第三节 分式
考点一 分式的概念
1．分式：形如(A，B是整式，且B中含有________，B≠0)的式子．
2．最简分式：分子和分母没有________的分式．
考点二 分式的意义
1．无意义的条件：当________时，分式无意义．
2．有意义的条件：当________时，分式有意义．
3．值为零的条件：当________时，分式＝0．
考点三 分式的基本性质
1．基本性质：＝＝(C≠0)．
2．由基本性质可推理出变号法则为：
＝＝；－＝＝．
考点四 分式的运算
1．分式的约分和通分
(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即＝．
(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即＝．
2．分式的加减法
(1)同分母：分母不变，分子相加减．即±＝_______．
(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减．即±＝_______．
3．分式的乘除法
(1)乘法：＝_______．
(2)除法：÷＝_______．
(3)乘方：＝_______ (n为正整数)．
4．分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
1．已知分式有意义，那么x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≠3
C．x≠－2 D．x≠－3
2．下列等式的变形成立的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
3．(鲁教版八上P26例2改编)式子2a÷的运算结果为( )
A． B．
C．a D．4a
4．化简的结果是( )
A．x＋y B．y－x
C．x－y D．－x－y
5．如果3x－4y＝0，那么代数式的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
命题点1 分式的有关概念及基本性质
【典例1】 若分式的值为0，则x的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．－3
[听课记录]
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【典例2】 如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值( )
A．缩小为原来的
B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的
D．不变
[听课记录]
利用分式的基本性质可解决的问题
(1)分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分式的基本性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
(2)解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
(3)处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
[对点演练]
1．若分式的值为0，则x的值是( )
A．0 B．－1
C．1 D．0或1
2．[易错题]下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝－1
3．若式子有意义，则实数x的取值范围是 ________．
命题点2 分式的运算
【典例3】 (2024·泰安)化简：÷．
[听课记录]
(1)通分时，要使用最简公分母，如果随意采用公分母，会造成运算的烦琐，不易约分．
(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要换成最简分式或整式．
(3)分式的混合运算，一般按照常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，采用乘法的运算律进行灵活运算．
[对点演练]
(2023·泰安)化简：÷．
命题点3 分式的化简求值
【典例4】 (2024·山东)先化简，再求值：÷，其中a＝1．
[听课记录]
分式化简求值时需注意的两点
(1)化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当……时，原式＝……”．
(2)代入求值时，有直接代入法、整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
[对点演练]
[易错题](2024·四川遂宁)先化简：÷，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第三节 分式
考点一 分式的概念
1．分式：形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子．
2．最简分式：分子和分母没有公因式的分式．
考点二 分式的意义
1．无意义的条件：当B＝0时，分式无意义．
2．有意义的条件：当B≠0时，分式有意义．
3．值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0．
考点三 分式的基本性质
1．基本性质：＝＝(C≠0)．
2．由基本性质可推理出变号法则为：
＝＝；－＝＝．
考点四 分式的运算
1．分式的约分和通分
(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即＝．
(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即＝．
2．分式的加减法
(1)同分母：分母不变，分子相加减．即±＝．
(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减．即±＝．
3．分式的乘除法
(1)乘法：＝．
(2)除法：÷＝．
(3)乘方：＝ (n为正整数)．
4．分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．
