限，且1＜5，
∴x1＜0，x2＞x3＞0，
∴x1＜x3＜x2．
故选B．]
反比例函数增减性的应用
(1)若几个点在同一象限，则按反比例函数的增减性解答．
(2)若两个点不在同一象限，则k＞0时，第一象限的函数值大于第三象限的函数值，k＜0时，第二象限的函数值大于第四象限的函数值．
[对点演练]
1．(2023·泰安)一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝(a，b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
A． B．
C． D．
D [A．一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反比例函数y＝的图象应该位于第一、三象限，故本选项不可能；
B．一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例函数y＝的图象应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
C．一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例函数y＝的图象应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
D．一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例函数y＝的图象应该位于第二、四象限，故本选项有可能．
故选D．]
2．(2022·泰安)如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tan A＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
(1)求k值；
(2)求△OBD的面积．
[解] (1)∵∠ACO＝90°，tan A＝，
∴AC＝2OC，
∵OA＝2，
由勾股定理，得(2)2＝OC2＋(2OC)2，
∴OC＝2，AC＝4，
∴A(2，4)，
∵B是OA的中点，
∴B(1，2)，
∴k＝1×2＝2．
(2)当x＝2时，y＝1，
∴D(2，1)，∴AD＝4－1＝3，
∴S△OBD＝S△OAD－S△ABD
＝×3×2－×3×1
＝．
命题点2 反比例函数系数k的几何意义
【典例2】 (2024·江苏苏州)如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为( )
A． B． C． D．
A [作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H．
∵点A在函数y＝－图象上，点B在反比例函数y＝图象上，
∴S△AGO＝，S△BOH＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB，
∴△AGO∽△OHB，
∴＝＝，
∴＝．
故选A．]
[对点演练]
1．(2024·黑龙江龙东)如图，双曲线y＝(x＞0)经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是( )
A．4.5 B．3.5
C．3 D．2.5
A [如图，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，连接OB，则S△AOM＝S△OBD＝|k|＝×12＝6，
∵E是OA的中点，即OE＝AE，而DE∥AM，
∴DE＝AM，OD＝OM，
∵S△AOM＝S△OBD＝6，
即AM·OM＝OD·BD＝6，
∴AM·OD＝BD·OD，
∴BD＝2AM，
∴DE＝AM＝BD，
∴DE＝BE，
∵S△ODE＝S△AOM＝×6＝，
∴S△ABE＝3S△ODE＝3×＝4.5．
故选A．]
2．[易错题]如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P，Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为 ________．
－22 [∵l∥y轴，
∴PQ⊥OM，
∴S△POQ＝S△OMQ＋S△OMP，
∴15＝|k|＋×8，
∴|k|＝22，
∵k＜0，∴k＝－22．]
命题点3 反比例函数与一次函数的综合
【典例3】 (2024·泰安)直线y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝－的图象相交于点A(－2，m)，B(n，－1)，与y轴交于点C．
(1)求直线y1的表达式；
(2)若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
[解] (1)分别将点A(－2，m)、点B(n，－1)代入y2＝－中，
即－2m＝－8，－n＝－8，
解得m＝4，n＝8，
∴A点坐标为(－2，4)，B点坐标为(8，－1)，
把A点坐标(－2，4)，B点坐标(8，－1)分别代入 y1＝kx＋b，
即
∴
∴一次函数表达式为y1＝－x＋3．
(2)由图象可知，
当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜8．
(3)把y＝3代入y2＝－中，
得x＝－，
∴D点坐标为，
CD＝，
∴S△ACD＝×(4－3)＝．
[对点演练]
(2023·泰安)如图，一次函数y1＝－2x＋2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点A、点B，与y轴、x轴分别交于点C、点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
(3)点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P的坐标．
[解] (1)∵一次函数y1＝－2x＋2的图象与y轴、x轴分别交于点C、点D，
∴点C(0，2)，点D(1，0)，
∵OE＝4，
∴OC＝CE＝2，
∵∠AEC＝∠DOC＝90°，∠ACE＝∠DCO，
∴△AEC≌△DOC(ASA)，
∴AE＝OD＝1，
∴点A(－1，4)，
∵点A在反比例函数y2＝的图象上，
∴k＝－1×4＝－4，
∴反比例函数的表达式为y2＝－．
(2)－1(3)由于直线PA⊥AB，可设直线PA的函数表达式为y＝x＋b，
把点A(－1，4)代入得4＝－＋b，
解得b＝，
∴直线PA的函数表达式为y＝x＋，
当y＝0时，x＝－9，
∴点P的坐标为(－9，0)．
【教师备选资源】
1．(2020·泰安)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(3，a)，点B(14－2a，2)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
[解] (1)∵点A(3，a)，点B(14－2a，2)在反比例函数的图象上，
