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第二节 代数式、整式及因式分解
链接教材 基础过关
考点一 代数式
1．代数式：用运算符号(__________________________)把含有____或表示________连接而成的式子叫做代数式．
2．代数式的值：用____代替代数式中的字母，计算后所得的____叫做代数式的值．
加、减、乘、除、乘方、开方
数字
数的字母
数值
结果
考点二 整式
1．单项式：表示数与字母的____的代数式．单独的一个数或一个____也叫单项式．其中的________叫做单项式的系数，所有字母的______叫做单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的____．每个单项式叫做多项式的项，________的项的次数，叫做多项式的次数．
3．整式：单项式和______统称为整式．
4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的____也相同的项叫做同类项．常数项都是同类项．
乘积
字母
数字因数
指数和
和
次数最高
多项式
指数
考点三 整式的加减运算
1．合并同类项法则：同类项的____相加，所得的结果作为系数，字母和字母的____不变．
2．去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
3．整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项．
系数
指数
考点四 幂的有关运算
幂的运算法则 符号表示
同底数幂相乘 am·an＝______
同底数幂相除 am÷an＝______
幂的乘方 (am)n＝____
积的乘方 (ab)n＝_______
商的乘方
零指数幂 a0＝__(a≠0)
负指数幂
am＋n
am－n
amn
anbn
1
考点五 整式的乘除运算
1．单项式×单项式：(1)____和________分别相乘；
(2)只有一个字母的照抄．
2．单项式×多项式：m(a＋b)＝__________．
3．多项式×多项式：(m＋n)(a＋b)＝______________________．
4．单项式÷单项式：将____、________分别相除．
系数
同底数幂
ma＋mb
ma＋mb＋na＋nb
系数
同底数幂
5．多项式÷单项式：(1)多项式的每一项除以单项式；(2)商相加．
6．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝_______．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝_____________．
a2－b2
a2±2ab＋b2
考点六 因式分解的概念
1．把一个多项式化成几个________的形式，这种变形叫做因式分解．
2．分解因式与整式乘法的关系：因式分解与整式的乘法互为逆运算．
考点七 因式分解的基本方法
1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝____________．
2．公式法：
(1)平方差公式：a2－b2＝______________．
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝________．
整式的积
m(a＋b＋c)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
1．(鲁教版六上P81习题3.1T1改编)每件上衣的原价为a元，降价10%后的售价是( )
A．10%a B．(1－10%)a
C．(1＋10%)a D．(1＋90%)a
√
B [原来的价格×(1－降低的百分率)＝降价后的价格，据此即可列出代数式．]
2．当x＝－1时，代数式－x2＋1的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
√
B [把x＝－1代入－x2＋1＝－(－1)2＋1＝0，故选B．]
√
4．下列计算正确的是( )
A．a6＋a6＝a12 B．a5·a2＝a10
C．(2a2)4＝2a8 D．a12÷a5＝a7
√
D [a6＋a6＝2a6，故A不符合题意；a5·a2＝a7，故B不符合题意；(2a2)4＝16a8，故C不符合题意；a12÷a5＝a7，故D符合题意，故选D．]
C [a－4a3＝a(1－4a2)＝a(1＋2a)(1－2a)，因此选项A不符合题意；3x－6y＋3＝3(x－2y＋1)，因此选项B不符合题意；x2＋2x＋1＝(x＋1)2，因此选项C符合题意；x2－2x＋1＝(x－1)2，因此选项D不符合题意，故选C．]
5．(鲁教版八上P16复习题T1改编)下列分解因式正确的是( )
A．a－4a3＝(1＋2a)(1－2a3) B．3x－6y＋3＝3(x－2y)
C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D．x2－2x－1＝(x－1)2
√
考点突破 对点演练
√
(2)若x满足x2＋3x－5＝0，则代数式2x2＋6x－3的值为( )
A．5 B．7
C．10 D．－13
√
归纳总结 求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简，再求值．一般地，题型有以下三种：
(1)已知条件不化简，所给代数式化简；
(2)已知条件化简，所给代数式不化简；
(3)已知条件和所给代数式都要化简．
[对点演练]
1．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为( )
A．8x元 B．10(100－x)元
C．8(100－x)元 D．(100－8x)元
C [乙的单价×乙的本数＝乙的费用．]
√
A [原式＝a2－2a＋1＋a2－4＝2a2－2a－3＝2(a2－a)－3，∵a2－a－2＝0，∴a2－a＝2，∴原式＝2×2－3＝1．故选A．]
2．如果a2－a－2＝0，那么代数式(a－1)2＋(a＋2)(a－2)的值为
