中考数学复习基础专项 第一章第二节 代数式、整式及因式分解 课件(共63张PPT)+学案

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名称 中考数学复习基础专项 第一章第二节 代数式、整式及因式分解 课件(共63张PPT)+学案
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-05-05 18:42:44

文档简介

(共63张PPT)
第二节 代数式、整式及因式分解
链接教材 基础过关
考点一 代数式
1.代数式:用运算符号(__________________________)把含有____或表示________连接而成的式子叫做代数式.
2.代数式的值:用____代替代数式中的字母,计算后所得的____叫做代数式的值.
加、减、乘、除、乘方、开方
数字
数的字母
数值
结果
考点二 整式
1.单项式:表示数与字母的____的代数式.单独的一个数或一个____也叫单项式.其中的________叫做单项式的系数,所有字母的______叫做单项式的次数.
2.多项式:几个单项式的____.每个单项式叫做多项式的项,________的项的次数,叫做多项式的次数.
3.整式:单项式和______统称为整式.
4.同类项:所含字母相同,并且相同字母的____也相同的项叫做同类项.常数项都是同类项.
乘积
字母
数字因数
指数和

次数最高
多项式
指数
考点三 整式的加减运算
1.合并同类项法则:同类项的____相加,所得的结果作为系数,字母和字母的____不变.
2.去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变;
括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变.
3.整式的加减运算法则:先去括号,再合并同类项.
系数
指数
考点四 幂的有关运算
幂的运算法则 符号表示
同底数幂相乘 am·an=______
同底数幂相除 am÷an=______
幂的乘方 (am)n=____
积的乘方 (ab)n=_______
商的乘方
零指数幂 a0=__(a≠0)
负指数幂
am+n
am-n
amn
anbn
1

考点五 整式的乘除运算
1.单项式×单项式:(1)____和________分别相乘;
(2)只有一个字母的照抄.
2.单项式×多项式:m(a+b)=__________.
3.多项式×多项式:(m+n)(a+b)=______________________.
4.单项式÷单项式:将____、________分别相除.
系数
同底数幂
ma+mb
ma+mb+na+nb
系数
同底数幂
5.多项式÷单项式:(1)多项式的每一项除以单项式;(2)商相加.
6.乘法公式
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=_______.
(2)完全平方公式:(a±b)2=_____________.
a2-b2
a2±2ab+b2
考点六 因式分解的概念
1.把一个多项式化成几个________的形式,这种变形叫做因式分解.
2.分解因式与整式乘法的关系:因式分解与整式的乘法互为逆运算.
考点七 因式分解的基本方法
1.提公因式法:ma+mb+mc=____________.
2.公式法:
(1)平方差公式:a2-b2=______________.
(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=________.
整式的积
m(a+b+c)
(a+b)(a-b)
(a±b)2
1.(鲁教版六上P81习题3.1T1改编)每件上衣的原价为a元,降价10%后的售价是(  )
A.10%a B.(1-10%)a
C.(1+10%)a D.(1+90%)a

B [原来的价格×(1-降低的百分率)=降价后的价格,据此即可列出代数式.]
2.当x=-1时,代数式-x2+1的值是(  )
A.-1  B.0  C.1  D.2

B [把x=-1代入-x2+1=-(-1)2+1=0,故选B.]

4.下列计算正确的是(  )
A.a6+a6=a12 B.a5·a2=a10
C.(2a2)4=2a8 D.a12÷a5=a7

D [a6+a6=2a6,故A不符合题意;a5·a2=a7,故B不符合题意;(2a2)4=16a8,故C不符合题意;a12÷a5=a7,故D符合题意,故选D.]
C [a-4a3=a(1-4a2)=a(1+2a)(1-2a),因此选项A不符合题意;3x-6y+3=3(x-2y+1),因此选项B不符合题意;x2+2x+1=(x+1)2,因此选项C符合题意;x2-2x+1=(x-1)2,因此选项D不符合题意,故选C.]
5.(鲁教版八上P16复习题T1改编)下列分解因式正确的是(  )
A.a-4a3=(1+2a)(1-2a3) B.3x-6y+3=3(x-2y) 
C.x2+2x+1=(x+1)2  D.x2-2x-1=(x-1)2

考点突破 对点演练

(2)若x满足x2+3x-5=0,则代数式2x2+6x-3的值为(  )
A.5 B.7
C.10 D.-13

归纳总结 求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简,再求值.一般地,题型有以下三种:
(1)已知条件不化简,所给代数式化简;
(2)已知条件化简,所给代数式不化简;
(3)已知条件和所给代数式都要化简.
[对点演练]
1.为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的单价为10元/本,乙种读本的单价为8元/本,设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为(  )
A.8x元 B.10(100-x)元
C.8(100-x)元 D.(100-8x)元
C [乙的单价×乙的本数=乙的费用.]