∴3×a＝(14－2a)×2，解得a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为y＝．
(2)∵a＝4，故点A，B的坐标分别为(3，4)，(6，2)，
设直线AB的表达式为y＝kx＋b，
则解得
故一次函数的表达式为y＝－x＋6．
当x＝0时，y＝6，故点C(0，6)，故OC＝6，
∵点D为点C关于原点O的对称点，∴CD＝2OC＝12，
∴S△ACD＝·CD·xA＝×12×3＝18．
2．(2021·泰安)如图，点P为函数y＝x＋1与函数y＝(x＞0)图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
(1)求m的值；
(2)点M是函数y＝(x＞0)图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan ∠PMD＝，求点M的坐标．
[解] ∵点P为函数y＝x＋1图象上的点，点P的纵坐标为4，
∴4＝x＋1，解得x＝6，∴点P(6，4)．
∵点P为函数y＝x＋1与函数y＝(x＞0)图象的交点，
∴4＝，∴m＝24．
(2)设点M的坐标(x，y)，
∵tan ∠PMD＝，∴＝．
①点M在点P右侧，如图，
∵点P(6，4)，
∴PD＝4－y，DM＝x－6，
∴＝，
∵xy＝m＝24，
∴y＝，
∴2＝x－6，解得x＝6或8，
∵点M在点P右侧，
∴x＝8，
∴y＝3，
∴点M的坐标为(8，3)；
②点M在点P左侧，
∵点P(6，4)，
∴PD＝y－4，DM＝6－x，
∴＝，
∵xy＝m＝24，
∴y＝，
∴2＝6－x，解得x＝6或8，
∵点M在点P左侧，
∴此种情况不存在．
综上，点M的坐标为(8，3)．
命题点4 反比例函数的实际应用
【典例4】 [跨学科](2024·吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的表达式(不要求写出自变量R的取值范围)；
(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
[解] (1)设这个反比例函数的表达式为I＝(U≠0)，
把(9，4)代入I＝(U≠0)中，得4＝(U≠0)，
解得U＝36，
∴这个反比例函数的表达式为I＝．
(2)在I＝中，当R＝3 Ω时，I＝＝12 A，
∴此时的电流I为12 A．
[对点演练]
1．[情境题](2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝________m/s．
4 [设反比例函数表达式为v＝，
∵机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s，∴k＝60×6＝360，
∴反比例函数表达式为v＝，
当m＝90 kg时，v＝＝4(m/s)，
∴当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝4 m/s．]
2．[跨学科](人教版九下例题)小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m．
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
[解] (1)根据“杠杆原理”，得Fl＝1 200×0.5，
所以F关于l的函数表达式为F＝．
当l＝1.5 m时，F＝＝400(N)．
对于函数F＝，当l＝1.5 m时，F＝400 N，此时杠杆平衡，因此，撬动石头至少需要400 N的力．
(2)对于函数F＝，F随l的增大而减小．因此，只要求出F＝200 N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量．
当F＝400×＝200时，由200＝得
l＝＝3(m)，
3－1.5＝1.5(m)．
对于函数F＝，当l>0时，l越大，F越小．因此，若想用力不超过400 N的一半，则动力臂至少要加长1.5 m．
课时分层评价卷(十一) 反比例函数及其应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分)
1．(2024·重庆)已知点(－3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值为( )
A．－3 B．3
C．－6 D．6
C [∵点(－3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，
∴k＝－3×2＝－6．
故选C．]
2．[易错题](2024·广西)已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，若x1＜0＜x2，则有( )
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1
C．y1＜y2＜0 D．0＜y1＜y2
A [∵2＞0，
∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，
∵x1＜0＜x2，
∴y1＜0＜y2，
故选A．]
3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋1(k≠0)和y＝(k≠0)的图象可能是( )
A． B．
C． D．
D [当k＞0时，一次函数y＝kx＋1的图象经过第一、二、三象限，反比例函数y＝(k≠0)的图象位于第一、三象限；
当k＜0时，一次函数y＝kx＋1的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y＝(k≠0)的图象位于第二、四象限．
故选D．]
4．(2024·安徽)已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
A [将x＝3代入y＝2－x中，得y＝－1，将(3，－1)代入y＝中，得k＝－3．故选A．]
5．[情境题](2024·河北)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是( )
A．若x＝5，则y＝100
B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小
D．若x减小一半，则y增大一倍
C [由题意，得y＝．
A．若x＝5，则y＝＝100，正确，故此选项不符合题意；
B．若y＝125，则125＝，解得x＝4，正确，故此选项不符合题意；
C．若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意；
D．若x减小一半，即y′＝＝，所以y增大一倍，正确，故此选项不符合题意．
故选C．]
6．[跨学科](2024·江苏连云港)杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为F(N)，动力臂为l(m)．则动力F关于动力臂l的函数表达式为________．
F＝ [∵l·F＝1 600×0.5＝800，∴F＝．]