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
√
B [x2＋1是多项式；xy是二次单项式；x2y是三次单项式；22x是一次单项式，故选B．]
命题点2 整式的有关概念
【典例2】 下列整式中，是二次单项式的是( )
A．x2＋1 B．xy
C．x2y D．22x
√
[对点演练]
1．(2024·泰安)单项式－3ab2的次数是________．
3 [∵单项式－3ab2中，a的指数是1，b的指数是2，∴此单项式的次数为1＋2＝3．]
3
2．若多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，则mn＝________．
0或8 [∵多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，∴n－2＝0，1＋|m－n|＝3，∴n＝2，|m－n|＝2，∴m－n＝2或n－m＝2，∴m＝4或m＝0，∴mn＝0或8．]
0或8
D [2x2y与－3xy2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；4x8y2÷2x2y2＝2x6，故B不符合题意；(x－y)(－x－y)＝y2－x2，故C不符合题意；(x2y3)2＝x4y6，故D符合题意，故选D．]
命题点3 整式的运算
【典例3】 (2024·泰安)下列运算正确的是( )
A．2x2y－3xy2＝－x2y B．4x8y2÷2x2y2＝2x4
C．(x－y)(－x－y)＝x2－y2 D．(x2y3)2＝x4y6
√
归纳总结 解此类题目的关键是熟记幂运算公式及其成立的条件，确定出幂的底数和指数，注意公式的正向和逆向应用．
D [A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．(a－1)2＝a2－2a＋1，故B不符合题意；
C．(a3b)2＝a6b2，故C不符合题意；
D．a(2a＋1)＝2a2＋a，故D符合题意．故选D．]
[对点演练]
1．(2024·山东)下列运算正确的是( )
A．a4＋a3＝a7 B．(a－1)2＝a2－1
C．(a3b)2＝a3b2 D．a(2a＋1)＝2a2＋a
√
2．计算：2a(a＋b)＋a3b4÷a3b2－(a2＋2ab)．
[解] 原式＝2a2＋2ab＋b2－a2－2ab＝a2＋b2．
C [A选项，原式＝4x；B选项，原式＝a；D选项，原式＝x2－2xy＋y2．故选C．]
√
【教师备选资源】
1．(2022·泰安)下列运算正确的是( )
A．6x－2x＝4 B．a－2·a3＝a－6
C．x6÷x3＝x3 D．(x－y)2＝x2－y2
D [A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并；B选项，原式＝－8x3；
C选项，原式＝x2＋2xy＋y2；D选项，原式＝22－(3x)2＝4－9x2．故选D．]
√
2．(2021·泰安)下列运算正确的是( )
A．2x2＋3x3＝5x5 B．(－2x)3＝－6x3
C．(x＋y)2＝x2＋y2 D．(3x＋2)(2－3x)＝4－9x2
D [3xy－xy＝2xy；x3·x4＝x7；x－10÷x2＝x－12．故选D．]
√
3．(2020·泰安)下列运算正确的是( )
A．3xy－xy＝2 B．x3·x4＝x12
C．x－10÷x2＝x－5 D．(－x3)2＝x6
3a(x－y)2 [3ax2－6axy＋3ay2＝3a(x2－2xy＋y2)＝3a(x－y)2．]
命题点4 因式分解
【典例4】 (2024·内蒙古通辽)因式分解：3ax2－6axy＋3ay2＝_____________．
3a(x－y)2
温馨提示 一个多项式有公因式首先考虑提取公因式，然后考虑用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
A [原式＝a(a2－9)＝a(a－3)(a＋3)，故选A．]
[对点演练]
1．(2024·云南)因式分解：a3－9a＝( )
A．a(a－3)(a＋3)
B．a(a2＋9)
C．(a－3)(a＋3)
D．a2(a－9)
√
xy(x＋2) [直接提取公因式xy即可．]
2．(2024·山东)因式分解：x2y＋2xy＝________．
(a－1)2 [(a＋1)2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1＝(a－1)2．]
3．(2024·四川广元)因式分解：(a＋1)2－4a＝________．
3(x－3)2 [3x2－18x＋27＝3(x2－6x＋9)＝3(x－3)2．]
4．(2024·四川达州)因式分解：3x2－18x＋27＝________．
xy(x＋2)
(a－1)2
3(x－3)2
命题点5 数式规律探索
【典例5】 (2022·泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是 ____________．
(10，18)
(10，18) [∵第n行的最后一个数是n2，第n行有(2n－1)个数，∴99＝102－1在第10行倒数第二个，第10行有：2×10－1＝19个数，∴表示99的有序数对是(10，18)．]
归纳总结 认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出一般公式．
[对点演练]
(2020·泰安)如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3……第n个数记为an，则a4＋a200＝________．
20 110
【教师备选资源】
(2024·泰安)如图所示，是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第________个“小屋子”中图形“ ”个数是图形“ ”个数的3倍．
12
12 [由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“ ”的个数为：1＝1，“ ”的个数为：4＝1×2＋2；