1．已知分式有意义，那么x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≠3
C．x≠－2 D．x≠－3
A [要使分式有意义，则x－2≠0，∴x≠2．故选A．]
2．下列等式的变形成立的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
A [分子、分母同时除以a(a≠0)，分式的值不变，故A选项正确；
当a＝0时，该变形不成立，故B选项错误；
不满足分式的基本性质，所以该变形不成立，故C选项错误；
分子、分母同时加上c，分式的值不一定不变，故D选项错误．故选A．]
3．(鲁教版八上P26例2改编)式子2a÷的运算结果为( )
A． B．
C．a D．4a
C [原式＝2a×＝a．故选C．]
4．化简的结果是( )
A．x＋y B．y－x
C．x－y D．－x－y
A [＝＝＝x＋y．故选A．]
5．如果3x－4y＝0，那么代数式的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [∵3x－4y＝0，∴x＝y，
∴＝＝＝＝1．故选A．]
命题点1 分式的有关概念及基本性质
【典例1】 若分式的值为0，则x的值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．－3
A [∵分式的值为0，∴x－1＝0，且3x＋1≠0，解得x＝1，故选A．]
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【典例2】 如果把分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，那么该分式的值( )
A．缩小为原来的
B．扩大为原来的10倍
C．缩小为原来的
D．不变
A [根据题意，得＝，所以如果把分式中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值缩小为原来的．故选A．]
利用分式的基本性质可解决的问题
(1)分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分式的基本性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
(2)解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
(3)处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
[对点演练]
1．若分式的值为0，则x的值是( )
A．0 B．－1
C．1 D．0或1
A [∵分式的值为0，
∴x2－x＝0且x－1≠0，解得x＝0．
故选A．]
2．[易错题]下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是( )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝－1
C [C中，＝(y≠0)．故选C．]
3．若式子有意义，则实数x的取值范围是 ________．
x≠3 [∵式子有意义，
∴x－3≠0，
解得x≠3．]
命题点2 分式的运算
【典例3】 (2024·泰安)化简：÷．
[解] ÷＝＝＝．
(1)通分时，要使用最简公分母，如果随意采用公分母，会造成运算的烦琐，不易约分．
(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要换成最简分式或整式．
(3)分式的混合运算，一般按照常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，采用乘法的运算律进行灵活运算．
[对点演练]
(2023·泰安)化简：÷．
[解] 原式＝
＝
＝＝．
【教师备选资源】
1．(2022·泰安)化简：÷．
[解] 原式＝
＝
＝
＝a(a＋2)
＝a2＋2a．
2．(2020·泰安)化简：÷．
[解] 原式＝÷
＝
＝＝．
命题点3 分式的化简求值
【典例4】 (2024·山东)先化简，再求值：÷，其中a＝1．
[解] 原式＝÷
＝
＝a－3．
将a＝1代入，得
原式＝1－3＝－2．
分式化简求值时需注意的两点
(1)化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当……时，原式＝……”．
(2)代入求值时，有直接代入法、整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
[对点演练]
[易错题](2024·四川遂宁)先化简：÷，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
[解] ÷
＝÷
＝＝x－1，
∵x－1≠0，x－2≠0，
∴x≠1，x≠2，
当x＝3时，原式＝2．
课时分层评价卷(三) 分式
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共84分)
1．代数式x，，x2－中，属于分式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B [分式有：，共3个，故选B．]
2．若分式有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠±3 B．x≠－3
C．x≠3 D．x≥－3且x≠3
A [由题意可知，|x|－3≠0，解得x≠±3．故选A．]
3．下列分式与相等的是( )
A． B．
C． D．
A [分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．]
4．若分式的值为负数，则x的取值范围是( )
A．x为任意数 B．x＜
C．x＞ D．x＜－
B [∵x2＋4＞0，分式的值为负数，
∴2x－5＜0，
∴x＜．
故选B．]
5．下列分式中，不是最简分式的是( )
A． B．
C． D．
B [B中，因为＝，所以不是最简分式．故选B．]
6．化简的结果为( )
A． B．
C．－1 D．2x－1
A [原式＝＝．
故选A．]