7．(2024·四川遂宁)反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点(k，－3)在第________象限．
四 [因为反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
所以k－1＞0，
解得k＞1，
所以点(k，－3)在第四象限．]
8．(2024·陕西)已知点A(－2，y1)和点B(m，y2)均在反比例函数y＝－的图象上．若0＜m＜1，则y1＋y2________0．(填“＞”“＝”或“＜”)
＜ [∵点A(－2，y1)和点B(m，y2)均在反比例函数y＝－的图象上，
∴y1＝，y2＝－，
∵0＜m＜1，
∴y2＜－5，
∴y1＋y2<－5＝－<0．]
9．(2024·内蒙古包头)若反比例函数y1＝，y2＝－，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝________．
[∵反比例函数y1＝，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，
∴y随x的增大而减小，当x＝1时，函数最大值a＝2，
∵反比例函数y2＝－，当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b，
∴y随x的增大而增大，当x＝3时，函数最大值b＝－1，
∴ab＝2-1＝．]
10．(2024·江苏盐城)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
[解] (1)根据图象信息，点A的坐标为(－3，2)，
∵反比例函数图象过点A，设反比例函数的表达式为y＝，
∴k＝－6，
∴反比例函数的表达式为y＝－．
(2)直线OA的函数表达式为y＝－x，
由图象可知，直线OA向上平移3个单位长度得到直线BC的函数表达式为y＝－x＋3，
联立方程组
解得(舍去)，
∴C．
11．(2024·湖北)如图，一次函数y＝x＋m的图象与x轴交于点A(－3，0)，与反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n，4)．
(1)求m，n，k的值；
(2)若C是反比例函数y＝的图象在第一象限部分上的点，且△AOC的面积小于△AOB的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围．
[解] (1)把点A(－3，0)坐标代入y＝x＋m，
得0＝－3＋m，
解得m＝3，
∴一次函数的表达式为y＝x＋3．
把点B(n，4)坐标代入y＝x＋3，得4＝n＋3，
解得n＝1，
∴点B的坐标为(1，4)，
把点B(1，4)代入y＝(k≠0)，得4＝，
解得k＝4．
综上，m＝3，n＝1，k＝4．
(2)∵△AOC的面积小于△AOB的面积，
∴yC＜yB，即yC＜4，
∵点C在反比例函数图象上，且在第一象限，
∴<4，
∴a＞1．
12．(2024·四川泸州)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无实数根，则函数y＝kx与函数y＝的图象交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
A [∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋1－k＝0无实数根，
∴Δ＝4－4(1－k)＜0，
解得k＜0，
则函数y＝kx图象经过第二、四象限，函数y＝的图象分布在第一、三象限，
两个函数的图象没有交点．
故选A．]
13．(2024·新疆)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②点D是BC的中点；③在y＝的图象上任取点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD＝．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [如图，作BE⊥x轴，垂足为E，
①根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项正确；
②∵点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
在△OBE和△OAC中，
∴△OBE≌△OAC(AAS)，
∴OE＝OC，
∵EB∥y轴，
∴△OCD∽△ECB，
∵OE＝OC，
∴＝＝，
∴D是CB的中点，
∴OD是△BCE的中位线，故选项正确；
③在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项错误；
④S△BOD＝S△BOC＝S△AOC＝×1＝，故S△BOD＝正确．
其中结论正确的是①②④，共3个．
故选C．]
14．(2024·福建)如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A(1，2)，则点B的坐标为 ________．
(2，1) [根据圆和反比例函数的图象都是中心对称图形，点A与B关于直线y＝x对称，
设直线AB的函数表达式为y＝－x＋b，将点A(1，2)坐标代入，得
2＝－1＋b，解得b＝3，
∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3，
∵点A(1，2)在反比例函数图象上，
∴反比例函数表达式为y＝，
联立方程组解得或
∴B(2，1)．]
15．(2024·江苏扬州)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为________．
2 [设点B的坐标为，
∵A(1，0)，
∴AC＝m－1，
由对称可知：AD＝m－1，∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
作DG⊥x轴，垂足为G，
∴AG＝，DG＝，
∴D，
∵点D在反比例函数图象上，
∴＝k，①
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∴BC＝AC，即＝(m－1)，②
由①②解得k＝2．]
16．(2024·广东深圳)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB为菱形，tan ∠AOC＝，且点A落在反比例函数y＝的图象上，点B落在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k＝________．
8 [如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵tan ∠AOC＝，
∴设AD＝4x，
则OD＝3x，
∵点A落在反比例函数y＝的图象上，
∴4x·3x＝3，
解得x＝(负值舍去)，
∴3x＝，4x＝2，
∴A，
∴OA＝＝＝，
∵四边形AOCB为菱形，∴AB＝OA，
∴B，即B(4，2)，
∵点B落在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，