第2个“小屋子”中图形“ ”的个数为：3＝1＋2，“ ”的个数为：6＝2×2＋2；
第3个“小屋子”中图形“ ”的个数为：6＝1＋2＋3，“ ”的个数为：8＝3×2＋2；
第4个“小屋子”中图形“ ”的个数为：10＝1＋2＋3＋4，“ ”的个数为：10＝4×2＋2；
…，
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共69分)
B [“a与b的差的5倍”用代数式表示为：5(a－b)．故选B．]
课时分层评价卷(二) 代数式、整式及因式分解
√
2．(2024·四川内江)下列单项式中，ab3的同类项是( )
A．3ab3 B．2a2b3
C．－a2b2 D．a3b
√
A [根据同类项的定义可知，ab3的同类项是3ab3．故选A．]
3．(2024·青海)计算12x－20x的结果是( )
A．8x B．－8x
C．－8 D．x2
√
B [原式＝(12－20)x＝－8x，故选B．]
√
5．(2024·四川眉山)下列运算中正确的是( )
A．a2－a＝a B．a·a2＝a3
C．(a2)3＝a5 D．(2ab2)3＝6a3b6
√
B [a2与a不是同类项，无法合并，则A不符合题意；a·a2＝a3，则B符合题意；(a2)3＝a6，则C不符合题意；(2ab2)3＝8a3b6，则D不符合题意．故选B．]
6．(2024·甘肃兰州)计算：2a(a－1)－2a2＝( )
A．a B．－a
C．2a D．－2a
√
D [2a(a－1)－2a2＝2a2－2a－2a2＝－2a．故选D．]
7．[情境题]从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会( )
A．没有变化 B．变大了
C．变小了 D．无法确定
√
C [∵矩形的面积为(a＋6)(a－6)＝a2－36，∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，故选C．]
8．(2024·吉林长春)单项式－2a2b的次数是 ________．
3 [单项式－2a2b的次数是：2＋1＝3．]
9．计算：8x3y÷(2x)2＝________．
2xy [原式＝8x3y÷4x2＝2xy．]
3
2xy
10．雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元，儿童票每张10元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 ____________元．
20m＋10n [根据票价乘对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用，然后求和可得．]
20m＋10n
11．(2024·北京)因式分解：x3－25x＝_________________．
x(x＋5)(x－5) [x3－25x＝x(x2－25)＝x(x＋5)(x－5)．]
12．(2024·内蒙古)因式分解：a＋2ab＋ab2＝____________．
a(b＋1)2 [原式＝a(1＋2b＋b2)＝a(b＋1)2．]
13．(2024·四川德阳)若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy＋2y2－5，则这个多项式为 ________．
y2－1 [3xy＋2y2－5－(y2＋3xy－4)＝3xy＋2y2－5－y2－3xy＋4＝y2－1．]
x(x＋5)(x－5)
a(b＋1)2
y2－1
a(a＋1)×100＋25
16．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是( )
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D．(ab)2＝a2b2
√
A [根据题意，大正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．故选A．]
17．(2024·广西)如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为
( )
A．0 B．1
C．4 D．9
√
D [∵a＋b＝3，ab＝1，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝1×32＝9，故选D．]
18．[数学文化]古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作，它的内容丰富，而且大多和实际生活密切联系，反映出中国古代先贤的智能，同时也显出古代中国数学的研究多以实用性为主．如图所给的程序框图的算法思路就是源于《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出M的值为5，那么输入x的值为( )
A．－2
B．－8
C．1
D．8
√
B [若x＞3，
∵x2－x＋3＝x(x－1)＋3，x－1＞2，
∴x(x－1)＞6，
∴x2－x＋3＞9，
∴输出的M值不可能为5．
19．(2024·河北)若a，b是正整数，且满足
，则a与b的关系正确的是( )
A．a＋3＝8b B．3a＝8b
C．a＋3＝b8 D．3a＝8＋b
√
A [根据已知得，8×2a＝28b，即2a+3＝28b，∴a＋3＝8b．故选A．]
√
21．[归纳猜想题](2024·宁夏)观察下列等式：
第1个：1×2－2＝22×0；
第2个：4×3－3＝32×1；
第3个：9×4－4＝42×2；
第4个：16×5－5＝52×3．
……
按照以上规律，第n个等式为 _______________________________．
n2×(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2×(n－1)
22．[规律探究题](2024·四川成都)在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；…．若n＝6，则k的值为________；若n＝24，则k的值为 ________．
9
144