A [原式=a2-2a+1+a2-4=2a2-2a-3=2(a2-a)-3,∵a2-a-2=0,∴a2-a=2,∴原式=2×2-3=1.故选A.]
2.如果a2-a-2=0,那么代数式(a-1)2+(a+2)(a-2)的值为
(  )
A.1 B.2
C.3 D.4

B [x2+1是多项式;xy是二次单项式;x2y是三次单项式;22x是一次单项式,故选B.]
命题点2 整式的有关概念
【典例2】 下列整式中,是二次单项式的是(  )
A.x2+1 B.xy
C.x2y D.22x

[对点演练]
1.(2024·泰安)单项式-3ab2的次数是________.
3 [∵单项式-3ab2中,a的指数是1,b的指数是2,∴此单项式的次数为1+2=3.]
3
2.若多项式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,则mn=________.
0或8 [∵多项式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,∴n-2=0,1+|m-n|=3,∴n=2,|m-n|=2,∴m-n=2或n-m=2,∴m=4或m=0,∴mn=0或8.]
0或8
D [2x2y与-3xy2不属于同类项,不能合并,故A不符合题意;4x8y2÷2x2y2=2x6,故B不符合题意;(x-y)(-x-y)=y2-x2,故C不符合题意;(x2y3)2=x4y6,故D符合题意,故选D.]
命题点3 整式的运算
【典例3】 (2024·泰安)下列运算正确的是(  )
A.2x2y-3xy2=-x2y  B.4x8y2÷2x2y2=2x4 
C.(x-y)(-x-y)=x2-y2 D.(x2y3)2=x4y6

归纳总结 解此类题目的关键是熟记幂运算公式及其成立的条件,确定出幂的底数和指数,注意公式的正向和逆向应用.
D [A.式子中两项不是同类项,不能合并,故A不符合题意;
B.(a-1)2=a2-2a+1,故B不符合题意;
C.(a3b)2=a6b2,故C不符合题意;
D.a(2a+1)=2a2+a,故D符合题意.故选D.]
[对点演练]
1.(2024·山东)下列运算正确的是(  )
A.a4+a3=a7 B.(a-1)2=a2-1
C.(a3b)2=a3b2 D.a(2a+1)=2a2+a

2.计算:2a(a+b)+a3b4÷a3b2-(a2+2ab).
[解] 原式=2a2+2ab+b2-a2-2ab=a2+b2.
C [A选项,原式=4x;B选项,原式=a;D选项,原式=x2-2xy+y2.故选C.]

【教师备选资源】
1.(2022·泰安)下列运算正确的是(  )
A.6x-2x=4 B.a-2·a3=a-6
C.x6÷x3=x3 D.(x-y)2=x2-y2
D [A选项,2x2与3x3不是同类项,不能合并;B选项,原式=-8x3;
C选项,原式=x2+2xy+y2;D选项,原式=22-(3x)2=4-9x2.故选D.]

2.(2021·泰安)下列运算正确的是(  )
A.2x2+3x3=5x5 B.(-2x)3=-6x3
C.(x+y)2=x2+y2 D.(3x+2)(2-3x)=4-9x2
D [3xy-xy=2xy;x3·x4=x7;x-10÷x2=x-12.故选D.]

3.(2020·泰安)下列运算正确的是(  )
A.3xy-xy=2     B.x3·x4=x12
C.x-10÷x2=x-5 D.(-x3)2=x6
3a(x-y)2 [3ax2-6axy+3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2.]
命题点4 因式分解
【典例4】 (2024·内蒙古通辽)因式分解:3ax2-6axy+3ay2=_____________.
3a(x-y)2
温馨提示 一个多项式有公因式首先考虑提取公因式,然后考虑用公式法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
A [原式=a(a2-9)=a(a-3)(a+3),故选A.]
[对点演练]
1.(2024·云南)因式分解:a3-9a=(  )
A.a(a-3)(a+3)
B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3)
D.a2(a-9)

xy(x+2) [直接提取公因式xy即可.]
2.(2024·山东)因式分解:x2y+2xy=________.
(a-1)2  [(a+1)2-4a=a2+2a+1-4a=a2-2a+1=(a-1)2.]
3.(2024·四川广元)因式分解:(a+1)2-4a=________.
3(x-3)2 [3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2.]
4.(2024·四川达州)因式分解:3x2-18x+27=________.
xy(x+2)
(a-1)2
3(x-3)2
命题点5 数式规律探索
【典例5】 (2022·泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
若有序数对(n,m)表示第n行,从左到右第m个数,如(3,2)表示6,则表示99的有序数对是 ____________.
(10,18)
(10,18) [∵第n行的最后一个数是n2,第n行有(2n-1)个数,∴99=102-1在第10行倒数第二个,第10行有:2×10-1=19个数,∴表示99的有序数对是(10,18).]
归纳总结 认真观察、仔细思考,善用联想是解决这类问题的方法,通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算,从而得出一般公式.
[对点演练]
(2020·泰安)如图,被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是:从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.图中两平行线之间的一列数:1,3,6,10,15,…,我们把第一个数记为a1,第二个数记为a2,第三个数记为a3……第n个数记为an,则a4+a200=________.
20 110
【教师备选资源】
(2024·泰安)如图所示,是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋子”.
按照此规律继续摆下去,第________个“小屋子”中图形“ ”个数是图形“ ”个数的3倍.
12
12 [由所给图形可知,
第1个“小屋子”中图形“ ”的个数为:1=1,“ ”的个数为:4=1×2+2;
第2个“小屋子”中图形“ ”的个数为:3=1+2,“ ”的个数为:6=2×2+2;
第3个“小屋子”中图形“ ”的个数为:6=1+2+3,“ ”的个数为:8=3×2+2;
第4个“小屋子”中图形“ ”的个数为:10=1+2+3+4,“ ”的个数为:10=4×2+2;
…,
(说明:选择题每题3分,填空题每题3分,本试卷共69分)
B [“a与b的差的5倍”用代数式表示为:5(a-b).故选B.]
课时分层评价卷(二) 代数式、整式及因式分解

