第一节 多边形与平行四边形
考点一 多边形的定义及性质
1．多边形的定义及性质
(1)多边形的定义：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形．
(2)多边形的性质：①内角和定理：n(n≥3，且n为正整数)边形的内角和等于180°(n－2)．
②外角和定理：多边形的外角和都等于360°．
③过n(n≥3，且n为正整数)边形的一个顶点可以引n－3条对角线，将n边形分成n－2个三角形，n边形共有条对角线．
2．正多边形的性质
正n(n≥3，且n为正整数)边形的各边相等，各角相等，每一个内角都等于，每一个外角都等于．
考点二 平行四边形的性质与判定
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示．
2．平行四边形的性质
(1)边：两组对边分别平行；两组对边分别相等．
(2)角：两组对角分别相等．
(3)对角线：两条对角线互相平分．
(4)对称性：是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．
(5)面积：S＝底×高．
3．平行四边形的判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
1．(鲁教版八上P146图5 32变式)如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是( )
A．900° B．720° C．540° D．360°
C [由题意得(5－2)×180°＝540°，故选C．]
2．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则 ABCD的周长为( )
A．16 B．14
C．10 D．8
A [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝3，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝3，
∴CD＝DE＋CE＝5，∴AB＝CD＝5，
∴ ABCD的周长为AD＋AB＋BC＋CD＝3＋5＋3＋5＝16．
故选A．]
3．[易错题]在平行四边形ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝30°，则∠A的度数为 ________．
60°或30° [当E点在线段AD上时，如图所示，
∵BE是AD边上的高，∠EBD＝30°，
∴∠ADB＝90°－30°＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝(180°－60°)÷2＝60°．
当E点在AD的延长线上时，如图所示，
∵BE是AD边上的高，∠EBD＝30，
∴∠BDE＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠BDE＝30°．
故答案为60°或30°．]
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，∠ABD＝∠CDB．求证：四边形ABCD是平行四边形．
[证明] 在△ABO与△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴BO＝DO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
命题点1 多边形的有关概念及其运算
【典例1】 (2024·山东)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为( )
A．12 B．10
C．8 D．6
A [∵四边形BCMN是正方形，
∴∠NBC＝90°，
∵∠ABN＝120°，
∴∠ABC＝360°－90°－120°＝150°，
∴正n边形的一个外角为180°－150°＝30°，
∴n的值为＝12．故选A．]
有关多边形的角的度数问题，经常利用多边形的内角和、外角和公式来解答．
[对点演练]
1．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，则这个正多边形是( )
A．正方形 B．正六边形
C．正八边形 D．正十边形
C [∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x＋3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8，
故选C．]
2．(人教版八上例题)如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
[解] 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＝360°，
∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝ 360°－180°＝180°．
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
命题点2 平行四边形的性质
【典例2】 (2022·泰安)如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ________．
(－2，－1) [∵四边形ABCD为平行四边形，且A(－1，2)，D(3，2)，
∴点A是点D向左平移4个单位长度所得．
∵C(2，－1)，
∴B(－2，－1)．
故答案为(－2，－1)．]
平行四边形的性质是解答边角相等的有效途径，知道四边形是平行四边形时，就考虑利用平行四边形的性质：“对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分”来解答．
[对点演练]
(2024·山东)如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF＝( )
A． B．3
C． D．4
B [连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵EF＝DE，
∴OE是△BFD的中位线，
∴＝＝，
∴＝，
∴BF＝3．
故选B．]
【教师备选资源】
(2021·泰安)如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN；
②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；
③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；
④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．
其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D [①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADB＝∠CBD．
∵E是BD的中点，
∴BE＝DE．
在△MDE和△NBE中，
∴△MDE≌△NBE(ASA)，
∴DM＝BN，
∴AM＝CN，
故①正确；
②若MD＝AM，∠A＝90°，
则平行四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠A＝90°，
