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第五节 二次函数的应用
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考点一 二次函数的实际应用
1．与面积有关的实际问题．
2．抛物线形实际问题
(1)根据题意，结合函数图象求出函数表达式；
(2)确定自变量的取值范围；
(3)根据图象，结合所求表达式解决问题．
3．实际问题中求最值的步骤
(1)分析问题中的数量关系，列出函数表达式；
(2)研究自变量的取值范围；
(3)确定所得的函数；
(4)检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
(5)解决提出的实际问题．
考点二 二次函数的综合应用
二次函数的综合题多与一元二次方程、不等式、几何知识综合在一起，考查较多的是面积问题、动点问题、存在性问题，难度大、综合性强．
√
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是 __________．
－2
考点突破 对点演练
命题点1 二次函数的实际应用
【典例1】 (2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2 m．(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长．
[对点演练]
1．(2024·泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 ________平方米．
450
450 [由题意，设垂直于外墙的边长为x米，则平行于外墙的边长为(60－2x)米，
又墙长为40米，
∴0＜60－2x≤40．∴10≤x＜30．
又菜园的面积＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，
∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，
即垂直于外墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．]
2．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件．经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．
(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1 050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
[解] (1)由题意得，每天销售T恤衫的利润为：(100－8－60)×(20＋2×8)＝1 152(元)．
答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1 152元．
(2)设此时每件T恤衫降价x元，
由题意，得(100－x－60)(20＋2x)＝1 050，
整理，得x2－30x＋125＝0，解得x＝5或x＝25．
又∵优惠最大，∴x＝25．
∴此时售价为100－25＝75(元)．
答：小明希望每天获得的利润达到1 050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元．
(1)①m＝________，n＝________；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：y＝－5t2＋vt．
①小球飞行的最大高度为 ________米；
②求v的值．
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
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(1)求抛物线C1的表达式；
(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[对点演练]
(2023·泰安)如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点A(－4，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数图象的对称轴上，
当△BCP的面积为5时，求点P的坐标；
(3)如图2，小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB＋∠ACB＝90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
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1．(2022·泰安)如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点
A(－2，0)，B(0，－4)，其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧)，当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
2．(2021·泰安)二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
(2)如图，设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE．
课时分层评价卷(十三) 二次函数的应用
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(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．[跨学科](2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；②小球运动中的高度可以是30 m；③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
√
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C [①令h＝0，则30t－5t2＝0，
解得t1＝0，t2＝6，
∴小球从抛出到落地需要6 s，故①正确；
②h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45，
∵－5＜0，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的高度可以是30 m，故②正确；
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③t＝2时，h＝30×2－5×4＝40(m)，
t＝5时，h＝30×5－5×25＝25(m)，
∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，
故③错误．
故选C．]
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2．(2024·甘肃)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．
能
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能 [∵CD＝4 m，B(6，2.68)，
∴6－4＝2，
在y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6中，
当x＝2时，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴货车能完全停到车棚内．]
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4．第34个全国助残日的主题是“科技助残，共享美好生活”．某公司新研发了一批便携式轮椅，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
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5．(2024·福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象
限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB
的面积的2倍，求点P的坐标．
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B [如图，连接AC，BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC，BD互相平分，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAN＋∠DAM＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，
∴∠BAN＝∠ADM．
∵∠BNA＝∠AMD＝90°，BA＝AD，
∴△ANB≌△DMA(AAS)．
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又AM＝NB，DM＝AN，
∴－n2＋4－b＝m，n＝m2－4＋b．
∴b＝－n2－m＋4．
∴n＝m2－4－n2－m＋4．
∴(m＋n)(m－n)＝m＋n．
∵点A，C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，
∴m＋n≠0．
∴m－n＝1．故选B．]
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7．[情境题](2024·四川自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是______m2．
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8．(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．
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9．[项目式学习试题](2024·山西)综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
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第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F(不与C，P重合)，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
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(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
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根据题意，得DE＋CF＝6，
∴－m2＋6＋2m＝6，
解得m＝2或m＝0(不符合题意，舍去)，
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝－m2＋6＝2．
答：DE的长为4米，CF的长为2米．
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9第五节 二次函数的应用
考点一 二次函数的实际应用
1．与面积有关的实际问题．
2．抛物线形实际问题
(1)根据题意，结合函数图象求出函数表达式；
(2)确定自变量的取值范围；
(3)根据图象，结合所求表达式解决问题．
3．实际问题中求最值的步骤
(1)分析问题中的数量关系，列出函数表达式；
(2)研究自变量的取值范围；
(3)确定所得的函数；
(4)检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
(5)解决提出的实际问题．
考点二 二次函数的综合应用
二次函数的综合题多与一元二次方程、不等式、几何知识综合在一起，考查较多的是面积问题、动点问题、存在性问题，难度大、综合性强．
1．(鲁教版九上P103习题3.14T1改编)一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋x＋，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是( )
A． m B．4 m C．8 m D．10 m
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是 __________．
命题点1 二次函数的实际应用
【典例1】 (2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2 m．(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长．
[听课记录]
[对点演练]
1．(2024·泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 ________平方米．
2．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件．经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．