2.(2024·四川内江)下列单项式中,ab3的同类项是(  )
A.3ab3 B.2a2b3
C.-a2b2 D.a3b

A [根据同类项的定义可知,ab3的同类项是3ab3.故选A.]
3.(2024·青海)计算12x-20x的结果是(  )
A.8x B.-8x
C.-8 D.x2

B [原式=(12-20)x=-8x,故选B.]

5.(2024·四川眉山)下列运算中正确的是(  )
A.a2-a=a B.a·a2=a3
C.(a2)3=a5 D.(2ab2)3=6a3b6

B [a2与a不是同类项,无法合并,则A不符合题意;a·a2=a3,则B符合题意;(a2)3=a6,则C不符合题意;(2ab2)3=8a3b6,则D不符合题意.故选B.]
6.(2024·甘肃兰州)计算:2a(a-1)-2a2=(  )
A.a B.-a
C.2a D.-2a

D [2a(a-1)-2a2=2a2-2a-2a2=-2a.故选D.]
7.[情境题]从前,古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a>6)的正方形土地租给租户张老汉,第二年,他对张老汉说:“我把这块地的一边增加6米,相邻的另一边减少6米,变成矩形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”如果这样,你觉得张老汉的租地面积会(  )
A.没有变化 B.变大了
C.变小了 D.无法确定

C [∵矩形的面积为(a+6)(a-6)=a2-36,∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米,故选C.]
8.(2024·吉林长春)单项式-2a2b的次数是 ________.
3 [单项式-2a2b的次数是:2+1=3.]
9.计算:8x3y÷(2x)2=________.
2xy [原式=8x3y÷4x2=2xy.]
3
2xy
10.雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元,儿童票每张10元.若购买m张成人票和n张儿童票,则共需花费 ____________元.
20m+10n [根据票价乘对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用,然后求和可得.]
20m+10n
11.(2024·北京)因式分解:x3-25x=_________________.
x(x+5)(x-5) [x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).]
12.(2024·内蒙古)因式分解:a+2ab+ab2=____________.
a(b+1)2 [原式=a(1+2b+b2)=a(b+1)2.]
13.(2024·四川德阳)若一个多项式加上y2+3xy-4,结果是3xy+2y2-5,则这个多项式为 ________.
y2-1 [3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)=3xy+2y2-5-y2-3xy+4=y2-1.]
x(x+5)(x-5)
a(b+1)2
y2-1
a(a+1)×100+25
16.如图,是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是(  )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2 
C.(a+b)(a-b)=a2-b2 
D.(ab)2=a2b2

A [根据题意,大正方形的边长为a+b,面积为(a+b)2,由边长为a的正方形,2个长为a宽为b的长方形,边长为b的正方形组成,所以(a+b)2=a2+2ab+b2.故选A.]
17.(2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为
(  )
A.0 B.1
C.4 D.9

D [∵a+b=3,ab=1,∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=1×32=9,故选D.]
18.[数学文化]古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作,它的内容丰富,而且大多和实际生活密切联系,反映出中国古代先贤的智能,同时也显出古代中国数学的研究多以实用性为主.如图所给的程序框图的算法思路就是源于《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,如果输出M的值为5,那么输入x的值为(  )
A.-2
B.-8
C.1
D.8

B [若x>3,
∵x2-x+3=x(x-1)+3,x-1>2,
∴x(x-1)>6,
∴x2-x+3>9,
∴输出的M值不可能为5.
19.(2024·河北)若a,b是正整数,且满足
,则a与b的关系正确的是(  )
A.a+3=8b B.3a=8b 
C.a+3=b8 D.3a=8+b

A [根据已知得,8×2a=28b,即2a+3=28b,∴a+3=8b.故选A.]