9 144 [当n＝6时，从1，2，3，4，5，6中，取两个数的和大于6，这两个数分别是{6，1}，{6，2}，{6，3}，{6，4}，{6，5}，{5，2}，{5，3}，{5，4}，{4，3}，
∴k＝5＋3＋1＝9；
当n＝24时，从1，2，3，…，22，23，24中，取两个数的和大于24，这两个数分别是：{24，1}，{24，2}…{24，23}，{23，2}，{23，3}…{23，22}，{22，3}，{22，4}…{22，21}，
…
{14，11}，{14，12}，{14，13}，{13，12}，
∴k＝23＋21＋19＋…＋3＋1＝144．故答案为9，144．]第二节 代数式、整式及因式分解
考点一 代数式
1．代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把含有数字或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．
2．代数式的值：用数值代替代数式中的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
考点二 整式
1．单项式：表示数与字母的乘积的代数式．单独的一个数或一个字母也叫单项式．其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的和．每个单项式叫做多项式的项，次数最高的项的次数，叫做多项式的次数．
3．整式：单项式和多项式统称为整式．
4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．常数项都是同类项．
考点三 整式的加减运算
1．合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
2．去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
3．整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项．
考点四 幂的有关运算
幂的运算法则 符号表示
同底数幂相乘 am·an＝am＋n
同底数幂相除 am÷an＝am－n
幂的乘方 (am)n＝amn
积的乘方 (ab)n＝anbn
商的乘方 ＝
零指数幂 a0＝1(a≠0)
负指数幂 a－p＝(a≠0，p是正整数)
考点五 整式的乘除运算
1．单项式×单项式：(1)系数和同底数幂分别相乘；
(2)只有一个字母的照抄．
2．单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb．
3．多项式×多项式：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
4．单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除．
5．多项式÷单项式：(1)多项式的每一项除以单项式；(2)商相加．
6．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
考点六 因式分解的概念
1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．
2．分解因式与整式乘法的关系：因式分解与整式的乘法互为逆运算．
考点七 因式分解的基本方法
1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)_．
2．公式法：
(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
1．(鲁教版六上P81习题3.1T1改编)每件上衣的原价为a元，降价10%后的售价是( )
A．10%a B．(1－10%)a
C．(1＋10%)a D．(1＋90%)a
B [原来的价格×(1－降低的百分率)＝降价后的价格，据此即可列出代数式．]
2．当x＝－1时，代数式－x2＋1的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
B [把x＝－1代入－x2＋1＝－(－1)2＋1＝0，故选B．]
3．下列说法正确的是( )
A．x2＋2x＋3是三次多项式
B．单项式x的次数是0
C．单项式的次数是1
D．π是单项式
D [x2＋2x＋3是二次三项式，故A错误；单项式x的次数是1，故B错误；单项式的次数是－1，故C错误；π是单项式，故D正确．故选D．]
4．下列计算正确的是( )
A．a6＋a6＝a12 B．a5·a2＝a10
C．(2a2)4＝2a8 D．a12÷a5＝a7
D [a6＋a6＝2a6，故A不符合题意；a5·a2＝a7，故B不符合题意；(2a2)4＝16a8，故C不符合题意；a12÷a5＝a7，故D符合题意，故选D．]
5．(鲁教版八上P16复习题T1改编)下列分解因式正确的是( )
A．a－4a3＝(1＋2a)(1－2a3)
B．3x－6y＋3＝3(x－2y)
C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2
D．x2－2x－1＝(x－1)2
C [a－4a3＝a(1－4a2)＝a(1＋2a)(1－2a)，因此选项A不符合题意；3x－6y＋3＝3(x－2y＋1)，因此选项B不符合题意；x2＋2x＋1＝(x＋1)2，因此选项C符合题意；x2－2x＋1＝(x－1)2，因此选项D不符合题意，故选C．]
命题点1 代数式及求值
【典例1】 (1)数学老师给所教的80名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了m元，则每件礼物的价格可表示为( )
A．元 B．(80－m)元
C．元 D．80m元
(2)若x满足x2＋3x－5＝0，则代数式2x2＋6x－3的值为( )
A．5 B．7
C．10 D．－13
(1)A (2)B [(1)由题意知，因为m元购买了80件相同的纪念品，所以每件礼物的价格可表示为元．故选A．
(2)∵x2＋3x－5＝0，∴x2＋3x＝5，∴2x2＋6x－3＝2(x2＋3x)－3＝2×5－3＝7．故选B．]