在△BAM和△CDM中，
∴△BAM≌△CDM(SAS)，
∴BM＝CM，
故②正确；
③过点M作MG⊥BC，垂足为点G，过点E作EH⊥BC，垂足为点H．
由①易得四边形MBND是平行四边形，E为MN中点，
∴MG＝2EH．
又∵MD＝2AM，BN＝MD，AM＝NC，
∴S△MNC＝NC·MG＝BN·2EH＝BN·EH＝S△BNE，
故③正确；
④∵AB＝MN，AB＝DC，
∴MN＝DC．
又∵AD∥BC，
∴四边形MNCD是等腰梯形或平行四边形，
如果四边形MNCD是等腰梯形，
∴∠MNC＝∠DCN，
在△MNC和△DCN中，
∴△MNC≌△DCN(SAS)，
∴∠NMC＝∠CDN．
在△MFN和△DFC中，
∴△MFN≌△DFC(AAS)．
如果是平行四边形，由平行四边形的性质可以得到△MFN≌△DFC，
故④正确．
∴正确的个数是4个，故选D．]
命题点3 平行四边形的判定
【典例3】 (2024·岱岳区期末)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出五组条件：
(1)AB＝DC，AD∥BC；
(2)AB＝CD，AB∥CD；
(3)AB∥CD，AD∥BC；
(4)OA＝OC，OB＝OD；
(5)AB＝CD，AD＝BC．
能判定此四边形ABCD是平行四边形的有( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
D [(1)由“AB＝DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故不符合题意；
(2)由“AB＝CD，AB∥CD”可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故符合题意；
(3)由“AB∥CD，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故符合题意；
(4)由“OA＝OC，OB＝OD”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故符合题意；
(5)由“AB＝CD，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形，故符合题意．故选D．]
[对点演练]
(2024·岱岳区期末)如图，在 BFDE中，A，C分别在DE，BF的延长线上，且AE＝CF．
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
[证明] (1)∵四边形BFDE是平行四边形，
∴∠BED＝∠DFB，BE＝DF，
∴∠AEB＝∠CFD．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE∥BF，DE＝BF．
∵AE＝CF，
∴AE＋DE＝CF＋BF，
即AD＝BC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
命题点4 平行四边形的性质与判定的综合应用
【典例4】 (2023·泰安)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE．
(1)求证：四边形DBEF是平行四边形；
(2)求证：FH＝ME．
[证明] (1)∵△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，
∴△ADF≌△AGF，
∴AD＝AG，∠AGF＝∠ADF＝90°．
∴∠AGE＝∠ADC＝90°．
在Rt△ADC和Rt△AGE中，
∴Rt△ADC≌Rt△AGE(HL)，
∴∠ACD＝∠E．
在矩形ABCD中，对角线互相平分，
∴OA＝OB，
∴∠CAB＝∠ABD，
又∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠E，
∴DB∥FE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形．
(2)∵四边形DBEF是平行四边形，
∴DF＝EB．
又∵DF＝FG，
∴FG＝EB．
∵DC∥AE，
∴∠HFG＝∠E．
在△FGH和△EBM中，
∴△FGH≌△EBM(ASA)，
∴FH＝ME．
[对点演练]
(鲁教版八上P134例3改编)如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．以下是证明过程，其顺序已被打乱，①∴四边形ABCD为平行四边形；②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF；③连接BD，交AC于点O；④又∵AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF，即OA＝OC．正确的证明步骤是( )
A．①②③④ B．③④②①
C．③②④① D．④③②①
C [连接BD，交AC于点O，如图所示．
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴OD＝OB，OE＝OF，
又∵AE＝CF，
∴AE＋OE＝CF＋OF，
即OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
即正确的证明步骤是③②④①，
故选C．]
课时分层评价卷(二十) 多边形与平行四边形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．(2024·泰山期末)如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4， ABCD的周长是26，则DM＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
C [∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠ABM＝∠BMC，
∴∠BMC＝∠CBM，
∴BC＝MC＝4．
∵ ABCD的周长是26，
∴AB＋CD＋AD＋BC＝26，
∴BC＋CD＝13，∴CD＝9，
则DM＝CD－MC＝9－4＝5，故选C．]
2．(鲁教版八上P146图5 32改编)如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为( )
A．80米 B．96米
C．64米 D．48米
C [根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，
所以一共走了8×8＝64(米)．
故选C．]
3．(2024·岱岳区期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
C [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠F，∠AEB＝∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF，
∴AE＝AB＝3，
∴DF＝DE＝AD－AE＝5－3＝2，
故选C．]
4．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…．”之间作补充，下列正确的是( )
点A，C分别转到了点C，A处，而点B转到了点D处，∵CB＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