(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1 050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
3．[跨学科](2024·江西)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx(a＜0)刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m＝________，n＝________；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：y＝－5t2＋vt．
①小球飞行的最大高度为 ________米；
②求v的值．
命题点2 二次函数的综合应用
【典例2】 (2024·泰安)如图，抛物线C1：y＝ax2＋x－4的图象经过点D(1，－1)，与x轴交于点A、点B．
(1)求抛物线C1的表达式；
(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[听课记录]
[对点演练]
(2023·泰安)如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点A(－4，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数图象的对称轴上，当△BCP的面积为5时，求点P的坐标；
(3)如图2，小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB＋∠ACB＝90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
[听课记录]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第五节 二次函数的应用
考点一 二次函数的实际应用
1．与面积有关的实际问题．
2．抛物线形实际问题
(1)根据题意，结合函数图象求出函数表达式；
(2)确定自变量的取值范围；
(3)根据图象，结合所求表达式解决问题．
3．实际问题中求最值的步骤
(1)分析问题中的数量关系，列出函数表达式；
(2)研究自变量的取值范围；
(3)确定所得的函数；
(4)检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
(5)解决提出的实际问题．
考点二 二次函数的综合应用
二次函数的综合题多与一元二次方程、不等式、几何知识综合在一起，考查较多的是面积问题、动点问题、存在性问题，难度大、综合性强．
1．(鲁教版九上P103习题3.14T1改编)一名男同学推铅球时，铅球行进中离地的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋x＋，那么铅球推出后落地时距出手地的距离是( )
A． m B．4 m C．8 m D．10 m
D [当y＝0时，－x2＋x＋＝0，
整理得x2－8x－20＝0，
解得x＝10，x＝－2(不合题意，舍去)，
故x＝10，即铅球推出后落地时距出手地的距离是10 m．
故选D．]
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋c(a＜0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是 __________．
－2 [设正方形的对角线OA长为2m，
则B(－m，m)，C(m，m)，A(0，2m)，
把A，C的坐标代入表达式，得
c＝2m，①
am2＋c＝m，②
①代入②，得m2a＋2m＝m，解得a＝－，
则ac＝－·2m＝－2．]
命题点1 二次函数的实际应用
【典例1】 (2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2 m．(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长．
[解] (1)由题意，∵AO＝17 m，
∴A(0，17)．
又OC＝100 m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2 m，
∴抛物线的顶点P为(50，2)．
故可设抛物线为y＝a(x－50)2＋2．
将点A(0，17)代入抛物线，可得
2 500a＋2＝17，
∴a＝．
∴缆索L1所在抛物线为y＝(x－50)2＋2．
(2)由题意，∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，
又缆索L1所在抛物线为y＝(x－50)2＋2，
∴缆索L2所在抛物线为y＝(x＋50)2＋2．
令y＝2.6，
∴2.6＝(x＋50)2＋2．
∴x＝－40或x＝－60．
又FO＜OD＝50 m，
∴x＝－40．
∴FO的长为40 m．
[对点演练]
1．(2024·泰安)如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 ________平方米．
450 [由题意，设垂直于外墙的边长为x米，则平行于外墙的边长为(60－2x)米，
又墙长为40米，
∴0＜60－2x≤40．∴10≤x＜30．
又菜园的面积＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，
∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，
即垂直于外墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．]
2．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件．经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．
(1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
(2)小明希望每天获得的利润达到1 050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
[解] (1)由题意得，每天销售T恤衫的利润为：(100－8－60)×(20＋2×8)＝1 152(元)．
答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1 152元．
(2)设此时每件T恤衫降价x元，
由题意，得(100－x－60)(20＋2x)＝1 050，
整理，得x2－30x＋125＝0，
解得x＝5或x＝25．
又∵优惠最大，
∴x＝25．
∴此时售价为100－25＝75(元)．
答：小明希望每天获得的利润达到1 050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元．