求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简，再求值．一般地，题型有以下三种：
(1)已知条件不化简，所给代数式化简；
(2)已知条件化简，所给代数式不化简；
(3)已知条件和所给代数式都要化简．
[对点演练]
1．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为( )
A．8x元 B．10(100－x)元
C．8(100－x)元 D．(100－8x)元
C [乙的单价×乙的本数＝乙的费用．]
2．如果a2－a－2＝0，那么代数式(a－1)2＋(a＋2)(a－2)的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [原式＝a2－2a＋1＋a2－4＝2a2－2a－3＝2(a2－a)－3，∵a2－a－2＝0，∴a2－a＝2，∴原式＝2×2－3＝1．故选A．]
命题点2 整式的有关概念
【典例2】 下列整式中，是二次单项式的是( )
A．x2＋1 B．xy
C．x2y D．22x
B [x2＋1是多项式；xy是二次单项式；x2y是三次单项式；22x是一次单项式，故选B．]
[对点演练]
1．(2024·泰安)单项式－3ab2的次数是________．
3 [∵单项式－3ab2中，a的指数是1，b的指数是2，∴此单项式的次数为1＋2＝3．]
2．若多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，则mn＝________．
0或8 [∵多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，∴n－2＝0，1＋|m－n|＝3，∴n＝2，|m－n|＝2，∴m－n＝2或n－m＝2，∴m＝4或m＝0，∴mn＝0或8．]
命题点3 整式的运算
【典例3】 (2024·泰安)下列运算正确的是( )
A．2x2y－3xy2＝－x2y
B．4x8y2÷2x2y2＝2x4
C．(x－y)(－x－y)＝x2－y2
D．(x2y3)2＝x4y6
D [2x2y与－3xy2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；4x8y2÷2x2y2＝2x6，故B不符合题意；(x－y)(－x－y)＝y2－x2，故C不符合题意；(x2y3)2＝x4y6，故D符合题意，故选D．]
解此类题目的关键是熟记幂运算公式及其成立的条件，确定出幂的底数和指数，注意公式的正向和逆向应用．
[对点演练]
1．(2024·山东)下列运算正确的是( )
A．a4＋a3＝a7 B．(a－1)2＝a2－1
C．(a3b)2＝a3b2 D．a(2a＋1)＝2a2＋a
D [A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．(a－1)2＝a2－2a＋1，故B不符合题意；
C．(a3b)2＝a6b2，故C不符合题意；
D．a(2a＋1)＝2a2＋a，故D符合题意．
故选D．]
2．计算：2a(a＋b)＋a3b4÷a3b2－(a2＋2ab)．
[解] 原式＝2a2＋2ab＋b2－a2－2ab＝a2＋b2．
【教师备选资源】
1．(2022·泰安)下列运算正确的是( )
A．6x－2x＝4
B．a-2·a3＝a-6
C．x6÷x3＝x3
D．(x－y)2＝x2－y2
C [A选项，原式＝4x；B选项，原式＝a；D选项，原式＝x2－2xy＋y2．故选C．]
2．(2021·泰安)下列运算正确的是( )
A．2x2＋3x3＝5x5
B．(－2x)3＝－6x3
C．(x＋y)2＝x2＋y2
D．(3x＋2)(2－3x)＝4－9x2
D [A选项，2x2与3x3不是同类项，不能合并；B选项，原式＝－8x3；C选项，原式＝x2＋2xy＋y2；D选项，原式＝22－(3x)2＝4－9x2．故选D．]
3．(2020·泰安)下列运算正确的是( )
A．3xy－xy＝2 B．x3·x4＝x12
C．x-10÷x2＝x-5 D．(－x3)2＝x6
D [3xy－xy＝2xy；x3·x4＝x7；x-10÷x2＝x-12．故选D．]
命题点4 因式分解
【典例4】 (2024·内蒙古通辽)因式分解：3ax2－6axy＋3ay2＝________．
3a(x－y)2 [3ax2－6axy＋3ay2＝3a(x2－2xy＋y2)＝3a(x－y)2．]
一个多项式有公因式首先考虑提取公因式，然后考虑用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
[对点演练]
1．(2024·云南)因式分解：a3－9a＝( )
A．a(a－3)(a＋3)
B．a(a2＋9)
C．(a－3)(a＋3)
D．a2(a－9)
A [原式＝a(a2－9)＝a(a－3)(a＋3)，故选A．]
2．(2024·山东)因式分解：x2y＋2xy＝________．
xy(x＋2) [直接提取公因式xy即可．]
3．(2024·四川广元)因式分解：(a＋1)2－4a＝________．
(a－1)2 [(a＋1)2－4a＝a2＋2a＋1－4a＝a2－2a＋1＝(a－1)2．]
4．(2024·四川达州)因式分解：3x2－18x＋27＝________．
3(x－3)2 [3x2－18x＋27＝3(x2－6x＋9)＝3(x－3)2．]
命题点5 数式规律探索
【典例5】 (2022·泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是 ________．
(10，18) [∵第n行的最后一个数是n2，第n行有(2n－1)个数，∴99＝102－1在第10行倒数第二个，第10行有：2×10－1＝19个数，∴表示99的有序数对是(10，18)．]
认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出一般公式．
[对点演练]
(2020·泰安)如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3……第n个数记为an，则a4＋a200＝________．