21.[归纳猜想题](2024·宁夏)观察下列等式:
第1个:1×2-2=22×0;
第2个:4×3-3=32×1;
第3个:9×4-4=42×2;
第4个:16×5-5=52×3.
……
按照以上规律,第n个等式为 _______________________________.
n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1)
22.[规律探究题](2024·四川成都)在综合实践活动中,数学兴趣小组对1~n这n个自然数中,任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现:当n=2时,只有{1,2}一种取法,即k=1;当n=3时,有{1,3}和{2,3}两种取法,即k=2;当n=4时,可得k=4;….若n=6,则k的值为________;若n=24,则k的值为 ________.
9
144
9 144 [当n=6时,从1,2,3,4,5,6中,取两个数的和大于6,这两个数分别是{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3},
∴k=5+3+1=9;
当n=24时,从1,2,3,…,22,23,24中,取两个数的和大于24,这两个数分别是:{24,1},{24,2}…{24,23},{23,2},{23,3}…{23,22},{22,3},{22,4}…{22,21},

{14,11},{14,12},{14,13},{13,12},
∴k=23+21+19+…+3+1=144.故答案为9,144.]第二节 代数式、整式及因式分解
考点一 代数式
1.代数式:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把含有数字或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.代数式的值:用数值代替代数式中的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值.
考点二 整式
1.单项式:表示数与字母的乘积的代数式.单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做单项式的次数.
2.多项式:几个单项式的和.每个单项式叫做多项式的项,次数最高的项的次数,叫做多项式的次数.
3.整式:单项式和多项式统称为整式.
4.同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.常数项都是同类项.
考点三 整式的加减运算
1.合并同类项法则:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.
2.去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变;
括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变.
3.整式的加减运算法则:先去括号,再合并同类项.
考点四 幂的有关运算
幂的运算法则 符号表示
同底数幂相乘 am·an=am+n
同底数幂相除 am÷an=am-n
幂的乘方 (am)n=amn
积的乘方 (ab)n=anbn
商的乘方 =
零指数幂 a0=1(a≠0)
负指数幂 a-p=(a≠0,p是正整数)
考点五 整式的乘除运算
1.单项式×单项式:(1)系数和同底数幂分别相乘;
(2)只有一个字母的照抄.
2.单项式×多项式:m(a+b)=ma+mb.
3.多项式×多项式:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
4.单项式÷单项式:将系数、同底数幂分别相除.
5.多项式÷单项式:(1)多项式的每一项除以单项式;(2)商相加.
6.乘法公式
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
(2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.
考点六 因式分解的概念
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.
2.分解因式与整式乘法的关系:因式分解与整式的乘法互为逆运算.
考点七 因式分解的基本方法
1.提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c)_.
2.公式法:
(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.
1.(鲁教版六上P81习题3.1T1改编)每件上衣的原价为a元,降价10%后的售价是(  )
A.10%a B.(1-10%)a
C.(1+10%)a D.(1+90%)a
B [原来的价格×(1-降低的百分率)=降价后的价格,据此即可列出代数式.]
2.当x=-1时,代数式-x2+1的值是(  )
A.-1  B.0  C.1  D.2
B [把x=-1代入-x2+1=-(-1)2+1=0,故选B.]
3.下列说法正确的是(  )
A.x2+2x+3是三次多项式 
B.单项式x的次数是0
C.单项式的次数是1
D.π是单项式
D [x2+2x+3是二次三项式,故A错误;单项式x的次数是1,故B错误;单项式的次数是-1,故C错误;π是单项式,故D正确.故选D.]
4.下列计算正确的是(  )
A.a6+a6=a12 B.a5·a2=a10
C.(2a2)4=2a8 D.a12÷a5=a7
D [a6+a6=2a6,故A不符合题意;a5·a2=a7,故B不符合题意;(2a2)4=16a8,故C不符合题意;a12÷a5=a7,故D符合题意,故选D.]
5.(鲁教版八上P16复习题T1改编)下列分解因式正确的是(  )
A.a-4a3=(1+2a)(1-2a3)
B.3x-6y+3=3(x-2y) 
C.x2+2x+1=(x+1)2 
D.x2-2x-1=(x-1)2
C [a-4a3=a(1-4a2)=a(1+2a)(1-2a),因此选项A不符合题意;3x-6y+3=3(x-2y+1),因此选项B不符合题意;x2+2x+1=(x+1)2,因此选项C符合题意;x2-2x+1=(x-1)2,因此选项D不符合题意,故选C.]
命题点1 代数式及求值
【典例1】 (1)数学老师给所教的80名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物,扫码支付了m元,则每件礼物的价格可表示为(  )
A.元 B.(80-m)元
C.元 D.80m元
(2)若x满足x2+3x-5=0,则代数式2x2+6x-3的值为(  )
A.5 B.7
C.10 D.-13
(1)A (2)B [(1)由题意知,因为m元购买了80件相同的纪念品,所以每件礼物的价格可表示为元.故选A.
(2)∵x2+3x-5=0,∴x2+3x=5,∴2x2+6x-3=2(x2+3x)-3=2×5-3=7.故选B.]
 求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简,再求值.一般地,题型有以下三种:
(1)已知条件不化简,所给代数式化简;
(2)已知条件化简,所给代数式不化简;
(3)已知条件和所给代数式都要化简.
[对点演练]
1.为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的单价为10元/本,乙种读本的单价为8元/本,设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为(  )
A.8x元 B.10(100-x)元
C.8(100-x)元 D.(100-8x)元
C [乙的单价×乙的本数=乙的费用.]
2.如果a2-a-2=0,那么代数式(a-1)2+(a+2)(a-2)的值为(  )
A.1 B.2
C.3 D.4
A [原式=a2-2a+1+a2-4=2a2-2a-3=2(a2-a)-3,∵a2-a-2=0,∴a2-a=2,∴原式=2×2-3=1.故选A.]