3．[跨学科](2024·江西)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx(a＜0)刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m＝________，n＝________；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：y＝－5t2＋vt．
①小球飞行的最大高度为 ________米；
②求v的值．
[解] (1)①根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知，
抛物线顶点坐标为(4，8)，
解得
∴二次函数表达式为y＝－x2＋4x，
当y＝时，－x2＋4x＝，
解得x＝3或x＝5(舍去)，
∴m＝3，
当x＝6时，n＝y＝－×62＋4×6＝6，
故答案为3，6．
②联立，得
解得或
∴点A的坐标是．
(2)①8．
②y＝－5t2＋vt＝－5＋，
则＝8，
解得v＝4(负值舍去)．
命题点2 二次函数的综合应用
【典例2】 (2024·泰安)如图，抛物线C1：y＝ax2＋x－4的图象经过点D(1，－1)，与x轴交于点A、点B．
(1)求抛物线C1的表达式；
(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
[解] (1)将点D的坐标代入抛物线表达式，得－1＝a＋－4，解得a＝，
则抛物线C1的表达式为y＝x2＋x－4．
(2)由题意，得C2：y＝(x－1)2＋(x－1)－4＋3＝－，
当x＝1时，y＝－＝－＝－1，
故点D在抛物线C2上．
(3)存在，理由：
令x2＋x－4＝0，得x1＝－2，x2＝，∴B点的坐标为(－2，0)．
①当点D为直角顶点时，
如图1，过点D作DE⊥BD且DE＝BD，则△BDE为等腰直角三角形．
过点D作x轴的平行线l，过点B作BG⊥l，过点E作EH垂直于l，垂足分别为G，H．
∵∠BDG＋∠EDH＝90°，∠EDH＋∠DEH＝90°，
∴∠BDG＝∠DEH，
∵∠DGB＝∠EHD＝90°，
∴△DGB≌△EHD(AAS)，
则DH＝BG＝1，EH＝GD＝1＋2＝3，
则点E(2，2)，
当x＝2时，y＝－＝－＝2，
即点E在抛物线C2上，
即点P即为点E(2，2)；
②当B为直角顶点时，如图2，
同理可得：△BGE≌△DHB(AAS)，
则DH＝3＝BG，BH＝1＝GE，
则点E(－1，3)，
当x＝－1时，y＝－＝－＝3，
即点E在抛物线C2上，
即点P即为点E(－1，3)；
③当∠BPD为直角，且EB＝ED时，如图3，
设点E(x，y)，同理可得：△EHB≌△DGE(AAS)，
则EH＝x＋2＝GD＝y＋1且BH＝y＝GE＝1－x，
解得x＝0且y＝1，
即点E(0，1)，
当x＝0时，y＝－＝－≠1，即点E不在抛物线C2上．综上，点P的坐标为(2，2)或(－1，3)．
[对点演练]
(2023·泰安)如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象经过点A(－4，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数图象的对称轴上，当△BCP的面积为5时，求点P的坐标；
(3)如图2，小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB＋∠ACB＝90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
[解] (1)将(－4，0)，(－1，0)代入y＝ax2＋bx＋4，得解得
∴二次函数的表达式为y＝x2＋5x＋4．
(2)由二次函数y＝x2＋5x＋4可知，其图象的对称轴为直线x＝－，C(0，4)，
如图1，作直线BC，并设直线BC的表达式为y＝kx＋c，
将(－1，0)，(0，4)代入，
得解得
∴直线BC的表达式为y＝4x＋4．
作PQ∥x轴，交BC于点Q．
∵点P在二次函数图象的对称轴上，
∴设P，则Q，
∴PQ＝＝，
∴S△BCP＝PQ(yC－yB)＝×4＝．
∵△BCP的面积为5，
∴＝5，解得m＝4或m＝－16，
∴点P的坐标为或．
(3)正确，D．
理由：如图2，设AC与对称轴交点为K，对称轴与x轴交点为H，连接BK，延长AD与对称轴交于点M．
由(1)(2)可得OA＝OC＝4，
∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝45°，AC＝4．
根据抛物线的对称性可知AK＝BK，
∴∠KAB＝∠KBA＝45°，
∴∠AKB＝90°，∴∠CKB＝90°．
∵AB＝3，
∴AK＝BK＝，
∴CK＝AC－AK＝．
在Rt△CKB中，tan ∠CBK＝＝．
∵∠CBK＋∠ACB＝90°且∠DAB＋∠ACB＝90°，
∴∠DAB＝∠CBK，
∴tan ∠DAB＝tan ∠CBK＝，
即在Rt△AHM中，＝．
∵AH＝－－(－4)＝，∴HM＝＝，
∴M．
设直线AM的表达式为y＝sx＋t，
将(－4，0)，代入，
得
解得
∴直线AM的表达式为y＝－x－．
联立
解得或(不合题意，舍去)
∴小明说法正确，点D的坐标为．
【教师备选资源】
1．(2022·泰安)如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－2，0)，B(0，－4)，其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧)，当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
[解] (1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点B(0，－4)，
∴c＝－4，
∵对称轴为直线x＝1，经过A(－2，0)，
∴
解得
∴二次函数的表达式为y＝x2－x－4．
(2)①设直线AB的表达式为y＝kx＋n，
∵A(－2，0)，B(0，－4)，
∴解得
∴直线AB的表达式为y＝－2x－4．
∵A，C关于直线x＝1对称，
∴C(4，0)．
设N(m，0)，
∵MN⊥x轴，
∴M(m，－2m－4)，
∴NC＝4－m，
∵MN＝3NC，
∴2m＋4＝3(4－m)，
∴m＝，
∴点M．
②如图，连接PQ，MN交于点E．设M(t，－2t－4)，则点N(t，0)，
∵四边形MPNQ是正方形，
∴PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝MN，
∴PQ∥x轴，
∴E(t，－t－2)，
∴NE＝t＋2，
∴ON＋EP＝ON＋NE＝t＋t＋2＝2t＋2，
∴P(2t＋2，－t－2)，
∵点P在抛物线y＝x2－x－4上，
∴(2t＋2)2－(2t＋2)－4＝－t－2，
解得t1＝，t2＝－2，
∵点P在第四象限，
∴t＝－2舍去，
∴t＝，
∴点M坐标为．
2．(2021·泰安)二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
(3)请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