∴k＝4×2＝8．]
17．[新定义问题](2024·内蒙古赤峰)在平面直角坐标系中，对于点M(x1，y1)，给出如下定义：当点N(x2，y2)，满足x1＋x2＝y1＋y2时，称点N是点M的等和点．
(1)已知点M(1，3)，在N1(4，2)，N2(3，－1)，N3(0，－2)中，是点M等和点的有________；
(2)若点M(3，－2)的等和点N在直线y＝x＋b上，求b的值；
(3)已知双曲线y1＝和直线y2＝x－2，满足y14或－2[解] (1)N1(4，2)和N3(0，－2)．
(2)设点N的横坐标为a，
∵点N是点M(3，－2)的等和点，
∴点N的纵坐标为3＋a－(－2)＝a＋5，
∴点N的坐标为(a，a＋5)，
∵点N在直线y＝x＋b上，
∴a＋5＝a＋b，∴b＝5．
(3)由题意可得，k>0，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A，B，如图，由y14或－2把x＝4代入y＝x－2，得y＝4－2＝2，∴A(4，2)，
把A(4，2)代入y1＝，得2＝，∴k＝8，
∴反比例函数表达式为y1＝．
设P，点Q的横坐标为n，
∵点Q是点P的等和点，
∴点Q的纵坐标为m＋n－，
∴Q，
∵点Q在直线y2＝x－2上，
∴m＋n－＝n－2，
整理得m－＋2＝0，
去分母，得m2＋2m－8＝0，
解得m＝－4或m＝2，
经检验，m＝－4，m＝2是方程m－＋2＝0的解，
∴点P的坐标为(－4，－2)或(2，4)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共88张PPT)
第三节 反比例函数及其应用
链接教材 基础过关
双曲线
原点
2．反比例函数的性质
图象 所在象限 增减性
k__0 第______象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而____
k__0 第______象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而____
＞
一、三
减小
<
二、四
增大
|k|
2．常见的面积类型
考点四 反比例函数的应用
1．与一次函数的综合
(1)确定交点坐标：方法一(仅适用于正比例函数)：已知一个交点坐标为(a，b)，则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(－a，－b)．方法二：联立两个函数表达式，利用方程思想求解．
(2)确定函数表达式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数表达式中求解．
(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项进行判断、排除．
(4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围．
2．反比例函数的实际应用
(1)根据题意找出自变量与因变量之间的关系．
(2)设出函数表达式．
(3)依题意求解函数表达式．
(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题．
√
C [A．是正比例函数，故A错误；
B．是正比例函数，故B错误；
C．是反比例函数，故C正确；
D．不符合反比例函数的定义，故D错误．
故选C．]
2．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为( )
√
√
考点突破 对点演练
√
归纳总结 反比例函数增减性的应用
(1)若几个点在同一象限，则按反比例函数的增减性解答．
(2)若两个点不在同一象限，则k＞0时，第一象限的函数值大于第三象限的函数值，k＜0时，第二象限的函数值大于第四象限的函数值．
√
√
√
－22
命题点4 反比例函数的实际应用
【典例4】 [跨学科](2024·吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的表达式(不要求写出自变量R的取值范围)；
(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
[对点演练]
1．[情境题](2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝________m/s．
4
2．[跨学科](人教版九下例题)小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m．
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
课时分层评价卷(十一) 反比例函数及其应用
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
5．[情境题](2024·河北)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是( )
A．若x＝5，则y＝100
B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小
D．若x减小一半，则y增大一倍
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6．[跨学科](2024·江苏连云港)杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为F(N)，动力臂为l(m)．则动力F关于动力臂l的函数表达式为________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
四
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
＜
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
10．(2024·江苏盐城)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点C坐标．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
(2，1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
N1(4，2)和N3(0，－2)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
[解] (2)设点N的横坐标为a，
∵点N是点M(3，－2)的等和点，
∴点N的纵坐标为3＋a－(－2)＝a＋5，
∴点N的坐标为(a，a＋5)，
∵点N在直线y＝x＋b上，
∴a＋5＝a＋b，∴b＝5．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17第三节 反比例函数及其应用
考点一 反比例函数的概念