20 110 [观察“杨辉三角”可知第n个数记为an＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)，
则a4＋a200＝×4×(4＋1)＋×200×(200＋1)＝20 110．]
【教师备选资源】
(2024·泰安)如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第 ________个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的3倍．
12 [由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“”的个数为：1＝1，“”的个数为：4＝1×2＋2；
第2个“小屋子”中图形“”的个数为：3＝1＋2，“”的个数为：6＝2×2＋2；
第3个“小屋子”中图形“”的个数为：6＝1＋2＋3，“”的个数为：8＝3×2＋2；
第4个“小屋子”中图形“”的个数为：10＝1＋2＋3＋4，“”的个数为：10＝4×2＋2；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“”的个数为：1＋2＋3＋…＋n＝，“”的个数为：2n＋2．
由题意知，＝3(2n＋2)，
解得n1＝－1，n2＝12，
又因为n为正整数，
所以n＝12，
即第12个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的3倍．]
课时分层评价卷(二) 代数式、整式及因式分解
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共69分)
1．“a与b的差的5倍”用代数式表示为( )
A． B．5(a－b)
C．5a－b D．a－5b
B [“a与b的差的5倍”用代数式表示为：5(a－b)．故选B．]
2．(2024·四川内江)下列单项式中，ab3的同类项是( )
A．3ab3 B．2a2b3
C．－a2b2 D．a3b
A [根据同类项的定义可知，ab3的同类项是3ab3．故选A．]
3．(2024·青海)计算12x－20x的结果是( )
A．8x B．－8x
C．－8 D．x2
B [原式＝(12－20)x＝－8x，故选B．]
4．下列说法中正确的是( )
A．是单项式 B．－πx的系数为－1
C．－5不是单项式 D．－5a2b的次数是3
D [是多项式，故A错误；－πx 的系数为－π，故B错误；－5是单项式，故C错误；－5a2b的次数是3，故D正确．故选D．]
5．(2024·四川眉山)下列运算中正确的是( )
A．a2－a＝a B．a·a2＝a3
C．(a2)3＝a5 D．(2ab2)3＝6a3b6
B [a2与a不是同类项，无法合并，则A不符合题意；a·a2＝a3，则B符合题意；(a2)3＝a6，则C不符合题意；(2ab2)3＝8a3b6，则D不符合题意．故选B．]
6．(2024·甘肃兰州)计算：2a(a－1)－2a2＝( )
A．a B．－a
C．2a D．－2a
D [2a(a－1)－2a2＝2a2－2a－2a2＝－2a．故选D．]
7．[情境题]从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会( )
A．没有变化 B．变大了
C．变小了 D．无法确定
C [∵矩形的面积为(a＋6)(a－6)＝a2－36，∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米，故选C．]
8．(2024·吉林长春)单项式－2a2b的次数是 ________．
3 [单项式－2a2b的次数是：2＋1＝3．]
9．计算：8x3y÷(2x)2＝________．
2xy [原式＝8x3y÷4x2＝2xy．]
10．雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元，儿童票每张10元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费 ________元．
20m＋10n [根据票价乘对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用，然后求和可得．]
11．(2024·北京)因式分解：x3－25x＝________．
x(x＋5)(x－5) [x3－25x＝x(x2－25)＝x(x＋5)(x－5)．]
12．(2024·内蒙古)因式分解：a＋2ab＋ab2＝________．
a(b＋1)2 [原式＝a(1＋2b＋b2)＝a(b＋1)2．]
13．(2024·四川德阳)若一个多项式加上y2＋3xy－4，结果是3xy＋2y2－5，则这个多项式为 ________．
y2－1 [3xy＋2y2－5－(y2＋3xy－4)＝3xy＋2y2－5－y2－3xy＋4＝y2－1．]
14．[规律探究题]代数推理
15×15＝225＝2×100＋25
25×25＝625＝6×100＋25
35×35＝1 225＝12×100＋25
……
试探究两位数的(即个位数字是5，十位数字是a的两位数)平方的一般规律，＝(10a＋5)2＝________．
a(a＋1)×100＋25 [由题意可得，15×15＝225＝2×100＋25＝1×(1＋1)×100＋25，
25×25＝625＝6×100＋25＝2×(2＋1)×100＋25，
35×35＝1 225＝12×100＋25＝3×(3＋1)×100＋25，
……，
则两位数的(即个位数字是5，十位数字是a的两位数)平方的一般规律，＝(10a＋5)2＝a(a＋1)×100＋25．]
15．先化简，再求值：
(1)(2024·济宁)x(y－4x)＋(2x＋y)(2x－y)，其中x＝，y＝2；
(2)(2024·甘肃)[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b，其中a＝2，b＝－1．
[解] (1)原式＝(xy－4x2)＋(4x2－y2)＝xy－4x2＋4x2－y2＝xy－y2，
当x＝，y＝2时，原式＝×2－22＝1－4＝－3．