[解] (1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象经过点A(－4，0)，B(1，0)，
∴解得
∴该二次函数的表达式为y＝－x2－3x＋4．
(2)如图，设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE．
令x＝0，得y＝4，
∴C(0，4)，OC＝4，
设OE＝a，则CE＝4－a，
∴BE＝4－a．
在Rt△BOE中，由勾股定理，得BE2＝OE2＋OB2，
∴(4－a)2＝a2＋12，
解得a＝，
∴E，
设BE所在直线的表达式为y＝kx＋e(k≠0)，
∴解得
∴直线BP的表达式为y＝－x＋．
(3)有最大值．
如图，设PD与AC交于点N，
过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，
设直线AC的表达式为y＝mx＋n，
∵A(－4，0)，C(0，4)，
∴解得
∴直线AC的表达式为y＝x＋4，
∴M点的坐标为(1，5)，
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴＝＝．
设－3a0＋4)(－4＜a0＜0)，
则N(a0，a0＋4)，
∴＝＝＝，
∴当a0＝－2时，有最大值，
此时，点P的坐标为(－2，6)．
3．(2020·泰安)若一次函数y＝－3x－3的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(3，0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A，B，C三点，如图1．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧)，若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
(3)如图2，若点P在抛物线上(点P在y轴右侧)，连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①当m＝时，求点P的坐标；
②求m的最大值．
[解] (1)一次函数y＝－3x－3的图象与x轴、y轴分别交于A，C两点，则点A，C的坐标分别为(－1，0)，(0，－3)．
将点A，B，C的坐标代入抛物线表达式得解得
故抛物线的表达式为y＝x2－2x－3．
(2)设直线BE交y轴于点M，
从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝1．
∵CD∥x轴交抛物线于点D，故点D(2，－3)，
由点B，C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCB＝45°，
∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，
而BC＝BC，
故△BCD≌△BCM(ASA)，
∴CM＝CD＝2，故OM＝3－2＝1，故点M(0，－1)，
设直线BE的表达式为y＝kx＋b，则解得
故直线BE的表达式为y＝x－1．
(3)过点P作PN∥x轴交BC于点N，
则△PFN∽△AFB，则＝，
而S△BFP＝mS△BAF，则＝＝，解得m＝PN．
①当m＝时，则PN＝2，
设点P(t，t2－2t－3)，
由点B，C的坐标知，直线BC的表达式为y＝x－3，当x＝t－2时，y＝t－5，故点N(t－2，t－5)，
故t－5＝t2－2t－3，
解得t＝1或2，
故点P(2，－3)或(1，－4)．
②由①得P(t，t2－2t－3)，
直线BC的表达式为y＝x－3．
∵PN∥x轴，∴N的纵坐标与P的相同，
由t2－2t－3＝x－3，得x＝t2－2t，
∴N(t2－2t，t2－2t－3)，∴m＝PN＝[t－(t2－2t)]＝－＋，
∵－＜0，故m的最大值为．
课时分层评价卷(十三) 二次函数的应用
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．[跨学科](2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度．
其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [①令h＝0，则30t－5t2＝0，
解得t1＝0，t2＝6，
∴小球从抛出到落地需要6 s，
故①正确；
②h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45，
∵－5＜0，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的高度可以是30 m，
故②正确；
③t＝2时，h＝30×2－5×4＝40(m)，
t＝5时，h＝30×5－5×25＝25(m)，
∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，
故③错误．
故选C．]
2．(2024·甘肃)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．
能 [∵CD＝4 m，B(6，2.68)，
∴6－4＝2，
在y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6中，
当x＝2时，y＝－0.02×22＋0.3×2＋1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴货车能完全停到车棚内．]
3．[跨学科](2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m．若实心球落地点为M，则OM＝____________________m．
[如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立平面直角坐标系．
由题意可知，P，B(5，4)，其中B点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为y＝a(x－5)2＋4，
将P代入上式，
解得a＝－，
即抛物线的表达式为y＝－(x－5)2＋4，
M为抛物线与x轴的交点，
即y＝－(x－5)2＋4＝0，
解得x1＝，x2＝－(舍去)，
∴OM＝ m．]
4．第34个全国助残日的主题是“科技助残，共享美好生活”．某公司新研发了一批便携式轮椅，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
[解] (1)由题意得y＝(200－x)
＝－0.4x2＋20x＋12 000
＝－0.4(x2－50x＋625)＋12 250
＝－0.4(x－25)2＋12 250．
∵200－x≥180，
∴x≤20．
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为－0.4(20－25)2＋12 250＝12 240(元)．