命题点2 整式的有关概念
【典例2】 下列整式中,是二次单项式的是(  )
A.x2+1 B.xy
C.x2y D.22x
B [x2+1是多项式;xy是二次单项式;x2y是三次单项式;22x是一次单项式,故选B.]
[对点演练]
1.(2024·泰安)单项式-3ab2的次数是________.
3 [∵单项式-3ab2中,a的指数是1,b的指数是2,∴此单项式的次数为1+2=3.]
2.若多项式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,则mn=________.
0或8 [∵多项式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,∴n-2=0,1+|m-n|=3,∴n=2,|m-n|=2,∴m-n=2或n-m=2,∴m=4或m=0,∴mn=0或8.]
命题点3 整式的运算
【典例3】 (2024·泰安)下列运算正确的是(  )
A.2x2y-3xy2=-x2y 
B.4x8y2÷2x2y2=2x4 
C.(x-y)(-x-y)=x2-y2 
D.(x2y3)2=x4y6
D [2x2y与-3xy2不属于同类项,不能合并,故A不符合题意;4x8y2÷2x2y2=2x6,故B不符合题意;(x-y)(-x-y)=y2-x2,故C不符合题意;(x2y3)2=x4y6,故D符合题意,故选D.]
 解此类题目的关键是熟记幂运算公式及其成立的条件,确定出幂的底数和指数,注意公式的正向和逆向应用.
[对点演练]
1.(2024·山东)下列运算正确的是(  )
A.a4+a3=a7 B.(a-1)2=a2-1
C.(a3b)2=a3b2 D.a(2a+1)=2a2+a
D [A.式子中两项不是同类项,不能合并,故A不符合题意;
B.(a-1)2=a2-2a+1,故B不符合题意;
C.(a3b)2=a6b2,故C不符合题意;
D.a(2a+1)=2a2+a,故D符合题意.
故选D.]
2.计算:2a(a+b)+a3b4÷a3b2-(a2+2ab).
[解] 原式=2a2+2ab+b2-a2-2ab=a2+b2.
【教师备选资源】
1.(2022·泰安)下列运算正确的是(  )
A.6x-2x=4
B.a-2·a3=a-6
C.x6÷x3=x3
D.(x-y)2=x2-y2
C [A选项,原式=4x;B选项,原式=a;D选项,原式=x2-2xy+y2.故选C.]
2.(2021·泰安)下列运算正确的是(  )
A.2x2+3x3=5x5
B.(-2x)3=-6x3
C.(x+y)2=x2+y2
D.(3x+2)(2-3x)=4-9x2
D [A选项,2x2与3x3不是同类项,不能合并;B选项,原式=-8x3;C选项,原式=x2+2xy+y2;D选项,原式=22-(3x)2=4-9x2.故选D.]
3.(2020·泰安)下列运算正确的是(  )
A.3xy-xy=2     B.x3·x4=x12
C.x-10÷x2=x-5 D.(-x3)2=x6
D [3xy-xy=2xy;x3·x4=x7;x-10÷x2=x-12.故选D.]
命题点4 因式分解
【典例4】 (2024·内蒙古通辽)因式分解:3ax2-6axy+3ay2=________.
3a(x-y)2 [3ax2-6axy+3ay2=3a(x2-2xy+y2)=3a(x-y)2.]
 一个多项式有公因式首先考虑提取公因式,然后考虑用公式法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
[对点演练]
1.(2024·云南)因式分解:a3-9a=(  )
A.a(a-3)(a+3)
B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3)
D.a2(a-9)
A [原式=a(a2-9)=a(a-3)(a+3),故选A.]
2.(2024·山东)因式分解:x2y+2xy=________.
xy(x+2) [直接提取公因式xy即可.]
3.(2024·四川广元)因式分解:(a+1)2-4a=________.
(a-1)2  [(a+1)2-4a=a2+2a+1-4a=a2-2a+1=(a-1)2.]
4.(2024·四川达州)因式分解:3x2-18x+27=________.
3(x-3)2 [3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2.]
命题点5 数式规律探索
【典例5】 (2022·泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
若有序数对(n,m)表示第n行,从左到右第m个数,如(3,2)表示6,则表示99的有序数对是 ________.
(10,18) [∵第n行的最后一个数是n2,第n行有(2n-1)个数,∴99=102-1在第10行倒数第二个,第10行有:2×10-1=19个数,∴表示99的有序数对是(10,18).]
 认真观察、仔细思考,善用联想是解决这类问题的方法,通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算,从而得出一般公式.
[对点演练]
(2020·泰安)如图,被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是:从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.图中两平行线之间的一列数:1,3,6,10,15,…,我们把第一个数记为a1,第二个数记为a2,第三个数记为a3……第n个数记为an,则a4+a200=________.
20 110 [观察“杨辉三角”可知第n个数记为an=1+2+…+n=n(n+1),
则a4+a200=×4×(4+1)+×200×(200+1)=20 110.]
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(2024·泰安)如图所示,是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”.
按照此规律继续摆下去,第 ________个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的3倍.
12 [由所给图形可知,
第1个“小屋子”中图形“”的个数为:1=1,“”的个数为:4=1×2+2;
第2个“小屋子”中图形“”的个数为:3=1+2,“”的个数为:6=2×2+2;
第3个“小屋子”中图形“”的个数为:6=1+2+3,“”的个数为:8=3×2+2;
第4个“小屋子”中图形“”的个数为:10=1+2+3+4,“”的个数为:10=4×2+2;
…,
所以第n个“小屋子”中图形“”的个数为:1+2+3+…+n=,“”的个数为:2n+2.
由题意知,=3(2n+2),
解得n1=-1,n2=12,
又因为n为正整数,
所以n=12,
即第12个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的3倍.]
课时分层评价卷(二) 代数式、整式及因式分解
(说明:选择题每题3分,填空题每题3分,本试卷共69分)
1.“a与b的差的5倍”用代数式表示为(  )
A. B.5(a-b)
C.5a-b D.a-5b
B [“a与b的差的5倍”用代数式表示为:5(a-b).故选B.]
2.(2024·四川内江)下列单项式中,ab3的同类项是(  )
A.3ab3 B.2a2b3
C.-a2b2 D.a3b
A [根据同类项的定义可知,ab3的同类项是3ab3.故选A.]
3.(2024·青海)计算12x-20x的结果是(  )
A.8x B.-8x
C.-8 D.x2
B [原式=(12-20)x=-8x,故选B.]
4.下列说法中正确的是(  )
A.是单项式 B.-πx的系数为-1
C.-5不是单项式 D.-5a2b的次数是3
D [是多项式,故A错误;-πx 的系数为-π,故B错误;-5是单项式,故C错误;-5a2b的次数是3,故D正确.故选D.]
5.(2024·四川眉山)下列运算中正确的是(  )