(2)原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b＝(4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2)÷2b＝(4ab＋2b2)÷2b＝2a＋b，
当a＝2，b＝－1时，
原式＝2×2－1＝3．
16．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是( )
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
D．(ab)2＝a2b2
A [根据题意，大正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．故选A．]
17．(2024·广西)如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为( )
A．0 B．1
C．4 D．9
D [∵a＋b＝3，ab＝1，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝1×32＝9，故选D．]
18．[数学文化]古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作，它的内容丰富，而且大多和实际生活密切联系，反映出中国古代先贤的智能，同时也显出古代中国数学的研究多以实用性为主．如图所给的程序框图的算法思路就是源于《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输出M的值为5，那么输入x的值为( )
A．－2 B．－8
C．1 D．8
B [若x＞3，
∵x2－x＋3＝x(x－1)＋3，x－1＞2，
∴x(x－1)＞6，
∴x2－x＋3＞9，
∴输出的M值不可能为5．
若x≤3，
∵输出M的值为5，
∴＋1＝5，
∴|x|＝8，
∵x≤3，
∴x＝－8，故选B．]
19．(2024·河北)若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是( )
A．a＋3＝8b B．3a＝8b
C．a＋3＝b8 D．3a＝8＋b
A [根据已知得，8×2a＝28b，即2a+3＝28b，∴a＋3＝8b．故选A．]
20．[新定义问题]对于任意的有理数a，b，如果满足＝，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为(a，b)．若(m，n)是“相随数对”，则3m＋2[3m＋(2n－1)]＝( )
A．－2 B．－1
C．2 D．3
A [∵(m，n)是“相随数对”，
∴＝，
∴＝，
即9m＋4n＝0，
∴3m＋2[3m＋(2n－1)]
＝3m＋2(3m＋2n－1)
＝3m＋6m＋4n－2
＝9m＋4n－2
＝0－2
＝－2．
故选A．]
21．[归纳猜想题](2024·宁夏)观察下列等式：
第1个：1×2－2＝22×0；
第2个：4×3－3＝32×1；
第3个：9×4－4＝42×2；
第4个：16×5－5＝52×3．
……
按照以上规律，第n个等式为 ________．
[答案] n2×(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2×(n－1)
22．[规律探究题](2024·四川成都)在综合实践活动中，数学兴趣小组对1～n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究．发现：当n＝2时，只有{1，2}一种取法，即k＝1；当n＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取法，即k＝2；当n＝4时，可得k＝4；…．若n＝6，则k的值为 ________；若n＝24，则k的值为 ________．
9 144 [当n＝6时，从1，2，3，4，5，6中，取两个数的和大于6，这两个数分别是{6，1}，{6，2}，{6，3}，{6，4}，{6，5}，{5，2}，{5，3}，{5，4}，{4，3}，
∴k＝5＋3＋1＝9；
当n＝24时，从1，2，3，…，22，23，24中，取两个数的和大于24，这两个数分别是：
{24，1}，{24，2}…{24，23}，
{23，2}，{23，3}…{23，22}，
{22，3}，{22，4}…{22，21}，
…
{14，11}，{14，12}，{14，13}，
{13，12}，
∴k＝23＋21＋19＋…＋3＋1＝144．
故答案为9，144．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二节 代数式、整式及因式分解
考点一 代数式
1．代数式：用运算符号(________)把含有________或表示________连接而成的式子叫做代数式．
2．代数式的值：用________代替代数式中的字母，计算后所得的________叫做代数式的值．
考点二 整式
1．单项式：表示数与字母的________的代数式．单独的一个数或一个________也叫单项式．其中的________叫做单项式的系数，所有字母的________叫做单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的________．每个单项式叫做多项式的项，________的项的次数，叫做多项式的次数．
3．整式：单项式和________统称为整式．
4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的________也相同的项叫做同类项．常数项都是同类项．
考点三 整式的加减运算
1．合并同类项法则：同类项的________相加，所得的结果作为系数，字母和字母的________不变．
2．去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
3．整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项．
考点四 幂的有关运算
幂的运算法则 符号表示
同底数幂相乘 am·an＝________
同底数幂相除 am÷an＝________