A．嘉淇推理严谨，不必补充
B．应补充，且AB＝CD
C．应补充，且AB∥CD
D．应补充，且OA＝OC
B [根据旋转的性质得：CB＝AD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故应补充“AB＝CD”．
故选B．]
5．(2024·泰山期末)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC；⑤∠AEO＝60°．其中成立的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB．
∵∠ABE＝∠ADC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE．
∵AB＝BC，
∴BE＝BC，
∴BE＝CE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠AEB＝∠EAC＋∠ECA＝2∠ECA＝60°，
∴∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝∠ECA＝30°，
故①正确．
∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC＋∠BAE＝30°＋60°＝90°，
∴AC⊥AB，
∴S ABCD＝AB·AC，
故②正确．
∵AB⊥OA，
∴OB＞AB，
∴OB≠AB，
故③错误．
由①的证明过程可知BE＝CE．
∵OA＝OC，
∴OE＝AB＝BC，
故④正确．
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠AEC＝120°，
∵CE＝AE，OA＝OC，
∴∠AEO＝∠CEO＝∠AEC＝60°，
故⑤正确．
故选D．]
6．[新定义试题]各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a＋b－1(a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数)计算，这个公式称为“皮克(Pick)定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝_________．
6 [a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，
通过题图可知a＝4，b＝6，
∴该五边形的面积S＝4＋×6－1＝6．
故答案为6．]
7．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1上，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．
55° [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，
由折叠的性质得：∠D1AE＝∠C，
∴∠D1AE＝∠BAD，
∴∠D1AD＝∠BAE＝55°．
故答案为55°．]
8．(鲁教版八上P122习题5.1 T4改编)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．
[证明] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，
∵AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F，
∴∠BAE＝∠FCD．
在△ABE与△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF．
9．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为( )
A．180°
B．240°
C．270°
D．360°
A [如图所示，连接BC．
∵∠D＋∠E＝∠1，∠1＝∠2＋∠3，
∴∠D＋∠E＝∠2＋∠3，
则∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠2＋∠3＝∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
故选A．]
10．(2024·泰山期末)阅读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且DE＝BC．
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，…
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图2，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．
乙：如图3，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．
下列判断正确的是( )
A．甲思路正确，乙思路错误
B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确
D．甲、乙两人思路都错误
C [甲：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE．
∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AB∥CF．
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE∥BC，BC＝DF．
∵DE＝DF，
∴DE＝BC，故甲的思路正确．
乙：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE．
∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD＝CF．
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE∥BC，BC＝DF，
∵DE＝DF，
∴DE＝BC，故乙的思路正确．
故选C．]
11．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四边形AMDN是平行四边形的是________(填上所有符合要求的条件的序号)．
①②④ [①连接AD，交BE于点O．
∵正六边形ABCDEF中，∠BAO＝∠ABO＝∠OED＝∠ODE＝60°，
∴△AOB和△DOE是等边三角形，
∴OA＝OD，OB＝OE．
又∵BM＝EN，
∴OM＝ON，
∴四边形AMDN是平行四边形，故①符合题意．
②∵∠FAN＝∠CDM，∠CDA＝∠DAF，
∴∠OAN＝∠ODM，
∴AN∥DM．
又∵∠AON＝∠DOM，OA＝OD，
∴△AON≌△DOM(ASA)，
∴AN＝DM，
∴四边形AMDN是平行四边形，故②符合题意．
③∵AM＝DN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN，
∴△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是平行四边形，故③不符合题意．
④∵∠AMB＝∠DNE，∠ABM＝∠DEN，AB＝DE，
∴△ABM≌△DEN(AAS)，
∴AM＝DN．
∵∠AMB＋∠AMN＝180°，∠DNM＋∠DNE＝180°，
∴∠AMN＝∠DNM，