A.a2-a=a B.a·a2=a3
C.(a2)3=a5 D.(2ab2)3=6a3b6
B [a2与a不是同类项,无法合并,则A不符合题意;a·a2=a3,则B符合题意;(a2)3=a6,则C不符合题意;(2ab2)3=8a3b6,则D不符合题意.故选B.]
6.(2024·甘肃兰州)计算:2a(a-1)-2a2=(  )
A.a B.-a
C.2a D.-2a
D [2a(a-1)-2a2=2a2-2a-2a2=-2a.故选D.]
7.[情境题]从前,古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a>6)的正方形土地租给租户张老汉,第二年,他对张老汉说:“我把这块地的一边增加6米,相邻的另一边减少6米,变成矩形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”如果这样,你觉得张老汉的租地面积会(  )
A.没有变化 B.变大了
C.变小了 D.无法确定
C [∵矩形的面积为(a+6)(a-6)=a2-36,∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米,故选C.]
8.(2024·吉林长春)单项式-2a2b的次数是 ________.
3 [单项式-2a2b的次数是:2+1=3.]
9.计算:8x3y÷(2x)2=________.
2xy [原式=8x3y÷4x2=2xy.]
10.雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元,儿童票每张10元.若购买m张成人票和n张儿童票,则共需花费 ________元.
20m+10n [根据票价乘对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用,然后求和可得.]
11.(2024·北京)因式分解:x3-25x=________.
x(x+5)(x-5) [x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).]
12.(2024·内蒙古)因式分解:a+2ab+ab2=________.
a(b+1)2 [原式=a(1+2b+b2)=a(b+1)2.]
13.(2024·四川德阳)若一个多项式加上y2+3xy-4,结果是3xy+2y2-5,则这个多项式为 ________.
y2-1 [3xy+2y2-5-(y2+3xy-4)=3xy+2y2-5-y2-3xy+4=y2-1.]
14.[规律探究题]代数推理
15×15=225=2×100+25
25×25=625=6×100+25
35×35=1 225=12×100+25
……
试探究两位数的(即个位数字是5,十位数字是a的两位数)平方的一般规律,=(10a+5)2=________.
a(a+1)×100+25 [由题意可得,15×15=225=2×100+25=1×(1+1)×100+25,
25×25=625=6×100+25=2×(2+1)×100+25,
35×35=1 225=12×100+25=3×(3+1)×100+25,
……,
则两位数的(即个位数字是5,十位数字是a的两位数)平方的一般规律,=(10a+5)2=a(a+1)×100+25.]
15.先化简,再求值:
(1)(2024·济宁)x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),其中x=,y=2;
(2)(2024·甘肃)[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1.
[解] (1)原式=(xy-4x2)+(4x2-y2)=xy-4x2+4x2-y2=xy-y2,
当x=,y=2时,原式=×2-22=1-4=-3.
(2)原式=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]÷2b=(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b=(4ab+2b2)÷2b=2a+b,
当a=2,b=-1时,
原式=2×2-1=3.
16.如图,是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是(  )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2 
C.(a+b)(a-b)=a2-b2 
D.(ab)2=a2b2
A [根据题意,大正方形的边长为a+b,面积为(a+b)2,由边长为a的正方形,2个长为a宽为b的长方形,边长为b的正方形组成,所以(a+b)2=a2+2ab+b2.故选A.]
17.(2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为(  )
A.0 B.1
C.4 D.9
D [∵a+b=3,ab=1,∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=1×32=9,故选D.]
18.[数学文化]古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作,它的内容丰富,而且大多和实际生活密切联系,反映出中国古代先贤的智能,同时也显出古代中国数学的研究多以实用性为主.如图所给的程序框图的算法思路就是源于《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,如果输出M的值为5,那么输入x的值为(  )
A.-2 B.-8
C.1 D.8
B [若x>3,
∵x2-x+3=x(x-1)+3,x-1>2,
∴x(x-1)>6,
∴x2-x+3>9,
∴输出的M值不可能为5.
若x≤3,
∵输出M的值为5,
∴+1=5,
∴|x|=8,
∵x≤3,
∴x=-8,故选B.]
19.(2024·河北)若a,b是正整数,且满足,则a与b的关系正确的是(  )
A.a+3=8b B.3a=8b 
C.a+3=b8 D.3a=8+b
A [根据已知得,8×2a=28b,即2a+3=28b,∴a+3=8b.故选A.]
20.[新定义问题]对于任意的有理数a,b,如果满足=,那么我们称这一对数a,b为“相随数对”,记为(a,b).若(m,n)是“相随数对”,则3m+2[3m+(2n-1)]=(  )
A.-2 B.-1
C.2 D.3
A [∵(m,n)是“相随数对”,
∴=,
∴=,
即9m+4n=0,
∴3m+2[3m+(2n-1)]
=3m+2(3m+2n-1)
=3m+6m+4n-2
=9m+4n-2
=0-2
=-2.
故选A.]
21.[归纳猜想题](2024·宁夏)观察下列等式:
第1个:1×2-2=22×0;
第2个:4×3-3=32×1;
第3个:9×4-4=42×2;
第4个:16×5-5=52×3.
……
按照以上规律,第n个等式为 ________.
[答案] n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1)
22.[规律探究题](2024·四川成都)在综合实践活动中,数学兴趣小组对1~n这n个自然数中,任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现:当n=2时,只有{1,2}一种取法,即k=1;当n=3时,有{1,3}和{2,3}两种取法,即k=2;当n=4时,可得k=4;….若n=6,则k的值为 ________;若n=24,则k的值为 ________.
9 144 [当n=6时,从1,2,3,4,5,6中,取两个数的和大于6,这两个数分别是{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3},
∴k=5+3+1=9;
当n=24时,从1,2,3,…,22,23,24中,取两个数的和大于24,这两个数分别是:
{24,1},{24,2}…{24,23},
{23,2},{23,3}…{23,22},
{22,3},{22,4}…{22,21},