幂的乘方 (am)n＝________
积的乘方 (ab)n＝________
商的乘方 ＝______
零指数幂 a0＝________(a≠0)
负指数幂 a－p＝______(a≠0，p是正整数)
考点五 整式的乘除运算
1．单项式×单项式：(1)________和________分别相乘；
(2)只有一个字母的照抄．
2．单项式×多项式：m(a＋b)＝________．
3．多项式×多项式：(m＋n)(a＋b)＝________．
4．单项式÷单项式：将________、________分别相除．
5．多项式÷单项式：(1)多项式的每一项除以单项式；(2)商相加．
6．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝________．
考点六 因式分解的概念
1．把一个多项式化成几个________的形式，这种变形叫做因式分解．
2．分解因式与整式乘法的关系：因式分解与整式的乘法互为逆运算．
考点七 因式分解的基本方法
1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝_________．
2．公式法：
(1)平方差公式：a2－b2＝________．
(2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝________．
1．(鲁教版六上P81习题3.1T1改编)每件上衣的原价为a元，降价10%后的售价是( )
A．10%a B．(1－10%)a
C．(1＋10%)a D．(1＋90%)a
2．当x＝－1时，代数式－x2＋1的值是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．下列说法正确的是( )
A．x2＋2x＋3是三次多项式
B．单项式x的次数是0
C．单项式的次数是1
D．π是单项式
4．下列计算正确的是( )
A．a6＋a6＝a12 B．a5·a2＝a10
C．(2a2)4＝2a8 D．a12÷a5＝a7
5．(鲁教版八上P16复习题T1改编)下列分解因式正确的是( )
A．a－4a3＝(1＋2a)(1－2a3)
B．3x－6y＋3＝3(x－2y)
C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2
D．x2－2x－1＝(x－1)2
命题点1 代数式及求值
【典例1】 (1)数学老师给所教的80名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了m元，则每件礼物的价格可表示为( )
A．元 B．(80－m)元
C．元 D．80m元
(2)若x满足x2＋3x－5＝0，则代数式2x2＋6x－3的值为( )
A．5 B．7
C．10 D．－13
[听课记录]
求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简，再求值．一般地，题型有以下三种：
(1)已知条件不化简，所给代数式化简；
(2)已知条件化简，所给代数式不化简；
(3)已知条件和所给代数式都要化简．
[对点演练]
1．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为( )
A．8x元 B．10(100－x)元
C．8(100－x)元 D．(100－8x)元
2．如果a2－a－2＝0，那么代数式(a－1)2＋(a＋2)(a－2)的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
命题点2 整式的有关概念
【典例2】 下列整式中，是二次单项式的是( )
A．x2＋1 B．xy
C．x2y D．22x
[听课记录]
[对点演练]
1．(2024·泰安)单项式－3ab2的次数是________．
2．若多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，则mn＝________．
命题点3 整式的运算
【典例3】 (2024·泰安)下列运算正确的是( )
A．2x2y－3xy2＝－x2y
B．4x8y2÷2x2y2＝2x4
C．(x－y)(－x－y)＝x2－y2
D．(x2y3)2＝x4y6
[听课记录]
解此类题目的关键是熟记幂运算公式及其成立的条件，确定出幂的底数和指数，注意公式的正向和逆向应用．
[对点演练]
1．(2024·山东)下列运算正确的是( )
A．a4＋a3＝a7 B．(a－1)2＝a2－1
C．(a3b)2＝a3b2 D．a(2a＋1)＝2a2＋a
2．计算：2a(a＋b)＋a3b4÷a3b2－(a2＋2ab)．
命题点4 因式分解
【典例4】 (2024·内蒙古通辽)因式分解：3ax2－6axy＋3ay2＝________．
[听课记录]
一个多项式有公因式首先考虑提取公因式，然后考虑用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
[对点演练]
1．(2024·云南)因式分解：a3－9a＝( )
A．a(a－3)(a＋3)
B．a(a2＋9)
C．(a－3)(a＋3)
D．a2(a－9)
2．(2024·山东)因式分解：x2y＋2xy＝________．
3．(2024·四川广元)因式分解：(a＋1)2－4a＝________．
4．(2024·四川达州)因式分解：3x2－18x＋27＝________．
命题点5 数式规律探索
【典例5】 (2022·泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是 ________．
[听课记录]
认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出一般公式．
[对点演练]
(2020·泰安)如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3……第n个数记为an，则a4＋a200＝________．
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