∴AM∥DN，
∴四边形AMDN是平行四边形，故④符合题意．
故答案为①②④．]
12．[新定义试题](2024·泰山二模)小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，对角线AC＝4，BD＝6，设S＝AD＋BC，则S的最小值等于 ________．
2 [如图，以边AC，BC为邻边作平行四边形ACBE，连接DE，
则BE＝AC＝4，AE＝BC，
∴S＝AD＋BC＝AD＋AE，
当A，D，E三点共线时，S最小，
∴S的最小值为DE的长．
∵BE∥AC，AC⊥BD，
∴BE⊥BD，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE＝＝＝2，
∴S的最小值等于2．
故答案为2．]
13．(2024·泰安模拟)如图，在 ABCD中，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使得∠AFC＝∠DEC，连接CF，DE．
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)如果AB＝13，DF＝14，tan ∠DCB＝，求CF的长．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC．
∵∠AFC＝∠DEC，
∴∠AFC＝∠ADE，
∴DE∥CF．
∵AD∥BC，
∴DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形．
(2)如图，过点D作DM⊥EC，垂足为点M，则∠DMC＝∠DME＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝13，∠DCB＝∠CDF，
∵tan ∠DCB＝＝，
设DM＝12x，则CM＝5x，
由勾股定理得：(12x)2＋(5x)2＝132，
解得：x＝1，
即CM＝5，DM＝12，
∵CE＝14，
∴EM＝14－5＝9．
在Rt△DME中，由勾股定理得：DE＝＝15．
∵四边形DECF是平行四边形，
∴CF＝DE＝15．
14．(2024·泰山模拟)在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG＝FB．
(1)若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面积；
(2)求证：BE＝AG＋CE．
[解] (1)∵△ABE是等边三角形，
∴∠BAF＝60°，AB＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∴AE＝AB＝6，
∵AF＝3，
∴AF＝EF，
∴S△ABF＝S△ABE＝·62＝．
(2)证明：作FH⊥AB，垂足为点H，CJ⊥AE交AE的延长线于点J．
∵△ABE，△FBC都是等边三角形，
∴BA＝BE，BF＝BC，∠ABE＝∠FBC＝60°，
∴∠ABF＝∠EBC，
∴△ABF≌△EBC(SAS)，
∴AF＝EC．
∵AB∥CD，
∴∠CEJ＝∠FAH，
∵∠FHA＝∠J＝90°，
∴△FHA≌△CJE(AAS)，
∴FH＝CJ，AH＝EJ，
∵FB＝FG＝FC，FH＝CJ，
∴Rt△FGH≌Rt△CFJ(HL)，
∴GH＝FJ，∵AH＝EJ，
∴EF＝AG，
∵BE＝AE＝AF＋EF，
∴BE＝EC＋AG．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一节 多边形与平行四边形
考点一 多边形的定义及性质
1．多边形的定义及性质
(1)多边形的定义：由若干条不在同一直线上的线段__________相连组成的封闭平面图形叫做多边形．
(2)多边形的性质：①内角和定理：n(n≥3，且n为正整数)边形的内角和等于__________．
②外角和定理：多边形的外角和都等于__________．
③过n(n≥3，且n为正整数)边形的一个顶点可以引__________条对角线，将n边形分成__________个三角形，n边形共有_________条对角线．
2．正多边形的性质
正n(n≥3，且n为正整数)边形的各边相等，各角相等，每一个内角都等于_________，每一个外角都等于_________．
考点二 平行四边形的性质与判定
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示．
2．平行四边形的性质
(1)边：两组对边分别__________；两组对边分别__________．
(2)角：两组对角分别__________．
(3)对角线：两条对角线__________．
(4)对称性：是__________图形，__________是它的对称中心．
(5)面积：S＝__________．
3．平行四边形的判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别__________的四边形是平行四边形．
(3)一组对边__________的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别__________的四边形是平行四边形．
(5)对角线__________的四边形是平行四边形．
1．(鲁教版八上P146图5 32变式)如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是( )
A．900° B．720° C．540° D．360°
2．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则 ABCD的周长为( )
A．16 B．14
C．10 D．8
3．[易错题]在平行四边形ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝30°，则∠A的度数为 ________．
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，∠ABD＝∠CDB．求证：四边形ABCD是平行四边形．
命题点1 多边形的有关概念及其运算
【典例1】 (2024·山东)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为( )
A．12 B．10
C．8 D．6
[听课记录]
有关多边形的角的度数问题，经常利用多边形的内角和、外角和公式来解答．
[对点演练]
1．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，则这个正多边形是( )
A．正方形 B．正六边形
C．正八边形 D．正十边形
2．(人教版八上例题)如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
命题点2 平行四边形的性质
【典例2】 (2022·泰安)如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ________．
[听课记录]
平行四边形的性质是解答边角相等的有效途径，知道四边形是平行四边形时，就考虑利用平行四边形的性质：“对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分”来解答．
[听课记录]
[对点演练]
(2024·山东)如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF＝( )