{14,11},{14,12},{14,13},
{13,12},
∴k=23+21+19+…+3+1=144.
故答案为9,144.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二节 代数式、整式及因式分解
考点一 代数式
1.代数式:用运算符号(________)把含有________或表示________连接而成的式子叫做代数式.
2.代数式的值:用________代替代数式中的字母,计算后所得的________叫做代数式的值.
考点二 整式
1.单项式:表示数与字母的________的代数式.单独的一个数或一个________也叫单项式.其中的________叫做单项式的系数,所有字母的________叫做单项式的次数.
2.多项式:几个单项式的________.每个单项式叫做多项式的项,________的项的次数,叫做多项式的次数.
3.整式:单项式和________统称为整式.
4.同类项:所含字母相同,并且相同字母的________也相同的项叫做同类项.常数项都是同类项.
考点三 整式的加减运算
1.合并同类项法则:同类项的________相加,所得的结果作为系数,字母和字母的________不变.
2.去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变;
括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变.
3.整式的加减运算法则:先去括号,再合并同类项.
考点四 幂的有关运算
幂的运算法则 符号表示
同底数幂相乘 am·an=________
同底数幂相除 am÷an=________
幂的乘方 (am)n=________
积的乘方 (ab)n=________
商的乘方 =______
零指数幂 a0=________(a≠0)
负指数幂 a-p=______(a≠0,p是正整数)
考点五 整式的乘除运算
1.单项式×单项式:(1)________和________分别相乘;
(2)只有一个字母的照抄.
2.单项式×多项式:m(a+b)=________.
3.多项式×多项式:(m+n)(a+b)=________.
4.单项式÷单项式:将________、________分别相除.
5.多项式÷单项式:(1)多项式的每一项除以单项式;(2)商相加.
6.乘法公式
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=________.
(2)完全平方公式:(a±b)2=________.
考点六 因式分解的概念
1.把一个多项式化成几个________的形式,这种变形叫做因式分解.
2.分解因式与整式乘法的关系:因式分解与整式的乘法互为逆运算.
考点七 因式分解的基本方法
1.提公因式法:ma+mb+mc=_________.
2.公式法:
(1)平方差公式:a2-b2=________.
(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=________.
1.(鲁教版六上P81习题3.1T1改编)每件上衣的原价为a元,降价10%后的售价是(  )
A.10%a B.(1-10%)a
C.(1+10%)a D.(1+90%)a
2.当x=-1时,代数式-x2+1的值是(  )
A.-1  B.0  C.1  D.2
3.下列说法正确的是(  )
A.x2+2x+3是三次多项式 
B.单项式x的次数是0
C.单项式的次数是1
D.π是单项式
4.下列计算正确的是(  )
A.a6+a6=a12 B.a5·a2=a10
C.(2a2)4=2a8 D.a12÷a5=a7
5.(鲁教版八上P16复习题T1改编)下列分解因式正确的是(  )
A.a-4a3=(1+2a)(1-2a3)
B.3x-6y+3=3(x-2y) 
C.x2+2x+1=(x+1)2 
D.x2-2x-1=(x-1)2
命题点1 代数式及求值
【典例1】 (1)数学老师给所教的80名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物,扫码支付了m元,则每件礼物的价格可表示为(  )
A.元 B.(80-m)元
C.元 D.80m元
(2)若x满足x2+3x-5=0,则代数式2x2+6x-3的值为(  )
A.5 B.7
C.10 D.-13
[听课记录]                              
                                  