答：y与x的函数关系式为y＝－0.4x2＋20x＋12 000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元．
(2)由题意得，12 160＝－0.4(x－25)2＋12 250，
即0.4(x－25)2＝12 250－12 160，
∴0.4(x－25)2＝90，
∴(x－25)2＝225．
解得x1＝40(不合题意，舍去)，x2＝10．
∴售出轮椅的辆数为60＋4×＝64(辆)．∴售出64辆轮椅．
5．(2024·福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
[解] (1)由题意，将A(－2，0)，C(0，－2)代入 y＝x2＋bx＋c，得
∴
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2．
(2)由题意，设P(m，n)(m＜0，n＞0)，
∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴＝2，＝2．
∴＝2．
又CO＝2，
∴n＝2CO＝4．
由m2＋m－2＝4，
∴m1＝－3，m2＝2 (舍去)．
∴点P坐标为 (－3，4)．
6．(2024·内蒙古赤峰)如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝－x2＋4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，下列结论正确的是( )
A．m＋n＝1 B．m－n＝1
C．mn＝1 D．＝1
B [如图，连接AC，BD交于点E，过点A作MN⊥y轴于点M，过点B作BN⊥MN于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC，BD互相平分，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAN＋∠DAM＝90°，∠DAM＋∠ADM＝90°，
∴∠BAN＝∠ADM．
∵∠BNA＝∠AMD＝90°，BA＝AD，
∴△ANB≌△DMA(AAS)．
∴AM＝NB，DM＝AN．
∵点A，C的横坐标分别为m，n，
∴A(m，－m2＋4)，C(n，－n2＋4)，
∴E，M(0，－m2＋4)，
设D(0，b)，则B(m＋n，－m2－n2＋8－b)，
N(m＋n，－m2＋4)，
∴BN＝－n2＋4－b，AM＝m，AN＝n，
DM＝m2－4＋b．
又AM＝NB，DM＝AN，
∴－n2＋4－b＝m，n＝m2－4＋b．
∴b＝－n2－m＋4．
∴n＝m2－4－n2－m＋4．
∴(m＋n)(m－n)＝m＋n．
∵点A，C在y轴的同侧，且点A在点C的右侧，
∴m＋n≠0．
∴m－n＝1．
故选B．]
7．[情境题](2024·四川自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ________m2．
46.4 [设矩形在射线OA上的一段长为x m．
(1)当x≤8时，S＝x·＝－x2＋9.8x＝－(x－9.8)2＋48.02，
当x＝8时，S＝46.4．
(2)当x＞8时，S＝x·＝－x2＋13.8x＝－(x－6.9)2＋47.61 ，
由于在x＞8的范围内，S均小于46.4．
所以由(1)(2)得最大面积为 46.4 m2．]
8．(2024·湖南)已知二次函数y＝－x2＋c的图象经过点A(－2，5)，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函数的图象上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1＋3，求证：的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限，x2＝－2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1－1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
[解] (1)将点A的坐标代入抛物线表达式得5＝－4＋c，
则c＝9，
即抛物线的表达式为y＝－x2＋9．
(2)证明：令y＝－x2＋9＝0，则x＝±3，则点B(3，0)，
由点A，B的坐标得，直线AB的表达式为y＝－x＋3．
设点P，Q，D的坐标分别为＋9)，(x1，－x1＋3)，
则S△PDQ＝×PD×(xQ－xP)＝＋9＋x1－3)(x2－x1)＝(＋x1＋6)，
同理可得：S△ADC＝×CD×(xD－xA)＝(－x1＋3)(x1＋2)＝(＋x1＋6)，
则＝3为定值．
(3)点P，Q的坐标分别为＋9)，
由点P，Q的坐标得，直线PQ的表达式为y＝＋9＝＋9，
则MN＝yM＝＋9＝－＋，
故MN的最大值为．
9．[项目式学习试题](2024·山西)综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F(不与C，P重合)，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
[解] (1)建立如图所示的平面直角坐标系，
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，
∴OA＝OB＝AB＝×6＝3．
∴点B的坐标为(3，0)，
∵OP＝9，
∴点P的坐标为(0，9)，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋9，
∵点B(3，0)在抛物线y＝ax2＋9 上，
∴9a＋9＝0，
解得a＝－1．
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋9(－3≤x≤3)．
(2)点D，E在抛物线y＝－x2＋9 上，
∴设点E的坐标为(m，－m2＋9)，
∵DE∥AB，交y轴于点F，
∴DF＝EF＝m，OF＝－m2＋9，DE＝2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OC＝AB＝×6＝3．
∴CF＝OF－OC＝－m2＋9－3＝－m2＋6，
根据题意，得DE＋CF＝6，
∴－m2＋6＋2m＝6，
解得m＝2或m＝0(不符合题意，舍去)，
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝－m2＋6＝2．
答：DE的长为4米，CF的长为2米．
(3)如图矩形灯带为GHML，
由点A，B，C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为：y＝x＋3，y＝－x＋3，
设点G(m，－m2＋9)，H(－m，－m2＋9)，L(m，m＋3)，M(－m，－m＋3)，
则矩形周长＝2(GH＋GL)＝2(－2m－m2＋9－m－3)＝－2(m＋1.5)2＋，
故矩形周长的最大值为米．
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