A． B．3
C． D．4
命题点3 平行四边形的判定
【典例3】 (2024·岱岳区期末)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出五组条件：
(1)AB＝DC，AD∥BC；
(2)AB＝CD，AB∥CD；
(3)AB∥CD，AD∥BC；
(4)OA＝OC，OB＝OD；
(5)AB＝CD，AD＝BC．
能判定此四边形ABCD是平行四边形的有( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
[听课记录]
[对点演练]
(2024·岱岳区期末)如图，在 BFDE中，A，C分别在DE，BF的延长线上，且AE＝CF．
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
命题点4 平行四边形的性质与判定的综合应用
【典例4】 (2023·泰安)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE．
(1)求证：四边形DBEF是平行四边形；
(2)求证：FH＝ME．
[听课记录]
[对点演练]
(鲁教版八上P134例3改编)如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．以下是证明过程，其顺序已被打乱，①∴四边形ABCD为平行四边形；②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF；③连接BD，交AC于点O；④又∵AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF，即OA＝OC．正确的证明步骤是( )
A．①②③④ B．③④②①
C．③②④① D．④③②①
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第五章 四边形
第一节 多边形与平行四边形
第五章 四边形
链接教材 基础过关
考点一 多边形的定义及性质
1．多边形的定义及性质
(1)多边形的定义：由若干条不在同一直线上的线段________相连组成的封闭平面图形叫做多边形．
首尾顺次
180°(n－2)
360°
n－3
n－2
考点二 平行四边形的性质与判定
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示．
2．平行四边形的性质
(1)边：两组对边分别____；两组对边分别____．
(2)角：两组对角分别____．
(3)对角线：两条对角线________．
(4)对称性：是________图形，________________是它的对称中心．
(5)面积：S＝______．
平行
相等
相等
互相平分
中心对称
两条对角线的交点
底×高
3．平行四边形的判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别____的四边形是平行四边形．
(3)一组对边__________的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别____的四边形是平行四边形．
(5)对角线________的四边形是平行四边形．
相等
平行且相等
相等
互相平分
1．(鲁教版八上P146图5-32变式)如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是( )
A．900° B．720° C．540° D．360°
√
C [由题意得(5－2)×180°＝540°，故选C．]
2．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E．若CE＝2，BC＝3，则 ABCD的周长为( )
A．16
B．14
C．10
D．8
√
A [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝3，∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝3，
∴CD＝DE＋CE＝5，∴AB＝CD＝5，
∴ ABCD的周长为AD＋AB＋BC＋CD＝3＋5＋3＋5＝16．
故选A．]
3．[易错题]在平行四边形ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝30°，则∠A的度数为 __________________．
60°或30° [当E点在线段AD上时，如图所示，
∵BE是AD边上的高，∠EBD＝30°，
∴∠ADB＝90°－30°＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝(180°－60°)÷2＝60°．
60°或30°
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝CO，∠ABD＝∠CDB．求证：四边形ABCD是平行四边形．
考点突破 对点演练
命题点1 多边形的有关概念及其运算
【典例1】 (2024·山东)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为( )
A．12 B．10
C．8 D．6
√
方法总结 有关多边形的角的度数问题，经常利用多边形的内角和、外角和公式来解答．
[对点演练]
1．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，则这个正多边形是( )
A．正方形 B．正六边形
C．正八边形 D．正十边形
√
C [∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x＋3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8，
故选C．]
[解] 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＝360°，
∴∠B＋∠D
＝360°－(∠A＋∠C)＝ 360°－180°＝180°．
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．
2．(人教版八上例题)如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
(－2，－1) [∵四边形ABCD为平行四边形，
且A(－1，2)，D(3，2)，
∴点A是点D向左平移4个单位长度所得．
∵C(2，－1)，∴B(－2，－1)．
故答案为(－2，－1)．]
命题点2 平行四边形的性质
【典例2】 (2022·泰安)如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ____________．
(－2，－1)
方法总结 平行四边形的性质是解答边角相等的有效途径，知道四边形是平行四边形时，就考虑利用平行四边形的性质：“对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分”来解答．
√
【教师备选资源】
(2021·泰安)如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN；
②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；