一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成________ (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，并且x为一切非零的实数，k是比例系数．
考点二 反比例函数的图象及性质
1．反比例函数的图象
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是________，且关于________中心对称．
2．反比例函数的性质
图象 所在象限 增减性
k________0 第_______象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而________
k________0 第_______象限 在每一象限内，y的值随x值的增大而________
考点三 反比例函数系数k的几何意义
1．意义：从反比例函数y＝(k≠0)的图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为________，以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为________．
2．常见的面积类型
考点四 反比例函数的应用
1．与一次函数的综合
(1)确定交点坐标：方法一(仅适用于正比例函数)：已知一个交点坐标为(a，b)，则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(－a，－b)．方法二：联立两个函数表达式，利用方程思想求解．
(2)确定函数表达式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数表达式中求解．
(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项进行判断、排除．
(4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围．
2．反比例函数的实际应用
(1)根据题意找出自变量与因变量之间的关系．
(2)设出函数表达式．
(3)依题意求解函数表达式．
(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题．
1．(鲁教版九上P4习题1.1T3改编)下列关系式中，是反比例函数的是( )
A．y＝2x B．y＝
C．y＝－ D．y＝－1
2．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象表示大致为( )
A． B．
C． D．
3．如图，已知点P为反比例函数y＝－图象上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那么四边形MONP的面积为( )
A．－6 B．3
C．6 D．12
命题点1 反比例函数的图象与性质
【典例1】 (2024·天津)若点，5)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2
C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3
[听课记录]
反比例函数增减性的应用
(1)若几个点在同一象限，则按反比例函数的增减性解答．
(2)若两个点不在同一象限，则k＞0时，第一象限的函数值大于第三象限的函数值，k＜0时，第二象限的函数值大于第四象限的函数值．
[对点演练]
1．(2023·泰安)一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝(a，b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
A． B．
C． D．
2．(2022·泰安)如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tan A＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
(1)求k值；
(2)求△OBD的面积．
命题点2 反比例函数系数k的几何意义
【典例2】 (2024·江苏苏州)如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为( )
A． B． C． D．
[听课记录]
[对点演练]
1．(2024·黑龙江龙东)如图，双曲线y＝(x＞0)经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是( )
A．4.5 B．3.5
C．3 D．2.5
2．[易错题]如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于P，Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为 ________．
命题点3 反比例函数与一次函数的综合
【典例3】 (2024·泰安)直线y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝－的图象相交于点A(－2，m)，B(n，－1)，与y轴交于点C．
(1)求直线y1的表达式；
(2)若y1＞y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
[听课记录]
[对点演练]
(2023·泰安)如图，一次函数y1＝－2x＋2的图象与反比例函数y2＝的图象分别交于点A、点B，与y轴、x轴分别交于点C、点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE＝4．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在第二象限内，当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
(3)点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P的坐标．
命题点4 反比例函数的实际应用
(2024·吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的表达式(不要求写出自变量R的取值范围)；
(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
[听课记录]
[对点演练]
1．[情境题](2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝________m/s．
2．[跨学科](人教版九下例题)小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m．
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