7．计算a2÷·b的结果是( )
A．a2 B．
C．a2b2 D．2a2b2
C [a2÷·b＝a2·b·b＝a2b2．故选C．]
8．化简分式m－1＋÷的结果是( )
A． B．m
C． D．
A [m－1＋÷
＝m－1＋
＝m－1＋
＝
＝，
故选A．]
9．(2024·安徽)若分式有意义，则实数x的取值范围是 ________．
x≠4 [∵分式有意义，
∴x－4≠0，∴x≠4．]
10．(2024·泰山区二模)分式的值为0，则x的值是 ________．
1 [∵分式的值为0，
∴x－1＝0且x≠0，
∴x＝1．]
11．[开放性试题](2024·吉林)当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ________．
0(答案不唯一) [∵＞0，1＞0，
∴x＋1＞0，即x＞－1，
则满足条件的x的值可以为0(答案不唯一)．]
12．计算：
(1)；
(2)÷．
[解] (1)原式＝
＝＝m＋1．
(2)原式＝
＝
＝＝．
13．(2024·泰安一模)先化简，再求值：÷，其中a＝1．
[解] 原式＝÷
＝＝a－3．
当a＝1时，原式＝1－3＝－2．
14．[易错题]先化简÷，再从－3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值．
[解] 原式＝÷
＝
＝．
要使分式有意义，a≠0且a－1≠0且a＋1≠0，
所以a不能为0，1，－1，
取a＝2，
当a＝2时，原式＝＝．(答案不唯一，选择其他符合条件的数代入，计算正确均可)
15．分式的值，可以等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
D [＝1＋＞1，
当x＝0时，原式＝2，
故选D．]
16．不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是( )
A． B．
C． D．
D [原式＝＝＝，
故选D．]
17．若7m＝11，11n＝7，则的值为( )
A．1 B．2
C． D．
A [∵7m＝11，11n＝7，
∴(7m)n＝11n，∴7mn＝7，
∴mn＝1，∴
＝
＝
＝＝＝1．
故选A．]
18．当a为正整数时，对于整式P＝a2－1，Q＝a2－a，下列两种说法：
甲：整式P，Q的公因式为a；
乙：的值随着a的增大逐渐趋近于1．
其中正确的是( )
A．甲、乙都对 B．甲不对、乙对
C．甲对、乙不对 D．甲、乙都不对
B [由题意可知P＝(a＋1)(a－1)，Q＝a(a－1)，
∴整式P，Q的公因式为a－1，故甲不对，
∵＝＝，
∴当a逐渐增大，趋近于1，故乙正确．
故选B．]
19．若÷的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为( )
A．a－b B．a＋b
C．ab D．a2－b2
C [÷＝＝－，是分式不是整式，故A选项不符合题意；
÷＝＝，是分式不是整式，故B选项不符合题意；
÷＝＝，是整式，故C选项符合题意；
÷＝＝－，是分式不是整式，故D选项不符合题意．故选C．]
20．(2024·烟台)利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：÷，再求值．
[解] ÷
＝
＝＝，
根据计算器可得m＝±＝±＝±2，
∵4－2m≠0，∴m≠2，
当m＝－2时，原式＝＝－．
21．[数学文化](2024·滨州)欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称Pn＝(n＝0，1，2，3)为欧拉分式．
(1)写出P0对应的表达式；
(2)化简P1对应的表达式．
[解] (1)由题意可得，
P0＝＝．
(2)由题意可得，
P1＝
＝
＝
＝
＝
＝0．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共51张PPT)
第三节 分式
链接教材 基础过关
字母
公因式
B＝0
B≠0
A＝0，B≠0
√
√
A [分子、分母同时除以a(a≠0)，分式的值不变，故A选项正确；
当a＝0时，该变形不成立，故B选项错误；
不满足分式的基本性质，所以该变形不成立，故C选项错误；
分子、分母同时加上c，分式的值不一定不变，故D选项错误．故选A．]
√
√
√
考点突破 对点演练
√
易错警示 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
√
归纳总结 利用分式的基本性质可解决的问题
(1)分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分式的基本性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
(2)解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
(3)处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
√
√
x≠3
温馨提示 (1)通分时，要使用最简公分母，如果随意采用公分母，会造成运算的烦琐，不易约分．
(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要换成最简分式或整式．
(3)分式的混合运算，一般按照常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，采用乘法的运算律进行灵活运算．
归纳总结 分式化简求值时需注意的两点
(1)化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当……时，原式＝……”．
(2)代入求值时，有直接代入法、整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
课时分层评价卷(三) 分式
√
√
A [由题意可知，|x|－3≠0，解得x≠±3．故选A．]
√
A [分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．]
√
√
√
√
√
x≠4
1
0(答案不唯一)
√
√
√
√
√