                                  
 求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简,再求值.一般地,题型有以下三种:
(1)已知条件不化简,所给代数式化简;
(2)已知条件化简,所给代数式不化简;
(3)已知条件和所给代数式都要化简.
[对点演练]
1.为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的单价为10元/本,乙种读本的单价为8元/本,设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为(  )
A.8x元 B.10(100-x)元
C.8(100-x)元 D.(100-8x)元
2.如果a2-a-2=0,那么代数式(a-1)2+(a+2)(a-2)的值为(  )
A.1 B.2
C.3 D.4
命题点2 整式的有关概念
【典例2】 下列整式中,是二次单项式的是(  )
A.x2+1 B.xy
C.x2y D.22x
[听课记录]                              
                                  
                                  
[对点演练]
1.(2024·泰安)单项式-3ab2的次数是________.
2.若多项式xy|m-n|+(n-2)x2y2+1是关于x,y的三次多项式,则mn=________.
命题点3 整式的运算
【典例3】 (2024·泰安)下列运算正确的是(  )
A.2x2y-3xy2=-x2y 
B.4x8y2÷2x2y2=2x4 
C.(x-y)(-x-y)=x2-y2 
D.(x2y3)2=x4y6
[听课记录]                              
                                  
                                  
 解此类题目的关键是熟记幂运算公式及其成立的条件,确定出幂的底数和指数,注意公式的正向和逆向应用.
[对点演练]
1.(2024·山东)下列运算正确的是(  )
A.a4+a3=a7 B.(a-1)2=a2-1
C.(a3b)2=a3b2 D.a(2a+1)=2a2+a
2.计算:2a(a+b)+a3b4÷a3b2-(a2+2ab).
                                  
                                  
                                  
                                  
命题点4 因式分解
【典例4】 (2024·内蒙古通辽)因式分解:3ax2-6axy+3ay2=________.
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 一个多项式有公因式首先考虑提取公因式,然后考虑用公式法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
[对点演练]
1.(2024·云南)因式分解:a3-9a=(  )
A.a(a-3)(a+3)
B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3)
D.a2(a-9)
2.(2024·山东)因式分解:x2y+2xy=________.
3.(2024·四川广元)因式分解:(a+1)2-4a=________.
4.(2024·四川达州)因式分解:3x2-18x+27=________.
命题点5 数式规律探索
【典例5】 (2022·泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
若有序数对(n,m)表示第n行,从左到右第m个数,如(3,2)表示6,则表示99的有序数对是 ________.
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 认真观察、仔细思考,善用联想是解决这类问题的方法,通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算,从而得出一般公式.
[对点演练]
(2020·泰安)如图,被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是:从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.图中两平行线之间的一列数:1,3,6,10,15,…,我们把第一个数记为a1,第二个数记为a2,第三个数记为a3……第n个数记为an,则a4+a200=________.
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