③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；
④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．
其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√
命题点3 平行四边形的判定
【典例3】 (2024·岱岳区期末)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出五组条件：
(1)AB＝DC，AD∥BC；(2)AB＝CD，AB∥CD；(3)AB∥CD，AD∥BC；
(4)OA＝OC，OB＝OD；(5)AB＝CD，AD＝BC．
能判定此四边形ABCD是平行四边形的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
√
D [(1)由“AB＝DC，AD∥BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故不符合题意；
(2)由“AB＝CD，AB∥CD”可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故符合题意；
(3)由“AB∥CD，AD∥BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故符合题意；
(4)由“OA＝OC，OB＝OD”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故符合题意；
(5)由“AB＝CD，AD＝BC”可知，四边形ABCD的两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形，故符合题意．故选D．]
[对点演练]
(2024·岱岳区期末)如图，在 BFDE中，A，C分别在DE，BF的延长线上，且AE＝CF．
求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE∥BF，DE＝BF．
∵AE＝CF，
∴AE＋DE＝CF＋BF，
即AD＝BC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
命题点4 平行四边形的性质与判定的综合应用
【典例4】 (2023·泰安)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC＝AE．
(1)求证：四边形DBEF是平行四边形；
(2)求证：FH＝ME．
在矩形ABCD中，对角线互相平分，
∴OA＝OB，
∴∠CAB＝∠ABD，
又∵DC∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠E，
∴DB∥FE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形．
[对点演练]
(鲁教版八上P134例3改编)如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．以下是证明过程，其顺序已被打乱，①∴四边形ABCD为平行四边形；②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD＝OB，OE＝OF；③连接BD，交AC于点O；④又∵AE＝CF，∴AE＋OE＝CF＋OF，即OA＝OC．正确的证明步骤是( )
A．①②③④ B．③④②①
C．③②④① D．④③②①
√
C [连接BD，交AC于点O，如图所示．
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴OD＝OB，OE＝OF，
又∵AE＝CF，
∴AE＋OE＝CF＋OF，
即OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
即正确的证明步骤是③②④①，
故选C．]
课时分层评价卷(二十) 多边形与平行四边形
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分)
1．(2024·泰山期末)如图，在 ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC＝4， ABCD的周长是26，则DM＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
C [∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠ABM＝∠BMC，∴∠BMC＝∠CBM，∴BC＝MC＝4．
∵ ABCD的周长是26，∴AB＋CD＋AD＋BC＝26，
∴BC＋CD＝13，∴CD＝9，
则DM＝CD－MC＝9－4＝5，故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(鲁教版八上P146图5-32改编)如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为( )
A．80米 B．96米
C．64米 D．48米
√
C [根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，
所以一共走了8×8＝64(米)．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
3．(2024·岱岳区期末)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
C [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠F，∠AEB＝∠CBE．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF，
∴AE＝AB＝3，
∴DF＝DE＝AD－AE＝5－3＝2，故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°，嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…．”之间作补充，下列正确的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
点A，C分别转到了点C，A处，而点B转到了点D处，∵CB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A．嘉淇推理严谨，不必补充 B．应补充，且AB＝CD
C．应补充，且AB∥CD D．应补充，且OA＝OC
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
B [根据旋转的性质得：CB＝AD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故应补充“AB＝CD”．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
∵∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAE＝60°，
∴∠BAC＝∠EAC＋∠BAE＝30°＋60°＝90°，∴AC⊥AB，
∴S ABCD＝AB·AC，故②正确．
∵AB⊥OA，
∴OB＞AB，
∴OB≠AB，
故③错误．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
6
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
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13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1上，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝________．
55°
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
55° [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，
由折叠的性质得：∠D1AE＝∠C，
∴∠D1AE＝∠BAD，
∴∠D1AD＝∠BAE＝55°．
故答案为55°．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．(鲁教版八上P122习题5.1 T4改编)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
9．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为( )
A．180°
B．240°
C．270°
D．360°
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
A [如图所示，连接BC．
∵∠D＋∠E＝∠1，∠1＝∠2＋∠3，
∴∠D＋∠E＝∠2＋∠3，
则∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E
＝∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠2＋∠3
＝∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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10
11
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13
14
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图2，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．
乙：如图3，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．
下列判断正确的是( )
A．甲思路正确，乙思路错误
B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确
D．甲、乙两人思路都错误
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
11．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四边形AMDN是平行四边形的是________(填上所有符合要求的条件的序号)．
①②④
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
①②④ [①连接AD，交BE于点O．
∵正六边形ABCDEF中，∠BAO＝∠ABO＝∠OED＝∠ODE＝60°，
∴△AOB和△DOE是等边三角形，
∴OA＝OD，OB＝OE．
又∵BM＝EN，
∴OM＝ON，
∴四边形AMDN是平行四边形，故①符合题意．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
②∵∠FAN＝∠CDM，∠CDA＝∠DAF，
∴∠OAN＝∠ODM，
∴AN∥DM．
又∵∠AON＝∠DOM，OA＝OD，
∴△AON≌△DOM(ASA)，
∴AN＝DM，
∴四边形AMDN是平行四边形，故②符合题意．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
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③∵AM＝DN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN，
∴△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是平行四边形，故③不符合题意．
题号
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④∵∠AMB＝∠DNE，∠ABM＝∠DEN，AB＝DE，
∴△ABM≌△DEN(AAS)，
∴AM＝DN．
∵∠AMB＋∠AMN＝180°，∠DNM＋∠DNE＝180°，
∴∠AMN＝∠DNM，
∴AM∥DN，
∴四边形AMDN是平行四边形，故④符合题意．
故答案为①②④．]
题号
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12．[新定义试题](2024·泰山二模)小明学习了四边形后，对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，对角线AC＝4，BD＝6，设S＝AD＋BC，则S的最小值等于 ________．
题号
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[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC．
∵∠AFC＝∠DEC，
∴∠AFC＝∠ADE，
∴DE∥CF．
∵AD∥BC，∴DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形．
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14．(2024·泰山模拟)在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG＝FB．
(1)若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面积；
(2)求证：BE＝AG＋CE．
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(2)证明：作FH⊥AB，垂足为点H，CJ⊥AE交AE的延长线于点J．
∵△ABE，△FBC都是等边三角形，
∴BA＝BE，BF＝BC，∠ABE＝∠FBC＝60°，
∴∠ABF＝∠EBC，
∴△ABF≌△EBC(SAS)，
∴AF＝EC．
题号
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∵AB∥CD，∴∠CEJ＝∠FAH，
∵∠FHA＝∠J＝90°，
∴△FHA≌△CJE(AAS)，
∴FH＝CJ，AH＝EJ，
∵FB＝FG＝FC，FH＝CJ，
∴Rt△FGH≌Rt△CFJ(HL)，
∴GH＝FJ，∵AH＝EJ，∴EF＝AG，
∵BE＝AE＝AF＋EF，∴BE＝EC＋AG．
